Многое из физики иногда остаётся непонятным. И дело не всегда в том, что человек просто мало прочитал по этой теме. Иногда материал дан так, что понять его человеку, не знакомому с основами физики, просто невозможно. Одним довольно интересным разделом, который не всегда люди понимают с первого раза и способны осмыслить, являются периодические колебания. Прежде чем объяснить теорию периодических колебаний, поговорим немного об истории обнаружения этого явления.
Теоретические основы периодических колебаний были известны ещё в древнем мире. Люди видели, как равномерно двигаются волны, как вращаются колёса, проходя через определённый промежуток времени через одну и ту же точку. Именно из этих простых, на первый взгляд, явлений пошло понятие колебаний.
Первых свидетельств описания колебаний не сохранилось, однако доподлинно известно, что один из самых распространённых их видов (а именно электромагнитные) теоретически предсказал Максвелл в 1862 году. Через 20 лет его теория получила подтверждение. Тогда провёл серию опытов, доказывающих существование электромагнитных волн и наличие определённых свойств, присущих только им. Как оказалось, свет также является электромагнитной волной и подчиняется всем соответствующим законам. За несколько лет до Герца нашёлся человек, который продемонстрировал научному обществу генерацию электромагнитных волн, но в силу того, что он не был силён в теории так же, как Герц, не смог доказать, что успех опыта объясняется именно колебаниями.
Мы немного отошли от темы. В следующем разделе рассмотрим основные примеры периодических колебаний, которые мы можем встретить в повседневной жизни и в природе.
Эти явления происходят везде и постоянно. И кроме уже приведённых в пример волн и вращения колёс, мы можем заметить периодические колебания в нашем организме: сокращения сердца, движение лёгких и так далее. Если увеличивать масштаб и переходить к более крупным объектам, чем наши органы, можно увидеть колебания и в такой науке, как биология.
Примером могут служить периодические колебания численности популяций. В чём смысл этого явления? В любой популяции всегда происходит то её увеличение, то уменьшение. И связано это бывает с разными факторами. В силу ограниченности пространства и многих других факторов популяция не может бесконечно расти, поэтому с помощью естественных механизмов природа научилась уменьшать численность. При этом и происходят периодические колебания численности. То же самое происходит и с человеческим обществом.
Теперь обсудим теорию этого понятия и разберём немного формул, касающихся такого понятия, как периодические колебания.
Периодические колебания - очень интересная тема. Но, как и в любой другой, чем дальше погружаешься - тем больше непонятного, нового и сложного. В этой статье мы не будем углубляться, лишь расскажем кратко об основных свойствах колебаний.
Основными характеристиками периодических колебаний являются период и частота показывает, какое время требуется волне, чтобы вернуться в исходное положение. Фактически это время, за которое волна проходит расстояние между её соседними гребнями. Есть ещё одна величина, которая тесно связана с предыдущей. Это частота. Частота обратна периоду и имеет такой физический смысл: это количество гребней волн, которые прошли через определённую область пространства за единицу времени. Частота периодических колебаний, если представить её в математическом виде, имеет формулу: v=1/T, где T - период колебаний.
Перед тем как перейти к заключению, расскажем немного о том, где наблюдаются периодические колебания и как знания о них могут быть полезны в жизни.
Выше мы уже рассмотрели виды периодических колебаний. Если даже руководствоваться перечнем того, где они встречаются, легко понять, что они окружают нас везде. излучают все наши электроприборы. Более того, связь телефона с телефоном или прослушивание радио были бы невозможны без них.
Звуковые волны также представляют собой колебания. Под действием электрического напряжения специальная мембрана в каком-либо генераторе звука начинает вибрировать, создавая волны определённой частоты. Вслед за мембраной начинают колебаться молекулы воздуха, которые в конце концов и доходят до нашего уха и воспринимаются как звук.
Физика - очень интересная наука. И даже если кажется, что вы вроде как знаете в ней всё, что может пригодится в повседневной жизни, всё равно найдётся такая вещь, в которой будет нелишним разобраться получше. Мы надеемся, что эта статья помогла вам понять или вспомнить материал по физике колебаний. Это действительно очень важная тема, практическое применение теории из которой сегодня встречается повсеместно.
Механические колебания. Параметры колебаний. Гармонические колебания.
Колебанием называется процесс точно или приблизительно повторяющийся черезопределенные промежутки времени.
Особенность колебаний - обязательное наличие на траектории положения устойчивого равновесия, в котором сумма всех сил, действующих на тело равна нулю называется положением равновесия.
Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.
Параметры колебательного движения.
1. Смещение или координата (x ) – отклонение от положения равновесия в данный
момент времени. | [x ]= м | |
2. Амплитуда (Xm ) – максимальное отклонение от положения равновесия.
[ X m ]= м
3. Период колебаний (T ) – время, за которое совершается одно полное колебание.
[T ]= c.
0 " style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">
Математический маятник
Пружинный маятник
m
https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src=">Частота (линейная) (n) – число полных колебаний за 1 с.
[n]= Гц
5. Циклическая частота (w ) – число полных колебаний за 2p секунд, т. е. приблизительно за 6,28 с.
w = 2pn ; [w] =0 " style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">
https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">
Тень на экране колеблется.
Уравнение и график гармонических колебаний.
Гармонические колебания -это колебания,при которых координата изменяется с течениемвремени по закону синуса или косинуса.
https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src=">x = X m sin (w t + j0 )
x = X m cos (w t + j0 )
x – координата,
Xm – амплитуда колебаний,
w – циклическая частота,
w t +j0 = j – фаза колебаний,
j0 – начальная фаза колебаний.
https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">
Графики отличаются только амплитудой
Графики отличаются только периодом (частотой)
https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">
Если амплитуда колебаний не изменяется течением времени, колебания называются незатухающими .
Собственные колебания не учитывают трения, полная механическая энергия системы, остается постоянной: E к + E п = E мех = const.
Собственные колебания незатухающие.
При вынужденных колебаниях энергия, поступающая непрерывно или периодически от внешнего источника, восполняет потери, возникающие за счет работы силы трения, и колебания могут быть незатухающими.
Кинетическая и потенциальная энергия тела при колебаниях переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия, наоборот.
Частота свободных колебаний определяется параметрами колебательной системы.
Частота вынужденных колебаний определяется частотой действия внешней силы. Амплитуда вынужденных колебаний тоже зависит от внешней силы.
Резонан c
Резонансом
называется резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты действия внешней силы с частотой собственных колебаний системы.
При совпадении частоты w изменения силы с собственной частотой w0 колебаний системы сила в течение всего совершает положительную работу, увеличивая амплитуду колебаний тела. При любой другой частоте в течение одной части периода сила совершает положительную работу, а в течение другой части периода - отрицательную.
При резонансе рост амплитуды колебаний может привести к разрушению системы.
В 1905 году под копытами эскадрона гвардейской кавалерии рухнул Египетский мост через реку Фонтанку в Петербурге.
Автоколебания.
Автоколебаниями называются незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменой силы.
В отличие от вынужденных колебаний частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы.
От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний. Автоколебательную систему обычно можно разделить на три элемента:
1) колебательную систему;
2) источник энергии;
3) устройство с обратной связью, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему.
Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной в колебательной системе за то же время.
В колебательной системе происходит периодический переход одного вида энергии в другой, когда потенциальная энергия (энергия, зависящая от положения системы) переходит в кинетическую энергию (энергию движения) и наоборот.
Наглядное представление колебательного процесса можно получить, если построить график колебаний отдельной массы в координатах t (время) и y (перемещение).
Если в колебательную систему будет поступать внешняя энергия, колебания будут нарастающими (рис. 16.6 а). Если к консервативной системе внешняя энергия не поступает, колебания будут незатухающими (рис.16.6 б). Если энергия системы уменьшается (например, за счет трения в диссипативной системе), колебания будут затухающими (рис. 16.6 в).
Важной характеристикой колебательного процесса является форма колебаний. Форма колебаний – это кривая, показывающая положение точек колебательной системы относительно положения равновесия в фиксированный момент времени. Простейшие формы колебаний можно и наблюдать. Например, хорошо видны формы колебаний провода, висящего между двумя столбами, или струны гитары.
Колебания, происходящие при отсутствии внешней нагрузки, называются свободными колебаниями . Свободные колебания диссипативной системы являются затухающими, потому что ее полная энергия убывает. Энергия консервативной системы остается постоянной, и ее свободные колебания будут незатухающими. Однако в природе консервативных систем не существует, поэтому их колебания изучаются только теоретически. Свободные колебания консервативных систем называются собственными колебаниями .
Периодические колебания – это колебания, удовлетворяющие условию y(t)=y(t+T) . Здесь T – период колебаний, т.е. время одного колебания. Периодические колебания имеют и другие важные характеристики. Например, амплитуда a – это половина размаха колебания: a=(y max – y min )/2 , круговая частота – число колебаний за 2 секунды, техническая частота f – число колебаний за одну секунду. Обе эти частоты и период взаимосвязаны:
(Гц),(рад/с).
Гармонические колебания – это колебания, изменяющиеся по закону илиЗдесь – фаза колебаний , – начальная фаза .
Вынужденные колебания возникают под воздействием внешних сил.
Вибрация – это вынужденные колебания, происходящие с относительно малой амплитудой и не слишком малой частотой.
Колебания сооружения возникают от динамических нагрузок. В отличие от статических, динамические нагрузки изменяются с течением времени по величине, направлению или положению. Они сообщают массам системы ускорения, вызывают инерционные силы, что может привести к резкому возрастанию колебаний, и в итоге – к разрушению всего сооружения или его частей.
Рассмотрим основные виды динамических нагрузок.
– это нагрузка, прикладываемая к сооружению через определенный период. Источниками периодических нагрузок являются различные машины и механизмы: электродвигатели, металлообрабатывающие станки, вентиляторы, центрифуги и др. Если их вращающиеся части не уравновешены, то они при работе вызывают гармоническую нагрузку (нагрузку, изменяющуюся по закону синуса или косинуса). Такая нагрузка называется вибрационной нагрузкой . Поршневые компрессоры и насосы, штамповочные машины, дробилки, копры и др. создают негармоническую нагрузку .Можно теперь ответить на вопрос, поставленный в § 5: что означает отсутствие определенной частоты у негармонического периодического колебания периода ?
Согласно теореме Фурье такое периодическое колебание представляет собой набор гармонических колебаний и, следовательно, характеризуется не одной частотой, а набором частот и т. д., т. е. кратных наиболее низкой (основной) частоте .
Рассмотрим осциллограммы колебаний, имеющих одинаковый период , но различных по своей форме. Пример таких осциллограмм мы имели на рис. 6, где было изображено несколько различных периодических колебаний одного и того же периода. По теореме Фурье каждое из этих колебаний является суммой гармонических колебаний, причем и основная частота , и ее обертоны и т. д. у всех рассматриваемых периодических колебаний одинаковы, так как одинаков период .
Но если частоты гармоник одни и те же, то с чем связано различие формы наших периодических колебаний?
Попробуем выяснить этот вопрос на примерах сложения гармонических колебаний. Это сложение осуществляется по общим правилам сложения движений (см. том I, § 6). Если складываемые перемещения происходят вдоль одной прямой, то результирующее перемещение равно алгебраической сумме складываемых перемещений. Отсюда вытекает и графический способ сложения колебании, которым мы будем сейчас пользоваться.
Рис. 30. Сумма гармонического колебания и его первого обертона
На рис. 30 штриховой линией показаны развертки (осциллограммы) двух гармонических колебаний - основного тона и первого обертона. Прямая линия соответствует положению равновесия. В какой-то момент времени, т. е. в какой-то точке этой прямой линии, имеем отрезки и , изображающие отклонения от положения равновесия, вызванные каждым из колебаний в этот момент. Сложив эти отрезки, мы получаем отрезок , изображающий результирующее отклонение в точке . Выполнив такое построение для ряда точек на прямой (с учетом знаков отклонений, т. е. плюс - вверх, минус - вниз), соединим концы всех результирующих отрезков линией. Мы получим развертку суммарного колебания (сплошная кривая на рисунке). Оно имеет тот же период, что и основная гармоника, но форма его несинусоидальная.
Попробуем теперь вдвое уменьшить амплитуду обертона. Результат сложения в этом случае показан на рис. 31. На рис. 32 амплитуды обеих гармоник те же, что и на рис. 30, но обертон сдвинут по времени на четверть своего периода. Наконец, на рис. 33 обе гармоники взяты такими же, как на рис. 30, но добавлен еще второй обертон. Во всех случаях результирующие колебания получаются с одним и тем же периодом, но совершенно различными по форме.
Рис. 31. То же, что на рисунке 30, но амплитуда обертона вдвое меньше
Итак, различие формы периодических колебаний связано с тем, сколько гармоник входит в их состав, с какими они входят амплитудами и фазами.
Рис. 32. То же, что на рисунке 30, но обертон сдвинут на четверть своего периода
Мы брали для простоты всего две или три складываемые гармоники; но формы периодических колебаний могут быть (и чаще всего бывают) такими, что количество обертонов будет очень большим и даже бесконечно большим. При этом для всякой формы периодического колебания каждая его гармоника имеет вполне определенную амплитуду и фазу. Стоит изменить амплитуду или фазу хотя бы одной-единственной гармоники, и форма результирующего периодического колебания в какой-то мере изменится.
Впрочем, очень часто изменения формы колебаний, обусловленные фазами гармоник, т. е. их сдвигами повремени, не играют роли в физическом явлении и поэтому не представляют интереса. Именно так, в частности, обстоит дело по отношению к звуковым колебаниям, к которым мы обратимся в следующих параграфах. В таких случаях нам важно знать лишь частоты и амплитуды гармоник, входящих в состав данного сложного колебания. Набор этих частот и амплитуд называется гармоническим спектром (или просто спектром) данного колебания.
Рис. 33. То же, что на рисунке 30, но добавлен второй обертон
Рис. 34. Периодическое колебание в форме толчков и спектр такого колебания
Спектры можно изображать в виде очень наглядных графиков, откладывая в определенном масштабе по горизонтальной оси частоты (или номера) гармоник, а по вертикали - их амплитуды. На рис. 34 показана осциллограмма колебания, представляющего собой периодические выбросы в одну сторону. Так меняется со временем, например, действующая периодическими толчками сила. В нижней части рисунка показан спектр этого колебания. Положение каждой линии определяет номер соответствующей гармоники и, следовательно, ее частоту, а высота линии - амплитуду этой гармоники.
Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.
Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.
Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза
Амплитуда колебаний A - это наибольшее смещение из положения равновесия
Период T - это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.
Частота колебаний - это число полных колебаний в единицу времени t.
Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как
Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными . Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).
Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические , затухающие , нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).
При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.
Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.
Вынужденные колебания
Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом .
Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.
Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать
Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.
В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор - это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.
Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других - вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 - разрушился Такомский мост в США.
Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.
