Модные тенденции и тренды. Аксессуары, обувь, красота, прически

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК: 5806

Как пользоваться калькулятором

• Введите числа в поле для ввода
• В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
• нажмите кнопку "Найти НОД и НОК"

Как вводить числа

• Числа вводятся через пробел, точку или запятую
• Длина вводимых чисел не ограничена , так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Что такое НОД и НОК?

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД .
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК .

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
Пример: определить, делится ли на 2 число 34938 .
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 - значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 - значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД и НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36) :

1. Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7 , 36 = 1·2·2·3·3
2. Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
3. Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 - это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

1. Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
2. НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
3. НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c) .

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

1. Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3 , 32 = 1·2·2·2·2·2 , 36 = 1·2·2·3·3 .
2. Найдём обшие множители: 1, 2 и 2 .
3. Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
4. Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2·2·3 = 12 .
6. НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288 .

Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

• Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

Как найти наибольший общий делитель

Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

• 1. Разложить числа на простые множители.
• 2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
• 3. Посчитать произведение оставшихся множителей.

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел и добавим к ним недостающий множитель 5 из разложения второго числа. Получаем: 2*2*3*5*5=300. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.

Определение НОД: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и в называют наибольшее натуральное число c , на которое и a , и b делятся без остатка. Т.е. c это нибольшее натуральное число, для которого и а и б являются кратными.

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

• числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); - в школах, обычно так .
• обозначении количества предметов (нет покемонов - ноль, один покемон, два покемона, …).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие - нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N

Памятка: Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка. Кратным натуральному числу b называют натуральное число a , которое делится на b без остатка. Если число b - делитель числа a , то a кратно числу b . Пример: 2 - делитель 4, а 4 кратно двум. 3 - делитель 12, а 12 кратно 3.
Памятка: Натуральные числа называют простыми, если они делятся без остатка только на себя и на 1. Взаимно простыми называются числа у которых только один общий делитель, равный 1.

Определение как найти НОД в общем случае: Чтобы найти НОД (Наибольший общий делитель) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Вычеркнуть те, которые не входят в разложение остальных чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 2 на (НОК): К новому году Коля Пузатов купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла Дормидонтова, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?

Пример 2.1. решения задачи на нахождение НОД. Нахождение НОД подбором.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1) Выпишем делители 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Выпишем делители 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Выбираем наибольший общий делитель. Оп-ля-ля! Нашли, это число наборов 12 штук.
3) Поделим 48 на 12 получим 4, поделим 36 на 12, получим 3. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Получится 12 наборов по 4 хомяка и 3 кофейника в каждом наборе.

Ланцинова Айса

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Задачи на НОД и НОК чисел Работа ученицы 6 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Ланциновой Айсы Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики с. Камышово, 2013г

Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325. 1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Найдём произведение оставшихся множителей 5 ∙ 5 = 25 Ответ: НОД (50, 75 и 325)= 25 Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Пример нахождения НОК чисел 72, 99 и 117. 1) Разложим на простые множители числа 72, 99 и 117. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Выписать множители, входящих в разложение одного из чисел 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и добавить к ним недостающие множители остальных чисел. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3)Найдите произведение получившихся множителей. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Ответ: НОК (72, 99 и 117) = 10296 Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно a и b .

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько? Решение: 1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника. S= 48 ∙ 40 = 1960 см ² . – площадь картона. 2) a – сторона квадрата 48: a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона. 40: а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона. 3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата. 4) S = a² – площадь одного квадрата. S = 8² = 64 (см ² .) – площадь одного квадрата. 5) 1960: 64 = 30 (количество квадратов). Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый. Задачи на НОД

Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки? Решение: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см ²) – S поверхности камина. 2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки. 3) S = a² = 39² = 1521 (см ²) – площадь 1 плитки. 4) 30420: = 20 (штук). Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см). Задачи на НОД

Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы? Решение: 1) P = 2(a + b) – периметр участка. P = 2(54 + 48) = 204 м. 2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами. 3) 204: 6 = 34 (столба). Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м. Задачи на НОД

Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете? Решение: 1) НОД (210, 126 и 294) = 42 (букета). 2) 210: 42 = 5 (бордовых роз). 3) 126: 42 = 3 (белых роз). 4) 294: 42 = 7 (красных роз). Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете. Задачи на НОД

Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая? Решение: 1) 90 + 5 = 95 (руб.) заплатила Маша. 2) НОД (90 и 95) = 5 (руб.) – цена 1 набора. 3) 980: 5 = 18 (наборов) – купила Таня. 4) 95: 5 = 19 (наборов) – купила Маша. Ответ: 5 рублей, 18 наборов, 19 наборов. Задачи на НОД

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход? Решение: 1) НОК (15,20 и 12) = 60 (суток) – время встречи. 2) 60: 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход. 3) 60: 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход. 4) 60: 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход. Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов. Задачи на НОК

Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15. Сколько яиц купила Маша? Решение: НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц) Ответ: Маша купила 30 яиц. Задачи на НОК

Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную? Решение: 1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок). 2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки. S = 16 ∙ 20 = 320 (см ²) – площадь дна 1 коробки. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (см ²) – площадь квадратного дна. 4) S = а² = а ∙ а 25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика. Ответ: 160 см- сторона квадратного дна. Задачи на НОК

Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять? Решение: 1) НОК (45 и 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 –было столбов. 3) 180: 60 = 3 – стало столбов. Ответ: 4 столба, 3 столба. Задачи на НОК

Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге? Решение: 1)НОК (12 и 18) = 36 (человек) – маршируют. Ответ: 36 человек. Задачи на НОК

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12.

Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b . Общий делитель нескольких чисел (НОД) — это число, служащее делителем для каждого из них.

Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:

Пример : НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Пример:

НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми чи слами .

Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1. Их НОД равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД), свойства.

• Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
• Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД(m , n ).
• Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m , n ).

Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.

• Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:

и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n :

Это соотношение называется соотношением Безу , а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a 1 , a 2 , … , a n ).

Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм . Кроме того, значение НОД (m ,n ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:

где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m ,n ) и НОК (m ,n ) выражаются формулами:

Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:

— это и есть искомый НОД.

Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа - результат перемножения и есть наибольший общий делитель.

Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:

1. Разложить делители чисел на простые множители:

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа - делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.

2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:

НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД:

Найти НОД 48 и 36.

НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12

Второй способ записи НОД:

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

Д (10) = {1, 2, 5, 10}

Д (15) = {1, 3, 5, 15}

Д (10, 15) = {1, 5}