Módne trendy a trendy. Doplnky, topánky, krása, účesy

Uvažujme o algoritmoch na zostavovanie geometrických modelov najbežnejších telies, ktoré sa často používajú ako základné prvky pri zostavovaní zložitejších modelov.

4.4.1. Konštrukcia pravidelných mnohostenov

Pravidelné mnohosteny (platónske telesá) sú konvexné mnohosteny, takže všetky steny sú pravidelné mnohouholníky a všetky uhly mnohostenov vo vrcholoch sú si navzájom rovné.

Pravidelných mnohostenov je presne 5: pravidelný štvorsten, šesťsten (kocka), osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten. Ich hlavné charakteristiky sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. 4.2.

Plochy, hrany a vrcholy sú vo vzájomnom vzťahu podľa rovnosti Hey-

G + B = P +2.

Pre úplný popis pravidelného mnohostenu vzhľadom na jeho konvexnosť stačí uviesť metódu na nájdenie všetkých jeho vrcholov. Kocka (šesťsten) sa stavia veľmi jednoducho. Ukážme si, ako sú postavené ostatné telá.

Na zostrojenie štvorstenu je najprv zostrojená kocka, ktorá sa nakreslí na jej protiľahlých stranách. Vrcholy štvorstenu sú teda ľubovoľné 4 vrcholy kocky, ktoré nesusedia po dvojiciach so žiadnou jej hranou (obr. 4.1).

Ryža. 4.1. Zostrojenie kocky, štvorstenu a osemstenu

Na zostrojenie osemstenu sa najprv zostrojí kocka. Vrcholy osemstenu sú ťažiskami stien kocky (obr. 4.1), čo znamená, že každý vrchol osemstenu je aritmetickým priemerom rovnomenných súradníc štyroch vrcholov, ktoré tvoria jeho stenu. kocka.

4.4.2. Konštrukcia dvadsaťstena

Dvadsaťsten a dvanásťsten je možné zostrojiť aj pomocou kocky. Existuje však jednoduchší spôsob, ako navrhnúť:

- dve kružnice s jednotkovým polomerom sú zostrojené vo vzdialenosti h=1;

- Každý z kruhov je rozdelený na 5 rovnakých častí, ako je znázornené na obr. 4.2.

- pohybom pozdĺž kruhov proti smeru hodinových ručičiek očíslujeme vybraných 10 bodov v poradí zväčšujúceho sa uhla natočenia a potom postupne, v súlade s číslovaním, spájame tieto body s rovnými segmentmi;

- potom utiahnutím bodov vybraných na každom z kruhov s akordmi získame pás 10 pravidelných trojuholníkov;

- Na dokončenie konštrukcie dvadsaťstenu vyberieme dva body na osi Z tak, aby dĺžka bočných hrán päťuholníkových ihlanov s vrcholmi v týchto bodoch a základňami zhodnými so zostrojenými päťuholníkmi bola rovná dĺžkam strán päťuholníka. pás trojuholníkov. Nie je ťažké vidieť, že si to vyžaduje

Máme body s aplikáciami ± 5 2.

Výsledkom opísaných konštrukcií je 12 bodov. Konvexný mnohosten s vrcholmi v týchto bodoch bude mať 20 plôch, z ktorých každá je pravidelný trojuholník a všetky

polyedrické uhly vo vrcholoch sa budú navzájom rovnať. Výsledkom opísanej konštrukcie je teda dvadsaťsten.

4.4.3. Konštrukcia dvanásťstenu a gule

Na zostrojenie dvanásťstena využijeme vlastnosť duality: vrcholy dvanásťstena sú ťažiskami (ťažiskami) trojuholníkových plôch dvadsaťstena. To znamená, že súradnice každého vrcholu dvanásťstenu možno nájsť výpočtom aritmetického priemeru zodpovedajúcich súradníc vrcholov plôch dvadsaťstena.

Na zostavenie modelu gule používame predtým zostrojený dvadsaťsten. Všimnite si, že dvadsaťsten je už modelom gule: všetky vrcholy ležia na jeho povrchu, všetky steny sú rovnostranné trojuholníky. Jeho jedinou nevýhodou je malý počet trojuholníkových plôch na sprostredkovanie hladkého povrchu gule. Na zvýšenie úrovne detailov v modeli sa používa nasledujúci rekurzívny postup:

každá trojuholníková plocha je rozdelená na štyri časti, nové vrcholy sú nasnímané v strede strán plochy, ako je znázornené na obr. 4.3.;

Ryža. 4.3. Ikosahedrónová tvár

na povrch gule sa premietajú nové vrcholy, zo stredu gule cez vrchol sa prenesie lúč a vrchol sa prenesie do priesečníka lúča s povrchom gule;

Tieto kroky sa opakujú, kým sa nedosiahne požadovaný stupeň detailov na povrchu gule.

Uvažované algoritmy nám umožňujú získať parametre hlavných geometrických modelov. Podobným spôsobom môžete postaviť modely valca, torusu a iných tiel.

4.5. Polynomické parametrické formy reprezentácie

Polygonálne modely majú jednu významnú nevýhodu: na získanie realistického modelu telies so zložitými tvarmi sú potrebné desiatky tisíc polygónov. Realistické scény už majú státisíce polygónov. Jedným zo spôsobov, ako získať vysokokvalitné modely s výrazným znížením výpočtov, je použitie polynomických parametrických foriem, ktoré využívajú polygonálnu sieť iba na získanie riadiacich bodov.

4.5.1. Formy zobrazenia kriviek a plôch

Existujú tri hlavné formy matematického znázornenia kriviek a plôch: explicitné, implicitné, parametrické.

Explicitnou formou špecifikácie krivky v dvojrozmernom priestore je rovnica, na ľavej strane ktorej je závislá premenná a na pravej strane funkcia, ktorej argumentom je nezávislá premenná.

Implicitná forma v dvojrozmernom priestore f(x ,y) =0. V parametrickej forme v trojrozmernom priestore:

krivka rovnica - x = x(u), y = y(u), z = z(u);

povrchová rovnica - x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).

Jednou z hlavných výhod reprezentácie parametrickej formy (PF) je jej rovnomernosť v dvoj- a trojrozmerných priestoroch. PF je po prvé najflexibilnejší a po druhé odolný voči akýmkoľvek zmenám v tvare a orientácii objektov, vďaka čomu je obzvlášť vhodný pri matematickej podpore počítačových grafických systémov.

Parametrické polynomické krivky a plochy

Existuje mnoho spôsobov reprezentácie objektov, my sa však zameriame na polynomické, t.j. všetky funkcie parametra u pri opise kriviek alebo parametrov u a v pri opise plôch sú polynómy.

Zvážte rovnicu krivky:

p(u)= [x(u)y(u)z(u)]T.

i = 0, j = 0

Polynomická parametrická krivka stupňa n je (OpenGL často používa termín „poradie“ polynómu, ktorý má hodnotu o 1 väčšiu ako stupeň polynómu)

Matica (c k), pozostávajúca z n + 1 stĺpcov, kombinuje koeficienty polynómov pre zložky p; to znamená, že máme 3(n +1) stupne voľnosti pri výbere koeficientov pre konkrétnu krivku p.

Krivku je možné určiť v akomkoľvek intervale zmeny parametra u, ale bez straty všeobecnosti úsudku môžeme predpokladať, že 0≤ u ≤ 1, t.j. je určený segment krivky.

Parametrický polynomický povrch je opísaný nasledujúcou rovnicou:

x(u, v)

p(u, v) = y(u, v) = ∑∑ n m cij ui vj .

z(u, v)

Na určenie špecifického povrchu p (u,v) je teda potrebné špecifikovať 3 (n +1) (m +1) koeficienty. V analýze môžete vziať n = m a zmeniť parametre u a v na intervale 0≤ u, v ≤ 1 a určiť časť povrchu (plocha) znázornenú na obr. 4.4.

Ryža. 4.4. Definícia časti povrchu

Takto definovanú plochu možno považovať za hranicu, ku ktorej smeruje množina kriviek, ktoré sa tvoria, keď jeden z parametrov u alebo v prechádza cez hodnoty vo svojom intervale, zatiaľ čo druhý zostáva konštantný.

jasný význam. V budúcnosti najskôr zadefinujeme polynomické krivky a potom ich použijeme na vytvorenie povrchu s podobnými charakteristikami.

Všimnime si výhody použitia polynomickej parametrickej formy reprezentácie:

schopnosť lokálne ovládať tvar objektu;

plynulosť a spojitosť v matematickom zmysle;

možnosť analytického výpočtu derivátov;

odolnosť voči malým poruchám;

schopnosť používať relatívne jednoduché, a teda vysokorýchlostné spôsoby tónovania.

4.5.2. Parametricky definované kubické krivky

Ak použijete polynóm veľmi vysokého stupňa, bude existovať väčšia „sloboda“, ale pri výpočte súradníc bodov bude potrebných viac výpočtov. S rastúcim stupňom voľnosti sa tiež zvyšuje nebezpečenstvo získania zvlnenej krivky. Na druhej strane výber polynómu príliš nízkeho stupňa nám poskytne príliš málo parametrov a nebudeme môcť reprodukovať tvar krivky. Riešenie - krivka je rozdelená na segmenty, ktoré sú opísané polynómami nízkeho stupňa.

Kubická polynomická krivka môže byť opísaná takto:

p(u) = c0 + c1 u+ c2 u2 + c3 u3 = ∑ uk ck = uT c,

V týchto výrazoch c predstavuje maticu koeficientov polynómu. To je presne to, čo je potrebné vypočítať z daného súboru referenčných bodov. Ďalej budeme uvažovať o rôznych triedach kubických kriviek, ktoré sa líšia povahou ich porovnania s referenčnými bodmi. Pre každý typ sa vytvorí systém 12 rovníc s 12 neznámymi, ale keďže parametrické funkcie pre zložky x,y,z nezávislých, týchto 12 rovníc bude rozdelených do troch skupín po 4 rovnice so 4 neznámymi.

Výpočet hodnôt koeficientov určitého typu kubickej krivky sa vykonáva pomocou daného súboru referenčných bodov zodpovedajúcich určitým hodnotám nezávislého parametra.

u. Tieto údaje môžu mať formu obmedzení, ktoré vyžadujú, aby krivka prechádzala cez niektoré z daných bodov a v blízkosti iných bodov. Okrem toho tieto údaje kladú určité podmienky na hladkosť krivky, napríklad kontinuitu derivácií v daných bodoch konjugácie jednotlivých segmentov. Krivky rôznych tried vytvorené na rovnakých referenčných bodoch sa môžu výrazne líšiť.

4.5.3. Interpolácia

Nech sú v trojrozmernom priestore štyri referenčné body: p 0 , p 1 , p 2 a p 3 . Každý bod je reprezentovaný trojicou jeho súradníc:

p k= [ x ky kz k] T .

Nájdite prvky matice koeficientov c také, že polynóm p(u)=u T c bude prechádzať danými štyrmi referenčnými bodmi.

Riešenie. Sú štyri body, vytvoríme 12 rovníc s 12 neznámymi - prvkami matice. Predpokladáme, že hodnoty u k (k= 0,1,2,3) sú rozložené rovnomerne po intervale, t.j. u= 0,1/3,2/3,1. Dostaneme rovnice:

Napíšme tieto rovnice v maticovom tvare: p=AC,

p = [ p 0p 1p 2p 3] T

Poďme analyzovať maticu A. Ak interpretujeme p a c ako stĺpcové matice 12 prvkov, potom nebude dodržané pravidlo násobenia matíc. Ale môžeme považovať p a c za stĺpcové matice 4 prvkov, z ktorých každý je zase riadková matica. Potom ako výsledok súčinu získame prvok rovnakého typu ako prvky stĺpcovej matice p. Matica nie je singulárna, možno ju prevrátiť a získať základné informácie

terpolačná matica:

S hodnotami M I môžete vypočítať požadované hodnoty koeficientov c = M I / p.

Ak krivka nie je špecifikovaná 4, ale m referenčnými bodmi, potom môže byť reprezentovaná interpolačným polynómom rádu (m -1) (vypočítajte 3 × m koeficienty pomocou podobnej techniky). Môžete to urobiť inak – považujte túto krivku za zloženú z niekoľkých segmentov, z ktorých každý je definovaný inou skupinou 4 bodov. Kontinuita môže byť zabezpečená tým, že posledný podporný bod predchádzajúcej skupiny bude považovaný za prvý podporný bod ďalšej skupiny. Matice M I na každom segmente budú rovnaké, pretože u . Ale v tomto prípade funkcie derivátov vzhľadom na pa-

Merač sa preruší v miestach spojenia.

4.5.4. Zmiešavacie funkcie (polynomické váhové funkcie riadiacich bodov)

Analyzujme plynulosť interpolačných polynomických kriviek. Aby sme to dosiahli, prepíšeme predtým odvodené vzťahy v mierne upravenej forme:

p(u) = uT с= uT MI p.

Tento vzťah možno zapísať ako: p (u) = b (u) T p,

b(u) = MI T u,

existuje stĺpcová matica so štyrmi polynomiálne zmiešavacie funkcie

zmiešavacie polynómy:

b(u)= [b0(u)b1(u)b2(u)b3(u)]T.

V každej zmiešavacej funkcii je polynóm kubický. Vyjadrením p(u) ako súčtu zmiešavacích polynómov dostaneme:

p (u )= b 0 (u )p 0 + b 1 (u )p 1 + b 2 (u )p 2 + b 3 (u )p 3 = ∑ b i (u )p i.

i = 0

Z tohto vzťahu vyplýva, že funkcie polynomického miešania charakterizujú príspevok každého referenčného bodu, a teda umožňujú odhadnúť, do akej miery zmena polohy konkrétneho referenčného bodu ovplyvní tvar výslednej krivky. Analytické výrazy pre nich:

b 0 (u )= − 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 )(u − 1), b 1 (u )= 27 2 u (u − 2 3) (u − 1),

b 2 (u )= − 27 2 u (u − 1 3 )(u − 1),b 3 (u )= 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 ).

Pretože Všetky nuly funkcií ležia na intervale, potom sa ich hodnoty môžu na tomto intervale výrazne meniť a samotné funkcie nie sú monotónne (obr. 4.5.). Tieto charakteristiky vyplývajú zo skutočnosti, že interpolačná krivka musí prechádzať cez referenčné body, a nie v ich bezprostrednej blízkosti. Zlá hladkosť krivky a nedostatok kontinuity derivátov v spojovacích bodoch segmentov vysvetľujú, prečo sa interpolačné polynómové krivky v CG používajú zriedka. Ale pomocou rovnakej techniky analýzy môžete nájsť vhodnejší typ krivky.

Časť kubickej interpolačnej plochy

Rovnicu bikubického povrchu možno zapísať takto:

p(u, v) = ∑∑ ui vj cij .

i = 0j = 0

Tu c ij je trojzložková stĺpcová matica, ktorej prvkami sú koeficienty pri rovnakých mocninách nezávislej premennej v rovniciach pre zložky x, y, z. Definujme maticu C 4x4 tak, že jej prvky sú trojzložkové stĺpcové matice:

C = [cij].

Potom možno časť povrchu opísať takto: p (u, v) = u T Cv,

Konkrétna časť bikubického povrchu je určená 48 hodnotami prvkov matice C - 16 trojrozmerných vektorov.

Predpokladajme, že existuje 16 trojrozmerných referenčných bodov p ij ,i= 0,..,3,j= 0,..,3 (obr. 4.6.). Budeme predpokladať, že tieto údaje sa použijú na interpoláciu s rovnakými krokmi pre oba nezávislé parametre u a v, ktoré nadobúdajú hodnoty 0, 1/3, 2/3, 1.

dostaneme tri sady 16 rovníc so 16 neznámymi. Takže pre u=v= 0 dostaneme

p 00 = [ 1 0 0 0] C 0 0 = c 00,0

Ryža. 4.6. Interpolačná povrchová časť

Nemusíte riešiť všetky tieto rovnice. Ak zafixujeme v = 0, tak zmenou u dostaneme krivku prechádzajúcu cez p 00 , p 10 , p 20 , p 30 . Pomocou výsledkov získaných v predchádzajúcej časti môžeme pre túto krivku napísať nasledujúci vzťah:

Pre hodnoty v= 1/3, 2/3, 1 je možné definovať tri ďalšie interpolačné krivky, pričom každú z nich možno opísať rovnakým spôsobom. Kombináciou rovníc pre všetky krivky dostaneme systém 16 rovníc, ktorý nás zaujíma:

uT MI P= uT CAT ,

kde A je inverzná matica M I. Riešením tejto rovnice bude požadovaná matica koeficientov:

C = MI PMI T.

Dosadením do rovnice povrchu nakoniec dostaneme p (u ,v )= u T M I PM I T v .

Tento výsledok možno interpretovať rôznymi spôsobmi. Z toho po prvé vyplýva, že výsledky získané analýzou kriviek možno rozšíriť na zodpovedajúce povrchy. Po druhé, techniku ​​​​používania funkcií polynomického miešania možno rozšíriť na povrchy:

p(u, v) = ∑∑ bi (u) bj (v ) pij .

i = 0j = 0

4.5.5. Forma zobrazenia Hermitových kriviek a plôch

Nech sú body p 0,p 3 a interval zodpovedá segmentu, t.j. dostupné body zodpovedajú u =0 au =1. Poďme si to zapísať

dve podmienky:

p (0) = p 0 = c 0,

p (1) = p 3= c 0+ c 1+ c 2+ c 3.

Ďalšie dve podmienky získame zadaním hodnôt derivácií funkcií v extrémnych bodoch segmentu u =0 a u =1:

p"(u)= c 1 + 2uc 2 + 3u 2 c 3, potom

p " 0 = p " (0) = c 1,

p" 3= p" (1) = c 1+ 2 c 2+ 3 c 3.

Napíšme tieto rovnice v maticovom tvare:

rovnicu možno zapísať takto:

c = MH q,

kde MH sa nazýva zovšeobecnená matica Hermitovej geometrie.

Výsledkom je, že získame znázornenie polynómovej krivky v Hermitovej forme:

p(u) = uT MH q.

Na znázornenie segmentov zloženej krivky použijeme Hermitovu formu, ako je znázornené na obr. 4.7. Konjugačný bod je spoločný pre oba segmenty a navyše, derivácie krivky v bode konjugácie pre oba segmenty sú tiež rovnaké. Výsledkom je zložená krivka, ktorá je spojitá pozdĺž prvej derivácie po celej jej dĺžke.

p(0) p(1)=q(0)

Ryža. 4.7. Použitie formy Hermite na spájanie segmentov

Možnosť získania hladších kriviek pri použití formy zobrazenia Hermite možno matematicky zdôvodniť nasledovne. Napíšme polynóm vo forme

p(u) = b(u) T q,

kde je nová funkcia miešania

Nuly týchto štyroch polynómov sú umiestnené mimo intervalu , a preto sú zmiešavacie funkcie oveľa hladšie ako pri interpolačných polynómoch.

Je možné definovať časť povrchu vo forme Hermite takto:

p (u, v) = ∑∑ b i(u) b j(v) q ij,

i = 0j = 0

kde Q =[ q ij ] je množina údajov reprezentujúcich časť povrchu rovnakým spôsobom ako q predstavuje segment krivky. Štyri prvky Q predstavujú hodnoty funkcie p (u,v) in rohové body a ďalšie štyri musia predstavovať derivácie povrchu v týchto rohových bodoch. V interaktívnych aplikáciách je žiaduce, aby používateľ neuvádzal údaje o deriváciách, ale súradnice bodov, a preto bez formulovania analytických výrazov pre tieto dáta nebudeme môcť derivácie získať.

Ak sú v bode konjugácie hodnoty všetkých troch parametrických zložiek vektorov p a q rovnaké, potom parametrická kontinuita trieda C 0 .

Krivky, v ktorých sú splnené podmienky spojitosti pre hodnotu aj pre prvú deriváciu, majú parametrickú spojitosť triedy C 1.

Ak sú hodnoty komponentov derivátov proporcionálne, potom existuje geometrická kontinuita triedy G 1.

Tieto myšlienky možno zovšeobecniť na deriváty vyššieho rádu.

Tvar krivky s geometrickou spojitosťou triedy G 1 závisí od koeficientu úmernosti dĺžok dotyčníc k segmentom v bode konjugácie. Na obr. 4.8. Ukazuje sa, že tvar segmentov kriviek, ktoré sa zhodujú v koncových bodoch a majú v týchto bodoch proporcionálne dotyčnicové vektory, je celkom odlišný. Táto vlastnosť sa často používa v programoch na grafické vykresľovanie.

p"(0) q(u) p"(1)

Ryža. 4.8. Vplyv dĺžky vektora dotyčnice na tvar úsečiek

4.5.6. Bézierove krivky a plochy

Porovnanie kriviek v Hermitovej forme a vo forme interpolačného polynómu je nemožné, pretože používané na ich tvorbu

súbory údajov rôzneho charakteru. Skúsme použiť rovnaký súbor referenčných bodov ako na určenie interpolačného polynómu, tak aj na nepriame definovanie kriviek v Hermitovej forme. Výsledkom je Bézierova krivka, ktorá je dobrou aproximáciou Hermitovej krivky a ktorú možno porovnať s interpolačným polynómom vytvoreným na rovnakom súbore bodov. Okrem toho je tento postup ideálny pre interaktívnu konštrukciu zakrivených objektov v CG a CAD systémoch, pretože Definovanie krivky v Bézierovej forme nevyžaduje špecifikáciu derivácií.

Bezierove krivky

Nech sú v trojrozmernom priestore štyri referenčné body: p 0 , p 1 , p 2 a p 3 . Koncové body vygenerovanej krivky p (u) sa musia zhodovať s referenčnými bodmi p 0, p 1:

p° = p (0), p3 = p (1).

Bezier navrhol použiť dva ďalšie referenčné body p 1 a p 2 na špecifikáciu derivácií v extrémnych bodoch segmentu u = 0 a u = 1.

Ryža. 4.9. Aproximácia dotyčnicových vektorov

Aplikovaním tejto aproximácie na dotyčnice v dvoch extrémnych bodoch k parametrickej polynómovej krivke p (u) =u T c dostaneme dve podmienky:

3 p 1− 3 p 0= c 1,

3 p 3− 3 p 2= c 1+ 2 c 2+ 3 c 3.

Pridajme ich k existujúcim podmienkam, aby sa krivka v koncových bodoch zhodovala:

p (0) = p 0 = c 0,

p(1)=p3=co+c1+c2+c3.

Takže máme opäť tri sady štyroch rovníc, z ktorých každá má štyri neznáme. Ak ich vyriešime rovnakou metódou ako v predchádzajúcej časti, dostaneme:

c = MB p,

kde MB sa nazýva Bézierová matica geometrie:

Výsledkom je, že získame znázornenie polynomickej krivky v Bézierovej forme:

p(u) = uT MB p.

Tento vzorec možno použiť na vytvorenie zloženej krivky, ktorej segmenty sú interpolačné polynómy. Je zrejmé, že zložená krivka vytvorená pomocou Bezierovej metódy na ľubovoľnom súbore riadiacich bodov patrí do triedy C 0, ale nespĺňa požiadavky triedy C 1, pretože dotyčnice vpravo a vľavo od bodu konjugácie sú aproximované pomocou rôznych vzorcov.

Poďme analyzovať vlastnosti krivky pomocou funkcií prelínania. Napíšme polynóm v tvare:

p(u) = b(u) Tp,

kde nová funkcia miešania má tvar (obr. 4.10):

Tieto štyri polynómy sú špeciálne prípady Bernsteinove polynómy:

b kd (u )= k !(d d − ! k )! u k (1− u )d − k .

Vlastnosti Bernsteinových polynómov:

1) všetky nuly v bodkách u = 0 alebo u = 1;

2) teda na 0< ) musí ležať vo vnútri konvexnej polygonálnej škrupiny tvorenej štyrmi dané body, ako je znázornené na obr. 4.11. Hoci Bézierová krivka neprechádza všetkými špecifikovanými kontrolnými bodmi, nikdy nepresahuje oblasť ohraničenú týmito bodmi. To je veľmi výhodné pre interaktívny vizuálny dizajn.

Povrchové časti v Bézierovom tvare

Časti Bézierových povrchov možno vytvoriť pomocou funkcií prelínania. Ak P = je pole kontrolných bodov s di-

meria 4x4, potom zodpovedajúca časť povrchu v Bézierovom tvare je opísaná vzťahom:

Časť povrchu prechádza cez rohové body p00 ,p03 ,p30 A p33 a nepresahuje konvexný mnohouholník, ktorého vrcholy sú referenčnými bodmi. Dvanásť kontrolných bodov zo 16

možno interpretovať ako údaj, ktorý určuje smer derivácií vzhľadom na rôzne parametre v rohových bodoch vytvorenej časti povrchu.

4.6. Príklad konštrukcie polygonálnych modelov

Uvažovaný problém - reprezentácia geometrických modelov definovaných polygonálnymi sieťami - možno rozdeliť do nasledujúcich etáp:

1) vývoj modelu (údajových štruktúr) reprezentujúcich scénu;

2) vývoj formátu súboru na ukladanie modelu;

3) písanie programu na prezeranie vytvorených scén;

4) napísanie programu na generovanie polygonálnych modelov objektov v súlade s voľbou úlohy.

4.6.1. Vývoj dátových štruktúr polygonálnych modelov

Rozlišujú sa tieto prvky modelu: bod, polygón, model jednotlivého objektu, scéna (súbor objektov s daným umiestnením voči sebe).

1) Bod je opísaný tromi súradnicami:

2) Mnohouholník je vo všeobecnosti ľubovoľný konvexný mnohouholník. Použijeme jeho špeciálny prípad – trojuholník. Naša voľba je odôvodnená skutočnosťou, že následné tieňovacie algoritmy s Pre ich prácu budú potrebné Z-buffer, trojuholníkové

hrany a čoraz zložitejšie polygóny bude potrebné rozdeliť.

typedef struct Polygón (

int body; //indexy troch vrcholov, ktoré tvoria //polygón, vrcholy sú uložené v zozname vrcholov modelu

3) Modelom jednotlivého objektu je zoznam bodov a zoznam vrcholov:

typedef struct Model3D (

Polygón Polygóny; //pole polygónov

4) Scéna je súbor objektov s daným umiestnením voči sebe navzájom. V najjednoduchšom prípade môžete použiť

zoznam (pole) objektov, napr.

4.6.2. Vývoj formátu súboru na ukladanie modelu

Na ukladanie a spracovanie scén a modelov je vhodné použiť textové súbory pozostávajúce z rôznych sekcií. Sekcie sa dajú oddeliť Kľúčové slová, ktoré uľahčujú čítanie a úpravu súborov a tiež umožňujú špecifikovať len časť informácií pre model. Dobrým príkladom je formát DXF, ktorý sa používa na výmenu výkresov medzi CAD systémami. Pozrime sa na jednoduchý príklad:

kde prvé číslo je počet modelov v súbore scény N. Ďalej nasleduje N modelov. Prvé číslo v popise modelov je počet vrcholov K. Potom sú súradnice uvedené postupne

x,y,z všetkých K vrcholov. Potom nasleduje číslo G, ktoré udáva počet tvárí v modeli. Potom nasledujú G čiary, z ktorých každá obsahuje indexy troch vrcholov, ktoré tvoria trojuholníkovú plochu.

4.6.3. Pozrite si vytvorené scény

Na zobrazenie vytvorených scén v ortografickej projekcii bol vyvinutý nasledujúci program:

#include #include #include #include

const int MAX_MODEL_COUNT = 3; //Max. počet modelov na scéne const int MAX_POINT_COUNT =100; //Max. počet bodov v modeli const int MAX_POLY_COUNT =100; //Max. počet tvárí v modeli

typedef struct Bod ( double x, y, z;

typedef struct Polygón (

int body; //indexy troch vrcholov tvoriacich mnohouholník

typedef struct Model3D (

int PolygonCount;//počet polygónov v modeli

Polygón Polygóny; //pole polygónov

Model3D modely; //pole modelov

//funkcia načíta scénu zo súboru

void LoadScene(Scene3D &scéna, const char * názov súboru)

if ((f = fopen(názov súboru, "rt")) == NULL)

fprintf(stderr, "Nedá sa otvoriť vstupný súbor.\n"); exit(1);

//prečítajte počet modelov v súbore fscanf(f, "%d", &scene.ModelsCount);

for(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

Model3D *model = &scéna.Modely[m]; //načítanie zoznamu bodov modelu fscanf(f, "%d", &model->PointCount);

for(int i = 0; i< model->Počet bodov; ++i)

fscanf(f, "%lf%lf%lf", &p.x, &p.y, &p.z); model->Body[i] = p;

Mnohouholník *p = &(model->Mnohouholníky[i]); fscanf(f, "%d%d%d", &(p->Body),

&(p->Body), &p->Body);

//zobrazenie drôteného modelu //model v ortografickej projekcii

//nevýhoda - všetky hrany sú nakreslené dvakrát void DrawWireFrameScene(const Scene3D &scene)

for(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

const Model3D *model = &scene.Models[m]; for(int i = 0; i< model->PolygonCount; ++i)

const Polygón *poly = &model->Polygóny[i];

//inicializácia grafického režimu void InitGraphMode(void)

int gdriver = DETECT, gmode, errorcode; initgraph(&gdriver, &gmode, "");

errorcode = graphresult();

if (errorcode != grOk) //vyskytla sa chyba

printf("Chyba grafiky: %s\n", grapherrormsg(kód chyby));

printf("Pre zastavenie stlačte ľubovoľnú klávesu:");

Scene3D scéna; LoadScene(scéna, "model.dat"); InitGraphMode(); DrawWireFrameScene(scéna); getch();

Uvedený príklad umožňuje načítať scény špecifikované v opísanom formáte a zobraziť ich v ortografickej projekcii. Demonštruje základné princípy práce s polygónovými modelmi.

Ale kvôli zjednodušeniu na zlepšenie prehľadnosti má tieto významné nevýhody:

1) počet vrcholov, plôch, modelov je zadaný priamo v programe a treba použiť dynamickú pamäť, napríklad dynamické jednorozmerné pole, pre ktoré bude pamäť pridelená pri načítaní scény.

2) ak existuje niekoľko identických modelov, ktoré sa líšia iba polohou a orientáciou v priestore, potom sú údaje popisujúce ich geometriu duplikované, napríklad niekoľko modelov gúľ. Model je vhodné rozdeliť na dve zložky: geometrickú, uchovávajúcu popis plôch a vrcholov a topologickú, t.j. konkrétny prípad objektu nachádzajúceho sa v priestore.

3) popis dátových štruktúr a metód, ktoré ich podporujú, by mal byť oddelený do samostatného modulu, potom ho možno použiť napríklad v programoch primitívnej generácie

V súčasnosti teda dominujú polygonálne geometrické modely. Je to spôsobené jednoduchosťou ich softvérového a hardvérového zastúpenia. Kvôli neustálemu rastu príležitostí

výpočtovej techniky na jednej strane a požiadaviek na kvalitu modelov na strane druhej prebieha intenzívny výskum nových typov modelov.

Testovacie otázky a cvičenia

1. Ako sa líšia geometrické modely od iných typov modelov?

2. Vymenujte hlavné komponenty geometrického modelu.

3. Ako sa súradnicové modely líšia od analytických modelov?

4. Aké typy geometrických modelov existujú?

5. Prečo sú polygonálne modely rozšírené?

6. Aké metódy definovania polygonálneho modelu poznáte?

7. Aké nevýhody a obmedzenia majú polygonálne modely?

8. Implementujte algoritmy na zostavovanie polygonálnych modelov dvanásťstenov, dvadsaťstenov a gúľ.

9. Navrhnite algoritmus na zostavenie polygonálneho modelu torusu.

10. Ako môžete znížiť množstvo uložených údajov?

Vpočítačová pamäť, s opakovaným použitím identických polygonálnych modelov?

Belozerová Mária, žiačka 10. ročníka

Táto práca poskytuje informácie o geometrickom modeli, s ktorým sa študent oboznámil pri jeho výrobe.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Pravidelný mnohosten. Ikosahedrón

Účinkuje Belozerová Mária, študent 10 triedy MOU « stredná školač. 16", Kimry, región Tver

Názvy pravidelných mnohostenov pochádzajú z Grécka. Doslovne preložené z gréčtiny, „tetrahedron“, „osmedron“, „hexaedr“, „dvanásťsten“, „ikozaéder“ znamená: „štvorsten“, „oktaéder“, „šesťsten“, „dvanásťsten“, „dvadsaťsten“. Týmto krásnym telám je venovaná 13. kniha Euklidových živlov. Nazývajú sa aj platónske telesá, pretože. obsadili

dôležité miesto v filozofický koncept Platón o štruktúre vesmíru.

Štyri mnohosteny v ňom zosobňovali štyri esencie alebo „prvky“ štvorsten symbolizoval oheň, pretože. jeho vrchol smeruje nahor; dvadsaťsten – voda, pretože je to najviac „efektívne“; kocka - zem, ako „najstabilnejšia“; osemsten - vzduch, ako najviac „vzdušný“. Piaty mnohosten, dvanásťsten, stelesňoval „všetko, čo existuje“, symbolizoval celý vesmír a bol považovaný za hlavný.

Icosahedron (z gréckeho ico - dvadsať a hedra - tvár).

Pravidelný konvexný mnohosten zložený z 20 pravidelných trojuholníkov. Každý z 12 vrcholov dvadsaťstenu je vrcholom 5 rovnostranných trojuholníkov, takže súčet uhlov vo vrchole je 300°.

Dvadsaťsten má 30 hrán. Rovnako ako všetky bežné mnohosteny, aj okraje dvadsaťstenu majú rovnakú dĺžku a tváre majú rovnakú plochu.

Dvadsaťsten má 15 osí symetrie, z ktorých každá prechádza stredom protiľahlých rovnobežných hrán. Priesečníkom všetkých osí symetrie dvadsaťstenu je jeho stred

symetria.

Existuje tiež 15 rovín symetrie. Roviny symetrie prechádzajú štyrmi vrcholmi ležiacimi v rovnakej rovine a stredmi protiľahlých rovnobežných hrán.

Dvadsaťsten je geometrické teleso, ktorého tvar majú vírusy pozostávajúce z DNA a proteínu, čo znamená, že dvadsaťsten a päťuholníková symetria „sú základom organizácie živej hmoty“.

Pravidelné mnohosteny sa nachádzajú aj v živej prírode. Napríklad kostra jednobunkový organizmus Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) má tvar dvadsaťstena.

Väčšina feudárov žije ďalej hlboké more a slúži ako korisť pre koralové ryby. Najjednoduchšie zviera sa však chráni dvanástimi tŕňmi vychádzajúcimi z 12 vrcholov kostry. Vyzerá skôr ako hviezdicový mnohosten. Zo všetkých mnohostenov s rovnakým počtom plôch má dvadsaťsten najväčší objem pri najmenšia plocha povrchy. Táto vlastnosť pomáha morskému organizmu prekonať tlak vodného stĺpca.

Vírus nemôže byť dokonale okrúhly, ako sa predtým myslelo. Aby určili jeho tvar, vzali rôzne mnohosteny a nasmerovali na ne svetlo v rovnakých uhloch ako prúdenie atómov na vírus. Ukázalo sa, že iba jeden mnohosten dáva presne ten istý tieň - dvadsaťsten.

Vírusy využili jedinečnosť dvadsaťstenu medzi platónskymi telesami. Vírusová častica musí obrátiť celú výmenu hostiteľskej bunky hore nohami; musí prinútiť infikovanú bunku syntetizovať početné enzýmy a iné molekuly potrebné na syntézu nových vírusových častíc. Všetky tieto enzýmy musia byť zakódované vo vírusovej nukleovej kyseline. Ale jeho množstvo je obmedzené. Preto je vo vírusovej nukleovej kyseline ponechaný veľmi malý priestor na kódovanie proteínov vlastného obalu. Čo robí vírus? Jednoducho používa na syntézu stále tú istú časť nukleovej kyseliny veľké čísloštandardné molekuly – stavebné bielkoviny, ktoré sa spájajú počas autozostavovania vírusovej častice. Vďaka tomu sa dosiahne maximálna úspora genetickej informácie. Podľa matematických zákonov, aby ste čo najhospodárnejšie zostrojili uzavretú škrupinu z rovnakých prvkov, musíte ich poskladať do dvadsaťstenu, ktorý vidíme vo vírusoch.

Vírusy takto „riešia“ najzložitejší (hovorí sa tomu „izopyrán“) problém: nájsť teleso s najmenším povrchom pre daný objem a navyše pozostávajúce z rovnakých a tiež najjednoduchších obrazcov. Vírusy, najmenší z organizmov, sú také jednoduché, že stále nie je jasné, či ich zaradiť medzi živé resp neživej prírode, - tie isté vírusy si poradili s geometrickým problémom, ktorý ľuďom trval viac ako dve tisícročia! Všetky takzvané „sférické vírusy“, vrátane takého hrozného, ​​akým je vírus detskej obrny, sú dvadsaťsteny, a nie gule, ako sa predtým myslelo.

Štruktúra adenovírusov má tiež tvar ikozaédra. Adenovírusy (z gréckeho aden – železo a vírusy), rodina DNA vírusov, ktoré spôsobujú adenovírusové ochorenia u ľudí a zvierat.

Vírus panleukopénie mačiek (FPLV) patrí do rodiny parnovírusov. Medzi bežnými ľudskými chorobami nie sú žiadne súvisiace patogény. Vírus je sférický dvadsaťstenný dvadsaťsten, malý, veľkosť okolo 20 nm (0,00002 mm), jednoduchá štruktúra, nemá vonkajší obal; genóm je jedna molekula jednovláknovej DNA s molekulovou hmotnosťou približne 2 milióny Vírus je veľmi stabilný a môže zostať aktívny mimo tela mesiace a roky.

Vírus hepatitídy B je pôvodcom hepatitídy B, hlavného predstaviteľa rodiny hepadnovírusov. Do tejto čeľade patria aj vírusy hepatotropnej hepatitídy svišťov, sysľov, kačíc a veveričiek. Vírus hepatitídy B obsahuje DNA. Je to častica s priemerom 42-47 nm, pozostáva z nukleoidného jadra v tvare dvadsaťstenu s priemerom 28 nm, vo vnútri ktorého je DNA, terminálny proteín a enzým DNA polymeráza.

Takže po dokončení tejto práce som sa naučil veľa nových a zaujímavých vecí o pravidelnom mnohostene - dvadsaťstene.

Pri práci na vytvorení modelu dvadsaťstena, štúdiu materiálu som sa dozvedel, že starovekí vedci Platón a Archimedes boli prví, ktorí študovali pravidelné polopravidelné mnohosteny. V súčasnosti mnoho vedcov študuje mnohosteny. Vlastnosti polyhedra sa využívajú v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. Napríklad v architektúre: takmer všetky budovy sú postavené v súlade so symetriou.

Celý náš život je teda naplnený mnohostenmi, s ktorými sa stretáva každý človek: malé deti aj zrelí ľudia.

Vo svojej práci som zhrnul materiál zozbieraný na danú tému a vytvoril dvadsaťstenovú figúru a túto figúrku odfotografoval. Bolo pre mňa zaujímavé spracovať zvolenú tému eseje.

Reliéfny mnohosten sa nazýva kladný mnohosten, ak sú všetky jeho steny rovnaké, kladné mnohouholníky a rovnaký počet hrán sa zbieha v celom jeho vrchole. Existuje päť pravidelných mnohostenov - štvorsten, osemsten, dvadsaťsten, šesťsten (kocka) a dvanásťsten. Dvadsaťsten je mnohosten, ktorého strany tvoria dvadsať rovnakých pravouhlých trojuholníkov.

Inštrukcie

1. Na stavbu dvadsaťsten Využime konštrukciu kocky. Označme jednu z jeho tvárí ako SPRQ.

2. Nakreslite dva segmenty AA1 a BB1 tak, aby spájali stredy hrán kocky, teda ako = AP = A1R = A1Q = BS = BQ.

3. Na segmenty AA1 a BB1 položte rovnaké segmenty CC1 a DD1 dĺžky n tak, aby ich konce boli v rovnakej vzdialenosti od okrajov kocky, t.j. BD = B1D1 = AC = A1C1.

4. Segmenty CC1 a DD1 sú hrany konštrukcie dvadsaťsten A. Zostrojením segmentov CD a C1D získate jednu z tvárí dvadsaťsten a – CC1D.

5. Opakujte konštrukcie 2, 3 a 4 pre všetky steny kocky - výsledkom je pravidelný mnohosten vpísaný do kocky - dvadsaťsten. Pomocou šesťstenu je možné zostrojiť akýkoľvek pravidelný mnohosten.

Dvadsaťsten je pravidelný mnohouholník. Takýto geometrický útvar má 30 hrán, 20 trojuholníkových plôch a 12 vrcholov, ktoré sú spojnicou piatich hrán. Poskladať dvadsaťsten z papiera je pomerne náročné, no veľmi vzrušujúce. Môže byť vyrobený z vlnitého, obalového alebo farebného papiera alebo fólie. Použitím rôznych materiálov môžete vášmu dvadsaťstenu dodať ešte väčší dojem a krásu.

Budete potrebovať

• — rozloženie dvadsaťstenu;
• - papier;
• - nožnice;
• - pravítko;
• - PVA lepidlo.

Inštrukcie

1. Vytlačte rozloženie dvadsaťstenov na kus papiera a potom ho vystrihnite pozdĺž bodkovaných čiar. Je to potrebné, aby sa ponechal voľný priestor na vzájomné lepenie častí figúry. Pokúste sa vystrihnúť dvadsaťsten, naopak, pri najmenšom posune bude vaše remeslo vyzerať škaredo. Potreba veľmi úhľadného rezu je spôsobená skutočnosťou, že všetky trojuholníky v pravidelnom dvadsaťstenu majú identické strany. V dôsledku toho, ak sa ktorákoľvek strana začne líšiť vo svojej dĺžke, v dôsledku toho bude takýto rozdiel vo veľkosti neviditeľný.

2. Dvadsaťsten prehnite pozdĺž plných čiar, potom pomocou lepidla prilepte miesta vyznačené bodkovanou čiarou a spojte susedné strany trojuholníkov navzájom. Pre pevnejšiu fixáciu musí byť každá nalepená strana ponechaná v tomto stave 20 sekúnd. Je pravda, že všetky ostatné strany dvadsaťstena by mali byť prilepené rovnakým spôsobom. Posledné dve rebrá sa lepia najťažšie, pretože ich spojenie vyžaduje trpezlivosť a zručnosť. Váš papierový dvadsaťsten je pripravený.

3. Takýto geometrický obrazec možno vidieť v Každodenný život. Napríklad futbalová lopta je vyrobená v tvare zrezaného dvadsaťstenu (mnohosten pozostávajúci z 20 šesťuholníkov a 12 päťuholníkov). Toto sa stane obzvlášť neviditeľným, ak je výsledný ikosahedrón namaľovaný čiernobielo. Futbalovú loptu z papiera si môžete vyrobiť sami tak, že si vopred vytlačíte sken skráteného dvadsaťstena v 2 kópiách.

4. Výroba dvadsaťstenu z papiera je zaujímavý proces, ktorý si vyžaduje trpezlivosť, premyslenosť a veľa papiera. Ale výsledný výsledok bude dlho vyzerá pekne. Papierový dvadsaťsten možno dať ako vývojovú hračku dieťaťu, ktoré dosiahlo vek 3 rokov. Hraním sa s touto geometrickou postavou si bábätko rozvinie nielen priestorové schopnosti a nápadité myslenie, ale sa aj viac zoznámi so svetom geometrie. Pre dospelých vám kreatívny proces konštrukcie papierového ikosahedru vlastnými rukami umožní stráviť čas a ohromiť svojich blízkych znalosťou tvorby zložitých postáv.

Užitočné rady
Pri výrobe papierového dvadsaťstenu musíte venovať osobitnú pozornosť procesu ohýbania jeho strán. Na rovnomerné ohýbanie papiera môžete použiť obyčajné pravítko.

Osemsten je jedným zo štyroch skutočných mnohostenov, ktorým ľudia pripisovali magický význam už v staroveku. Tento mnohosten symbolizoval vzduch. Ukážkový model osemstenu môže byť vyrobený z hrubého papiera alebo drôtu.

Budete potrebovať

• - hrubý papier alebo lepenka;
• - pravítko;
• - ceruzka;
• - uhlomer;
• - nožnice;
• - PVA lepidlo.

Inštrukcie

1. Osemsten má osem stien, pričom všetky sú rovnostranným trojuholníkom. V geometrii je osemsten zvyčajne zostrojený, vpísaný do kocky alebo opísaný okolo nej. Aby sme urobili model tohto geometrické teleso, nebudú potrebné náročné výpočty. Osemsten bude pozostávať z 2 rovnakých štvorstenných pyramíd zlepených dohromady.

2. Nakreslite štvorec na kus papiera. Na jednej z jeho strán zostrojte kladný trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú 60°. Trojuholník je vhodné zostrojiť pomocou uhlomeru, pričom rohy štvorca susediace s tou istou stranou odložia 60°. Nakreslite lúče cez značky. Bod z priesečníka bude tretí uhol av budúcnosti - vrchol pyramídy. Na zvyšných stranách štvorca postavte rovnaké trojuholníky.

3. Pyramídu budete musieť zlepiť. To si bude vyžadovať kvóty. Stačia štyri prídavky, jeden pre každý trojuholník. Vystrihnite, čo máte. Urobte druhý podobný kúsok. Preložte línie skladania na nesprávnu stranu.

4. Zložte každý z trojuholníkov na nesprávnu stranu. Naneste lepidlo PVA na prídavky. Zlepte dve rovnaké pyramídy a nechajte ich vysušiť.

5. Teraz musíme pyramídy zlepiť. Štvorcové dno jedného z nich natrieme lepidlom, pritlačíme spodok druhého a zarovnáme strany a rohy. Osemsten necháme vyschnúť.

6. Na výrobu drôteného modelu osemstenu budete potrebovať kartónový alebo drevený štvorec. Môžete si však vystačiť s obyčajným trojuholníkom - na ohýbanie obrobku v pravom uhle je to úplne postačujúce. Ohnite drôt do štvorca.

7. Odrežte 4 rovnaké kusy drôtu s veľkosťou 2 strán štvorca plus prídavok na ich pripevnenie v 2 bodoch k sebe av prípade potreby ich pripevnenie k rohom štvorca. Závisí to od drôtu. Ak je možné materiál spájkovať, dĺžka hrán sa rovná dvojnásobku strany štvorca bez akýchkoľvek prídavkov.

8. Nájdite stred dielu, naviňte alebo prispájkujte ho do rohu štvorca. Zvyšné kusy pripevnite rovnakým spôsobom. Spojte konce rebier na jednej strane štvorcovej základne k sebe. Kladné trojuholníky sa objavia samy. Vykonajte rovnakú operáciu s koncami rebier umiestnenými na druhej strane základne. Osemsten je pripravený.

Užitočné rady
Pre podobné modely musíte zvoliť drôt, ktorý dobre drží tvar.

Umenie origami k nám prišlo zo starovekej Číny. Na úsvite ich formovania boli postavy zvierat a vtákov vyrobené z papiera. Ale dnes je možné vytvárať nielen ich, ale aj zložité geometrické útvary.

Budete potrebovať

• - list papiera A4
• - nožnice

Inštrukcie

1. Na vytvorenie trojrozmerného geometrického útvaru, osemstenu, potrebujete štvorcový list papiera. Vyrobíte si ho z obyčajného listu A4. Ak to chcete urobiť, ohnite pravý alebo ľavý horný roh listu na opačnú stranu. Urobte si poznámku na kus papiera. Nakreslite čiaru rovnobežnú s tesnou stranou listu pozdĺž značky, ktorú ste urobili. Odrežte nechcený kus papiera. Preložte štvorec na polovicu.

2. Umiestnite pravý horný roh na stredný záhyb. Zarovnajte ľavý horný roh tak, aby línia skladania prechádzala cez pripojený pravý horný roh.

3. Prehnite ľavý dolný roh štvorca smerom k stredovej čiare. Zarovnajte pravý dolný roh podobne ako horné rohy a urobte záhyb. Potom musí byť obrobok prevrátený.

4. Preložte pravý dolný roh dielu a ľavý horný roh do stredu záhybu. Vyžehlite obrobok rukou a otočte ho na druhú stranu.

5. Zarovnajte hornú a spodnú stranu s výslednou líniou ohybu. Vyhladzujte obrobok rukou.

6. Ohnite strany postavy smerom k strednej čiare štvorca. Otočte kus na opačnú stranu.

7. Zložte kus zdola nahor pozdĺž vodorovnej čiary. Výsledkom by mala byť číslica pripomínajúca latinské písmeno „V“.

8. Prehnite ľavú stranu nadol pozdĺž ľavej strany stredového trojuholníka. Prehnite pravú stranu nadol pozdĺž pravej strany stredového trojuholníka.

9. Na horných stranách postavy urobte pruhy. Bod ohybu pásikov bude začínať v spodnom bode vnútorného výrezu „V“.

10. Prehnite ľavý horný roh k línii ohybu prúžku. Potom pás zložte. Rovnakým spôsobom prehnite pravý roh a odizolujte.

11. Zložte ľavú stranu nadol.

12. Na obrázku sú znázornené vrecká a vložky na zostavenie osemstenu.

13. Na zostavenie osemstenu je potrebné vyrobiť 4 takéto moduly. Zarovnajte dva moduly pod uhlom a zasuňte vyčnievajúce časti do vreciek. Potom zložte všetky 4 moduly dohromady.

14. Výsledkom je geometrický útvar nazývaný osemsten.

- (grécky, od eikosi dvadsať a základ hedra). Dvadsaťsten. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. ICOSAEDR grécky. eikosaedros, z eikosi, dvadsať a hedra, základ. Dvadsaťsten. O... Slovník cudzích slov ruského jazyka

Mnohosten, dvadsaťsten Slovník ruských synoným. ikosahedrón podstatné meno, počet synoným: 2 dvadsaťstranné (3) ... Slovník synonym

- (z gréckeho eikosi dvadsať a tvár hedra), jeden z 5 typov pravidelných mnohostenov, ktoré majú 20 trojuholníkových plôch, 30 hrán a 12 vrcholov, v každom z nich sa stretáva 5 hrán ... Moderná encyklopédia

- (z gréckeho eikosi dvadsať a tvár hedra) jeden z piatich typov pravidelných mnohostenov; má 20 plôch (trojuholníkových), 30 hrán, 12 vrcholov (v každej sa zbieha 5 hrán) ... Veľký encyklopedický slovník

ICOSAHEDRON, icosahedron, muž. (z gréckeho eikosi dvadsať a hedra základ, okraj) (mat.). Geometrický útvar je pravidelný mnohosten s dvadsiatimi uhlami. Slovník Ushakova. D.N. Ušakov. 1935 1940 ... Ušakovov vysvetľujúci slovník

Muž, grécky teleso fazetované dvadsiatimi rovnostrannými trojuholníkmi, sú to jeden z pravidelných myogedrónov vytvorených z gule odrezaním častí. Dahlov vysvetľujúci slovník. IN AND. Dahl. 1863 1866 … Dahlov vysvetľujúci slovník

Mnohosten s 20 trojuholníkovými plochami a kubickou symetriou. Forma charakteristická pre virióny mnohých vírusov. (Zdroj: „Mikrobiológia: slovník pojmov“, Firsov N.N., M: Drofa, 2006) ... Mikrobiologický slovník

Ikosahedrón- (z gréckeho eikosi dvadsať a tvár hedra), jeden z 5 typov pravidelných mnohostenov, ktoré majú 20 trojuholníkových plôch, 30 hrán a 12 vrcholov, z ktorých každý má 5 stretávacích hrán. ... Ilustrovaný encyklopedický slovník

Ikosahedrón- * icasahedron * icosahedron je mnohosten s dvanástimi trojuholníkovými plochami, ktoré majú kubickú symetriu a približne guľový tvar. I. tvar, charakteristický pre väčšinu sférických vírusov obsahujúcich DNA ... genetika. encyklopedický slovník

- (grécky eikosaédron, z éikosi dvadsať a základ hédra) jeden z piatich pravidelných mnohostenov; má 20 plôch (trojuholníkových), 30 hrán, 12 vrcholov (5 hrán sa zbieha v každom vrchole). Ak a je dĺžka hrany I., potom jej objem ... ... Veľký Sovietska encyklopédia

knihy

• Magické tváre č. 9. Hviezdicový mnohosten "Veľký dvadsaťsten", . Súprava pre kreativitu pre školákov a študentov. Rozvíja priestorovú predstavivosť. Umožňuje lepiť trojrozmernú figúrku - mnohosten - z farebného kartónu. Každý model mnohostenu je jedinečný...
• Geometria komplexných čísel, kvaterniónov a spinov, V.I. Komplexné čísla opisujú pohyby euklidovskej roviny jedna rotácia trojrozmerného priestoru zodpovedá dvom kvaterniónom, ktorých rozdiel (fyzici tento jav nazývajú spin) súvisí...