Laten we eerst het geval van een functie van twee variabelen bekijken. Het voorwaardelijke extremum van de functie $z=f(x,y)$ op het punt $M_0(x_0;y_0)$ is het extremum van deze functie, bereikt onder de voorwaarde dat de variabelen $x$ en $y$ in de omgeving van dit punt voldoet aan de beperkingsvergelijking $\ varphi(x,y)=0$.
De naam "conditioneel" extremum is te wijten aan het feit dat de extra voorwaarde $\varphi(x,y)=0$ wordt opgelegd aan de variabelen. Als het mogelijk is om de ene variabele uit te drukken in termen van een andere uit de verbindingsvergelijking, dan wordt het probleem van het bepalen van het conditionele extremum teruggebracht tot het probleem van het gebruikelijke extremum van een functie van één variabele. Als bijvoorbeeld $y=\psi(x)$ volgt uit de beperkingsvergelijking, en dan $y=\psi(x)$ substitueert in $z=f(x,y)$, krijgen we een functie van één variabele $ z=f\links (x,\psi(x)\rechts)$. In het algemene geval heeft deze methode echter weinig zin, dus is een nieuw algoritme nodig.
De methode van Lagrange-multipliers is dat om het voorwaardelijke extremum te vinden, de Lagrange-functie is samengesteld: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (de parameter $\lambda $ wordt de Lagrange-multiplier genoemd). De noodzakelijke extreme voorwaarden worden gegeven door een stelsel vergelijkingen waaruit de stationaire punten worden bepaald:
$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(uitgelijnd)\right.$$
Het teken $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Als op een stationair punt $d^2F > 0$, dan heeft de functie $z=f(x,y)$ op dit punt een voorwaardelijk minimum, maar als $d^2F< 0$, то условный максимум.
Er is nog een andere manier om de aard van het extremum te bepalen. Uit de beperkingsvergelijking krijgen we: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, dus op elk stationair punt hebben we:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\rechts)$$
De tweede factor (tussen haakjes) kan in deze vorm worden weergegeven:
Elementen van de $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ wat de Hessische waarde is van de Lagrange-functie. Als $H > 0$ dan $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$ 0, d.w.z. we hebben een voorwaardelijk minimum van de functie $z=f(x,y)$.
Noteer de vorm van de $H$ determinant. laten zien verbergen
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
In deze situatie verandert de hierboven geformuleerde regel als volgt: als $H > 0$, dan heeft de functie een voorwaardelijk minimum, en voor $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Stel dat we een functie hebben van $n$ variabelen $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ en $m$ beperkingsvergelijkingen ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Door de Lagrange-vermenigvuldigers aan te duiden als $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, stellen we de Lagrange-functie samen:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
De noodzakelijke voorwaarden voor de aanwezigheid van een conditioneel extremum worden gegeven door een systeem van vergelijkingen waaruit de coördinaten van stationaire punten en de waarden van de Lagrange-multiplicatoren worden gevonden:
$$\left\(\begin(uitgelijnd) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(uitgelijnd) \right.$$
Het is mogelijk om uit te vinden of een functie een voorwaardelijk minimum of een voorwaardelijk maximum heeft op het gevonden punt, zoals eerder, door het teken $d^2F$ te gebruiken. Als op het gevonden punt $d^2F > 0$, dan heeft de functie een voorwaardelijk minimum, maar als $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Matrixdeterminant $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ rood gemarkeerd in de $L$-matrix is de Hessische van de Lagrange-functie. Wij hanteren de volgende regel:
Voorbeeld 1
Zoek het voorwaardelijke extremum van de functie $z(x,y)=x+3y$ onder de voorwaarde $x^2+y^2=10$.
De geometrische interpretatie van dit probleem is als volgt: het is nodig om de grootste en kleinste waarde te vinden van de applicate van het vlak $z=x+3y$ voor de punten van zijn snijpunt met de cilinder $x^2+y^2 =10$.
Het is enigszins moeilijk om de ene variabele uit te drukken in termen van een andere uit de beperkingsvergelijking en deze te vervangen door de functie $z(x,y)=x+3y$, dus we zullen de Lagrange-methode gebruiken.
Door $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ aan te duiden, stellen we de Lagrange-functie samen:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Laten we het stelsel vergelijkingen opschrijven voor het bepalen van de stationaire punten van de Lagrange-functie:
$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (uitgelijnd)\right.$$
Als we uitgaan van $\lambda=0$, dan wordt de eerste vergelijking: $1=0$. De resulterende contradictie zegt dat $\lambda\neq 0$. Onder de voorwaarde $\lambda\neq 0$, hebben we uit de eerste en tweede vergelijking: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Als we de verkregen waarden in de derde vergelijking substitueren, krijgen we:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(uitgelijnd) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(uitgelijnd) \rechts.\\ \begin(uitgelijnd) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(uitgelijnd) $$
Het systeem heeft dus twee oplossingen: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ en $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Laten we de aard van het extremum op elk stationair punt uitzoeken: $M_1(1;3)$ en $M_2(-1;-3)$. Om dit te doen, berekenen we de determinant $H$ op elk van de punten.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2j;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\links| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \links| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
Op het punt $M_1(1;3)$ krijgen we: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, dus op punt $M_1(1;3)$ de functie $z(x,y)=x+3y$ heeft een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Evenzo vinden we op het punt $M_2(-1;-3)$: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. sinds $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Ik merk op dat in plaats van de waarde van de determinant $H$ op elk punt te berekenen, het veel handiger is om deze uit te breiden in algemeen beeld. Om de tekst niet vol te proppen met details, zal ik deze methode onder een notitie verbergen.
Determinant $H$ notatie in algemene vorm. laten zien verbergen
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
In principe is het al duidelijk welk teken $H$ heeft. Aangezien geen van de punten $M_1$ of $M_2$ samenvalt met de oorsprong, dan is $y^2+x^2>0$. Daarom is het teken van $H$ tegengesteld aan het teken van $\lambda$. U kunt de berekeningen ook voltooien:
$$ \begin(uitgelijnd) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(uitgelijnd) $$
De vraag naar de aard van het extremum op de stationaire punten $M_1(1;3)$ en $M_2(-1;-3)$ kan worden opgelost zonder de determinant $H$ te gebruiken. Zoek het teken van $d^2F$ op elk stationair punt:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
Ik merk op dat de notatie $dx^2$ precies betekent $dx$ verheven tot de tweede macht, d.w.z. $\links(dx\rechts)^2$. We hebben dus: $dx^2+dy^2>0$, dus voor $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ krijgen we $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Antwoord: op het punt $(-1;-3)$ heeft de functie een voorwaardelijk minimum, $z_(\min)=-10$. Op het punt $(1;3)$ heeft de functie een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=10$
Voorbeeld #2
Zoek het voorwaardelijke extremum van de functie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ onder de voorwaarde $x+y=0$.
Met $\varphi(x,y)=x+y$ stellen we de Lagrange-functie samen: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(uitgelijnd) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(uitgelijnd)\right.$$
Als we het systeem oplossen, krijgen we: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ en $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. We hebben twee stationaire punten: $M_1(0;0)$ en $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Laten we de aard van het extremum op elk stationair punt achterhalen met behulp van de determinant $H$.
$$ H=\links| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \links| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
Op punt $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, dus op dit punt heeft de functie een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
We onderzoeken de aard van het extremum op elk van de punten met een andere methode, gebaseerd op het teken van $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Van de beperkingsvergelijking $x+y=0$ hebben we: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Aangezien $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, is $M_1(0;0)$ het voorwaardelijke minimumpunt van de functie $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Evenzo, $d^2F \ Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Uit de beperkingsvergelijking $x+y=0$ krijgen we: $y=-x$. Als we $y=-x$ in de functie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ plaatsen, krijgen we een functie van de variabele $x$. Laten we deze functie aanduiden als $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Zo hebben we het probleem van het vinden van het conditionele extremum van een functie van twee variabelen teruggebracht tot het probleem van het bepalen van het extremum van een functie van één variabele.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Kreeg punten $M_1(0;0)$ en $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Verder onderzoek is bekend uit het verloop van de differentiaalberekening van functies van één variabele. Als we het teken van $u_(xx)^("")$ op elk stationair punt onderzoeken of de tekenverandering van $u_(x)^(")$ op de gevonden punten controleren, krijgen we dezelfde conclusies als bij het oplossen van de eerste Vink bijvoorbeeld $u_(xx)^("")$ aan:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Aangezien $u_(xx)^("")(M_1)>0$, is $M_1$ het minimumpunt van de functie $u(x)$, terwijl $u_(\min)=u(0)=0 $ . Sinds $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
De waarden van de functie $u(x)$ onder de gegeven verbindingsvoorwaarde vallen samen met de waarden van de functie $z(x,y)$, d.w.z. de gevonden extrema van de functie $u(x)$ zijn de gewenste conditionele extrema van de functie $z(x,y)$.
Antwoord: op het punt $(0;0)$ heeft de functie een voorwaardelijk minimum, $z_(\min)=0$. Op het punt $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ heeft de functie een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Laten we nog een voorbeeld bekijken, waarin we de aard van het extremum ontdekken door het teken van $d^2F$ te bepalen.
Voorbeeld #3
Vind de grootste en kleinste waarde functies $z=5xy-4$ als de variabelen $x$ en $y$ positief zijn en voldoen aan de beperkingsvergelijking $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1= 0$ .
Stel de Lagrange-functie samen: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Zoek de stationaire punten van de Lagrange-functie:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(uitgelijnd) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(uitgelijnd) \right.$$
Alle verdere transformaties worden uitgevoerd rekening houdend met $x > 0; \; y > 0$ (dit wordt bepaald in de toestand van het probleem). Uit de tweede vergelijking drukken we $\lambda=-\frac(5x)(y)$ uit en vervangen we de gevonden waarde in de eerste vergelijking: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4j^2-x^2=0$, $x=2j$. Als we $x=2y$ in de derde vergelijking invullen, krijgen we: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $j = 1$.
Sinds $y=1$, dan $x=2$, $\lambda=-10$. De aard van het extremum op het punt $(2;1)$ wordt bepaald uit het teken van $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Aangezien $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, dan:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
In principe kun je hier onmiddellijk de coördinaten van het stationaire punt $x=2$, $y=1$ en de parameter $\lambda=-10$ vervangen, waardoor je krijgt:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Bij andere problemen voor een conditioneel extremum kunnen er echter verschillende stationaire punten zijn. In dergelijke gevallen is het beter om $d^2F$ in een algemene vorm weer te geven en vervolgens de coördinaten van elk van de gevonden stationaire punten in de resulterende uitdrukking te vervangen:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Als we $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ substitueren, krijgen we:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Sinds $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Antwoord: op het punt $(2;1)$ heeft de functie een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=6$.
In het volgende deel gaan we in op de toepassing van de Lagrange-methode voor functies van een groter aantal variabelen.
Voorbeeld
Vind het extremum van de functie op voorwaarde dat: x en Bij zijn gerelateerd door de verhouding: . Geometrisch betekent het probleem het volgende: op een ellips 
vlak 
.
Dit probleem kan als volgt worden opgelost: uit de vergelijking 
vinden 
x:
mits 
, teruggebracht tot het probleem van het vinden van het uiterste van een functie van één variabele, op het segment 
.
Geometrisch betekent het probleem het volgende: op een ellips 
verkregen door het kruisen van de cilinder 
vlak 
, het is vereist om de maximale of minimale waarde van de applicatie te vinden 
(Afb. 9). Dit probleem kan als volgt worden opgelost: uit de vergelijking 
vinden 
. Als we de gevonden waarde van y in de vergelijking van het vlak plaatsen, krijgen we een functie van één variabele x:
Dus het probleem van het vinden van het uiterste van de functie 
mits 
, teruggebracht tot het probleem van het vinden van het uiterste van een functie van één variabele, op een segment.
Dus, het probleem van het vinden van een voorwaardelijk extremum is het probleem van het vinden van het uiterste van de objectieve functie? 
, op voorwaarde dat de variabelen x en Bij onderworpen aan de beperking 
genaamd verbindingsvergelijking.
We zullen zeggen dat punt
, voldoen aan de beperkingsvergelijking, is een punt van het lokale voorwaardelijke maximum (minimum) als er een buurt is 
zodat voor alle punten 
, waarvan de coördinaten voldoen aan de beperkingsvergelijking, geldt de ongelijkheid.
Als het uit de communicatievergelijking mogelijk is om een uitdrukking te vinden voor Bij, en door deze uitdrukking in de oorspronkelijke functie te vervangen, veranderen we de laatste in een complexe functie van één variabele X.
De algemene methode voor het oplossen van het conditionele extremumprobleem is: Lagrange-vermenigvuldigingsmethode. Laten we een hulpfunctie maken, waarbij: 
een aantal. Deze functie heet Lagrange-functie, een 
─ Lagrange-vermenigvuldiger. Zo is het probleem van het vinden van een conditioneel extremum teruggebracht tot het vinden van lokale extremumpunten voor de Lagrange-functie. Om de punten van een mogelijk extremum te vinden, is het nodig om een stelsel van 3 vergelijkingen met drie onbekenden op te lossen x, ja en.
Dan moet men de volgende voldoende extreme conditie hanteren.
STELLING.
Laat het punt een punt van mogelijk extremum zijn voor de Lagrange-functie. We nemen aan dat in de buurt van het punt 
er zijn continue tweede-orde partiële afgeleiden van de functies 
en 
. aanduiden
dan als 
, dan 
─ voorwaardelijk uiterste punt van de functie 
bij de beperkingsvergelijking 
ondertussen, als 
, dan 
─ voorwaardelijk minimumpunt, als 
, dan 
─ punt voorwaardelijk maximum.
Laat de functie 
gedefinieerd in een (open) domein. Overweeg elk punt 
dit gebied en elke gerichte rechte lijn (as) 
door dit punt gaan (Fig. 1). Laat 
- een ander punt van deze as, 
- de lengte van het segment tussen 
en 
, genomen met een plusteken, als de richting 
valt samen met de richting van de as 
, en met een minteken als hun richtingen tegengesteld zijn.
Laat 
nadert voor onbepaalde tijd 
. Begrenzing
genaamd functie afgeleide 
richting
(of langs de as 
) en wordt als volgt aangeduid:
.
Deze afgeleide kenmerkt de "veranderingssnelheid" van de functie op het punt 
richting 
. In het bijzonder, en gewone partiële afgeleiden 
,
kan ook worden gezien als afgeleiden "met betrekking tot richting".
Stel nu dat de functie 
heeft continue partiële afgeleiden in de regio in kwestie. Laat de as 
vormt hoeken met de coördinaatassen 
en 
. Onder de gemaakte veronderstellingen, de directionele afgeleide 
bestaat en wordt uitgedrukt door de formule
.
Als de vector 
ingesteld door zijn coördinaten 
, dan is de afgeleide van de functie 
in de richting van de vector 
kan worden berekend met de formule:
.
Vector met coördinaten 
genaamd verloop vector functies 
bij het punt 
. De gradiëntvector geeft de richting aan van de snelste toename van de functie op een bepaald punt.
Voorbeeld
Gegeven een functie , een punt A(1, 1) en een vector 
. Vind: 1) grad z in punt A; 2) de afgeleide in punt A in de richting van de vector 
.
Partiële afgeleiden van een bepaalde functie op een punt 
:
;
.
Dan is de gradiëntvector van de functie op dit punt: 
. De gradiëntvector kan ook worden geschreven met behulp van een vectorexpansie 
en 
:
. Functie afgeleide 
in de richting van de vector 
:
Dus, 
,
.◄
Extrema van functies van verschillende variabelen. Een noodzakelijke voorwaarde voor een extremum. Voldoende voorwaarde voor een extremum. Voorwaardelijk extremum. Methode van Lagrange-vermenigvuldigers. De grootste en kleinste waarden vinden.
College 5
Definitie 5.1. Punt M 0 (x 0, y 0) genaamd maximum punt functies z = f(x, y), als f (x , y o) > f(x, y) voor alle punten (x, y) M 0.
Definitie 5.2. Punt M 0 (x 0, y 0) genaamd minimum punt functies z = f(x, y), als f (x , y o) < f(x, y) voor alle punten (x, y) uit een of andere buurt van het punt M 0.
Opmerking 1. De maximale en minimale punten worden genoemd extreme punten functies van meerdere variabelen.
Opmerking 2. Het uiterste punt voor een functie van een willekeurig aantal variabelen wordt op een vergelijkbare manier gedefinieerd.
Stelling 5.1(noodzakelijke extreme omstandigheden). Als M 0 (x 0, y 0) is het uiterste punt van de functie z = f(x, y), dan zijn op dit punt de partiële afgeleiden van de eerste orde van deze functie gelijk aan nul of bestaan ze niet.
Bewijs.
Laten we de waarde van de variabele corrigeren Bij tellen y = y 0. Dan de functie f(x, y0) zal een functie zijn van één variabele x, waarvoor x = x 0 is het uiterste punt. Daarom, volgens de stelling van Fermat of bestaat niet. Dezelfde bewering wordt bewezen voor .
Definitie 5.3. Punten die behoren tot het domein van een functie van meerdere variabelen, waarbij de partiële afgeleiden van de functie gelijk zijn aan nul of niet bestaan, worden genoemd stationaire punten deze functie.
Commentaar. Een extremum kan dus alleen worden bereikt op stationaire punten, maar het wordt niet noodzakelijkerwijs op elk van hen waargenomen.
Stelling 5.2(voldoende voorwaarden voor een extremum). Laat in een buurt van het punt M 0 (x 0, y 0), wat een stationair punt is van de functie z = f(x, y), deze functie heeft continue partiële afgeleiden tot en met de 3e orde. Geef dan aan:
1) f(x, y) heeft op het punt M 0 maximum als AC-B² > 0, EEN < 0;
2) f(x, y) heeft op het punt M 0 minimaal als AC-B² > 0, EEN > 0;
3) er is geen extremum op het kritieke punt als AC-B² < 0;
4) als AC-B² = 0, aanvullend onderzoek is nodig.
Bewijs.
Laten we de Taylor-formule van de tweede orde voor de functie schrijven f(x, y), in gedachten houdend dat op een stationair punt de partiële afgeleiden van de eerste orde gelijk zijn aan nul:
waar 
Als de hoek tussen het segment M 0 M, waar M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ Bij), en de O-as x duiden φ aan, dan Δ x =Δ ρ
omdat φ,
Δ y= sinφ. In dit geval zal de Taylor-formule de vorm aannemen: . Laten we dan de uitdrukking tussen haakjes delen en vermenigvuldigen met EEN. We krijgen:
Beschouw nu vier mogelijke gevallen:
1) AC-B² > 0, EEN < 0. Тогда , и 
voor voldoende kleine Δρ. Daarom, in een bepaalde buurt M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ j)< f(x0, y0), dat is M 0 is het maximale punt.
2) Laten we AC-B² > 0, A > 0. Dan 
, en M 0 is het minimumpunt.
3) Laten we AC-B² < 0, EEN> 0. Beschouw de toename van argumenten langs de straal φ = 0. Dan volgt uit (5.1) dat 
, dat wil zeggen, als je langs deze straal beweegt, neemt de functie toe. Als we langs een straal bewegen zodat tg φ 0 \u003d -A / B, dan 
, daarom neemt de functie af wanneer u langs deze straal beweegt. dus het punt M 0 is geen extreem punt.
3`) Wanneer? AC-B² < 0, EEN < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
vergelijkbaar met de vorige.
3``) Als AC-B² < 0, EEN= 0, dan . waarin. Dan, voor voldoende kleine φ, uitdrukking 2 B want + C sinφ bijna 2 V, dat wil zeggen, het behoudt een constant teken en sinφ verandert van teken in de buurt van het punt M 0 . Dit betekent dat de toename van de functie van teken verandert in de buurt van het stationaire punt, dat dus geen uiterste punt is.
4) Als AC-B² = 0, en 
, 
, dat wil zeggen, het teken van de toename wordt bepaald door het teken 2α 0 . Tegelijkertijd is verder onderzoek nodig om de vraag naar het bestaan van een extremum op te helderen.
Voorbeeld. Laten we de extreme punten van de functie zoeken z=x² - 2 xy + 2ja² + 2 x. Om stationaire punten te zoeken, lossen we het systeem op: 
. Het stationaire punt is dus (-2,-1). Waarin A = 2, V = -2, MET= 4. Dan AC-B² = 4 > 0, daarom wordt een extremum bereikt op het stationaire punt, namelijk het minimum (aangezien EEN > 0).
Definitie 5.4. Als de functieargumenten f (x 1 , x 2 ,…, x n) verbonden aanvullende voorwaarden als m vergelijkingen ( m< n) :
1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)
waarbij de functies φ i continue partiële afgeleiden hebben, dan worden vergelijkingen (5.2) genoemd verbindingsvergelijkingen.
Definitie 5.5. Functie extremum f (x 1 , x 2 ,…, x n) onder voorwaarden (5.2) heet voorwaardelijk extremum.
Commentaar. We kunnen de volgende geometrische interpretatie van het conditionele extremum van een functie van twee variabelen voorstellen: laat de argumenten van de functie f(x,y) zijn gerelateerd door de vergelijking φ (x, y)= 0, definieert een curve in het vlak O hoezo. Nadat we vanuit elk punt van deze kromme de loodlijnen op het vlak O . hebben hersteld hoezo voor het oversteken van het oppervlak z = f (x, y), we krijgen een ruimtelijke curve die op het oppervlak boven de curve ligt φ (x, y)= 0. Het probleem is om de extreme punten van de resulterende curve te vinden, die natuurlijk in het algemeen niet samenvallen met de onvoorwaardelijke extreme punten van de functie f(x,y).
Laten we de noodzakelijke voorwaardelijke extreme voorwaarden voor een functie van twee variabelen definiëren door vooraf de volgende definitie in te voeren:
Definitie 5.6. Functie L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)
waar ik - enkele constanten, genaamd Lagrange-functie, en de cijfers ik– onbepaalde Lagrange-vermenigvuldigers.
Stelling 5.3(noodzakelijke voorwaardelijke extreme omstandigheden). Voorwaardelijk extremum van de functie z = f(x, y) in aanwezigheid van de beperkingsvergelijking φ ( x, y)= 0 kan alleen worden bereikt op stationaire punten van de Lagrange-functie L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Bewijs. De beperkingsvergelijking definieert een impliciete afhankelijkheid Bij van x, dus we gaan ervan uit dat Bij er is een functie van x: y = y(x). Dan z er is een complexe functie x, en de kritieke punten worden bepaald door de voorwaarde: 
. (5.4) Uit de beperkingsvergelijking volgt dat: 
. (5.5)
We vermenigvuldigen de gelijkheid (5.5) met een getal λ en tellen dit op bij (5.4). We krijgen:
, of .
De laatste gelijkheid moet gelden op stationaire punten, waaruit volgt:
(5.6)
Een stelsel van drie vergelijkingen voor drie onbekenden wordt verkregen: x, ja en λ, waarbij de eerste twee vergelijkingen de voorwaarden zijn voor het stationaire punt van de Lagrange-functie. Door de hulponbekende λ uit systeem (5.6) te elimineren, vinden we de coördinaten van de punten waarop de oorspronkelijke functie een voorwaardelijk extremum kan hebben.
Opmerking 1. De aanwezigheid van een conditioneel extremum op het gevonden punt kan worden gecontroleerd door de tweede-orde partiële afgeleiden van de Lagrange-functie te bestuderen naar analogie met Stelling 5.2.
Opmerking 2. Punten waarop het conditionele extremum van de functie kan worden bereikt f (x 1 , x 2 ,…, x n) onder voorwaarden (5.2), kan worden gedefinieerd als oplossingen van het systeem 
(5.7)
Voorbeeld. Vind het voorwaardelijke extremum van de functie z = xy mits x + y= 1. Stel de Lagrange-functie samen L(x, y) = xy + λ (x + y – een). Systeem (5.6) ziet er dan als volgt uit:
Vanwaar -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. Waarin L (x, y) kan worden weergegeven als L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, dus op het gevonden stationaire punt L (x, y) heeft een maximum en z = xy - voorwaardelijk maximum.
Extrema van een functie van meerdere variabelen
Kleinste vierkante methode.
Lokaal extremum van FNP
Laat de functie en= F(P), RÎDÌR N en laat het punt Р 0 ( een 1 , een 2 , ..., een p) –intern punt van set D.
Definitie 9.4.
1) Het punt P 0 heet maximum punt functies en= F(P) als er een omgeving van dit punt U(P 0) Ì D bestaat zodat voor elk punt P( x 1 , x 2 , ..., x nee)н U(P 0) , Р¹Р 0 , de voorwaarde F(P) £ F(P0) . Betekenis F(P 0) functies op het maximale punt heet functie maximum en aangegeven F(P 0) = max F(P) .
2) Het punt P 0 heet minimum punt functies en= F(P) als er een omgeving van dit punt U(P 0)Ì D bestaat zodat voor elk punt P( x 1 , x 2 , ..., x nee) (U(P 0), Р¹Р 0 , de voorwaarde) F(P)³ F(P0) . Betekenis F(P 0) functies op het minimumpunt heet functie minimum en aangegeven F(P 0) = min F(P).
De minimum- en maximumpunten van een functie worden genoemd extreme punten, worden de waarden van de functie op de uiterste punten genoemd functie extreem.
Zoals uit de definitie volgt, zijn de ongelijkheden F(P) £ F(P0), F(P)³ F(P 0) moet alleen worden uitgevoerd in een bepaalde buurt van het punt P 0 , en niet in het hele domein van de functie, wat betekent dat de functie meerdere extrema van hetzelfde type kan hebben (meerdere minima, meerdere maxima). Daarom worden de hierboven gedefinieerde extrema genoemd lokaal(lokale) uitersten.
Stelling 9.1.( Noodzakelijke voorwaarde FNP extreem)
Als de functie en= F(x 1 , x 2 , ..., x nee) een extremum heeft op het punt P 0 , dan zijn de partiële afgeleiden van de eerste orde op dit punt gelijk aan nul of bestaan ze niet.
Bewijs. Laat op het punt Р 0 ( een 1 , een 2 , ..., een p) functie en= F(P) heeft een uiterste, zoals een maximum. Laten we de argumenten oplossen x 2 , ..., x nee, zetten x 2 =een 2 ,..., x nee = een p. Dan en= F(P) = F 1 ((x 1 , een 2 , ..., een p) is een functie van één variabele x een . Aangezien deze functie heeft: x 1 = een 1 extremum (maximaal), dan F 1 ¢=0 of bestaat niet wanneer x 1 =een 1 (een noodzakelijke voorwaarde voor het bestaan van een extremum van een functie van één variabele). Maar , dan wel of niet bestaat op het punt Po - het punt van extremum. Evenzo kunnen we partiële afgeleiden beschouwen met betrekking tot andere variabelen. CHTD.
De punten van het domein van een functie waarbij de partiële afgeleiden van de eerste orde gelijk zijn aan nul of niet bestaan, worden genoemd kritieke punten deze functie.
Zoals uit Stelling 9.1 volgt, moeten de uiterste punten van de FNP worden gezocht onder de kritieke punten van de functie. Maar wat betreft een functie van één variabele, niet elk kritiek punt is een uiterste punt.
Stelling 9.2
Laat Р 0 een kritisch punt van de functie zijn en= F(P) en 
is het tweede-orde differentieel van deze functie. Dan
en als D 2 jij(P 0) > 0 voor , dan is Р 0 een punt minimum functies en= F(P);
b) als D 2 jij(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum functies en= F(P);
c) als D 2 jij(P 0) niet wordt gedefinieerd door teken, dan is P 0 geen uiterste punt;
We beschouwen deze stelling zonder bewijs.
Merk op dat de stelling geen rekening houdt met het geval wanneer D 2 jij(P 0) = 0 of bestaat niet. Dit betekent dat de kwestie van de aanwezigheid van een extremum op het punt P 0 onder dergelijke omstandigheden open blijft - aanvullende studies zijn nodig, bijvoorbeeld de studie van de toename van de functie op dit punt.
In meer gedetailleerde wiskundecursussen is bewezen dat met name voor de functie z = f(x,ja) van twee variabelen waarvan het differentieel van de tweede orde een som is van de vorm
de studie van de aanwezigheid van een extremum op het kritieke punt Р 0 kan worden vereenvoudigd.
Geef aan , , . Stel de determinant samen
.
Blijkt:
D 2 z> 0 op het punt P 0 , d.w.z. P 0 - minimumpunt, als EEN(P 0) > 0 en D(P 0) > 0;
D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если EEN(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
als D(P 0)< 0, то D 2 z in de buurt van het punt Р 0 verandert van teken en er is geen extremum op het punt Р 0;
als D(Р 0) = 0, dan zijn ook aanvullende studies van de functie in de buurt van het kritieke punt Р 0 nodig.
Dus voor de functie z = f(x,ja) twee variabelen, hebben we het volgende algoritme (laten we het "algoritme D" noemen) om het extremum te vinden:
1) Zoek het domein van definitie D( F) functies.
2) Vind kritische punten, d.w.z. punten van D( F) waarvoor en gelijk zijn aan nul of niet bestaan.
3) Controleer op elk kritiek punt Р 0 de voldoende voorwaarden voor het extremum. Om dit te doen, zoek , waar , , en bereken D(Р 0) en EEN(P 0) Dan:
als D(Р 0) >0, dan is er een extremum op het punt Р 0, bovendien als EEN(P 0) > 0 - dan is dit een minimum, en als EEN(P0)< 0 – максимум;
als D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Als D(Р 0) = 0, dan is aanvullend onderzoek nodig.
4) Bereken de waarde van de functie bij de gevonden uiterste punten.
Voorbeeld 1.
Vind het uiterste van een functie z = x 3 + 8ja 3 – 3xy .
Oplossing. Het domein van deze functie is het gehele coördinatenvlak. Laten we de kritieke punten zoeken.
, 
, 
Þ Р 0 (0,0) , .
Laten we de vervulling van voldoende extreme voorwaarden controleren. Laten we vinden
6x, = -3, = 48Bij en 
= 288hoezo – 9.
Dan D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - er is een extremum op het punt Р 1, en aangezien EEN(P 1) = 3 >0, dan is dit extremum een minimum. dus min z=z(P1) = 
.
Voorbeeld 2
Vind het uiterste van een functie 
.
Oplossing: D( F) = R2. Kritieke punten: 
; bestaat niet bij Bij= 0, dus P 0 (0,0) is het kritieke punt van deze functie.
2, = 0, = , = , maar D(Р 0) is niet gedefinieerd, dus het is onmogelijk om het teken ervan te bestuderen.
Om dezelfde reden is het onmogelijk om Stelling 9.2 rechtstreeks toe te passen − D 2 z bestaat op dit moment niet.
Overweeg de toename van de functie F(x, ja) op het punt Р 0 . Als D F =F(P)- F(P 0)>0 "P, dan is P 0 het minimumpunt, als D F < 0, то Р 0 – точка максимума.
We hebben in ons geval
D F = F(x, ja) – F(0, 0) = F(0+D x,0+D ja) – F(0, 0) = .
Bij D x= 0,1 en D ja= -0,008 we krijgen D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 en D ja= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, d.w.z. in de buurt van het punt Р 0 noch de voorwaarde D F <0 (т.е. F(x, ja) < F(0, 0) en dus P 0 is geen maximum punt), noch de voorwaarde D F>0 (d.w.z. F(x, ja) > F(0, 0) en dan is Р 0 geen minimumpunt). Daarom heeft deze functie per definitie van een extremum geen extremums.
Voorwaardelijk extreem.
Het beschouwde extremum van de functie heet onvoorwaardelijk, aangezien er geen beperkingen (voorwaarden) worden opgelegd aan de functieargumenten.
Definitie 9.2. Functie extremum en = F(x 1 , x 2 , ... , x nee), gevonden onder de voorwaarde dat zijn argumenten x 1 , x 2 , ... , x nee voldoen aan de vergelijkingen j 1 ( x 1 , x 2 , ... , x nee) = 0, …, j t(x 1 , x 2 , ... , x nee) = 0, waarbij P ( x 1 , x 2 , ... , x nee) О D( F), wordt genoemd voorwaardelijk extremum .
vergelijkingen j k(x 1 , x 2 , ... , x nee) = 0 , k = 1, 2,..., m, worden genoemd verbindingsvergelijkingen.
Overweeg de functies z = f(x,ja) van twee variabelen. Als er maar één beperkingsvergelijking is, d.w.z. , dan betekent het vinden van een voorwaardelijk extremum dat het extremum niet in het hele domein van de functie wordt gezocht, maar op een curve die in D( ligt) F) (d.w.z. er wordt niet op de hoogste of laagste punten van het oppervlak gezocht z = f(x,ja), en de hoogste of laagste punten van de snijpunten van dit oppervlak met de cilinder, Fig. 5).
Voorwaardelijk extremum van de functie z = f(x,ja) van twee variabelen kan op de volgende manier worden gevonden ( eliminatie methode:). Druk uit de vergelijking een van de variabelen uit als een functie van de andere (bijvoorbeeld schrijf ) en, vervang deze waarde van de variabele in de functie , schrijf de laatste als een functie van één variabele (in het beschouwde geval 
). Vind het extremum van de resulterende functie van één variabele.
1. Laat de functie continu differentieerbaar zijn in een bepaalde buurt van het punt en continue partiële afgeleiden van de tweede orde hebben (puur en gemengd).
2. Geef aan met de determinant van de tweede orde
extreme variabele lezingsfunctie
Stelling
Als het punt met coördinaten een stationair punt is voor de functie, dan:
A) Wanneer het een punt van lokaal extremum is en, bij een lokaal maximum, - een lokaal minimum;
C) wanneer het punt geen lokaal extremumpunt is;
C) als, misschien beide.
Bewijs
We schrijven de Taylor-formule voor de functie, waarbij we ons beperken tot twee leden:
Aangezien, volgens de voorwaarde van de stelling, het punt stationair is, zijn de partiële afgeleiden van de tweede orde gelijk aan nul, d.w.z. en. Dan
aanduiden
Dan zal de toename van de functie de vorm aannemen:
Vanwege de continuïteit van partiële afgeleiden van de tweede orde (puur en gemengd), kunnen we volgens de toestand van de stelling op een bepaald punt schrijven:
Waar of; ,
1. Laat en, d.w.z. of.
2. We vermenigvuldigen de toename van de functie en delen door, we krijgen:
3. Vul de uitdrukking tussen accolades aan tot het volledige kwadraat van de som:
4. De uitdrukking tussen accolades is niet-negatief, aangezien
5. Daarom, als en dus, en, dan en daarom, volgens de definitie, is het punt een punt van lokaal minimum.
6. Als en betekent, en, dan is een punt met coördinaten volgens de definitie een lokaal maximumpunt.
2. Overweeg: vierkante trinominaal, zijn discriminerend, .
3. Als, dan zijn er punten zodanig dat de polynoom
4. De totale toename van de functie op een punt in overeenstemming met de uitdrukking verkregen in I, schrijven we in de vorm:
5. Vanwege de continuïteit van partiële afgeleiden van de tweede orde, door de toestand van de stelling op een punt, kunnen we schrijven dat
daarom bestaat er een buurt van een punt zodat, voor elk punt, de vierkante trinominaal groter is dan nul:
6. Overweeg - de buurt van het punt.
Laten we een willekeurige waarde kiezen, dus dat is het punt. Ervan uitgaande dat in de formule voor de toename van de functie
Wat we krijgen:
7. Sindsdien.
8. Als we op dezelfde manier pleiten voor de wortel, krijgen we dat er in elke -buurt van het punt een punt is waarvoor het daarom in de buurt van het punt geen teken behoudt, daarom is er geen extremum op het punt.
Bij het zoeken naar extrema van een functie van twee variabelen ontstaan vaak problemen gerelateerd aan het zogenaamde conditionele extremum. Dit concept kan worden verklaard aan de hand van het voorbeeld van een functie van twee variabelen.
Laat een functie en een lijn L gegeven zijn op het vlak 0xy. De taak is om zo'n punt P (x, y) op de lijn L te vinden, waarbij de waarde van de functie de grootste of kleinste is in vergelijking met de waarden van deze functie op de punten van de lijn L, gelegen nabij het punt P. Dergelijke punten P worden voorwaardelijke extreme punten genoemd functies op de lijn L. In tegenstelling tot het gebruikelijke extreme punt wordt de waarde van de functie op het voorwaardelijke extreme punt vergeleken met de waarden van de functie niet op alle punten van een deel van zijn buurt, maar alleen bij die op de lijn L.
Het is vrij duidelijk dat het punt van het gebruikelijke extremum (ze zeggen ook het onvoorwaardelijke extremum) ook het punt is van het voorwaardelijke extremum voor elke lijn die door dit punt gaat. Het omgekeerde is natuurlijk niet waar: een voorwaardelijk extremumpunt hoeft geen conventioneel extremumpunt te zijn. Laten we illustreren wat er is gezegd met een voorbeeld.
Voorbeeld 1. De grafiek van de functie is de bovenste hemisfeer (Fig. 2).
Rijst. 2.
Deze functie heeft een maximum aan de oorsprong; het komt overeen met het hoekpunt M van het halfrond. Als de lijn L een rechte lijn is die door de punten A en B gaat (zijn vergelijking), dan is het geometrisch duidelijk dat voor de punten van deze lijn de maximale waarde van de functie wordt bereikt op het punt dat in het midden ligt tussen de punten A en B. Dit zijn de voorwaardelijke extreme (maximale) puntfuncties op deze lijn; het komt overeen met het punt M 1 op het halfrond, en uit de figuur blijkt dat hier geen sprake kan zijn van een gewoon extremum.
Merk op dat in het laatste deel van het probleem van het vinden van de grootste en kleinste waarden van een functie in een gesloten gebied, men de extreme waarden van de functie op de grens van dit gebied moet vinden, d.w.z. op een bepaalde regel, en daarmee het probleem voor een voorwaardelijk extremum oplossen.
Definitie 1. Ze zeggen dat waar een voorwaardelijk of relatief maximum (minimum) is op een punt dat aan de vergelijking voldoet: als voor een punt dat aan de vergelijking voldoet, de ongelijkheid
Definitie 2. Een vergelijking van de vorm wordt een beperkingsvergelijking genoemd.
Stelling
Als de functies en continu differentieerbaar zijn in de buurt van een punt, en de partiële afgeleide en het punt zijn het punt van het conditionele extremum van de functie ten opzichte van de beperkingsvergelijking, dan is de tweede-orde determinant gelijk aan nul:
Bewijs
1. Aangezien, volgens de voorwaarde van de stelling, de partiële afgeleide en de waarde van de functie, dan in een rechthoek
impliciete functie gedefinieerd
Een complexe functie van twee variabelen op een punt heeft dus een lokaal extremum, of.
2. Inderdaad, volgens de invariantie-eigenschap van de eerste-orde differentiaalformule
3. De verbindingsvergelijking kan in deze vorm worden weergegeven, wat betekent:
4. Vermenigvuldig vergelijking (2) met, en (3) met en voeg ze toe
Daarom, wanneer?
willekeurig. h.t.d.
Gevolg
Het zoeken naar conditionele extremumpunten van een functie van twee variabelen wordt in de praktijk uitgevoerd door het oplossen van een stelsel vergelijkingen
Dus in het bovenstaande voorbeeld nr. 1 uit de communicatievergelijking die we hebben. Vanaf hier is het gemakkelijk om te controleren wat een maximum bereikt bij . Maar dan uit de vergelijking van communicatie. We krijgen het punt P, geometrisch gevonden.
Voorbeeld #2. Vind de voorwaardelijke extreme punten van de functie met betrekking tot de beperkingsvergelijking.
Laten we partiële afgeleiden vinden gegeven functie en de verbindingsvergelijkingen:
Laten we een determinant van de tweede orde maken:
Laten we het systeem van vergelijkingen voor het vinden van voorwaardelijke extremumpunten opschrijven:
daarom zijn er vier voorwaardelijke extreme punten van de functie met coördinaten: .
Voorbeeld #3. Zoek de extreme punten van de functie.
Door de partiële afgeleiden gelijk te stellen aan nul: , vinden we één stationair punt - de oorsprong. Hier,. Daarom is het punt (0, 0) ook geen uiterste punt. De vergelijking is de vergelijking van een hyperbolische paraboloïde (Fig. 3), de figuur laat zien dat het punt (0, 0) geen extremumpunt is.
Rijst. 3.
1. Laat de functie gedefinieerd en continu zijn in een begrensd gesloten domein D.
2. Laat de functie eindige partiële afgeleiden hebben in dit gebied, behalve voor individuele punten van het gebied.
3. Overeenkomstig de stelling van Weierstrass is er in dit gebied een punt waarop de functie de grootste en de kleinste waarden aanneemt.
4. Als deze punten binnenste punten van het gebied D zijn, dan is het duidelijk dat ze een maximum of een minimum zullen hebben.
5. In dit geval behoren de aandachtspunten voor ons tot de verdachte punten op het uiterste.
6. De functie kan echter ook de maximale of minimale waarde aannemen op de grens van het gebied D.
7. Om de grootste (kleinste) waarde van de functie in het gebied D te vinden, moet je alles vinden interieur punten verdacht voor een extremum, bereken de waarde van de functie erin, vergelijk vervolgens met de waarde van de functie op de grenspunten van het gebied, en de grootste van alle gevonden waarden is de grootste in het gesloten gebied D.
8. De methode voor het vinden van een lokaal maximum of minimum is eerder in paragraaf 1.2 besproken. en 1.3.
9. Het blijft om de methode te overwegen om de maximale en minimale waarden van de functie op de grens van de regio te vinden.
10. Bij een functie van twee variabelen blijkt de oppervlakte meestal begrensd te zijn door een kromme of meerdere krommen.
11. Langs zo'n curve (of meerdere curven) zijn de variabelen en ofwel afhankelijk van elkaar, ofwel beide van één parameter.
12. Op de grens blijkt de functie dus afhankelijk te zijn van één variabele.
13. Zoekmethode de grootste waarde functies van één variabele werden eerder besproken.
14. Laat de grens van het gebied D worden gegeven door de parametervergelijkingen:
Dan is op deze curve de functie van twee variabelen een complexe functie van de parameter: . Voor een dergelijke functie wordt de grootste en kleinste waarde bepaald door de methode van het bepalen van de grootste en kleinste waarden voor een functie van één variabele.
