Syarahan 3. Dinamik padu
Rangka kuliah
3.1. Detik kuasa.
3.2. Persamaan asas bagi gerakan putaran. Momen inersia.
3.3. Tenaga kinetik putaran.
3.4. Detik impuls. Hukum kekekalan momentum sudut.
3.5. Analogi antara gerakan translasi dan putaran.
Detik kuasa
Mari kita pertimbangkan pergerakan jasad tegar mengelilingi paksi tetap. Biarkan jasad tegar mempunyai paksi tetap putaran OO ( Rajah.3.1) dan daya sewenang-wenangnya dikenakan padanya.
nasi. 3.1
Marilah kita menguraikan daya kepada dua komponen daya, daya terletak pada satah putaran, dan daya selari dengan paksi putaran. Kemudian kita akan menguraikan daya kepada dua komponen: – bertindak sepanjang vektor jejari dan – berserenjang dengannya.
Tidak setiap daya yang dikenakan pada badan akan memutarkannya. Daya mewujudkan tekanan pada galas, tetapi jangan memutarkannya.
Daya boleh atau mungkin tidak membuang jasad tidak seimbang, bergantung pada di mana dalam vektor jejari ia digunakan. Oleh itu, konsep momen daya tentang paksi diperkenalkan. Sekejap kuasa relatif kepada paksi putaran dipanggil hasil vektor vektor jejari dan daya.
Vektor diarahkan sepanjang paksi putaran dan ditentukan oleh peraturan hasil silang atau peraturan skru kanan atau peraturan gimlet.
Modulus momen daya
di mana α ialah sudut antara vektor dan .
Daripada Rajah 3.1. sudah jelas bahawa .
r 0 – jarak terpendek dari paksi putaran ke garis tindakan daya dan dipanggil bahu daya. Kemudian momen daya boleh ditulis
M = F r 0 . (3.3)
Daripada Rajah. 3.1.
di mana F– unjuran vektor ke arah yang berserenjang dengan vektor jejari. Dalam kes ini, momen daya adalah sama dengan
. (3.4)
Jika beberapa daya bertindak ke atas jasad, maka momen daya yang terhasil adalah sama dengan jumlah vektor momen daya individu, tetapi kerana semua momen diarahkan sepanjang paksi, ia boleh digantikan dengan jumlah algebra. Momen akan dianggap positif jika ia memutar badan mengikut arah jam dan negatif jika ia berputar mengikut lawan jam. Jika semua momen daya () adalah sama dengan sifar, jasad akan berada dalam keseimbangan.
Konsep daya kilas boleh ditunjukkan menggunakan "gegelung kapricious". Gelendong benang ditarik oleh hujung bebas benang ( nasi. 3.2).
nasi. 3.2
Bergantung pada arah ketegangan benang, gelendong bergolek ke satu arah atau yang lain. Jika ditarik secara bersudut α , maka momen daya terhadap paksi TENTANG(berserenjang dengan rajah) memutarkan gegelung mengikut lawan jam dan ia berguling ke belakang. Sekiranya berlaku ketegangan pada sudut β tork diarahkan lawan jam dan gelendong bergolek ke hadapan.
Menggunakan keadaan keseimbangan (), adalah mungkin untuk membina mekanisme mudah yang merupakan "pengubah" daya, i.e. Dengan menggunakan lebih sedikit daya, anda boleh mengangkat dan mengalihkan beban dengan berat yang berbeza. Tuas, kereta sorong, dan pelbagai jenis blok, yang digunakan secara meluas dalam pembinaan, adalah berdasarkan prinsip ini. Untuk mengekalkan keadaan keseimbangan dalam kren pembinaan untuk mengimbangi momen daya yang disebabkan oleh berat beban, sentiasa ada sistem pengimbang yang mencipta momen daya tanda yang bertentangan.
3.2. Persamaan asas putaran
pergerakan. Momen inersia
Pertimbangkan badan yang benar-benar tegar berputar mengelilingi paksi tetap OO(Rajah.3.3). Marilah kita secara mental membahagikan badan ini kepada unsur-unsur dengan jisim Δ m 1, Δ m 2, …, Δ m n. Apabila diputar, elemen ini akan menerangkan bulatan dengan jejari r 1,r 2 , …,r n. Daya bertindak ke atas setiap elemen dengan sewajarnya F 1,F 2 , …,Fn. Putaran jasad mengelilingi paksi OO berlaku di bawah pengaruh tork penuh M.
M = M 1 + M 2 + … + M n (3.4)
di mana M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n
Menurut hukum Newton II, setiap daya F, bertindak ke atas unsur jisim D m, menyebabkan pecutan unsur ini a, iaitu
F i = D m i a i (3.5)
Menggantikan nilai yang sepadan ke dalam (3.4), kami memperoleh
nasi. 3.3
Mengetahui hubungan antara pecutan sudut linear ε () dan bahawa pecutan sudut adalah sama untuk semua unsur, formula (3.6) akan mempunyai bentuk
M = (3.7)
=saya (3.8)
saya– momen inersia badan berbanding paksi tetap.
Kemudian kita akan dapat
M = I ε (3.9)
Atau dalam bentuk vektor
(3.10)
Persamaan ini ialah persamaan asas untuk dinamik gerakan putaran. Bentuknya serupa dengan persamaan II hukum Newton. Daripada (3.10) momen inersia adalah sama dengan
Oleh itu, momen inersia jasad tertentu ialah nisbah momen daya kepada pecutan sudut yang ditimbulkannya. Daripada (3.11) adalah jelas bahawa momen inersia ialah ukuran inersia jasad berkenaan dengan gerakan putaran. Momen inersia memainkan peranan yang sama seperti jisim dalam gerakan translasi. unit SI [ saya] = kg m 2. Daripada formula (3.7) ia mengikuti bahawa momen inersia mencirikan taburan jisim zarah badan berbanding dengan paksi putaran.
Jadi, momen inersia unsur berjisim ∆m bergerak dalam bulatan berjejari r adalah sama dengan
I = r 2 D m (3.12)
saya= (3.13)
Dalam kes taburan jisim berterusan, jumlah boleh digantikan dengan kamiran
I= ∫ r 2 dm (3.14)
di mana integrasi dilakukan ke atas seluruh jisim badan.
Ini menunjukkan bahawa momen inersia jasad bergantung kepada jisim dan taburannya berbanding dengan paksi putaran. Ini boleh ditunjukkan secara eksperimen ( Rajah.3.4).
nasi. 3.4
Dua silinder bulat, satu berongga (contohnya, logam), satu lagi pepejal (kayu) dengan panjang, jejari dan jisim yang sama mula bergolek serentak. Silinder berongga, yang mempunyai momen inersia yang besar, akan ketinggalan di belakang silinder pepejal.
Momen inersia boleh dikira jika jisim diketahui m dan taburannya berbanding dengan paksi putaran. Kes paling mudah ialah cincin, apabila semua unsur jisim terletak sama dari paksi putaran ( nasi. 3.5):
saya = 
(3.15)
nasi. 3.5
Marilah kita membentangkan ungkapan untuk momen inersia pelbagai badan simetri jisim m.
1. Momen inersia cincin, silinder berdinding nipis berongga berbanding dengan paksi putaran yang bertepatan dengan paksi simetri.
, (3.16)
r– jejari gelang atau silinder
2. Untuk silinder dan cakera pepejal, momen inersia tentang paksi simetri
(3.17)
3. Momen inersia bola mengenai paksi yang melalui pusat
(3.18)
r– jejari bola
4. Momen inersia rod nipis dengan panjang panjang l berbanding dengan paksi yang berserenjang dengan rod dan melalui bahagian tengahnya
(3.19)
l– panjang batang.
Jika paksi putaran tidak melalui pusat jisim, maka momen inersia badan berbanding paksi ini ditentukan oleh teorem Steiner.
(3.20)
Menurut teorem ini, momen inersia tentang paksi sewenang-wenang O’O’ ( ) adalah sama dengan momen inersia tentang paksi selari yang melalui pusat jisim badan ( ) tambah hasil jisim badan darab kuasa dua jarak A antara paksi ( nasi. 3.6).
nasi. 3.6
Tenaga kinetik putaran
Mari kita pertimbangkan putaran jasad yang benar-benar tegar di sekeliling paksi tetap OO dengan halaju sudut ω (nasi. 3.7). Jom pecahkan badan pejal n jisim asas ∆ m i. Setiap unsur jisim berputar di sepanjang bulatan jejari r i dengan kelajuan linear (). Tenaga kinetik terdiri daripada tenaga kinetik unsur-unsur individu.
(3.21)
nasi. 3.7
Mari kita ingat daripada (3.13) bahawa – momen inersia berbanding paksi OO.
Oleh itu, tenaga kinetik badan berputar
E k = (3.22)
Kami menganggap tenaga kinetik putaran di sekeliling paksi tetap. Jika jasad terlibat dalam dua pergerakan: pergerakan translasi dan putaran, maka tenaga kinetik badan terdiri daripada tenaga kinetik pergerakan ke hadapan dan tenaga kinetik putaran.
Contohnya, sebiji bola berjisim m gulung; pusat jisim bola bergerak secara translasi pada kelajuan u (nasi. 3.8).
nasi. 3.8
Jumlah tenaga kinetik bola akan sama dengan
(3.23)
3.4. Detik impuls. Undang-undang Pemuliharaan
momentum sudut
Kuantiti fizik sama dengan hasil darab momen inersia saya kepada halaju sudut ω , dipanggil momentum sudut (momentum sudut) L berbanding dengan paksi putaran.
– momentum sudut ialah kuantiti vektor dan arahnya bertepatan dengan arah halaju sudut.
Membezakan persamaan (3.24) berkenaan dengan masa, kita perolehi
di mana, M– jumlah momen kuasa luar. Dalam sistem terpencil tidak ada momen daya luar ( M=0) dan
Mari kita pertimbangkan dahulu jasad tegar yang berputar mengelilingi paksi tetap OZ dengan halaju sudut ω (Gamb. 5.6). Mari pecahkan badan kepada jisim asas. Kelajuan linear jisim asas adalah sama dengan , di mana jaraknya dari paksi putaran. Tenaga kinetik i-jisim asas itu akan sama dengan
.
Oleh itu, tenaga kinetik seluruh badan terdiri daripada tenaga kinetik bahagian-bahagiannya
.
Dengan mengambil kira bahawa jumlah di sebelah kanan hubungan ini mewakili momen inersia badan berbanding paksi putaran, akhirnya kita memperoleh
. (5.30)
Formula untuk tenaga kinetik jasad berputar (5.30) adalah serupa dengan formula yang sepadan untuk tenaga kinetik gerakan translasi jasad. Mereka diperoleh daripada yang terakhir dengan pengganti rasmi 
.
Dalam kes umum, gerakan jasad tegar boleh diwakili sebagai jumlah gerakan - translasi pada kelajuan yang sama dengan kelajuan pusat jisim badan, dan putaran pada halaju sudut mengelilingi paksi segera yang melalui pusat jisim. Dalam kes ini, ungkapan untuk tenaga kinetik badan mengambil bentuk
.
Mari kita cari kerja yang dilakukan oleh momen daya luar semasa putaran jasad tegar. Kerja asas kuasa luar dalam masa dt akan sama dengan perubahan tenaga kinetik badan
Mengambil perbezaan daripada tenaga kinetik gerakan putaran, kita dapati kenaikannya
.
Selaras dengan persamaan asas dinamik untuk gerakan putaran
Dengan mengambil kira hubungan ini, kami mengurangkan ungkapan kerja asas kepada bentuk
di mana adalah unjuran momen yang terhasil bagi daya luar pada arah paksi putaran OZ, ialah sudut putaran jasad sepanjang tempoh masa yang dipertimbangkan.
Mengintegrasikan (5.31), kita memperoleh formula untuk kerja daya luar yang bertindak pada jasad berputar
Jika , maka formula dipermudahkan
Oleh itu, kerja daya luaran semasa putaran jasad tegar berbanding dengan paksi tetap ditentukan oleh tindakan unjuran momen daya ini ke paksi ini.
Giroskop
Giroskop ialah badan simetri yang berputar dengan pantas, paksi putarannya boleh mengubah arahnya di angkasa. Supaya paksi giroskop boleh berputar bebas di angkasa, giroskop diletakkan dalam apa yang dipanggil ampaian gimbal (Rajah 5.13). Roda tenaga giroskop berputar dalam gelang dalam mengelilingi paksi C 1 C 2 melalui pusat gravitinya. Gelang dalam, seterusnya, boleh berputar di gelang luar mengelilingi paksi B 1 B 2, berserenjang dengan C 1 C 2. Akhirnya, perlumbaan luar boleh berputar dengan bebas dalam galas tupang di sekeliling paksi A 1 A 2, berserenjang dengan paksi C 1 C 2 dan B 1 B 2. Ketiga-tiga paksi bersilang pada beberapa titik tetap O, dipanggil pusat ampaian atau fulcrum giroskop. Gimbal dalam gimbal mempunyai tiga darjah kebebasan dan, oleh itu, boleh membuat sebarang putaran di sekeliling pusat gimbal. Jika pusat ampaian giroskop bertepatan dengan pusat gravitinya, maka momen graviti yang terhasil bagi semua bahagian giroskop berbanding dengan pusat ampaian adalah sifar. Giroskop sedemikian dipanggil seimbang.
Sekarang mari kita pertimbangkan sifat paling penting giroskop, yang mendapati ia digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang.
1) Kestabilan.
Untuk sebarang putaran giroskop yang diimbangi, paksi putarannya kekal tidak berubah arah berbanding dengan sistem rujukan makmal. Ini disebabkan oleh fakta bahawa momen semua daya luaran, sama dengan momen daya geseran, adalah sangat kecil dan praktikalnya tidak menyebabkan perubahan dalam momentum sudut giroskop, i.e.
Oleh kerana momentum sudut diarahkan sepanjang paksi putaran giroskop, orientasinya mesti kekal tidak berubah.
Jika daya luar bertindak untuk masa yang singkat, maka kamiran yang menentukan kenaikan momentum sudut adalah kecil.
. (5.34)
Ini bermakna bahawa di bawah pengaruh jangka pendek walaupun kuasa besar, pergerakan giroskop seimbang berubah sedikit. Giroskop nampaknya menentang sebarang percubaan untuk menukar magnitud dan arah momentum sudutnya. Ini disebabkan oleh kestabilan yang luar biasa yang diperolehi oleh pergerakan giroskop selepas ia dibawa ke putaran pantas. Sifat giroskop ini digunakan secara meluas untuk kawalan automatik pergerakan pesawat, kapal, peluru berpandu dan kenderaan lain.
Jika anda bertindak pada giroskop masa yang lama Jika momen daya luar adalah tetap dalam arah, maka paksi giroskop akhirnya ditetapkan ke arah momen daya luar. Fenomena ini digunakan dalam gyrocompass. Peranti ini ialah giroskop, paksinya boleh diputar secara bebas dalam satah mendatar. Disebabkan oleh putaran harian Bumi dan tindakan momen daya emparan, paksi giroskop berputar supaya sudut antara dan menjadi minimum (Rajah 5.14). Ini sepadan dengan kedudukan paksi giroskop dalam satah meridian.
2). Kesan gyroscopic.
Jika sepasang daya dan digunakan pada giroskop berputar, cenderung untuk memutarkannya mengenai paksi berserenjang dengan paksi putaran, maka ia akan mula berputar mengelilingi paksi ketiga, berserenjang dengan dua yang pertama (Rajah 5.15). Kelakuan luar biasa giroskop ini dipanggil kesan giroskop. Ia dijelaskan oleh fakta bahawa momen pasangan daya diarahkan sepanjang paksi O 1 O 1 dan perubahan dalam vektor mengikut magnitud dari masa ke masa akan mempunyai arah yang sama. Akibatnya, vektor baharu akan berputar secara relatif kepada paksi O 2 O 2. Oleh itu, kelakuan giroskop, tidak semulajadi pada pandangan pertama, mematuhi sepenuhnya undang-undang dinamik gerakan putaran
3). Precession giroskop.
Kedahuluan giroskop ialah pergerakan berbentuk kon pada paksinya. Ia berlaku dalam kes apabila momen daya luaran, kekal malar dalam magnitud, berputar serentak dengan paksi giroskop, membentuk sudut tepat dengannya sepanjang masa. Untuk menunjukkan precession, roda basikal dengan gandar lanjutan yang ditetapkan ke dalam putaran pantas boleh digunakan (Rajah 5.16).
Jika roda digantung oleh hujung gandar yang dilanjutkan, gandarnya akan mula bergerak mengelilingi paksi menegak di bawah pengaruh beratnya sendiri. Bahagian atas yang berputar dengan pantas juga boleh berfungsi sebagai demonstrasi precession.
Mari kita ketahui sebab-sebab precession giroskop. Mari kita pertimbangkan giroskop tidak seimbang, yang paksinya boleh berputar bebas di sekitar titik O tertentu (Rajah 5.16). Momen graviti yang digunakan pada giroskop adalah sama dalam magnitud
di mana ialah jisim giroskop, ialah jarak dari titik O ke pusat jisim giroskop, ialah sudut yang dibentuk oleh paksi giroskop dengan menegak. Vektor diarahkan berserenjang dengan satah menegak yang melalui paksi giroskop.
Di bawah pengaruh momen ini, momentum sudut giroskop (asalnya diletakkan pada titik O) akan menerima kenaikan masa, dan satah menegak yang melalui paksi giroskop akan berputar mengikut sudut. Vektor sentiasa berserenjang dengan , oleh itu, tanpa berubah dalam magnitud, vektor berubah hanya dalam arah. Selain itu, selepas beberapa ketika, kedudukan relatif vektor akan sama seperti pada saat awal. Akibatnya, paksi giroskop akan terus berputar mengelilingi menegak, menggambarkan kon. Pergerakan ini dipanggil precession.
Mari kita tentukan halaju sudut precession. Menurut Rajah 5.16, sudut putaran satah yang melalui paksi kon dan paksi giroskop adalah sama dengan
di manakah momentum sudut giroskop, dan ialah kenaikannya dari semasa ke semasa.
Membahagi dengan , dengan mengambil kira hubungan dan transformasi yang dicatatkan, kita memperoleh halaju sudut precession
. (5.35)
Untuk giroskop yang digunakan dalam teknologi, halaju sudut precession adalah berjuta-juta kali kurang daripada kelajuan putaran giroskop.
Kesimpulannya, kita perhatikan bahawa fenomena precession juga diperhatikan dalam atom disebabkan oleh gerakan orbit elektron.
Contoh penggunaan hukum dinamik
Semasa pergerakan putaran
1. Mari kita pertimbangkan beberapa contoh mengenai undang-undang pemuliharaan momentum sudut, yang boleh dilaksanakan menggunakan bangku Zhukovsky. Dalam kes paling mudah, bangku Zhukovsky adalah platform berbentuk cakera (kerusi), yang boleh berputar bebas di sekeliling paksi menegak pada galas bebola (Rajah 5.17). Penunjuk perasaan duduk atau berdiri di atas bangku, selepas itu ia dibawa bergilir-gilir. Disebabkan oleh fakta bahawa daya geseran akibat penggunaan galas adalah sangat kecil, momentum sudut sistem yang terdiri daripada bangku dan penunjuk yang relatif kepada paksi putaran tidak boleh berubah dari semasa ke semasa jika sistem dibiarkan pada perantinya sendiri. . Jika penunjuk perasaan memegang dumbbell berat di tangannya dan menyebarkan tangannya ke sisi, maka dia akan meningkatkan momen inersia sistem, dan oleh itu halaju sudut putaran mesti berkurangan supaya momentum sudut kekal tidak berubah.
Mengikut undang-undang pemuliharaan momentum sudut, kami mencipta persamaan untuk kes ini
di mana ialah momen inersia orang dan bangku, dan ialah momen inersia dumbbells dalam kedudukan pertama dan kedua, dan ialah halaju sudut sistem.
Kelajuan sudut putaran sistem apabila menaikkan dumbbell ke sisi akan sama dengan
.
Kerja yang dilakukan oleh seseorang apabila menggerakkan dumbbell boleh ditentukan melalui perubahan tenaga kinetik sistem
2. Mari kita berikan satu lagi eksperimen dengan bangku Zhukovsky. Penunjuk perasaan duduk atau berdiri di atas bangku dan diserahkan roda berputar pantas dengan paksi diarahkan menegak (Rajah 5.18). Penunjuk perasaan kemudian memutar roda 180 0 . Dalam kes ini, perubahan dalam momentum sudut roda dipindahkan sepenuhnya ke bangku simpanan dan penunjuk perasaan. Akibatnya, bangku, bersama-sama dengan penunjuk perasaan, mula berputar dengan halaju sudut yang ditentukan berdasarkan undang-undang pemuliharaan momentum sudut.
Momentum sudut sistem dalam keadaan awal hanya ditentukan oleh momentum sudut roda dan sama dengan
di mana ialah momen inersia roda, dan ialah halaju sudut putarannya.
Selepas memusingkan roda melalui sudut 180 0, momentum sudut sistem akan ditentukan oleh hasil tambah momentum sudut bangku dengan orang dan momentum sudut roda. Dengan mengambil kira fakta bahawa vektor momentum sudut roda telah menukar arahnya ke arah yang bertentangan, dan unjurannya ke paksi menegak telah menjadi negatif, kami memperoleh
,
di mana ialah momen inersia sistem "platform orang", dan ialah halaju sudut putaran bangku dengan orang itu.
Mengikut undang-undang pemuliharaan momentum sudut
Dan 
.
Akibatnya, kita dapati kelajuan putaran bangku simpanan
3. Batang nipis berjisim m dan panjang l berputar dengan halaju sudut ω=10 s -1 dalam satah mengufuk mengelilingi paksi mencancang yang melalui bahagian tengah rod. Terus berputar dalam satah yang sama, rod bergerak supaya paksi putaran kini melalui hujung rod. Cari halaju sudut dalam kes kedua.
Dalam masalah ini, disebabkan oleh fakta bahawa taburan jisim rod relatif kepada paksi putaran berubah, momen inersia rod juga berubah. Selaras dengan undang-undang pemuliharaan momentum sudut sistem terpencil, kita ada
Berikut ialah momen inersia rod berbanding paksi yang melalui bahagian tengah rod; 
ialah momen inersia rod berbanding paksi yang melalui hujungnya dan ditemui oleh teorem Steiner.
Menggantikan ungkapan ini ke dalam undang-undang pemuliharaan momentum sudut, kita perolehi
,
.
4. Panjang batang L=1.5 m dan jisim m 1=10 kg digantung digantung dari hujung atas. Sebutir peluru dengan jisim m 2=10 g, terbang mendatar pada kelajuan =500 m/s, dan tersangkut di dalam rod. Pada sudut manakah rod akan membelok selepas hentaman?
Mari bayangkan dalam Rajah. 5.19. sistem badan yang berinteraksi "rod-bullet". Momen daya luar (graviti, tindak balas gandar) pada saat hentaman adalah sama dengan sifar, jadi kita boleh menggunakan undang-undang pemuliharaan momentum sudut
Momentum sudut sistem sebelum hentaman adalah sama dengan momentum sudut peluru berbanding dengan titik penggantungan
Momentum sudut sistem selepas hentaman tak anjal ditentukan oleh formula
,
di mana adalah momen inersia rod berbanding dengan titik ampaian, ialah momen inersia peluru, ialah halaju sudut rod dengan peluru sejurus selepas hentaman.
Menyelesaikan persamaan yang terhasil selepas penggantian, kita dapati
.
Sekarang mari kita gunakan undang-undang pemuliharaan tenaga mekanikal. Mari kita samakan tenaga kinetik joran selepas peluru mengenainya dengan tenaga potensinya masuk titik tertinggi lif:
,
di manakah ketinggian dongakan pusat jisim sistem ini.
Setelah melakukan transformasi yang diperlukan, kami memperoleh
Sudut pesongan rod adalah berkaitan dengan nisbah
.
Setelah menjalankan pengiraan, kita dapat =0.1p=18 0 .
5. Tentukan pecutan badan dan ketegangan benang pada mesin Atwood, dengan mengandaikan bahawa (Rajah 5.20). Momen inersia bongkah relatif kepada paksi putaran adalah sama dengan saya, jejari blok r. Abaikan jisim benang.
Mari kita susun semua daya yang bertindak pada beban dan blok, dan buat persamaan dinamik untuknya
Jika tiada gelinciran benang di sepanjang blok, maka pecutan linear dan sudut berkait antara satu sama lain dengan hubungan
Menyelesaikan persamaan ini, kita dapat
Kemudian kita dapati T 1 dan T 2.
6. Benang dilekatkan pada takal salib Oberbeck (Rajah 5.21), dari mana beban seberat M= 0.5 kg. Tentukan berapa lama masa yang diambil untuk beban jatuh dari ketinggian h=1 m ke kedudukan bawah. Jejari takal r=3 cm Empat timbangan m= 250 g setiap satu pada jarak R= 30 cm dari paksinya. Momen inersia salib dan takal itu sendiri diabaikan berbanding dengan momen inersia beban.
Tenaga kinetik badan berputar adalah sama dengan jumlah tenaga kinetik semua zarah badan:
Jisim zarah, kelajuan linear (lilitan), berkadar dengan jarak zarah ini dari paksi putaran. Menggantikan ke dalam ungkapan ini dan mengambil halaju sudut o biasa untuk semua zarah daripada tanda jumlah, kita dapati:
Formula untuk tenaga kinetik badan berputar ini boleh dibawa ke bentuk yang serupa dengan ungkapan untuk tenaga kinetik gerakan translasi jika kita memperkenalkan nilai yang dipanggil momen inersia badan. Momen inersia titik bahan ialah hasil darab jisim titik dan kuasa dua jaraknya daripada paksi putaran. Momen inersia jasad ialah jumlah momen inersia semua titik material jasad:
Jadi, tenaga kinetik badan berputar ditentukan oleh formula berikut:
Formula (2) berbeza daripada formula yang menentukan tenaga kinetik jasad dalam gerakan translasi kerana bukannya jisim jasad ia termasuk momen inersia I dan bukannya kelajuan halaju kumpulan.
Tenaga kinetik besar roda tenaga berputar digunakan dalam teknologi untuk mengekalkan operasi seragam mesin di bawah beban yang berubah-ubah secara tiba-tiba. Pada mulanya, untuk membawa roda tenaga dengan momen inersia yang besar ke dalam putaran, sejumlah besar kerja diperlukan dari mesin, tetapi apabila beban besar tiba-tiba dihidupkan, mesin tidak berhenti dan melakukan kerja menggunakan rizab tenaga kinetik roda tenaga.
Terutamanya roda tenaga besar digunakan dalam kilang bergolek yang digerakkan oleh motor elektrik. Berikut adalah penerangan tentang salah satu roda ini: "Roda mempunyai diameter 3.5 m dan berat kelajuan biasa Pada 600 rpm, rizab tenaga kinetik roda adalah sedemikian rupa sehingga pada saat bergolek, roda memberikan kuasa 20,000 hp. Dengan. Geseran dalam galas dikurangkan kepada minimum oleh kisah di bawah tekanan, dan untuk mengelakkan kesan berbahaya dari daya emparan inersia, roda diseimbangkan supaya beban yang diletakkan pada lilitan roda membawanya keluar dari rehat. "
Marilah kita membentangkan (tanpa melakukan pengiraan) nilai momen inersia sesetengah jasad (diandaikan bahawa setiap badan ini mempunyai ketumpatan yang sama di semua kawasannya).
Momen inersia gelang nipis berbanding dengan paksi yang melalui pusatnya dan berserenjang dengan satahnya (Rajah 55):
Momen inersia cakera bulat (atau silinder) tentang paksi yang melalui pusatnya dan berserenjang dengan satahnya (momen polar inersia cakera; Rajah 56):
Momen inersia cakera bulat nipis berbanding dengan paksi yang bertepatan dengan diameternya (momen inersia khatulistiwa cakera; Rajah 57):
Momen inersia bola berbanding paksi yang melalui pusat bola:
Momen inersia lapisan sfera nipis jejari tentang paksi yang melalui pusat:
Momen inersia lapisan sfera tebal (bola berongga yang mempunyai jejari permukaan luar dan jejari rongga) tentang paksi yang melalui pusat:
Momen inersia jasad dikira menggunakan kalkulus kamiran. Untuk memberi gambaran tentang kemajuan pengiraan sedemikian, mari kita cari momen inersia rod berbanding paksi yang berserenjang dengannya (Rajah 58). Biarkan terdapat keratan rentas rod, ketumpatan. Mari kita pilih bahagian kecil asas rod, yang mempunyai panjang dan terletak pada jarak x dari paksi putaran. Kemudian jisimnya Oleh kerana ia berada pada jarak x dari paksi putaran, momen inersianya disepadukan dalam julat dari sifar hingga I:
Momen inersia segi empat selari berpipet berbanding paksi simetri (Rajah 59)
Momen inersia cincin torus (Rajah 60)
Mari kita pertimbangkan bagaimana tenaga putaran badan bergolek (tanpa gelongsor) di sepanjang satah berkaitan dengan tenaga gerakan translasi badan ini,
Tenaga gerakan translasi badan bergolek adalah sama dengan , di mana adalah jisim jasad dan kelajuan gerakan translasi. Biarkan nyatakan halaju sudut putaran jasad bergolek dan jejari jasad itu. Adalah mudah untuk memahami bahawa kelajuan gerakan translasi badan bergolek tanpa gelongsor adalah sama dengan kelajuan persisian badan pada titik sentuhan badan dengan satah (semasa badan membuat satu pusingan, pusat graviti badan bergerak jauh, oleh itu,
Oleh itu,
Tenaga putaran
oleh itu,
Menggantikan di sini nilai-nilai momen inersia di atas, kami mendapati bahawa:
a) tenaga gerakan putaran gelung bergolek adalah sama dengan tenaga gerakan translasinya;
b) tenaga putaran cakera homogen bergolek adalah sama dengan separuh tenaga gerakan translasi;
c) tenaga putaran bola homogen bergolek ialah tenaga gerakan translasi.
Kebergantungan momen inersia pada kedudukan paksi putaran. Biarkan rod (Rajah 61) dengan pusat graviti pada titik C berputar dengan halaju sudut (o mengelilingi paksi O, berserenjang dengan satah lukisan. Mari kita andaikan bahawa dalam tempoh masa tertentu ia telah bergerak dari kedudukan A B ke dan pusat graviti telah menggambarkan sebuah lengkok ini boleh dianggap sebagai jika rod pertama secara translasi (iaitu, kekal selari dengan dirinya) bergerak ke kedudukan dan kemudian berputar di sekitar C ke kedudukan Mari kita nyatakan (jarak. pusat graviti dari paksi putaran) dengan a, dan sudut dengan Apabila rod bergerak dari kedudukan A B ke kedudukan, pergerakan setiap zarahnya adalah sama dengan pergerakan pusat graviti, iaitu, ia adalah sama dengan atau Untuk mendapatkan pergerakan sebenar rod, kita boleh mengandaikan bahawa kedua-dua pergerakan yang ditunjukkan berlaku serentak Selaras dengan ini, tenaga kinetik rod berputar dengan halaju sudut di sekeliling paksi yang melalui O boleh diuraikan kepada dua bahagian.
Ciri dinamik utama gerakan putaran - momentum sudut berbanding paksi putaran z:
dan tenaga kinetik
Secara umum, tenaga semasa putaran dengan halaju sudut didapati dengan formula:
, di manakah tensor inersia.Dengan alasan yang sama seperti dalam kes gerakan translasi, kesetaraan membayangkan bahawa dalam keseimbangan terma purata tenaga putaran setiap zarah gas monatomik: (3/2)k B T. Begitu juga, teorem kesetaraan membolehkan seseorang mengira punca halaju sudut segi empat sama bagi molekul.
Yayasan Wikimedia. 2010.
Istilah ini mempunyai makna lain, lihat Tenaga (makna). Tenaga, Dimensi... Wikipedia
PERGERAKAN- PERGERAKAN. Kandungan: Geometri D...................452 Kinematik D...................456 Dinamik D. . ..................461 Mekanisme motor................465 Kaedah untuk mengkaji pergerakan manusia......471 Patologi manusia D............. 474… … Ensiklopedia Perubatan Hebat
Tenaga tenaga kinetik sistem mekanikal, bergantung pada kelajuan pergerakan titiknya. Tenaga kinetik gerakan translasi dan putaran sering dilepaskan. Lebih tegas lagi, tenaga kinetik ialah perbezaan antara jumlah... ... Wikipedia
Pergerakan haba peptida α. Pergerakan menggeletar kompleks atom yang membentuk peptida adalah rawak, dan tenaga atom individu berubah-ubah secara meluas, tetapi dengan menggunakan undang-undang kesetaraan ia dikira sebagai tenaga kinetik purata setiap ... ... Wikipedia
Pergerakan haba peptida α. Pergerakan menggeletar kompleks atom yang membentuk peptida adalah rawak, dan tenaga atom individu berubah-ubah secara meluas, tetapi dengan menggunakan undang-undang kesetaraan ia dikira sebagai tenaga kinetik purata setiap ... ... Wikipedia
- (Marée Perancis, Gezeiten Jerman, pasang surut Inggeris) ayunan berkala aras air akibat tarikan Bulan dan Matahari. Maklumat am. P. paling ketara di sepanjang pantai lautan. Sejurus selepas air surut, paras lautan bermula... ... Kamus ensiklopedia F. Brockhaus dan I.A. Efron
Kapal reefer Ivory Tirupati kestabilan awal adalah negatif Kestabilan keupayaan ... Wikipedia
Kapal reefer Ivory Tirupati kestabilan awal adalah negatif Kestabilan keupayaan kapal terapung untuk bertahan kuasa luar, menyebabkan ia bergolek atau memangkas dan kembali kepada keadaan keseimbangan pada penghujung gangguan... ... Wikipedia
