Pengenalan………………………………………………………………………………3
1. Nilai vektor dan skalar………………………………………….4
2. Definisi unjuran, paksi dan koordinat bagi suatu titik…………………….5
3. Unjuran vektor pada paksi……………………………………………………...6
4. Formula asas algebra vektor……………………………..8
pengenalan:
Fizik berkait rapat dengan matematik. Matematik memberi fizik cara dan teknik untuk ungkapan umum dan tepat tentang hubungan antara kuantiti fizik yang ditemui hasil daripada eksperimen atau penyelidikan teori Lagipun, kaedah utama penyelidikan dalam fizik adalah eksperimen. Ini bermakna seorang saintis mendedahkan pengiraan menggunakan ukuran. Menyatakan hubungan antara pelbagai kuantiti fizik. Kemudian, semuanya diterjemahkan ke dalam bahasa matematik. Terbentuk model matematik. Fizik adalah sains yang mengkaji yang paling mudah dan pada masa yang sama yang paling banyak corak umum. Tugas fizik adalah untuk mencipta gambaran sedemikian dalam fikiran kita dunia fizikal, yang paling mencerminkan sifatnya dan menyediakan perhubungan sedemikian antara unsur-unsur model yang wujud antara unsur-unsur.
Jadi, fizik mencipta model dunia di sekeliling kita dan mengkaji sifatnya. Tetapi mana-mana model adalah terhad. Apabila mencipta model fenomena tertentu, hanya sifat dan sambungan yang penting untuk julat fenomena tertentu diambil kira. Ini adalah seni seorang saintis - untuk memilih perkara utama daripada semua kepelbagaian.
Model fizikal adalah matematik, tetapi matematik bukan asasnya. Hubungan kuantitatif antara kuantiti fizik ditentukan hasil daripada pengukuran, pemerhatian dan kajian eksperimen dan hanya dinyatakan dalam bahasa matematik. Walau bagaimanapun, tiada bahasa lain untuk dibina teori fizikal tidak wujud.
1. Maksud vektor dan skalar.
Dalam fizik dan matematik, vektor ialah kuantiti yang dicirikan oleh nilai berangka dan arahnya. Dalam fizik, terdapat banyak kuantiti penting yang merupakan vektor, contohnya, daya, kedudukan, kelajuan, pecutan, tork, momentum, kekuatan medan elektrik dan magnet. Mereka boleh dibezakan dengan kuantiti lain seperti jisim, isipadu, tekanan, suhu dan ketumpatan, yang boleh diterangkan dengan nombor biasa, dan dipanggil " skalar" .
Ia ditulis sama ada dalam huruf fon biasa atau dalam nombor (a, b, t, G, 5, −7....). Kuantiti skalar boleh positif atau negatif. Pada masa yang sama, sesetengah objek kajian mungkin mempunyai sifat sedemikian yang penerangan penuh Untuk pengetahuan tentang ukuran berangka sahaja yang ternyata tidak mencukupi, ia juga perlu untuk mencirikan sifat-sifat ini mengikut arah dalam ruang. Sifat sedemikian dicirikan oleh kuantiti vektor (vektor). Vektor, tidak seperti skalar, dilambangkan dengan huruf tebal: a, b, g, F, C....
Selalunya vektor dilambangkan dengan huruf dalam fon biasa (tidak tebal), tetapi dengan anak panah di atasnya:
Modulus vektor, iaitu panjang segmen garis lurus terarah, dilambangkan dengan huruf yang sama dengan vektor itu sendiri, tetapi dalam tulisan biasa (tidak tebal) dan tanpa anak panah di atasnya, atau dengan cara yang sama. sebagai vektor (iaitu, dalam huruf tebal atau biasa, tetapi dengan anak panah), tetapi kemudian penunjukan vektor disertakan dalam sengkang menegak.
Vektor ialah objek kompleks yang secara serentak dicirikan oleh kedua-dua magnitud dan arah.
Juga tiada vektor positif dan negatif. Tetapi vektor boleh sama antara satu sama lain. Ini adalah apabila, sebagai contoh, a dan b mempunyai modul yang sama dan diarahkan ke arah yang sama. Dalam kes ini, notasi adalah benar a= b. Ia juga harus diingat bahawa simbol vektor mungkin didahului oleh tanda tolak, contohnya - c, bagaimanapun, tanda ini secara simbolik menunjukkan bahawa vektor -c mempunyai modul yang sama dengan vektor c, tetapi diarahkan ke arah yang bertentangan. arah tuju.
Vektor -c dipanggil bertentangan (atau songsang) bagi vektor c.
Dalam fizik, setiap vektor diisi dengan kandungan tertentu, dan apabila membandingkan vektor dari jenis yang sama (contohnya, daya), titik aplikasinya juga boleh menjadi penting.
2. Penentuan unjuran, paksi dan koordinat titik.
paksi- Ini adalah garis lurus yang diberi beberapa arah.
Paksi ditetapkan oleh beberapa huruf: X, Y, Z, s, t... Biasanya titik dipilih (sewenang-wenangnya) pada paksi, yang dipanggil asal dan, sebagai peraturan, ditetapkan oleh huruf O. Dari titik ini jarak ke tempat lain yang menarik bagi kami diukur.
Unjuran sesuatu titik pada paksi ialah tapak serenjang yang dilukis dari titik ini ke paksi tertentu. Iaitu, unjuran titik ke paksi adalah titik.
Koordinat titik pada paksi tertentu ialah nombor yang nilai mutlaknya sama dengan panjang segmen paksi (pada skala yang dipilih) yang terkandung di antara asal paksi dan unjuran titik ke paksi ini. Nombor ini diambil dengan tanda tambah jika unjuran titik terletak dalam arah paksi dari asalnya dan dengan tanda tolak jika dalam arah yang bertentangan.
3. Unjuran vektor pada paksi.
Unjuran vektor pada paksi ialah vektor yang diperoleh dengan mendarab unjuran skalar vektor pada paksi ini dan vektor unit paksi ini. Sebagai contoh, jika a x ialah unjuran skalar vektor a pada paksi X, maka a x ·i ialah unjuran vektornya pada paksi ini.
Mari kita nyatakan unjuran vektor dengan cara yang sama seperti vektor itu sendiri, tetapi dengan indeks paksi di mana vektor diunjurkan. Oleh itu, kami menandakan unjuran vektor vektor a ke paksi X sebagai x (huruf tebal yang menandakan vektor dan subskrip nama paksi) atau
(huruf tebal rendah yang menandakan vektor, tetapi dengan anak panah di bahagian atas (!) dan subskrip untuk nama paksi).
Unjuran skalar vektor per paksi dipanggil nombor, nilai mutlak yang sama dengan panjang segmen paksi (pada skala yang dipilih) yang disertakan di antara unjuran titik mula dan titik akhir vektor. Biasanya bukannya ungkapan unjuran skalar mereka hanya berkata- unjuran. Unjuran dilambangkan dengan huruf yang sama seperti vektor yang diunjurkan (dalam tulisan biasa, tidak tebal), dengan indeks yang lebih rendah (sebagai peraturan) nama paksi di mana vektor ini diunjurkan. Contohnya, jika vektor diunjurkan ke paksi X A, maka unjurannya dilambangkan dengan x. Apabila mengunjurkan vektor yang sama ke paksi lain, jika paksi ialah Y, unjurannya akan dilambangkan sebagai y.
Untuk mengira unjuran vektor pada paksi (contohnya, paksi X), adalah perlu untuk menolak koordinat titik permulaan daripada koordinat titik akhirnya, iaitu
a x = x k − x n.
Unjuran vektor pada paksi ialah nombor. Selain itu, unjuran boleh menjadi positif jika nilai x k lebih besar daripada nilai x n,
negatif jika nilai x k kurang daripada nilai x n
dan sama dengan sifar jika x k sama dengan x n.
Unjuran vektor pada paksi juga boleh didapati dengan mengetahui modulus vektor dan sudut yang dibuatnya dengan paksi ini.
Daripada rajah itu jelas bahawa a x = a Cos α
Iaitu, unjuran vektor ke atas paksi adalah sama dengan hasil darab modulus vektor dan kosinus sudut antara arah paksi dan arah vektor. Jika sudut itu akut, maka
Cos α > 0 dan a x > 0, dan, jika tumpul, maka kosinus sudut tumpul adalah negatif, dan unjuran vektor pada paksi juga akan negatif.
Sudut yang diukur dari paksi lawan jam dianggap positif, dan sudut yang diukur sepanjang paksi adalah negatif. Walau bagaimanapun, oleh kerana kosinus ialah fungsi genap, iaitu, Cos α = Cos (− α), apabila mengira unjuran, sudut boleh dikira mengikut arah jam dan lawan jam.
Untuk mencari unjuran vektor pada paksi, modulus vektor ini mesti didarab dengan kosinus sudut antara arah paksi dan arah vektor.
4. Formula asas algebra vektor.
Mari kita unjurkan vektor a pada paksi X dan Y sistem segi empat tepat koordinat Mari cari unjuran vektor vektor a pada paksi ini:
a x = a x ·i, dan y = a y ·j.
Tetapi mengikut peraturan penambahan vektor
a = a x + a y.
a = a x i + a y j.
Oleh itu, kami menyatakan vektor dari segi unjurannya dan vektor sistem koordinat segi empat tepat (atau dari segi unjuran vektornya).
Unjuran vektor a x dan a y dipanggil komponen atau komponen vektor a. Operasi yang kami lakukan dipanggil penguraian vektor di sepanjang paksi sistem koordinat segi empat tepat.
Jika vektor diberikan dalam ruang, maka
a = a x i + a y j + a z k.
Formula ini dipanggil formula asas algebra vektor. Sudah tentu, ia boleh ditulis seperti ini.
Unjuran algebra bagi vektor pada mana-mana paksi adalah sama dengan hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut antara paksi dan vektor:Pr a b = |b|cos(a,b) atau
Di mana a b ialah hasil darab skalar bagi vektor, |a| - modulus vektor a.
Arahan. Untuk mencari unjuran vektor Pr a b dalam talian, anda mesti menentukan koordinat vektor a dan b. Dalam kes ini, vektor boleh ditentukan pada satah (dua koordinat) dan dalam ruang (tiga koordinat). Penyelesaian yang terhasil disimpan dalam fail Word. Jika vektor ditentukan melalui koordinat titik, maka anda perlu menggunakan kalkulator ini.
Pr a b = |b|cos(a,b)
| Unjuran pada paksi OX | Unjuran pada paksi OY | Unjuran kepada vektor |
Jika arah vektor A’B’ bertepatan dengan arah paksi OX, maka unjuran vektor A’B’ mempunyai tanda positif.  | Jika arah vektor A’B’ bertepatan dengan arah paksi OY, maka unjuran vektor A’B’ mempunyai tanda positif.  | Jika arah vektor A’B’ bertepatan dengan arah vektor NM, maka unjuran vektor A’B’ mempunyai tanda positif.  |
Jika arah vektor adalah bertentangan dengan arah paksi OX, maka unjuran vektor A’B’ mempunyai tanda negatif.  | Jika arah vektor A’B’ adalah bertentangan dengan arah paksi OY, maka unjuran vektor A’B’ mempunyai tanda negatif.  | Jika arah vektor A’B’ bertentangan dengan arah vektor NM, maka unjuran vektor A’B’ mempunyai tanda negatif.  |
Jika vektor AB selari dengan paksi OX, maka unjuran vektor A’B’ adalah sama dengan nilai mutlak vektor AB.   | Jika vektor AB selari dengan paksi OY, maka unjuran vektor A’B’ adalah sama dengan nilai mutlak vektor AB.   | Jika vektor AB selari dengan vektor NM, maka unjuran vektor A’B’ adalah sama dengan nilai mutlak vektor AB.   |
Jika vektor AB berserenjang dengan paksi OX, maka unjuran A’B’ adalah sama dengan sifar (vektor nol).   | Jika vektor AB berserenjang dengan paksi OY, maka unjuran A’B’ adalah sama dengan sifar (vektor nol).   | Jika vektor AB berserenjang dengan vektor NM, maka unjuran A’B’ adalah sama dengan sifar (vektor nol).   |
1. Soalan: Bolehkah unjuran vektor mempunyai tanda negatif? Jawapan: Ya, vektor unjuran boleh menjadi nilai negatif. Dalam kes ini, vektor mempunyai arah yang bertentangan (lihat bagaimana paksi OX dan vektor AB diarahkan)
2. Soalan: Bolehkah unjuran vektor bertepatan dengan nilai mutlak vektor? Jawapan: Ya, boleh. Dalam kes ini, vektor adalah selari (atau terletak pada baris yang sama).
3. Soalan: Bolehkah unjuran vektor sama dengan sifar (vektor nol). Jawapan: Ya, boleh. Dalam kes ini, vektor adalah berserenjang dengan paksi yang sepadan (vektor).
Contoh 1. Vektor (Rajah 1) membentuk sudut 60° dengan paksi OX (ia ditentukan oleh vektor a). Jika OE ialah unit skala, maka |b|=4, jadi 
.
Sesungguhnya, panjang vektor (unjuran geometri b) adalah sama dengan 2, dan arahnya bertepatan dengan arah paksi OX.
Contoh 2. Vektor (Rajah 2) membentuk sudut (a,b) = 120 o dengan paksi OX (dengan vektor a). Panjang |b| vektor b adalah sama dengan 4, jadi pr a b=4·cos120 o = -2. 
Sesungguhnya, panjang vektor ialah 2, dan arahnya bertentangan dengan arah paksi.
dan pada paksi atau beberapa vektor lain terdapat konsep unjuran geometri dan unjuran berangka (atau algebra). Hasil unjuran geometri akan menjadi vektor, dan hasil unjuran algebra akan menjadi nombor nyata bukan negatif. Tetapi sebelum kita beralih kepada konsep ini, mari kita ingat maklumat yang diperlukan.
Konsep utama ialah konsep vektor itu sendiri. Untuk memperkenalkan definisi vektor geometri, mari kita ingat apa itu segmen. Mari kita perkenalkan definisi berikut.
Definisi 1
Segmen ialah sebahagian daripada garisan yang mempunyai dua sempadan dalam bentuk titik.
Segmen boleh mempunyai 2 arah. Untuk menunjukkan arah, kami akan memanggil salah satu sempadan segmen sebagai permulaannya, dan sempadan lain sebagai penghujungnya. Arah ditunjukkan dari awal hingga akhir segmen.
Definisi 2
Vektor atau segmen terarah akan menjadi segmen yang mana ia diketahui sempadan segmen yang dianggap sebagai permulaan dan yang mana penghujungnya.
Jawatan: Dalam dua huruf: $\overline(AB)$ – (di mana $A$ adalah permulaannya dan $B$ ialah penghujungnya).
Dalam satu huruf kecil: $\overline(a)$ (Gamb. 1).
Mari kita perkenalkan beberapa lagi konsep yang berkaitan dengan konsep vektor.
Definisi 3
Kami akan memanggil dua vektor bukan sifar kolinear jika ia terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari antara satu sama lain (Rajah 2).
Definisi 4
Kami akan memanggil dua vektor bukan sifar sebagai kodirectional jika ia memenuhi dua syarat:
Notasi: $\overline(a)\overline(b)$
Definisi 5
Kami akan memanggil dua vektor bukan sifar berlawanan arah jika ia memenuhi dua syarat:
Notasi: $\overline(a)↓\overline(d)$
Definisi 6
Panjang vektor $\overline(a)$ akan menjadi panjang segmen $a$.
Notasi: $|\overline(a)|$
Mari kita teruskan untuk menentukan kesamaan dua vektor
Definisi 7
Kami akan memanggil dua vektor sama jika ia memenuhi dua syarat:
Seperti yang kita katakan sebelum ini, hasil unjuran geometri akan menjadi vektor.
Definisi 8
Unjuran geometri bagi vektor $\overline(AB)$ ke atas paksi ialah vektor yang diperoleh seperti berikut: Titik asal bagi vektor $A$ diunjurkan ke paksi ini. Kami memperoleh titik $A"$ - permulaan vektor yang dikehendaki. Titik akhir vektor $B$ diunjurkan ke paksi ini. Kami memperoleh titik $B"$ - penghujung vektor yang dikehendaki. Vektor $\overline(A"B")$ akan menjadi vektor yang dikehendaki.
Mari kita pertimbangkan masalahnya:
Contoh 1
Bina satu unjuran geometri $\overline(AB)$ pada paksi $l$ yang ditunjukkan dalam Rajah 6.
Mari kita lukis serenjang dari titik $A$ ke paksi $l$, kita peroleh titik $A"$ di atasnya. Seterusnya, kita lukis serenjang dari titik $B$ ke paksi $l$, kita peroleh titik $B "$ padanya (Gamb. 7).
Gambar dalam lukisan jasad geometri dibina menggunakan kaedah unjuran. Tetapi untuk satu imej ini tidak mencukupi sekurang-kurangnya dua unjuran. Dengan bantuan mereka, mata dalam ruang ditentukan. Oleh itu, anda perlu tahu cara mencari unjuran sesuatu titik.
Untuk melakukan ini, anda perlu mempertimbangkan ruang sudut dihedral, dengan titik (A) terletak di dalamnya. Di sini satah unjuran P1 mendatar dan P2 menegak digunakan. Titik (A) diunjurkan secara ortogon ke atas satah unjuran. Bagi sinar unjuran serenjang, ia digabungkan menjadi satah unjuran, berserenjang dengan satah unjuran. Oleh itu, apabila menggabungkan satah P1 mendatar dan P2 hadapan dengan berputar di sepanjang paksi P2 / P1, kami memperoleh lukisan rata.
Kemudian garisan dengan titik unjuran yang terletak di atasnya ditunjukkan berserenjang dengan paksi. Ini mencipta lukisan yang kompleks. Terima kasih kepada segmen yang dibina di atasnya dan garis sambungan menegak, anda boleh dengan mudah menentukan kedudukan titik berbanding satah unjuran.
Untuk memudahkan anda memahami cara mencari unjuran, anda perlu mempertimbangkan segi tiga tepat. Bahagian pendeknya ialah kaki, dan sisi panjangnya ialah hipotenus. Jika anda mengunjurkan kaki ke hipotenus, ia akan dibahagikan kepada dua bahagian. Untuk menentukan nilainya, anda perlu mengira satu set data awal. Mari kita pertimbangkan pada segi tiga ini bagaimana untuk mengira unjuran utama.
Sebagai peraturan, dalam masalah ini mereka menunjukkan panjang kaki N dan panjang hipotenus D, yang unjurannya diperlukan untuk dijumpai. Untuk melakukan ini, kami akan mengetahui cara mencari unjuran kaki.
Mari kita pertimbangkan kaedah untuk mencari panjang kaki (A). Memandangkan min geometri unjuran kaki dan panjang hipotenus adalah sama dengan nilai kaki yang kita cari: N = √(D*Nd).
Punca hasil darab boleh didapati dengan mengkuadratkan panjang kaki yang dikehendaki (N), dan kemudian membahagikannya dengan panjang hipotenus: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Apabila menyatakan nilai hanya kaki D dan N dalam data sumber, unjuran panjang harus dicari menggunakan teorem Pythagoras.
Mari cari panjang hipotenus D. Untuk melakukan ini, anda perlu menggunakan nilai kaki √ (N² + T²), dan kemudian gantikan nilai yang terhasil ke dalam formula berikut untuk mencari unjuran: Nd = N² / √ (N² + T²).
Apabila data sumber mengandungi data tentang panjang unjuran kaki RD, serta data tentang nilai hipotenus D, panjang unjuran kaki kedua ND hendaklah dikira menggunakan formula penolakan mudah: ND = D – RD.
Mari kita lihat bagaimana untuk mencari unjuran halaju. Untuk membolehkan vektor yang diberikan mewakili perihalan gerakan, ia harus diletakkan dalam unjuran pada paksi koordinat. Terdapat satu paksi koordinat (sinar), dua paksi koordinat (satah) dan tiga paksi koordinat (ruang). Apabila mencari unjuran, adalah perlu untuk menurunkan serenjang dari hujung vektor ke paksi.
Untuk memahami maksud unjuran, anda perlu tahu cara mencari unjuran vektor.
Apabila badan bergerak berserenjang dengan paksi, unjuran akan diwakili sebagai titik dan mempunyai nilai bersamaan dengan sifar. Jika pergerakan dilakukan selari dengan paksi koordinat, maka unjuran akan bertepatan dengan modul vektor. Dalam kes apabila jasad bergerak sedemikian rupa sehingga vektor halaju diarahkan pada sudut φ berbanding dengan paksi (x), unjuran pada paksi ini akan menjadi segmen: V(x) = V cos(φ), di mana V ialah model vektor halaju Apabila arah vektor halaju dan paksi koordinat bertepatan, maka unjuran adalah positif, dan sebaliknya.
Mari kita ambil persamaan koordinat berikut: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Dalam kes ini, fungsi kelajuan akan ditayangkan ke tiga paksi dan akan mempunyai bentuk berikut: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Ia berikutan bahawa untuk mencari kelajuan adalah perlu untuk mengambil derivatif. Vektor kelajuan itu sendiri dinyatakan oleh persamaan bentuk berikut: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k Di sini i, j, k ialah vektor unit paksi koordinat x, y, z masing-masing. Oleh itu, modul halaju dikira menggunakan formula berikut: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).
