Pada satu titik dan mempunyai terbitan separa berterusan padanya, sekurang-kurangnya satu daripadanya tidak lenyap, maka dalam kejiranan titik ini permukaan yang diberikan oleh persamaan (1) akan menjadi permukaan yang betul.
Selain perkara di atas cara tersirat untuk menentukan permukaan boleh ditakrifkan jelas sekali, jika salah satu pembolehubah, contohnya z, boleh dinyatakan dalam sebutan yang lain:
Ada juga parametrik cara penugasan. Dalam kes ini, permukaan ditentukan oleh sistem persamaan:
Lebih tepat lagi, permukaan yang ringkas dipanggil imej pemetaan homeomorfik (iaitu, pemetaan satu-dengan-satu dan saling berterusan) bahagian dalam segi empat sama unit. Takrifan ini boleh diberikan ungkapan analitikal.
Biar dalam kapal terbang dengan sistem segi empat tepat koordinat u dan v diberi oleh segi empat sama, koordinat titik dalaman yang memenuhi ketaksamaan 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").
Contoh permukaan yang ringkas ialah hemisfera. Keseluruhan sfera tidak permukaan yang ringkas. Ini memerlukan generalisasi lanjut tentang konsep permukaan.
Subset ruang, setiap titik mempunyai kejiranan iaitu permukaan yang ringkas, dipanggil permukaan yang betul .
Helicoid
Catenoid
Metrik tidak secara unik menentukan bentuk permukaan. Sebagai contoh, metrik helicoid dan katenoid, diparameterkan dengan sewajarnya, bertepatan, iaitu, terdapat korespondensi antara kawasan mereka yang mengekalkan semua panjang (isometri). Sifat yang dipelihara di bawah transformasi isometrik dipanggil geometri dalaman permukaan. Geometri dalaman tidak bergantung pada kedudukan permukaan dalam ruang dan tidak berubah apabila ia dibengkokkan tanpa ketegangan atau mampatan (contohnya, apabila silinder dibengkokkan ke dalam kon).
Pekali metrik menentukan bukan sahaja panjang semua lengkung, tetapi juga secara umum hasil semua ukuran di dalam permukaan (sudut, kawasan, kelengkungan, dll.). Oleh itu, semua yang hanya bergantung pada metrik merujuk kepada geometri dalaman.
Vektor biasa pada titik permukaan
Salah satu ciri utama permukaan ialah biasa- vektor unit berserenjang dengan satah tangen pada titik tertentu:
.
Tanda normal bergantung pada pilihan koordinat.
Bahagian permukaan oleh satah yang mengandungi normal (pada titik tertentu) membentuk lengkung tertentu pada permukaan, yang dipanggil bahagian biasa permukaan. Normal utama untuk bahagian normal bertepatan dengan normal ke permukaan (sehingga tanda).
Jika lengkung pada permukaan bukan keratan biasa, maka normal utamanya membentuk sudut θ tertentu dengan normal permukaan. Kemudian kelengkungan k lengkung yang berkaitan dengan kelengkungan k n bahagian normal (dengan tangen yang sama) dengan formula Meunier:
Koordinat vektor unit normal untuk kaedah yang berbeza untuk menentukan permukaan diberikan dalam jadual:
| Koordinat normal pada titik permukaan | |
|---|---|
| tugasan tersirat |  |
| tugasan yang jelas |  |
| spesifikasi parametrik |  |
Untuk arah yang berbeza pada titik tertentu pada permukaan, kelengkungan yang berbeza dari bahagian normal diperolehi, yang dipanggil kelengkungan biasa; ia diberikan tanda tambah jika normal utama lengkung pergi ke arah yang sama seperti normal ke permukaan, atau tanda tolak jika arah normal adalah bertentangan.
Secara umumnya, pada setiap titik pada permukaan terdapat dua arah berserenjang e 1 dan e 2, di mana kelengkungan biasa mengambil nilai minimum dan maksimum; arahan ini dipanggil utama. Pengecualian adalah kes apabila kelengkungan normal dalam semua arah adalah sama (contohnya, berhampiran sfera atau pada penghujung ellipsoid revolusi), maka semua arah pada satu titik adalah prinsipal.
Permukaan dengan kelengkungan negatif (kiri), sifar (tengah) dan positif (kanan).
Kelengkungan biasa dalam arah utama dipanggil kelengkungan utama; mari kita nyatakan mereka κ 1 dan κ 2. Saiz:
K= κ 1 κ 2dipanggil Kelengkungan Gaussian, kelengkungan penuh atau hanya kelengkungan permukaan. Ada juga istilahnya skalar kelengkungan, yang membayangkan hasil lilitan tensor kelengkungan; dalam kes ini, skalar kelengkungan adalah dua kali lebih besar daripada kelengkungan Gaussian.
Kelengkungan Gaussian boleh dikira melalui metrik, dan oleh itu merupakan objek geometri intrinsik permukaan (perhatikan bahawa kelengkungan utama tidak tergolong dalam geometri intrinsik). Anda boleh mengklasifikasikan titik permukaan berdasarkan tanda kelengkungan (lihat rajah). Kelengkungan satah adalah sifar. Kelengkungan sfera jejari R adalah sama di mana-mana. Terdapat juga permukaan kelengkungan negatif yang berterusan - pseudosphere.
Lengkung pada permukaan dipanggil garis geodetik, atau hanya geodetik, jika pada semua titiknya normal utama ke lengkung bertepatan dengan normal ke permukaan. Contoh: pada satah, geodesik akan menjadi garis lurus dan segmen garis lurus, pada sfera - bulatan besar dan segmennya.
Takrif setara: untuk garis geodesik, unjuran normal utamanya pada satah berayun ialah vektor sifar. Jika lengkung bukan geodesik, maka unjuran yang ditentukan adalah bukan sifar; panjangnya dipanggil kelengkungan geodesik k g lengkung pada permukaan. Terdapat hubungan:
,
di mana k- kelengkungan lengkung ini, k n- kelengkungan bahagian normalnya dengan tangen yang sama.
Garisan geodesik merujuk kepada geometri dalaman. Mari kita senaraikan sifat utama mereka.
Satu lagi sifat penting permukaan ialah segi empat sama, yang dikira dengan formula:
Dalam koordinat kita dapat:
| tugasan yang jelas | spesifikasi parametrik | |
|---|---|---|
| ekspresi kawasan |  |
Iaitu, tentang apa yang anda lihat dalam tajuk. Pada asasnya, ini adalah "analog spatial" masalah mencari tangen Dan biasa kepada graf fungsi satu pembolehubah, dan oleh itu tiada kesukaran yang perlu timbul.
Mari kita mulakan dengan soalan asas: APA ITU satah tangen dan APA ITU normal? Ramai orang memahami konsep ini pada tahap intuisi. Model paling mudah yang terlintas di fikiran ialah bola yang terletak di atasnya sekeping kadbod rata yang nipis. Kadbod terletak sedekat mungkin dengan sfera dan menyentuhnya pada satu titik. Di samping itu, pada titik sentuhan ia diikat dengan jarum yang melekat lurus ke atas.
Secara teori, terdapat definisi yang agak bijak tentang satah tangen. Bayangkan percuma permukaan dan perkara yang berkaitan dengannya. Jelas sekali, banyak yang melalui perkara itu garisan spatial, yang tergolong dalam permukaan ini. Siapa ada persatuan apa? =) ...secara peribadi, saya membayangkan seekor sotong. Mari kita anggap bahawa setiap baris tersebut mempunyai tangen spatial pada titik.
Definisi 1: satah tangen ke permukaan pada satu titik - ini kapal terbang, mengandungi tangen kepada semua lengkung yang dimiliki oleh permukaan tertentu dan melalui titik itu.
Definisi 2: biasa ke permukaan pada satu titik - ini lurus, melalui titik tertentu yang berserenjang dengan satah tangen.
Ringkas dan elegan. Ngomong-ngomong, supaya anda tidak mati kebosanan dari kesederhanaan bahan, sedikit kemudian saya akan berkongsi dengan anda satu rahsia elegan yang membolehkan anda melupakan tentang menjejalkan pelbagai definisi SEKALI DAN UNTUK SEMUA.
Mari kita berkenalan dengan formula kerja dan algoritma penyelesaian menggunakan contoh khusus. Dalam kebanyakan masalah, adalah perlu untuk membina kedua-dua persamaan satah tangen dan persamaan normal:
Contoh 1
Penyelesaian:jika permukaan diberi oleh persamaan (iaitu secara tersirat), maka persamaan satah tangen kepada permukaan tertentu pada satu titik boleh didapati menggunakan formula berikut:
Saya memberi perhatian khusus kepada terbitan separa yang luar biasa - mereka tidak boleh keliru Dengan terbitan separa bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat (walaupun permukaannya dinyatakan secara tersirat). Apabila mencari derivatif ini, seseorang mesti dipandu oleh peraturan untuk membezakan fungsi tiga pembolehubah, iaitu, apabila membezakan berkenaan dengan sebarang pembolehubah, dua huruf yang lain dianggap pemalar:
Tanpa meninggalkan daftar tunai, kita dapati derivatif separa pada titik:
Begitu juga: 
Ini adalah saat yang paling tidak menyenangkan dalam keputusan itu, di mana ralat, jika tidak dibenarkan, maka sentiasa muncul. Walau bagaimanapun, terdapat teknik pengesahan yang berkesan di sini, yang saya bincangkan di dalam kelas. Derivatif arah dan kecerunan.
Semua "bahan" telah ditemui dan kini ia adalah masalah penggantian berhati-hati dengan pemudahan selanjutnya: 
– persamaan am satah tangen yang dikehendaki.
Saya amat mengesyorkan anda menyemak peringkat penyelesaian ini juga. Mula-mula anda perlu memastikan bahawa koordinat titik tangen benar-benar memenuhi persamaan yang ditemui: 
- persamaan sebenar.
Sekarang kita "mengeluarkan" pekali persamaan am satah dan semaknya untuk kebetulan atau berkadaran dengan nilai yang sepadan. Dalam kes ini mereka adalah berkadar. Seperti yang anda ingat dari kursus geometri analitik, - Ini vektor biasa satah tangen, dan dia juga vektor panduan garis lurus biasa. Jom mengarang persamaan kanonik normal mengikut vektor titik dan arah: 
Pada dasarnya, penyebut boleh dikurangkan dua, tetapi tidak ada keperluan khusus untuk ini
Jawab:
Ia tidak dilarang untuk menetapkan persamaan dengan beberapa huruf, tetapi, sekali lagi, mengapa? Di sini ia sudah sangat jelas apa itu.
Dua contoh berikut adalah untuk keputusan bebas. Sedikit "pemutar lidah matematik":
Contoh 2
Cari persamaan satah tangen dan normal pada permukaan pada titik itu.
Dan tugas yang menarik dari sudut pandangan teknikal:
Contoh 3
Tulis persamaan untuk satah tangen dan normal pada permukaan pada satu titik
Pada titik itu.
Terdapat setiap peluang untuk bukan sahaja menjadi keliru, tetapi juga menghadapi kesukaran semasa merakam persamaan kanonik garis. Dan persamaan normal, seperti yang anda mungkin faham, biasanya ditulis dalam bentuk ini. Walaupun, disebabkan kealpaan atau kejahilan beberapa nuansa, bentuk parametrik lebih daripada boleh diterima.
Contoh anggaran pelaksanaan akhir penyelesaian pada akhir pelajaran.
Adakah terdapat satah tangen pada mana-mana titik di permukaan? Secara umum, sudah tentu tidak. Contoh klasik ialah permukaan kon 
dan titik - tangen pada titik ini secara langsung membentuk permukaan kon, dan, sudah tentu, tidak terletak pada satah yang sama. Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa ada sesuatu yang salah secara analitikal: .
Satu lagi punca masalah ialah hakikat ketiadaan sebarang terbitan separa pada satu titik. Walau bagaimanapun, ini tidak bermakna bahawa pada titik tertentu tidak ada satah tangen tunggal.
Tetapi ia, sebaliknya, sains popular dan bukannya maklumat praktikal yang penting, dan kami kembali kepada perkara yang mendesak:
Mari kita tulis semula secara tersirat:
Dan menggunakan prinsip yang sama kita dapati derivatif separa: 
Oleh itu, formula satah tangen diubah menjadi persamaan berikut:
Dan dengan itu, persamaan normal kanonik:
Seperti yang anda duga, 
- ini sudah "sebenar" terbitan separa bagi fungsi dua pembolehubah pada titik, yang kami gunakan untuk menandakan dengan huruf "z" dan ditemui 100500 kali.
Sila ambil perhatian bahawa dalam artikel ini cukup untuk mengingati formula pertama, dari mana, jika perlu, mudah untuk memperoleh segala-galanya (sudah tentu, mempunyai peringkat asas persiapan). Inilah pendekatan yang sepatutnya digunakan semasa mempelajari sains tepat, i.e. daripada maklumat yang minimum kita mesti berusaha untuk "membuat" kesimpulan dan akibat maksimum. "Pertimbangan" dan pengetahuan sedia ada akan membantu! Prinsip ini juga berguna kerana ia berkemungkinan besar akan menyelamatkan anda dalam keadaan kritikal apabila anda tahu sangat sedikit.
Mari kita selesaikan formula "diubah suai" dengan beberapa contoh:
Contoh 4
Tulis persamaan untuk satah tangen dan normal pada permukaan 
pada titik.
Terdapat tindanan sedikit di sini dengan notasi - kini huruf itu menandakan titik pada pesawat, tetapi apa yang boleh anda lakukan - surat yang begitu popular...
Penyelesaian: mari kita susun persamaan satah tangen yang dikehendaki menggunakan formula:
Mari kita hitung nilai fungsi pada titik:
Jom kira Derivatif separa pesanan pertama pada ketika ini: 
Oleh itu:
berhati-hati, jangan tergesa-gesa: 
Mari kita tuliskan persamaan kanonik bagi normal pada titik: 
Jawab:
Dan contoh terakhir untuk penyelesaian anda sendiri:
Contoh 5
Tuliskan persamaan untuk satah tangen dan normal kepada permukaan pada titik itu.
Akhir - kerana saya telah menerangkan hampir semua perkara teknikal dan tiada apa yang istimewa untuk ditambah. Malah fungsi sendiri yang dicadangkan dalam tugas ini adalah membosankan dan membosankan - dalam praktiknya anda hampir dijamin untuk menemui "polinomial", dan dalam pengertian ini, Contoh No. 2 dengan eksponen kelihatan seperti "kambing hitam". By the way, ia adalah lebih berkemungkinan untuk menghadapi permukaan diberikan oleh persamaan dan ini adalah satu lagi sebab mengapa fungsi itu dimasukkan ke dalam artikel sebagai nombor dua.
Dan akhirnya, rahsia yang dijanjikan: jadi bagaimana untuk mengelakkan definisi menjejalkan? (Saya, sudah tentu, tidak bermaksud situasi apabila pelajar sedang demam menjejalkan sesuatu sebelum peperiksaan)
Takrif mana-mana konsep/fenomena/objek, pertama sekali, memberikan jawapan kepada soalan seterusnya: APA INI? (siapa/begitu/begitu). Secara sedar Apabila menjawab soalan ini, anda harus cuba merenung ketara tanda-tanda, pasti mengenal pasti konsep/fenomena/objek tertentu. Ya, pada mulanya ia ternyata agak terikat lidah, tidak tepat dan berlebihan (guru akan membetulkan anda =)), tetapi dari masa ke masa, ucapan saintifik yang cukup baik berkembang.
Berlatih pada objek yang paling abstrak, sebagai contoh, jawab soalan: siapa Cheburashka? Ia tidak semudah itu;-) Ini adalah "watak dongeng dengan telinga besar, mata dan bulu coklat"? Jauh dan sangat jauh dari definisi - anda tidak pernah tahu ada watak dengan ciri sedemikian... Tetapi ini lebih dekat dengan definisi: "Cheburashka adalah watak yang dicipta oleh penulis Eduard Uspensky pada tahun 1966, yang ... (senarai utama ciri tersendiri)» . Perhatikan betapa baiknya ia bermula
Permukaan ditakrifkan sebagai satu set titik yang koordinatnya memenuhi jenis persamaan tertentu:
F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))Jika fungsi F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) adalah selanjar pada satu titik dan mempunyai terbitan separa selanjar padanya, sekurang-kurangnya satu daripadanya tidak lenyap, maka dalam kejiranan titik ini permukaan yang diberikan oleh persamaan (1) akan menjadi permukaan yang betul.
Selain perkara di atas cara tersirat untuk menentukan, permukaan boleh ditakrifkan jelas sekali, jika salah satu pembolehubah, contohnya, z, boleh dinyatakan dalam sebutan yang lain:
z = f (x , y) (1′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))Lebih tegas permukaan yang ringkas dipanggil imej pemetaan homeomorfik (iaitu, pemetaan satu-dengan-satu dan saling berterusan) bahagian dalam segi empat sama unit. Takrifan ini boleh diberikan ungkapan analitikal.
Biarkan segi empat sama diberikan pada satah dengan sistem koordinat segi empat tepat u dan v, koordinat titik dalam yang memenuhi ketaksamaan 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").
Contoh permukaan yang ringkas ialah hemisfera. Keseluruhan sfera tidak permukaan yang ringkas. Ini memerlukan generalisasi lanjut tentang konsep permukaan.
Subset ruang, setiap titik mempunyai kejiranan iaitu permukaan yang ringkas, dipanggil permukaan yang betul .
Helicoid
Catenoid
Metrik tidak secara unik menentukan bentuk permukaan. Sebagai contoh, metrik helicoid dan katenoid, diparameterkan dengan sewajarnya, bertepatan, iaitu, terdapat korespondensi antara kawasan mereka yang mengekalkan semua panjang (isometri). Sifat yang dipelihara di bawah transformasi isometrik dipanggil geometri dalaman permukaan. Geometri dalaman tidak bergantung pada kedudukan permukaan dalam ruang dan tidak berubah apabila ia dibengkokkan tanpa ketegangan atau mampatan (contohnya, apabila silinder dibengkokkan ke dalam kon).
Pekali metrik E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) menentukan bukan sahaja panjang semua lengkung, tetapi juga secara umum hasil semua ukuran di dalam permukaan (sudut, kawasan, kelengkungan, dll.). Oleh itu, semua yang hanya bergantung pada metrik merujuk kepada geometri dalaman.
Vektor biasa pada titik permukaan
Salah satu ciri utama permukaan ialah biasa- vektor unit berserenjang dengan satah tangen pada titik tertentu:
m = [ r u ′ , r v ′ ] |.Tanda normal bergantung pada pilihan koordinat.
[ r u ′ , r v ′ ] | bahagian biasa permukaan. Normal utama untuk bahagian normal bertepatan dengan normal ke permukaan (sehingga tanda).
(\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))) Bahagian permukaan dengan satah yang mengandungi permukaan normal pada titik tertentu membentuk lengkung tertentu yang dipanggil Jika lengkung pada permukaan bukan keratan biasa, maka normal utamanya membentuk sudut tertentu dengan normal permukaan θ (\displaystyle \theta ). Kemudian kelengkungan k (\gaya paparan k) lengkung yang berkaitan dengan kelengkungan
k n (\displaystyle k_(n))Koordinat vektor unit normal untuk kaedah yang berbeza untuk menentukan permukaan diberikan dalam jadual:
| Koordinat normal pada titik permukaan | |
|---|---|
| tugasan tersirat | bahagian normal (dengan tangen yang sama) dengan formula Meunier: |
| tugasan yang jelas | k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta ) |
| spesifikasi parametrik | (D (y, z) D (u, v); D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\kanan))(\sqrt (\kiri((\frac (D(y,z)))(D(u,v)))\kanan)^(2 )+\kiri((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\kanan)^(2)+\kiri((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\kanan)^(2))))) |
Di sini D (y , z) D (u , v) = |.
y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = |.
Untuk arah yang berbeza pada titik tertentu pada permukaan, kelengkungan yang berbeza dari bahagian normal diperolehi, yang dipanggil kelengkungan biasa; ia diberikan tanda tambah jika normal utama lengkung pergi ke arah yang sama seperti normal ke permukaan, atau tanda tolak jika arah normal adalah bertentangan.
Secara umumnya, pada setiap titik pada permukaan terdapat dua arah berserenjang z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | Dan , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | utama. Pengecualian adalah kes apabila kelengkungan normal dalam semua arah adalah sama (contohnya, berhampiran sfera atau pada penghujung ellipsoid revolusi), maka semua arah pada satu titik adalah prinsipal.
Permukaan dengan kelengkungan negatif (kiri), sifar (tengah) dan positif (kanan).
Kelengkungan biasa dalam arah utama dipanggil kelengkungan utama(\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\mula(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatriks)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ mula(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))) Semua derivatif diambil pada titik Dan (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))) e 1 (\displaystyle e_(1))
e 2 (\displaystyle e_(2)), di mana kelengkungan biasa mengambil nilai minimum dan maksimum; arahan ini dipanggil skalar kelengkungan, yang membayangkan hasil lilitan tensor kelengkungan; dalam kes ini, skalar kelengkungan adalah dua kali lebih besar daripada kelengkungan Gaussian.
; mari kita tentukan mereka κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))κ 2 (\displaystyle \kappa _(2))
. Saiz:
K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))
dipanggil kelengkungan Gaussian, kelengkungan total, atau hanya kelengkungan permukaan. Ada juga istilahnya
Kelengkungan Gaussian boleh dikira melalui metrik, dan oleh itu merupakan objek geometri intrinsik permukaan (perhatikan bahawa kelengkungan utama tidak tergolong dalam geometri intrinsik). Anda boleh mengklasifikasikan titik permukaan berdasarkan tanda kelengkungan (lihat rajah). Kelengkungan satah adalah sifar. Kelengkungan sfera jejari R adalah sama di mana-mana
1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2))))
. Terdapat juga permukaan kelengkungan negatif yang berterusan -
Jika pada satu titik ketiga-tiga derivatif adalah sama dengan sifar atau sekurang-kurangnya satu daripada derivatif ini tidak wujud, maka titik M dipanggil titik tunggal permukaan. Jika pada satu titik ketiga-tiga terbitan wujud dan berterusan, dan sekurang-kurangnya satu daripadanya berbeza daripada sifar, maka titik M dipanggil titik biasa permukaan.
Sekarang kita boleh merumuskan teorem berikut.
Teorem. Semua garis tangen pada permukaan tertentu (1) pada titik biasa P terletak pada satah yang sama.
Bukti. Mari kita pertimbangkan garis L tertentu pada permukaan (Rajah 206) yang melalui titik P permukaan tertentu. Biarkan lengkung yang sedang dipertimbangkan diberikan oleh persamaan parametrik
Tangen ke lengkung akan menjadi tangen ke permukaan. Persamaan tangen ini mempunyai bentuk
Jika ungkapan (2) digantikan ke dalam persamaan (1), maka persamaan ini akan bertukar menjadi identiti berkenaan dengan t, kerana lengkung (2) terletak pada permukaan (1). Membezakannya dengan kita dapat
Unjuran vektor ini bergantung pada - koordinat titik P; ambil perhatian bahawa memandangkan titik P adalah biasa, unjuran ini pada titik P tidak lenyap serentak dan oleh itu
tangen kepada lengkung yang melalui titik P dan terletak di permukaan. Unjuran vektor ini dikira berdasarkan persamaan (2) pada nilai parameter t yang sepadan dengan titik P.
Jom kira produk titik vektor N dan yang sama dengan hasil tambah unjuran dengan nama yang sama:
Berdasarkan kesamaan (3), ungkapan di sebelah kanan adalah sama dengan sifar, oleh itu,
Daripada kesamaan terakhir, ia menunjukkan bahawa vektor LG dan vektor tangen kepada lengkung (2) pada titik P adalah berserenjang. Penaakulan di atas adalah sah untuk mana-mana lengkung (2) yang melalui titik P dan terletak di permukaan. Akibatnya, setiap tangen pada permukaan pada titik P adalah berserenjang dengan vektor N yang sama dan oleh itu semua tangen ini terletak pada satah yang sama berserenjang dengan vektor LG. Teorem telah terbukti.
Takrifan 2. Satah di mana semua garis tangen kepada garis pada permukaan yang melalui titik P yang diberikan terletak dipanggil satah tangen ke permukaan pada titik P (Rajah 207).
Perhatikan bahawa pada titik tunggal permukaan mungkin tidak ada satah tangen. Pada titik sedemikian, garis tangen ke permukaan mungkin tidak terletak pada satah yang sama. Sebagai contoh, puncak permukaan kon ialah titik tunggal.
Tangen pada permukaan kon pada ketika ini tidak terletak pada satah yang sama (mereka sendiri membentuk permukaan kon).
Mari kita tulis persamaan satah tangen ke permukaan (1) pada titik biasa. Oleh kerana satah ini berserenjang dengan vektor (4), maka persamaannya mempunyai bentuk
Jika persamaan permukaan diberikan dalam bentuk atau persamaan satah tangen dalam kes ini mengambil bentuk
Komen. Jika kita masukkan formula (6), maka formula ini akan berbentuk
sebelah kanannya ialah pembezaan lengkap fungsi. Oleh itu, . Oleh itu, jumlah pembezaan fungsi dua pembolehubah pada satu titik yang sepadan dengan kenaikan pembolehubah bebas x dan y adalah sama dengan kenaikan sepadan penggunaan satah tangen ke permukaan, yang merupakan graf fungsi ini.
Definisi 3. Garis lurus yang dilukis melalui titik pada permukaan (1) berserenjang dengan satah tangen dipanggil normal ke permukaan (Rajah 207).
Satah tangen memainkan peranan yang besar dalam geometri. Pembinaan satah tangen adalah penting, kerana kehadirannya memungkinkan untuk menentukan arah normal ke permukaan pada titik sentuhan. Masalah ini digunakan secara meluas dalam amalan kejuruteraan. Satah tangen juga digunakan untuk membina garis besar angka geometri yang dibatasi oleh permukaan tertutup. Secara teorinya, satah tangen pada permukaan digunakan dalam geometri pembezaan untuk mengkaji sifat permukaan di kawasan titik sentuhan.
Konsep dan definisi asas
Satah tangen ke permukaan hendaklah dianggap sebagai kedudukan mengehadkan satah sekan (dengan analogi dengan garis tangen kepada lengkung, yang juga ditakrifkan sebagai kedudukan mengehadkan sekan).
Satah tangen pada permukaan pada titik tertentu pada permukaan ialah set semua garis lurus - tangen yang dilukis ke permukaan melalui titik tertentu.
Dalam geometri pembezaan terbukti bahawa semua tangen pada permukaan yang dilukis pada titik biasa adalah koplanar (kepunyaan satah yang sama).
Mari kita ketahui cara melukis garisan lurus ke permukaan. Tangen t ke permukaan β pada titik M yang dinyatakan pada permukaan (Rajah 203) mewakili kedudukan mengehadkan sekan l j yang bersilang dengan permukaan pada dua titik (MM 1, MM 2, ..., MM n) apabila titik persilangan bertepatan (M ≡ M n , l n ≡ l M). Jelas sekali (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, sejak g ⊂ β. Daripada perkara di atas, definisi berikut berikut: tangen kepada permukaan ialah garis lurus tangen kepada mana-mana lengkung kepunyaan permukaan.
Oleh kerana satah ditakrifkan oleh dua garis lurus yang bersilang, untuk mentakrifkan satah tangen ke permukaan pada titik tertentu, adalah cukup untuk melukis dua garisan sewenang-wenang kepunyaan permukaan (sebaik-baiknya bentuk yang mudah) melalui titik ini, dan membina tangen kepada setiap satu daripadanya pada titik persilangan garisan ini . Tangen yang dibina secara unik menentukan satah tangen. Perwakilan visual melukis satah α tangen ke permukaan β pada titik M diberikan dalam Rajah. 204. Angka ini juga menunjukkan n normal pada permukaan β.
Normal kepada permukaan pada titik tertentu ialah garis lurus berserenjang dengan satah tangen dan melalui titik tangen.
Garis persilangan permukaan dengan satah yang melalui normal dipanggil bahagian normal permukaan. Bergantung pada jenis permukaan, satah tangen boleh mempunyai sama ada satu atau banyak titik (garis) dengan permukaan. Garis tangen pada masa yang sama boleh menjadi garis persilangan permukaan dengan satah.
Terdapat juga kes apabila terdapat titik di permukaan yang mustahil untuk menarik tangen ke permukaan; titik tersebut dipanggil tunggal. Sebagai contoh titik tunggal seseorang boleh menyebut titik kepunyaan tepi belakang permukaan batang tubuh, atau titik persilangan meridian permukaan revolusi dengan paksinya, jika meridian dan paksi tidak bersilang pada sudut tepat.
Jenis sentuhan bergantung pada sifat kelengkungan permukaan.
Kelengkungan permukaan
Isu kelengkungan permukaan telah dikaji oleh ahli matematik Perancis F. Dupin (1784-1873), yang mencadangkan cara visual untuk menggambarkan perubahan dalam kelengkungan bahagian normal permukaan.
Untuk melakukan ini, dalam satah tangen ke permukaan yang dipertimbangkan pada titik M (Rajah 205, 206), segmen yang sama dengan punca kuasa dua nilai jejari kelengkungan yang sepadan bagi bahagian ini diletakkan pada tangen untuk bahagian biasa pada kedua-dua belah titik ini. Satu set titik - hujung segmen menentukan lengkung yang dipanggil Indicatrix Dupin. Algoritma untuk membina indicatrix Dupin (Rajah 205) boleh ditulis:
1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;
2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)
di mana R ialah jejari kelengkungan.
(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) ialah penunjuk Dupin.
Jika indicatrix Dupin permukaan adalah elips, maka titik M dipanggil elips, dan permukaan dipanggil permukaan dengan titik elips(Gamb. 206). Dalam kes ini, satah tangen hanya mempunyai satu titik sepunya dengan permukaan, dan semua garis kepunyaan permukaan dan bersilang pada titik yang dipertimbangkan terletak pada satu sisi satah tangen. Contoh permukaan dengan titik elips ialah: paraboloid revolusi, ellipsoid revolusi, sfera (dalam kes ini, indicatrix Dupin ialah bulatan, dsb.).
Apabila melukis satah tangen ke permukaan batang tubuh, satah akan menyentuh permukaan ini sepanjang generatrik lurus. Titik pada baris ini dipanggil parabola, dan permukaannya adalah permukaan dengan titik parabola. Indicatrix Dupin dalam kes ini ialah dua garis selari (Rajah 207*).
Dalam Rajah. 208 menunjukkan permukaan yang terdiri daripada titik di mana
* Lengkung tertib kedua - parabola - dalam keadaan tertentu boleh berpecah kepada dua garis selari nyata, dua garis selari khayalan, dua garis bertepatan. Dalam Rajah. 207 kita berurusan dengan dua garis selari sebenar.
Mana-mana satah tangen bersilang dengan permukaan. Permukaan sedemikian dipanggil hiperbola, dan mata kepunyaannya ialah titik hiperbolik. Indicatrix Dupin dalam kes ini adalah hiperbola.
Permukaan, yang semua titiknya hiperbolik, mempunyai bentuk pelana (satah serong, hiperboloid lembaran tunggal, permukaan revolusi yang cekung, dsb.).
Satu permukaan mungkin mempunyai mata jenis yang berbeza, sebagai contoh, berhampiran permukaan batang tubuh (Rajah 209) titik M ialah elips; titik N adalah parabola; titik K adalah hiperbolik.
Dalam perjalanan geometri pembezaan terbukti bahawa bahagian normal di mana nilai kelengkungan K j = 1/ R j (di mana R j ialah jejari kelengkungan bahagian yang sedang dipertimbangkan) mempunyai nilai ekstrem terletak dalam dua satah saling serenjang.
Kelengkungan sedemikian K 1 = 1/R maks. K 2 = 1/R min dipanggil prinsipal, dan nilai H = (K 1 + K 2)/2 dan K = K 1 K 2 adalah, masing-masing, kelengkungan purata permukaan dan jumlah (Gaussian) kelengkungan permukaan pada titik berkenaan. Untuk titik elips K > 0, titik hiperbolik K
Menentukan satah tangen pada permukaan pada rajah Monge
Di bawah, menggunakan contoh khusus, kami akan menunjukkan pembinaan tangen satah pada permukaan dengan titik elips (contoh 1), parabola (contoh 2) dan hiperbolik (contoh 3).
CONTOH 1. Bina satah α tangen pada permukaan revolusi β dengan titik elips. Mari kita pertimbangkan dua pilihan untuk menyelesaikan masalah ini: a) titik M ∈ β dan b) titik M ∉ β
Pilihan a (Gamb. 210).
Satah tangen ditentukan oleh dua tangen t 1 dan t 2 yang dilukis pada titik M pada selari dan meridian permukaan β.
Unjuran tangen t 1 kepada h selari permukaan β akan menjadi t" 1 ⊥ (S"M") dan t" 1 || paksi x Unjuran mengufuk tangen t" 2 ke meridian d permukaan β yang melalui titik M akan bertepatan dengan unjuran mengufuk meridian. Untuk mencari unjuran hadapan tangen t" 2, satah meridian γ(γ ∋ M) dengan berputar mengelilingi paksi permukaan β dipindahkan ke kedudukan γ 1, selari dengan satah π 2. Dalam kes ini, titik M → M 1 (M" 1, M" 1 Unjuran tangen t" 2 rarr; t" 2 1 ditentukan oleh (M" 1 S"). Jika kita kini mengembalikan satah γ 1 ke kedudukan asalnya, maka titik S" akan kekal di tempatnya (sebagai kepunyaan paksi putaran), dan M" 1 → M" dan unjuran hadapan tangen t" 2 akan ditentukan (M" S")
Dua tangen t 1 dan t 2 bersilang pada satu titik M ∈ β mentakrifkan satah α tangen pada permukaan β.
Pilihan b (Gamb. 211)
Untuk membina tangen satah ke permukaan yang melalui titik yang bukan milik permukaan, seseorang mesti meneruskan dari pertimbangan berikut: melalui titik di luar permukaan yang terdiri daripada titik elips, seseorang boleh menarik banyak satah tangen ke permukaan. Sampul permukaan ini akan menjadi beberapa permukaan kon. Oleh itu, jika tiada arahan tambahan, maka masalahnya mempunyai banyak penyelesaian dan dalam kes ini berkurangan kepada lukisan permukaan kon γ tangen kepada permukaan β yang diberikan.
Dalam Rajah. 211 menunjukkan pembinaan permukaan kon γ tangen kepada sfera β. Mana-mana satah α tangen pada permukaan kon γ akan tangen kepada permukaan β.
Untuk membina unjuran permukaan γ dari titik M" dan M" kami melukis tangen kepada bulatan h" dan f" - unjuran sfera. Tandai titik sentuh 1 (1" dan 1"), 2 (2" dan 2"), 3 (3" dan 3") dan 4 (4" dan 4"). Unjuran mendatar bulatan - garis tangen permukaan kon dan sfera diunjurkan ke dalam [ 1"2"] Untuk mencari titik elips di mana bulatan ini akan diunjurkan ke satah hadapan unjuran, kita akan menggunakan selari sfera.
Dalam Rajah. 211 ditakrifkan dengan cara ini unjuran hadapan titik E dan F (E" dan F"). Mempunyai permukaan kon γ, kami membina satah tangen α kepadanya. Sifat dan urutan grafik
Pembinaan yang perlu dilakukan untuk ini diberikan dalam contoh berikut.
CONTOH 2 Bina satah α tangen pada permukaan β dengan titik parabola
Seperti dalam Contoh 1, kami mempertimbangkan dua penyelesaian: a) titik N ∈ β; b) titik N ∉ β
Pilihan a (Gamb. 212).
Permukaan kon merujuk kepada permukaan dengan titik parabola (lihat Rajah 207.) Satah tangen kepada permukaan kon menyentuhnya di sepanjang garis lurus Untuk membinanya adalah perlu:
1) melalui titik tertentu N lukiskan penjana SN (S"N" dan S"N");
2) tandakan titik persilangan generatrik (SN) dengan panduan d: (SN) ∩ d = A;
3) juga akan meniup ke tangen t ke d pada titik A.
Generatriks (SA) dan tangen t yang bersilang dengannya mentakrifkan satah α tangen kepada permukaan kon β pada titik N* tertentu.
Untuk melukis satah α, tangen pada permukaan kon β dan melalui titik N, bukan kepunyaan
* Oleh kerana permukaan β terdiri daripada titik parabola (kecuali untuk bucu S), satah tangen α kepadanya akan mempunyai persamaan bukan satu titik N, tetapi garis lurus (SN).
menekan permukaan tertentu, adalah perlu:
1) melalui titik N tertentu dan puncak S permukaan kon β, lukis garis lurus a (a" dan a") ;
2) tentukan jejak mendatar garis lurus ini H a;
3) melalui H a lukis tangen t" 1 dan t" 2 lengkung h 0β - jejak mendatar permukaan kon;
4) sambungkan titik tangen A (A" dan A") dan B (B" dan B") ke puncak permukaan kon S (S" dan S").
Garis bersilang t 1, (AS) dan t 2, (BS) menentukan satah tangen yang dikehendaki α 1 dan α 2
CONTOH 3. Bina satah α tangen pada permukaan β dengan titik hiperbolik.
Titik K (Rajah 214) terletak pada permukaan globoid (permukaan dalam gelang).
Untuk menentukan kedudukan satah tangen α adalah perlu:
1) lukiskan selari dengan permukaan β h(h", h") melalui titik K;
2) melalui titik K" lukis tangen t" 1 (t" 1 ≡ h");
3) untuk menentukan arah unjuran tangen ke bahagian meridional, adalah perlu untuk melukis satah γ melalui titik K dan paksi permukaan, unjuran mendatar t" 2 akan bertepatan dengan h 0γ; untuk membina unjuran hadapan tangen t" 2, kita mula-mula menterjemah satah γ dengan memutarkannya di sekeliling paksi permukaan putaran ke kedudukan γ 1 || π 2. Dalam kes ini, bahagian meridional mengikut satah γ akan sejajar dengan lengkok garis luar kiri unjuran hadapan - separuh bulatan g".
Titik K (K", K"), yang tergolong dalam lengkung keratan meridional, akan bergerak ke kedudukan K 1 (K" 1, K" 1). Melalui K" 1 kita melukis unjuran hadapan tangen t" 2 1, digabungkan dengan satah γ 1 || π 2 kedudukan dan tandakan titik persilangannya dengan unjuran hadapan paksi putaran S" 1. Kami mengembalikan satah γ 1 ke kedudukan asalnya, titik K" 1 → K" (titik S" 1 ≡ S") Unjuran hadapan tangen t" 2 ditentukan oleh titik K" dan S".
Tangen t 1 dan t 2 mentakrifkan satah tangen α yang dikehendaki, yang bersilang dengan permukaan β sepanjang lengkung l.
CONTOH 4. Bina satah α tangen ke permukaan β pada titik K. Titik K terletak pada permukaan hiperboloid satu helaian revolusi (Rajah 215).
Masalah ini boleh diselesaikan dengan mematuhi algoritma yang digunakan dalam contoh sebelumnya, tetapi dengan mengambil kira bahawa permukaan hiperboloid revolusi satu helaian adalah permukaan yang diperintah yang mempunyai dua keluarga penjana rectilinear, dan setiap satu daripada penjana satu. keluarga memotong semua penjana keluarga yang lain (lihat § 32, rajah. 138). Melalui setiap titik permukaan ini, dua garis lurus bersilang boleh dilukis - penjana, yang pada masa yang sama akan bertangen pada permukaan hiperboloid satu helaian revolusi.
Tangen ini mentakrifkan satah tangen, iaitu, satah tangen pada permukaan hiperboloid satu helaian revolusi bersilang permukaan ini di sepanjang dua garis lurus g 1 dan g 2. Untuk membina unjuran garisan ini, cukup untuk membawa unjuran mendatar titik K dan tangen t" 1 dan t" 2 ke arah mengufuk.
unjuran bulatan d" 2 - tekak permukaan hiperboloid satu helaian revolusi; tentukan titik 1" dan 2 di mana t" 1 dan t" 2 bersilang dengan satu dan permukaan arah d 1. Dari 1" dan 2" kita dapati 1" dan 2", yang bersama-sama dengan K" menentukan unjuran hadapan garisan yang diperlukan.
