Každý z nás strávil veľa hodín riešením jedného alebo druhého geometrického problému. Samozrejme, vyvstáva otázka: prečo sa vôbec potrebujete učiť matematiku? Táto otázka je obzvlášť dôležitá pre geometriu, ktorej znalosť, ak je užitočná, je veľmi zriedkavá. Ale matematika má zmysel aj pre tých, ktorí sa nechcú stať robotníkmi, núti človeka pracovať a rozvíjať sa.
Pôvodným zámerom matematiky nebolo poskytnúť žiakom poznatky o predmete. Učitelia si dali za cieľ naučiť deti myslieť, uvažovať, analyzovať a argumentovať. To je presne to, čo nájdeme v geometrii s jej početnými axiómami a teorémami, dôsledkami a dôkazmi.
Kosínusová veta
Použitie
Okrem hodín matematiky a fyziky je táto veta široko používaná v architektúre a konštrukcii na výpočet požadovaných strán a uhlov. S jeho pomocou sa určujú požadované rozmery budovy a množstvo materiálov, ktoré budú potrebné na jej výstavbu. Samozrejme, väčšina procesov, ktoré predtým vyžadovali priamu ľudskú účasť a znalosti, je dnes automatizovaná. Existuje obrovské množstvo programov, ktoré umožňujú simulovať takéto projekty na počítači. Ich programovanie sa vykonáva aj s prihliadnutím na všetky matematické zákony, vlastnosti a vzorce.
Pri riešení úloh z geometrie z Jednotnej štátnej skúšky a Jednotnej štátnej skúšky z matematiky pomerne často vzniká potreba poznať dve strany trojuholníka a uhol medzi nimi, nájsť tretiu stranu. Alebo, keď poznáte všetky strany trojuholníka, nájdite jeho uhly. Na vyriešenie týchto problémov budete potrebovať hodnotu kosínusovej vety pre trojuholník. V tomto článku učiteľ matematiky a fyziky hovorí o tom, ako sa táto veta formuluje, dokazuje a aplikuje v praxi pri riešení problémov.
Kosínusová veta pre trojuholník spája dve strany trojuholníka a uhol medzi nimi so stranou oproti tomuto uhlu. Označme napríklad písmenami , a dĺžkami strán trojuholníka ABC, ležiace respektíve oproti uhlom A, B A C.
Potom kosínusovú vetu pre tento trojuholník možno zapísať ako:
Na obrázku je pre pohodlie ďalšej diskusie uhol S naznačené uhlom. Slovami to možno formulovať takto: „Štvorec ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán o kosínus uhla medzi nimi.
Je jasné, že ak by ste vyjadrili druhú stranu trojuholníka, napríklad stranu, potom vo vzorci budete musieť vziať kosínus uhla A, teda ležiace oproti požadovanej strane v trojuholníku a vpravo v rovnici strany a by boli na svojich miestach. Výraz pre druhú mocninu strany sa získa podobne:
Dôkaz kosínusovej vety pre trojuholník sa zvyčajne vykonáva nasledovne. Pôvodný trojuholník rozdelia na dva pravouhlé trojuholníky s výškou a potom sa pohrajú so stranami výsledných trojuholníkov a Pytagorovou vetou. Výsledkom je, že po dlhých únavných transformáciách získam požadovaný výsledok. Mne osobne sa tento prístup nepáči. A to nielen kvôli ťažkopádnym výpočtom, ale aj preto, že v tomto prípade musíme samostatne zvážiť prípad, keď je trojuholník tupý. Existuje príliš veľa ťažkostí.
Navrhujem dokázať túto vetu pomocou konceptu " bodkový produkt vektory." Toto riziko na seba vedome podstupujem s vedomím, že mnohí školáci sa tejto téme radšej vyhýbajú v domnení, že je akosi zahmlená a je lepšie sa ňou nezaoberať. No stále ma premáha neochota hrabať sa oddelene s tupým trojuholníkom. Navyše sa výsledný dôkaz ukazuje ako prekvapivo jednoduchý a zapamätateľný. Teraz to uvidíte.
Nahraďme strany nášho trojuholníka nasledujúcimi vektormi:
Použitie kosínusovej vety pre trojuholník ABC. Druhá mocnina strany sa rovná súčtu druhých mocnín strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán o kosínus uhla medzi nimi:
Vzhľadom k tomu, výsledok je:
Znamená, . Je jasné, že neprijímame záporné riešenie, pretože dĺžka segmentu je kladné číslo.
Požadovaný uhol je uvedený na obrázku. Prepíšme kosínusovú vetu pre trojuholník ABC. Keďže sme zachovali celý zápis, vzorec vyjadrujúci kosínusovú vetu pre tento trojuholník zostane rovnaký:
Dosaďte teraz do tohto vzorca všetky uvedené množstvá. V dôsledku toho dostaneme nasledujúci výraz:
Po všetkých výpočtoch a transformáciách dostaneme nasledujúci jednoduchý výraz:
Aká by mala byť veľkosť ostrého uhla, aby bol jeho kosínus rovnaký, pozrieme sa na tabuľku, ktorú nájdete v, a dostaneme odpoveď: .
Takto sa riešia geometrické úlohy pomocou kosínusovej vety pre trojuholník. Ak sa chystáte absolvovať OGE alebo Jednotnú štátnu skúšku z matematiky, tak tento materiál určite musíte ovládať. Relevantné problémy budú takmer určite na skúške. Precvičte si ich riešenie sami. Vykonajte nasledujúce úlohy:
Svoje odpovede a riešenia píšte do komentárov. Nech sa vám darí!
Materiál pripravil Sergey Valerievich
Štúdium trigonometrie začneme pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.
Pripomeňme si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovičný natočený uhol.
Ostrý uhol- menej ako 90 stupňov.
Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je „tupý“ urážkou, ale matematickým výrazom :-)
Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Pravý uhol sa zvyčajne označuje ako . Upozorňujeme, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže strana protiľahlá uhol A je označený.
Uhol je označený príslušným gréckym písmenom.
Hypotenzia pravouhlého trojuholníka je strana opačná k pravému uhlu.
Nohy- strany ležiace oproti ostrým uhlom.
Noha ležiaca oproti uhlu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej zo strán uhla, sa nazýva priľahlé.
Sinus Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone:
Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:
Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej strany k susednej strane:
Iná (ekvivalentná) definícia: dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:
Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej strany k opačnej strane (alebo, ktorý je rovnaký, pomer kosínusu k sínusu):
Všimnite si základné vzťahy pre sínus, kosínus, tangens a kotangens nižšie. Budú sa nám hodiť pri riešení problémov.
Dokážme niektoré z nich.
Dobre, dali sme definície a zapísali vzorce. Prečo však stále potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?
Vieme to súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka sa rovná.
Poznáme vzťah medzi strany pravouhlý trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .
Ukazuje sa, že ak poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany pravouhlého trojuholníka, môžete nájsť tretiu. To znamená, že uhly majú svoj vlastný pomer a strany majú svoj vlastný. Čo však robiť, ak v pravouhlom trojuholníku poznáte jeden uhol (okrem pravého) a jednu stranu, no potrebujete nájsť ostatné strany?
S tým sa ľudia v minulosti stretávali pri tvorbe máp oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo merať všetky strany trojuholníka.
Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež funkcie trigonometrických uhlov- dať vzťahy medzi strany A rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete to všetko nájsť goniometrické funkcie podľa špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.
Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.
Všimnite si prosím dve červené čiarky v tabuľke. Pri vhodných hodnotách uhla tangens a kotangens neexistujú.
Pozrime sa na niekoľko problémov s trigonometriou z FIPI Task Bank.
1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .
Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.
Od ,.
2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .
Poďme to nájsť pomocou Pytagorovej vety.
Problém je vyriešený.
Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a. Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!
Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.
Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.
Pozreli sme sa na problémy riešenia pravouhlých trojuholníkov – teda hľadanie neznámych strán či uhlov. Ale to nie je všetko! IN Možnosti jednotnej štátnej skúšky v matematike existuje veľa problémov týkajúcich sa sínusu, kosínusu, tangensu alebo kotangensu vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.
Dôležité poznámky!
1. Ak sa namiesto vzorcov zobrazuje gobbledygook, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátorovi užitočný zdroj Pre
Čo je kosínusová veta? Predstavte si túto... Pytagorovu vetu pre ľubovoľný trojuholník.
Kosínusová veta hovorí: Druhá mocnina ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán trojuholníka mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínusu uhla medzi nimi.
A teraz vysvetlím, prečo je to tak a čo s tým má spoločné Pytagorova veta.
Napokon, čo hovorí Pytagorova veta?
Čo sa stane, ak je to povedzme pikantné?
Čo ak som hlúpy?
Teraz to zistíme, alebo skôr, najprv to sformulujeme a potom to dokážeme.
Takže pre akýkoľvek (a ostrý, tupý a dokonca pravouhlý!) trojuholník platí nasledovné: kosínusová veta.
Čo je a?
možno vyjadriť z trojuholníka (obdĺžnikového!).
A je to tu (znova).
Nahradíme:
Prezrádzame:
Používame to, čo máme a... to je všetko!
Teda hlúposť.
A teraz pozor, ten rozdiel!
Toto je z, ktorý je teraz vonku, a
To si pamätáme
(prečítaj si tému, ak si úplne zabudol, prečo to tak je).
Takže, to je všetko! Rozdiel je prekonaný!
Ako to bolo, teda:
No, zostáva posledný prípad.
Takže, . Ale potom sa kosínusová veta jednoducho zmení na Pytagorovu vetu:
V akých problémoch je užitočná kosínusová veta?
No ak napríklad máte dané dve strany trojuholníka a uhol medzi nimi, potom si hneď môžete nájsť tretiu stranu.
Alebo ak ty všetky tri strany sú dané, tak to hneď nájdete kosínusľubovoľný uhol podľa vzorca
A aj keby ste dané dve strany a uhol NIE medzi nimi, potom sa dá nájsť aj tretia strana vyriešením kvadratická rovnica. Je pravda, že v tomto prípade niekedy dostanete dve odpovede a musíte prísť na to, ktorú si vybrať, alebo nechať obe.
Skúste to použiť a nebojte sa - kosínusová veta sa používa takmer rovnako ľahko ako Pytagorova veta.
Kosínusová veta: Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínus uhla medzi nimi:
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
za čo?
Pre úspešné zloženie jednotnej štátnej skúšky, na prijatie na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE na celý život.
nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a aby ste sa jej zúčastnili v konečnom dôsledku... šťastnejší?
ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.
Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy s časom.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.
Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.
Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.
Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
Ako? Sú dve možnosti:
Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.
A na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.
„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!
Nie všetci školáci a najmä dospelí vedia, že kosínusová veta priamo súvisí s Pytagorovou vetou. Presnejšie, to druhé je špeciálny prípad prvého. Tento bod, ako aj dva spôsoby, ako dokázať kosínusovú vetu, vám pomôžu stať sa viac znalý človek. Cvičenie vo vyjadrovaní veličín z počiatočných výrazov navyše dobre rozvíja logické myslenie. Dlhý vzorec skúmanej vety vás určite prinúti tvrdo pracovať a zlepšovať sa.
Táto veta je formulovaná a dokázaná pre ľubovoľný trojuholník. Preto sa dá použiť vždy, v akejkoľvek situácii, ak sú dané dve strany, v niektorých prípadoch tri, a uhol, a nie nevyhnutne medzi nimi. Bez ohľadu na typ trojuholníka bude veta vždy fungovať.
A teraz o označovaní veličín vo všetkých výrazoch. Je lepšie súhlasiť hneď, aby ste nemuseli neskôr niekoľkokrát vysvetľovať. Na tento účel bola zostavená nasledujúca tabuľka.
Kosínusová veta je teda formulovaná takto:
Druhá mocnina strany akéhokoľvek trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín jeho dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto rovnakých strán a kosínusu uhla medzi nimi.
Samozrejme, je dlhá, ale ak pochopíte jej podstatu, bude si ju ľahko pamätať. Môžete si dokonca predstaviť nakreslenie trojuholníka. Vizuálne je vždy ľahšie zapamätateľné.
Vzorec tejto vety bude vyzerať takto:
Trochu dlhé, ale všetko je logické. Ak sa pozriete trochu bližšie, môžete vidieť, že písmená sa opakujú, čo znamená, že nie je ťažké si ich zapamätať.
Keďže to platí pre všetky trojuholníky, na uvažovanie si môžete vybrať ktorýkoľvek z typov. Nech je to postava so všetkými ostrými uhlami. Uvažujme ľubovoľný trojuholník s ostrým uhlom, ktorého uhol C je väčší ako uhol B. Z vrcholu s týmto veľkým uhlom musíte spustiť kolmicu na opačnú stranu. Nakreslená výška rozdelí trojuholník na dva obdĺžnikové. Toto sa bude vyžadovať ako dôkaz.
Strana bude rozdelená na dva segmenty: x, y. Je potrebné ich vyjadriť v známych množstvách. Časť, ktorá bude v trojuholníku s preponou rovnajúcou sa b, bude vyjadrená pomocou zápisu:
x = b * cos A.
Druhý sa bude rovnať tomuto rozdielu:
y = c - v * cos A.
Teraz si musíte zapísať Pytagorovu vetu pre dva výsledné pravouhlé trojuholníky, pričom výšku vezmite ako neznámu hodnotu. Tieto vzorce budú vyzerať takto:
n 2 = v 2 - (v * cos A) 2,
n2 = a2 - (c - b * cos A) 2.
Tieto rovnosti obsahujú rovnaké výrazy vľavo. To znamená, že aj ich pravé strany budú rovnaké. Je ľahké si to zapísať. Teraz musíte otvoriť zátvorky:
v 2 - v 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * v * cos A - v 2 * (cos A) 2.
Ak tu vykonáme prenos a redukciu podobných členov, dostaneme počiatočný vzorec, ktorý sa zapíše za formuláciu, teda kosínusovú vetu. Dôkaz je hotový.
Je oveľa kratší ako predchádzajúci. A ak poznáte vlastnosti vektorov, potom sa kosínusová veta pre trojuholník dokáže jednoducho.
Ak sú strany a, b, c označené vektormi BC, AC a AB, potom platí rovnosť:
BC = AC - AB.
Teraz musíte urobiť niekoľko krokov. Prvým z nich je kvadratúra oboch strán rovnosti:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
Potom je potrebné prepísať rovnosť do skalárnej formy, berúc do úvahy, že súčin vektorov sa rovná kosínusu uhla medzi nimi a ich skalárnymi hodnotami:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Zostáva len vrátiť sa k starej notácii a opäť dostaneme kosínusovú vetu:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.
Ak chcete nájsť stranu, musíte vziať druhú odmocninu kosínusovej vety. Vzorec pre štvorce jednej z ostatných strán bude vyzerať takto:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Napísať výraz pre druhú mocninu strany V, musíte nahradiť v predchádzajúcej rovnosti s na V, a naopak a umiestnite uhol B pod kosínus.
Zo základného vzorca vety môžeme vyjadriť hodnotu kosínusu uhla A:
cos A = (v 2 + c 2 - a 2) / (2 v * c).
Vzorce pre ostatné uhly sú odvodené podobne. Je dobrým zvykom skúsiť si ich napísať sami.
Prirodzene, nie je potrebné sa tieto vzorce učiť naspamäť. Stačí pochopiť vetu a schopnosť odvodiť tieto výrazy z jej hlavného zápisu.
Pôvodný vzorec vety umožňuje nájsť stranu, ak uhol neleží medzi dvoma známymi. Napríklad musíte nájsť V, keď sú uvedené hodnoty: a, c, A. Alebo neznámy s, ale existujú významy a, b, A.
V tejto situácii musíte presunúť všetky výrazy vzorca doľava. Získate nasledujúcu rovnosť:
с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.
Poďme to prepísať do trochu inej podoby:
c 2 - (2 * v * cos A) * c + (v 2 - a 2) = 0.
Môžete ľahko vidieť kvadratickú rovnicu. Je v ňom neznáme množstvo - s a všetko ostatné je dané. Preto ho stačí vyriešiť pomocou diskriminantu. Takto sa nájde neznáma strana.
Vzorec pre druhú stranu sa získa podobne:
v 2 - (2 * c * cos A) * v + (c 2 - a 2) = 0.
Z iných výrazov sa takéto vzorce dajú ľahko získať aj samostatne.
Ak sa pozriete pozorne na vzorec uhla kosínus odvodený skôr, všimnete si nasledovné:
Uhol A bude:
Mimochodom, posledná situácia mení kosínusovú vetu na Pytagorovu vetu. Pretože pre uhol 90º je jeho kosínus nula a posledný člen zmizne.
Podmienka
Tupý uhol nejakého ľubovoľného trojuholníka je 120º. O stranách, ktorými je obmedzený, je známe, že jedna z nich je o 8 cm väčšia ako druhá. Dĺžka tretej strany je známa, je potrebné nájsť obvod trojuholníka.
Riešenie
Najprv musíte označiť jednu zo strán písmenom „x“. V tomto prípade sa druhý bude rovnať (x + 8). Keďže existujú výrazy pre všetky tri strany, môžeme použiť vzorec, ktorý poskytuje kosínusová veta:
28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * čos 120º.
V tabuľkách pre kosínusy musíte nájsť hodnotu zodpovedajúcu 120 stupňom. Bude to číslo 0,5 so znamienkom mínus. Teraz musíte otvoriť zátvorky podľa všetkých pravidiel a priniesť podobné výrazy:
784 = x 2 + 16 x + 64 + x 2 - 2 x * (-0,5) * (x + 8);
784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;
3x 2 + 24x - 720 = 0.
Táto kvadratická rovnica je vyriešená nájdením diskriminantu, ktorý sa bude rovnať:
D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Keďže jej hodnota je väčšia ako nula, rovnica má dve koreňové odpovede.
x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;
x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.
Posledný koreň nemôže byť odpoveďou na problém, pretože strana musí byť pozitívna.
