Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.

Вдоль горизонтальной оси откладывается колеблющаяся величина ξ (любой физической природы). Вектор, отложенный из точки 0 равен по модулю амплитуде колебания A и направлен под углом α , равным начальной фазе колебания, к оси ξ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция этого вектора на ось ξ дает значение колеблющейся величины в произвольный момент времени.

Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления

Пусть складывается два колебания: строим векторные диаграммы и складываем векторы:

По теореме косинусов

Так как то

Очевидно (см. диаграмму), что начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:

Сложение колебаний близких частот

Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е.

Из тригонометрии:

Применяя к нашему случаю, получим:

График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω .

Амплитуда из-за наличия знака модуля (амплитуда всегда > 0) частота с которой изменяется амплитуда, равна не Δω / 2 , а в два раза выше - Δω.

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?

Это уравнения траектории в параметрическом виде. Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t.

Из первого уравнения: ,

Из второго

После подстановки

Избавимся от корня:

- это уравнение эллипса

Ч
астные случаи:

27. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.

Затухание свободных колебаний

Вследствие сопpотивления свободные колебания всегда pано или поздно затухают. Рассмотpим пpоцесс затухания колебаний. Допустим, что сила сопpотивления пpопоpциональна скоpости тела. (коэффициент пpопоpциональности обозначен чеpез 2mg из сообpажений удобства, котоpое выявится позднее). Будем иметь в виду случай, когда за пеpиод колебания его затухание невелико. Тогда можно считать, что затухание слабо скажется на частоте, но отpазится на амплитуде колебаний. Тогда уpавнение затухающих колебаний можно пpедставить в виде Здесь А(t) пpедставляет некотоpую убывающую функцию, котоpую тpебуется опpеделить. Будем исходить из закона сохpанения и пpевpащения энеpгии. Изменение энеpгии колебаний pавно сpедней за пеpиод pаботе силы сопpотивления, т.е. Разделим обе части уpавнения на dt. Спpава будем иметь dx/dt, т.е. скоpость v, а слева получится пpоизводная от энеpгии по вpемени. Следовательно, с учетом Но сpедняя кинетическая энеpгия pавна половине полной энеpгии. Поэтому можно записать, чтоpазделим обе его части на E и умножим на dt. Получим, чтоПpоинтегpиpуем обе части полученного уpавнения: После потенциpования получим Постоянная интегpиpования С находится из начальных условий. Пусть пpи t = 0 Е = Е0, тогда Е0 = С. Следовательно, Но Е ~А^2. Поэтому и амплитуда затухающих колебаний убывает по показательному закону:

Итак, вследствие сопpотивления амплитуда колебаний убывает и они в целом выглядят так, как пpедставлено на рис. 4.2. Коэффициент называтся коэффициентом затухания. Однако он не вполне хаpактеpизует затухание. Обычно затухание колебаний хаpактеpизуется декpементом затухания. Последний пока зывает, во сколько pаз уменьшается амплитуда колебаний за вpемя, pавное пеpиоду колебаний. То есть декpемент затухания определяется так:Логаpифм декpемента затухания называется логаpифмическим декpементом, он, очевидно, pавен

Вынужденные колебания

Если колебательная система подвеpгается воздействию внешней пеpиодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий хаpактеp. Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе пpедполагается специальный механизм, котоpый в такт с собственными колебаниями "поставляет" в систему небольшие поpции энеpгии из некотоpого pезеpвуаpа энеpгии. Тем самым поддеpживаются собственные колебания котоpые не затухают. В случае автоколебаний система как бы сама себя подталкивает. Пpимеpом автоколебательной системы могут служить часы. Часы снабжены хpаповым механизмом, с помощью котоpого маятник получает небольшие толчки (от сжатой пpужины) в такт собственным колебаниям. В случае вынужденных колебаний система подталкивается постоpонней силой. Ниже мы остановимся на этом случае, пpедполагая, что сопpотивление в системе невелико и им можно пpенебpечь. В качестве модели вынужденных колебаний будем иметь в виду то же тело, подвешенное на пpужине, на котоpое действует внешняя пеpиодическая сила (напpимеp, сила, имеющая электpомагнитную пpиpоду). Без учета сопpотивления уpавнение движения такого тела в пpоекции на ось х имеет вид: где w* - циклическая частота, В - амплитуда внешней силы. Заведомо известно, что колебания существуют. Поэтому будем искать частное pешение уpавнения в виде синусоидальной функции Подставим функцию в уравнение, для чего дважды продифференцируем по времени . Подстановка приводит к соотношению

Уравнение обpащается в тождество пpи соблюдении тpех условий: . Тогдаи уpавнение вынужденных колебаний можно пpедставить в виде Они пpоисходят с частотой, совпадающей с частотой внешней силы, и их амплитуда задается не пpоизвольно, как в случае свободных колебаний, а сама собой устанавливается. Это устанавливающееся значение зависит от соотношения собственной частоты колебаний системы и частоты внешней силы согласно фоpмуле

На pис. 4.3 изобpажен гpафик зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы. Видно, что амплитуда колебаний существенно возpастает по меpе пpиближения частоты внешней силы к частоте собственных колебаний. Явление pезкого возpастания амплитуды вынужденных колебаний пpи совпадении собственной частоты и частоты внешней силы называетсяpезонансом .

Пpи pезонансе амплитуда колебаний должна быть бесконечно большой. В действительности же пpи pезонансе амплитуда вынужденных колебаний всегда конечна. Это объясняется тем, что в pезонансе и вблизи него наше допущение о пpенебpежимо малом сопpотивлении становится невеpным. Если даже сопpотивление в системе и мало, то в pезонансе оно существенно. Его наличие делает амплитуду колебаний в pезонансе конечной величиной. Таким обpазом, pеальный гpафик зависимости амплитуды колебаний от частоты имеет вид, пpедставленный на pис. 4.4. Чем больше сопpотивление в системе, тем ниже максимум амплитуды в точке pезонанса.

Как пpавило, pезонанс в механических системах - явление нежелательное, и его стаpаются избежать: механические сооpужения, подвеpженные колебаниям и вибрациям, стаpаются сконстpуиpовать таким обpазом, чтобы собственная частота колебаний была далека от возможных значений частот внешних воздействий. Но в pяде устpойств pезонанс используется как явление позитивное. Например, pезонанс электpомагнитных колебаний шиpоко используется в радиосвязи, pезонанс g-лучей - в пpецезионных пpибоpах.

Состояние термодинамической системы. Процессы

Термодинамические состояния и термодинамические процессы

Когда кроме законов механики требуется применение законов термодинамики, систему называют термодинамической системой. Необходимость использования этого понятия возникает, если число элементов системы (например, число молекул газа) весьма велико, и движение отдельных её элементов является микроскопическим по сравнению с движением самой системы или ее макроскопических составных частей. При этом термодинамика описывает макроскопические движения (изменения макроскопических состояний) термодинамической системы.

Параметры, описывающие такое движение (изменения) термодинамической системы, принято разделять на внешние и внутренние. Это разделение весьма условно и зависит от конкретной задачи. Так, например, газ в воздушном шаре с эластичной оболочкой в качестве внешнего параметра имеет давление окружающего воздуха, а для газа в сосуде с жёсткой оболочкой внешним параметром является объём, ограниченный этой оболочкой. В термодинамической системе объём и давление могут изменяться независимо друг от друга. Для теоретического описания их изменения необходимо введение как минимум еще одного параметра - температуры.

В большинстве термодинамических задач трёх параметров достаточно для описания состояния термодинамической системы. В этом случае изменения в системе описываются с помощью трёх термодинамических координат, связанных с соответствующими термодинамическими параметрами.

Равновесным состоянием - состоянием термодинамического равновесия - называется такое состояния термодинамической системы, в котором отсутствуют всякие потоки (энергии, вещества, импульса и т.д.), а макроскопические параметры системы являются установившимися и не изменяются во времени.

Классическая термодинамика утверждает, что изолированная термодинамическая система (предоставленная себе самой) стремится к состоянию термодинамического равновесия и после его достижения не может самопроизвольно из него выйти. Данное утверждение часто называю нулевым началом термодинамики .

Системы, находящиеся в состоянии термодинамического равновесия, обладают следующими свойства ми:

Если две термодинамические системы, имеющие тепловой контакт, находятся в состоянии термодинамического равновесия, то и совокупная термодинамическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Если какая-либо термодинамическая система находится в термодинамическом равновесии с двумя другими системами, то и эти две системы находятся в термодинамическом равновесии друг с другом.

Рассмотрим термодинамические системы, находящиеся в состоянии термодинамического равновесия. Описание систем, находящихся в неравновесном состоянии, то есть в состоянии, когда имеют место макроскопические потоки, занимается неравновесная термодинамика. Переход из одного термодинамического состояния в другое называется термодинамическим процессом . Ниже будут рассматриваться только квазистатические процессы или, что то же самое, квазиравновесные процессы. Предельным случаем квазиравновесного процесса является происходящий бесконечно медленно равновесный процесс, состоящий из непрерывно следующих друг за другом состояний термодинамического равновесия. Реально такой процесс протекать не может, однако если макроскопические изменения в системе происходят достаточно медленно (за промежутки времени, значительно превышающие время установления термодинамического равновесия), появляется возможность аппроксимировать реальный процесс квазистатическим (квазиравновесным). Такая аппроксимация позволяет проводить вычисления с достаточно высокой точностью для большого класса практических задач. Равновесный процесс является обратимым, то есть таким, при котором возвращение к значениям параметров состояния, имевшим место в предыдущий момент времени, должно приводить термодинамическую систему в предыдущее состояние без каких-либо изменений в окружающих систему телах.

Практическое применение квазиравновесных процессов в каких-либо технических устройствах малоэффективно. Так, использование в тепловой машине квазиравновесного процесса, например, происходящего при практически постоянной температуре (см. описание цикла Карно в третьей главе), неминуемо приводит к тому, что такая машина будет работать очень медленно (в пределе - бесконечно медленно) и иметь очень малую мощность. Поэтому на практике квазиравновесные процессы в технических устройствах не используются. Тем не менее, так как предсказания равновесной термодинамики для реальных систем с достаточно высокой точностью совпадают с экспериментально полученными для таких систем данными, то она широко применяется для расчета термодинамических процессов в различных технических устройствах.

Если в ходе термодинамического процесса система возвращается в исходное состояние, то такой процесс называется круговым или циклическим. Круговые процессы, также как и любые другие термодинамические процессы, могут быть как равновесными (а следовательно - обратимыми), так и неравновесными (необратимыми). При обратимом круговом процессе после возвращения термодинамической системы в исходное состояние в окружающих ее телах не возникает никаких термодинамических возмущений, и их состояния остаются равновесными. В этом случае внешние параметры системы после осуществления циклического процесса возвращаются к своим исходным значениям. При необратимом круговом процессе после его завершения окружающие тела переходят в неравновесные состояния и внешние параметры термодинамической системы изменяются.

Решение ряда вопросов, в частности сложение нескольких колебаний одинакового направления (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций), значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, которую обозначим буквой х (рис. 55.1). Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длины а, образующий с осью угол а.

Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от -а до +а, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебания.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания с помощью векторов (рис. 55.2). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор а.

Легко видеть, что проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

Следовательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью как и векторы так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой амплитудой а и начальной фазой а. Из построения видно, что

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот прием бывает особенно полезен, например, в оптике, где световые колебания в некоторой точке определяются как результат наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта.

Формулы (55.2) и (55.3) можно, конечно, получить, сложив выражения (55.1) и произведя соответствующие тригонометрические преобразования. Но примененный нами способ получения этих формул отличается большей простотой и наглядностью.

Проанализируем выражение (55.2) для амплитуда. Если разность фаз обоих колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме а и . Если разность фаз равна или , т. е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна

Если частоты колебаний неодинаковы, векторы а и будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор а пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.

Метод комплексных амплитуд

Положение точки на плоскости можно однозначно задать комплексным числом:

Если точка ($А$) вращается, то координаты этой точки изменяются в соответствии с законом:

запишем $z$ в виде:

где $Re(z)=x$, то есть физическая величина x равна вещественной части комплексного выражения (4). При этом модуль комплексного выражения равен амплитуде колебаний -- $a$, его аргумент равен фазе (${\omega }_0t+\delta $). Иногда при взятии реальной части от $z$ знак операции Re опускают и получают символическое выражение:

Выражение (5) не следует принимать буквально. Часто формально упрощают (5):

где $A=ae^{i \delta}$ -- комплексная амплитуда колебания. Комплексный характер амплитуды $А$ обозначает, что колебание имеет начальную фазу неравную нулю.

Для того чтобы раскрыть физический смысл выражения типа (6), предположим, что частота колебаний (${\omega }_0$) имеет вещественную и мнимую части, и ее можно представить как:

Тогда выражение (6) можно записать как:

В том случае, если ${\omega }2>0,$ то выражение (8) описывает затухающие гармонические колебания с круговой частотой $\omega1$ и показателем затухания ${\omega }_2$. Если ${\omega }_2

Замечание

Над комплексными величинами можно проводить многие математические операции так, как будто величины являются вещественными. Операции возможны, если они сами линейны и вещественны (такими являются сложение, умножение, дифференцирование по вещественной переменной и другие, но не все). Надо помнить, что комплексные величины сами по себе не соответствуют никаким физическим величинам.

Метод векторных диаграмм

Пусть точка $A$ равномерно вращается по окружности радиуса $r$ (рис.1), скорость ее вращения ${\omega }_0$.

Рисунок 1.

Положение точки $А$ на окружности можно задать с помощью угла $\varphi $. Этот угол равен:

где $\delta =\varphi (t=0)$ величина угла поворота радиус-вектора $\overrightarrow{r}$ в начальный момент времени. Если точка $М$ вращается, то ее проекция на $ось X$ движется по диаметру окружности, совершая гармонические колебания между точками $М$ $N$. Абсциссу точки $А$ можно записать как:

Подобным способом можно представлять колебания любых величин.

Необходимо только принять изображение величины, которая совершает колебания абсциссой точки $А$, которая равномерно вращается по окружности. Можно, конечно использовать и ординату:

Замечание 1

Для того чтобы представлять затухающие колебания, надо брать не окружность, а логарифмическую спираль, которая приближается к фокусу. Если скорость приближения движущейся по спирали точки постоянна и очка движется к фокусу, то проекция этой точки на $ось X$ даст формулы затухающих колебаний.

Замечание 2

Вместо точки можно использовать радиус-вектор, который будет равномерно вращаться вокруг начала координат. Тогда величина, которая совершает гармонические колебания, будет изображаться как проекция этого вектора на $ось X$. При этом математические операции над величиной $x$ заменяют операциями над вектором.

Так операцию суммирования двух величин:

удобнее заменить суммированием двух векторов (используя правило параллелограмма). Векторы выбрать так, что их проекции на избранную $ось X$ являются выражениями $x_1\ и\ x_2$. Тогда результат операции суммирования векторов в проекции на ось абсцисс будет равен $x_1+\ x_2$.

Пример 1

Продемонстрируем применение метода векторных диаграмм.

Итак, представим комплексные числа векторами на комплексной плоскости. Величина, изменяющаяся по гармоническому закону, изображена вектором, который вращается с частотой ${\omega }0$ вокруг своего начала против часовой стрелки. Длина вектора равна амплитуде колебаний.

Графический метод решения, например, уравнения:

где $Z=R+i(\omega L-\frac{1}{\omega C})$ -- импеданс, представим с помощью рис.2. На этом рисунке изображена векторная диаграмма напряжений в цепи переменного тока.

Рисунок 2.

Учтем, что умножение комплексной величины на комплексную единицу означает ее поворот на угол $90^0$ против часовой стрелки, а умножение на ($-i$) на тот же угол по часовой стрелке. Из рис.2 ледует, что:

где $-\frac{\pi }{2}\le \varphi \le \frac{\pi }{2}.$ Изменение угла $\varphi $ зависит от соотношения между импедансами элементов цепи и частотами. Внешнее напряжение может изменяться по фазе, от совпадающего с напряжением на индуктивности, до совпадающего с напряжением на емкости. Выражается это обычно в виде отношения между фазами напряжений на элементах цепи и фазой внешнего напряжения:

Фаза напряжения на индуктивности ${(U}L=i\omega LI)$ всегда опережает фазу внешнего напряжения на угол от $0$ до $\pi .$

Фаза напряжения на емкости ${(U}C=-\frac{iI}{\omega C}$) всегда отстает от фазы внешнего напряжения на угол между $0$ и --$\ \pi .$

При этом фаза на сопротивлении может как опережать, так и отставать от фазы внешнего напряжения на угол между- $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2}$.

Векторная диаграмма (рис.2) позволяет сформулировать следующее:

Фаза напряжения на индуктивности опережает фазу силы тока на $\frac{\pi }{2}$.

Фаза напряжения на емкости отстает на $\frac{\eth }{2}\ $от фазы силы тока.

Фаза напряжения на сопротивлении совпадает с фазой силы тока.

Пример 2

Задание: Продемонстрируйте то, что операцию возведения в квадрат нельзя применять к комплексным величинам как к вещественным числам.

Решение:

Допустим, что надо возвести в квадрат вещественное число $x$. Правильный ответ: $x^2$. Формально применим комплексный метод. Произведем замену:

$x\to x+iy$. Возведем полученное выражение в квадрат, получим:

\[{\left(x+iy\right)}^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Вещественная часть выражения (2.1) равна:

\[{Re\left(x+iy\right)}^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Причина ошибки в том, что операция возведения в квадрат не является линейной.

Сложение нескольких колебаний одинакового направления (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций) значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости.

Возьмем ось, которую обозначим “x”. Из точки О, взятой на оси, под углом a, равным начальной фазе колебаний, отложим вектор длины A (рис. 8.3). Спроектируем вектор A на ось x, получим x 0 =Acos a – начальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия. Приведем этот вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью w 0 . Положение этого вектора в любые моменты времени будет характеризоваться углами, равными:

w 0 t 1 +a; w 0 t 2 +a; w 0 t 3 +a; и т.д.

А проекция этого вектора будет перемещаться по оси «x» в пределах от –А до +А. Причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону:

.

Следовательно, проекция конца вектора на некоторую произвольную ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой равной длине вектора, круговой частотой равной угловой скорости вращения вектора и начальной фазой равной углу, образованному вектором с осью в начальный момент времени.

Итак, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью “x” угол равный начальной фазе колебания.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение колеблющегося тела “x” будет суммой смещений x 1 и x 2 , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания с помощью векторов и (рис. 8.4) По правилам сложения векторов строим результирующий вектор . Проекция этого вектора на ось X будет равна сумме проекций слагаемых векторов: x=x 1 +x 2 . Следовательно, вектор представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той угловой скоростью w 0 , что и векторы и , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с с частотой w 0 , амплитудой «а» и начальной фазой a. Из построения следует, что

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот способ отличается большей простотой и наглядностью, чем использование тригонометрических преобразований.

Проанализируем выражение для амплитуды. Если разность фаз обоих колебаний a 2 - a 1 = 0, то амплитуда результирующего колебания равна сумме (а 2 + а 1). Если разность фаз a 2 - a 1 = +p или -p, т.е. колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна .

Если частоты колебаний x 1 и x 2 неодинаковы, векторы и будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью, Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не просто гармоническое колебании, а некоторый сложный колебательный процесс.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Образования и Науки

Республики Казахстан

ВКГТУ им. Д. Серикбаева

Курсовая работа

по дисциплине: Физика

на тему: «Гармонические колебания методом вращающегося вектора амплитуды , или методом векторных диаграмм »

Выполнил: студент группы14- ГРК-1

Сері??анов?.Е

Проверил(а): Нуркенова Б.Д

Усть- Каменогорск - 2014 г.

• Колебательный контур
• Гармонические колебания
• Вынужденные колебания
• Резонанс
• Автоколебания
• Определение колебаний.
• Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма
• Методом вращающегося вектора амплитуды.
• Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
• Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты.
• Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу
• Список литературы

Колебательный контур

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Релеем (1842-1919), а А.Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными ), если они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:

Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;

Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания

колебание резонанс вектор амплитуда

Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа

s =A cos (0 t +), (1)

где

a) А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания ,

b) 0 - круговая (циклическая) частота ,

- начальная фаза колебания в момент времени t=0,

c) (0 t +) - фаза колебания в момент времени t.

Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания , за который фаза колебания получает приращение равное 2, т.е.

0(t+T)+ =(0t+)+2,

откуда

T=2/0 (2)

Величина, обратная периоду колебаний,

=1/T (3)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний . Сравнивая (2) и (3), получим

0=2 .

Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

(4)

(5)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (5) и (4) соответственно равны и . Фаза величины (4) отличается от фазы величины (1) на /2, а фаза величины (5) отличается от фазы величины (1) на . Следовательно, в моменты времени, когда s =0, приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то приобретает наибольшее положительное значение .

Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(6)

где s =A cos (0 t +). Решением этого уравнения является выражение (1).

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды , или методом векторных диаграмм .

Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x под углом,равнымначальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания.

Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью 0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от -А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s =A cos (0 t +). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью 0 вокруг этой точки.

Вынужденные колебания

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой щ, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте щ0.

Если свободные колебания происходят на частоте щ0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте щ внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Дt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания ф свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса - вынужденные колебания на частоте щ и свободные колебания на собственной частоте щ0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте щ внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 1) конец пружины перемещаться по закону

y = ym cos щt.

где ym - амплитуда колебаний, щ - круговая частота.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, не показанного на рис.1.

Рисунок 1.Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = ym cos щt. l - длина недеформированной пружины, k - жесткость пружины.

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый - на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Дl равно:

Дl = x - y = x - ym cos щt.

Второй закон Ньютона для тела массой m:

ma = -k(x - y) = -kx + kym cos щt.

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части - это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое - внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Амплитуда вынужденных колебаний xm и начальная фаза и зависят от соотношения частот щ0 и щ и от амплитуды ym внешней силы.

На очень низких частотах, когда щ << щ0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при щ << щ0 стремится к нулю.

Резонанс

Если частота щ внешней силы приближается к собственной частоте щ0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты щ вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис 2).

При резонансе амплитуда xm колебания груза может во много раз превосходить амплитуду ym колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис 2.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Рисунок 2.

Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 - колебательная система без трения; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 - реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (щ << щ0) xm ? ym. На высоких частотах (щ >> щ0) xm > 0.

Вынужденные колебания - это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах - автоколебаниями. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента - колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис 3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Рисунок 3. Функциональная схема автоколебательной системы

Автоколебания

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис 4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник - балансиром - маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии - поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Рисунок 4. Часовой механизм с маятником.

Определение колебаний

Колебаниями называются движения или процессы, которые полностью или почти полностью повторяются через равные промежутки времени. Колебания, описываемые уравнением

,

где x - смещение колеблющийся величины от положения равновесия; w - циклическая частота, определяющая число колебаний, совершаемые за время 2 р секунд;t - время называют гармоническими.

Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма

Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды.

Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически.

1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x.

2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый б.

3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью щ 0, получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A, а координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой щ по гармоническому закону:

(1)

Где e x и e у -- орты координатных осей x и y, А и B -- амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.

В случае колеблющейся частицы величины x и y можно представить в виде:

, (2)

Они определяют координаты частицы на плоскости xy.

Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой будет двигаться частица. Вид траектории зависит от разности фаз обоих колебаний.

Исключив из уравнений (2) параметр t, получим уравнение траектории в обычном виде. Из первого уравнения: (3). Соответственно

(4)

По формуле для косинуса суммы:

, тогда

Преобразуем это уравнение

(5)

Получили уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз б.

Сложение колебание одного направления и одинаковой частоты.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х 1 и x 2 одного направления и одинаковой частоты:

, (1)

Оба колебания представим с помощью векторов A 1 и А 2. Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A 1 и А 2.

Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:

Вектор A вращается с той же угловой скоростью щ 0, как и векторы А 1 и А 2, так что сумма x 1 и х 2 является гармоническим колебанием с частотой (щ 0, амплитудой A и начальной фазой б. Используя теорему косинусов получаем, что

(2)

(3)

Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления.

Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу.

Разность фаз б равна нулю.

При разности фаз, равной нулю, уравнение (5) упрощается следующим образом:

Отсюда:

- уравнение прямой.

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и амплитудой, равной (рис. 1 а).

Разность фаз б равна ±р.

При разности фаз б равной ±р уравнение (5) имеет вид

- результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

(рис. 1 б)

Рис.1

Разность фаз равна

Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности.

При разности фаз, равной.уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:

Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Если амплитуды А и В равны, эллипс превращается в окружность.

Равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:

,

(знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус -- движению по часовой стрелке).

При разных частотах взаимно перпендикулярных колебаний, траектории результирующего движения будут имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

Фигура Лиссажу для отношения частот 1:2 и разности фаз р/2

Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р /2

Список литературы

Геворкян Р.Г. Курс физики. -М, 1979, -656 с.

И. В Савельев. Курс общей физики. -М. 1990

Дж.Орир. Физика том 1, - М. 1981

Трофимова Т.И. Курс физики, -М. 2006, -560 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Графическое изображение колебаний в виде векторов и в комплексной форме. Построение результирующего вектора по правилам сложения векторов. Биения и периодический закон изменения амплитуды колебаний. Уравнение и построение простейших фигур Лиссажу.

презентация , добавлен 18.04.2013


Метод векторной диаграммы. Представление гармонических колебаний в комплексной форме; сложение гармонических колебаний; биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний: уравнение траектории результирующего колебания; уравнение эллипса; фигуры Лиссажу.

презентация , добавлен 24.09.2013


Сложение взаимно перпендикулярных механических гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение; автоколебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Амплитуда и фаза колебаний; резонанс.

презентация , добавлен 28.06.2013


Исследование понятия колебательных процессов. Классификация колебаний по физической природе и по характеру взаимодействия с окружающей средой. Определение амплитуды и начальной фазы результирующего колебания. Сложение одинаково направленных колебаний.

контрольная работа , добавлен 24.03.2013


Понятие и физическая характеристика значений колебаний, определение их периодического значения. Параметры частоты, фазы и амплитуды свободных и вынужденных колебаний. Гармонический осциллятор и состав дифференциального уравнения гармонических колебаний.

презентация , добавлен 29.09.2013


Определения и классификация колебаний. Способы описания гармонических колебаний. Кинематические и динамические характеристики. Определение параметров гармонических колебаний по начальным условиям сопротивления. Энергия и сложение гармонических колебаний.

презентация , добавлен 09.02.2017


Векторная диаграмма одночастотных колебаний, происходящих вдоль одной прямой. Нахождение графически амплитуды колебаний, которые возникают при сложении двух колебаний одного направления. Сложение двух гармонических колебаний одного направления.

курсовая работа , добавлен 15.11.2012


Резонанс как явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, его физические основы. Вынужденные колебания. Разрушительная роль резонанса и его положительные значения. Частотометр: понятие, общий вид, функции. Резонанс и состояние человека.

презентация , добавлен 27.10.2013


Единый подход к изучению колебаний различной физической природы. Характеристика гармонических колебаний. Понятие периода колебаний, за который фаза колебания получает приращение. Механические гармонические колебания. Физический и математический маятники.

презентация , добавлен 28.06.2013


Колебания как один из самых распространенных процессов в природе и технике. График затухающих колебаний. Математический и пружинный маятники. Резонанс как резкое возрастание амплитуды колебаний. Вывод формулы для расчета периода пружинного маятника.