Contoh 1. Wujudkan kebenaran sesuatu pernyataan · C
Penyelesaian. Pernyataan kompleks merangkumi 3 pernyataan mudah: A, B, C. Lajur dalam jadual diisi dengan nilai (0, 1). Semua situasi yang mungkin ditunjukkan. Pernyataan mudah dipisahkan daripada yang kompleks dengan garis menegak berganda.
Apabila menyusun jadual, penjagaan mesti diambil untuk tidak mengelirukan susunan tindakan; Apabila mengisi lajur, anda harus bergerak "dari dalam ke luar," i.e. daripada formula asas kepada yang lebih dan lebih kompleks; lajur terakhir yang diisi mengandungi nilai formula asal.
| A | DALAM | DENGAN | A+ | · DENGAN | ||
Jadual menunjukkan bahawa pernyataan ini adalah benar hanya dalam kes apabila A = 0, B = 1, C = 1. Dalam semua kes lain ia adalah palsu.
13. Formula setara.
Dua formula A Dan DALAM dipanggil setara jika mereka mengambil nilai logik yang sama untuk mana-mana set nilai pernyataan asas yang disertakan dalam formula.
Kesetaraan ditunjukkan dengan tanda " ". Untuk mengubah formula kepada yang setara, peranan penting dimainkan oleh kesetaraan asas yang menyatakan beberapa operasi logik melalui yang lain, kesetaraan yang menyatakan hukum asas algebra logik.
Untuk sebarang formula A, DALAM, DENGAN kesetaraan adalah sah.
I. Kesetaraan asas
undang-undang mati pucuk
1-benar
0-salah
Hukum percanggahan
Undang-undang tengah yang dikecualikan
undang-undang penyerapan
formula pemisahan
hukum melekat
II. Persamaan menyatakan beberapa operasi logik melalui yang lain.
undang-undang Morgan
III. Persamaan menyatakan hukum asas algebra logik.
undang-undang komutatif
undang-undang bersekutu
undang-undang pengedaran
14. Formula logik proposisi.
Jenis formula logik proposisi klasik– dalam logik proposisi, jenis formula berikut dibezakan:
1. Undang-undang(rumus yang sama benar) – formula yang, di bawah sebarang tafsiran pembolehubah proposisi, mengambil nilai "benar";
2. Kontroversi(rumus palsu yang serupa) – formula yang, di bawah sebarang tafsiran pembolehubah proposisi, mengambil nilai "salah";
3. Formula yang memuaskan- mereka yang mengambil makna "benar" untuk sekurang-kurangnya satu set nilai kebenaran pembolehubah proposisi konstituennya.
Undang-undang asas logik proposisi klasik:
1. Hukum identiti: ;
2. Hukum percanggahan:
;
3. Hukum tengah yang dikecualikan: ;
4. Undang-undang komutatif dan: , ;
5. Hukum pengagihan relatif kepada , dan sebaliknya: , ;
6. Hukum penyingkiran anggota sebenar kata hubung: ;
7. Undang-undang untuk menghapuskan istilah palsu bagi suatu pemecahan: ;
8. Hukum kontraposisi: ;
9. Hukum keterungkapan kata penghubung proposisi: , , , , , .
Prosedur penyelesaian- kaedah yang membolehkan anda menentukan bagi setiap formula sama ada ia adalah undang-undang, percanggahan atau formula yang boleh dilaksanakan. Prosedur kebolehlarutan yang paling biasa ialah kaedah jadual kebenaran. Namun, dia bukan seorang sahaja. Kaedah yang berkesan kebolehlarutan adalah kaedah bentuk biasa untuk formula logik proposisi. Bentuk biasa Formula logik proposisi ialah bentuk yang tidak mengandungi tanda implikasi " ". Terdapat bentuk normal konjungtif dan disjungtif. Bentuk kata penghubung hanya mengandungi tanda penghubung " ". Jika formula dikurangkan kepada bentuk normal konjungtif mengandungi subformula bentuk , maka keseluruhan formula dalam kes ini ialah percanggahan. Bentuk disjungtif mengandungi hanya tanda disjung " ". Jika formula dikurangkan kepada bentuk normal disjungtif mengandungi subformula bentuk , maka keseluruhan formula dalam kes ini ialah mengikut undang-undang. Dalam semua kes lain formulanya ialah formula yang memuaskan.
15. Predikat dan operasi ke atasnya. Pengkuantiti.
Ayat yang mengandungi satu atau lebih pembolehubah dan yang, diberi nilai khusus pembolehubah, adalah pernyataan dipanggil bentuk ekspresif atau predikat.
Bergantung pada bilangan pembolehubah yang disertakan dalam tawaran, terdapat satu, dua kali ganda, tiga kali ganda, dsb. predikat, dilambangkan dengan sewajarnya: A( X), DALAM( X, di), DENGAN( X, di, z).
Jika predikat tertentu diberikan, maka dua set dikaitkan dengannya:
1. Tetapkan (domain) definisi X, yang terdiri daripada semua nilai pembolehubah, apabila digantikan dengan predikat, yang terakhir bertukar menjadi pernyataan. Apabila menentukan predikat, domain definisinya biasanya ditunjukkan.
2. set kebenaran T, yang terdiri daripada semua nilai pembolehubah tersebut, apabila menggantikannya ke dalam predikat, pernyataan yang benar diperolehi.
Set kebenaran predikat sentiasa merupakan subset domain definisinya, iaitu.
Anda boleh melakukan operasi yang sama pada predikat seperti pada pernyataan.
1. Penafian predikat A( X), ditakrifkan pada set X, dipanggil predikat yang benar untuk nilai-nilai yang mana predikat A( X) bertukar menjadi kenyataan palsu, dan sebaliknya.
Daripada definisi ini, maka predikat A( X) dan B( X) bukan penafian antara satu sama lain jika terdapat sekurang-kurangnya satu nilai yang predikat A( X) dan B( X) bertukar menjadi pernyataan dengan nilai yang sama kebenaran.
Set kebenaran predikat ialah pelengkap kepada set kebenaran predikat A( X). Mari kita nyatakan dengan T A set kebenaran predikat A( X), dan melalui T - set kebenaran predikat. lepas tu .
2. Kata Hubung predikat A( X) dan B( XX) DALAM( X X X, di mana kedua-dua predikat bertukar menjadi pernyataan benar.
Set kebenaran kata sendi predikat ialah persilangan set kebenaran predikat A( X) DALAM( X). Jika kita menyatakan set kebenaran predikat A(x) oleh T A, dan set kebenaran predikat B(x) oleh T B dan set kebenaran predikat A(x) B(x) oleh , maka 
3. Disjunction predikat A( X) dan B( X), ditakrifkan pada set X, dipanggil predikat A( X) DALAM( X), yang bertukar menjadi pernyataan yang benar untuk nilai tersebut dan hanya nilai tersebut X X, yang mana sekurang-kurangnya satu predikat bertukar menjadi pernyataan benar.
Set kebenaran bagi percabaran predikat ialah penyatuan set kebenaran predikat yang membentuknya, i.e. .
4.Secara tersirat predikat A( X) dan B( X), ditakrifkan pada set X, dipanggil predikat A( X) DALAM( X), yang palsu untuk mereka dan hanya nilai-nilai pembolehubah yang mana predikat pertama bertukar menjadi pernyataan benar, dan yang kedua menjadi pernyataan palsu.
Set kebenaran implikasi predikat ialah penyatuan set kebenaran predikat B( X) dengan penambahan pada set kebenaran predikat A( X), iaitu
5. Kesetaraan predikat A( X) dan B( X), ditakrifkan pada set X, dipanggil predikat yang bertukar menjadi pernyataan benar untuk semua dan hanya nilai-nilai pembolehubah yang mana kedua-dua predikat bertukar menjadi sama ada pernyataan benar atau pernyataan palsu.
Set kebenaran kesetaraan predikat ialah persilangan set kebenaran predikat dengan set kebenaran predikat.
Operasi pengkuantiti pada predikat
Predikat boleh diterjemahkan kepada pernyataan menggunakan kaedah penggantian dan kaedah “lampiran pengkuantiti”.
Mengenai nombor 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 boleh kita katakan: a) Semua nombor ini adalah perdana; b) beberapa daripada nombor yang diberi adalah genap.
Oleh kerana ayat-ayat ini boleh dikatakan benar atau salah, ayat yang terhasil ialah pernyataan.
Jika kita mengalih keluar perkataan "semua" daripada ayat "a", dan perkataan "beberapa" daripada ayat "b", kita mendapat predikat berikut: "nombor yang diberi adalah perdana", "nombor yang diberi adalah ganjil".
Perkataan "semua" dan "beberapa" dipanggil pengkuantiti. Perkataan "pengkuantiti" berasal dari bahasa Latin dan bermaksud "berapa banyak", iaitu pengkuantiti menunjukkan berapa banyak (semua atau beberapa) objek yang dituturkan dalam ayat tertentu.
Terdapat dua jenis pengkuantiti utama: pengkuantiti umum dan pengkuantiti kewujudan.
Syarat “mana-mana”, “mana-mana”, “semua orang” dipanggil – pengkuantiti sejagat. Ditandakan dengan .
Biarkan A( X) – predikat tertentu yang ditakrifkan pada set X. Di bawah ungkapan A( X) kita faham pernyataan itu benar apabila A( X) adalah benar untuk setiap elemen set X, dan palsu sebaliknya.
Kebenaran pernyataan dengan pengkuantiti am ditentukan oleh bukti. Untuk mengesahkan kepalsuan kenyataan tersebut (menafikannya), sudah cukup untuk memberikan contoh balas.
16. Definisi hubungan binari antara set A dan B.
Hubungan binari antara set A dan Bdipanggil subset R bagi hasil langsung. Dalam kes di mana anda boleh bercakap tentang hubungan itu R pada A.
Contoh 1.
Tuliskan pasangan tertib yang tergolong dalam hubungan binari R 1 Dan R 2, ditakrifkan pada set A Dan: 
, 
. Subset R 1 terdiri daripada pasangan: 
. Subset.
Domain R terdapat satu set semua elemen daripada A supaya untuk beberapa elemen kita ada . Dengan kata lain, domain definisi R ialah set semua koordinat pertama pasangan tertib bagi R.
Pelbagai makna perhubungan R tetapi terdapat banyak daripada semua yang sedemikian bagi sesetengah orang. Dengan kata lain, banyak makna R ialah set semua koordinat kedua pasangan tertib bagi R.
Dalam contoh 1 untuk R 1 domain definisi: , set nilai - . Untuk R 2 domain definisi: , set nilai: .
Dalam banyak kes ia mudah digunakan imej grafik hubungan binari. Ini dilakukan dengan dua cara: menggunakan mata pada satah dan menggunakan anak panah.
Dalam kes pertama, dua garisan saling berserenjang dipilih sebagai paksi mendatar dan menegak. Unsur-unsur set diplot pada paksi mendatar A dan lukis garis menegak melalui setiap titik. Unsur-unsur set diplot pada paksi menegak B, lukis garisan mendatar melalui setiap titik. Titik persilangan garis mendatar dan menegak mewakili unsur produk langsung
17. Kaedah untuk menentukan hubungan binari.
Mana-mana subset produk Cartes A×B dipanggil hubungan binari yang ditakrifkan pada sepasang set A dan B (dalam bahasa Latin, "bis" bermaksud "dua kali"). Dalam kes umum, dengan analogi dengan hubungan binari, hubungan n-ary juga boleh dianggap sebagai urutan tertib bagi n unsur yang diambil daripada satu daripada n set.
Untuk menandakan hubungan binari, tanda R digunakan Memandangkan R ialah subset bagi set A×B, kita boleh menulis R⊆A×. Jika anda perlu menunjukkan bahawa (a, b) ∈ R, iaitu, terdapat hubungan R antara unsur a ∈ A dan b ∈ B, kemudian tulis aRb.
Kaedah untuk menentukan hubungan binari:
1. Ini ialah penggunaan peraturan mengikut mana semua elemen yang termasuk dalam perhubungan tertentu ditunjukkan. Daripada peraturan, anda boleh menyediakan senarai elemen hubungan tertentu dengan menyenaraikannya secara langsung;
2. Jadual, dalam bentuk graf dan menggunakan bahagian. Asas kaedah jadual ialah sistem segi empat tepat koordinat, di mana unsur-unsur satu set diplot di sepanjang satu paksi, dan unsur-unsur lain di sepanjang paksi kedua. Persilangan koordinat membentuk titik yang menunjukkan unsur hasil darab Cartes.
(Rajah 1.16) menunjukkan grid koordinat untuk set. Titik persilangan tiga garis menegak dengan enam garis mendatar sepadan dengan unsur set A×B. Bulatan pada grid menandakan unsur-unsur hubungan aRb, di mana a ∈ A dan b ∈ B, R menandakan hubungan "bahagi".
Hubungan binari ditentukan oleh sistem koordinat dua dimensi. Jelas sekali bahawa semua unsur hasil darab Cartes bagi tiga set boleh diwakili secara serupa dalam sistem koordinat tiga dimensi, empat set dalam sistem empat dimensi, dsb.;
3. Kaedah menentukan perhubungan menggunakan bahagian digunakan kurang kerap, jadi kami tidak akan mempertimbangkannya.
18. Reflekstiviti perhubungan binari. Contoh.
Dalam matematik, hubungan binari pada set dipanggil refleksif jika setiap elemen set ini berada dalam hubungan dengan dirinya sendiri.
Sifat reflekstiviti untuk hubungan tertentu oleh matriks dicirikan oleh fakta bahawa semua unsur pepenjuru matriks adalah sama dengan 1; memandangkan hubungan dengan graf, setiap elemen mempunyai gelung - lengkok (x, x).
Jika keadaan ini tidak dipenuhi untuk mana-mana elemen set, maka hubungan itu dipanggil anti-reflexive.
Jika hubungan anti-refleks diberikan oleh matriks, maka semua unsur pepenjuru adalah sifar. Apabila perhubungan sedemikian ditentukan oleh graf, setiap bucu tidak mempunyai gelung - tiada lengkok dalam bentuk (x, x).
Secara formal, sikap anti-refleksitiviti ditakrifkan sebagai: .
Jika keadaan reflekstiviti tidak dipenuhi untuk semua elemen set, hubungan itu dikatakan tidak refleksif.
Rancang
Kenyataan dengan penafian luaran.
Pernyataan penghubung.
Pernyataan disjungtif.
Pernyataan disjungtif yang tegas.
Pernyataan kesetaraan.
Penyataan implikatif.
Pernyataan dengan penafian luaran ialah pernyataan (penghakiman) yang menegaskan ketiadaan situasi tertentu. Ia paling kerap diungkapkan dengan ayat yang bermula dengan frasa "tidak benar bahawa ..." atau "itu tidak betul bahawa ...". Penafian luaran ditunjukkan oleh simbol "ù", dipanggil tanda penafian. Tanda ini ditentukan oleh jadual kebenaran berikut:
Dalam kenyataan dengan penafian luaran, keadaan dalam A dinafikan Contohnya, jika A: "Volga mengalir ke Laut Hitam," maka ùA: "Tidak benar bahawa Volga mengalir ke Laut Hitam."
Pernyataan penghubung ialah pernyataan yang menyatakan kehadiran serentak dua situasi. Pernyataan penghubung dibentuk daripada dua pernyataan yang menggunakan kata hubung “dan”, “a”, “tetapi”. Bentuk pernyataan penghubung: (A&B). Setiap pernyataan A dan B boleh mengambil sama ada nilai "benar" atau nilai "salah". Untuk ringkasnya, nilai-nilai ini dilambangkan dengan huruf saya, l. Jadual kebenaran bagi penyataan penghubung adalah seperti berikut:
Pernyataan penghubung menyatakan bahawa situasi yang diterangkan dalam A dan dalam B berlaku serentak. Contoh pernyataan penghubung: "Bumi ialah planet, dan Bulan ialah satelit"; "Petrov menguasai logik dengan baik, tetapi Sidorov menguasai logik dengan buruk"; "Di luar gelap, dan lampu menyala di dalam bilik darjah"; "Petrov merasuah pegawai itu dengan wang, dan Sidorov dengan sebotol."
Pernyataan disjungtif ialah pernyataan yang menegaskan kewujudan sekurang-kurangnya satu daripada dua situasi yang diterangkan dalam A dan B. Disjungsi dilambangkan dengan simbol V dan dinyatakan dalam bahasa semula jadi kata hubung “atau”.
Takrif jadual bagi tanda disjunction mempunyai bentuk berikut:
Contoh pernyataan disjungtif: "Roman Sergeevich Ivanov ialah seorang guru, atau Roman Sergeevich Ivanov ialah seorang pelajar siswazah."
Pernyataan disjungtif yang tegas.
Pernyataan disjungtif yang tegas ialah pernyataan yang menegaskan kehadiran tepat satu daripada dua situasi yang diterangkan dalam A dan B. Pernyataan sedemikian paling kerap dibuat melalui ayat dengan kata hubung “atau..., atau...” (“sama ada... atau ..."). Percanggahan yang ketat dilambangkan dengan simbol V* (baca "sama ada... atau...").
Takrif jadual bagi tanda disjungsi ketat mempunyai bentuk berikut:
Contoh pernyataan yang tegas: "Sama ada cerah di luar atau hujan."
Logik cadangan , juga dipanggil logik proposisi, ialah cabang matematik dan logik yang mengkaji bentuk logik pernyataan kompleks yang dibina daripada pernyataan mudah atau asas menggunakan operasi logik.
Logik proposisi mengabstrak daripada kandungan pernyataan dan mengkaji nilai kebenarannya, iaitu sama ada pernyataan itu benar atau salah.
Gambar di atas adalah ilustrasi fenomena yang dikenali sebagai Paradoks Penipu. Pada masa yang sama, pada pendapat pengarang projek, paradoks seperti itu hanya mungkin dalam persekitaran yang tidak bebas daripada masalah politik, di mana seseorang boleh dilabel sebagai pembohong. Dalam dunia berbilang lapisan semula jadi subjek "kebenaran" atau "palsu" hanya pernyataan individu dinilai . Dan kemudian dalam pelajaran ini anda akan diperkenalkan peluang untuk menilai sendiri banyak kenyataan mengenai perkara ini (dan kemudian lihat jawapan yang betul). Termasuk penyataan kompleks yang mana yang lebih mudah disambungkan dengan tanda-tanda operasi logik. Tetapi pertama-tama, mari kita pertimbangkan operasi ini pada kenyataan itu sendiri.
Logik proposisi digunakan dalam sains komputer dan pengaturcaraan dalam bentuk mengisytiharkan pembolehubah logik dan memberikannya nilai logik "palsu" atau "benar", di mana perjalanan pelaksanaan selanjutnya program bergantung. Dalam program kecil yang hanya melibatkan satu pembolehubah boolean, pembolehubah boolean sering diberi nama seperti "bendera" dan maksudnya ialah "bendera naik" apabila nilai pembolehubah adalah "benar" dan "bendera turun , apabila." nilai pembolehubah ini adalah "salah". Dalam program besar, di mana terdapat beberapa atau bahkan banyak pembolehubah logik, profesional dikehendaki menghasilkan nama untuk pembolehubah logik yang mempunyai bentuk pernyataan dan makna semantik yang membezakannya daripada pembolehubah logik lain dan boleh difahami oleh profesional lain yang akan membaca teks program ini.
Oleh itu, pembolehubah logik dengan nama "UserRegistered" (atau analog bahasa Inggerisnya) boleh diisytiharkan dalam bentuk pernyataan, yang boleh diberikan nilai logik "true" jika syarat dipenuhi bahawa data pendaftaran dihantar oleh pengguna dan data ini diiktiraf sebagai sah oleh program. Dalam pengiraan selanjutnya, nilai pembolehubah mungkin berubah bergantung pada nilai logik (benar atau salah) pembolehubah UserRegistered. Dalam kes lain, pembolehubah, contohnya, dengan nama "Lebih Tiga Hari Lagi Sebelum Hari", boleh diberikan nilai "Benar" sebelum blok pengiraan tertentu, dan semasa pelaksanaan program selanjutnya, nilai ini boleh disimpan atau ditukar kepada "palsu" dan kemajuan pelaksanaan selanjutnya bergantung pada nilai program pembolehubah ini.
Jika program menggunakan beberapa pembolehubah logik, nama yang mempunyai bentuk pernyataan, dan pernyataan yang lebih kompleks dibina daripadanya, maka lebih mudah untuk membangunkan program jika, sebelum membangunkannya, kami menulis semua operasi dari pernyataan dalam bentuk formula yang digunakan dalam logik pernyataan daripada yang kita lakukan semasa Pelajaran ini adalah apa yang akan kita lakukan.
Untuk pernyataan matematik, seseorang sentiasa boleh membuat pilihan antara dua alternatif yang berbeza, "benar" dan "palsu," tetapi untuk pernyataan yang dibuat dalam bahasa "lisan", konsep "kebenaran" dan "palsu" agak kabur. Walau bagaimanapun, sebagai contoh, bentuk lisan seperti "Pulang ke rumah" dan "Adakah hujan?" Oleh itu adalah jelas bahawa pernyataan ialah bentuk lisan di mana sesuatu dinyatakan . Ayat tanya atau seruan, rayuan, serta hasrat atau tuntutan bukanlah pernyataan. Mereka tidak boleh dinilai dengan nilai "benar" dan "salah".
Pernyataan, sebaliknya, boleh dianggap sebagai kuantiti yang boleh mengambil dua makna: "benar" dan "palsu".
Sebagai contoh, penghakiman berikut diberikan: "anjing ialah haiwan", "Paris ialah ibu negara Itali", "3
Yang pertama daripada pernyataan ini boleh dinilai dengan simbol "benar", yang kedua dengan "salah", yang ketiga dengan "benar" dan yang keempat dengan "salah". Tafsiran pernyataan ini adalah subjek algebra proposisi. Kami akan menyatakan pernyataan dalam huruf besar A, B, ..., dan maknanya, iaitu, benar dan palsu, masing-masing DAN Dan L. Dalam pertuturan biasa, perkaitan antara pernyataan "dan", "atau" dan lain-lain digunakan.
Sambungan ini membenarkan, dengan menghubungkan pernyataan yang berbeza antara satu sama lain, untuk membentuk pernyataan baharu - pernyataan yang kompleks . Sebagai contoh, penghubung "dan". Biarkan kenyataan diberikan: " π lebih daripada 3" dan pernyataan " π kurang daripada 4". Anda boleh menyusun penyataan baru - kompleks " π lebih daripada 3 dan π kurang daripada 4". Pernyataan "jika π tidak rasional kemudian π ² juga tidak rasional" diperoleh dengan menghubungkan dua pernyataan dengan penghubung "jika - maka". Akhir sekali, kita boleh mendapatkan daripada mana-mana pernyataan yang baru - pernyataan kompleks - dengan menafikan pernyataan asal.
Menganggap pernyataan sebagai kuantiti yang mengambil makna DAN Dan L, kami akan mentakrifkan lebih lanjut operasi logik pada pernyataan , yang membolehkan kami mendapatkan pernyataan kompleks baharu daripada kenyataan ini.
Biarkan dua kenyataan sewenang-wenangnya diberikan A Dan B.
1 . Operasi logik pertama pada pernyataan ini - konjungsi - mewakili pembentukan pernyataan baru, yang akan kami nyatakan A ∧ B dan yang manakah benar jika dan hanya jika A Dan B adalah benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan sambungan pernyataan dengan penghubung "dan".
Jadual kebenaran untuk kata hubung:
| A | B | A ∧ B |
| DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | L |
| L | DAN | L |
| L | L | L |
2 . Operasi logik kedua pada pernyataan A Dan B- disjungsi dinyatakan sebagai A ∨ B, ditakrifkan seperti berikut: ia adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan asal adalah benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan penyambungan penyambung dengan penghubung "atau". Walau bagaimanapun, di sini kita mempunyai "atau" yang tidak membahagikan, yang difahami dalam erti kata "sama ada atau" apabila A Dan B kedua-duanya tidak boleh benar. Dalam mentakrifkan logik proposisi A ∨ B benar kedua-duanya jika hanya satu daripada pernyataan adalah benar, dan jika kedua-dua pernyataan adalah benar A Dan B.
Jadual kebenaran untuk perpecahan:
| A | B | A ∨ B |
| DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | DAN |
| L | DAN | DAN |
| L | L | L |
3 . Operasi logik ketiga pada pernyataan A Dan B, dinyatakan sebagai A → B; pernyataan yang diperoleh itu adalah palsu jika dan hanya jika A benar, tetapi B salah. A dipanggil dengan bungkusan , B - akibat , dan kenyataan A → B - mengikuti , juga dipanggil implikasi. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan penghubung "jika-maka": "jika A, Itu B". Tetapi dalam definisi logik proposisi, pernyataan ini sentiasa benar tanpa mengira sama ada pernyataan itu benar atau palsu B. Keadaan ini boleh dirumuskan secara ringkas seperti berikut: "dari yang palsu semuanya mengikuti." Sebaliknya, jika A benar, tetapi B adalah palsu, maka keseluruhan pernyataan A → B salah. Ia akan menjadi benar jika dan hanya jika A, Dan B adalah benar. Secara ringkas, ini boleh dirumuskan seperti berikut: "salah tidak boleh mengikuti dari yang benar."
Jadual kebenaran untuk diikuti (implikasi):
| A | B | A → B |
| DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | L |
| L | DAN | DAN |
| L | L | DAN |
4 . Operasi logik keempat pada pernyataan, lebih tepat pada satu pernyataan, dipanggil penolakan pernyataan A dan dilambangkan dengan ~ A(anda juga boleh mencari penggunaan bukan simbol ~, tetapi simbol ¬, serta skor berlebihan di atas A). ~ A terdapat kenyataan yang palsu apabila A benar, dan benar apabila A salah.
Jadual kebenaran untuk penafian:
| A | ~ A |
| L | DAN |
| DAN | L |
5 . Dan akhirnya, operasi logik kelima pada pernyataan dipanggil kesetaraan dan dilambangkan A ↔ B. Kenyataan yang terhasil A ↔ B pernyataan adalah benar jika dan hanya jika A Dan B kedua-duanya benar atau kedua-duanya palsu.
Jadual kebenaran untuk kesetaraan:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| DAN | DAN | DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | L | DAN | L |
| L | DAN | DAN | L | L |
| L | L | DAN | DAN | DAN |
Kebanyakan bahasa pengaturcaraan mempunyai simbol khas untuk menandakan makna logik pernyataan; ia ditulis dalam hampir semua bahasa sebagai benar dan salah.
Mari kita ringkaskan perkara di atas. Logik cadangan mengkaji sambungan yang sepenuhnya ditentukan oleh cara beberapa pernyataan dibina daripada yang lain, dipanggil asas. Dalam kes ini, pernyataan asas dianggap sebagai keseluruhan dan tidak boleh diuraikan kepada bahagian.
Marilah kita sistematikkan dalam jadual di bawah nama, notasi dan makna operasi logik pada pernyataan (kita akan memerlukannya sekali lagi untuk menyelesaikan contoh).
| sekumpulan | Jawatan | Nama operasi |
| tidak | Penafian | |
| Dan | kata hubung | |
| atau | perpecahan | |
| jika... maka... | implikasi | |
| kemudian dan kemudian | kesetaraan |
Benar untuk operasi logik hukum logik algebra, yang boleh digunakan untuk memudahkan ungkapan Boolean. Perlu diingatkan bahawa dalam logik proposisi seseorang mengabstrak daripada kandungan semantik pernyataan dan menghadkan dirinya untuk mempertimbangkannya dari kedudukan bahawa ia sama ada benar atau salah.
Contoh 1.
1) (2 = 2) DAN (7 = 7) ;
2) Bukan(15;
3) ("Pine" = "Oak") ATAU ("Cherry" = "Maple");
4) Not("Pine" = "Oak") ;
5) (Bukan(15 20);
6) (“Mata diberikan untuk melihat”) Dan (“Di bawah tingkat tiga ialah tingkat dua”);
7) (6/2 = 3) ATAU (7*5 = 20) .
1) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar", maksud ungkapan dalam kurungan kedua juga benar. Kedua-dua pernyataan disambungkan oleh operasi logik "DAN" (lihat peraturan untuk operasi ini di atas), oleh itu nilai logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".
2) Maksud pernyataan dalam kurungan adalah "palsu". Sebelum pernyataan ini terdapat operasi logik penafian, oleh itu makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".
3) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "palsu", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "palsu". Pernyataan disambungkan oleh operasi logik "OR" dan tiada satu pun pernyataan mempunyai nilai "true". Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "palsu."
4) Maksud pernyataan dalam kurungan adalah "palsu". Pernyataan ini didahului oleh operasi logik penafian. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar."
5) Pernyataan dalam kurungan dalam dinafikan dalam kurungan pertama. Pernyataan dalam kurungan dalam ini mempunyai makna "palsu", oleh itu penafiannya akan mempunyai makna logik "benar". Pernyataan dalam kurungan kedua bermaksud "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan dengan operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN palsu" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "palsu."
6) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "benar". Kedua-dua pernyataan ini dihubungkan dengan operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN kebenaran" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah "benar."
7) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar". Maksud pernyataan dalam kurungan kedua ialah "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan dengan operasi logik "ATAU", iaitu, "benar ATAU palsu". Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah "benar."
Contoh 2. Tulis pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik:
1) "Pengguna tidak berdaftar";
2) "Hari ini adalah hari Ahad dan beberapa pekerja sedang bekerja";
3) "Pengguna didaftarkan jika dan hanya jika data yang dikemukakan oleh pengguna dianggap sah."
1) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", operasi logik: ;
2) hlm- pernyataan tunggal "Hari ini ialah Ahad", q- "Sesetengah pekerja sedang bekerja", operasi logik: ;
3) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", q- "Data yang dihantar oleh pengguna didapati sah", operasi logik: .
Contoh 3. Hitung nilai logik pernyataan berikut:
1) (“Terdapat 70 saat dalam satu minit”) ATAU (“Jam yang sedang berjalan menunjukkan masa”);
2) (28 > 7) DAN (300/5 = 60) ;
3) (“TV ialah perkakas elektrik”) DAN (“Kaca adalah kayu”);
4) Bukan((300 > 100) ATAU ("Anda boleh menghilangkan dahaga dengan air"));
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Contoh 4. Tuliskan pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik dan hitung nilai logiknya:
1) "Jika jam menunjukkan masa yang salah, maka anda mungkin tiba di kelas pada masa yang salah";
2) "Dalam cermin anda boleh melihat pantulan anda dan Paris, ibu negara AS";
Contoh 5. Tentukan Nilai Boolean bagi Ungkapan
(hlm → q) ↔ (r → s) ,
hlm = "278 > 5" ,
q= "Epal = Oren",
hlm = "0 = 9" ,
s= "Topi menutupi kepala".
Konsep bentuk logik pernyataan kompleks dijelaskan menggunakan konsep formula logik proposisi .
Dalam contoh 1 dan 2 kami belajar menulis pernyataan kompleks menggunakan operasi logik. Sebenarnya, ia dipanggil formula logik proposisi.
Untuk menunjukkan pernyataan, seperti dalam contoh yang disebutkan, kami akan terus menggunakan huruf
hlm, q, r, ..., hlm 1 , q 1 , r 1 , ...
Huruf ini akan memainkan peranan pembolehubah yang mengambil nilai kebenaran "benar" dan "salah" sebagai nilai. Pembolehubah ini juga dipanggil pembolehubah proposisi. Kami akan memanggil mereka selanjutnya formula asas atau atom .
Untuk membina formula logik proposisi, sebagai tambahan kepada huruf yang ditunjukkan di atas, tanda-tanda operasi logik digunakan
~, ∧, ∨, →, ↔,
serta simbol yang memberikan kemungkinan pembacaan formula yang tidak jelas - kurungan kiri dan kanan.
Konsep formula logik proposisi mari kita takrifkannya seperti berikut:
1) formula asas (atom) ialah formula logik proposisi;
2) jika A Dan B- formula logik proposisi, kemudian ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) juga merupakan formula logik proposisi;
3) hanya ungkapan tersebut adalah formula logik proposisi yang mana ini mengikuti dari 1) dan 2).
Takrif formula logik proposisi mengandungi senarai peraturan untuk pembentukan formula ini. Mengikut definisi, setiap formula logik proposisi adalah sama ada atom atau terbentuk daripada atom hasil daripada penggunaan peraturan 2 yang konsisten).
Contoh 6. biarlah hlm- pernyataan tunggal (atom) "Semua nombor rasional adalah nyata", q- "Sesetengah nombor nyata ialah nombor rasional" r- "beberapa nombor rasional adalah nyata." Terjemahkan rumus logik proposisi berikut ke dalam bentuk pernyataan lisan:
6) 
.
1) "tiada nombor nyata yang rasional";
2) "jika tidak semua nombor rasional adalah nyata, maka tiada nombor rasional yang nyata";
3) "jika semua nombor rasional adalah nyata, maka beberapa nombor nyata adalah nombor rasional dan beberapa nombor rasional adalah nyata";
4) "semua nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor rasional ialah nombor nyata";
5) "semua nombor rasional adalah nyata jika dan hanya jika tidak semua nombor rasional adalah nyata";
6) "bukan kes bahawa tidak semua nombor rasional adalah nyata dan tidak ada nombor nyata yang rasional atau tidak ada nombor rasional yang nyata."
Contoh 7. Cipta jadual kebenaran untuk formula logik proposisi 
, yang dalam jadual boleh ditetapkan f
.
Penyelesaian. Kami mula menyusun jadual kebenaran dengan merekodkan nilai ("benar" atau "salah") untuk pernyataan tunggal (atom) hlm , q Dan r. Semua nilai yang mungkin ditulis dalam lapan baris jadual. Selanjutnya, apabila menentukan nilai operasi implikasi dan bergerak ke kanan dalam jadual, kita ingat bahawa nilai adalah sama dengan "palsu" apabila "palsu" mengikuti daripada "benar".
| hlm | q | r | f | ||||
| DAN | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN |
| DAN | DAN | L | DAN | DAN | DAN | L | DAN |
| DAN | L | DAN | DAN | L | L | L | L |
| DAN | L | L | DAN | L | L | DAN | DAN |
| L | DAN | DAN | L | DAN | L | DAN | DAN |
| L | DAN | L | L | DAN | L | DAN | L |
| L | L | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN |
| L | L | L | DAN | DAN | DAN | L | DAN |
Perhatikan bahawa tiada atom mempunyai bentuk ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Formula kompleks mempunyai jenis ini.
Bilangan kurungan dalam formula logik proposisi boleh dikurangkan jika kita menerimanya
1) dalam formula kompleks kami akan meninggalkan pasangan luar kurungan;
2) mari kita susun tanda-tanda operasi logik "mengikut keutamaan":
↔, →, ∨, ∧, ~ .
Dalam senarai ini, tanda ↔ mempunyai skop terbesar dan tanda ~ mempunyai skop terkecil. Skop tanda operasi merujuk kepada bahagian-bahagian formula logik proposisi yang digunakan untuk kejadian tanda yang dimaksudkan ini (di mana ia bertindak). Oleh itu, adalah mungkin untuk meninggalkan dalam mana-mana formula pasangan kurungan yang boleh dipulihkan, dengan mengambil kira "tertib keutamaan". Dan apabila memulihkan kurungan, mula-mula semua kurungan yang berkaitan dengan semua kejadian tanda ~ diletakkan (kita bergerak dari kiri ke kanan), kemudian ke semua kejadian tanda ∧, dan seterusnya.
Contoh 8. Pulihkan kurungan dalam formula logik proposisi B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .
Penyelesaian. Tanda kurung dipulihkan langkah demi langkah seperti berikut:
B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A
B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)
B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))
(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))
Tidak semua formula logik proposisi boleh ditulis tanpa kurungan. Sebagai contoh, dalam formula A → (B → C) dan ~( A → B) pengecualian lanjut kurungan tidak mungkin.
Tautologi logik (atau ringkasnya tautologi) ialah formula logik proposisi yang jika huruf digantikan secara sewenang-wenangnya dengan pernyataan (benar atau salah), hasilnya akan sentiasa menjadi kenyataan yang benar.
Oleh kerana kebenaran atau kepalsuan pernyataan kompleks hanya bergantung pada makna, dan bukan pada kandungan pernyataan, yang setiap satunya sepadan dengan huruf tertentu, maka ujian sama ada pernyataan yang diberikan adalah tautologi boleh digantikan. dengan cara berikut. Dalam ungkapan yang dikaji, nilai 1 dan 0 (masing-masing "benar" dan "palsu") digantikan dengan huruf dalam semua cara yang mungkin, dan nilai logik ungkapan dikira menggunakan operasi logik. Jika semua nilai ini sama dengan 1, maka ungkapan yang dikaji adalah tautologi, dan jika sekurang-kurangnya satu penggantian memberikan 0, maka ia bukan tautologi.
Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "benar" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil sama dengan formula sebenar atau tautologi .
Makna yang berlawanan ialah percanggahan logik. Jika semua nilai pernyataan adalah sama dengan 0, maka ungkapan itu adalah percanggahan logik.
Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "salah" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil formula palsu yang sama atau percanggahan .
Selain tautologi dan percanggahan logik, terdapat formula logik proposisi yang bukan tautologi mahupun percanggahan.
Contoh 9. Bina jadual kebenaran untuk formula logik proposisi dan tentukan sama ada ia tautologi, percanggahan, atau bukan kedua-duanya.
Penyelesaian. Mari buat jadual kebenaran:
| DAN | DAN | DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | L | L | DAN |
| L | DAN | L | DAN | DAN |
| L | L | L | L | DAN |
Dalam makna implikasi kita tidak menemui baris di mana "salah" mengikuti daripada "benar". Semua nilai pernyataan asal adalah sama dengan "benar". Akibatnya, formula logik proposisi ini adalah tautologi.
Topik program: Kenyataan dan operasi ke atas mereka.
Objektif pelajaran:
1) Ringkaskan pengetahuan teori tentang topik: "Pernyataan dan operasi mengenainya."
2) Pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan tugasan pada topik "Pernyataan dan operasi padanya", selesaikan masalah.
3) Membangunkan keupayaan untuk meramal aktiviti sendiri, keupayaan untuk mengatur aktiviti seseorang dan menganalisisnya.
Masa utama: 1 jam.
Konsep utama logik matematik ialah konsep "pernyataan mudah". Kenyataan biasanya bermakna apa-apa ayat deklaratif, yang menyatakan sesuatu tentang sesuatu, dan pada masa yang sama kita boleh mengatakan sama ada ia benar atau salah dalam keadaan tempat dan masa tertentu. Makna logik pernyataan adalah "benar" dan "palsu".
Contoh penyataan.
1) Moscow berdiri di atas Neva.
2) London ialah ibu negara England.
3) Falcon bukan ikan.
4) Nombor 6 boleh dibahagi dengan 2 dan 3.
Pernyataan 2), 3), 4) adalah benar, dan pernyataan 1) adalah palsu.
Jelas sekali, ayat "Hidup Rusia!" bukan satu kenyataan.
Terdapat dua jenis pernyataan.
Pernyataan yang merupakan satu pernyataan biasanya dipanggil mudah atau asas. Contoh pernyataan asas ialah pernyataan 1) dan 2).
Pernyataan yang diperoleh daripada asas dengan bantuan kata penghubung tatabahasa "bukan", "dan", "atau", "jika.... kemudian...", "kemudian dan hanya kemudian" biasanya dipanggil kompleks atau majmuk.
Oleh itu, pernyataan 3) diperoleh daripada pernyataan ringkas "Falcon is a fish" menggunakan penafian "not", pernyataan 4) dibentuk daripada pernyataan asas "Nombor 6 dibahagikan dengan 2", "Nombor 6 dibahagikan dengan 3 ”, dihubungkan dengan kata hubung “dan”.
Begitu juga, pernyataan kompleks boleh diterbitkan daripada pernyataan mudah menggunakan kata penghubung tatabahasa "atau", "kemudian dan hanya kemudian".
Dalam algebra logik, semua pernyataan dianggap hanya dari sudut pandangan makna logiknya, dan kandungan hariannya disarikan. Adalah dipercayai bahawa setiap pernyataan sama ada benar atau salah dan tiada pernyataan boleh benar dan salah.
Pernyataan asas ditunjukkan oleh huruf kecil abjad Latin: x, y, z, ..., a, b, c, ...; makna sebenar sesuatu pernyataan ditunjukkan oleh nombor 1, dan makna palsu ditunjukkan oleh huruf nombor 0.
Jika kenyataan A benar, maka kami akan menulis a = 1, dan jika A palsu, maka a = 0.
Operasi logik atas kenyataan
Penafian.
Penafian pernyataan x disebut pernyataan baru yang benar jika pernyataan tersebut X salah, dan salah jika pernyataan itu X benar.
Penafian sesuatu kenyataan X ditunjukkan dan dibaca "bukan X" atau "tidak benar bahawa x".
Makna logik sesuatu pernyataan boleh dihuraikan menggunakan jadual.
Jadual jenis ini biasanya dipanggil jadual kebenaran.
biarlah X kenyataan. Oleh kerana ia juga merupakan pernyataan, adalah mungkin untuk membentuk penolakan pernyataan, iaitu pernyataan, yang dipanggil penolakan berganda bagi pernyataan. X. Adalah jelas bahawa makna logik kenyataan X dan padan.
Sebagai contoh, untuk pernyataan "Putin ialah Presiden Rusia," penolakan akan menjadi kenyataan "Putin bukan Presiden Rusia," dan penolakan berganda akan menjadi kenyataan "Tidak benar bahawa Putin bukan Presiden. Rusia.”
Kata Hubung.
Kata hubung (pendaraban logik) bagi dua pernyataan x dan y pernyataan baru dipanggil, yang dianggap benar jika kedua-dua pernyataan x dan y benar, dan palsu jika sekurang-kurangnya salah satu daripadanya adalah palsu.
Kata hubung dalil x dan y ditunjukkan oleh simbol x&y ( , xy), baca "x dan y". Kenyataan x dan y dipanggil ahli kata hubung.
Nilai logik kata hubung diterangkan oleh jadual kebenaran berikut:
Sebagai contoh, untuk pernyataan "6 dibahagi dengan 2", "6 dibahagi dengan 3", kata hubungnya ialah pernyataan "6 dibahagi dengan 2 dan 6 dibahagi dengan 3", yang jelas benar.
Daripada takrifan operasi kata hubung adalah jelas bahawa kata hubung “dan” dalam algebra logik digunakan dalam erti kata yang sama seperti dalam pertuturan harian. Tetapi dalam pertuturan biasa adalah tidak lazim untuk menghubungkan dua pernyataan yang jauh dari satu sama lain dalam kandungan dengan kata hubung "dan," tetapi dalam algebra logik kata hubung mana-mana dua pernyataan dipertimbangkan.
Disjunction
Pecah (tambahan logik) bagi dua pernyataan x dan y pernyataan baru dipanggil, yang dianggap benar jika sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan x, y benar, dan salah jika keduanya palsu. Percanggahan dalil x, y ditunjukkan oleh simbol "x V y", baca "x atau y". Kenyataan x, y dipanggil istilah disjungsi.
Nilai logik percanggahan diterangkan oleh jadual kebenaran berikut:
Dalam pertuturan seharian, kata hubung "atau" digunakan dalam erti kata yang berbeza: eksklusif dan tidak eksklusif. Dalam algebra logik, kata hubung "atau" sentiasa digunakan dalam erti kata bukan eksklusif.
Implikasi.
Dengan implikasi dua pernyataan x dan y ialah pernyataan baharu yang dianggap salah jika x benar dan y salah, dan benar dalam semua kes lain.
Implikasi penyataan x, y ditunjukkan oleh simbol
, baca “jika x maka y” atau “daripada x mengikut y.” Kenyataan X dipanggil syarat atau premis, pernyataan di- akibat atau kesimpulan, pernyataan
secara implikasi atau implikasi.
Nilai logik operasi implikasi diterangkan oleh jadual kebenaran berikut:
Penggunaan perkataan "jika.... maka..." dalam algebra logik berbeza daripada penggunaannya dalam pertuturan seharian, di mana kita, sebagai peraturan, percaya bahawa jika pernyataan itu X adalah palsu, maka pernyataan itu "Jika x maka y" tidak masuk akal sama sekali. Selain itu, membina ayat bentuk "jika x maka y" dalam pertuturan seharian, kita selalu maksudkan ayat itu di berikutan daripada ayat tersebut X. Penggunaan perkataan "jika..., maka..." dalam logik matematik tidak memerlukan ini, kerana ia tidak mempertimbangkan makna pernyataan.
Implikasi memainkan peranan penting dalam pembuktian matematik, kerana banyak teorem dinyatakan dalam bentuk bersyarat “Jika x, maka y.” Jika diketahui bahawa X benar dan implikasinya telah terbukti benar
, maka kita berhak membuat kesimpulan tentang kebenaran kesimpulan tersebut di .
Kesetaraan.
Persamaan dua pernyataan x dan y adalah pernyataan baru yang dianggap benar apabila kedua-dua pernyataan x, y sama ada serentak benar atau serentak palsu, dan palsu dalam semua kes lain.
Kesetaraan cadangan x, y ditunjukkan oleh simbol, baca “untuk x, adalah perlu dan memadai bahawa y” atau “x jika dan hanya jika y.” Kenyataan x, y dipanggil istilah kesetaraan.
Nilai logik operasi kesetaraan diterangkan oleh jadual kebenaran berikut:
Kesetaraan memainkan peranan penting dalam pembuktian matematik. Adalah diketahui bahawa sejumlah besar teorem dirumuskan dalam bentuk perlu dan syarat yang mencukupi, iaitu dalam bentuk kesetaraan. Dalam kes ini, mengetahui kebenaran atau kepalsuan salah satu daripada dua istilah kesetaraan dan membuktikan kebenaran kesetaraan itu sendiri, kami menyimpulkan kebenaran atau kepalsuan sebutan kedua kesetaraan.
Tugasan praktikal
1. Wujudkan struktur logik ayat berikut dan tuliskannya dalam bahasa logik proposisi:
2. Tuliskan pernyataan berikut menggunakan formula logik:
a) jika hujan di luar, anda perlu membawa payung bersama anda atau tinggal di rumah;
B) jika adalah segi empat tepat dan sisi adalah sama, maka
3. Semak kebenaran kenyataan:
dan jika, .
b) , jika, .
c) , jika, .
4. Semak kebenaran kenyataan:
a) Untuk ke kelas esok, saya perlu bangun awal. Jika saya pergi ke pawagam hari ini, saya akan tidur lewat. Jika saya tidur lewat, saya akan bangun lewat. Oleh itu, sama ada saya tidak akan pergi ke pawagam atau saya tidak akan pergi ke kelas.
b) Saya sama ada akan pergi ke pawagam atau ke kolam renang. Jika saya pergi ke pawagam, saya akan mendapat keseronokan estetik. Jika saya pergi ke kolam, saya akan mendapat keseronokan fizikal. Oleh itu, jika saya menerima keseronokan fizikal, saya tidak akan menerima keseronokan estetik.
5 . Kepada soalan: "Manakah antara tiga pelajar yang mempelajari matematik diskret?" jawapan yang betul telah diterima: "Jika anda mempelajari yang pertama, maka anda mempelajari yang ketiga, tetapi tidak benar bahawa jika anda mempelajari yang kedua, maka anda mempelajari yang ketiga." Siapa yang belajar matematik diskret?
6. Tentukan antara empat pelajar yang lulus peperiksaan jika anda tahu:
jika yang pertama lulus, maka yang kedua lulus;
jika yang kedua lulus, maka yang ketiga lulus atau yang pertama tidak lulus;
jika yang keempat tidak lulus, maka yang pertama lulus, dan yang ketiga tidak lulus;
Jika yang keempat lulus, maka yang pertama lulus juga.
Soalan kawalan
1. Apakah unsur-unsur yang termasuk dalam bahasa logik?
2. Apakah kaedah untuk mewujudkan kesahan am formula logik yang anda tahu?
Bibliografi
Pelajaran praktikal № 10-11
Topik program: Formula algebra cadangan.
Konsep "ucapan" adalah yang utama. Dalam logik, pernyataan ialah ayat deklaratif yang boleh dikatakan benar atau salah. Setiap pernyataan adalah benar atau salah, dan tidak ada pernyataan yang benar dan salah.
Contoh pernyataan: ada nombor genap”, “1 ialah nombor perdana”. Nilai kebenaran dua pernyataan pertama adalah "kebenaran", nilai kebenaran dua pernyataan terakhir
Ayat tanya dan ayat seruan bukan penyataan. Definisi bukan pernyataan. Sebagai contoh, takrifan "integer dikatakan walaupun ia boleh dibahagi dengan 2" bukanlah pernyataan. Walau bagaimanapun, ayat deklaratif "jika integer boleh dibahagi dengan 2, maka ia adalah genap" ialah pernyataan, dan satu kenyataan yang benar. Dalam logik proposisi, seseorang menyimpulkan daripada kandungan semantik pernyataan, mengehadkan dirinya untuk mempertimbangkannya dari kedudukan bahawa ia sama ada benar atau salah.
Dalam perkara berikut, kita akan memahami maksud pernyataan sebagai nilai kebenarannya (“benar” atau “salah”). Kami akan menyatakan pernyataan dalam huruf Latin besar, dan maknanya, iaitu "benar" atau "palsu," dengan huruf I dan L, masing-masing.
Logik proposisi mengkaji sambungan yang ditentukan sepenuhnya oleh cara beberapa pernyataan dibina daripada yang lain, dipanggil yang asas. Pernyataan asas dianggap sebagai keseluruhan, tidak boleh terurai kepada bahagian, struktur dalaman yang kita tidak akan berminat.
Operasi logik pada pernyataan.
Daripada pernyataan asas, menggunakan operasi logik, anda boleh mendapatkan pernyataan baharu yang lebih kompleks. Nilai kebenaran pernyataan kompleks bergantung pada nilai kebenaran pernyataan yang membentuk pernyataan kompleks. Kebergantungan ini ditubuhkan dalam definisi di bawah dan ditunjukkan dalam jadual kebenaran. Lajur kiri jadual ini mengandungi semua kemungkinan pengagihan nilai kebenaran untuk pernyataan yang secara langsung membentuk pernyataan kompleks yang sedang dipertimbangkan. Di lajur kanan, tulis nilai kebenaran pernyataan kompleks mengikut taburan dalam setiap baris.
Biarkan A dan B menjadi kenyataan sewenang-wenangnya yang kami tidak menganggap bahawa nilai kebenarannya diketahui. Penafian pernyataan A ialah pernyataan baru yang benar jika dan hanya jika A palsu. Penafian A ditunjukkan oleh dan berbunyi "bukan A" atau "tidak benar bahawa A." Operasi penolakan ditentukan sepenuhnya oleh jadual kebenaran
Contoh. Pernyataan "tidak benar bahawa 5 ialah nombor genap," yang mempunyai nilai DAN, adalah penolakan pernyataan palsu "5 ialah nombor genap."
Dengan menggunakan operasi kata hubung, dua pernyataan dibentuk menjadi satu pernyataan kompleks, dilambangkan dengan A D B. Secara definisi, pernyataan A D B adalah benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan itu benar. Pernyataan A dan B masing-masing dipanggil sebagai ahli pertama dan kedua bagi kata sendi A D B. Entri “A D B” dibaca sebagai “L dan B”. Jadual kebenaran untuk kata hubung mempunyai bentuk
Contoh. Pernyataan “7 ialah nombor perdana dan 6 ialah nombor ganjil” adalah palsu sebagai gabungan dua pernyataan, salah satunya adalah palsu.
Pecahan dua pernyataan A dan B ialah pernyataan, dilambangkan dengan , adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan A dan B adalah benar.
Sehubungan itu, pernyataan A V B adalah palsu jika dan hanya jika kedua-dua A dan B adalah palsu. Pernyataan A dan B masing-masing dipanggil, sebutan pertama dan kedua bagi disjungsi A V B. Entri A V B dibaca sebagai "A atau B." Kata sendi "atau" dalam kes ini mempunyai makna yang tidak dapat dipisahkan, kerana pernyataan A V B adalah benar walaupun kedua-dua istilah adalah benar. Disjungsi mempunyai jadual kebenaran berikut:
Contoh. Pernyataan “3 Pernyataan, dilambangkan dengan , adalah palsu jika dan hanya jika A adalah benar dan B adalah palsu, dipanggil implikasi dengan premis A dan kesimpulan B. Pernyataan A-+ B dibaca sebagai “jika A, maka 5, ” atau “ A menyiratkan B,” atau “dari A mengikuti B.” Jadual kebenaran untuk implikasi ialah:
Ambil perhatian bahawa mungkin tiada hubungan sebab-akibat antara premis dan kesimpulan, tetapi ini tidak boleh menjejaskan kebenaran atau kepalsuan implikasi. Sebagai contoh, pernyataan "jika 5 ialah nombor perdana, maka pembahagi bagi segi tiga sama ialah median" adalah benar, walaupun dalam erti kata biasa yang kedua tidak mengikuti dari yang pertama. Pernyataan "jika 2 + 2 = 5, maka 6 + 3 = 9" juga akan benar, kerana kesimpulannya adalah benar. Pada takrifan ini, jika kesimpulannya benar, implikasinya akan menjadi benar tanpa mengira nilai kebenaran premis. Apabila premis itu salah, implikasinya akan menjadi benar tanpa mengira nilai kebenaran kesimpulan. Keadaan ini secara ringkas dirumuskan seperti berikut: "kebenaran mengikuti daripada apa-apa," "semuanya mengikuti daripada palsu."
