Распределение зарядов в проводнике

Проводниками называют тела с высокой концентрацией свободных заряженных частиц, способных перемещаться под действием электрического поля. Если сообщить проводнику некоторый избыточный заряд, то составляющие его свободные заряженные частицы будут перемещаться (положительные - в область с меньшим потенциалом, отрицательные - наоборот) до тех пор, пока потенциалы во всех точках проводника не станут одинаковыми. При этом достигается состояние, когда внутри проводника напряженность равна нулю, а на поверхности векторы напряженности перпендикулярны к ней. Если выбрать внутри проводника замкнутую поверхность S , которая очень близка к поверхности проводника (рис. 37.1), то в соответствии с теоремой Гаусса поток вектора напряженности через эту поверхность будет равен нулю. Это означает, что внутри нее заряд отсутствует и весь избыточный заряд распределяется по внешней поверхности проводника. Выясним, от чего зависит поверхностная плотность заряда.

Для этого рассмотрим два металлических шарика, соединенных тонкой проволокой (рис. 37.2). Шарики и проволока составляют единый проводник и потому потенциалы их одинаковы во всех точках. Потенциал первого шарика равен , площадь его поверхности . Выразим заряд и поверхностную плотность заряда на поверхности этого шарика:

; .

Аналогичные выражения получаются для второго шарика:

; .

Разделив выражения для плотностей заряда, находим

Заряд, сообщенный проводнику, распределяется по внешней поверхности проводника, при этом поверхностная плотность заряда обратно пропорциональна радиусу поверхности.

Величина, обратная радиусу поверхности в данной ее точке,называетсякривизной поверхности. Там, где меньше радиус, кривизна поверхности больше, и наоборот. У выступов и заострений кривизна поверхности максимальна, согласно выражению (37.1) там будет максимальна и поверхностная плотность заряда.

Таким образом, приходим к заключению:

Все точки внутри и на поверхности заряженного проводника имеют одинаковый потенциал,

Распределение электрического заряда по поверхности уединённого проводника.

Изучение электростатики проводников затруднено тем, что распределение электрического заряда по наружной поверхности одного и того же проводящего тела в разных условиях может оказаться совершенно различным. Исключение составляет случай распределения электрического заряда по поверхности уединённого проводника в бесконечном однородном изотропном пространстве. Это распределение зависит только от формы граничной поверхности проводника. Ниже для простоты изложения будем рассматривать уединённые проводники в вакууме. У математиков задача о распределении электрического заряда по поверхности проводника носит название «задача Робена». Различают объёмный (трехмерный) случай и двумерный случай задачи Робена. В двумерном случае в качестве проводника рассматривают бесконечный цилиндр произвольного поперечного сечения. Вне проводника потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа, на поверхности проводника потенциал обращается в нуль, а интеграл по поверхности проводника от нормальной производной потенциала пропорционален величине суммарного электрического заряда. В плоском (двумерном) случае для решения задачи Робена эффективны методы теории функций комплексного переменного, в частности, метод конформного отображения.

Допустим, что проводник является эллипсоидом, уравнение граничной поверхности которого описывается в декартовой системе координат уравнением

Известно (Ф.Франк, Р.Мизес. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. – Л.-М.: ОНТИ. Гл. редакция общетехнической литературы. – 1937.-998с., стр. 706) распределение поверхностной плотности электрического заряда по поверхности проводящего эллипсоида:

. (2)

Из этого соотношения следует оценка

где т.е. поверхностные плотности электрического заряда в точках пересечения осей эллипсоида с поверхностью. Если размер а очень велик, а размеры b и c малы, то становится очень большой. Вспомним, что эта величина пропорциональна нормальной составляющей напряжённости электростатического поля вблизи поверхности проводника. Электрический пробой зависит от величины напряжённости электростатического поля. Получается, что пробой происходит в окрестности «острого» конца вытянутого в одном направлении эллипсоида.

Для проводящего шара имеем

, , (4)

распределение поверхностной плотности электрического заряда является равномерным.

Неравномерность распределения электрического заряда по поверхности произвольного проводника является причиной погрешности, возникающей, например, при элементарном, упрощённом расчёте ёмкости конденсатора конечных размеров. Строгий учёт «краевых эффектов» иногда представляет собой довольно сложную задачу. В частности, вывод соотношения (2) требует введения эллипсоидальных координат, умения записать уравнение Лапласа в этих координатах, построить решение полученного уравнения в частных производных с переменными коэффициентами (т.е. получить распределение потенциала электростатического поля вне проводящего эллипсоида), вычислить напряжённость электростатического поля в окрестности граничной поверхности эллипсоида и, наконец, вычислить величину поверхностной плотности электрического заряда на поверхности проводящего эллипсоида. Только в редких исключительных случаях решение задач рассматриваемого типа можно получить в замкнутой аналитической форме, в остальных случаях решение получают с помощью численных методов, используя специальное программное обеспечение современных компьютеров.

Одной из общих задач электростатики является определение электрического поля или потенциала для заданного поверхностного распределения зарядов. Теорема Гаусса (1.11) позволяет сразу написать некоторое частное соотношение для электрического поля. Если на поверхности S с единичной нормалью заряд распределен с поверхностной плотностью , а электрическое поле по обе стороны поверхности равно соответственно (фиг. 1.4), то, согласно теореме Гаусса,

Это соотношение еще не определяет самих полей исключение составляют лишь те случаи, когда нет других источников поля, кроме поверхностных зарядов с плотностью а распределение имеет особо простой вид. Соотношение (1.22) показывает только, что при переходе с «внутренней» стороны поверхности, на которой расположен поверхностный заряд а, на «внешнюю» сторону нормальная составляющая электрического поля испытывает скачок

Используя соотношение (1.21) для линейного интеграла от Е по замкнутому контуру, можно показать, что тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна при переходе через поверхность.

Фиг. 1.4. Скачок нормальной составляющей электрического поля при пересечении поверхностного распределения зарядов.

Общее выражение для потенциала, создаваемого поверхностным распределением заряда в произвольной точке пространства (в том числе на самой поверхности S, на которой расположены заряды), можно найти из (1.17), заменяя на

Выражение для электрического поля может быть получено отсюда дифференцированием.

Представляет интерес также задача о потенциале, создаваемом двойным слоем, т. е. распределением диполей по поверхности

Фиг. 1.5. Предельный переход при образовании двойного слоя.

Двойной слой можно представить себе следующим образом: пусть на поверхности S заряд расположен с некоторой плотностью , а на поверхности S, близкой к S, поверхностная плотность в соответствующих (соседних) точках составляет , т. е. равна по величине и противоположна по знаку (фиг. 1.5). Двойной слой, т. е. дипольное распределение с моментом единицы поверхности

получится как предельный переход, при котором S бесконечно близко приближается к S, а поверхностная плртность стремится к бесконечности так, что произведение на расстояние между в соответствующей точке стремится к пределу

Дипольный момент слоя перпендикулярен поверхности S и направлен от отрицательного заряда к положительному.

Чтобы найти потенциал, создаваемый двойным слоем, можно сначала рассмотреть отдельный диполь, а затем перейти к распределению диполей по поверхности. К тому же результату можно прийти, если исходить из потенциала (1.23) для поверхностного распределения заряда, а затем произвести описанный выше предельный переход. Первый способ расчета, пожалуй, проще, но зато второй является полезным упражнением в векторном анализе, так что мы предпочтем здесь именно второй.

Фиг. 1.6. Геометрия двойного слоя.

Пусть единичный вектор нормали направлен от S к S (фиг. 1.6). Тогда потенциал, обусловленный двумя близкими поверхностями S и S, равен

При малых d мы можем разложить выражение в ряд. Рассмотрим общее выражение в котором При этом

Очевидно, это просто разложение в ряд Тейлора в трехмерном случае. Таким образом, переходя к пределу (1.24), получаем для потенциала выражение

Соотношение (1.25) может быть очень просто истолковано геометрически. Заметим, что

где - элемент телесного угла, под которым из точки наблюдения виден элемент площади (фиг. 1.7). Величина положительна, если угол острый, т. е. из точки наблюдения видна «внутренняя» сторона двойного слоя.

Фиг. 1.7. К выводу потенциала двойного слоя. Потенциал в точке Р, создаваемый элементом площади двойного слоя с моментом единицы поверхности D, равен взятому с обратным знаком произведению момента D на телесный угол под которым виден элемент площади из точки Р.

Выражение для потенциала двойного слоя может быть записано в виде

Если поверхностная плотность дипольного момента D постоянна, то потенциал просто равен взятому с обратным знаком произведению дипольного момента на телесный угол, под которым из точки наблюдения видна вся поверхность независимо от ее формы.

При пересечении двойного слоя потенциал претерпевает скачок, равный поверхностной плотности дипольного момента, умноженной на . В этом легко убедиться, если рассмотреть точку наблюдения, приближающуюся бесконечно близко к поверхности S с внутренней стороны. Тогда, согласно (1.26), потенциал на внутренней

стороне будет равен

так как почти весь телесный угол опирается на малый участок поверхности S вблизи точки наблюдения. Аналогично если приближаться к поверхности S с внешней стороны, то потенциал становится равным

знак меняется на обратный из-за изменения знака телесного угла. Таким образом, скачок потенциала при пересечении двойного слоя равен

Это соотношение является аналогом формулы (1.22) для скачка нормальной составляющей электрического поля при пересечении «простого» слоя, т. е. поверхностного распределения заряда. Соотношение (1.27) можно физически интерпретировать как падение потенциала «внутри» двойного слоя. Это падение потенциала может быть вычислено (до перехода к пределу) как произведение напряженности поля между обоими слоями, несущими поверхностный заряд, на расстояние между ними.

Покажем, что ~

Тема 4. Вопрос 3.

Распределение зарядов в проводниках.

Проводники в электростатическом поле.

При внесении незаряженного проводника во внешнее электростатическое поле на его поверхности появляются заряды. Явление перераспределения зарядов в проводнике при внесении его во внешнее электростатическое поле, называется электростатической индукцией (наведением зарядов, электризацией посредством наведения).

1) Если в поле внести незаряженный металлический проводник из двух контактирующих частей, на их поверхностях возникнут индуцированные заряды. Если эти части развести с помощью изолирующих ручек, то каждая часть окажется заряженной соответствующим зарядом (см. рис.). При этом напряженность поля внутри проводников всегда равна нулю.

2) Незаряженный проводник, внесенный в электростатическое поле искажает поле (см. рис.- линии со стрелками – силовые линии внешнего однородного поля; перпендикулярные им линии – это эквипотенциальные поверхности; ± - обозначены наведенные заряды).

3) Величина наведенного (индуцированного) заряда всегда меньше величины наводящего заряда. Только в случае, когда наводящий заряд находится внутри металлической полости, наведенный заряд оказывается таким же по величине, но при этом поверхностная плотность зарядов оказывается различной. На рисунке: точечный заряд окружен незаряженным металлическим полым телом. И внутренняя и внешняя поверхности сферические, но центры их смещены. На внешней поверхности индуцированный заряд распределяется равномерно, а на внутренней – сложным образом.

4) Наведенные заряды влияют на электрическое поле наводящих зарядов.

5). Индуцированный заряд возникает и на уже заряженном теле. Если рядом находятся два положительных заряда +Q и +q , они должны отталкиваться. Но наведенный отрицательный заряд на одном из зарядов может оказаться бόльшим, чем его собственный заряд, и заряды будут притягиваться друг к другу.

Электростатическая защита: Проводник или достаточно густая металлическая сетка, окружающие со всех сторон некоторую область, экранируют ее от электрических полей, созданных внешними зарядами.

Тема 5. Вопрос 1.

Электроемкость.

Все проводники обладают свойством накапливать электрические заряды. Это свойство называется электроемкостью. Количественная характеристика этого свойства также называется электроемкостью и обозначается С . Различают электроемкость уединенного проводника (собственная емкость), находящегося вдали от других проводников, и взаимную емкость системы из двух и более проводников.

Фарада – единица измерения емкости в СИ - является чрезвычайно большой величиной. Так, емкость земного шара примерно 7×10 - 4 Ф, поэтому обычно пользуются микро-, нано- и пикофарадами.

Собственная емкость зависит только от формы и размеров проводника и от диэлектрических свойств окружающей среды (вакуум, воздух, керосин,…) и не зависит ни от материала проводника (Fe, Cu, Al,…), ни от того, заряжен он или нет. Каждый уединенный проводник обладает «своей» емкостью, если, например, изогнуть кусок проволоки или сделать вмятину в шарике, их емкость изменится.

Вычисление емкости представляет собой сложную математическую задачу, и если проводник имеет сложную конфигурацию, то аналитически эта задача не решается.

Вычислим электроемкость уединенной сферы (шара) .

Тема 5. Вопрос 2.

Электроемкость.

Вычислим емкость плоского конденсатора – это две металлические параллельные пластины (обкладки) одинаковых размеров, разделенные слоем диэлектрика (вакуум, воздух и др.). Если расстояние между пластинами значительно меньше размеров пластин: d << L, H , поле между пластинами можно считать однородным. В действительности вблизи краев пластин поле неоднородно (см. рис., на котором показана половина плоского конденсатора, линии со стрелками – это силовые линии, без стрелок – эквипотенциальные поверхности). Учесть эти краевые эффекты трудно.

Тема 5. Вопрос 3.

Электроемкость.

Взаимная емкость также зависит от формы и размеров проводников и, кроме того, от их взаимного расположения. Система из двух проводников называется конденсатором в том случае, когда расстояние между ними достаточно мало, и электрическое поле (когда они заряжены) сосредоточено в основном между проводниками. Сами проводники при этом называют обкладками. Вычислить емкость такой системы можно для обкладок простей формы: плоских, сферических и цилиндрических (без учета краевых эффектов).

Цилиндрический конденсатор . Это два соосных металлических цилиндра, в промежутке между которыми – диэлектрик (вакуум, воздух и др.). Длина цилиндров-обкладок l , радиусы R и r (см. рис.). Если сообщить внутренней обкладке заряд +q , на внешней обкладке индуцируются заряды -q и +q , положительный заряд с внешней поверхности наружной обкладки уводится в землю. Поле конденсатора в основном сосредоточено между обкладками, если расстояние между ними (R - r) << l . Краевые эффекты не учитываем.

Тема 5. Вопрос 4.

Электроемкость.

Взаимная емкость также зависит от формы и размеров проводников и, кроме того, от их взаимного расположения. Система из двух проводников называется конденсатором в том случае, когда расстояние между ними достаточно мало, и электрическое поле (когда они заряжены) сосредоточено в основном между проводниками. Сами проводники при этом называют обкладками. Вычислить емкость такой системы можно для обкладок простей формы: плоских, сферических и цилиндрических (без учета краевых эффектов)

Сферический конденсатор . Это две металлические концентрические сферы, разделенные сферическим слоем диэлектрика. Если внутренней обкладке сообщить заряд +q , на внутренней поверхности внешней обкладки индуцируется заряд -q , а на внешней ее поверхности +q. Этот заряд отводится в землю за счет заземления (см. рис.). Поле такого конденсатора сосредоточено только между обкладками.

Тема 5. Вопрос 5.

Электроемкость.

Соединения конденсаторов.

Конденсаторы можно соединять параллельно или последовательно, или смешанным образом: часть параллельно, часть последовательно. При параллельном соединении емкость системы увеличивается и становится равной сумме емкостей. При последовательном соединении емкость системы всегда уменьшается. Последовательное соединение применяют не для уменьшения емкости, а главным образом для уменьшения разности потенциалов на каждом конденсаторе, чтобы не было пробоя конденсатора.

Введем более простое обозначение для разности потенциалов. Иногда U называют напряжением, это устаревший термин. Напряжение U = IR – это произведение силы тока на сопротивление (см. ниже – ток), а через конденсатор ток идти не должен. Если происходит пробой диэлектрика, конденсатор приходится выбрасывать.
	запишем формулу для каждого конденсатора и для всей системы (заменив Dj ®U ); подставляя q в последнюю формулу, получим: С паралл =С 1 + С 2 Обобщим на случай 3-х и более конденсаторов	параллельное соединение
	емкость системы при параллельном соединении конденсаторов(i=1,2,…,n ) n - число конденсаторов

Тема 6. Вопрос 1.

В случае равновесного распределения заряды проводника распределяются в тонком поверхностном слое. Так, например, если проводнику сообщить отрицательный заряд, то из-за наличия сил отталкивания элементов этого заряда они рассредоточатся по всей поверхности проводника.

Исследование при помощи пробной пластинки

Для того чтобы на опыте исследовать, как распределяются заряды на внешней поверхности проводника используют так называемую пробную пластинку. Эта пластинка настолько мала, что при соприкосновении с проводником ее можно рассматривать как часть поверхности проводника. Если эту пластинку приложить к заряженному проводнику, то часть заряда ($\triangle q$) перейдет на нее и величина этого заряда будет равна заряду, который находился на поверхности проводника по площади равной площади пластинки ($\triangle S$).

Тогда величина равная:

\[\sigma=\frac{\triangle q}{\triangle S}(1)\]

называется поверхностной плотностью распределения заряда в данной точке.

Разряжая пробную пластинку через электрометр можно судить о величине поверхностной плотности заряда. Так, например, если зарядить проводящий шар, то можно увидеть, с помощью вышеприведенного метода, что в состоянии равновесия поверхностная плотность заряда на шаре одна и та же во всех его точках. То есть заряд по поверхности шара распределяется равномерно. Для проводников более сложной формы распределение заряда сложнее.

Поверхностная плотность проводника

Поверхность любого проводника является эквипотенциальной, но в общем случае плотность распределения заряда может очень сильно отличаться в разных точках. Поверхностная плотность распределения заряда зависит от кривизны поверхности. В разделе, который был посвящен описанию состояния проводников в электростатическом поле, мы установили, что напряженность поля около поверхности проводника перпендикулярна поверхности проводника в любой его точке и равна по модулю:

где ${\varepsilon }_0$ -- электрическая постоянная, $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды. Следовательно,

\[\sigma=E\varepsilon {\varepsilon }_0\ \left(3\right).\]

Чем больше кривизна поверхности тем, тем больше напряженность поля. Следовательно, на выступах плотность заряда особенно велика. Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже. Следовательно, напряженность поля и плотность зарядов в этих местах меньше. Плотность зарядов при заданном потенциале проводника определяется кривизной поверхности. Она растет с увеличением выпуклости и убывает с увеличением вогнутости. Особенно большая плотность заряда на остриях проводников. Так, напряженность поля на острие может быть настолько велика, что может возникать ионизация молекул газа, который окружает проводник. Ионы газа противоположного знака заряда (относительно заряда проводника) притягиваются к проводнику, нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака отталкиваются от проводника, «тянут» за собой нейтральные молекулы газа. Такое явление называют электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается в результате процесса нейтрализации, он как бы стекает с острия. Такое явление называют истечением заряда с острия.

Мы уже говорили, что когда мы вносим проводник в электрическое поле, происходит разделение положительных зарядов (ядер) и отрицательных (электронов). Такое явление носит название электростатической индукции. Заряды, которые появляются в результате, называют индуцированными. Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле.

Поле индуцированных зарядов направлено в сторону противоположную направлению внешнего поля. Поэтому заряды, которые накапливаются на проводнике, ослабляют внешнее поле.

Перераспределение зарядов идет, пока не выполнены условия равновесия зарядов для проводников. Такие как: равенство нулю напряженности поля везде внутри проводника и перпендикулярность вектора напряженности заряженной поверхности проводника. Если в проводнике есть полость, то при равновесном распределении индуцированного заряда поле внутри полости равно нулю. На этом явлении основана электростатическая защита. Если какой-либо прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим экраном. В таком случае внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами. Такой может быть не обязательно сплошным, но и в виде густой сетки.

Задание: Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью $\tau $, расположена перпендикулярно бесконечно большой проводящей плоскости. Расстояние от нити до плоскости $l$. Если продолжить нить до пересечения с плоскостью, то в месте пересечения получим некоторую точку А. Составьте формулу зависимости поверхностной плотности $\sigma \left(r\right)\ $индуцированных зарядов на плоскости от расстояния до точки А.

Рассмотрим некоторую точку В на плоскости. Бесконечно длинная заряженная нить в точке В создает электростатическое поле, в поле находится проводящая плоскость, на плоскости образуются индуцированные заряды, которые в свою очередь создают поле, которое ослабляет внешнее поле нити. Нормальная составляющая поля плоскости (индуцированных зарядов) в точке В будет равна нормальной составляющей поля нити в этой же точке, если система находится в равновесии. Выделим на нити элементарный заряд ($dq=\tau dx,\ где\ dx-элементарный\ кусочек\ нити\ $), найдем в точке В напряжённость, создаваемую этим зарядом ($dE$):

Найдем нормальную составляющую элемента напряженности поля нити в точке В:

где $cos\alpha $ выразим как:

Выразим расстояние $a$ по теореме Пифагора как:

Подставим (1.3) и (1.4) в (1.2), получим:

Найдем интеграл от (1.5) где пределы интегрирования от $l\ (расстояние\ до\ ближайшего\ конца\ нити\ от\ плоскости)\ до\ \infty $:

С другой стороны, мы знаем, что поле равномерно заряженной плоскости равно:

Приравняем (1.6) и (1.7), выразим поверхностную плотность заряда:

\[\frac{1}{2}\cdot \frac{\sigma}{\varepsilon {\varepsilon }_0}=\frac{\tau }{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\cdot \frac{1}{{\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}\to \sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}.\]

Ответ: $\sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}.$

Пример 2

Задание: Рассчитайте поверхностную плотность заряда, который создается около поверхности Земли, если напряженность поля Земли равна 200$\ \frac{В}{м}$.

Будем считать, что диэлектрическая проводимость воздуха $\varepsilon =1$ как у вакуума. За основу решения задачи примем формулу для расчёта напряженности заряженного проводника:

Выразим поверхностную плотность заряда, получим:

\[\sigma=E{\varepsilon }_0\varepsilon \ \left(2.2\right),\]

где электрическая постоянная нам известна и равна в СИ ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}.$

Проведем вычисления:

\[\sigma=200\cdot 8,85\cdot {10}^{-12}=1,77\cdot {10}^{-9}\frac{Кл}{м^2}.\]

Ответ: Поверхностная плотность распределения заряда поверхности Земли равна $1,77\cdot {10}^{-9}\frac{Кл}{м^2}$.