Значение истинности
Эта статья или раздел - грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой-переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала.
¬(Шаблон:Mvar∧Шаблон:Mvar) ⇔ ¬Шаблон:Mvar ∨ ¬Шаблон:Mvar
¬(Шаблон:Mvar∨Шаблон:Mvar) ⇔ ¬Шаблон:Mvar ∧ ¬Шаблон:Mvar
Многозначная логикаМногозначная логика (например, нечеткая логика позволяет более двух значений истинности, возможно, содержащих некоторые внутренние структуры. Алгебраическая семантикаНе все логические системы истинно-ценностные в том смысле, что логические связки могут быть интерпретированы как истина функций. Например, в интуиционистской логике отсутствует полный набор значений истинности, потому что его семантика, определяется в терминах доказуемости условия, а не непосредственно в терминах обязательной верности формул. В других теорияхИнтуиционистской теории типов использует типы вместо значений истинности. Топос теории использует значения истинности в особом смысле: истина значения топос является глобальным элементом х подобъектом классификатором. Имея значения истинности в этом смысле не имеет ценностной логики истины. См. такжеСсылкиWikimedia Foundation . 2010 . Смотреть что такое "Значение истинности" в других словарях:Содержание, обозначенное тем или иным языковым выражением словом, предложением, знаком и т.п. Вопрос о З. языковых выражений исследуется лингвистикой, семиотикой и логической семантикой. Различают предметное, смысловое и экспрессивное З. языковых … Философская энциклопедия Значение истинности (в логике), значение, которое принимает Высказывание (предложение, суждение), рассматриваемое по отношению к отображаемому в нём содержанию. В обычной (классической) логике используются два И. з. «истинно», «ложно»; в… … Большая советская энциклопедия Таблица истинности это таблица, описывающая логическую функцию. Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность.… … Википедия Таблица, с помощью которой устанавливается истинностное значение сложного высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний. В классической математической логике предполагается, что каждое простое (не содержащее логических… … Словарь терминов логики Денотат (от лат. denotatum обозначенное), термин лингвистики и экстенсиональной логики, обозначающий 1) экстенсионал, 2) десигнат, 3) референт и 4) семантическое ядро значения. Содержание 1 Денотат как экстенсионал 2 Денотат как десигнат … Википедия Одна из возможных характеристик высказывания с точки зрения соответствия его описываемому фрагменту действительности. Если допускается, что каждое высказывание является либо истинным, либо ложным (т. е. что онолибо соответствует действительности … Словарь терминов логики Совокупность логических систем, опирающихся на многозначности принцип. В классической двузначной логике выражения при интерпретации принимают только два значения «истинно» и «ложно», в М.л. рассматриваются и др. значения, напр. «неопределенно»,… … Философская энциклопедия - (от лат. factum сделанное, совершившееся) 1) синоним понятий «истина», «событие», «результат»; нечто реальное в противоположность вымышленному; конкретное, единичное в отличие от абстрактного и общего; 2) в философии науки особого рода п … Философская энциклопедия - (в л о г и к е) – истинность предложения (суждения, высказывания), обусловленная, в отличие от т.н. логич. истинности, содержанием этого предложения. Иначе говоря, предложение является фактически истинным, когда его истинность зависит от значений … Философская энциклопедия Стереометрическая семантика - трактовка логики как науки о получении истинных следствий из истинных посылок все более уступает место более широкой концепции,связанной либо с обобщением понятия следования, основанного на традиционной истинностной оценке и на практических… … Проективный философский словарь Книги
|
Логика, созданная как наука Аристотелем (384-322 г. до н.э.), на протяжении столетий использовалась для развития многих областей знания, включая теологию, философию, математику.
Она - тот фундамент, на котором построено все здание математики. По сути, логика — это наука о рассуждениях, которая позволяет определить истинность или ложность того или иного математического утверждения, исходя из совокупности первичных предположений, называемых аксиомами. Логика применяется также в информатике для построения компьютерных программ и доказательства их корректности. Понятия, методы и средства логики лежат в основе современных информационных технологий. Одна из основных целей этой работы — изложить основы математической логики, показать, как она используется в информатике, и разработать методы анализа и доказательства математических утверждений.
Логические представления - описание исследуемой сис-темы, процесса, явления в виде совокупности сложных высказываний, составленных из простых (элементарных) высказываний и логических связок между ними. Логические представления и их составляющие характеризуются опре-деленными свойствами и набором допустимых преобразо-ваний над ними (операций, правил вывода и т.п.), реализую-щих разработанные в формальной (математической) логике правильные методы рассуждений — законы логики .
Высказывание — это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Иными словами, утверждение об истинности или ложности высказывания должно иметь смысл. Истинность или ложность, приписываемые некоторому утверждению, называются его значением истинности , или истинностным значением.
Например, высказывания Дважды два четыре и Город Челябинск находится в азиатской части России истинные, а высказывания Три больше пяти и Река Дон в настоящее время впадает в Каспийское море ложны, так как не соответствуют действительности. Истинные высказывания принято обозначать T (true ) или И (истина ), а ложные, соответственно, F (false ) или Л (ложь ). В информатике истинность принято обозначать 1 (двоичная единица), а ложность - 0 (двоичный ноль).
Вот примеры предложений, не являющихся высказываниями:
Кто вы? (вопрос),
Прочтите эту главу до следующего занятия (приказ или восклицание),
Это утверждение ложно (внутренне противоречивое утверждение),
Площадь отрезка меньше длины куба (нельзя сказать истинно это предложение или ложно, т.к. не имеет смысла).
Мы будем обозначать высказывания буквами латинского алфавита р , q , r , Например, р может обозначать утверждение Завтра будет дождь , а q — утверждение Квадрат целого числа есть число положительное .
В обыденной речи для образования сложного предложения из простых используются связки — особые части речи, соединяющие отдельные предложения. Наиболее часто употребляются связки и , или , не , если ... то , только если , и тогда и только тогда . В отличие от обыденной речи, в логике смысл таких связок должен быть определен однозначно. Истинность сложного высказывания однозначно определяется истинностью или ложностью составляющих его частей. Высказывание, не содержащее связок, называется простым . Высказывание, содержащее связки, называется сложным . Логические связки также называют логическими операциями над высказываниями.
Пусть р и q обозначают высказывания
р: Джейн водит автомобиль,
q: У Боба русые волосы.
Сложное высказывание
Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы состоит из двух частей, объединенных связкой и . Это высказывание может быть символически записано в виде
где символ обозначает слово и на языке символических выражений. Выражение называется конъюнкцией высказываний р и q .
Встречаются также следующие варианты записи конъюнкции:
Точно так же высказывание
Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы.
символически выражается как
где обозначает слово или в переводе на символический язык. Выражение называется дизъюнкцией высказываний р и q .
Опровержение, или отрицание высказывания p обозначается через
Таким образом, если р есть высказывание Джейн водит автомобиль , то - это утверждение Джейн не водит автомобиль .
Если r есть высказывание Джо нравится информатика , то Джейн не водит автомобиль и у Боба русые волосы или Джо любит информатику символически запишется как
.
И наоборот, выражение
это символическая форма записи высказывания Джейн водит автомобиль, у Боба волосы не русые и Джо нравится информатика .
Рассмотрим выражение . Если некто говорит: "Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы" , то мы, естественно, представляем себе Джейн за рулем автомобиля и русоволосого Боба. В любой другой ситуации (например, если Боб не русоволос или Джейн не водит автомобиль) мы скажем, что говорящий не прав.
Возможны четыре случая, которые нам необходимо рассмотреть. Высказывание р может быть истинным (Т ) или ложным (F ) и независимо от того, какое истинностное значение принимает р , высказывание q может также быть истинным (Т ) или ложным (F ). Таблица истинности перечисляет все возможные комбинации истинности и ложности сложных высказываний.
Итак, конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания p и q , то есть в случае 1.
Точно так же рассмотрим высказывание Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы , которое символически выражается как . Если некто скажет: "Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы", то он будет не прав только тогда, когда Джейн не сможет управлять автомобилем, а Боб не будет русоволосым. Для того чтобы все высказывание было истинным, достаточно, чтобы одна из двух составляющих его компонент была истинной. Поэтому имеет таблицу истинности
Дизъюнкция ложна только в случае 4, когда оба р и q ложны.
Таблица истинности для отрицания имеет вид
Истинностное значение всегда противоположно истинностному значению р. В таблицах истинности отрицание всегда оценивается первым, если только за знаком отрицания не следует высказывание, заключенное в скобки. Поэтому интерпретируется как , так что отрицание применяется только к р . Если мы хотим отрицать все высказывание, то это записывается как .
Символы и называют бинарными связками, так как они связывают два высказывания. Символ ~ является унарной связкой, так как применяется только к одному высказыванию.
Еще одна бинарная связка - это исключающее или, которое обозначается через . Высказывание истинно, когда истинно p или q , но не оба одновременно. Эта связка имеет таблицу истинности
Используя слово или , мы можем иметь в виду исключающее или . Например, когда мы говорим, что р — либо истина, либо ложь, то, естественно, предполагаем, что это не выполняется одновременно. В логике исключающее или используется довольно редко, и в дальнейшем мы, как правило, будем обходиться без него.
Рассмотрим высказывание
,
где скобки использованы, чтобы показать, какие именно высказывания являются компонентами каждой связки.
Таблица истинности дает возможность однозначно указать те ситуации, когда высказывание является истинным; при этом мы должны быть уверены, что учтены все случаи. Поскольку сложное высказывание содержит три основных высказывания р
, q
и r
, то возможны восемь случаев
| Случай | p | q | r | |
||
| T | T | T | F | F | T | |
| T | T | F | F | F | T | |
| T | F | T | T | T | T | |
| T | F | F | T | F | T | |
| F | T | T | F | F | F | |
| F | T | F | F | F | F | |
| F | F | T | T | T | T | |
| F | F | F | T | F | F |
При нахождении значений истинности для столбца мы используем столбцы для и r , а также таблицу истинности для . Таблица истинности для показывает, что высказывание истинно лишь в том случае, когда истинны оба высказывания и r . Это имеет место лишь в случаях 3 и 7.
Заметим, что при определении значений истинности для столбца 
играет роль только истинность высказываний p
и . Таблица истинности для показывает, что единственный случай, когда высказывание, образованное с помощью связки или
, ложно, — это случай, когда ложны обе части этого высказывания. Такая ситуация имеет место только в случаях 5, 6 и 8.
Другой, эквивалентный способ построения таблицы истинности состоит в том, чтобы записывать истинностные значения выражения под связкой. Снова рассмотрим выражение. Сначала мы записываем истинностные значения под переменными р
, q
и r
. Единицы под столбцами истинностных значений указывают на то, что этим столбцам истинностные значения присваиваются в первую очередь. В общем случае число под столбцом будет показывать номер шага, на котором производятся вычисления соответствующих истинностных значений. Затем мы записываем под символом ~ истинностные значения высказывания . Далее записываем истинностные значения под символом . Наконец, записываем значения высказывания под символом .
| Случай | p | q | r | p | ((~ | q ) | r | ||
| T | T | T | T | T | F | T | F | T | |
| T | T | F | T | T | F | T | F | F | |
| T | F | T | T | T | T | F | T | T | |
| T | F | F | T | T | F | F | F | F | |
| F | T | T | F | F | F | T | F | T | |
| F | T | F | F | F | F | T | F | F | |
| F | F | T | F | T | T | F | T | T | |
| F | F | F | F | F | F | F | F | F | |
1.1.3. Условные высказывания
Допустим, некто утверждает, что если случится одно событие, то случится и другое. Предположим, отец говорит сыну: "Если в этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично», я куплю тебе машину ". Заметьте, что высказывание имеет вид: если р, то q , где р — высказывание В этом семестре ты сдашь все экзамены на «отлично» , а q — высказывание Я куплю тебе машину . Сложное высказывание мы обозначим символически через . Спрашивается, при каких условиях отец говорит правду? Предположим, высказывания р и q истинны. В этом случае счастливый студент получает отличные оценки по всем предметам, и приятно удивленный отец покупает ему машину. Естественно, ни у кого не вызывает сомнения тот факт, что высказывание отца было истинным. Однако существуют еще три других случая, которые необходимо рассмотреть. Допустим, студент действительно добился отличных результатов, а отец не купил ему машину.
Самое мягкое, что можно сказать об отце в таком случае, — это то, что он солгал. Следовательно, если р истинно, а q ложно, то ложно. Допустим теперь, что студент не получил положительные оценки, но отец тем не менее купил ему машину. В этом случае отец предстает очень щедрым, но его никак нельзя назвать лжецом. Следовательно, если р ложно и q истинно, то высказывание если р, то q (т.е. ) истинно. Наконец, предположим, что студент не добился отличных результатов, и отец не купил ему машину.
Поскольку студент не выполнил свою часть соглашения, отец тоже свободен от обязательств. Таким образом, если р и q ложны, то считается истинным. Итак, единственный случай, когда отец солгал, — это когда он дал обещание и не выполнил его.
Таким образом, таблица истинности для высказывания имеет вид
Символ называется импликацией , или условной связкой .
Может показаться, что носит характер причинно-следственной связи, но это не является необходимым. Чтобы увидеть отсутствие причины и следствия в импликации, вернемся к примеру, в котором р есть высказывание Джейн управляет автомобилем , а q — утверждение У Боба русые волосы . Тогда высказывание Если Джейн управляет автомобилем, то у Боба русые волосы запишется как
если p , то q или как .
То, что Джейн управляет автомобилем, никак причинно не связано с тем, что Боб русоволосый. Однако нужно помнить, что истинность или ложность бинарного сложного высказывания зависит только от истинности составляющих его частей и не зависит от наличия или отсутствия между ними какой-либо связи.
Рассмотрим следующий пример. Требуется найти таблицу истинности для выражения
.
Используя таблицу истинности для , приведенную выше, построим сначала таблицы истинности для и , учитывая, что импликация ложна только в случае, когда .
Теперь используем таблицу для , чтобы получить для высказывания
таблицу истинности
| Случай | p | q | r | (p | q ) | (q | r ) | |||
| T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | |
| T | T | F | T | T | T | F | T | F | F | |
| T | F | T | T | F | F | F | F | T | T | |
| T | F | F | T | F | F | F | F | T | F | |
| F | T | T | F | T | T | T | T | T | T | |
| F | T | F | F | T | T | F | T | T | F | |
| F | F | T | F | T | F | T | F | F | T | |
| F | F | F | F | T | F | T | F | T | F | |
| * |
Высказывание вида обозначается через . Символ называется эквиваленцией . Эквиваленция также иногда обозначается как (не следует путать с унарной операцией отрицания).
Здесь: 1 - истина, 0 - ложь.
Его читают «А или В».
Таблица истинности для АВ
Пример: 1. На этот раз ответчик явился и суд состоялся. - истина
2. В прямоугольном треугольнике сумма двух любых углов больше или равна третьего угла и гипотенуза меньше катета. - ложь
Определение: Импликацией высказываний А и В называется высказывание АВ, ложное лишь при условии, что А истинно, а В ложно.
Его читают: «Если А, то В».
Таблица истинности
Пример: 1. Если я сдам зачет, то пойду в кино.
2. Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Определение: Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание АВ, истинное в том и только в том случае, когда А и В имеют одну и ту же истинность (т.е. либо оба истинны, либо оба ложны).
Читают: «А тогда и только тогда, когда В» или «А необходимо и достаточно для В»
Таблица истинности
Вторая задача, решаемая средствами алгебры высказываний, состоит в том, чтобы определить истинность конкретного высказывания на основе составления его формулы (процесс формализации) и составления таблицы истинности.
Пример: Если Саратов расположен на берегу Невы, то в Африке обитают белые медведи.
А: Саратов расположен на берегу реки Невы;
В: В Африке обитают белые медведи
Определение: Формула, которая истинна независимо от того, какие значения принимают входящие в нее высказывательные переменные, называется тавтологией или тождественно истинной формулой.
Определение: Формулы F 1 и F 2 называются равносильными, если их эквиваленция - тавтология.
Определение: Если формулы F 1 и F 2 равносильны, то предложения Р 1 и Р 2 , которые инициируют эти формулы, называются равносильными в логике высказываний.
Основные, наиболее часто встречающиеся равносильности, называют законами логики. Перечислим некоторые из них:
Х (У Z) (Х У) Z закон дистрибутивности
7. законы Де Моргана
8. законы сочленения переменной с константой
Используя законы логики, можно преобразовывать формулы.
4. Из множества формул, равносильных между собой, рассмотрим две. Это - совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Они строятся для данной формулы на основе ее таблицы истинности.
Построение СДНФ:
Из алгоритма следует, что для любой формулы можно составить СДНФ, и притом единственную, если формула не является тождественно ложной, т.е. принимающей только ложные значения.
Составление СКНФ осуществляется по следующему алгоритму:
Очевидно, что любая формула, не являющаяся тавтологией, имеет СКНФ.
СДНФ и СКНФ используются для получения следствий из данной формулы.
Пример: Составить таблицу истинности СДНФ и СКНФ для формулы: .
Таблица истинности СДНФ и СКНФ
5. Рассмотрим высказывательные форму «Река впадает в Черное море». Она содержит одну переменную и может быть представлена в виде «Река х впадает в Черное море».
В зависимости от значений переменной Х предложение является либо истинным, либо ложным, т.е. задается отображение множества рек на двух элементное множество. Обозначим это отображение, тогда:
Таким образом, имеем функцию, все значения которой принадлежат множеству.
Определение: Функция, все значения которой принадлежат множеству, называется предикатом.
Буквы, обозначающие предикаты, называют предикатными символами.
Предикаты могут задаваться:
a) высказывательной формулой,
b) формулой, т.е. задавая интерпретацию предикатного символа,
c) таблицей.
1) Р - «впадать в Черное море».
Эта формула означает, что «Река а впадает в Черное море».
Областью определения предикатов может быть любое множество.
Если предикат при каком-либо наборе входящих переменных теряет смысл, то принято считать, что этому набору соответствует значение Л.
Если предикат содержит одну переменную, то его называют одноместным, две переменные - двуместным, n переменных - n-местным предикатом.
Для перевода текстов на язык предикатов и определения их истинности необходимо ввести логические операции над предикаторами и кванторы.
Над предикатами выполняются так же операции: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции.
Определение: Подмножество множества М, на котором задан предикат Р, состоящий из тех и только тех элементов М, которым соответствует значение И предиката Р, называется множеством истинности предиката Р.
Множество истинности обозначается.
Определение: Отрицанием предиката Р называется предикат, ложный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в истинный, и истинный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в ложный предикат.
Обозначается отрицание.
Быть студентом АБиК.
Не быть студентом АБиК.
Если, то множество, где М - множество, на котором заданы предикаты Р и Q .
Определение: конъюнкцией предикатов и называется предикат истинный при тех и только тех значениях переменных, входящих в него, которые обращают оба предиката и в истинные.
Быть футболистом
Быть студентом
: быть футболистом и быть студентом.
Определение: дизъюнкцией предикатов и называется предикат ложный при тех наборах входящих в него переменных, которые обращают оба предиката в ложные
Быть четным натуральным числом
Быть нечетным натуральным числом
: быть натуральным числом.
Определение: Импликацией предикатов называется предикат, ложный при тех и только тех наборах входящих в него переменных, которые обращают в истинный предикат, а - в ложный.
Обозначается:
Быть простым числом на множестве N
Быть нечетным числом
Ложен при и истинным при других натуральных числах.
Определение: Эквиваленцией предикатов и называется предикат, который становится истинным, если оба предиката и истинны, или оба ложны.
Обозначается:
- «выигрывать», т.е. х выигрывает у
Лучше знать шахматную историю, х знает лучше у
обозначает, что х выигрывает у у в шахматы тогда и только тогда, когда он лучше знает теорию.
Определение: Предикат следует из предиката если импликация истинна при любых входящих в нее значениях переменных.
Обозначаются следования: .
Быть студентом
Ходить в институт
Для превращения предиката в высказывание существуют 2 пути:
1) придание переменной конкретного значения
; х - студент
Иванов - студент.
2) Навешивание кванторов - любой, всякий, каждый
Существует, имеется.
Запись, где обладает свойством Р означает, что всякий предмет х обладает свойством Р. Или по другому, «все х обладают свойством Р».
Запись означает, что существует предмет х, обладающий свойством Р.
Пример 1.
Установить истинность высказывания · С
Решение.
В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.
| А | В | С | А+ | · С | ||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.
Эквивалентность высказываний.
С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.
Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.
Пример 2.
Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)· (А+С)
Решение.
Проверка ведется путем составления таблицы истинности.
| А | В | С | В С | А+В· С | А+В | А+С | (А+В)· (А+С) |
Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле А+В· С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)· (А+С), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.
Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º А + В·Сº (А+В)· (А+С).
Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое А« В.
Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.
Тавтология.
Пусть дано высказывание А· и необходимо составить таблицу истинности.
Высказывание А· ложно, истинность его не зависит от истинности высказывания А.
Рассмотрим высказывание В+ .
В этом случае высказывание В+ всегда истинно, независимо от истинности В.
| В | В+ | |
Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.
Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.
В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное - 0. Закон исключенного третьего.
A· º 0
В+ º 1
Пример 3.
Докажите тавтологию (XÙ Y)® (XÚ Y)
Решение.
Т.к. высказывание (XÙ Y)® (XÚ Y) всегда истинно, то оно является тавтологией.
Пример 4.
Докажите тавтологию ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Решение.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F
| X | Y | Z | X® Y | Y® Z | X® Z | F1Ù F2 | (F1Ù F2) ® F3 |
Из таблицы видно, что исследуемое высказывание - тавтология, т.к. оно истинно постоянно.
Вопросы и задания.
1. Какому из ниже приведенных высказываний:
а) (A+C); б) +B; в) +C); г) A+ ;
эквивалентно высказывание (B+C)
2.
Установите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул - тавтологии:
а) « ); б) 
; в) 
;
г) 
; д) (X® Y)« (Y® X); е) (X® Y)« ;
ж) (X® Y)« .
3. Установить истинность высказывания
4.
Эквивалентны ли высказывания:
и ?
5.
Установить, является ли данное высказывание тавтологией:
а) 
; б) 
6.
Для каждой формулы придумайте формализуемые ими предложения:
а) ; б) ; в) 
.
7.
Из простых высказываний: “Виктор хороший пловец” - А; “Виктор хорошо ныряет” - В; “Виктор хорошо поет” - С, составлено сложное высказывание, формула которого имеет вид:
X=(A+C)· (A+B). Установить, эквивалентно ли высказывание Х высказыванию: “Виктор - хороший пловец и Виктор хорошо поет”.
8.
а) 
; б) 
;
в) ((X1® X2)® X3)Ù (X3« X1); г) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).
9.
Установить истинность высказываний:
а) , , ;
б) 
, 
, 
;
в) , , ;
г) , , .
Законы логики
Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики.
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.
Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
1. Xº X Закон тождества
2. Закон противоречия
3. Закон исключенного третьего
4. Закон двойного отрицания
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Законы идемпотентности
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Законы коммутативности (переместительности)
7 . (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - Законы ассоциативности (сочетательности)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z) , C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Законы дистрибутивности (распределительности)
9. 
, 
Законы де Моргана
10. XÙ 1º C , C Ú 0 º C
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Законы поглощения
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Законы склеивания
1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.
Закон противоречия
говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.
“Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.
Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.
Закон двойного отрицания.
Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2× 2¹ 4”
Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.
Законы коммутативности и ассоциативности.
Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.
Смысл законов де Моргана
(Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках: - отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей. - отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.
Доказать законы логики можно:
1) с помощью таблиц истинности;
2) с помощью равносильностей.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Закон склеивания)
2) C Ù (C Ú U) º C × C +C × U º C +C × U º C (1 + U) º C (Закон поглощения)
Задание. Доказать законы логики с помощью таблиц истинности.
Тождественные преобразования
Упрощение формул.
Пример 1.
Упростить формулу (АÚВ)· (АÚС)
Решение.
а) Раскроем скобки (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
б) По закону равносильности A · A º A , следовательно,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
в) В высказываниях А и А· C вынесем за скобки А и используя свойство АÚ1º 1, получим АÚА· СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B· С
г) Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.
AÚB · A Ú B · Сº A (1ÚB)ÚB · Сº A Ú B · С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.
2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”
Пример 2. Упростить выражение АÚ A · B
Решение. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - поглощение
Пример 3.
Упростить выражение A · B Ú A ·
- знаки логического сложения;
- знаки логического умножения.
А будут использованы:
- знаки отрицания и логического умножения;
- знаки отрицания и логического сложения.
Пример 5.
Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.
Решение.
Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.
Пример 6.
Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения.
Решение.
Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:
Ложное и истинное высказывание часто употребляется в языковой практике. Первая оценка воспринимается как отрицание истинности (неистинности). В реальности используют и иные виды оценки: неопределенность, недоказуемость (доказуемость), неразрешимость. Рассуждая над тем, для какого числа x истинно высказывание, необходимо рассмотреть законы логики.
Возникновение «многозначной логики» привело к использованию неограниченного числа показателей истинности. Ситуация с элементами истинности запутана, усложнена, поэтому важно внести в нее ясность.
Истинное высказывание - это значение свойства (признака), рассматривается всегда для определенного действия. Что такое истина? Схема следующая: «Высказывание Х обладает значением истинности Y в том случае, когда истинно высказывание Z».
Давайте рассмотрим пример. Нужно понять, для какого из приведенных истинно высказывание: «Предмет а имеет признак В». Это высказывание неверно в том, что у предмета есть признак В, и неверно в том, что а не обладает признаком в». Термин «неверно» в данном случае употребляется в качестве внешнего отрицания.
Как определяется истинное высказывание? Вне зависимости от структуры высказывания Х допускается только следующее определение: «Высказывание Х истинно тогда, когда есть Х, только Х».
Данное определение дает возможность ввести в язык термин «истинно». Оно определяет акт принятия согласия или высказывания с тем, о чем говорится в нем.
В них истинное высказывание без определения. Можно ограничиться при высказывании «Не-Х» общим определением, если это высказывание не является истинным. Истинна конъюнкция "X и Y", если будут истинны X и Y.
Как понять, для каких x истинно высказывание? Чтобы ответить на этот вопрос, используем выражение: «Частица а находится в области пространства b». Рассмотрим для этого высказывания следующие случаи:
Второй вариант предполагает определенные возможности:
В данном случае можно использовать четыре термина значений истинности, которые соответствуют приведенным возможностям.
Для сложных структур уместно использование большего количества терминов. Это свидетельствует о неограниченности значений истинности. Для какого числа истинно высказывание, зависит от практической целесообразности.
В соответствии с ним, любое высказывание либо ложно, либо истинно, то есть, характеризуется одним из двух вероятных истинностных значений - «ложно» и «истинно».
Данный принцип является основой классической логики, которую именуют двузначной теорией. Двузначности принцип использовался Аристотелем. Этот философ, рассуждая над тем, для какого числа х истинно высказывание, считал его неподходящим к тем высказываниям, которые касаются будущих случайных событий.
Он устанавливал логическую взаимосвязь между фатализмом и принципом двузначности, положением о предопределенности любых действий человека.
В последующие исторические эпохи ограничения, которые накладывались на данный принцип, объяснялись тем, что он существенно затрудняет анализ высказываний о планируемых событиях, а также о несуществующих (ненаблюдаемых) объектах.
Задумываясь о том, какие высказывания истинные, этим методом не всегда можно было найти однозначный ответ.
Появляющиеся сомнения в логических системах были развеяны только после того, как была разработана современная логика.
Чтобы понять, для какого из приведенных чисел истинно высказывание, подходит двухзначная логика.
Если переформулировать вариант двухзначного высказывания для выявления истинности, можно превратить его в частный случай многозначности: любое высказывание будет иметь одно п значение истинности, если п равно либо больше 2, или же меньше бесконечности.
В качестве исключений дополнительных значений истинности (выше «ложно» и «истинно») выступают многие логические системы, базирующиеся на принципе многозначности. Двузначная классическая логика характеризует типичные варианты использования некоторых логически знаков: «или», «и», «не».
Многозначная логика, претендующая на их конкретизацию, не должна противоречить результатам двузначной системы.
Ошибочным считают то убеждение, согласно которому, принцип двузначности всегда приводит к констатации фатализма и детерминизма. Также неверна и мысль, согласно которой, многократную логику рассматривают в качестве необходимого средства осуществления индетерминистических рассуждений, что принятие ее соответствует отказу от использования строгого детерминизма.
Чтобы понять, для какого числа Х истинно высказывание, можно вооружиться таблицами истинности. Семантика логическая представляет раздел металогики, который исследует отношение к обозначаемым объектам, их содержанию разнообразных языковых выражений.
Данная проблема рассматривалась уже в античном мире, но в виде полноценной самостоятельной дисциплины она была сформулирована только на рубеже XIX—XX веков. Работы Г. Фреге, Ч. Пирса, Р. Карнапа, С. Крипке позволили выявить суть данной теории, ее реалистичность и целесообразность.
На протяжении длительного временного периода семантическая логика опиралась в основном на анализ формализованных языков. Только в последнее время большая часть исследований стала посвящаться естественному языку.
В данной методике выделяют две основные области:
Первая предполагает исследование отношения разнообразных языковых выражений к обозначаемым объектам. В качестве ее основных категорий можно представить: «обозначение», «имя», «модель», «интерпретация». Данная теория является основой для доказательств в современной логике.
Теория смысла занимается поиском ответа на вопрос относительно того, что представляет собой смысл языкового выражения. Она объясняет их тождественность по смыслу.
Существенную роль теория смысла имеет при обсуждении семантических парадоксов, при решении которых любой критерий приемлемости считается важным и актуальным.
Данный термин используется в метаязыке. Под логическим уравнением можно представить запись F1=F2, в которой F1и F2 являются формулами расширенного языка логических высказываний. Решить такое уравнение означает, определить те наборы истинных значений переменных, которые будут входить в одну из формул F1 либо F2, при которых будет соблюдаться предложенное равенство.
Знак равенства в математике в некоторых ситуациях свидетельствует о равенстве исходных объектов, а в ряде случаев он ставится для демонстрации равенства их значений. Запись F1=F2 может свидетельствовать о том, что речь идет об одной и той же формуле.
В литературе довольно часто под формальной логикой подразумевают такой синоним, как «язык логических высказываний». В качестве «правильных слов» выступают формулы, служащие семантическими единицами, используемыми для построения рассуждений в неформальной (философской) логике.
Высказывание выступает в качестве предложения, которое выражает конкретное суждение. Иными словами, оно выражает мысль о присутствии некоего положения дел.
Данный факт стал основой пропозициональной логики. Существует подразделение высказываний на простые и сложные группы.
При формализации простых вариантов высказываний применяют элементарные формулы языка нулевого порядка. Описание сложных высказываний возможно только с применением формул языка.
Логические связки необходимы для обозначения союзов. При их применении простые высказывания превращаются в сложные виды:
Формальная логика помогает выяснять, для какого имени истинно высказывание, предполагает конструирование и анализ правил преобразования определенных выражений, которые сохраняют их истинное значение независимо от содержания. В качестве отдельного раздела философской науки она появилась только в конце девятнадцатого века. Вторым направлением является неформальная логика.
Основной задачей этой науки является систематизация правил, которые позволяют выводить новые утверждения на основе доказанных утверждений.
Фундаментом логики является возможность получения каких-то идей в качестве логического следствия иных утверждений.
Подобный факт позволяет адекватно описывать не только определенную проблему в математической науке, но и переносить логику в художественное творчество.
Логическое исследование предполагает отношение, которое существует между посылками и заключениями, выводимыми из них.
Его можно отнести к числу исходных, фундаментальных понятий современной логики, которую часто именуют наукой «что из него следует».
Сложно представить себе без подобных рассуждений доказательство теорем в геометрии, объяснение физических явлений, пояснение механизмов протекания реакций в химии.
