Penyelesaian sistem linear persamaan algebra(SLAE) sudah pasti topik paling penting dalam kursus algebra linear. Sebilangan besar masalah dari semua cabang matematik turun ke sistem penyelesaian persamaan linear. Faktor-faktor ini menerangkan sebab artikel ini. Bahan artikel dipilih dan disusun supaya dengan bantuannya anda boleh
Penerangan ringkas tentang bahan artikel.
Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep dan memperkenalkan notasi yang diperlukan.
Seterusnya, kita akan mempertimbangkan kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan yang mempunyai penyelesaian yang unik. Pertama, kami akan memberi tumpuan kepada kaedah Cramer, kedua, kami akan menunjukkan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kami akan menganalisis kaedah Gauss (kaedah penghapusan berurutan bagi pembolehubah yang tidak diketahui). Untuk menyatukan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara yang berbeza.
Selepas ini, kita akan beralih kepada menyelesaikan sistem persamaan algebra linear Pandangan umum, di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem adalah tunggal. Mari kita rumuskan teorem Kronecker-Capelli, yang membolehkan kita mewujudkan keserasian SLAE. Marilah kita menganalisis penyelesaian sistem (jika ia serasi) menggunakan konsep asas minor bagi matriks. Kami juga akan mempertimbangkan kaedah Gauss dan menerangkan secara terperinci penyelesaian kepada contoh.
Kami pasti akan memikirkan struktur penyelesaian umum sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan algebra linear. Mari kita berikan konsep sistem asas penyelesaian dan tunjukkan cara menulis keputusan bersama SLAE menggunakan vektor sistem penyelesaian asas. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.
Kesimpulannya, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang boleh dikurangkan kepada yang linear, serta pelbagai masalah dalam penyelesaian yang mana SLAE timbul.
Navigasi halaman.
Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui (p boleh sama dengan n) dalam bentuk
Pembolehubah tidak diketahui, - pekali (beberapa nombor nyata atau kompleks), - sebutan bebas (juga nombor nyata atau kompleks).
Bentuk rakaman SLAE ini dipanggil menyelaras.
DALAM bentuk matriks menulis sistem persamaan ini mempunyai bentuk,
di mana 
- matriks utama sistem, - matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks lajur sebutan bebas.
Jika kita menambah lajur matriks sebutan bebas kepada matriks A sebagai lajur (n+1), kita mendapat apa yang dipanggil matriks lanjutan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks lanjutan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur istilah bebas dipisahkan oleh garis menegak dari lajur yang tinggal, iaitu, 
Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dipanggil satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui yang menjadikan semua persamaan sistem menjadi identiti. Persamaan matriks untuk nilai tertentu bagi pembolehubah yang tidak diketahui juga menjadi identiti.
Jika sistem persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil sendi.
Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil bukan sendi.
Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti; jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka – tidak pasti.
Jika sebutan bebas semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar 
, maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.
Jika bilangan persamaan sistem adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utamanya tidak sama dengan sifar, maka SLAE tersebut akan dipanggil rendah. Sistem persamaan sedemikian mempunyai penyelesaian yang unik, dan dalam kes itu sistem homogen semua pembolehubah yang tidak diketahui adalah sifar.
Kami mula mengkaji SLAE tersebut dalam sekolah Menengah. Apabila menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu pembolehubah yang tidak diketahui dari segi yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian mengambil persamaan seterusnya, menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya dan menggantikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan kaedah penambahan, iaitu, mereka menambah dua atau lebih persamaan untuk menghapuskan beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Kami tidak akan membincangkan kaedah ini secara terperinci, kerana ia pada dasarnya adalah pengubahsuaian kaedah Gauss.
Kaedah utama untuk menyelesaikan sistem asas persamaan linear ialah kaedah Cramer, kaedah matriks dan kaedah Gauss. Mari kita selesaikan mereka.
Katakan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan algebra linear 
di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah berbeza daripada sifar, iaitu, .
Biarkan menjadi penentu matriks utama sistem, dan 
- penentu matriks yang diperoleh daripada A dengan penggantian 1, 2, …, nth lajur masing-masing ke lajur ahli percuma: 
Dengan tatatanda ini, pembolehubah yang tidak diketahui dikira menggunakan formula kaedah Cramer sebagai 
. Beginilah cara penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear ditemui menggunakan kaedah Cramer.
Contoh.
kaedah Cramer 
.
Penyelesaian.
Matriks utama sistem mempunyai bentuk 
. Mari kita hitung penentunya (jika perlu, lihat artikel): 
Oleh kerana penentu matriks utama sistem adalah bukan sifar, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer.
Mari kita karang dan mengira penentu yang diperlukan 
(kami memperolehi penentu dengan menggantikan lajur pertama dalam matriks A dengan lajur sebutan bebas, penentu dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur sebutan bebas, dan dengan menggantikan lajur ketiga matriks A dengan lajur sebutan bebas) : 
Mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan formula 
:
Jawapan:
Kelemahan utama kaedah Cramer (jika ia boleh dipanggil kelemahan) ialah kerumitan pengiraan penentu apabila bilangan persamaan dalam sistem adalah lebih daripada tiga.
Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan dalam bentuk matriks, di mana matriks A mempunyai dimensi n dengan n dan penentunya ialah bukan sifar.
Oleh kerana , matriks A boleh terbalik, iaitu, terdapat matriks songsang. Jika kita mendarab kedua-dua belah kesamaan dengan sebelah kiri, kita mendapat formula untuk mencari lajur matriks pembolehubah yang tidak diketahui. Beginilah cara kami memperoleh penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks.
Contoh.
Menyelesaikan sistem persamaan linear kaedah matriks.
Penyelesaian.
Mari kita tulis semula sistem persamaan dalam bentuk matriks: 
Kerana
maka SLAE boleh diselesaikan menggunakan kaedah matriks. Dengan menggunakan matriks songsang penyelesaian kepada sistem ini boleh didapati sebagai 
.
Mari bina matriks songsang menggunakan matriks daripada penambahan algebra unsur matriks A (jika perlu, lihat artikel): 
Ia kekal untuk mengira matriks pembolehubah yang tidak diketahui dengan mendarab matriks songsang 
ke lajur matriks ahli percuma (jika perlu, lihat artikel): 
Jawapan:
atau dalam tatatanda lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Masalah utama apabila mencari penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks ialah kerumitan mencari matriks songsang, terutamanya untuk matriks kuasa dua tertib lebih tinggi daripada ketiga.
Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui 
penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.
Intipati kaedah Gauss terdiri daripada menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan: pertama, x 1 dikecualikan daripada semua persamaan sistem, bermula dari kedua, kemudian x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah tidak diketahui x n kekal. dalam persamaan terakhir. Proses mengubah persamaan sistem untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan dipanggil kaedah Gaussian langsung. Selepas selesai lejang ke hadapan menggunakan kaedah Gauss, x n didapati daripada persamaan terakhir, menggunakan nilai ini, x n-1 dikira daripada persamaan kedua terakhir, dan seterusnya, x 1 ditemui daripada persamaan pertama. Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil songsang kaedah Gaussian.
Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.
Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menyusun semula persamaan sistem. Mari kita hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dengan yang kedua. Untuk melakukan ini, kepada persamaan kedua sistem kita menambah yang pertama, didarab dengan , kepada persamaan ketiga kita menambah yang pertama, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah yang pertama, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk 
di mana dan 
.
Kami akan mencapai keputusan yang sama jika kami telah menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.
Seterusnya, kami meneruskan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang terhasil, yang ditandakan dalam rajah 
Untuk melakukan ini, kepada persamaan ketiga sistem kita menambah kedua, didarab dengan , kepada persamaan keempat kita menambah kedua, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah kedua, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk 
di mana dan 
. Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.
Seterusnya, kami meneruskan untuk menghapuskan x 3 yang tidak diketahui, sementara kami bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah 
Jadi kami meneruskan perkembangan langsung kaedah Gaussian sehingga sistem mengambil bentuk 
Dari saat ini kita mulakan kebalikan kaedah Gaussian: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama .
Contoh.
Menyelesaikan sistem persamaan linear Kaedah Gauss.
Penyelesaian.
Marilah kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, kepada kedua-dua belah persamaan kedua dan ketiga kita menambah bahagian yang sepadan bagi persamaan pertama, masing-masing didarab dengan dan dengan: 
Sekarang kita hapuskan x 2 daripada persamaan ketiga dengan menambah pada sisi kiri dan kanannya sisi kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan: 
Ini melengkapkan lejang ke hadapan kaedah Gauss kita memulakan lejang terbalik.
Daripada persamaan terakhir sistem persamaan yang terhasil kita dapati x 3: 
Daripada persamaan kedua kita dapat .
Daripada persamaan pertama kita dapati pembolehubah tidak diketahui yang tinggal dan dengan itu melengkapkan kebalikan kaedah Gauss.
Jawapan:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Secara umum, bilangan persamaan sistem p tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n:
SLAE sedemikian mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Pernyataan ini juga digunakan untuk sistem persamaan yang matriks utamanya adalah segi empat sama dan tunggal.
Sebelum mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear, adalah perlu untuk mewujudkan keserasiannya. Jawapan kepada soalan apabila SLAE serasi dan apabila ia tidak konsisten diberikan oleh Teorem Kronecker–Capelli:
Agar sistem persamaan p dengan n tidak diketahui (p boleh sama dengan n) menjadi konsisten, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks utama sistem itu sama dengan pangkat matriks lanjutan, iaitu , Pangkat(A)=Pangkat(T).
Mari kita pertimbangkan, sebagai contoh, aplikasi teorem Kronecker–Capelli untuk menentukan keserasian sistem persamaan linear.
Contoh.
Ketahui sama ada sistem persamaan linear mempunyai 
penyelesaian.
Penyelesaian.
. Jom gunakan kaedah sempadan bawah umur. Kecil daripada perintah kedua 
berbeza dengan sifar. Mari lihat kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan dengannya: 
Memandangkan semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan bagi urutan ketiga adalah sama dengan sifar, pangkat matriks utama adalah sama dengan dua.
Sebaliknya, pangkat matriks lanjutan 
adalah sama dengan tiga, kerana yang di bawah umur adalah dari urutan ketiga 
berbeza dengan sifar.
Oleh itu, Rang(A), oleh itu, dengan menggunakan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem asal persamaan linear adalah tidak konsisten.
Jawapan:
Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian.
Jadi, kita telah belajar untuk mewujudkan ketidakkonsistenan sistem menggunakan teorem Kronecker–Capelli.
Tetapi bagaimana untuk mencari penyelesaian kepada SLAE jika keserasiannya diwujudkan?
Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep minor asas matriks dan teorem tentang pangkat matriks.
Kecil bagi susunan tertinggi matriks A, berbeza daripada sifar, dipanggil asas.
Daripada takrifan asas minor ia mengikuti bahawa susunannya adalah sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks bukan sifar A boleh terdapat beberapa asas minor;
Sebagai contoh, pertimbangkan matriks 
.
Semua minor peringkat ketiga matriks ini adalah sama dengan sifar, kerana unsur-unsur baris ketiga matriks ini ialah hasil tambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama dan kedua.
Kanak-kanak bawah umur peringkat kedua berikut adalah asas, kerana mereka bukan sifar 
bawah umur 
tidak asas, kerana ia sama dengan sifar.
Teorem pangkat matriks.
Jika pangkat matriks tertib p dengan n adalah sama dengan r, maka semua elemen baris (dan lajur) matriks yang tidak membentuk asas minor yang dipilih dinyatakan secara linear dalam sebutan elemen baris (dan lajur) yang sepadan yang membentuk. asas minor.
Apakah yang diberitahu oleh teorem kedudukan matriks kepada kita?
Jika, menurut teorem Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan keserasian sistem, maka kita memilih mana-mana asas minor bagi matriks utama sistem (tertibnya bersamaan dengan r), dan mengecualikan daripada sistem semua persamaan yang melakukan tidak membentuk asas terpilih minor. SLAE yang diperolehi dengan cara ini akan bersamaan dengan yang asal, kerana persamaan yang dibuang masih berlebihan (mengikut teorem kedudukan matriks, ia adalah gabungan linear bagi persamaan yang tinggal).
Akibatnya, selepas membuang persamaan sistem yang tidak perlu, dua kes adalah mungkin.
Jika bilangan persamaan r dalam sistem yang terhasil adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka ia akan menjadi pasti dan satu-satunya penyelesaian boleh didapati dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.
Contoh.
.
Penyelesaian.
Kedudukan matriks utama sistem 
adalah sama dengan dua, kerana yang kecil adalah dari urutan kedua 
berbeza daripada sifar. Kedudukan Matriks Lanjutan 
juga sama dengan dua, kerana satu-satunya tertib ketiga adalah sifar 
dan minor urutan kedua yang dipertimbangkan di atas adalah berbeza daripada sifar. Berdasarkan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh menegaskan keserasian sistem asal persamaan linear, kerana Rank(A)=Rank(T)=2.
Sebagai asas minor kita ambil . Ia dibentuk oleh pekali persamaan pertama dan kedua: 
Persamaan ketiga sistem tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, jadi kami mengecualikannya daripada sistem berdasarkan teorem pada pangkat matriks: 
Beginilah cara kami memperoleh sistem asas persamaan algebra linear. Mari kita selesaikan menggunakan kaedah Cramer: 
Jawapan:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Jika bilangan persamaan r dalam SLAE yang terhasil kurang bilangan pembolehubah tidak diketahui n, kemudian di sebelah kiri persamaan kita meninggalkan sebutan yang membentuk asas kecil, dan kita memindahkan sebutan yang tinggal ke sisi kanan persamaan sistem dengan tanda yang bertentangan.
Pembolehubah yang tidak diketahui (r daripadanya) yang tinggal di sebelah kiri persamaan dipanggil utama.
Pembolehubah tidak diketahui (terdapat n - r keping) yang berada di sebelah kanan dipanggil percuma.
Kini kami percaya bahawa pembolehubah tidak diketahui bebas boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya, manakala pembolehubah utama r tidak diketahui akan dinyatakan melalui pembolehubah tidak diketahui bebas dengan cara yang unik. Ungkapan mereka boleh didapati dengan menyelesaikan SLAE yang terhasil menggunakan kaedah Cramer, kaedah matriks, atau kaedah Gauss.
Mari kita lihat dengan contoh.
Contoh.
Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear 
.
Penyelesaian.
Mari cari pangkat matriks utama sistem 
dengan kaedah bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama. Mari mulakan mencari anak bawah umur bukan sifar bagi susunan kedua yang bersempadan dengan anak bawah umur ini: 
Beginilah cara kami menemui minor bukan sifar bagi urutan kedua. Mari kita mula mencari minor sempadan bukan sifar bagi urutan ketiga: 
Oleh itu, pangkat matriks utama adalah tiga. Kedudukan matriks lanjutan juga sama dengan tiga, iaitu, sistem adalah konsisten.
Kami mengambil bukan sifar minor yang ditemui pada urutan ketiga sebagai asas satu.
Untuk kejelasan, kami menunjukkan unsur-unsur yang membentuk asas kecil: 
Kami meninggalkan istilah yang terlibat dalam asas kecil di sebelah kiri persamaan sistem, dan memindahkan yang lain dengan tanda yang bertentangan ke bahagian kanan: 
Mari kita berikan pembolehubah tidak diketahui percuma x 2 dan x 5 nilai arbitrari, iaitu, kita terima 
, di mana nombor arbitrari. Dalam kes ini, SLAE akan mengambil borang 
Mari kita selesaikan sistem asas persamaan algebra linear yang terhasil menggunakan kaedah Cramer: 
Oleh itu, .
Dalam jawapan anda, jangan lupa untuk menunjukkan pembolehubah bebas yang tidak diketahui.
Jawapan:
Di mana nombor sewenang-wenangnya.
ringkaskan.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear am, kita mula-mula menentukan keserasiannya menggunakan teorem Kronecker–Capelli. Jika pangkat matriks utama tidak sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak serasi.
Jika pangkat matriks utama adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami memilih asas minor dan membuang persamaan sistem yang tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor terpilih.
Jika susunan asas minor sama dengan nombor pembolehubah yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, yang kami dapati dengan mana-mana kaedah yang kami ketahui.
Jika susunan asas minor kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka di sebelah kiri persamaan sistem kita meninggalkan istilah dengan pembolehubah utama yang tidak diketahui, pindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan dan berikan nilai arbitrari kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Daripada sistem persamaan linear yang terhasil, kita dapati pembolehubah utama yang tidak diketahui menggunakan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.
Kaedah Gauss boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dalam apa jua bentuk tanpa mengujinya terlebih dahulu untuk ketekalan. Proses penghapusan berurutan pembolehubah yang tidak diketahui memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang kedua-dua keserasian dan ketidakserasian SLAE, dan jika penyelesaian wujud, ia memungkinkan untuk mencarinya.
Dari sudut pengiraan, kaedah Gaussian adalah lebih baik.
Menonton Penerangan terperinci dan menganalisis contoh dalam artikel kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.
Dalam bahagian ini kita akan bercakap tentang sistem homogen dan tak homogen serentak bagi persamaan algebra linear yang mempunyai set tak terhingga keputusan.
Mari kita mula-mula berurusan dengan sistem homogen.
Sistem penyelesaian asas sistem homogen persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui ialah himpunan (n – r) penyelesaian bebas linear bagi sistem ini, dengan r ialah susunan minor asas bagi matriks utama sistem.
Jika kita menyatakan penyelesaian bebas linear bagi SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ialah matriks kolumnar dimensi n dengan 1) , maka penyelesaian umum sistem homogen ini diwakili sebagai gabungan linear vektor sistem asas penyelesaian dengan pekali malar arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), iaitu, .
Apakah yang dimaksudkan dengan istilah penyelesaian am bagi sistem homogen persamaan algebra linear (oroslau)?
Maksudnya mudah: formula menetapkan segala-galanya penyelesaian yang mungkin SLAE asal, dengan kata lain, mengambil sebarang set nilai pemalar sewenang-wenangnya C 1, C 2, ..., C (n-r), mengikut formula kita akan memperoleh salah satu penyelesaian kepada SLAE homogen asal.
Oleh itu, jika kita menemui sistem asas penyelesaian, maka kita boleh mentakrifkan semua penyelesaian SLAE homogen ini sebagai .
Mari kita tunjukkan proses membina sistem asas penyelesaian kepada SLAE homogen.
Kami memilih asas minor sistem asal persamaan linear, mengecualikan semua persamaan lain daripada sistem dan memindahkan semua istilah yang mengandungi pembolehubah bebas yang tidak diketahui ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda yang bertentangan. Mari kita berikan pembolehubah bebas yang tidak diketahui nilai 1,0,0,...,0 dan hitungkan yang tidak diketahui utama dengan menyelesaikan sistem asas persamaan linear yang terhasil dalam apa jua cara, contohnya, menggunakan kaedah Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - penyelesaian pertama sistem asas. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui percuma 0,1,0,0,…,0 dan mengira yang tidak diketahui utama, kita mendapat X (2) . Dan sebagainya. Jika kita memberikan nilai 0.0,…,0.1 kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui dan mengira yang tidak diketahui utama, kita memperoleh X (n-r) . Dengan cara ini, sistem asas penyelesaian kepada SLAE homogen akan dibina dan penyelesaian amnya boleh ditulis dalam bentuk .
Untuk sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear, penyelesaian am diwakili dalam bentuk , di mana ialah penyelesaian umum sistem homogen sepadan, dan merupakan penyelesaian khusus bagi SLAE tak homogen asal, yang kita perolehi dengan memberikan nilai yang tidak diketahui percuma 0,0,…,0 dan mengira nilai yang tidak diketahui utama.
Mari lihat contoh.
Contoh.
Cari sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum sistem homogen persamaan algebra linear 
.
Penyelesaian.
Kedudukan matriks utama sistem homogen persamaan linear sentiasa sama dengan pangkat matriks lanjutan. Mari cari pangkat matriks utama menggunakan kaedah sempadan bawah umur. Sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama, kita mengambil elemen a 1 1 = 9 daripada matriks utama sistem. Mari kita cari sempadan bukan sifar minor bagi susunan kedua: 
Seorang bawahan daripada perintah kedua, berbeza daripada sifar, telah ditemui. Mari kita lihat peringkat bawah bawah umur ketiga yang bersempadan dengannya untuk mencari yang bukan sifar: 
Semua bawah umur bersempadan urutan ketiga adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks utama dan lanjutan adalah sama dengan dua. Mari ambil . Untuk kejelasan, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya: 
Persamaan ketiga SLAE asal tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, oleh itu, ia boleh dikecualikan: 
Kami meninggalkan istilah yang mengandungi tidak diketahui utama di sebelah kanan persamaan, dan memindahkan istilah dengan tidak diketahui bebas ke bahagian kanan:
Mari kita bina satu sistem asas penyelesaian kepada sistem homogen asal persamaan linear. Sistem asas penyelesaian SLAE ini terdiri daripada dua penyelesaian, kerana SLAE asal mengandungi empat pembolehubah yang tidak diketahui, dan susunan minor asasnya adalah sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kami memberikan pembolehubah bebas yang tidak diketahui nilai-nilai x 2 = 1, x 4 = 0, kemudian kami mencari yang tidak diketahui utama daripada sistem persamaan 
.
Sistem persamaan linear di mana semua sebutan bebas adalah sama dengan sifar dipanggil homogen :
Mana-mana sistem homogen sentiasa konsisten, kerana ia sentiasa ada sifar (remeh ) penyelesaian. Persoalannya timbul dalam keadaan apa yang akan ada pada sistem homogen penyelesaian yang tidak remeh.
Teorem 5.2.Sistem homogen mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika pangkat matriks asas adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
Akibat. Sistem homogen persegi mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika penentu matriks utama sistem itu tidak sama dengan sifar.
Contoh 5.6. Tentukan nilai parameter l di mana sistem mempunyai penyelesaian bukan remeh, dan cari penyelesaian ini:
Penyelesaian. Sistem ini akan mempunyai penyelesaian bukan remeh apabila penentu matriks utama adalah sama dengan sifar:
Oleh itu, sistem ini bukan remeh apabila l=3 atau l=2. Untuk l=3, pangkat matriks utama sistem ialah 1. Kemudian, tinggalkan hanya satu persamaan dan andaikan bahawa y=a Dan z=b, kita mendapatkan x=b-a, iaitu
Untuk l=2, pangkat matriks utama sistem ialah 2. Kemudian, pilih minor sebagai asas:
kita mendapat sistem yang dipermudahkan
Dari sini kita dapati itu x=z/4, y=z/2. Percaya z=4a, kita mendapatkan
Set semua penyelesaian sistem homogen mempunyai yang sangat penting sifat linear : jika lajur X 1 dan X 2 - penyelesaian kepada sistem homogen AX = 0, maka sebarang kombinasi linear daripadanya a X 1 + b X 2 juga akan menjadi penyelesaian kepada sistem ini. Memang sejak AX 1 = 0 Dan AX 2 = 0 , Itu A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Kerana sifat ini, jika sistem linear mempunyai lebih daripada satu penyelesaian, maka akan terdapat nombor tak terhingga bagi penyelesaian ini.
Lajur bebas linear E 1 , E 2 , Ek, yang merupakan penyelesaian sistem homogen, dipanggil sistem asas penyelesaian sistem persamaan linear homogen jika penyelesaian umum sistem ini boleh ditulis sebagai gabungan linear lajur ini:
Jika sistem homogen mempunyai n pembolehubah, dan pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan r, Itu k = n-r.
Contoh 5.7. Cari sistem asas penyelesaian kepada sistem persamaan linear berikut:
Penyelesaian. Mari cari pangkat matriks utama sistem:
Oleh itu, set penyelesaian kepada sistem persamaan ini membentuk subruang linear dimensi n-r= 5 - 2 = 3. Mari pilih minor sebagai asas
.
Kemudian, meninggalkan hanya persamaan asas (selebihnya akan menjadi gabungan linear persamaan ini) dan pembolehubah asas (kita memindahkan selebihnya, yang dipanggil pembolehubah bebas ke kanan), kita memperoleh sistem persamaan yang dipermudahkan:
Percaya x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, kita dapati
, 
.
Percaya a= 1, b = c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas pertama; beriman b= 1, a = c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas kedua; beriman c= 1, a = b= 0, kita memperoleh penyelesaian asas ketiga. Akibatnya, sistem asas penyelesaian biasa akan terbentuk
Menggunakan sistem asas, penyelesaian umum sistem homogen boleh ditulis sebagai
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Mari kita perhatikan beberapa sifat penyelesaian kepada sistem persamaan linear yang tidak homogen AX=B dan hubungannya dengan sistem persamaan homogen yang sepadan AX = 0.
Penyelesaian umum sistem heterogenadalah sama dengan jumlah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX = 0 dan penyelesaian tertentu arbitrari sistem tidak homogen. Sesungguhnya, biarkan Y 0 ialah penyelesaian tertentu arbitrari bagi sistem tidak homogen, i.e. AY 0 = B, Dan Y- penyelesaian umum sistem heterogen, i.e. AY=B. Menolak satu kesamaan daripada yang lain, kita dapat
A(Y-Y 0) = 0, i.e. Y-Y 0 ialah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX=0. Oleh itu, Y-Y 0 = X, atau Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Biarkan sistem tidak homogen mempunyai bentuk AX = B 1 + B 2 . Kemudian penyelesaian umum sistem sedemikian boleh ditulis sebagai X = X 1 + X 2 , di mana AX 1 = B 1 dan AX 2 = B 2. Sifat ini menyatakan sifat universal mana-mana sistem linear(algebra, pembezaan, fungsian, dsb.). Dalam fizik sifat ini dipanggil prinsip superposisi, dalam kejuruteraan elektrik dan radio - prinsip superposisi. Sebagai contoh, dalam teori litar elektrik linear, arus dalam mana-mana litar boleh diperolehi sebagai jumlah algebra bagi arus yang disebabkan oleh setiap sumber tenaga secara berasingan.
Sistem linear persamaan homogen - mempunyai bentuk ∑a k i x i = 0. dengan m > n atau m Sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten, kerana rangA = rangB. Ia jelas mempunyai penyelesaian yang terdiri daripada sifar, yang dipanggil remeh.Tujuan perkhidmatan. Kalkulator dalam talian direka bentuk untuk mencari penyelesaian yang tidak remeh dan asas kepada SLAE. Penyelesaian yang terhasil disimpan dalam fail Word (lihat contoh penyelesaian).
Arahan. Pilih dimensi matriks:
Teorem. Sistem dalam kes m=n mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika penentu sistem ini sama dengan sifar.
Teorem. Mana-mana kombinasi linear penyelesaian kepada sistem juga merupakan penyelesaian kepada sistem itu.
Definisi. Set penyelesaian kepada sistem persamaan homogen linear dipanggil sistem asas penyelesaian, jika set ini terdiri daripada penyelesaian bebas linear dan sebarang penyelesaian kepada sistem adalah gabungan linear penyelesaian ini.
Teorem. Jika pangkat r bagi matriks sistem adalah kurang daripada bilangan n yang tidak diketahui, maka wujud sistem asas penyelesaian yang terdiri daripada (n-r) penyelesaian.
Contoh. Cari asas sistem vektor (a 1, a 2,...,a m), pangkat dan ungkapkan vektor berdasarkan asas. Jika a 1 =(0,0,1,-1), dan 2 =(1,1,2,0), dan 3 =(1,1,1,1), dan 4 =(3,2,1 ,4), dan 5 =(2,1,0,3).
Mari kita tuliskan matriks utama sistem:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Kami akan terus menggilap teknologi kami transformasi asas
pada sistem persamaan linear homogen.
Berdasarkan perenggan pertama, bahan itu mungkin kelihatan membosankan dan biasa-biasa saja, tetapi tanggapan ini mengelirukan. Di samping pembangunan lanjut teknik teknikal, akan ada banyak maklumat baru, jadi sila cuba untuk tidak mengabaikan contoh dalam artikel ini.
Jawapannya mencadangkan dirinya sendiri. Sistem persamaan linear adalah homogen jika sebutan bebasnya semua orang persamaan sistem ialah sifar. Sebagai contoh:
Ia benar-benar jelas bahawa sistem homogen sentiasa konsisten, iaitu, ia sentiasa mempunyai penyelesaian. Dan, pertama sekali, apa yang menarik perhatian anda ialah apa yang dipanggil remeh penyelesaian 
. Remeh, bagi mereka yang langsung tidak faham maksud kata adjektif, bermakna tanpa menunjuk-nunjuk. Tidak dari segi akademik, sudah tentu, tetapi dengan mudah difahami =) ...Mengapa perlu berpusu-pusu, mari ketahui sama ada sistem ini mempunyai penyelesaian lain:
Contoh 1
Penyelesaian: untuk menyelesaikan sistem homogen adalah perlu untuk menulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi asas membawanya ke bentuk berperingkat. Sila ambil perhatian bahawa di sini tidak perlu menulis bar menegak dan lajur sifar istilah percuma - selepas semua, tidak kira apa yang anda lakukan dengan sifar, ia akan kekal sifar: 
(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –3.
(2) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1.
Membahagikan baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.
Hasil daripada transformasi asas, sistem homogen yang setara diperolehi 
, dan, menggunakan songsangan kaedah Gaussian, adalah mudah untuk mengesahkan bahawa penyelesaian itu unik.
Jawab: 
Mari kita rumuskan kriteria yang jelas: sistem persamaan linear homogen mempunyai hanya penyelesaian yang remeh, Jika kedudukan matriks sistem(dalam kes ini 3) adalah sama dengan bilangan pembolehubah (dalam kes ini – 3 keping).
Mari memanaskan badan dan menyesuaikan radio kita dengan gelombang transformasi asas:
Contoh 2
Menyelesaikan sistem persamaan linear homogen 
Untuk akhirnya menyatukan algoritma, mari analisa tugas akhir:
Contoh 7
Selesaikan sistem homogen, tulis jawapan dalam bentuk vektor. 
Penyelesaian: mari tuliskan matriks sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat: 
(1) Tanda baris pertama telah ditukar. Sekali lagi saya menarik perhatian kepada teknik yang telah ditemui berkali-kali, yang membolehkan anda memudahkan tindakan seterusnya dengan ketara.
(1) Baris pertama ditambah pada baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama, didarab dengan 2, telah ditambahkan pada baris ke-4.
(3) Tiga baris terakhir adalah berkadar, dua daripadanya telah dikeluarkan.
Akibatnya, matriks langkah standard diperolehi, dan penyelesaiannya diteruskan di sepanjang trek yang dikurung:
– pembolehubah asas;
– pembolehubah bebas.
Mari kita nyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah bebas. Daripada persamaan ke-2:
– gantikan ke dalam persamaan 1:
Jadi penyelesaian umum ialah:
Oleh kerana dalam contoh yang dipertimbangkan terdapat tiga pembolehubah bebas, sistem asas mengandungi tiga vektor.
Mari kita gantikan tiga kali ganda nilai 
ke dalam penyelesaian am dan dapatkan vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahawa adalah sangat dinasihatkan untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - ia tidak akan mengambil banyak masa, tetapi ia akan melindungi anda sepenuhnya daripada kesilapan.
Untuk tiga nilai 
cari vektor
Dan akhirnya untuk mereka bertiga 
kita mendapat vektor ketiga:
Jawab: , Di mana
Mereka yang ingin mengelakkan nilai pecahan boleh mempertimbangkan kembar tiga 
dan dapatkan jawapan dalam bentuk yang setara:
Bercakap tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dalam masalah 
dan marilah kita bertanya kepada diri sendiri: adakah mungkin untuk memudahkan penyelesaian selanjutnya? Lagipun, di sini kita mula-mula menyatakan pembolehubah asas melalui pecahan, kemudian melalui pecahan pembolehubah asas, dan, saya mesti katakan, proses ini bukanlah yang paling mudah dan bukan yang paling menyenangkan.
Penyelesaian kedua:
Ideanya adalah untuk mencuba pilih pembolehubah asas yang lain. Mari kita lihat matriks dan perhatikan dua matriks di lajur ketiga. Jadi mengapa tidak mempunyai sifar di bahagian atas? Mari kita jalankan satu lagi transformasi asas:
Sistem homogen persamaan algebra linear
Sebagai sebahagian daripada pelajaran Kaedah Gaussian Dan Sistem/sistem yang tidak serasi dengan penyelesaian yang sama kami pertimbangkan sistem persamaan linear tidak homogen, Di mana ahli percuma(yang biasanya di sebelah kanan) sekurang-kurangnya satu daripada persamaan adalah berbeza daripada sifar.
Dan sekarang, selepas memanaskan badan dengan baik pangkat matriks, kami akan terus menggilap teknik tersebut transformasi asas pada sistem persamaan linear homogen.
Berdasarkan perenggan pertama, bahan itu mungkin kelihatan membosankan dan biasa-biasa saja, tetapi tanggapan ini mengelirukan. Sebagai tambahan kepada perkembangan teknik selanjutnya, akan terdapat banyak maklumat baharu, jadi sila cuba untuk tidak mengabaikan contoh dalam artikel ini.
Apakah sistem persamaan linear homogen?
Jawapannya mencadangkan dirinya sendiri. Sistem persamaan linear adalah homogen jika sebutan bebasnya semua orang persamaan sistem ialah sifar. Sebagai contoh:
Ia benar-benar jelas bahawa sistem homogen sentiasa konsisten, iaitu, ia sentiasa mempunyai penyelesaian. Dan, pertama sekali, apa yang menarik perhatian anda ialah apa yang dipanggil remeh penyelesaian 
. Remeh, bagi mereka yang langsung tidak faham maksud kata adjektif, bermakna tanpa menunjuk-nunjuk. Tidak dari segi akademik, sudah tentu, tetapi dengan mudah difahami =) ...Mengapa perlu berpusu-pusu, mari ketahui sama ada sistem ini mempunyai penyelesaian lain:
Contoh 1
Penyelesaian: untuk menyelesaikan sistem homogen adalah perlu untuk menulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi asas membawanya ke bentuk berperingkat. Sila ambil perhatian bahawa di sini tidak perlu menulis bar menegak dan lajur sifar istilah percuma - selepas semua, tidak kira apa yang anda lakukan dengan sifar, ia akan kekal sifar: 
(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –3.
(2) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1.
Membahagikan baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.
Hasil daripada transformasi asas, sistem homogen yang setara diperolehi 
, dan, menggunakan songsangan kaedah Gaussian, adalah mudah untuk mengesahkan bahawa penyelesaian itu unik.
Jawab:
Mari kita rumuskan kriteria yang jelas: sistem persamaan linear homogen mempunyai hanya penyelesaian yang remeh, Jika kedudukan matriks sistem(dalam kes ini 3) adalah sama dengan bilangan pembolehubah (dalam kes ini – 3 keping).
Mari memanaskan badan dan menyesuaikan radio kita dengan gelombang transformasi asas:
Contoh 2
Menyelesaikan sistem persamaan linear homogen 
Daripada artikel tersebut Bagaimana untuk mencari pangkat matriks? Mari kita ingat teknik rasional untuk menurunkan nombor matriks secara serentak. Jika tidak, anda perlu memotong ikan yang besar dan sering menggigit. Contoh anggaran tugasan pada akhir pelajaran.
Sifar adalah baik dan mudah, tetapi dalam amalan kes ini adalah lebih biasa apabila baris matriks sistem bergantung secara linear. Dan kemudian kemunculan penyelesaian umum tidak dapat dielakkan:
Contoh 3
Menyelesaikan sistem persamaan linear homogen 
Penyelesaian: mari tuliskan matriks sistem dan, menggunakan transformasi asas, bawa ia ke bentuk berperingkat. Tindakan pertama bertujuan bukan sahaja untuk mendapatkan nilai tunggal, tetapi juga untuk mengurangkan nombor dalam lajur pertama:
(1) Baris ketiga telah ditambahkan pada baris pertama, didarab dengan –1. Baris ketiga ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Di bahagian atas sebelah kiri saya mendapat unit dengan "tolak", yang selalunya lebih mudah untuk transformasi selanjutnya.
(2) Dua baris pertama adalah sama, satu daripadanya telah dipadamkan. Secara jujur, saya tidak menolak penyelesaiannya - ternyata begitu. Jika anda melakukan transformasi dalam cara templat, maka pergantungan linear baris akan didedahkan sedikit kemudian.
(3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 3.
(4) Tanda baris pertama telah ditukar.
Hasil daripada transformasi asas, sistem yang setara telah diperoleh: 
Algoritma berfungsi sama seperti untuk sistem heterogen. Pembolehubah "duduk di tangga" adalah yang utama, pembolehubah yang tidak mendapat "langkah" adalah percuma.
Mari kita nyatakan pembolehubah asas melalui pembolehubah bebas: 
Jawab: keputusan bersama: 
Penyelesaian remeh termasuk dalam formula am, dan tidak perlu menuliskannya secara berasingan.
Semakan juga dijalankan mengikut skema biasa: penyelesaian umum yang terhasil mesti digantikan ke sebelah kiri setiap persamaan sistem dan sifar undang-undang mesti diperolehi untuk semua penggantian.
Ia mungkin untuk menyelesaikannya dengan senyap dan damai, tetapi penyelesaian kepada sistem persamaan homogen selalunya perlu diwakili dalam bentuk vektor dengan menggunakan sistem asas penyelesaian. Tolong lupakan tentangnya buat masa ini geometri analisis, sejak sekarang kita akan bercakap tentang vektor dalam pengertian algebra umum, yang saya buka sedikit dalam artikel tentang pangkat matriks. Tidak perlu menghuraikan istilah, semuanya agak mudah.
