Trend dan trend fesyen. Aksesori, kasut, kecantikan, gaya rambut

Jarak antara dua titik pada satah.
Sistem koordinat

Setiap titik A satah dicirikan oleh koordinatnya (x, y). Mereka bertepatan dengan koordinat vektor 0A yang keluar dari titik 0 - asal koordinat.

Biarkan A dan B ialah titik arbitrari bagi satah dengan koordinat (x 1 y 1) dan (x 2, y 2), masing-masing.

Maka vektor AB jelas mempunyai koordinat (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Adalah diketahui bahawa kuasa dua panjang vektor adalah sama dengan jumlah kuasa dua koordinatnya. Oleh itu, jarak d antara titik A dan B, atau, apa yang sama, panjang vektor AB, ditentukan daripada keadaan

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Formula yang terhasil membolehkan anda mencari jarak antara mana-mana dua titik pada satah, jika hanya koordinat titik ini diketahui

Setiap kali kita bercakap tentang koordinat titik tertentu pada satah, kita maksudkan sistem koordinat x0y yang jelas. Secara umumnya, sistem koordinat pada satah boleh dipilih dengan cara yang berbeza. Jadi, bukannya sistem koordinat x0y, anda boleh mempertimbangkan sistem koordinat x"0y", yang diperoleh dengan memutarkan paksi koordinat lama di sekitar titik permulaan 0 lawan arah jam anak panah di sudut α .

Jika beberapa titik satah dalam sistem koordinat x0y mempunyai koordinat (x, y), maka dalam sistem baru koordinat x"0y" ia akan mempunyai koordinat yang berbeza (x", y").

Sebagai contoh, pertimbangkan titik M, terletak pada paksi 0x dan dipisahkan dari titik 0 pada jarak 1.

Jelas sekali, dalam sistem koordinat x0y titik ini mempunyai koordinat (cos α ,dosa α ), dan dalam sistem koordinat x"0y" koordinat ialah (1,0).

Koordinat mana-mana dua titik pada satah A dan B bergantung kepada bagaimana sistem koordinat ditentukan dalam satah ini. Tetapi jarak antara titik ini tidak bergantung pada kaedah menentukan sistem koordinat. Kami akan menggunakan secara signifikan keadaan penting ini dalam perenggan seterusnya.

Senaman

I. Cari jarak antara titik satah dengan koordinat:

1) (3.5) dan (3.4); 3) (0.5) dan (5, 0); 5) (-3,4) dan (9, -17);

2) (2, 1) dan (- 5, 1); 4) (0, 7) dan (3,3); 6) (8, 21) dan (1, -3).

II. Cari perimeter segitiga yang sisinya diberikan oleh persamaan:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 dan y = 1.

III. Dalam sistem koordinat x0y, titik M dan N mempunyai koordinat (1, 0) dan (0,1), masing-masing. Cari koordinat titik-titik ini dalam sistem koordinat baharu, yang diperoleh dengan memutarkan paksi lama di sekeliling titik permulaan dengan sudut 30° lawan jam.

IV. Dalam sistem koordinat x0y, titik M dan N mempunyai koordinat (2, 0) dan (\ / 3/2, - 1/2) masing-masing. Cari koordinat titik ini dalam sistem koordinat baharu, yang diperoleh dengan memutarkan paksi lama di sekeliling titik permulaan dengan sudut 30° mengikut arah jam.

Jarak dari titik ke titik ialah panjang segmen yang menghubungkan titik-titik ini pada skala tertentu. Jadi bila kita bercakap tentang tentang mengukur jarak, anda perlu mengetahui skala (unit panjang) di mana pengukuran akan dijalankan. Oleh itu, masalah mencari jarak dari titik ke titik biasanya dipertimbangkan sama ada pada garis koordinat atau dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah atau dalam ruang tiga dimensi. Dalam erti kata lain, selalunya anda perlu mengira jarak antara titik menggunakan koordinatnya.

Dalam artikel ini, kita akan mula-mula ingat bagaimana jarak dari titik ke titik pada garis koordinat ditentukan. Seterusnya, kita memperoleh formula untuk mengira jarak antara dua titik satah atau ruang mengikut koordinat yang diberikan. Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan secara terperinci penyelesaian kepada contoh dan masalah biasa.

Navigasi halaman.

Jarak antara dua titik pada garis koordinat.

Mari kita tentukan notasi terlebih dahulu. Kami akan menyatakan jarak dari titik A ke titik B sebagai .

Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa jarak dari titik A dengan koordinat ke titik B dengan koordinat adalah sama dengan modulus perbezaan koordinat, itu dia, untuk sebarang lokasi titik pada garis koordinat.

Jarak dari titik ke titik pada satah, formula.

Kami memperoleh formula untuk mengira jarak antara titik dan diberikan dalam segi empat tepat Sistem kartesian koordinat di atas kapal terbang.

Bergantung pada lokasi titik A dan B, pilihan berikut adalah mungkin.

Jika titik A dan B bertepatan, maka jarak antara keduanya ialah sifar.

Jika titik A dan B terletak pada garis lurus yang berserenjang dengan paksi absis, maka titik tersebut bertepatan, dan jaraknya adalah sama dengan jarak . Dalam perenggan sebelumnya, kami mendapati bahawa jarak antara dua titik pada garis koordinat adalah sama dengan modulus perbezaan antara koordinat mereka, oleh itu, . Oleh itu, .

Begitu juga, jika titik A dan B terletak pada garis lurus berserenjang dengan paksi ordinat, maka jarak dari titik A ke titik B didapati sebagai .

Dalam kes ini, segitiga ABC ialah segi empat tepat dalam pembinaan, dan Dan . Oleh Teorem Pythagoras kita boleh menulis kesamarataan, dari mana .

Mari kita ringkaskan semua keputusan yang diperoleh: jarak dari titik ke titik pada satah didapati melalui koordinat titik menggunakan formula .

Formula yang terhasil untuk mencari jarak antara titik boleh digunakan apabila titik A dan B bertepatan atau terletak pada garis lurus berserenjang dengan salah satu paksi koordinat. Sesungguhnya, jika A dan B bertepatan, maka . Jika titik A dan B terletak pada garis lurus berserenjang dengan paksi Lembu, maka. Jika A dan B terletak pada garis lurus berserenjang dengan paksi Oy, maka .

Jarak antara titik dalam ruang, formula.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat segi empat tepat Oxyz di angkasa. Mari dapatkan formula untuk mencari jarak dari satu titik to the point .

Secara amnya, titik A dan B tidak terletak pada satah selari dengan salah satu satah koordinat. Mari kita lukis melalui titik A dan B yang berserenjang dengan paksi koordinat Ox, Oy dan Oz. Titik persilangan satah ini dengan paksi koordinat akan memberi kita unjuran titik A dan B pada paksi ini. Kami menandakan unjuran .

Jarak yang diperlukan antara titik A dan B ialah pepenjuru bagi segi empat selari yang ditunjukkan dalam rajah. Dengan pembinaan, dimensi parallelepiped ini adalah sama Dan . Dalam perjalanan geometri sekolah Menengah Telah dibuktikan bahawa kuasa dua pepenjuru bagi segi empat selari adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua tiga dimensinya, oleh itu, . Berdasarkan maklumat dalam bahagian pertama artikel ini, kita boleh menulis persamaan berikut, oleh itu,

dari mana kita dapat formula untuk mencari jarak antara titik dalam ruang .

Formula ini juga sah jika titik A dan B

• sepadan;
• tergolong dalam salah satu paksi koordinat atau garis selari dengan salah satu paksi koordinat;
• tergolong dalam salah satu satah koordinat atau satah selari dengan salah satu satah koordinat.

Mencari jarak dari titik ke titik, contoh dan penyelesaian.

Jadi, kami telah memperoleh formula untuk mencari jarak antara dua titik pada garis koordinat, satah dan ruang tiga dimensi. Sudah tiba masanya untuk melihat penyelesaian kepada contoh biasa.

Bilangan masalah di mana langkah terakhir adalah untuk mencari jarak antara dua titik mengikut koordinatnya adalah sangat besar. Semakan penuh contoh sedemikian adalah di luar skop artikel ini. Di sini kita akan mengehadkan diri kita kepada contoh di mana koordinat dua titik diketahui dan adalah perlu untuk mengira jarak antara mereka.

Biarkan sistem koordinat segi empat tepat diberikan.

Teorem 1.1. Bagi mana-mana dua titik M 1 (x 1;y 1) dan M 2 (x 2;y 2) pada satah, jarak d antara keduanya dinyatakan dengan formula

d = . (3)

Bukti. Dari titik M 1 dan M 2 kita menurunkan serenjang M 1 B dan M 2 A, masing-masing, pada paksi Oy dan Ox dan menandakan dengan K titik persilangan garis M 1 B dan M 2 A (Rajah 1.4) . Kes berikut adalah mungkin:

1) Mata M 1, M 2 dan K adalah berbeza. Jelas sekali, titik K mempunyai koordinat (x 2;y 1). Adalah mudah untuk melihat bahawa M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Kerana ∆M 1 KM 2 ialah segi empat tepat, kemudian dengan teorem Pythagoras d = M 1 M 2 = = =.

2) Titik K bertepatan dengan titik M 2, tetapi berbeza daripada titik M 1 (Rajah 1.5). Dalam kes ini, y 2 = y 1 dan

d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= = = .

3) Titik K bertepatan dengan titik M 1, tetapi berbeza dengan titik M 2. Dalam kes ini x 2 = x 1 dan

d =M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Titik M 2 bertepatan dengan titik M 1. Kemudian x 1 = x 2, y 1 = y 2 dan

d = M 1 M 2 = O = .

Dalam artikel ini kita akan melihat cara untuk menentukan jarak dari titik ke titik secara teori dan menggunakan contoh tugasan tertentu. Sebagai permulaan, mari kita perkenalkan beberapa definisi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Jarak antara titik ialah panjang segmen yang menghubungkannya, pada skala sedia ada. Ia adalah perlu untuk menetapkan skala untuk mempunyai unit panjang untuk pengukuran. Oleh itu, pada asasnya masalah mencari jarak antara titik diselesaikan dengan menggunakan koordinatnya pada garis koordinat, dalam satah koordinat atau ruang tiga dimensi.

Data awal: garis koordinat O x dan titik A yang terletak di atasnya Mana-mana titik pada garis mempunyai satu nombor nyata: biarkan ia menjadi nombor tertentu untuk titik A x A, ia juga merupakan koordinat titik A.

Secara umum, kita boleh mengatakan bahawa panjang segmen tertentu dinilai berbanding dengan segmen yang diambil sebagai unit panjang pada skala tertentu.

Jika titik A sepadan dengan nombor nyata integer, dengan memberhentikan secara berurutan dari titik O ke titik sepanjang garis lurus O A segmen - unit panjang, kita boleh menentukan panjang segmen O A daripada jumlah bilangan segmen unit yang diketepikan.

Sebagai contoh, titik A sepadan dengan nombor 3 - untuk mendapatkannya dari titik O, anda perlu memberhentikan tiga segmen unit. Jika titik A mempunyai koordinat - 4, segmen unit dibentangkan dengan cara yang sama, tetapi dalam arah negatif yang berbeza. Oleh itu, dalam kes pertama, jarak O A adalah sama dengan 3; dalam kes kedua O A = 4.

Jika titik A mempunyai nombor rasional sebagai koordinat, maka dari asal (titik O) kita plot nombor integer segmen unit, dan kemudian bahagian yang diperlukan. Tetapi secara geometri tidak selalu mungkin untuk membuat ukuran. Sebagai contoh, nampaknya sukar untuk memplot pecahan 4 111 pada garis koordinat.

Menggunakan kaedah di atas, adalah mustahil untuk memplot nombor tidak rasional pada garis lurus. Sebagai contoh, apabila koordinat titik A ialah 11. Dalam kes ini, adalah mungkin untuk beralih kepada abstraksi: jika koordinat titik A yang diberikan lebih besar daripada sifar, maka O A = x A (nombor itu diambil sebagai jarak); jika koordinat kurang daripada sifar, maka O A = - x A . Secara umum, pernyataan ini adalah benar untuk sebarang nombor nyata x A.

Untuk meringkaskan: jarak dari asal ke titik yang sepadan dengan nombor nyata pada garis koordinat adalah sama dengan:

• 0 jika titik itu bertepatan dengan asal;

• x A, jika x A > 0;

• - x A jika x A< 0 .

Dalam kes ini, adalah jelas bahawa panjang segmen itu sendiri tidak boleh negatif, oleh itu, menggunakan tanda modulus, kita menulis jarak dari titik O ke titik A dengan koordinat x A: O A = x A

Pernyataan berikut akan menjadi benar: jarak dari satu titik ke titik lain akan sama dengan modulus perbezaan koordinat. Itu. untuk titik A dan B terletak pada garis koordinat yang sama untuk mana-mana lokasi dan mempunyai koordinat yang sepadan x A Dan x B: A B = x B - x A .

Data awal: titik A dan B terletak di dalam pesawat sistem segi empat tepat koordinat O x y dengan koordinat yang diberi: A (x A, y A) dan B (x B, y B).

Mari kita lukis serenjang melalui titik A dan B ke paksi koordinat O x dan O y dan hasilkan titik unjuran: A x, A y, B x, B y. Berdasarkan lokasi titik A dan B, pilihan berikut adalah mungkin:

Jika titik A dan B bertepatan, maka jarak antara mereka ialah sifar;

Jika titik A dan B terletak pada garis lurus berserenjang dengan paksi O x (paksi absis), maka titik tersebut bertepatan, dan | A B | = | A y B y | . Oleh kerana jarak antara titik adalah sama dengan modulus perbezaan koordinat mereka, maka A y B y = y B - y A, dan, oleh itu, A B = A y B y = y B - y A.

Jika titik A dan B terletak pada garis lurus berserenjang dengan paksi O y (paksi ordinat) - dengan analogi dengan perenggan sebelumnya: A B = A x B x = x B - x A

Jika titik A dan B tidak terletak pada garis lurus berserenjang dengan salah satu paksi koordinat, kita akan mencari jarak antara mereka dengan memperoleh formula pengiraan:

Kami melihat bahawa segi tiga A B C adalah segi empat tepat dalam pembinaan. Dalam kes ini, A C = A x B x dan B C = A y B y. Menggunakan teorem Pythagoras, kita mencipta kesamaan: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , dan kemudian mengubahnya: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Mari kita buat kesimpulan daripada hasil yang diperoleh: jarak dari titik A ke titik B pada satah ditentukan dengan pengiraan menggunakan formula menggunakan koordinat titik-titik ini

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formula yang dihasilkan juga mengesahkan pernyataan yang telah dibentuk sebelum ini untuk kes-kes kebetulan titik atau situasi apabila titik terletak pada garis lurus berserenjang dengan paksi. Jadi, jika titik A dan B bertepatan, kesamaan berikut akan menjadi benar: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Untuk situasi di mana titik A dan B terletak pada garis lurus berserenjang dengan paksi-x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Untuk kes apabila titik A dan B terletak pada garis lurus berserenjang dengan paksi ordinat:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Data awal: sistem koordinat segi empat tepat O x y z dengan titik arbitrari terletak di atasnya dengan koordinat A (x A, y A, z A) dan B (x B, y B, z B) yang diberikan. Ia adalah perlu untuk menentukan jarak antara titik-titik ini.

Mari kita pertimbangkan kes umum apabila titik A dan B tidak terletak pada satah selari dengan salah satu satah koordinat. Mari kita lukis satah berserenjang dengan paksi koordinat melalui titik A dan B dan dapatkan titik unjuran yang sepadan: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Jarak antara titik A dan B ialah pepenjuru bagi paip selari yang terhasil. Mengikut pembinaan ukuran parallelepiped ini: A x B x , A y B y dan A z B z

Daripada kursus geometri kita tahu bahawa kuasa dua pepenjuru bagi sebuah selari adalah sama dengan jumlah kuasa dua dimensinya. Berdasarkan pernyataan ini, kita memperoleh kesamaan: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Menggunakan kesimpulan yang diperoleh sebelum ini, kami menulis perkara berikut:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Mari kita ubah ungkapan:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Akhir formula untuk menentukan jarak antara titik dalam ruang akan kelihatan seperti ini:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Formula yang dihasilkan juga sah untuk kes apabila:

Mata bertepatan;

Berbaring di atas satu paksi koordinat atau garis lurus selari dengan salah satu paksi koordinat.

Contoh penyelesaian masalah mencari jarak antara titik

Data awal: garis koordinat dan titik yang terletak di atasnya dengan koordinat A (1 - 2) dan B (11 + 2) diberikan. Ia adalah perlu untuk mencari jarak dari titik asal O ke titik A dan antara titik A dan B.

Penyelesaian

1. Jarak dari titik rujukan ke titik adalah sama dengan modulus koordinat titik ini, masing-masing O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Kami mentakrifkan jarak antara titik A dan B sebagai modulus perbezaan antara koordinat titik ini: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Jawapan: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Contoh 2

Data awal: sistem koordinat segi empat tepat dan dua titik terletak di atasnya A (1, - 1) dan B (λ + 1, 3) diberikan. λ ialah beberapa nombor nyata. Ia adalah perlu untuk mencari semua nilai nombor ini di mana jarak A B akan sama dengan 5.

Penyelesaian

Untuk mencari jarak antara titik A dan B, anda mesti menggunakan formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Menggantikan nilai koordinat sebenar, kita dapat: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Kami juga menggunakan syarat sedia ada iaitu A B = 5 dan kemudian kesamaan akan menjadi benar:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Jawapan: A B = 5 jika λ = ± 3.

Contoh 3

Data awal: ruang tiga dimensi dinyatakan dalam sistem koordinat segi empat tepat O x y z dan titik A (1, 2, 3) dan B - 7, - 2, 4 terletak di dalamnya.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah, kami menggunakan formula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Menggantikan nilai nyata, kita dapat: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Jawapan: | A B | = 9

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter