Дадим теперь понятие о методе координат на плоскости, т. е. укажем способ, позволяющий определять положение точек плоскости с помощью чисел.
Возьмем две взаимно перпендикулярные прямые и на каждой из них установим положительное направление. Эти прямые, относительно которых мы будем определять положение точек плоскости, называются осями координат. Оси координат обычно располагают так, как это указано на рис. 6: одну - горизонтально и положительное направление на ней выбирают слева направо, а другую - вертикально и положительное направление на ней - снизу вверх. Одна из осей (обычно горизонтальная) называется осью абсцисс (ось Ох), а другая -
осью ординат (ось Оу). Точка пересечения осей координат называется началом координат (на рис. 6 начало координат обозначено буквой О). Наконец, выберем единицу масштаба (мы всегда будем предполагать, что на обеих осях координат выбрана одна и та же единица масштаба).
Теперь положение любой точки плоскости можно будет определить числами - координатами этой точки. Действительно, всякой точке М плоскости соответствуют на осях координат две точки Р и Q, являющиеся ее проекциями на эти оси (рис. 6) и, обратно, зная точки на осях координат, можно построить единственную точку М на плоскости, для которой Р и Q являются проекциями на эти оси. Таким образом, определение положения точки М плоскости сводится к определению положений ее проекций Р и Q на координатные оси.
Но мы уже знаем, что положение точки на оси вполне определяется координатой. Пусть - координата точки Р на оси абсцисс и у - координата точки Q на оси ординат . Числа х и у вполне определяют положение точки М на плоскости и называются координатами точки; при этом называется абсциссой точки М, а у - ее ординатой.
Таким образом, абсциссой точки называется величина направленного отрезка оси Ох, началом которого является начало координат, а концом - проекция точки на эту ось; ординатой точки называется величина направленного отрезка оси Оу, началом которого является начало координат, а концом - проекция точки на ось ординат.
Итак, положение любой точки плоскости вполне определяется заданием пары чисел х и у, первое из которых является абсциссой точки, а второе - ее ординатой.
Координаты точки условимся писать в скобках, рядом с буквой, обозначающей эту точку, ставя на первом месте абсциссу, а на втором - ординату и разделяя их запятой: При указанном на рис. 6 расположении координатных осей для всех точек плоскости, лежащих вправо от оси Оу (оси ординат), абсцисса положительна, а для точек, лежащих влево от оси Оу, - отрицательна. Точки самой оси Оу имеют абсциссу, равную нулю. Совершенно так же точки плоскости, лежащие выше оси Ох (оси абсцисс), имеют положительную ординату у, а точки, лежащие ниже оси отрицательную. Точки самой оси Ох имеют ордииату, равную нулю. Начало координат имеет координаты (0, 0).
Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами (иногда их также называют координатными
углами). Часть плоскости, заключенная между положительными полуосями Ох и Оу, называется первым квадрантом. Дальше нумерация квадрантов идет против часовой стрелки (рис. 7). Для всех точек 1 квадранта для точек II квадранта в III квадранте и в IV квадранте
Координаты, которые принимаются здесь для определения положения точки плоскости, называются прямоугольными координатами, так как точка М плоскости получается пересечением двух прямых РМ и QM (рис. 6), встречающихся под прямым углом, а также декартовыми по имени математика и философа Декарта, который в 1637 году опубликовал первый труд по аналитической геометрии.
Декартова прямоугольная система координат не является единственной координатной системой, позволяющей определять положения точек плоскости (см. § 11 этой главы), но она является наиболее простой и мы в дальнейшем будем пользоваться преимущественно ею. Из описанного метода координат вытекает решение двух основных задач.
Задача I. По данной точке М найти ее координаты.
Из данной точки М опускаем перпендикуляры на оси Основания этих перпендикуляров - точки Р и Q - определят обе искомые координаты. Первая координата точки М, ее абсцисса, равна величине направленного отрезка ОР оси Вторая же координата точки ее ордината, равна величине направленного отрезка OQ оси
Задача И. Зная координаты точки М, построить эту точку.
Отложим по оси Ох от точки О отрезок длиною единиц вправо, если и влево, если Конец этого отрезка - точка Р - будет проекцией искомой точки М на ось Ох, откладывая по оси Оу от точки О отрезок длиною единиц вверх, если и вниз, если получим точку Q - проекцию искомой точки на ось Оу. Зная же Р и Q, легко по этим точкам, как проекциям, построить искомую точку М. Для этого нужно провести через Р и Q прямые, параллельные осям координат; в пересечении этих прямых получится искомая точка
Замечание. Если мы условимся рассматривать направленные отрезки РМ и QM (рис. 6) как отрезки осей, направления которых совпадают с направлениями параллельных им координатных осей, то абсцисса точки М будет выражаться не только величиной отрезка ОР,
но и равной ей величиной отрезка QM. Ордината той же точки будет одинаково выражаться как величиной отрезка OQ, так и равной ей величиной отрезка РМ. Направленные отрезки OP, QM, OQ и РМ будем называть координатными отрезками точки М. Тогда при решении рассмотренных двух основных задач нет необходимости определять обе проекции точки М, достаточно определить только одну, например проекцию на ось абсцисс. Так, в задаче 1 опускаем из данной точки М перпендикуляр на ось абсцисс. Его основание Р определяет проекцию точки М на эту ось. Величина направленного отрезка ОР даст абсциссу данной точки, а величина отрезка РМ - ординату у.
Пример. Построить точку по координатам Откладываем вправо от О по оси абсцисс отрезок длиною в 2 единицы; через конец Р этого отрезка проводим прямую, параллельную оси ординат, и на ней откладываем вниз от Р отрезок длиною в 3 единицы; конец этого отрезка и есть искомая точка М.
Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке плоскости соответствует вполне определенная пара координат х и у и, обратно, всякая пара действительных чисел х, у определяет на плоскости единственную точку, абсцисса которой равна х, а ордината у. Поэтому задать точку, это значит задать ее координаты; найти точку, значит найти ее координаты.
Прямоугольная (другие названия — плоская, двухмерная) система координат, названная по имени французского ученого Декарта (1596—1650) «декартовой системой координат на плоскости», образуется пересечением на плоскости под прямым углом (перпендикулярно) двух числовых осей так, что положительная полуось одной направлена вправо (ось x, или ось абсцисс), а второй — вверх (ось y, или ось ординат).
Точка пересечения осей совпадает с точкой 0 каждой из них и называется началом координат.
Для каждой из осей выбирается произвольный масштаб (единичный отрезок длины). Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел, названная координатами этой точки на плоскости. И наоборот, любой упорядоченной паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.
Первая координата точки называется абсциссой этой точки, а вторая координата — ординатой.
Вся плоскость координат делится на 4 квадранта (четверти). Квадранты расположены от первого до четвертого против часовой стрелки (см. рис.).
Чтобы определить координаты точки, нужно найти ее расстояние до оси абсцисс и оси ординат. Так как расстояние (кратчайшее) определяется по перпендикуляру, то из точки опускаются два перпендикуляра (вспомогательные линии на плоскости координат) на оси так, что точка их пересечения — это и есть место заданной точки в плоскости координат. Точки пересечения перпендикуляров с осями называются проекциями точки на оси координат.
Первый квадрант ограничен положительными полуосями абсцисс и ординат. Следовательно, координаты точек в этой четверти плоскости будут положительными
(знаки « + » и
Например, точка M (2; 4) на рисунке вверху.
Второй квадрант ограничен отрицательной полуосью абсцисс и положительной полуосью ординат. Следовательно, координаты точек по оси абсцисс будут отрицательными (знак «-»), а по оси ординат — положительными (знак « + »).
Например, точка C (-4; 1) на рисунке выше.
Третий квадрант ограничен отрицательной полуосью абсцисс и отрицательной полуосью ординат. Следовательно, координаты точек по оси абсцисс и оси ординат будут отрицательными (знаки «-» и «-»).
Например, точка D (-6; -2) на рисунке выше.
Четвертый квадрант ограничен положительной полуосью абсцисс и отрицательной полуосью ординат. Следовательно, координаты точек по оси абсцисс будут положительными (знак «+»). а по оси ординат - отрицательными (знак «-»).
Например, точка R (3; -3) на рисунке выше.
первую координату точки найдем на оси абсцисс и проведем через нее вспомогательную линию — перпендикуляр;
вторую координату точки найдем на оси ординат и проведем через нее вспомогательную линию - перпендикуляр;
точка пересечения двух перпендикуляров (вспомогательных линий) и будет соответствовать точке с заданными координатами.
Прямоугольная система координат на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Прямые называют осями координат (или координатными осями). Точку пересечения этих прямых называют началом отсчёта и обозначают буквой O.
Обычно одна из прямых горизонтальна, другая — вертикальна. Горизонтальную прямую обозначают как ось x (или Ox) и называют осью абсцисс, вертикальную — ось y (Oy), называют осью ординат. Всю систему координат обозначают xOy.
Точка O разбивает каждую из осей на две полуоси, одну из из которых считают положительной (её обозначают стрелкой), другую — отрицательной.
Каждой точке F плоскости ставится в соответствие пара чисел (x;y) — её координаты.
Координата x называется абсциссой. Она равна Ox, взятому с соответствующим знаком.
Координата y называется ординатой и равна расстоянию от точки F до оси Oy (с соответствующим знаком).
Расстояния до осей обычно (но не всегда) измеряют одной и той же единицей длины.
Точки, расположенные справа от оси y, имеют положительные абсциссы. У точек, которые лежат левее оси ординат, абсциссы отрицательны. Для любой точки, лежащей на оси Oy, её координата x равна нулю.
Точки с положительной ординатой лежат выше оси x, с отрицательной — ниже. Если точка лежит на оси Ox, её координата y равна нулю.
Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями (или координатными углами или квадрантами).
1 координатная четверть
расположена в правом верхнем углу координатной плоскости xOy. Обе координаты точек, расположенных в I четверти, положительны.
Переход от одной четверти к другой ведётся против часовой стрелки.
2 координатная четверть находится в левом верхнем углу. Точки, лежащие во II четверти, имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату.
3 координатная четверть лежит в левом нижнем квадранте плоскости xOy. Обе координаты точек, принадлежащей III координатному углу, отрицательны.
4 координатная четверть — это правый нижний угол координатной плоскости. Любая точка из IV четверти имеет положительную первую координату и отрицательную вторую.
Пример расположения точек в прямоугольной системе координат:
Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат .
Общая декартова система координат (аффинная система координат ) может включать и не обязательно перпендикулярные оси. В честь французского математика Рене Декарта (1596-1662) названа именно такая система координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат - чисел в соответствии единице длины системы координат.
Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.
Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.
С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a ; b ) удовлетворяют уравнению (x - a )² + (y - b )² = R ² .
Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости . Одна из этих осей называется осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат . Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через M x и M y соответственно проекции произвольной точки М на оси Ox и Oy . Как получить проекции? Проведём через точку М Ox . Эта прямая пересекает ось Ox в точке M x . Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy . Эта прямая пересекает ось Oy в точке M y . Это показано на рисунке ниже.
x и y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x и OM y . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 и y = y 0 - 0 . Декартовы координаты x и y точки М абсциссой и ординатой . Тот факт, что точка М имеет координаты x и y , обозначается так: M (x , y ) .
Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта , нумерация которых показана на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.
Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой - в уроке полярная система координат .
Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.
Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве .
Одну из указанных осей называют осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат , третью - осью Oz , или осью аппликат . Пусть M x , M y M z - проекции произвольной точки М пространства на оси Ox , Oy и Oz соответственно.
Проведём через точку М Ox Ox в точке M x . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oy . Эта плоскость пересекает ось Oy в точке M y . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz . Эта плоскость пересекает ось Oz в точке M z .
Декартовыми прямоугольными координатами x , y и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x , OM y и OM z . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 , y = y 0 - 0 и z = z 0 - 0 .
Декартовы координаты x , y и z точки М называются соответственно её абсциссой , ординатой и аппликатой .
Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях xOy , yOz и zOx .
Пример 1.
A (2; -3) ;
B (3; -1) ;
C (-5; 1) .
Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.
Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy , которую ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:
A x (2; 0) ;
B x (3; 0) ;
C x (-5; 0) .
Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (-3; 2) ;
B (-5; 1) ;
C (3; -2) .
Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.
Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox , которую ось ординат пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:
A y (0; 2) ;
B y (0; 1) ;
C y (0; -2) .
Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (2; 3) ;
B (-3; 2) ;
C (-1; -1) .
Ox .
Ox Ox Ox , будет иметь такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox :
A" (2; -3) ;
B" (-3; -2) ;
C" (-1; 1) .
Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с квадрантами - в конце параграфа "Прямоугольная декартова система координат на плоскости") может быть расположена точка M (x ; y ) , если
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (-2; 5) ;
B (3; -5) ;
C (a ; b ) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .
Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (-1; 2) ;
B (3; -1) ;
C (-2; -2) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .
Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy , будет иметь такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy :
A" (1; 2) ;
B" (-3; -1) ;
C" (2; -2) .
Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (3; 3) ;
B (2; -4) ;
C (-2; 1) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.
Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:
A" (-3; -3) ;
B" (-2; 4) ;
C (2; -1) .
Пример 8.
A (4; 3; 5) ;
B (-3; 2; 1) ;
C (2; -3; 0) .
Найти координаты проекций этих точек:
1) на плоскость Oxy ;
2) на плоскость Oxz ;
3) на плоскость Oyz ;
4) на ось абсцисс;
5) на ось ординат;
6) на ось апликат.
1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy :
A xy (4; 3; 0) ;
B xy (-3; 2; 0) ;
C xy (2; -3; 0) .
2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz :
A xz (4; 0; 5) ;
B xz (-3; 0; 1) ;
C xz (2; 0; 0) .
3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz :
A yz (0; 3; 5) ;
B yz (0; 2; 1) ;
C yz (0; -3; 0) .
4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:
A x (4; 0; 0) ;
B x (-3; 0; 0) ;
C x (2; 0; 0) .
5) Проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:
A y (0; 3; 0) ;
B y (0; 2; 0) ;
C y (0; -3; 0) .
6) Проекция точки на ось апликат расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz , а следовательно имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:
A z (0; 0; 5) ;
B z (0; 0; 1) ;
C z (0; 0; 0) .
Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки
A (2; 3; 1) ;
B (5; -3; 2) ;
C (-3; 2; -1) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:
1) плоскости Oxy ;
2) плоскости Oxz ;
3) плоскости Oyz ;
4) оси абсцисс;
5) оси ординат;
6) оси апликат;
7) начала координат.
1) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxy Oxy , будет иметь абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxy :
A" (2; 3; -1) ;
B" (5; -3; -2) ;
C" (-3; 2; 1) .
2) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxz , будет иметь абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxz :
A" (2; -3; 1) ;
B" (5; 3; 2) ;
C" (-3; -2; -1) .
3) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oyz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oyz , будет иметь ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oyz :
A" (-2; 3; 1) ;
B" (-5; -3; 2) ;
C" (3; 2; -1) .
По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты данной точки, но противоположными по знаку.
4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс:
A" (2; -3; -1) ;
B" (5; 3; -2) ;
C" (-3; -2; 1) .
5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат:
A" (-2; 3; -1) ;
B" (-5; -3; -2) ;
C" (3; 2; 1) .
6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси апликат:
A" (-2; -3; 1) ;
B" (-5; 3; 2) ;
C" (3; -2; -1) .
7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно начала координат.
