Модные тенденции и тренды. Аксессуары, обувь, красота, прически

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в окрестности точки Р, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска.

В данном случае закрытый диском участок фронта волны надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить, начиная с краев диска.

Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результатирующего колебания в точке Р равна

т.к. выражения в скобках равны нулю. Следовательно, в точке Р всегда наблюдается интерфереционный max, соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Экспериментально светлое пятно (пятно Пуассона) впервые получил Ораго. Как и в случае дифракции на круглом отверстии, центральный max окружен концетрическими с ним темными и светлыми кольцами, и интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки Р и, что особенно существенно, увеличивается угол α между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку Р. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска (его радиус во много раз больше радиуса закрытой им центральной зоны Френеля), за ним наблюдается обычная тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.

Дифракция на круглом отверстии и на диске впервые была рассмотрена Френелем с использованием метода Гюйгенса-Френеля и основанного на нем метода зон Френеля.

Недостатки теории Френеля:

1.В теории Френеля предполагается, что непрозрачные части экранов не являются источниками вторичных волн а также, что амплитуды и начальные фазы колебаний в точке поверхности Ф, не закрытых непрозрачными экранами, такие же, как и в отсутствие последних. Это неверно, т.к. граничные условия на поверхности экрана зависят от его материала. Правда, это сказывается лишь на малых, порядка λ, расстояниях от экрана. На отверстиях и экранах, размеры которых значительно больше λ, теория Френеля хорошо согласуется с опытом.

2. Теория Френеля дает неправильное значение фазы результатирующей волны. Например, при графическом сложении векторов амплитуд колебаний, возбужденных в точке Р всеми малыми элементами открытого фронта волны, оказывается, что фаза результатирующего вектора А отличается на от начальной фазы колебаний в точке Р, происходящих в действительности.

3. Базируется на чисто качественном постулируемом допущении о зависимости амплитуды вторичных волн от угла α.

Теория Френеля дает лишь приближенный расчетный прием. Математическое обоснование и уточнение метода Гюйгенса-Френеля было сделано в 1882 году Кирхгофом.

§ Дифракция Фраунгофера.

Явление дифракции принято классифицировать в зависимости от расстояний источника и точки наблюдения (экрана) от препятствия, поставленного на пути распространения света. Дифракция сферических волн, картина распределения интенсивности которой наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, называется дифракцией Френеля. Если же расстояния от препятствия до источника и точки наблюдения очень велики (бесконечно велики), говорят о дифракции Фраунгофера.

Между френелевой и фраунгоферовой дифракциями нет принципиального различия и резкой границы. Одна непрерывно переходит в другую. Если для точки наблюдения, лежащей на оси системы, в отверстии препятствия, например, укладывается заметная часть первой зоны или несколько зон Френеля, то дифракция считается френелевой. Если в отверстии укладывается незначительная часть первой зоны Френеля, то дифракция будет фраунгоферовой.

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• суть метода зон Френеля;
• теорию дифракции на круглом отверстии и круглом диске;
• теорию дифракции в параллельных лучах от одной щели;
• теорию дифракционной решетки (условия максимумов и минимумов, дисперсия и разрешающая способность решетки);
• теорию дифракции от объемных решеток и формулу Брэгга - Вульфа; уметь
• применять метод зон Френеля для расчета дифракционных картин;
• решать типовые прикладные физические задачи на дифракцию света; владеть
• навыками использования стандартных методов и моделей математики применительно к дифракции света;
• навыками проведения физического эксперимента, а также обработки результатов эксперимента по дифракции света.

Метод зон Френеля. Дифракция на круглом отверстии и круглом диске

Дифракцией света называют явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Проиллюстрировать это явление могут волны на воде, которые огибают даже довольно крупное препятствие, а мелкое (по сравнению с длиной волны) препятствие проходят так, как будто его и не было. И свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина - чередующиеся светлые и темные кольца. Если препятствие прямолинейное (нить, щель, край экрана), то на экране возникают параллельные полосы.

Рассмотрим сначала дифракцию на круглом отверстии - дифракционную задачу о прохождении плоской монохроматической волны через небольшое круглое отверстие радиуса R в непрозрачном экране (рис. 27.1). Точка наблюдения Р находится на оси симметрии на достаточно большом расстоянии L от экрана, причем

где X - длина волны.

Рис. 27.1

В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля можно разбить волновую поверхность плоскости отверстия на набор вторичных источников, волны от которых дают интерференционную картину в точке Р. Исходя из круговой симметрии задачи, Френель разбил волновую поверхность падающей волны на кольцевые зоны (зоны Френеля) так, чтобы расстояния от границ соседних зон до точки Р отличались на полдлины волны:

Таким образом, волновая поверхность будет разбита на концентрические окружности (см. рис. 27.1). Найдем по теореме Пифагора радиусы р т этих окружностей (зон Френеля):

Здесь учтено условие удаленности экрана от отверстия, которое соблюдается на опыте обычно с большим запасом. Количество зон Френеля, укладывающихся на отверстии, определяется радиусом отверстия R:

где т - не обязательно целое число. Хотя для четкой интерференционной картины, как будет видно ниже, т с достаточно высокой точностью должно быть целым. Результат интерференции в точке Р зависит от числа т участвующих в интерференции зон Френеля. Покажем, что все зоны имеют одинаковую площадь S m:

Одинаковые по площади зоны, излучающие одинаковую по амплитуде волну, на первый взгляд, должны давать одинаковый вклад в освещенность в точке наблюдения. Однако это не совсем так. Чем больше номер зоны, тем больше угол а между лучом г т и нормалью к излучающей волновой поверхности. К тому же растет и расстояние до точки наблюдения г т. Оба эти фактора приводят к небольшому уменьшению амплитуды колебаний с увеличением т в точке наблюдения А т> обеспечиваемой зоной т:

Существенно, что возбуждаемые соседними зонами колебания находятся в противофазе, поскольку расстояния от них до точки наблюдения отличаются на Х/2. Поэтому волна от последующей зоны почти гасит волну от предыдущей зоны. При этом суммарная амплитуда в точке наблюдения равна конечной сумме, число слагаемых в которой ограничено величиной т

В результате группировки амплитуд видно, что суммарная амплитуда колебаний в точке наблюдения всегда меньше амплитуды колебаний, которые вызвала бы одна первая зона Френеля. Если бы отверстие было бесконечно большим и были открыты все зоны Френеля, то до точки наблюдения дошла бы невозмущенная препятствием волна с амплитудой А 0 . Тогда имеем в результате группировки амплитуд бесконечную сумму, упрощающуюся с учетом равенства (27.7):

Таким образом, действие (амплитуда), вызванное всей волновой поверхностью невозмущенной волны, равно лишь половине действия одной первой зоны. Иными словами, если отверстие в непрозрачном экране оставляет открытой одну зону Френеля, то амплитуда колебаний в точке наблюдения возрастает в 2 раза (а интенсивность - в 4 раза) по сравнению с действием невозмущенной волны. Если открыть две зоны, то амплитуда колебаний практически обращается в нуль. А если изготовить непрозрачный экран, который оставлял бы открытыми только несколько нечетных (или только несколько четных) зон, то амплитуда колебаний в точке наблюдения резко возрастет. Так, если открыты первая, третья, пятая и седьмая зоны, то амплитуда колебаний возрастает в 8 раз, а интенсивность - в 64 раза. Можно сделать вывод, что такие зонные пластинки обладают свойством фокусировать свет.

Перейдем теперь к задаче о дифракции на круглом диске , не пропускающем свет. Предположим, что при этом зоны Френеля с номерами от 1 до т оказываются закрытыми. Тогда амплитуда колебаний в точке наблюдения по аналогии с предыдущими рассуждениями дается бесконечной суммой:

Здесь учтено, что выражения в скобках в соответствии с равенством (27.7) равны нулю. Если экран закрывает не слишком много зон, то

и аналогично формуле (27.10)

Таким образом, в центре картины при дифракции света на диске наблюдается интерференционный максимум, называемый пятном Пуассона. Э го пятно окружено светлыми и темными дифракционными кольцами, причем интенсивность максимумов убывает но мере удаления от центра.

Оценим теперь характерные размеры зон Френеля. Пусть, например, дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L- 1м от препятствия, а длина волны света X = 0,5 мкм (зеленый свет). Тогда радиус первой зоны Френеля по формуле (27.3) равен

р, = 4XL ~ 0,71 мм, а радиус сотой зоны Френеля

p wo = V100XL ~ 7,1 мм.

Дифракционные явления проявляются наиболее отчетливо, когда на

препятствии укладывается малое число зон (27.4): т = ~гу ~ 1, или

Это соотношение между длиной волны X, размером препятствия R и расстоянием от препятствия до точки наблюдения L можно рассматривать как границу применимости геометрической оптики. При больших длинах волн дифракция существенна, а при меньших работают геометрическая оптика и понятие геометрического луча света.

ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. В чем заключается метод зон Френеля?

Принцип Гюйгенса – Френеля: каждый элемент волновой поверхности служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS . Амплитуда сферической волны убывает с расстояниемr от источника по закону 1/r . Следовательно, от каждого участкаdS волновой поверхности в точку наблюдения приходит колебание:

Результирующее колебание в точке наблюдения представляет собой суперпозицию колебаний, взятых для всей волновой поверхности:

Данная формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса – Френеля.

При рассмотрении дифракционных явлений используется понятие зон Френеля. Из рисунка видно, что расстояние b m от внешнего краяm -й зоны до точки наблюдения равно:

где b – расстояние от вершины волновой поверхностиО до точки наблюдения.

Внешняя граница m -й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высотыh m (рис.11). обозначим площадь сегмента черезS m . Тогда площадьm - й зоны можно представить в виде:

г

Высота сферического сегмента (рис.11):

Площадь сферического сегмента (рис.I.2):

Площадь m -й зоны:

радиус внешней границы m -й зоны:

2. Каковы условия наблюдения дифракции света?

Дифракция света проявляется в отклонении световых волн от прямолинейного распространения при прохождении света через малые отверстия или мимо краев непрозрачных тел находящихся в оптически однородной среде. Дифракцию света можно наблюдать, если размеры препятствий или отверстий сопоставимы (одного порядка) с длиной световых волн.

3. Для чего нужна спираль Корню?

У

эти интегралы называются интегралами Френеля. Они не берутся в элементарных функциях, однако имеются таблицы, по которым можно находить значения интегралов для разных v . Смысл параметраv заключается в том, что |v | дает длину дуги кривой Корню, измеряемую от начала координат.

Числа отмеченные вдоль кривой на рис.14 дают значения параметра v . Точки, к которым асимптотически приближается кривая при стремленииv к +∞ и -∞, называются фокусами иди полюсами спирали Корню. Их координаты равны:

найдем производную dξ / δη в точке кривой, отвечающей данному значению параметруv :

следовательно:

Спираль Корню дает возможность найти амплитуду светового колебания в любой точке экрана. Положение точки характеризуем координатой x , отсчитываемой от границы геометрической тени. Для точкиP , лежащей на границе геометрической тени (x =0 ), все штрихованные зоны зоны будут закрыты. Колебаниям нештрихованных зон соответствует правый завиток спирали. Следовательно, результирующее колебание изобразится вектором, начало которого находится в точкеO , а конец – в точкеF 1 . При смещении точкиP в область геометрической тени полуплоскость закрывает все большее число нештрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора перемещается по правому завитку в направлении полюсаF 1 . В результате амплитуда колебания монотонно стремиться к нулю.

4. Что такое дифракционная решетка? Что такое период решетки?

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и тоже расстояние щелей. Расстояние между серединами соседних щелей называется периодом решетки.

5. Каковы условия максимума и минимума для дифракционной решетки, и щели?

,

где d– период решетки, аm– порядок.

где b– ширина щели, аm– порядок.

6. Что такое разрешающая сила оптического прибора?

Разрешающая сила оптического прибора определяется соотношением:

здесь b – наименьшее расстояние между 2-мя штрихами на объекте, различимое при наблюдении посредством прибора,n – показатель преломления среды, заполняющий пространство от объекта до прибора,u –половина угла раскрытия лучей, исходящих из точек объекта и попадающих в прибор.

ПОЛУЧЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ:

Объект 23: a=0,5020,025 мм

Объект 24: a=1,0290,021 мм

Объект 31: d=0,3070,004 мм

Объект 32: d=0,6180,012 мм

Вычисления по формуле

Представляет собой в общем случае очень трудную задачу. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.
 Найдем в произвольной точке М амплитуду сферической световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S .
 Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф , являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S ). Френель разбил волновую поверхность A на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались на λ/2 ,

 Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке разбиения фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами



 Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на λ/2 , то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М :

где А 1 , А 2 , … А m − амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й , 2-й , …, m-й зонами.
 Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля. Пусть внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты h m (рис.).

 Обозначив радиус этого сегмента через r m , найдем, что площадь m-й зоны Френеля:

здесь σ m-1 − площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей m − 1-й зоны. Из рисунка следует, что

 После элементарных преобразований, учитывая, что λ << a и λ << b , получим

 Площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля:

где Δσ m площадь m-й зоны Френеля, которая, как показывает последнее выражение, не зависит от m . При не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы.
 Таким образом, построение зон Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на равные зоны.
 Найдем радиусы зон Френеля

откуда

 Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол φ m между нормалью к поверхности зоны и направлением на М , т.е. действие зон постепенно убывает от центральной (около Р 0 ) к периферическим. Кроме того интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М . Учитывая оба этих фактора, можем записать:

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на π . Поэтому амплитуда результирующего колебания в точке М определяется выражением

 Последнее выражение запишем в виде:

 Вследствие монотонного убывания амплитуд зон Френеля с возрастанием номера зоны, амплитуда колебания A m от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон

Тогда


 Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке М определяется действием только половины центральной зоны Френеля. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны.
 Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только первую зону Френеля, амплитуда в точке М равна А 1 , а интенсивность в 4 раза больше, чем при отсутствии преграды между точками S и M .
 Распространение света от S к M происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль прямой SM , т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.
 Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны Френеля, то интенсивность света в точке М резко возрастает. При закрытых четных зонах Френеля амплитуда в точке М будет равна

 В опыте зонная пластинка во много раз увеличивает интенсивность света в точке М , действуя подобно собирающей линзе.
 Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны Френеля, а изменяя фазу их колебаний на 180° . Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с амплитудной зонной пластинкой фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды в 2 раза , а интенсивность света − в 4 раза .

Дифракция Волн - явление огибания волнами препятствий и проникновение их в область геометрической тени. Явление дифракции можно качественно объяснить применением принципа Гюйгенса к распространению волн в среде при наличии преград.

Рассмотрим плоскую преграду ab (рис. 69). На рисунке показаны построенные по принципу Гюйгенса волновые поверхности позади преграды. Видно, что волны действи-

тельно загибаются в область тени. Но принцип Гюйгенса ничего не говорит об амплитуде колебаний в волне за преградой. Ее можно найти, рассматривая интерференцию волн, приходящих в область геометрической тени. Распределение амплитуд колебаний позади преграды называетсядифракционной картиной . Полный вид дифракционной картины позади преграды зависит от соотношения между длиной волны Л, размером преграды d и расстоянием L от преграды до точки наблюдения. Если длина волны Л больше размеров преграды d, то волна его почти не замечает. Если длина волны Л одного порядка с размером преграды d, то дифракция проявляется даже на очень малом расстоянии L, и волны за преградой лишь чуть-чуть слабее, чем в свободном волновом поле с обеих сторон. Если, наконец, длины волн много меньше размеров препятствия, то дифракционную картину можно наблюдать только на большом расстоянии от преграды, величина которой зависит от Л и d.

Принцип Гюйгенса - Френеля является развитием принципа, который ввёл Христиан Гюйгенс в 1678 году: каждая точка фронта (поверхности, достигнутой волной) является вторичным (т.е. новым) источником сферических волн. Огибающая фронтов волн всех вторичных источников становится фронтом волны в следующий момент времени.

Принцип Гюйгенса объясняет распространение волн, согласующееся с законами геометрической оптики, но не может объяснить явлений дифракции. Огюстен Жан Френель в 1815 году дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса - Френеля и дифракционные явления.

Принцип Гюйгенса - Френеля формулируется следующим образом:

Густав Кирхгоф придал принципу Гюйгенса строгий математический вид, показав, что его можно считать приближенной формой теоремы, называемой интегральной теоремой Кирхгофа.

Фронтом волны точечного источника в однородном изотропном пространстве является сфера. Амплитуда возмущения во всех точках сферического фронта волны, распространяющейся от точечного источника, одинакова.

Дальнейшим обобщением и развитием принципа Гюйгенса является формулировка через интегралы по траекториям, служащая основой современной квантовой механики.

Метод зон Френеля Френель предложил метод разбиения фронта волны на кольцевые зоны, который впоследствии получил название метод зон Френеля .

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP.

Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на l/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.

Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна l/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.