1. Случайные события
Теория вероятностей - это раздел математики изучающий закономерности массовых случайных событий.
Случайным называется событие, наступление которого нельзя гарантировать. Случайность того или иного события определяется множеством причин, которые существуют объективно, но учесть их все, а также степень их влияния на изучаемое событие, невозможно. К таким случайным событиям относятся: выпадание того или иного числа при бросании игральной кости, выигрыш в лотереи, количество больных, записавшихся на прием к врачу и т.п.
И хотя в каждом конкретном случае трудно предсказать исход испытания, при достаточно большом числе наблюдений можно установить наличие некоторой закономерности. Подбрасывая монету, можно заметить, что число выпадания орла и решки примерно одинаково, а при бросании игральной кости различные грани также появляются, примерно одинаково. Это говорит о том, что случайным явлениям присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. Правильность этого подтверждает закон больших чисел, который лежит в основе теории вероятностей.
Рассмотрим основные термины и понятия теории вероятностей.
Испытанием называется совокупность условий, при которых может произойти данное случайное событие.
Событие - это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. События обозначают большими буквами латинского алфавита А, В, С...
Например, событие А - рождение мальчика, событие В – выигрыш в лотерее, событие С - выпадение цифры 4 при бросании игральной кости.
События бывают достоверные, невозможные и случайные.
Достоверное событие - это событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.
Например, если на игральной кости на всех шести гранях. нанести цифру 1, тогда выпадение цифры 1, при бросании кости, есть событие достоверное.
Невозможное событие - это событие, которое в результате испытания не может произойти.
Например, в ранее рассмотренном примере - это выпадение любой цифры, кроме 1.
Случайное событие - это событие, которое при испытаниях может произойти или не произойти. Те или иные события реализуются с различной возможностью.
Например, завтра днем ожидается дождь. В этом примере наступление дня является испытанием, а выпадение дождя - случайное событие.
События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.
Например, при бросании монеты выпадение одновременно орла и решки есть события несовместные.
События называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого.
Например, при игре в карты появление валета и масти пик - события совместные.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаше, чем другое!
Например, выпадение любой грани игрального кубика есть равновозможные события.
События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.
Например, при 10 выстрелах в мишень возможно от 0 до 10 попаданий. При бросании игрального кубика может выпасть цифра от 1 до 6. Эти события образуют полную группу.
События, входящие в полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, называются исходами, или элементарными событиями. Согласно определению достоверного события, можно считать, что событие, состоящее в появлении одного, неважно какого, из событий полной группы, есть событие достоверное.
Например, при бросании одного игрального кубика выпадает число меньше семи. Это пример достоверного события.
Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события.
Два несовместных события А и (читается «не А») называются противоположными, если в результате испытания одно из них должно обязательно произойти.
Например, если стипендия начисляется только при получении на экзамене хороших и отличных оценок, то события «стипендия» и «неудовлетворительная или удовлетворительная оценка» - противоположные.
Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.
Например, при бросании игрального кубика появлению нечетного числа благоприятствуют события, связанные с выпадением чисел 1,3 и 5.
2. Операции над событиями
Операции над событиями аналогичны операциям над множествами.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.
Сумма событий может быть обозначена знаками «+», «È», «или».
На рисунке 1 представлена геометрическая интерпретация с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Сумме событий А + В будет соответствовать вся заштрихованная область.
рис.1
Область пересечения событий А и В соответствует совместным событиям, которые могут произойти одновременно. Аналогично для событий А, В и С имеются совместные события А и В; А и С; В и С; А и В и С, которые могут про изойти одновременно.
Например, в урне находятся белые, красные и синие шары. Возможны следующие события: А - вынут белый шар; В - вынут красный шар; С - вынут синий шар. Событие В + С означает, что произошло событие - вынут цветной шар или вынут не белый шар.
Произведением нескольких событий называется событие которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.
Произведение событий может быть обозначено знаками «х», «∩», «и».
Геометрическая интерпретация произведения событий представлена на рис. 2.
рис.2
Произведением событий А и В будет заштрихованная область пересечения площадей А и В. А для трех событий А и В и С - общая площадь, одновременно входящая во все три события.
Например, пусть из колоды карт наугад извлекается карта. Событие А - вынута карта пиковой масти; В - вынут валет. Тогда событие А×В означает событие - вынут валет пик.
Разностью двух событий А-В называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.
На рис. 3 представлена иллюстрация разности событий с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
рис.3
Разностью двух событий А-В является заштрихованная область А без той части, которая входит в событие В. Разность между произведением событий А и В и событием С будет совместная площадь события А и события В без совместной с нею площадью события С.
Например, пусть при бросании игрального кубика событие А - появление четных чисел (2,4,6), а событие В - чисел-кратных 3, т.е. (3, 6). Тогда событие А-В появление чисел (2,4).
3. Определение вероятности события
Случайные события реализуются с различной возможностью. Одни происходят чаще, другие - реже. Для количественной оценки возможностей реализации события вводится понятие вероятности события.
Вероятность события - это число, характеризующее степень возможности появления события при многократном повторении испытаний.
Вероятность обозначается буквой Р (от англ. probability - вероятность). Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия.
Классическое определение вероятности заключается в следующем. Если известны все возможные исходы испытания и нет оснований считать, что одно случайное событие появлялось бы чаще других, т.е. события равновозможны и несовместны, то имеется возможность аналитического определения вероятности события.
Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятствующих исходов т к общему числу равновозможных несовместных исходов п:
Свойства вероятности:
1. Вероятность случайного события А находится между 0 и 1.
2. Вероятность достоверного события равна 1.
.
3. Вероятность невозможного события равна 0.
.
Случайное событие –
Два события несовместны,
Теория вероятностей
Алгебра случайных событий, диаграммы Вьенна-Эйлера.
Сумма событий А и В называется такое событие, которое происходит, когда происходит либо А, либо В, либо оба события.
Произведением А и В называется событие, которое происходит, если в опыте происходят оба события.
Событием Ā, противоположное событию А называется событие, которое происходит всякий раз, когда не наступает событие А.
A\B (дополнение А до В) – происходит А, но не происходит В
Классическое определение вероятности. Комбинаторика.
– классическое определение вероятности.
m – общее число исходов
n – число исходов, благоприятствующих наступлению события А..
Комбинаторика – раздел математики, изучающий расположение объектов в соответствии со специальными правилами и подсчитывает количество способов таких расположений. Комбинаторика возникла в 18 веке. Рассматривается как раздел теории множеств.
Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Аксиома 1. «аксиома неотрицательности» P(A)≥0
Аксиома 2. «аксиома нормированности» P(Ω)=1
Аксиома 3. «аксиома аддитивности» Если события А и В несовместны (АВ=Ø), то P(A+B)=P(A)+P(B)
Теорема о вероятности суммы событий.
Для любых событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (док-во в лекции)
Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы о вероятности произведения событий.
Р(А|В) – вероятность события А, если событие В уже произошло – условная вероятность.
Событие А называют независимым , от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, происходит или нет событие В.
Теорема умножения вероятностей: Р(АВ) = Р(А|В)·Р(В) = Р(В|А)·Р(А)
Теорема умножения вероятностей независимых событий: Р(АВ) = Р(А)·Р(В)
По определению условной вероятности,
Формула полной вероятности.
Есть события Н 1 , Н 2 ,….,Н n попарно несовместные и образуют полную группу. Такие события называют гипотезами
. Пусть есть некоторое событие А. А=АН 1 +АН 2 +…+АН n (слагаемые этой суммы попарно несовместны).
Формула Байеса.
Н 1 , Н 2 ,….,Н n A
Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить «успех», либо не наступить «неудача», причем эти испытания удовлетворяют следующим условиям:
· Каждое испытание случайно относительно события А.т.е. до проведения испытания нельзя сказать, появится А или нет;
· Испытания проводятся в одинаковых с вероятностной точки зрения условиях, т.е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;
· Испытания независимы, т.е. исход любого из них никак не влияет ни исходы других испытаний.
Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или биноминальной схемой, а сами испытания – испытаниями Бернулли.
Для расчета вероятности Р n (к) того, что в серии из n испытаний Бернулли окажется ровно k успешных, применяется формула Бернулли: (k = 0,1,2,…n).
10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.
Случайной величиной называется величина, которая в каждом испытании (при каждом наблюдении) принимает одно из множества своих возможных значений, заранее не известно, какое.
Дискретная с.в. – с.в., множество возможных значений которой конечно или счетно.
Ряд распределения с.в. (ряд распределения вероятности). График ряда распределения задается многоугольником распределения – ломанная, которая соединяет точки с координатами (x i ,p i)
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x k | … |
| P | p 1 | p 2 | p 3 | … | p k | … |
Закон распределения с.в.: p k =P({X=x k })
Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.
Случайное событие – событие, которое в условиях опыта оно может произойти, а может и не произойти. Причем заранее неизвестно, произойдет оно или нет.
Два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого в том же опыте.
Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Основные понятия теории вероятностей были заложены в переписке Паскалем и Ферма. Эти понятия зародились в результате попыток математически описать азартные игры.
Вряд ли многие люди задумываются, можно ли просчитать события, которые в той или иной мере случайны. Выражаясь простыми словами, реально ли узнать, какая сторона кубика в выпадет в следующий раз. Именно этим вопросом задались два великих ученых, положившие начало такой науке, как теория вероятности, вероятность события в которой изучается достаточно обширно.
Если попытаться дать определение такому понятию, как теория вероятности, то получится следующее: это один из разделов математики, который занимается изучением постоянства случайных событий. Ясное дело, данное понятие толком не раскрывает всю суть, поэтому необходимо рассмотреть ее более детально.
Хотелось бы начать с создателей теории. Как было выше упомянуто, их было двое, это и Именно они одни из первых попытались с использованием формул и математических вычислений просчитать исход того или иного события. В целом же зачатки этой науки проявлялись еще в средневековье. В то время разные мыслители и ученые пытались проанализировать азартные игры, такие как рулетка, кости и так далее, тем самым установить закономерность и процентное соотношение выпадения того или иного числа. Фундамент же был заложен в семнадцатом столетии именно вышеупомянутыми учеными.
Поначалу их труды нельзя было отнести к великим достижениям в этой области, ведь все, что они сделали, это были попросту эмпирические факты, а опыты ставились наглядно, без использования формул. Со временем получилось добиться больших результатов, которые появились вследствие наблюдения за бросанием костей. Именно этот инструмент помог вывести первые внятные формулы.
Нельзя не упомянуть о таком человеке, как Христиан Гюйгенс, в процессе изучения темы, носящей название "теория вероятности" (вероятность события освещается именно в этой науке). Данная персона очень интересна. Он, так же как и представленные выше ученые, пытался в виде математических формул вывести закономерность случайных событий. Примечательно, что делал он это не совместно с Паскалем и Ферма, то есть все его труды никак не пересекались с этими умами. Гюйгенс вывел
Интересен тот факт, что его работа вышла задолго до результатов трудов первооткрывателей, а точнее, на двадцать лет раньше. Среди обозначенных понятий известнее всего стали:
Также нельзя не вспомнить который тоже внес весомый вклад в изучении проблемы. Проводя свои, ни от кого не зависящие испытания, он сумел представить доказательство закона больших чисел. В свою очередь, ученые Пуассон и Лаплас, которые работали в начале девятнадцатого столетия, смогли доказать изначальные теоремы. Именно с этого момента для анализа ошибок в ходе наблюдений начали использовать теорию вероятностей. Стороной обойти данную науку не смогли и русские ученые, а точнее Марков, Чебышев и Дяпунов. Они, исходя из проделанной работы великих гениев, закрепили данный предмет в качестве раздела математики. Трудились эти деятели уже в конце девятнадцатого столетия, и благодаря их вкладу, были доказаны такие явления, как:
Итак, с историей зарождения науки и с основными персонами, повлиявшими на нее, все более или менее понятно. Сейчас же пришло время конкретизировать все факты.
Перед тем как касаться законов и теорем, стоит изучить основные понятия теории вероятностей. Событие в ней занимает главенствующую роль. Данная тема довольно объемная, но без нее не удастся разобраться во всем остальном.
Событие в теории вероятности - этолюбая совокупность исходов проведенного опыта. Понятий данного явления существует не так мало. Так, ученый Лотман, работающий в этой области, высказался, что в данном случае речь идет о том, что «произошло, хотя могло и не произойти».
Случайные события (теория вероятности уделяет им особое внимание) - это понятие, которое подразумевает абсолютно любое явление, имеющее возможность произойти. Или же, наоборот, этот сценарий может не случиться при выполнении множества условий. Также стоит знать, что захватывают весь объем произошедших явлений именно случайные события. Теория вероятности указывает на то, что все условия могут повторяться постоянно. Именно их проведение получило название "опыт" или же "испытание".
Достоверное событие - это то явление, которое в данном испытании на сто процентов произойдет. Соответственно, невозможное событие - это то, которое не случится.
Совмещение пары действий (условно случай A и случай B) есть явление, которое происходит одновременно. Они обозначаются как AB.
Сумма пар событий А и В - это С, другими словами, если хотя бы одно из них произойдет (А или В), то получится С. Формула описываемого явления записывается так: С = А + В.
Несовместные события в теории вероятности подразумевают, что два случая взаимно исключают друг друга. Одновременно они ни в коем случае не могут произойти. Совместные события в теории вероятности - это их антипод. Здесь подразумевается, что если произошло А, то оно никак не препятствует В.
Противоположные события (теория вероятности рассматривает их очень подробно) просты для понимания. Лучше всего разобраться с ними в сравнении. Они почти такие же, как и несовместные события в теории вероятности. Но их отличие заключается в том, что одно из множества явлений в любом случае должно произойти.
Равновозможные события - это те действия, возможность повтора которых равна. Чтобы было понятней, можно представить бросание монеты: выпадение одной из ее сторон равновероятно выпадению другой.
Благоприятствующее событие легче рассмотреть на примере. Допустим, есть эпизод В и эпизод А. Первое - это бросок игрального кубика с появлением нечетного числа, а второе - появление числа пять на кубике. Тогда получается, что А благоприятствует В.
Независимые события в теории вероятности проецируются только на два и больше случаев и подразумевают независимость какого-либо действия от другого. Например, А - выпадение решки при бросании монеты, а В - доставание валета из колоды. Они и есть независимые события в теории вероятности. С этим моментом стало понятнее.
Зависимые события в теории вероятности также допустимы лишь для их множества. Они подразумевают зависимость одного от другого, то есть явление В может произойти только в том случае, если А уже произошло или же, наоборот, не произошло, когда это - главное условие для В.
Исход случайного эксперимента, состоящего из одного компонента, - это элементарные события. Теория вероятности поясняет, что это такое явление, которое совершилось лишь единожды.
Итак, выше были рассмотрены понятия "событие", "теория вероятности", определение основным терминам этой науки также было дано. Сейчас же пришло время ознакомиться непосредственно с важными формулами. Эти выражения математически подтверждают все главные понятия в таком непростом предмете, как теория вероятности. Вероятность события и здесь играет огромную роль.
Начать лучше с основных И перед тем как приступить к ним, стоит рассмотреть, что это такое.
Комбинаторика - это в первую очередь раздел математики, он занимается изучением огромного количества целых чисел, а также различных перестановок как самих чисел, так и их элементов, различных данных и т. п., ведущих к появлению ряда комбинаций. Помимо теории вероятности, эта отрасль важна для статистики, компьютерной науки и криптографии.
Итак, теперь можно переходить к представлению самих формул и их определению.
Первой из них будет выражение для числа перестановок, выглядит оно следующим образом:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
Применяется уравнение только в том случае, если элементы различаются лишь порядком расположения.
Теперь будет рассмотрена формула размещения, выглядит она так:
A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!
Это выражение применимо уже не только лишь к порядку размещения элемента, но и к его составу.
Третье уравнение из комбинаторики, и оно же последнее, называется формулой для числа сочетаний:
C_n^m = n ! : ((n - m))! : m !
Сочетанием называются выборки, которые не упорядочены, соответственно, к ним и применяется данное правило.
С формулами комбинаторики получилось разобраться без труда, теперь можно перейти к классическому определению вероятностей. Выглядит это выражение следующим образом:
В данной формуле m - это число условий, благоприятствующих событию A, а n - число абсолютно всех равновозможных и элементарных исходов.
Существует большое количество выражений, в статье не будут рассмотрены все, но затронуты будут самые важные из них такие, как, например, вероятность суммы событий:
P(A + B) = P(A) + P(B) - эта теорема для сложения только несовместных событий;
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а эта для сложения только совместимых.
Вероятность произведения событий:
P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - эта теорема для независимых событий;
(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а эта для зависимых.
Закончит список формула событий. Теория вероятностей рассказывает нам о теоремеБайеса, которая выглядит так:
P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,...,n
В данной формуле H 1 , H 2 , …, H n - это полная группа гипотез.
Если тщательно изучить любой раздел математики, в нем не обходится без упражнений и образцов решений. Так и теория вероятности: события, примеры здесь являются неотъемлемым компонентом, подтверждающим научные выкладки.
Допустим, в карточной колоде есть тридцать карт, начиная с номинала один. Далее вопрос. Сколько есть способов сложить колоду так, чтобы карты с номиналом один и два не были расположены рядом?
Задача поставлена, теперь давайте перейдем к ее решению. Для начала нужно определить число перестановок из тридцати элементов, для этого берем представленную выше формулу, получается P_30 = 30!.
Исходя из этого правила, мы узнаем, сколько есть вариантов сложить колоду по-разному, но нам необходимо вычесть из них те, в которых первая и вторая карта будут рядом. Для этого начнем с варианта, когда первая находится над второй. Получается, что первая карта может занять двадцать девять мест - с первого по двадцать девятое, а вторая карта со второго по тридцатое, получается всего двадцать девять мест для пары карт. В свою очередь, остальные могут принимать двадцать восемь мест, причем в произвольном порядке. То есть для перестановки двадцати восьми карт есть двадцать восемь вариантов P_28 = 28!
В итоге получается, что если рассматривать решение, когда первая карта находится над второй, лишних возможностей получится 29 ⋅ 28! = 29!
Используя этот же метод, нужно вычислить число избыточных вариантов для того случая, когда первая карта находится под второй. Получается также 29 ⋅ 28! = 29!
Из этого следует, что лишних вариантов 2 ⋅ 29!, в то время как необходимых способов сбора колоды 30! - 2 ⋅ 29!. Остается только лишь посчитать.
30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28
Теперь нужно перемножать между собой все числа от одного до двадцати девяти, после чего в конце умножить все на 28. Ответ получается 2,4757335 ⋅〖10〗^32
В данной задаче необходимо выяснить, сколько есть способов, чтобы поставить пятнадцать томов на одной полке, но при условии, что всего томов тридцать.
В этой задаче решение немного проще, чем в предыдущей. Используя уже известную формулу, необходимо вычислить суммарное число расположений из тридцати томов по пятнадцать.
A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000
Ответ, соответственно, будет равен 202 843 204 931 727 360 000.
Теперь возьмем задачу чуть сложнее. Необходимо узнать, сколько есть способов расставить тридцать книг на двух книжных полках, при условии, что на одной полке могут находиться лишь пятнадцать томов.
Перед началом решения хотелось бы уточнить, что некоторые задачи решаются несколькими путями, так и в этой есть два способа, но в обоих применена одна и та же формула.
В этой задаче можно взять ответ из предыдущей, ведь там мы вычислили, сколько раз можно заполнить полку на пятнадцать книг по-разному. Получилось A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.
Вторую же полку рассчитаем по формуле перестановки, ведь в нее помещается пятнадцать книг, в то время как всего остается пятнадцать. Используем формулу P_15 = 15!.
Получается, что в сумме будет A_30^15 ⋅ P_15 способов, но, помимо этого, произведение всех чисел от тридцати до шестнадцати надо будет умножить на произведение чисел от одного до пятнадцати, в итоге получится произведение всех чисел от одного до тридцати, то есть ответ равен 30!
Но эту задачу можно решить и по-иному - проще. Для этого можно представить, что есть одна полка на тридцать книг. Все они расставлены на этой плоскости, но так как условие требует, чтобы полок было две, то мы одну длинную пилим пополам, получается две по пятнадцать. Из этого получается что вариантов расстановки может быть P_30 = 30!.
Сейчас будет рассмотрен вариант третьей задачи из комбинаторики. Необходимо узнать, сколько способов есть, чтобы расставить пятнадцать книг при условии, что выбирать необходимо из тридцати абсолютно одинаковых.
Для решения будет, конечно же, применена формула для числа сочетаний. Из условия становится понятным, что порядок одинаковых пятнадцати книг не важен. Поэтому изначально нужно выяснить общее число сочетаний из тридцати книг по пятнадцать.
C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520
Вот и все. Используя данную формулу, в кратчайшее время удалось решить такую задачу, ответ, соответственно, равен 155 117 520.
С помощью формулы, указанной выше, можно найти ответ в несложной задаче. Но это поможет наглядно увидеть и проследить ход действий.
В задаче дано, что в урне есть десять абсолютно одинаковых шариков. Из них четыре желтых и шесть синих. Из урны берется один шарик. Необходимо узнать вероятность доставания синего.
Для решения задачи необходимо обозначить доставание синего шарика событием А. Данный опыт может иметь десять исходов, которые, в свою очередь, элементарные и равновозможные. В то же время из десяти шесть являются благоприятствующими событию А. Решаем по формуле:
P(A) = 6: 10 = 0,6
Применив эту формулу, мы узнали, что возможность доставания синего шарика равна 0,6.
Сейчас будет представлен вариант, который решается с использованием формулы вероятности суммы событий. Итак, в условии дано, что есть два ящика, в первом находится один серый и пять белых шариков, а во втором - восемь серых и четыре белых шара. В итоге из первого и второго короба взяли по одному из них. Необходимо узнать, каков шанс того, что доставаемые шарики будут серого и белого цвета.
Чтобы решить данную задачу, необходимо обозначить события.
По условию задачи необходимо, чтобы случилось одно из явлений: АВ’ или же А’В. Используя формулу, получаем: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.
Сейчас была использована формула по умножению вероятности. Далее, чтобы узнать ответ, необходимо применить уравнение их сложения:
P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.
Вот так, используя формулу, можно решать подобные задачи.
В статье была представлена информация по теме "Теория вероятности", вероятность события в которой играет важнейшую роль. Конечно же, не все было учтено, но, исходя из представленного текста, можно теоретически ознакомиться с данным разделом математики. Рассматриваемая наука может пригодиться не только в профессиональном деле, но и в повседневной жизни. С ее помощью можно просчитать любую возможность какого-либо события.
В тексте были затронуты также знаменательные даты в истории становления теории вероятности как науки, и фамилии людей, чьи труды были в нее вложены. Вот так человеческое любопытство привело к тому, что люди научились просчитывать даже случайные события. Когда-то они просто заинтересовались этим, а сегодня об этом уже знают все. И никто не скажет, что ждет нас в будущем, какие еще гениальные открытия, связанные с рассматриваемой теорией, будут совершены. Но одно можно сказать точно - исследования на месте не стоят!
Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом .
Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий W (элементарное событие соответствует элементарному исходу).
Случайными событиями (событиями), будем называть подмножества пространства элементарных событий W .
Пример 1. Подбросим монету один раз. Монета может упасть цифрой вверх - элементарное событие w ц (или w 1), или гербом - элементарное событие w Г (или w 2). Соответствующее пространство элементарных событий W состоит из двух элементарных событий:
W = {w ц,w Г } или W = {w 1 ,w 2 }.
Пример 2. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 }, где w i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, A W .
Пример 3. На отрезке наугад (случайно) поставлена точка. Измеряется расстояние точки от левого конца отрезка. В этом опыте пространство элементарных событий W = - множество действительных чисел на единичном отрезке.
В более точных, формальных терминах элементарные события и пространство элементарных событий описывают следующим образом.
Пространством элементарных событий называют произвольное множество W , W ={w }. Элементы w этого множества W называют элементарными событиями.
Понятия элементарное событие, событие, пространство элементарных событий , являются первоначальными понятиями теории вероятностей. Невозможно привести более конкретное описание пространства элементарных событий. Для описания каждой реальной модели выбирается соответствующее пространство W .
Событие W называется достоверным событием.
Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда .
Пример 4. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е. W = {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 }, где w i - выпадение i очков, - достоверное событие.
Невозможным событием называется пустое множество .
Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда .
Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда .
Пример 5. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .
Противоположным событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не произошло. Обозначается , .
Пример 6. Бросаем один раз игральную кость. Событие A тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь W = {w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 }, где w i - выпадение i очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, = .
Несовместными событиями называются события
A и B , для которых A B = .Пример 7. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, событие B - выпадение числа очков, меньшего двух. Событие A B состоит в выпадении четного числа очков, меньшего двух. Это невозможно, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, B = {w 1 }, A B = , т.е. события A и B - несовместны.
Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.
Пример 8. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 }, где элементарное событие w i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A B B = {w 5 , w 6 }.
Событие A + B = {w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 } состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A , либо событие B. Очевидно, что A + B W .
Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB .
Пример 9. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = { w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 }, где элементарное событие w i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5 , w 6 }.
Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A и событие B, A B = {w 6 } A B W .
Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих A , но не принадлежащих B. Обозначается A\B .
Пример 10. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5 , w 6 }. Событие A\ B = {w 2 ,w 4 } состоит в том, что выпало четное число очков, не превышающее четырех, т.е. произошло событие A и не произошло событие B, A\B W .
Очевидно, что
A + A = A, AA = A, 
.
Нетрудно доказать равенства:
, (A+B )C= AC + BC .
Определения суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последовательности событий:
, событие, состоящее
из элементарных событий, каждое из которых
принадлежит хотя бы одному из;
, событие, состоящее
из элементарных событий, каждое из которых
принадлежит одновременно всем .
Пусть W - произвольное пространство элементарных событий, а - такая совокупность случайных событий, для которой справедливо: W , AB, A+B и A\B, если A и B.
Числовая функция P, определенная на совокупности событий , называется вероятностью, если: (A ) 0 для любого A из ; (W ) = 1;
Тройку называют вероятностным пространством .
Тема 5: Элементы теории вероятностей
Ни телеграммы нету, ни письма.
Но есть игра случайности слепой.
И если просто выйдешь на перрон,
То кто-нибудь приедет непременно.
В. Незвал
Введение
Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что...», «это маловероятно», «можно утверждать со стопроцентной вероятностью, что...», когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т.п. Но очень часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называется теорией вероятностей.
Ее основателями считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля. Эти французские ученые XVII века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом, или, проще, комбинаторикой.
Однако мы не будем сейчас говорить ни о предмете, ни о содержании теории вероятностей и комбинаторики, а просто приведем пример, который иллюстрирует все вышесказанные слова.
Начальник написал 10 различных писем и поручил своему помощнику надписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт? Ответ оказывается на удивление большим: вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%!
Случайные события и их вероятности
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием .
Например, многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали представляют собой испытания.
Результат этого действия или наблюдения будем называть событием .
Например, появление цифры при подбрасывании монеты, попадание в мишень при выстреле являются событиями.
Если нас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных, то будем называть его искомым .
События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита.
Во многих играх используют игральный кубик. У кубика 6 граней, на каждой грани отмечено различное количество точек – от 1 до 6. Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Довольно часто точки на грани кубика заменяют соответствующим числом и тогда говорят о выпадении 1, 2 или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:
1) событие А - выпадет цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;
2) событие В - выпадет цифра 7, 8 или 9;
3) событие С - выпадет цифра 1.
Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Вообще, событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием .
Событие 5, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто невозможно. Вообще, событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием .
А как вы думаете, событие С, предсказанное в третьем случае, наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может как наступить, так и не наступить, называют случайным событием .
Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: «По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом "случайный". Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах».
Мы последуем этому совету.
Пример 1 . Все двузначные числа написаны на карточках. Петя случайным образом выбрал одну карточку. Охарактеризуйте как достоверные, невозможные или случайные следующие события:
а) событие А – на выбранной карточке оказалось простое число;
б) событие В – на карточке оказалось составное число;
в) событие С – на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни составным;
г) событие D – на карточке оказалось четное или нечетное число.
Решение . События А и В случайные, так как они могут произойти, а могут и не произойти. Событие С невозможно: вспомните определение простого и составного числа. Событие D достоверно, так как любое двузначное число или четно, или нечетно.
Думая про наступление достоверного события, вы слово «вероятно» использовать, скорее всего, не будете. Например, если сегодня среда, то завтра четверг, это – достоверное событие. Вы в среду не станете говорить: «Вероятно, завтра четверг», вы скажете коротко и ясно: «Завтра четверг». Правда, если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: «Со стопроцентной вероятностью утверждаю, что завтра четверг». Напротив, если сегодня среда, то наступление назавтра пятницы – невозможное событие. Оценивая это событие в среду, вы можете сказать так: «Уверен, что завтра не пятница». Или так: «Невероятно, что завтра пятница». Ну а если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: «Вероятность того, что завтра пятница, равна нулю». Итак, достоверное событие – это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т. е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т. д.). Невозможное событие – это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью.
Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни так четко и ясно: это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычно люди используют слова «более вероятно» или «менее вероятно», как говорится, по наитию, опираясь на то, что называют здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.
Первые шаги в этом направлении мы с вами уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события – как нулевая. Учитывая, что 100% равно 1, люди договорились о следующем:
1) вероятность достоверного события считается равной 1;
2) вероятность невозможного события считается равной 0.
А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который так и называется – теория вероятностей.
Проведем следующий опыт. Будем бросать игральный кубик (100 раз) и результат записывать в таблицу.
| т | п | р | |
| 0,19 | |||
| 0,14 | |||
| 0,2 | |||
| 0,14 | |||
| 0,22 | |||
| 0,11 |
Число т означает количество исходов бросания, в которых выпало число очков, указанное в соответствующей строке. Число п – это общее число бросаний кубика (испытаний). Число р называется абсолютной частотой события и находится по формуле: . Если мы продолжим бросать игральный кубик, то можем заметить, что абсолютные частоты для событий «выпадет 1 », «выпадет 2 »… «выпадет 6 » будут становиться примерно одинаковыми, т.е. стремиться к числу 0,1666… = . Абсолютную частоту случайного события называют еще опытной или статистической вероятностью события.
Часто бывает так, что многократное повторение одного и того же опыта невозможно. В этом случае приходит на помощь, так называемая классическая , или доопытная вероятность .
КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА: Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует:
1) найти число N всех возможных исходов данного опыта;
2) принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
3) найти количество N(А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
4) найти частное , оно и будет равно вероятности события А.
Принято вероятность события А обозначать: Р(А). Объяснение такого обозначения очень простое: слово «вероятность» по-французски – probabilite, по-английски – probability. В обозначении используется первая буква слова.
Используя это обозначение, вероятность события А по классической схеме можно найти с помощью формулы .
Часто все пункты приведенной классической вероятностной схемы выражают одной довольно длинной фразой.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания.
Пример 2. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) 4; б) 5; в) четное число очков; г) число очков, большее 4; д) число очков, не кратное трем.
Решение. Всего имеется N = 6 возможных исходов: выпадение грани куба с числом очков, равным 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Мы считаем, что ни один из них не имеет никаких преимуществ перед другими, т. е. принимаем предположение о равновероятности этих исходов.
а) Ровно в одном из исходов произойдет интересующее нас событие А – выпадение числа 4. Значит, N(А) = 1
и 
.
б) Решение и ответ такие же, как и в предыдущем пункте.
в) Интересующее нас событие В
произойдет ровно в трех случаях, когда выпадет число очков 2, 4 или 6. Значит, N(B) = 3
и 
.
г) Интересующее нас событие С произойдет ровно в двух случаях, когда выпадет число очков 5 или 6. Значит, д) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4, и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие наступает ровно в четырех из шести возможных и равновероятных между собой исходах опыта. Поэтому в ответе получается .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Реальный игральный кубик вполне может отличаться от идеального (модельного) кубика, поэтому для описания его поведения требуется более точная и детальная модель, учитывающая преимущества одной грани перед другой, возможное наличие магнитов и т. п. Но «дьявол кроется в деталях», а большая точность ведет, как правило, к большей сложности, и получение ответа становится проблемой. Мы же ограничиваемся рассмотрением простейшей вероятностной модели, где все возможные исходы равновероятны.
Замечание 1. Рассмотрим еще пример. Был задан вопрос: «Какова вероятность выпадения тройки при одном бросании кубика?» Ученик ответил так: «Вероятность равна 0,5». И объяснил свой ответ: «Тройка или выпадет, или нет. Значит, всего есть два исхода и ровно в одном наступает интересующее нас событие. По классической вероятностной схеме получаем ответ 0,5». Есть в этом рассуждении ошибка? На первый взгляд – нет. Однако она все же есть, причем в принципиальном моменте. Да, действительно, тройка или выпадет, или нет, т. е. при таком определении исхода бросания N = 2. Правда и то, что N(А) = 1 и уж, разумеется, верно, что = 0,5, т.е. три пункта вероятностной схемы учтены, а вот выполнение пункта 2) вызывает сомнения. Конечно, с чисто юридической точки зрения, мы имеем право считать, что выпадение тройки равновероятно ее невыпадению. Но вот можем ли мы так считать, не нарушая свои же естественные предположения об «одинаковости» граней? Конечно, нет! Здесь мы имеем дело с правильным рассуждением внутри некоторой модели. Только вот сама эта модель «неправильная», не соответствующая реальному явлению.
Замечание 2 . Рассуждая о вероятности, не упускайте из виду следующее важное обстоятельство. Если мы говорим, что при бросании кубика вероятность выпадения одного очка равна , это совсем не значит, что, кинув кубик 6 раз, вы получите одно очко ровно один раз, бросив кубик 12 раз, вы получите одно очко ровно два раза, бросив кубик 18 раз, вы получите одно очко ровно три раза и т. д. Слово вероятно носит предположительный характер. Мы предполагаем, что, скорее всего, может произойти. Вероятно, если мы бросим кубик 600 раз, одно очко выпадет 100 раз или около 100. Если у вас будет время и желание, проведите эксперимент: бросьте игральный кубик, например, 60 раз и составьте таблицу выпадений очков 1, 2, 3, 4, 5, 6. Скорее всего (вероятнее всего), все числа в вашей таблице будут около 10.
Пример 3. Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика произведение выпавших очков будет: а) кратно 5; б) кратно 6.
Решение . При каждом из двух бросаний кубика возможны 6 исходов. Предполагается, что эти два испытания независимы друг от друга. По правилу умножения получаем, что данный опыт имеет 6 6 = 36 исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. считать, что все N = 36 исходов равновероятны между собой.
Все 36 исходов можно перечислить. Например, с помощью таблицы. В данном случае все исходы – это пары (1; 1), (1; 2), ..., (1; 6), (2; 1), (2; 2), ..., (6; 5), (6; 6).
а) Если на первом месте стоит 5, то при любой второй цифре их произведение кратно 5. Получается шесть вариантов: (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6). Еще шесть вариантов получается, если 5 стоит на втором месте. Так как 5 – простое число, то других вариантов нет.
Вроде бы, ответ 6 + 6 = 12. Но один результат (5; 5) мы посчитали дважды.
Значит, интересующее нас событие А
наступает ровно в 11 из возможных 36 равновероятных между собой исходах, т. е. N(А)
= 11, поэтому 
.
б) Если на первом или на втором месте стоит 6, то произведение выпавших чисел делится на 6, а всего таких вариантов, как и в случае а), будет 11. Но произведение выпавших чисел будет кратно 6 в тех случаях, когда одно из чисел, отличных от 6, - четное, а другое кратно 3. Перечислим благоприятные варианты: (2; 3), (4; 3), (3; 2), (3; 4) – всего 4 варианта. Добавив их к указанным выше 11 вариантам, получим 15 благоприятных исходов, т.е. N(А) =
15. Значит, 
.
Ответ: а) , б) .
Задачи на отыскание вероятностей случайных событий «в два с половиной раза» сложнее задач по комбинаторике. Сначала мы используем комбинаторику при нахождении N – количества всех исходов опыта. Во второй раз комбинаторика нужна при нахождении N(А). При этом во второй раз – это уже более сложная комбинаторика. Наконец, надо еще уметь вычислить значение дроби. Вот и получается «две с половиной комбинаторики».
Теория вероятностей возникла в XVII веке при анализе различных азартных игр. Неудивительно поэтому, что первые примеры носят игровой характер. От примеров с игральными кубиками перейдем к случайному вытаскиванию игральных карт из колоды.
Пример 4. Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?
Решение. У нас имеется множество из 36 элементов. Мы производим выбор трех элементов, порядок которых не важен. Значит, возможно, получение N = исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предположим, что все эти исходы равновероятны.
Среди всех N = исходов нам следует сосчитать те, в которых нет пиковой дамы (событие А). Отложим даму пик в сторону, и из оставшихся 35 карт будем выбирать 3 карты. Получатся все интересующие нас варианты. Значит, N(А) = .
Осталось вычислить нужную вероятность по классическому определению:
А чему равна вероятность того, что среди выбранных трех карт есть пиковая дама? Число всех таких исходов нетрудно посчитать, надо просто из всех исходов N вычесть все те исходы, в которых дамы пик нет, т. е. вычесть найденное в примере 4 число N(А) . Затем эту разность N – N(А) в соответствии с классической вероятностной схемой следует поделить на N . Вот что получим: .
Мы видим, что между вероятностями двух событий имеется определенная связь. Если событие А заключается в отсутствии дамы пик, а событие В состоит в ее наличии среди выбранных трех карт, то
Р(В) = 1 – Р(А)
Р(А) + Р(В) = 1.
К сожалению, в равенстве Р(А) + Р(В) = 1 нет никакой информации о связи событий А и В между собой; эту связь нам приходится держать в уме. Удобнее было бы заранее дать событию В название и обозначение, явно указывающие на его связь с А.
Определение 1. Событие В называют противоположным событию А и обозначают В = , если событие В происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
ТЕОРЕМА 1. Для нахождения исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предположим, что все эти исходы равновероятны между собой.
Если А – интересующее нас событие, то противоположное ему событие состоит в том, что среди выбранных пяти карт нет ни одной карты бубновой масти. Но это значит, что все 5 карт выбраны из других карточных мастей, т. е. из 36 - 9 = = 27 карт. Значит, N(А) = и можно легко найти вероятность события А : .
Теперь по теореме находим вероятность самого события А: Р(А) = 1 - Р() ≈ 0,786.
Как видим, вероятность довольна высока. Кстати, полезное напоминание: без калькулятора вычислить вероятность более или менее сложного события бывает затруднительно.
Ответ: ≈ 0,786.
В теории вероятностей используются различные стандартные игровые ситуации. Это бросание монеты или игрального кубика, вытаскивание карт из колоды. К этому списку добавим еще одну, назовем ее «урновая схема»: в темном ящике (урне) лежат неотличимые на ощупь шары различного цвета. Один или несколько шаров вытаскивают. Вычисляют вероятность того, что выбранные шары имеют какой-то определенный набор цветов.
Пример 6. В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих 5 шаров ровно 3 белых?
Решение. Шары в урне предполагаем неразличимыми, из 21 шара случайным образом производят выбор 5 шаров, причем порядок выбора не важен. Значит, существует N = способов такого выбора. Считаем все эти способы равновероятными.
Интересующее нас событие А наступает, когда 3 из 5 шаров – белые, а 2 – рыжие. Из 10 белых шаров, имеющихся в урне, 3 шара можно выбрать способами, а из 11 рыжих шаров 2 шара – способами. Выбор разноцветных шаров считаем независимым. По правилу умножения получаем, что нужный нам состав шаров можно выбрать N(А) = способами. Остается посчитать вероятность.
(почти одна треть).
Ответ: ≈ 0,324.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08
