SISTEM KOORDINAT CARTESIAN SISTEM KOORDINAT CARTESIAN
SISTEM KOORDINAT CARTESIAN, sistem koordinat rectilinear pada satah atau di angkasa (biasanya dengan paksi yang saling berserenjang dan skala yang sama di sepanjang paksi). Dinamakan sempena R. Descartes (cm. DESCARTES Rene).
Descartes adalah orang pertama yang memperkenalkan sistem koordinat, yang jauh berbeza daripada yang diterima umum hari ini. Dia menggunakan sistem koordinat serong pada satah, mempertimbangkan lengkung berbanding beberapa garis lurus dengan sistem rujukan tetap. Kedudukan titik lengkung ditentukan menggunakan sistem segmen selari, condong atau berserenjang dengan garis lurus asal. Descartes tidak memperkenalkan paksi koordinat kedua dan tidak menetapkan arah rujukan dari asal koordinat. Hanya pada abad ke-18. pemahaman moden tentang sistem koordinat telah dibentuk, yang menerima nama Descartes.
***
Untuk menentukan sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, garis lurus yang saling berserenjang, dipanggil paksi, dipilih. Titik persilangan paksi O dipanggil asal usul. Pada setiap paksi, arah positif ditentukan dan unit skala dipilih. Koordinat titik P dianggap positif atau negatif bergantung pada separuh paksi mana unjuran titik jatuh P.
Sistem koordinat 2D
P pada satah dalam sistem koordinat dua dimensi, jarak yang diambil dengan tanda tertentu (dinyatakan dalam unit skala) titik ini kepada dua garisan yang saling berserenjang - paksi koordinat atau unjuran vektor jejari - dipanggil r mata P menjadi dua yang saling berserenjang paksi koordinat.
Dalam sistem koordinat dua dimensi, paksi mendatar dipanggil paksi-x (paksi OX), paksi menegak ialah paksi ordinat (paksi OY). Arah positif dipilih pada paksi OX- ke kanan, pada paksi OY- naik. Koordinat x Dan y dipanggil absis dan ordinat titik, masing-masing. Tatatanda P(a,b) bermaksud titik P pada satah mempunyai absis a dan ordinat b.
Sistem koordinat tiga dimensi
Cartesian koordinat segi empat tepat mata P dalam ruang tiga dimensi, jarak yang diambil dengan tanda tertentu (dinyatakan dalam unit skala) titik ini kepada tiga satah koordinat yang saling berserenjang atau unjuran vektor jejari dipanggil (cm. VEKTOR RADIUS) r mata P menjadi tiga paksi koordinat yang saling berserenjang.
Melalui titik sewenang-wenangnya di angkasa O- asal koordinat - tiga pasang garis lurus berserenjang dilukis: paksi OX(paksi x), paksi OY(paksi-y), paksi OZ(paksi pakai).
Vektor unit boleh ditentukan pada paksi koordinat i, j, k sepanjang kapak OX,OY, OZ masing-masing.
Bergantung pada kedudukan relatif arah positif paksi koordinat, sistem koordinat kanan dan kiri adalah mungkin. Sebagai peraturan, sistem koordinat tangan kanan digunakan. Dalam sistem koordinat yang betul, arah positif dipilih seperti berikut: sepanjang paksi OX- pada pemerhati; sepanjang paksi OY - ke kanan; sepanjang paksi OZ - atas. Dalam sistem koordinat tangan kanan, putaran terpendek dari paksi-X ke paksi-Y adalah mengikut arah lawan jam; jika serentak dengan putaran sedemikian kita bergerak sepanjang arah positif paksi Z, maka hasilnya akan menjadi pergerakan mengikut peraturan skru kanan.
Notasi P(a,b,c) bermaksud titik P mempunyai absis a, ordinat b dan applicate c.
Setiap rangkap tiga nombor (a,b,c) mentakrifkan satu titik P. Akibatnya, sistem koordinat Cartesan segi empat tepat mewujudkan korespondensi satu dengan satu antara set titik dalam ruang dan set triplet tertib nombor nyata.
Selain paksi koordinat, terdapat juga satah koordinat. Permukaan koordinat yang mana salah satu koordinatnya kekal malar ialah satah selari dengan satah koordinat, dan garis koordinat sepanjang yang mana hanya satu perubahan koordinat adalah garis lurus selari dengan paksi koordinat. Permukaan koordinat bersilang di sepanjang garis koordinat.
satah koordinat XOY mengandungi paksi OX Dan OY, satah koordinat YOZ mengandungi paksi OY Dan OZ, satah koordinat XOZ mengandungi paksi OX Dan OZ.
Kamus ensiklopedia. 2009 .
SISTEM KOORDINAT CARTESIAN- sistem koordinat segi empat tepat pada satah atau dalam ruang, di mana skala sepanjang paksi adalah sama dan paksi koordinat saling berserenjang. D. s. K. dilambangkan dengan huruf x:, y untuk titik pada satah atau x, y, z untuk titik dalam ruang. (Cm.……
SISTEM KOORDINAT CARTESIAN, sistem yang diperkenalkan oleh Rene DESCARTES, di mana kedudukan sesuatu titik ditentukan oleh jarak daripadanya ke garisan yang saling bersilang (paksi). Dalam versi sistem yang paling mudah, paksi (ditandakan x dan y) adalah berserenjang.... ... Kamus ensiklopedia saintifik dan teknikal
Sistem koordinat segi empat tepat atau Cartesian ialah sistem koordinat yang paling biasa di satah dan di angkasa. Kandungan 1 Sistem koordinat segi empat tepat pada satah ... Wikipedia
Sistem koordinat kartesian
Sistem koordinat rectilinear (Lihat Koordinat) pada satah atau di angkasa (biasanya dengan skala yang sama di sepanjang paksi). R. Descartes sendiri dalam "Geometri" (1637) hanya menggunakan sistem koordinat pada satah (secara umum, serong). Selalunya…… Ensiklopedia Soviet yang Hebat
Satu set definisi yang melaksanakan kaedah koordinat, iaitu satu cara untuk menentukan kedudukan titik atau badan menggunakan nombor atau simbol lain. Set nombor yang menentukan kedudukan titik tertentu dipanggil koordinat titik ini. Dalam... ... Wikipedia
sistem kartesian- Dekarto koordinačių sistem statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Sistem kartesian; Sistem koordinat cartesian vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Sistem kartesian, f; Sistem kartesian... ... Fizikos terminų žodynas
SISTEM KOORDINAT- satu set syarat yang menentukan kedudukan titik pada garis lurus, pada satah, dalam ruang. Terdapat pelbagai bentuk linear: Cartesian, oblik, silinder, sfera, curvilinear, dll. Linear dan nilai sudut, menentukan kedudukan... ... Ensiklopedia Politeknik Besar
Sistem koordinat rectilinear ortonormal dalam ruang Euclidean. D.p.s. pada satah ditentukan oleh dua paksi koordinat lurus yang saling berserenjang, pada setiap satunya arah positif dipilih dan segmen unit ... Ensiklopedia Matematik
Sistem koordinat segi empat tepat ialah sistem koordinat segi empat tepat dengan paksi yang saling berserenjang pada satah atau di angkasa. Sistem koordinat yang paling mudah dan oleh itu paling biasa digunakan. Sangat mudah dan terus diringkaskan untuk... ... Wikipedia
Jika kita memperkenalkan sistem koordinat pada satah atau dalam ruang tiga dimensi, kita akan dapat menerangkan angka geometri dan sifatnya menggunakan persamaan dan ketaksamaan, iaitu, kita akan dapat menggunakan kaedah algebra. Oleh itu, konsep sistem koordinat adalah sangat penting.
Dalam artikel ini kami akan menunjukkan bagaimana sistem koordinat Cartesian segi empat tepat ditakrifkan pada satah dan dalam ruang tiga dimensi dan mengetahui bagaimana koordinat titik ditentukan. Untuk kejelasan, kami menyediakan ilustrasi grafik.
Navigasi halaman.
Mari kita perkenalkan sistem segi empat tepat koordinat di atas kapal terbang.
Untuk melakukan ini, lukis dua garis yang saling berserenjang pada satah dan pilih pada setiap satu arah yang positif, menunjukkannya dengan anak panah, dan pilih pada setiap satu daripadanya skala(unit panjang). Mari kita nyatakan titik persilangan garis-garis ini dengan huruf O dan pertimbangkan titik permulaan. Jadi kami dapat sistem koordinat segi empat tepat di permukaan.
Setiap garis lurus dengan O asal yang dipilih, arah dan skala dipanggil garis koordinat atau paksi koordinat.
Sistem koordinat segi empat tepat pada satah biasanya dilambangkan dengan Oxy, di mana Ox dan Oy ialah paksi koordinatnya. Paksi Lembu dipanggil paksi-x, dan paksi Oy – paksi-y.
Sekarang mari kita bersetuju tentang imej sistem koordinat segi empat tepat pada satah.
Lazimnya, unit ukuran panjang pada paksi Ox dan Oy dipilih untuk sama dan diplotkan daripada asal pada setiap paksi koordinat dalam arah positif (ditandakan dengan sempang pada paksi koordinat dan unit itu ditulis di sebelah ia), paksi absis diarahkan ke kanan, dan paksi ordinat diarahkan ke atas. Semua pilihan lain untuk arah paksi koordinat dikurangkan kepada paksi bersuara (paksi lembu - ke kanan, paksi Oy - atas) dengan memutar sistem koordinat pada sudut tertentu berbanding dengan asal dan melihatnya dari sisi lain pesawat (jika perlu).
Sistem koordinat segi empat tepat sering dipanggil Cartesian, kerana ia pertama kali diperkenalkan pada pesawat oleh Rene Descartes. Lebih biasa lagi, sistem koordinat segi empat tepat dipanggil sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, meletakkan semuanya bersama-sama.
Sistem koordinat segi empat tepat Oxyz ditetapkan dengan cara yang sama dalam ruang Euclidean tiga dimensi, hanya bukan dua, tetapi tiga garis saling berserenjang diambil. Dalam erti kata lain, paksi koordinat Oz ditambah pada paksi koordinat Ox dan Oy, yang dipanggil paksi terpakai.
Bergantung pada arah paksi koordinat, sistem koordinat segi empat tepat kanan dan kiri dalam ruang tiga dimensi dibezakan.
Jika dilihat dari arah positif paksi Oz dan putaran terpendek dari arah positif paksi Ox ke arah positif paksi Oy berlaku mengikut lawan jam, maka sistem koordinat dipanggil betul.
Jika dilihat dari arah positif paksi Oz dan putaran terpendek dari arah positif paksi Ox ke arah positif paksi Oy berlaku mengikut arah jam, maka sistem koordinat dipanggil dibiarkan.
Mula-mula, pertimbangkan garis koordinat Ox dan ambil beberapa titik M di atasnya.
Setiap nombor nyata sepadan dengan satu titik M pada garis koordinat ini. Sebagai contoh, titik yang terletak pada garis koordinat pada jarak dari asalan dalam arah positif sepadan dengan nombor , dan nombor -3 sepadan dengan titik yang terletak pada jarak 3 dari asalan dalam arah negatif. Nombor 0 sepadan dengan titik permulaan.
Sebaliknya, setiap titik M pada garis koordinat Ox sepadan dengan nombor nyata. Nombor nyata ini adalah sifar jika titik M bertepatan dengan asalan (titik O). Nombor nyata ini adalah positif dan sama dengan panjang segmen OM pada skala tertentu jika titik M dialihkan dari asal ke arah positif. Nombor nyata ini adalah negatif dan sama dengan panjang segmen OM dengan tanda tolak jika titik M dialihkan dari asal ke arah negatif.
Nombor dipanggil menyelaras titik M pada garis koordinat.
Sekarang pertimbangkan sebuah satah dengan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat yang diperkenalkan. Mari kita tandakan titik M pada satah ini.
Biarkan unjuran titik M pada garis Ox, dan biarkan unjuran titik M pada garis koordinat Oy (jika perlu, lihat artikel). Iaitu, jika melalui titik M kita melukis garis berserenjang dengan paksi koordinat Ox dan Oy, maka titik persilangan garis ini dengan garis Ox dan Oy ialah titik dan, masing-masing.
Biarkan nombor itu sepadan dengan titik pada paksi koordinat Ox, dan nombor itu kepada titik pada paksi Oy.
Setiap titik M satah dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat tertentu sepadan dengan pasangan tertib nombor nyata yang unik, dipanggil koordinat titik M di permukaan. Koordinat dipanggil absis titik M, A - koordinat titik M.
Pernyataan sebaliknya juga benar: setiap pasangan tertib nombor nyata sepadan dengan titik M pada satah dalam sistem koordinat tertentu.
Mari kita tunjukkan bagaimana koordinat titik M ditentukan dalam sistem koordinat segi empat tepat yang ditakrifkan dalam ruang tiga dimensi.
Biarkan dan menjadi unjuran titik M pada paksi koordinat Ox, Oy dan Oz, masing-masing. Biarkan titik ini pada paksi koordinat Ox, Oy dan Oz sepadan dengan nombor nyata dan.
Sistem tertib dua atau tiga bersilang berserenjang antara satu sama lain paksi dengan titik rujukan sepunya (asal koordinat) dan unit biasa panjang dipanggil sistem koordinat Cartesan segi empat tepat .
Sistem koordinat Cartesan Am (sistem koordinat affine) mungkin tidak semestinya termasuk paksi serenjang. Sebagai penghormatan kepada ahli matematik Perancis Rene Descartes (1596-1662), sistem koordinat sedemikian dinamakan di mana unit panjang yang sama diukur pada semua paksi dan paksinya lurus.
Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah mempunyai dua kapak dan sistem koordinat Cartesian segi empat tepat di angkasa - tiga kapak. Setiap titik pada satah atau dalam ruang ditakrifkan oleh set koordinat tersusun - nombor yang sepadan dengan unit panjang sistem koordinat.
Perhatikan bahawa, seperti berikut dari definisi, terdapat sistem koordinat Cartes pada garis lurus, iaitu, dalam satu dimensi. Pengenalan koordinat Cartesian pada garis adalah salah satu cara di mana mana-mana titik pada garis dikaitkan dengan nombor nyata yang jelas, iaitu, koordinat.
Kaedah koordinat, yang timbul dalam karya Rene Descartes, menandakan penstrukturan semula revolusioner semua matematik. Ia menjadi mungkin untuk mentafsir persamaan algebra(atau ketaksamaan) dalam bentuk imej geometri (graf) dan, sebaliknya, cari penyelesaian masalah geometri menggunakan formula analisis dan sistem persamaan. Ya, ketidaksamaan z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy dan terletak di atas satah ini sebanyak 3 unit.
Menggunakan sistem koordinat Cartesan, keahlian titik pada lengkung tertentu sepadan dengan fakta bahawa nombor x Dan y memenuhi beberapa persamaan. Jadi, koordinat titik pada bulatan dengan pusat di titik yang diberikan (a; b) memenuhi persamaan (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Dua paksi berserenjang pada satah dengan asalan yang sama dan bentuk unit skala yang sama Sistem koordinat segi empat tepat Cartesian pada satah . Salah satu paksi ini dipanggil paksi lembu, atau paksi-x , yang lain - paksi Oy, atau paksi-y . Paksi ini juga dipanggil paksi koordinat. Mari kita nyatakan dengan Mx Dan My masing-masing, unjuran titik arbitrari M pada paksi lembu Dan Oy. Bagaimana untuk mendapatkan unjuran? Mari kita lalui perkara itu M lembu. Garis lurus ini bersilang dengan paksi lembu pada titik Mx. Mari kita lalui perkara itu M garis lurus berserenjang dengan paksi Oy. Garis lurus ini bersilang dengan paksi Oy pada titik My. Ini ditunjukkan dalam gambar di bawah.
x Dan y mata M kami akan memanggil nilai segmen yang diarahkan dengan sewajarnya OMx Dan OMy. Nilai segmen terarah ini dikira sewajarnya sebagai x = x0 - 0 Dan y = y0 - 0 . Koordinat Cartesian x Dan y mata M abscissa Dan selaras . Hakikat bahawa perkara itu M mempunyai koordinat x Dan y, dilambangkan seperti berikut: M(x, y) .
Paksi koordinat membahagikan satah kepada empat kuadran , penomboran yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. Ia juga menunjukkan susunan tanda untuk koordinat titik bergantung pada lokasinya dalam kuadran tertentu.
Selain koordinat segi empat tepat Cartesian pada satah, sistem koordinat kutub juga sering dipertimbangkan. Mengenai kaedah peralihan dari satu sistem koordinat ke yang lain - dalam pelajaran sistem koordinat kutub.
Koordinat Cartesan dalam angkasa diperkenalkan dalam analogi lengkap dengan koordinat Cartesan dalam satah.
Tiga paksi yang saling berserenjang dalam ruang (paksi koordinat) dengan asalan yang sama O dan dengan unit skala yang sama ia terbentuk Sistem koordinat segi empat tepat Cartesian di angkasa .
Salah satu paksi ini dipanggil paksi lembu, atau paksi-x , yang lain - paksi Oy, atau paksi-y , paksi ketiga Oz, atau paksi terpakai . biarlah Mx, My Mz- unjuran titik sewenang-wenangnya M ruang pada paksi lembu , Oy Dan Oz masing-masing.
Mari kita lalui perkara itu M lembulembu pada titik Mx. Mari kita lalui perkara itu M satah berserenjang dengan paksi Oy. Satah ini bersilang dengan paksi Oy pada titik My. Mari kita lalui perkara itu M satah berserenjang dengan paksi Oz. Satah ini bersilang dengan paksi Oz pada titik Mz.
Koordinat segi empat tepat Cartesian x , y Dan z mata M kami akan memanggil nilai segmen yang diarahkan dengan sewajarnya OMx, OMy Dan OMz. Nilai segmen terarah ini dikira sewajarnya sebagai x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Dan z = z0 - 0 .
Koordinat Cartesian x , y Dan z mata M dipanggil sewajarnya abscissa , selaras Dan memohon .
Paksi koordinat yang diambil secara berpasangan terletak dalam satah koordinat xOy , yOz Dan zOx .
Contoh 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Cari koordinat unjuran titik-titik ini pada paksi absis.
Penyelesaian. Seperti berikut dari bahagian teori pelajaran ini, unjuran titik ke paksi absis terletak pada paksi absis itu sendiri, iaitu paksi lembu, dan oleh itu mempunyai absis sama dengan absis titik itu sendiri, dan ordinat (koordinat pada paksi Oy, yang paksi-x bersilang pada titik 0), yang sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi titik-titik ini pada paksi-x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Contoh 2. Dalam sistem koordinat Cartesan, titik diberikan pada satah
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Cari koordinat unjuran titik-titik ini pada paksi ordinat.
Penyelesaian. Seperti berikut dari bahagian teori pelajaran ini, unjuran titik ke paksi ordinat terletak pada paksi ordinat itu sendiri, iaitu paksi Oy, dan oleh itu mempunyai ordinat sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan abscissa (koordinat pada paksi lembu, yang mana paksi ordinat bersilang pada titik 0), yang sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi titik-titik ini pada paksi ordinat:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Contoh 3. Dalam sistem koordinat Cartesan, titik diberikan pada satah
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
lembu .
lembu lembu lembu, akan mempunyai absis yang sama dengan titik yang diberikan, dan ordinat sama dengan nilai mutlak dengan ordinat titik yang diberikan, dan berlawanan dalam tanda. Oleh itu, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada titik ini berbanding dengan paksi lembu :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Contoh 4. Tentukan di mana kuadran (suku, melukis dengan kuadran - di penghujung perenggan "Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah") satu titik boleh ditemui M(x; y) , Jika
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Contoh 5. Dalam sistem koordinat Cartesan, titik diberikan pada satah
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Cari koordinat titik simetri kepada titik ini berbanding dengan paksi Oy .
Contoh 6. Dalam sistem koordinat Cartesan, titik diberikan pada satah
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Cari koordinat titik simetri kepada titik ini berbanding dengan paksi Oy .
Penyelesaian. Putar 180 darjah mengelilingi paksi Oy segmen arah dari paksi Oy sehingga ke tahap ini. Dalam rajah, di mana kuadran satah ditunjukkan, kita melihat bahawa titik simetri kepada yang diberikan relatif kepada paksi. Oy, akan mempunyai ordinat yang sama dengan titik yang diberikan, dan absis sama dengan nilai mutlak dengan absis titik yang diberikan dan berlawanan dalam tanda. Oleh itu, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada titik ini berbanding dengan paksi Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Contoh 7. Dalam sistem koordinat Cartesan, titik diberikan pada satah
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Cari koordinat titik simetri kepada titik ini berbanding dengan asalan.
Penyelesaian. Kami memutarkan segmen yang diarahkan dari asal ke titik tertentu sebanyak 180 darjah di sekeliling asal. Dalam rajah, di mana kuadran satah ditunjukkan, kita melihat bahawa titik simetri kepada titik yang diberikan berbanding dengan asal koordinat akan mempunyai absis dan ordinat yang sama dalam nilai mutlak dengan absis dan ordinat bagi titik yang diberikan, tetapi bertentangan dalam tanda. Oleh itu, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada titik ini berbanding dengan asal:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Contoh 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Cari koordinat unjuran titik-titik ini:
1) dalam kapal terbang Oxy ;
2) dalam kapal terbang Oxz ;
3) ke kapal terbang Oyz ;
4) pada paksi absis;
5) pada paksi ordinat;
6) pada paksi terpakai.
1) Unjuran titik pada satah Oxy terletak pada satah ini sendiri, dan oleh itu mempunyai absis dan ordinat sama dengan absis dan ordinat bagi titik tertentu, dan aplikasi sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini ke Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Unjuran titik pada satah Oxz terletak pada satah ini sendiri, dan oleh itu mempunyai absis dan terpakai sama dengan absis dan menggunakan titik tertentu, dan ordinat sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini ke Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Unjuran titik pada satah Oyz terletak pada satah ini sendiri, dan oleh itu mempunyai ordinat dan guna sama dengan ordinat dan aplikasi bagi titik tertentu, dan absis sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini ke Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Seperti berikut dari bahagian teori pelajaran ini, unjuran titik ke paksi absis terletak pada paksi absis itu sendiri, iaitu paksi lembu, dan oleh itu mempunyai absis sama dengan absis titik itu sendiri, dan ordinat dan aplikasi unjuran adalah sama dengan sifar (memandangkan paksi ordinat dan aplikasi bersilang dengan absis pada titik 0). Kami memperoleh koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada paksi absis:
Ax(4;0;0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Unjuran titik ke paksi ordinat terletak pada paksi ordinat itu sendiri, iaitu paksi Oy, dan oleh itu mempunyai ordinat sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan absis dan aplikasi unjuran adalah sama dengan sifar (memandangkan paksi absis dan aplikasi bersilang dengan paksi ordinat pada titik 0). Kami memperoleh koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada paksi ordinat:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Unjuran titik pada paksi terpakai terletak pada paksi terpakai itu sendiri, iaitu, paksi Oz, dan oleh itu mempunyai pengaplikasi sama dengan pengaplikasi titik itu sendiri, dan absis dan ordinat unjuran adalah sama dengan sifar (memandangkan paksi absis dan ordinat bersilang dengan paksi gunaan pada titik 0). Kami memperoleh koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada paksi terpakai:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Contoh 9. Dalam sistem koordinat Cartesan, titik diberikan dalam ruang
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Cari koordinat titik simetri dengan titik ini berkenaan dengan:
1) kapal terbang Oxy ;
2) kapal terbang Oxz ;
3) kapal terbang Oyz ;
4) kapak absis;
5) paksi ordinat;
6) menggunakan paksi;
7) asal koordinat.
1) "Gerakkan" titik pada sisi lain paksi Oxy Oxy, akan mempunyai abscissa dan ordinat sama dengan abscissa dan ordinat bagi titik tertentu, dan applicate sama magnitud dengan aplicate titik tertentu, tetapi bertentangan dalam tanda. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berbanding satah Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Gerakan" titik pada sisi lain paksi Oxz ke jarak yang sama. Daripada rajah yang memaparkan ruang koordinat, kita melihat bahawa titik simetri kepada satu tertentu berbanding paksi Oxz, akan mempunyai absis dan mengaplikasi sama dengan absis dan menggunakan titik tertentu, dan ordinat sama dengan magnitud dengan ordinat titik tertentu, tetapi berlawanan dalam tanda. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berbanding satah Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Gerakkan" titik pada sisi lain paksi Oyz ke jarak yang sama. Daripada rajah yang memaparkan ruang koordinat, kita melihat bahawa titik simetri kepada satu tertentu berbanding paksi Oyz, akan mempunyai ordinat dan aplikat sama dengan ordinat dan aplikat bagi titik tertentu, dan absis sama dengan nilai dengan absis titik tertentu, tetapi berlawanan dalam tanda. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berbanding satah Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Dengan analogi dengan titik simetri pada satah dan titik dalam ruang yang simetri kepada data berbanding satah, kami perhatikan bahawa dalam kes simetri berkenaan dengan beberapa paksi sistem koordinat Cartes di ruang angkasa, koordinat pada paksi berkenaan dengan yang simetri diberikan akan mengekalkan tandanya, dan koordinat pada dua paksi yang lain akan sama dalam nilai mutlak dengan koordinat titik tertentu, tetapi bertentangan dalam tanda.
4) Abscissa akan mengekalkan tandanya, tetapi ordinat dan aplikasi akan berubah tanda. Jadi, kami memperoleh koordinat titik berikut yang simetri kepada data berbanding paksi absis:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinat akan mengekalkan tandanya, tetapi abscissa dan applicate akan bertukar tanda. Jadi, kami memperoleh koordinat titik berikut yang simetri kepada data berbanding dengan paksi ordinat:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Pemohon akan mengekalkan tandanya, tetapi absis dan ordinat akan bertukar tanda. Jadi, kami memperoleh koordinat titik berikut yang simetri kepada data berbanding dengan paksi terpakai:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Dengan analogi dengan simetri dalam kes titik pada satah, dalam kes simetri tentang asal koordinat, semua koordinat titik simetri kepada yang diberikan akan sama dalam nilai mutlak dengan koordinat titik tertentu, tetapi bertentangan dengan mereka dalam tanda. Jadi, kami memperoleh koordinat titik berikut yang simetri kepada data berbanding dengan asal.
Dalam ruang di mana kedudukan titik boleh ditakrifkan sebagai unjurannya ke garis tetap yang bersilang pada satu titik, dipanggil asalan. Unjuran ini dipanggil koordinat titik, dan garis lurus dipanggil paksi koordinat.
Dalam kes umum, pada satah, sistem koordinat Cartesan (sistem koordinat afine) ditentukan oleh titik O (asal) dan pasangan tertib bagi vektor e 1 dan e 2 (vektor asas) yang dilampirkan padanya yang tidak terletak padanya. pada baris yang sama. Garis lurus yang melalui asalan dalam arah vektor asas dipanggil paksi koordinat bagi sistem koordinat Cartesan tertentu. Yang pertama, ditentukan oleh vektor e 1, dipanggil paksi absis (atau paksi Lembu), yang kedua ialah paksi ordinat (atau paksi Oy). Sistem koordinat Cartesan itu sendiri dilambangkan dengan Oe 1 e 2 atau Oxy. Koordinat Cartes titik M (Rajah 1) dalam sistem koordinat Cartes Oe 1 e 2 dipanggil pasangan nombor tertib (x, y), yang merupakan pekali pengembangan vektor OM di sepanjang asas (e 1, e 2), iaitu, x dan y adalah sedemikian rupa sehingga OM = xe 1 + ue 2. Nombor x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).
Jika dua sistem koordinat Cartesan Oe 1 e 2 dan 0'e' 1 e' 2 diperkenalkan pada satah supaya vektor asas (e' 1, e' 2) dinyatakan melalui vektor asas (e 1, e 2) oleh formula
e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e’ 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2
dan titik O' mempunyai koordinat (x 0, y 0) dalam sistem koordinat Cartes Oe 1 e 2, kemudian koordinat (x, y) bagi titik M dalam sistem koordinat Cartes Oe 1 e2 dan koordinat (x' , y') daripada titik yang sama dalam sistem koordinat Cartes O'e 1 e' 2 dikaitkan dengan hubungan
x = a 11 x’ + a 21 y’ + x 0, y = a 12 x’+ a 22 y’+ y 0.
Sistem koordinat Cartesan dipanggil segi empat tepat jika asas (e 1, e 2) adalah ortonormal, iaitu, vektor e 1 dan e 2 adalah saling berserenjang dan mempunyai panjang sama dengan satu (vektor e 1 dan e 2 dipanggil orts dalam kes ini). Dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, koordinat x dan y bagi titik M ialah nilai unjuran ortogon titik M pada paksi Ox dan Oy, masing-masing. Dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat Oxy, jarak antara titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) adalah sama dengan √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1 ) 2
Formula untuk peralihan daripada satu sistem koordinat Cartesan segi empat tepat Oxy ke sistem koordinat Cartesan segi empat tepat yang lain O'x'y', permulaannya O' sistem koordinat Cartesan Oxy ialah O'(x0, y0), mempunyai bentuk
x = x’cosα - y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0
x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.
Dalam kes pertama, sistem O'x'y' dibentuk dengan memutarkan vektor asas e 1 ; e 2 dengan sudut α dan pemindahan asal koordinat O ke titik O’ (Rajah 2),
dan dalam kes kedua - dengan memutarkan vektor asas e 1, e 2 dengan sudut α, pantulan seterusnya paksi yang mengandungi vektor e 2 berbanding dengan garis lurus yang membawa vektor e 1, dan memindahkan asal O ke titik O ' (Rajah 3).
Kadangkala sistem koordinat Cartesian serong digunakan, yang berbeza daripada segi empat tepat kerana sudut antara vektor asas unit tidak betul.
Sistem koordinat Cartes umum (sistem koordinat afine) dalam ruang ditakrifkan dengan cara yang sama: titik O ditentukan - asal koordinat dan tiga tertib vektor е 1 , е 2 , е 3 (vektor asas) yang dilampirkan padanya dan tidak berbohong dalam pesawat yang sama. Seperti dalam kes satah, paksi koordinat ditentukan - paksi absis (paksi lembu), paksi ordinat (paksi Oy) dan paksi terpakai (paksi Oz) (Rajah 4).
Sistem koordinat Cartesan dalam ruang dilambangkan dengan Oe 1 e 2 e 3 (atau Oxyz). Satah yang melalui sepasang paksi koordinat dipanggil satah koordinat. Sistem koordinat Cartesan di angkasa dipanggil tangan kanan jika putaran dari paksi Ox ke paksi Oy dibuat ke arah yang bertentangan dengan pergerakan mengikut arah jam apabila melihat satah Oxy dari satu titik pada separuh paksi positif Oz; , sistem koordinat Cartesan dipanggil kidal. Jika vektor asas e 1, e 2, e 3 mempunyai panjang sama dengan satu dan berserenjang berpasangan, maka sistem koordinat Cartesan dipanggil segi empat tepat. Kedudukan satu sistem koordinat Cartesian segi empat tepat dalam ruang berbanding dengan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat yang lain dengan orientasi yang sama ditentukan oleh tiga sudut Euler.
Sistem koordinat Cartesian dinamakan sempena R. Descartes, walaupun dalam karyanya "Geometri" (1637) sistem koordinat serong telah dipertimbangkan, di mana koordinat titik hanya boleh positif. Dalam edisi 1659-61, karya ahli matematik Belanda I. Gudde telah dilampirkan pada Geometri, di mana untuk pertama kalinya kedua-dua nilai koordinat positif dan negatif dibenarkan. Sistem koordinat Cartesian spatial telah diperkenalkan oleh ahli matematik Perancis F. Lahire (1679). Pada awal abad ke-18, notasi x, y, z untuk koordinat Cartesan telah ditubuhkan.
