Bab 8. Sistem persamaan
8.2. Sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui
Definisi
Beberapa persamaan di mana tidak diketahui yang sama menunjukkan kuantiti yang sama dipanggil sistem persamaan.
Sistem jenis dipanggil bentuk biasa sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui.
Menyelesaikan sistem sedemikian bermakna mencari set semua penyelesaian yang sama bagi kedua-dua persamaan.
Bagaimana untuk menyelesaikan sistem sedemikian?
Sistem sedemikian boleh diselesaikan, contohnya, secara grafik. Biasanya, sistem sedemikian secara grafik diwakili oleh dua garis lurus, dan penyelesaian umum untuk persamaan ini (penyelesaian kepada sistem) akan menjadi koordinat titik sepunya bagi dua garis lurus. Terdapat tiga kes yang mungkin di sini:
1) Garis lurus (graf) hanya mempunyai satu titik sepunya (bersilang) - sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang unik dan ia dipanggil pasti.
2) Garis lurus (graf) tidak mempunyai titik sepunya (selari) - sistem tidak mempunyai penyelesaian dan ia dipanggil tidak konsisten.
3) Garis lurus (graf) mempunyai banyak titik sepunya yang tidak terhingga (bertepatan) - sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga dan dipanggil tak tentu.
Ada sesuatu yang saya tidak faham lagi. Mungkin ia akan lebih jelas dengan contoh?
Sudah tentu, sekarang kami akan memberikan contoh untuk setiap kes dan semuanya akan menjadi lebih jelas.
Mari kita mulakan dengan contoh apabila sistem ditakrifkan (mempunyai penyelesaian yang unik). Mari kita ambil sistem. Mari bina graf bagi fungsi ini.
Mereka bersilang hanya pada satu titik, oleh itu penyelesaian kepada sistem ini hanyalah koordinat titik: , .
Sekarang mari kita berikan contoh sistem yang tidak serasi (yang tidak mempunyai penyelesaian). Mari kita pertimbangkan sistem sedemikian.
Dalam kes ini, sistem adalah bercanggah: bahagian kiri adalah sama, tetapi bahagian kanan berbeza. Graf tidak mempunyai titik sepunya (selari), oleh itu sistem tidak mempunyai penyelesaian.
Nah, kini terdapat kes terakhir, apabila sistem tidak pasti (mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga). Berikut adalah contoh sistem sedemikian: . Mari kita lukiskan persamaan ini.
Garis lurus (graf) mempunyai banyak titik sepunya yang tidak terhingga (bertepatan), yang bermaksud sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, persamaan sistem adalah setara (mendarabkan persamaan kedua dengan 2 , kita mendapat persamaan pertama).
Yang paling penting ialah kes pertama. Satu-satunya penyelesaian kepada sistem sedemikian sentiasa boleh didapati secara grafik - kadangkala tepat, dan selalunya lebih kurang dengan tahap ketepatan yang diperlukan.
Definisi
Dua sistem persamaan dipanggil setara (bersamaan), jika semua penyelesaian setiap satu daripadanya juga merupakan penyelesaian yang lain (set penyelesaian bertepatan) atau jika kedua-duanya tidak mempunyai penyelesaian.
§1. Sistem persamaan linear.
Lihat sistem
dipanggil sistem m persamaan linear dengan n tidak diketahui.
Di sini 
- tidak diketahui, 
- pekali untuk yang tidak diketahui, 
- sebutan bebas persamaan.
Jika semua sebutan bebas persamaan adalah sama dengan sifar, sistem itu dipanggil homogen.
Dengan keputusan sistem dipanggil himpunan nombor 
, apabila menggantikannya ke dalam sistem dan bukannya tidak diketahui, semua persamaan bertukar menjadi identiti. Sistem itu dipanggil sendi, jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem serasi yang mempunyai penyelesaian unik dipanggil pasti. Kedua-dua sistem itu dipanggil bersamaan, jika set penyelesaiannya bertepatan.
Sistem (1) boleh diwakili dalam bentuk matriks menggunakan persamaan
(2)
.
§2. Keserasian sistem persamaan linear.
Mari kita panggil matriks lanjutan sistem (1) matriks
Teorem Kronecker-Capelli. Sistem (1) adalah konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan:
.
§3. Penyelesaian sistemn persamaan linear dengann tidak diketahui.
Pertimbangkan sistem yang tidak homogen n persamaan linear dengan n tidak diketahui:
(3)
Teorem Cramer.Jika penentu utama sistem (3) 
, maka sistem mempunyai penyelesaian unik, ditentukan oleh formula:
mereka. 
,
di mana 
- penentu yang diperolehi daripada penentu 
penggantian 
lajur ke lajur ahli percuma.
Jika 
, dan sekurang-kurangnya satu daripada 
≠0, maka sistem tidak mempunyai penyelesaian.
Jika 
, maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
Sistem (3) boleh diselesaikan menggunakan bentuk matriksnya (2). Jika pangkat matriks A sama n, iaitu 
, kemudian matriks A mempunyai songsang 
. Mendarab persamaan matriks 
kepada matriks 
di sebelah kiri, kita dapat:
.
Kesamaan terakhir menyatakan cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang.
Contoh. Selesaikan sistem persamaan menggunakan matriks songsang.
Penyelesaian.
Matriks 
tidak merosot, sejak 
, yang bermaksud terdapat matriks songsang. Mari kita hitung matriks songsang: 
.
,
Senaman. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer.
§4. Menyelesaikan sistem arbitrari persamaan linear.
Biarkan sistem persamaan linear yang tidak homogen dalam bentuk (1) diberikan.
Mari kita anggap bahawa sistem itu konsisten, i.e. syarat teorem Kronecker-Capelli dipenuhi: 
. Jika pangkat matriks 
(bilangan yang tidak diketahui), maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik. Jika 
, maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Biar saya jelaskan.
Biarkan pangkat matriks r(A)=
r<
n. Kerana ia 
, maka terdapat beberapa pesanan kecil bukan sifar r. Mari kita panggil ia minor asas. Yang tidak diketahui yang pekalinya membentuk asas minor akan dipanggil pembolehubah asas. Kami memanggil pembolehubah bebas yang tidak diketahui yang selebihnya. Mari kita susun semula persamaan dan nomborkan semula pembolehubah supaya minor ini terletak di sudut kiri atas matriks sistem:
.
Pertama r garis adalah bebas linear, selebihnya dinyatakan melaluinya. Oleh itu, garisan (persamaan) ini boleh dibuang. Kita mendapatkan:
Mari kita berikan pembolehubah bebas nilai berangka arbitrari: . Mari kita tinggalkan pembolehubah asas sahaja di sebelah kiri dan gerakkan yang bebas ke sebelah kanan.
Dapat sistem r persamaan linear dengan r tidak diketahui, yang penentunya berbeza daripada 0. Ia mempunyai penyelesaian yang unik.
Sistem ini dipanggil penyelesaian umum sistem persamaan linear (1). Jika tidak: ungkapan pembolehubah asas melalui yang bebas dipanggil keputusan umum sistem. Daripadanya anda boleh mendapatkan bilangan yang tidak terhingga penyelesaian peribadi, memberikan pembolehubah bebas nilai arbitrari. Penyelesaian tertentu yang diperoleh daripada yang umum untuk nilai sifar pembolehubah bebas dipanggil penyelesaian asas. Bilangan penyelesaian asas yang berbeza tidak melebihi 
. Penyelesaian asas dengan komponen bukan negatif dipanggil menyokong penyelesaian sistem.
Contoh.
,
r=2.
Pembolehubah 
- asas, 
- percuma.
Mari kita tambahkan persamaan; mari luahkan 
melalui 
:
- penyelesaian peribadi untuk 
.
- penyelesaian asas, rujukan.
§5. Kaedah Gauss.
Kaedah Gauss ialah kaedah sejagat untuk mengkaji dan menyelesaikan sistem arbitrari persamaan linear. Ia terdiri daripada mengurangkan sistem kepada bentuk pepenjuru (atau segi tiga) dengan secara berurutan menghapuskan yang tidak diketahui menggunakan transformasi asas, yang tidak melanggar kesetaraan sistem. Pembolehubah dianggap dikecualikan jika ia terkandung dalam hanya satu persamaan sistem dengan pekali 1.
Transformasi asas sistem ialah:
Mendarab persamaan dengan nombor selain sifar;
Menambah persamaan yang didarab dengan sebarang nombor dengan persamaan lain;
Menyusun semula persamaan;
Menolak persamaan 0 = 0.
Transformasi asas boleh dilakukan bukan pada persamaan, tetapi pada matriks lanjutan sistem setara yang terhasil.
Contoh.
Penyelesaian. Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem:
.
Menjalankan transformasi asas, kami akan mengurangkan bahagian kiri matriks kepada bentuk unit: kami akan mencipta satu pada pepenjuru utama, dan sifar di luarnya.
Komen. Jika, apabila melakukan transformasi asas, persamaan bentuk 0 diperolehi = k(Di mana Kepada
0),
maka sistem tidak konsisten.
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan kaedah penyingkiran berurutan yang tidak diketahui boleh ditulis dalam bentuk meja.
Lajur kiri jadual mengandungi maklumat tentang pembolehubah yang dikecualikan (asas). Lajur yang tinggal mengandungi pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas bagi persamaan.
Matriks lanjutan sistem direkodkan dalam jadual sumber. Seterusnya, kami mula melakukan transformasi Jordan:
1. Pilih pembolehubah 
, yang akan menjadi asas. Lajur yang sepadan dipanggil lajur kunci. Pilih persamaan di mana pembolehubah ini akan kekal, dikecualikan daripada persamaan lain. Baris jadual yang sepadan dipanggil baris kunci. Pekali 
, berdiri di persimpangan baris kunci dan lajur kunci, dipanggil kunci.
2. Elemen rentetan utama dibahagikan kepada elemen utama.
3. Lajur kunci diisi dengan sifar.
4. Elemen selebihnya dikira menggunakan peraturan segi empat tepat. Buat segi empat tepat, di bucu bertentangan yang terdapat elemen utama dan elemen yang dikira semula; daripada hasil darab unsur-unsur yang terletak pada pepenjuru segi empat tepat dengan unsur utama, hasil darab unsur pepenjuru yang lain ditolak, dan perbezaan yang terhasil dibahagikan dengan unsur utama.
Contoh. Cari penyelesaian umum dan penyelesaian asas sistem persamaan:
Penyelesaian.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
Penyelesaian umum sistem:
Penyelesaian asas: 
.
Transformasi penggantian tunggal membolehkan anda berpindah dari satu asas sistem ke yang lain: bukannya salah satu pembolehubah utama, salah satu pembolehubah bebas dimasukkan ke dalam asas. Untuk melakukan ini, pilih elemen utama dalam lajur pembolehubah bebas dan lakukan transformasi mengikut algoritma di atas.
§6. Mencari penyelesaian sokongan
Penyelesaian rujukan sistem persamaan linear ialah penyelesaian asas yang tidak mengandungi komponen negatif.
Penyelesaian rujukan sistem didapati dengan kaedah Gaussian apabila syarat berikut dipenuhi.
1. Dalam sistem asal, semua syarat percuma mestilah bukan negatif: 
.
2. Elemen utama dipilih antara pekali positif.
3. Jika pembolehubah yang dimasukkan ke dalam asas mempunyai beberapa pekali positif, maka garis utama adalah yang mana nisbah sebutan bebas kepada pekali positif adalah yang paling kecil.
Nota 1. Jika, dalam proses menghapuskan yang tidak diketahui, persamaan muncul di mana semua pekali adalah tidak positif dan istilah bebas 
, maka sistem tidak mempunyai penyelesaian bukan negatif.
Nota 2. Jika tidak ada satu elemen positif dalam lajur pekali untuk pembolehubah bebas, maka peralihan kepada penyelesaian rujukan lain adalah mustahil.
Contoh.
|
|
|
|
Kami terus berurusan dengan sistem persamaan linear. Setakat ini saya telah melihat sistem yang mempunyai penyelesaian tunggal. Sistem sedemikian boleh diselesaikan dalam apa jua cara: dengan kaedah penggantian(“sekolah”), mengikut formula Cramer, kaedah matriks, Kaedah Gaussian. Walau bagaimanapun, dalam praktiknya dua lagi kes tersebar luas:
– Sistem tidak konsisten (tiada penyelesaian);
– Sistem ini mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
Untuk sistem ini, kaedah penyelesaian yang paling universal digunakan - Kaedah Gaussian. Malah, kaedah "sekolah" juga akan membawa kepada jawapan, tetapi dalam matematik yang lebih tinggi Ia adalah kebiasaan untuk menggunakan kaedah Gaussian penghapusan berurutan yang tidak diketahui. Mereka yang tidak biasa dengan algoritma kaedah Gaussian, sila kaji pelajaran terlebih dahulu Kaedah Gaussian untuk boneka.
Transformasi matriks asas itu sendiri adalah sama, perbezaannya adalah pada penghujung penyelesaian. Pertama, mari kita lihat beberapa contoh apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten).
Contoh 1
Menyelesaikan sistem persamaan linear
Apa yang menarik perhatian anda tentang sistem ini? Bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan pembolehubah. Jika bilangan persamaan kurang daripada bilangan pembolehubah, maka kita boleh dengan segera mengatakan bahawa sistem itu sama ada tidak konsisten atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Dan yang tinggal hanyalah untuk mengetahui.
Permulaan penyelesaian adalah benar-benar biasa - kami menulis matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, membawanya ke bentuk berperingkat:
(1) Pada langkah kiri atas kita perlu mendapatkan +1 atau –1. Tiada nombor sedemikian dalam lajur pertama, jadi menyusun semula baris tidak akan memberikan apa-apa. Unit ini perlu mengatur sendiri, dan ini boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini: Pada baris pertama kami menambah baris ketiga, didarab dengan -1.
(2) Sekarang kita mendapat dua sifar dalam lajur pertama. Pada baris kedua kita tambahkan baris pertama didarab dengan 3. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama didarab dengan 5.
(3) Selepas transformasi telah selesai, ia sentiasa dinasihatkan untuk melihat sama ada mungkin untuk memudahkan rentetan yang terhasil? boleh. Kami membahagikan baris kedua dengan 2, pada masa yang sama mendapatkan –1 yang diperlukan pada langkah kedua. Bahagikan baris ketiga dengan –3.
(4) Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.
Mungkin semua orang menyedari garis buruk yang terhasil daripada transformasi asas: . Jelas bahawa ini tidak boleh begitu. Malah, mari kita tulis semula matriks yang terhasil ke dalam sistem persamaan linear:
Walau bagaimanapun, dalam praktiknya dua lagi kes tersebar luas:
– Sistem tidak konsisten (tiada penyelesaian);
– Sistem ini konsisten dan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
Catatan : Istilah "konsistensi" membayangkan bahawa sistem mempunyai sekurang-kurangnya beberapa penyelesaian. Dalam beberapa masalah, adalah perlu untuk terlebih dahulu memeriksa sistem untuk keserasian bagaimana untuk melakukan ini, lihat artikel mengenai pangkat matriks.
Untuk sistem ini, kaedah penyelesaian yang paling universal digunakan - Kaedah Gaussian. Malah, kaedah "sekolah" juga akan membawa kepada jawapan, tetapi dalam matematik yang lebih tinggi adalah kebiasaan untuk menggunakan kaedah Gaussian penghapusan berurutan yang tidak diketahui. Mereka yang tidak biasa dengan algoritma kaedah Gaussian, sila kaji pelajaran terlebih dahulu Kaedah Gaussian untuk boneka.
Transformasi matriks asas itu sendiri adalah sama, perbezaannya adalah pada penghujung penyelesaian. Pertama, mari kita lihat beberapa contoh apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten).
Contoh 1
Apa yang menarik perhatian anda tentang sistem ini? Bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan pembolehubah. Jika bilangan persamaan kurang daripada bilangan pembolehubah, maka kita boleh dengan segera mengatakan bahawa sistem itu sama ada tidak konsisten atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Dan yang tinggal hanyalah untuk mengetahui.
Permulaan penyelesaian adalah benar-benar biasa - kami menulis matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, membawanya ke bentuk berperingkat:
(1) Pada langkah kiri atas kita perlu mendapatkan +1 atau –1. Tiada nombor sedemikian dalam lajur pertama, jadi menyusun semula baris tidak akan memberikan apa-apa. Unit ini perlu mengatur sendiri, dan ini boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini: Pada baris pertama kami menambah baris ketiga, didarab dengan -1.
(2) Sekarang kita mendapat dua sifar dalam lajur pertama. Pada baris kedua kita tambahkan baris pertama didarab dengan 3. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama didarab dengan 5.
(3) Selepas transformasi telah selesai, ia sentiasa dinasihatkan untuk melihat sama ada mungkin untuk memudahkan rentetan yang terhasil? boleh. Kami membahagikan baris kedua dengan 2, pada masa yang sama mendapatkan –1 yang diperlukan pada langkah kedua. Bahagikan baris ketiga dengan –3.
(4) Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.
Mungkin semua orang perasan garis buruk yang terhasil daripada transformasi asas: 
. Jelas bahawa ini tidak boleh begitu. Sesungguhnya, mari kita tulis semula matriks yang terhasil 
kembali kepada sistem persamaan linear: 
Jika, sebagai hasil daripada transformasi asas, rentetan bentuk diperolehi, di mana nombor bukan sifar, maka sistem itu tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian).
Bagaimana untuk menulis pengakhiran tugas? Mari kita lukis dengan kapur putih: "hasil daripada transformasi asas, rentetan bentuk , di mana " diperoleh dan berikan jawapan: sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten).
Sekiranya, mengikut syarat, diperlukan untuk MENYELIDIK sistem untuk keserasian, maka perlu untuk memformalkan penyelesaian dalam gaya yang lebih kukuh menggunakan konsep pangkat matriks dan teorem Kronecker-Capelli.
Sila ambil perhatian bahawa tidak ada pembalikan algoritma Gaussian di sini - tiada penyelesaian dan tiada apa-apa untuk dicari.
Contoh 2
Menyelesaikan sistem persamaan linear 
Ini adalah contoh untuk keputusan bebas. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran. Saya mengingatkan anda sekali lagi bahawa penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya; algoritma Gaussian tidak mempunyai "ketegaran" yang kuat.
Satu lagi ciri teknikal penyelesaian: transformasi asas boleh dihentikan Sekaligus, sebaik sahaja baris seperti , di mana . Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat: andaikan bahawa selepas transformasi pertama matriks diperolehi 
. Matriks belum lagi dikurangkan kepada bentuk eselon, tetapi tidak ada keperluan untuk transformasi asas selanjutnya, kerana garis bentuk telah muncul, di mana . Jawapan harus diberikan segera bahawa sistem tidak serasi.
Apabila sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian, ini hampir merupakan hadiah, kerana fakta bahawa penyelesaian pendek diperoleh, kadang-kadang secara literal dalam 2-3 langkah.
Tetapi segala-galanya di dunia ini seimbang, dan masalah di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga adalah lebih lama.
Contoh 3
Menyelesaikan sistem persamaan linear 
Terdapat 4 persamaan dan 4 tidak diketahui, jadi sistem boleh sama ada mempunyai penyelesaian tunggal, atau tidak mempunyai penyelesaian, atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Walau apa pun, kaedah Gaussian akan membawa kita kepada jawapannya. Ini adalah serba boleh.
Permulaan lagi standard. Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat: 
Itu sahaja, dan anda takut.
(1) Sila ambil perhatian bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagi dengan 2, jadi 2 adalah baik pada langkah kiri atas. Pada baris kedua kita tambahkan baris pertama, didarab dengan –4. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama, didarab dengan –2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama, didarab dengan –1.
Perhatian! Ramai yang mungkin tergoda dengan baris keempat tolak Barisan pertama. Ini boleh dilakukan, tetapi ia tidak perlu; pengalaman menunjukkan bahawa kebarangkalian ralat dalam pengiraan meningkat beberapa kali. Hanya tambah: Pada baris keempat tambahkan baris pertama didarab dengan –1 – betul-betul!
(2) Tiga baris terakhir adalah berkadar, dua daripadanya boleh dipadamkan.
Di sini sekali lagi kita perlu tunjukkan peningkatan perhatian, tetapi adakah garisan benar-benar berkadar? Untuk berada di bahagian yang selamat (terutamanya untuk teko), adalah idea yang baik untuk mendarab baris kedua dengan –1, dan membahagikan baris keempat dengan 2, menghasilkan tiga garisan yang sama. Dan hanya selepas itu keluarkan dua daripadanya.
Hasil daripada transformasi asas, matriks lanjutan sistem dikurangkan kepada bentuk berperingkat: 
Apabila menulis tugasan dalam buku nota, adalah dinasihatkan untuk membuat nota yang sama dalam pensel untuk kejelasan.
Mari kita tulis semula sistem persamaan yang sepadan: 
Tiada bau penyelesaian tunggal "biasa" untuk sistem di sini. Tidak ada garis buruk juga. Ini bermakna bahawa ini adalah kes ketiga yang tinggal - sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Kadang-kadang, mengikut syarat, adalah perlu untuk menyiasat keserasian sistem (iaitu membuktikan bahawa penyelesaian wujud sama sekali), anda boleh membaca tentang ini dalam perenggan terakhir artikel Bagaimana untuk mencari pangkat matriks? Tetapi buat masa ini mari kita pergi ke asas-asas:
Satu set penyelesaian tak terhingga kepada sistem ditulis secara ringkas dalam bentuk yang dipanggil penyelesaian umum sistem .
Kami mencari penyelesaian umum sistem menggunakan songsangan kaedah Gaussian.
Mula-mula kita perlu menentukan pembolehubah yang kita ada asas, dan pembolehubah apa percuma. Anda tidak perlu menyusahkan diri anda dengan istilah algebra linear, cuma ingat bahawa terdapat perkara sedemikian pembolehubah asas Dan pembolehubah bebas.
Pembolehubah asas sentiasa "duduk" dengan ketat pada langkah matriks.
Dalam contoh ini, pembolehubah asas ialah dan
Pembolehubah bebas adalah segala-galanya yang tinggal pembolehubah yang tidak menerima langkah. Dalam kes kami terdapat dua daripadanya: – pembolehubah bebas.
Sekarang anda perlukan Semua pembolehubah asas ekspres hanya melalui pembolehubah bebas.
Pembalikan algoritma Gaussian secara tradisinya berfungsi dari bawah ke atas.
Daripada persamaan kedua sistem kita menyatakan pembolehubah asas:
Sekarang lihat persamaan pertama: 
. Mula-mula kita menggantikan ungkapan yang ditemui ke dalamnya: 
Ia kekal untuk menyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah bebas: 
Akhirnya kami mendapat apa yang kami perlukan - Semua pembolehubah asas ( dan ) dinyatakan hanya melalui pembolehubah bebas: 
Sebenarnya, penyelesaian umum sudah sedia: 
Bagaimana untuk menulis penyelesaian am dengan betul?
Pembolehubah bebas ditulis ke dalam penyelesaian umum "dengan sendirinya" dan dengan ketat di tempatnya. Dalam kes ini, pembolehubah bebas hendaklah ditulis pada kedudukan kedua dan keempat: 
.
Ungkapan yang terhasil untuk pembolehubah asas 
dan jelas perlu ditulis dalam kedudukan pertama dan ketiga: 
Memberi pembolehubah bebas nilai sewenang-wenangnya, anda boleh menemui banyak yang tidak terhingga penyelesaian peribadi. Nilai yang paling popular adalah sifar, kerana penyelesaian tertentu adalah yang paling mudah diperoleh. Mari kita gantikan ke dalam penyelesaian umum: 
– penyelesaian peribadi.
Satu lagi pasangan yang manis adalah unit, kami menggantikannya ke dalam penyelesaian umum: 
– satu lagi penyelesaian peribadi.
Adalah mudah untuk melihat bahawa sistem persamaan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga(kerana kita boleh memberikan pembolehubah bebas mana-mana nilai)
setiap satu penyelesaian tertentu mesti memuaskan kepada setiap persamaan sistem. Ini adalah asas untuk semakan "cepat" tentang ketepatan penyelesaian. Ambil, sebagai contoh, penyelesaian tertentu dan gantikannya ke sebelah kiri setiap persamaan sistem asal: 
Semuanya mesti bersatu. Dan dengan sebarang penyelesaian tertentu yang anda terima, semuanya juga harus bersetuju.
Tetapi, secara tegasnya, menyemak penyelesaian tertentu kadangkala menipu, i.e. beberapa penyelesaian tertentu mungkin memenuhi setiap persamaan sistem, tetapi penyelesaian umum itu sendiri sebenarnya didapati tidak betul.
Oleh itu, pengesahan penyelesaian umum adalah lebih teliti dan boleh dipercayai. Bagaimana untuk menyemak penyelesaian umum yang terhasil 
?
Ia tidak sukar, tetapi agak membosankan. Kita perlu mengambil ekspresi asas pembolehubah, dalam kes ini 
dan , dan gantikannya ke sebelah kiri setiap persamaan sistem.
Di sebelah kiri persamaan pertama sistem: 
Di sebelah kiri persamaan kedua sistem: 
Bahagian kanan persamaan asal diperolehi.
Contoh 4
Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian. Cari penyelesaian umum dan dua penyelesaian khusus. Semak penyelesaian umum. 
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Di sini, dengan cara ini, sekali lagi bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui, yang bermaksud dengan serta-merta jelas bahawa sistem itu akan sama ada tidak konsisten atau mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Apakah yang penting dalam proses keputusan itu sendiri? Perhatian, dan perhatian lagi. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.
Dan beberapa lagi contoh untuk mengukuhkan bahan
Contoh 5
Menyelesaikan sistem persamaan linear. Jika sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, cari dua penyelesaian tertentu dan semak penyelesaian umum 
Penyelesaian: Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat: 
(1) Tambahkan baris pertama ke baris kedua. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama didarab dengan 2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama didarab dengan 3.
(2) Pada baris ketiga kita tambah baris kedua, didarab dengan –5. Pada baris keempat kita tambahkan baris kedua, didarab dengan –7.
(3) Baris ketiga dan keempat adalah sama, kami memadamkan salah satu daripadanya.
Ini adalah keindahan: 
Pembolehubah asas duduk di atas tangga, oleh itu - pembolehubah asas.
Terdapat hanya satu pembolehubah bebas yang tidak mendapat langkah:
terbalik:
Mari kita nyatakan pembolehubah asas melalui pembolehubah bebas:
Daripada persamaan ketiga: 
Mari kita pertimbangkan persamaan kedua dan gantikan ungkapan yang ditemui ke dalamnya: 
Mari kita pertimbangkan persamaan pertama dan gantikan ungkapan yang ditemui dan ke dalamnya: 
Ya, kalkulator yang mengira pecahan biasa masih mudah.
Jadi penyelesaian umum ialah: 
Sekali lagi, bagaimana keadaannya? Pembolehubah bebas duduk bersendirian di tempat keempat yang sah. Ungkapan yang terhasil untuk pembolehubah asas juga mengambil tempat ordinal mereka.
Marilah kita segera menyemak penyelesaian umum. Kerja itu untuk orang kulit hitam, tetapi saya telah melakukannya, jadi tangkap ia =)
Kami menggantikan tiga wira , , ke sebelah kiri setiap persamaan sistem:
Sisi kanan persamaan yang sepadan diperolehi, dengan itu penyelesaian umum ditemui dengan betul.
Sekarang dari penyelesaian umum yang ditemui 
kami memperoleh dua penyelesaian tertentu. Satu-satunya pembolehubah bebas di sini ialah tukang masak. Tidak perlu memerah otak.
Biarlah begitu 
– penyelesaian peribadi.
Biarlah begitu 
– satu lagi penyelesaian peribadi.
Jawab: Keputusan bersama: 
, penyelesaian peribadi: 
, .
Saya sepatutnya tidak ingat tentang orang kulit hitam... ...kerana pelbagai motif sadis muncul di kepala saya dan saya teringat photoshop terkenal di mana Ku Klux Klansmen berjubah putih berlari melintasi padang selepas seorang pemain bola sepak kulit hitam. Saya duduk dan tersenyum senyap. Anda tahu betapa mengganggu...
Banyak matematik berbahaya, jadi contoh terakhir yang serupa untuk menyelesaikannya sendiri.
Contoh 6
Cari penyelesaian umum bagi sistem persamaan linear. 
Saya telah menyemak penyelesaian umum, jawapannya boleh dipercayai. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya, perkara utama ialah penyelesaian umum bertepatan.
Ramai orang mungkin perasan momen yang tidak menyenangkan dalam penyelesaian: selalunya, apabila membalikkan kaedah Gauss, kami terpaksa bermain-main dengan pecahan biasa. Dalam amalan, ini sememangnya kes di mana tiada pecahan adalah lebih jarang berlaku. Bersedia dari segi mental dan, yang paling penting, dari segi teknikal.
Saya akan memikirkan beberapa ciri penyelesaian yang tidak ditemui dalam contoh yang diselesaikan.
Penyelesaian umum sistem kadangkala termasuk pemalar (atau pemalar), contohnya: . Di sini salah satu pembolehubah asas adalah sama dengan nombor tetap: . Tidak ada yang eksotik tentang ini, ia berlaku. Jelas sekali, dalam kes ini, sebarang penyelesaian tertentu akan mengandungi lima dalam kedudukan pertama.
Jarang, tetapi terdapat sistem di mana bilangan persamaan lebih kuantiti pembolehubah. Kaedah Gaussian berfungsi dalam keadaan yang paling teruk seseorang harus mengurangkan matriks lanjutan sistem kepada bentuk berperingkat menggunakan algoritma standard. Sistem sedemikian mungkin tidak konsisten, mungkin mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, dan, anehnya, mungkin mempunyai penyelesaian tunggal.
Penyelesaian sistem linear persamaan algebra(SLAE) sudah pasti topik paling penting dalam kursus algebra linear. Sebilangan besar masalah daripada semua cabang matematik turun kepada penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor ini menerangkan sebab artikel ini. Bahan artikel dipilih dan disusun supaya dengan bantuannya anda boleh
Penerangan ringkas tentang bahan artikel.
Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep dan memperkenalkan notasi yang diperlukan.
Seterusnya, kita akan mempertimbangkan kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan yang mempunyai penyelesaian yang unik. Pertama, kami akan memberi tumpuan kepada kaedah Cramer, kedua, kami akan menunjukkan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kami akan menganalisis kaedah Gauss (kaedah penghapusan berurutan bagi pembolehubah yang tidak diketahui). Untuk menyatukan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara yang berbeza.
Selepas ini, kita akan beralih kepada menyelesaikan sistem persamaan algebra linear Pandangan umum, di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem adalah tunggal. Mari kita rumuskan teorem Kronecker-Capelli, yang membolehkan kita mewujudkan keserasian SLAE. Marilah kita menganalisis penyelesaian sistem (jika ia serasi) menggunakan konsep asas minor bagi matriks. Kami juga akan mempertimbangkan kaedah Gauss dan menerangkan secara terperinci penyelesaian kepada contoh.
Kami pasti akan memikirkan struktur penyelesaian umum sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan algebra linear. Mari kita berikan konsep sistem asas penyelesaian dan tunjukkan bagaimana penyelesaian umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem asas penyelesaian. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang boleh dikurangkan kepada yang linear, serta pelbagai masalah dalam penyelesaian yang mana SLAE timbul.
Navigasi halaman.
Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui (p boleh sama dengan n) dalam bentuk
Pembolehubah tidak diketahui, - pekali (beberapa nombor nyata atau kompleks), - sebutan bebas (juga nombor nyata atau kompleks).
Bentuk rakaman SLAE ini dipanggil menyelaras.
DALAM bentuk matriks menulis sistem persamaan ini mempunyai bentuk,
di mana 
- matriks utama sistem, - matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks lajur sebutan bebas.
Jika kita menambah lajur matriks sebutan bebas kepada matriks A sebagai lajur (n+1), kita mendapat apa yang dipanggil matriks lanjutan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks lanjutan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur istilah bebas dipisahkan oleh garis menegak dari lajur yang tinggal, iaitu, 
Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dipanggil satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui yang menjadikan semua persamaan sistem menjadi identiti. Persamaan matriks untuk nilai tertentu bagi pembolehubah yang tidak diketahui juga menjadi identiti.
Jika sistem persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil sendi.
Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil bukan sendi.
Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti; jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka – tidak pasti.
Jika sebutan bebas semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar 
, maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.
Jika bilangan persamaan sistem adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utamanya tidak sama dengan sifar, maka SLAE tersebut akan dipanggil rendah. Sistem persamaan sedemikian mempunyai penyelesaian yang unik, dan dalam kes itu sistem homogen semua pembolehubah yang tidak diketahui adalah sifar.
Kami mula mengkaji SLAE tersebut dalam sekolah Menengah. Apabila menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu pembolehubah yang tidak diketahui dari segi yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian mengambil persamaan seterusnya, menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya dan menggantikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan kaedah penambahan, iaitu, mereka menambah dua atau lebih persamaan untuk menghapuskan beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Kami tidak akan membincangkan kaedah ini secara terperinci, kerana ia pada dasarnya adalah pengubahsuaian kaedah Gauss.
Kaedah utama untuk menyelesaikan sistem asas persamaan linear ialah kaedah Cramer, kaedah matriks dan kaedah Gauss. Mari kita selesaikan mereka.
Katakan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan algebra linear 
di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah berbeza daripada sifar, iaitu, .
Biarkan menjadi penentu matriks utama sistem, dan 
- penentu matriks yang diperoleh daripada A dengan penggantian 1, 2, …, nth lajur masing-masing ke lajur ahli percuma: 
Dengan tatatanda ini, pembolehubah yang tidak diketahui dikira menggunakan formula kaedah Cramer sebagai 
. Beginilah cara penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear ditemui menggunakan kaedah Cramer.
Contoh.
kaedah Cramer 
.
Penyelesaian.
Matriks utama sistem mempunyai bentuk 
. Mari kita hitung penentunya (jika perlu, lihat artikel): 
Oleh kerana penentu matriks utama sistem adalah bukan sifar, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer.
Mari kita karang dan mengira penentu yang diperlukan 
(kami memperolehi penentu dengan menggantikan lajur pertama dalam matriks A dengan lajur sebutan bebas, penentu dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur sebutan bebas, dan dengan menggantikan lajur ketiga matriks A dengan lajur sebutan bebas) : 
Mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan formula 
:
Jawapan:
Kelemahan utama kaedah Cramer (jika ia boleh dipanggil kelemahan) ialah kerumitan pengiraan penentu apabila bilangan persamaan dalam sistem adalah lebih daripada tiga.
Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan dalam bentuk matriks, di mana matriks A mempunyai dimensi n dengan n dan penentunya ialah bukan sifar.
Oleh kerana , matriks A boleh terbalik, iaitu, terdapat matriks songsang. Jika kita mendarab kedua-dua belah kesamaan dengan sebelah kiri, kita mendapat formula untuk mencari lajur matriks pembolehubah yang tidak diketahui. Ini adalah bagaimana kami memperoleh penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks.
Contoh.
Menyelesaikan sistem persamaan linear kaedah matriks.
Penyelesaian.
Mari kita tulis semula sistem persamaan dalam bentuk matriks: 
Kerana
maka SLAE boleh diselesaikan menggunakan kaedah matriks. Menggunakan matriks songsang, penyelesaian kepada sistem ini boleh didapati sebagai 
.
Mari bina matriks songsang menggunakan matriks daripada penambahan algebra unsur matriks A (jika perlu, lihat artikel): 
Ia kekal untuk mengira matriks pembolehubah yang tidak diketahui dengan mendarab matriks songsang 
ke lajur matriks ahli percuma (jika perlu, lihat artikel): 
Jawapan:
atau dalam tatatanda lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Masalah utama apabila mencari penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks ialah kerumitan mencari matriks songsang, terutamanya untuk matriks kuasa dua tertib lebih tinggi daripada ketiga.
Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui 
penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.
Intipati kaedah Gauss terdiri daripada menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan: pertama, x 1 dikecualikan daripada semua persamaan sistem, bermula dari kedua, kemudian x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah tidak diketahui x n kekal. dalam persamaan terakhir. Proses mengubah persamaan sistem untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan dipanggil kaedah Gaussian langsung. Selepas selesai lejang ke hadapan menggunakan kaedah Gauss, x n didapati daripada persamaan terakhir, menggunakan nilai ini, x n-1 dikira daripada persamaan kedua terakhir, dan seterusnya, x 1 ditemui daripada persamaan pertama. Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil songsang kaedah Gaussian.
Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.
Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menyusun semula persamaan sistem. Mari kita hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dengan yang kedua. Untuk melakukan ini, kepada persamaan kedua sistem kita menambah yang pertama, didarab dengan , kepada persamaan ketiga kita menambah yang pertama, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah yang pertama, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk 
di mana dan 
.
Kami akan mencapai keputusan yang sama jika kami telah menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.
Seterusnya, kami meneruskan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang terhasil, yang ditandakan dalam rajah 
Untuk melakukan ini, kepada persamaan ketiga sistem kita menambah kedua, didarab dengan , kepada persamaan keempat kita menambah kedua, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah kedua, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk 
di mana dan 
. Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.
Seterusnya, kami meneruskan untuk menghapuskan x 3 yang tidak diketahui, sementara kami bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah 
Jadi kami meneruskan perkembangan langsung kaedah Gaussian sehingga sistem mengambil bentuk 
Dari saat ini kita mulakan kebalikan kaedah Gaussian: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama .
Contoh.
Menyelesaikan sistem persamaan linear Kaedah Gauss.
Penyelesaian.
Mari kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, kepada kedua-dua belah persamaan kedua dan ketiga kita menambah bahagian yang sepadan bagi persamaan pertama, masing-masing didarab dengan dan dengan: 
Sekarang kita hapuskan x 2 daripada persamaan ketiga dengan menambah pada sisi kiri dan kanannya sisi kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan: 
Ini melengkapkan lejang ke hadapan kaedah Gauss kita memulakan lejang terbalik.
Daripada persamaan terakhir sistem persamaan yang terhasil kita dapati x 3: 
Daripada persamaan kedua kita dapat .
Daripada persamaan pertama kita dapati pembolehubah tidak diketahui yang selebihnya dan dengan itu melengkapkan kebalikan kaedah Gauss.
Jawapan:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Secara umum, bilangan persamaan sistem p tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n:
SLAE sedemikian mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Pernyataan ini juga digunakan untuk sistem persamaan yang matriks utamanya adalah segi empat sama dan tunggal.
Sebelum mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear, adalah perlu untuk mewujudkan keserasiannya. Jawapan kepada soalan apabila SLAE serasi dan apabila ia tidak konsisten diberikan oleh Teorem Kronecker–Capelli:
Agar sistem persamaan p dengan n tidak diketahui (p boleh sama dengan n) menjadi konsisten, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks utama sistem itu sama dengan pangkat matriks lanjutan, iaitu , Pangkat(A)=Pangkat(T).
Mari kita pertimbangkan, sebagai contoh, aplikasi teorem Kronecker–Capelli untuk menentukan keserasian sistem persamaan linear.
Contoh.
Ketahui sama ada sistem persamaan linear mempunyai 
penyelesaian.
Penyelesaian.
. Jom gunakan kaedah sempadan bawah umur. Kecil daripada perintah kedua 
berbeza dengan sifar. Mari lihat kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan dengannya: 
Memandangkan semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan bagi urutan ketiga adalah sama dengan sifar, pangkat matriks utama adalah sama dengan dua.
Sebaliknya, pangkat matriks lanjutan 
adalah sama dengan tiga, kerana yang di bawah umur adalah dari urutan ketiga 
berbeza dengan sifar.
Oleh itu, Rang(A), oleh itu, dengan menggunakan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem asal persamaan linear adalah tidak konsisten.
Jawapan:
Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian.
Jadi, kita telah belajar untuk mewujudkan ketidakkonsistenan sistem menggunakan teorem Kronecker–Capelli.
Tetapi bagaimana untuk mencari penyelesaian kepada SLAE jika keserasiannya diwujudkan?
Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep minor asas matriks dan teorem tentang pangkat matriks.
Kecil bagi susunan tertinggi matriks A, berbeza daripada sifar, dipanggil asas.
Daripada takrifan asas minor ia mengikuti bahawa susunannya adalah sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks bukan sifar A boleh terdapat beberapa asas minor;
Sebagai contoh, pertimbangkan matriks 
.
Semua minor peringkat ketiga matriks ini adalah sama dengan sifar, kerana unsur-unsur baris ketiga matriks ini ialah hasil tambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama dan kedua.
Kanak-kanak bawah umur peringkat kedua berikut adalah asas, kerana mereka bukan sifar 
bawah umur 
bukan asas, kerana ia sama dengan sifar.
Teorem pangkat matriks.
Jika pangkat matriks tertib p dengan n adalah sama dengan r, maka semua elemen baris (dan lajur) matriks yang tidak membentuk asas minor yang dipilih dinyatakan secara linear dalam sebutan elemen baris (dan lajur) yang sepadan yang membentuk. asas minor.
Apakah yang diberitahu oleh teorem kedudukan matriks kepada kita?
Jika, menurut teorem Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan keserasian sistem, maka kita memilih mana-mana asas minor bagi matriks utama sistem (tertibnya bersamaan dengan r), dan mengecualikan daripada sistem semua persamaan yang melakukan tidak membentuk asas terpilih minor. SLAE yang diperolehi dengan cara ini akan bersamaan dengan yang asal, kerana persamaan yang dibuang masih berlebihan (mengikut teorem kedudukan matriks, ia adalah gabungan linear bagi persamaan yang tinggal).
Akibatnya, selepas membuang persamaan sistem yang tidak perlu, dua kes adalah mungkin.
Jika bilangan persamaan r dalam sistem yang terhasil adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka ia akan menjadi pasti dan satu-satunya penyelesaian boleh didapati dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.
Contoh.
.
Penyelesaian.
Kedudukan matriks utama sistem 
adalah sama dengan dua, kerana yang kecil adalah dari urutan kedua 
berbeza dengan sifar. Kedudukan Matriks Lanjutan 
juga sama dengan dua, kerana satu-satunya tertib ketiga adalah sifar 
dan minor urutan kedua yang dipertimbangkan di atas adalah berbeza daripada sifar. Berdasarkan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh menegaskan keserasian sistem asal persamaan linear, kerana Rank(A)=Rank(T)=2.
Sebagai asas minor kita ambil . Ia dibentuk oleh pekali persamaan pertama dan kedua: 
Persamaan ketiga sistem tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, jadi kami mengecualikannya daripada sistem berdasarkan teorem pada pangkat matriks: 
Beginilah cara kami memperoleh sistem asas persamaan algebra linear. Mari kita selesaikan menggunakan kaedah Cramer: 
Jawapan:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Jika bilangan persamaan r dalam SLAE yang terhasil kurang bilangan pembolehubah tidak diketahui n, kemudian di sebelah kiri persamaan kita meninggalkan sebutan yang membentuk asas kecil, dan kita memindahkan sebutan yang tinggal ke sisi kanan persamaan sistem dengan tanda yang bertentangan.
Pembolehubah yang tidak diketahui (r daripadanya) yang tinggal di sebelah kiri persamaan dipanggil utama.
Pembolehubah tidak diketahui (terdapat n - r keping) yang berada di sebelah kanan dipanggil percuma.
Kini kami percaya bahawa pembolehubah tidak diketahui bebas boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya, manakala pembolehubah utama r tidak diketahui akan dinyatakan melalui pembolehubah tidak diketahui bebas dengan cara yang unik. Ungkapan mereka boleh didapati dengan menyelesaikan SLAE yang terhasil menggunakan kaedah Cramer, kaedah matriks, atau kaedah Gauss.
Mari kita lihat dengan contoh.
Contoh.
Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear 
.
Penyelesaian.
Mari cari pangkat matriks utama sistem 
dengan kaedah bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama. Mari mulakan mencari anak bawah umur bukan sifar bagi susunan kedua yang bersempadan dengan anak bawah umur ini: 
Beginilah cara kami menemui minor bukan sifar bagi urutan kedua. Mari kita mula mencari minor sempadan bukan sifar bagi urutan ketiga: 
Oleh itu, pangkat matriks utama adalah tiga. Kedudukan matriks lanjutan juga sama dengan tiga, iaitu, sistem adalah konsisten.
Kami mengambil bukan sifar minor yang ditemui pada urutan ketiga sebagai asas satu.
Untuk kejelasan, kami menunjukkan unsur-unsur yang membentuk asas kecil: 
Kami meninggalkan istilah yang terlibat dalam asas kecil di sebelah kiri persamaan sistem, dan memindahkan yang lain dengan tanda yang bertentangan ke bahagian kanan: 
Mari kita berikan pembolehubah tidak diketahui percuma x 2 dan x 5 nilai arbitrari, iaitu, kita terima 
, di mana nombor arbitrari. Dalam kes ini, SLAE akan mengambil borang 
Mari kita selesaikan sistem asas persamaan algebra linear yang terhasil menggunakan kaedah Cramer: 
Oleh itu, .
Dalam jawapan anda, jangan lupa untuk menunjukkan pembolehubah bebas yang tidak diketahui.
Jawapan:
Di mana nombor sewenang-wenangnya.
rumuskan.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear am, kita mula-mula menentukan keserasiannya menggunakan teorem Kronecker–Capelli. Jika pangkat matriks utama tidak sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak serasi.
Jika pangkat matriks utama adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami memilih asas minor dan membuang persamaan sistem yang tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor terpilih.
Jika susunan asas minor sama dengan nombor pembolehubah yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, yang kami dapati dengan mana-mana kaedah yang kami ketahui.
Jika susunan asas minor kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka di sebelah kiri persamaan sistem kita meninggalkan istilah dengan pembolehubah utama yang tidak diketahui, pindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan dan berikan nilai arbitrari kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Daripada sistem persamaan linear yang terhasil, kita dapati pembolehubah utama yang tidak diketahui menggunakan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.
Kaedah Gauss boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dalam apa jua bentuk tanpa mengujinya terlebih dahulu untuk ketekalan. Proses penghapusan berurutan pembolehubah yang tidak diketahui memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang kedua-dua keserasian dan ketidakserasian SLAE, dan jika penyelesaian wujud, ia memungkinkan untuk mencarinya.
Dari sudut pengiraan, kaedah Gaussian adalah lebih baik.
Menonton Penerangan terperinci dan menganalisis contoh dalam artikel kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.
Dalam bahagian ini kita akan bercakap tentang sistem homogen dan tak homogen serentak bagi persamaan algebra linear yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Mari kita mula-mula berurusan dengan sistem homogen.
Sistem penyelesaian asas sistem homogen persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui ialah himpunan (n – r) penyelesaian bebas linear bagi sistem ini, dengan r ialah susunan minor asas bagi matriks utama sistem.
Jika kita menyatakan penyelesaian bebas linear bagi SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ialah matriks kolumnar dimensi n dengan 1) , maka penyelesaian umum sistem homogen ini diwakili sebagai gabungan linear vektor sistem asas penyelesaian dengan pekali malar arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), iaitu, .
Apakah yang dimaksudkan dengan istilah penyelesaian am bagi sistem homogen persamaan algebra linear (oroslau)?
Maksudnya mudah: formula menetapkan segala-galanya penyelesaian yang mungkin SLAE asal, dengan kata lain, mengambil mana-mana set nilai pemalar sewenang-wenangnya C 1, C 2, ..., C (n-r), menggunakan formula kita akan memperoleh salah satu penyelesaian kepada SLAE homogen asal.
Oleh itu, jika kita menemui sistem asas penyelesaian, maka kita boleh mentakrifkan semua penyelesaian SLAE homogen ini sebagai .
Mari kita tunjukkan proses membina sistem asas penyelesaian kepada SLAE homogen.
Kami memilih asas minor bagi sistem asal persamaan linear, mengecualikan semua persamaan lain daripada sistem dan memindahkan semua istilah yang mengandungi pembolehubah bebas yang tidak diketahui ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda yang bertentangan. Mari kita berikan pembolehubah bebas yang tidak diketahui nilai 1,0,0,...,0 dan hitungkan yang tidak diketahui utama dengan menyelesaikan sistem asas persamaan linear yang terhasil dalam apa jua cara, contohnya, menggunakan kaedah Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - penyelesaian pertama sistem asas. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui percuma 0,1,0,0,…,0 dan mengira yang tidak diketahui utama, kita mendapat X (2) . Dan sebagainya. Jika kita memberikan nilai 0.0,…,0.1 kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui dan mengira yang tidak diketahui utama, kita memperoleh X (n-r) . Dengan cara ini, sistem asas penyelesaian kepada SLAE homogen akan dibina dan penyelesaian amnya boleh ditulis dalam bentuk .
Untuk sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear, penyelesaian am diwakili dalam bentuk , di mana ialah penyelesaian umum sistem homogen sepadan, dan merupakan penyelesaian khusus bagi SLAE tak homogen asal, yang kita perolehi dengan memberikan nilai yang tidak diketahui percuma 0,0,…,0 dan mengira nilai yang tidak diketahui utama.
Mari lihat contoh.
Contoh.
Cari sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum sistem homogen persamaan algebra linear 
.
Penyelesaian.
Kedudukan matriks utama sistem homogen persamaan linear sentiasa sama dengan pangkat matriks lanjutan. Mari cari pangkat matriks utama menggunakan kaedah sempadan bawah umur. Sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama, kita mengambil elemen a 1 1 = 9 daripada matriks utama sistem. Mari kita cari sempadan bukan sifar minor bagi susunan kedua: 
Seorang bawahan daripada perintah kedua, berbeza daripada sifar, telah ditemui. Mari kita lihat di bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan dengannya untuk mencari yang bukan sifar: 
Semua bawah umur bersempadan urutan ketiga adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks utama dan lanjutan adalah sama dengan dua. Mari ambil . Untuk kejelasan, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya: 
Persamaan ketiga SLAE asal tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, oleh itu, ia boleh dikecualikan: 
Kami meninggalkan istilah yang mengandungi tidak diketahui utama di sebelah kanan persamaan, dan memindahkan istilah dengan tidak diketahui bebas ke bahagian kanan:
Mari kita bina satu sistem asas penyelesaian kepada sistem homogen asal persamaan linear. Sistem asas penyelesaian SLAE ini terdiri daripada dua penyelesaian, kerana SLAE asal mengandungi empat pembolehubah yang tidak diketahui, dan susunan minor asasnya adalah sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kami memberikan pembolehubah tidak diketahui bebas nilai x 2 = 1, x 4 = 0, kemudian kami mencari yang tidak diketahui utama daripada sistem persamaan 
.
- 
