Тема урока :
«Преобразование выражений, содержащих радикалы»
Цель урока :
Образовательная:
Формирование умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы;
закрепить понятия свойства корня n -ой;
способствовать совершенствованию умений и навыков по работы в Microsoft Office Excel при обработки информации на производстве.
Развивающая:
развитие мыслительных умения: структурировать объекты (выделять составные части объекта и располагать их в иерархическом виде).
развивать творческое (продуктивное) мышление (в процессе составления ребуса),
Воспитательная:
воспитание общей и информационной культуры, трудолюбия, усидчивости, терпения, бережного отношения к компьютерной технике, привитие учащимся навыков самостоятельности в работе.
Тип урока : систематизация знаний
Вид урока: проблемный
Методические приемы: наглядно – иллюстративный: ребус, компьютерное тестирование, практический: выборочное решение примеров, задачи производственной направленности
Оборудование и наглядные средства обучения : компьютерный класс с ОС Windows XP и пакетом программ Microsoft Office 2003,мультимедийный проектор, презентация, компьютерный тест, раздаточный материал (ребус).
Межпредметные связи: математика- информатика- производственное обучение.
Ход урока:
I .Организационный момент : Подготовка учащихся к уроку
(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей), сообщение темы и целей
урока. Слайд1,2
Мотивация.
Слайд3,4
В связи с большим скоплением на производстве цифровых данных обработка информации не возможна без применения вычислительной техники. Операторы ЭВМ обрабатывают информацию с помощью информационных технологий. Сегодня на уроке мы применим ваши математические и профессиональные знания при решении задачи производственной направленности.
Задача:
Вычислите среднее значение коэффициента мощности по цеху, если показания счетчика активной энергии в начале и конце месяца были соответственно 2326 и 2476 Квтч, показания реактивной энергии в начале и конце месяца соответственно 1673 и 1773 КвАрч. Вычисления производить в программе Microsoft Office Excel 2003.
Слайд 5.
Но к решению задачи мы приступим немного позже.
Инструктаж по технике безопасности. Слайд 6.
II .Актуализация опорных знаний:
2.1 Компьютерное тестирование (6 человек, 10 минут)
Слайд 7.
2.2 Фронтальный опрос (с оставшейся группой):
2.2.1 Что такое радикал? Слайд 8.
2.2.3Перечислите:
а)свойства корня n -ой степени. Слайд 9.
б) корень из дроби. Слайд10.
в)Извлечение корня из корня. Слайд 11.
г)основное свойство корня. Слайд 12.
Проверка теста.(При необходимости разбор теста через мультимедиа проектор).
III . Практическая работа.
Слайд 13.
Решите примеры.По ответу в примере выберите соответствующую букву в ребусе, запишите ответ в таблицу. Полученный термин «----»- организованная последовательность действий.
IV .Закрепление пройденного материала.
Преподаватель разбирает решение задачи на доске.
Слайд 14.
Для того, чтобы вычислить среднее значение коэффициента мощности по цеху, которое не должно превышать 0,99-0,75 (только в этом случае нет простоя оборудования), нужно найти косинус угла. Вычисления производятся по Теореме Пифагора(так как треугольник прямоугольный).Первый катет – реактивная энергия, второй катет – активная энергия, гипотенуза – полная энергия. Косинус угла – это отношение активной энергии к полной. А полная энергия – это радикал второго порядка
Учащиеся используя инструкционную карту выполняют работу на компьютере, используя Microsoft Office Excel 2003.
V .Подведение итогов урока:
Сегодня на уроке мы с вами подтвердили слова русского ученого М.В. Ломоносова
“ Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. (М.В.Ломоносов) . Без радикалов не возможно вычислить затраты электроэнергии по предприятию.А обучаясь в данном лицее по профессии «Оператор ЭВМ» и получая на уроках производственного обучения информацию о работе на вычислительной - техникой вы можете обработать любую информацию, пользуясь информационными технологиями. Поэтому слова Натан Ротшильд «Кто владеет информацией, владеет миром» очень актуальны при работе по вашей профессии на любом предприятии или заводе.
Выставление оценок за урок.
VI .Домашнее задание: § 36. №36.17,№36.23Класс: 8
Цели урока:
Учебная:
Развивающая :
Воспитывающая:
Оборудование: компьютер, проектор.
До восьмого класса мы осуществляли над числами пять арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях, мы активно использовали различные свойства этих операций.
В курсе алгебры восьмого класса была введена новая операция – извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Выражения, содержащие операцию извлечения квадратного корня, называются иррациональными.
В большом толковом словаре можно найти следующее определение иррациональности:
С философской точки зрения иррациональность – недоступность разуму, то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, и не может быть выражено в логических понятиях, что оценивается как «сверхразумное». С математической точки зрения иррациональность – несоизмеримость с единицей; не является ни целой, ни дробной величиной.
Действительно ли понятие иррациональности – это что-то «уму не постижимое, несоизмеримое, немыслимое»?
На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.
1) Свойства квадратного корня
Чтобы успешно выполнять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, нужно знать свойства этой операции.
Вспомним эти свойства:
1) Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.
2) Если a≥0, b>0, то справедливо равенство
3) Если a≥0 и n – натуральное число, то
4) При любом a справедливо тождество
Если хорошо знать приёмы преобразования рациональных выражений, приёмы преобразования алгебраических дробей, усвоить определение понятия корня и свойства квадратного корня, уметь вносить множитель под знак квадратного корня, выносить множитель из – под знака квадратного корня, то можно выполнить преобразование любого выражения, содержащего операцию извлечения квадратного корня.
2) Способы преобразования радикалов
Кроме перечисленных теорем при преобразовании радикалов применяются некоторые специальные приёмы, тоже вытекающие из этих теорем, но требующие некоторого навыка.
Первый называется уничтожением иррациональности в знаменателе дроби. Если в знаменателе дроби имеется корень или несколько корней, то обращаться с такой дробью не совсем удобно. Смысл этого приёма заключается в том, что надо подобрать такой множитель, чтобы его произведение на знаменатель не содержало корней.
Второе интересное преобразование радикалов называется преобразованием двойного радикала.
Выражения вида и называют двойными радикалами или сложными радикалами. Преобразовать двойной радикалэто значит избавиться от внешнего радикала.
Справедливы тождества
При 
каждое подкоренное выражение неотрицательно.
Докажем эти равенства(доказывает ученик):
Для этого возведём в квадрат обе части данных выражений, воспользовавшись при этом формулой квадрата суммы (разности) двух чисел и формулой разности квадратов.
Возведем в квадрат левую часть:
Возведем в квадрат правую часть:
=
∙
= =
=
= =
=
=
Заметим, что доказанное тождество позволяет существенно облегчить вычисления и преобразования, если выражение представляет полный квадрат.
1 способ:
Можно выполнить алгебраические действия в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.
Примеры:
=
= = = = =
=
= = = = =
=
= = = = =
2 способ
Можно привести подкоренное выражение к полному квадрату.
Примеры:
Таким образом, если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.
Попробуем решить
НЕ УДАЕТСЯ!!!
3 способ
В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, то можно использовать готовую формулу сложного радикала
Примеры:
Преобразуйте выражения, содержащие двойные радикалы:
Преобразовать двойные радикалы можно следующим образом:
Дома вы преобразуете двойные радикалы разными способами (раздать листы с заданиями).
Урок окончен. Спасибо за урок!
Практическое занятие
Тема: Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих радикалы.
Цели :
Образовательная: продолжить формирование у студентов умений применять свойства степеней и корней при преобразовании выражений.
Воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению задач.
Развивающая: развитие логического мышления, навыков сравнительного анализа.
Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, записи на доске, плакаты с формулами по теме: «Степени» и «Корни», индивидуальные карточки-задания.
Использование элементов педагогических технологий:
1. сотрудничества;
2. здоровьесберегающих (чередование видов деятельности);
3. информационно-коммуникационных;
4. развивающих;
5. личностно-ориентированных.
Результативность:
формирование компетенций: ценностно-смысловой, учебно-познавательной, коммуникативной, личного самосовершенствования.
План занятия.
1) Подготовительный этап.
1) Проверка усвоения пройденного материала фронтально (или индивидуально) по следующим вопросам (на экран проектируются вопросы, на которые студенты отвечают устно).
1. Что значит возвести число в степень n?
2. Как перемножить две степени с одинаковыми основаниями?
3. Как разделить две степени с одинаковыми основаниями?
4. Как возвести степень в степень?
5. Как извлечь корень из степени?
6. Чему равна нулевая степень числа?
7. Как найти степень с отрицательным показателем?
9. Как найти корень с дробным показателем?
10. Сформулируйте основное свойство корня.
11. Как извлечь корень из произведения?
12. Как извлечь корень из дроби?
13. Как извлечь корень из степени?
14. Как производится умножение корней одинаковой степени?
15. Как производится умножение корней разных степеней?
16. Как производится деление корней одинаковой степени?
17. Как производится возведение корня в степень?
2) Повторить:
| свойства корней | свойства степеней |
2) Теоретический этап.
Применение знаний при решении типовых заданий.
Задание 1 . Привести к общему показателю корни:
Задание 2.
Задание 3. Извлечь корень:
Задание 4. Выполните действия:
Задание 5 . Вычислите:
3) Практический этап.
Самостоятельное применение умений и знаний.
Провести самостоятельную работу в 15 вариантах.
1. Привести к общему показателю корни:
2.Сократить показатели корней и подкоренных выражений:
3. Извлечь корень:
4. Выполните действия:
5. Вычислите:
Список литературы.
1. Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10-11 классы. - М., 2014.
2. Богомолов Н.В. Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014.
Свойства корней лежат в основе двух следующих преобразований, называемых внесением под знак корня и вынесением из-под знака корня, к рассмотрению которых мы и переходим.
Внесение множителя под знак подразумевает замену выражения , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, тождественно равным выражением, имеющим вид или .
Например, иррациональное выражение после внесения множителя 2 под знак корня принимает вид .
Теоретические основы этого преобразования, правила его проведения, а также решения всевозможных характерных примеров даны в статье внесение множителя под знак корня .
Преобразованием, в известном смысле обратным внесению множителя под знак корня, является вынесение множителя из-под знака корня. Оно состоит в представлении корня в виде произведения при нечетных n или в виде произведения при четных n , где B и C – некоторые числа или выражения.
За примером вернемся в предыдущий пункт: иррациональное выражение после вынесения множителя из-под знака корня принимает вид . Другой пример: вынесение множителя из-под знака корня в выражении дает произведение , которое можно переписать в виде .
На чем базируется это преобразование, и по каким правилам оно проводится, разберем в отдельной статье вынесение множителя из-под знака корня . Там же приведем решения примеров и перечислим способы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя.
Иррациональные выражения могут содержать дроби, в числителе и знаменателе которых присутствуют корни. С такими дробями можно проводить любые из основных тождественных преобразований дробей .
Во-первых, ничто не мешает работать с выражениями в числителе и знаменателе. В качестве примера рассмотрим дробь . Иррациональное выражение в числителе, очевидно, тождественно равно , а, обратившись к свойствам корней, выражение в знаменателе можно заменить корнем . В результате исходная дробь преобразуется к виду .
Во-вторых, можно изменить знак перед дробью, изменив знак числителя или знаменателя. Например, имеют место такие преобразования иррационального выражения: 
.
В-третьих, иногда возможно и целесообразно провести сокращение дроби. К примеру, как отказать себе в удовольствии сократить дробь 
на иррациональное выражение , в результате получаем 
.
Понятно, что во многих случаях, прежде чем выполнить сокращение дроби, выражения в ее числителе и знаменателе приходится раскладывать на множители, чего в простых случаях позволяют добиться формулы сокращенного умножения. А иногда сократить дробь помогает замена переменной, позволяющая от исходной дроби с иррациональностью перейти к рациональной дроби, работать с которой комфортнее и привычнее.
Для примера возьмем выражение . Введем новые переменные и , в этих переменных исходное выражение имеет вид . Выполнив в числителе
