Rotácia (rotácia) - pohyb, pri ktorom je aspoň jeden bod
rovina (priestor) zostáva nehybná.
Vo fyzike sa rotácia často nazýva neúplná rotácia, alebo naopak,
rotácia sa považuje za špeciálny typ rotácie. Posledná definícia
prísnejšie, keďže pojem rotácie pokrýva oveľa širší
kategórie pohybov vrátane tých, v ktorých je trajektória pohybu
teleso vo zvolenom referenčnom systéme je otvorená krivka.
Náčrt lekcie
Úlohy:
Vybavenie:
Priebeh lekcie.
1. Organizačný moment.
(Študenti si sadnú na svoje miesta.)
2. Zadanie témy a cieľov lekcie:
učiteľ: - Dnes si na hodine pripomenieme druhy pohybu. Naučíte sa vytvárať tvary pomocou rotácie. A myslím si, že tento typ pohybu budete môcť ľahko identifikovať na kresbách, v prírode atď.
Najprv si však zopakujme, aké typy pohybov sme už študovali v predchádzajúcich lekciách. Pozrite sa na snímku. Sú tu znázornené rôzne druhy pohybu. Pomenujte typ pohybu, ktorý poznáte, a priraďte k nemu kresbu.
Študenti: (Odpovede študentov)
Osová súmernosť 2,4,6,7,9;
Stredová symetria 1,3,10.
Paralelný prenos 5,8,11.
Otočiť 8.
učiteľ: - Ak analyzujeme typy zobrazení kresieb, môžeme dospieť k záveru, že zobrazujú nám známe pohyby. Čo si myslíte, čomu bude venovaná naša lekcia?
Poďme si teda definovať ciele lekcie. Otvorte si zošity, zapíšte si dátum, triednu prácu a tému hodiny.
3. Štúdium nového materiálu.
učiteľ: - Transformácia, pri ktorej je každý bod obrazca otočený o rovnaký uhol okolo daného bodu, sa nazýva rotácia. (snímky)
učiteľ: - Presná definícia odbočky je v učebnici na strane 301 a je na snímke.
Teraz vo svojich zošitoch zostrojíte rotáciu bodu M o uhol 60 0 okolo bodu O. Pri konštrukcii sa môžete spoľahnúť na sklíčko.
Učiteľ si prezerá práce žiakov.
učiteľ: - Teraz skúste urobiť zložitejšiu konštrukciu na listoch papiera, ktoré máte na stole - otočte segment AB o uhol 120 0 . Ak máte problémy, pozrite si algoritmus na obrazovke
(zobrazí sa celý algoritmus).
učiteľ: - Skvelé, väčšina z vás sa s touto úlohou vyrovnala. Teraz sa pozrite na snímku, kde je mnohouholník otočený, a skúste určiť, o aký uhol je potrebné mnohouholník otočiť okolo jeho stredu, aby sa jeho vrcholy zhodovali.
Študenti: Štvorec o 90 0 . Rovnostranný trojuholník na 120 0 . Pravidelný šesťuholník na 60 0 .
učiteľ: - Urobme úlohu 2 na listoch. Otočte trojuholník, ktorý ste dostali, o uhol 90 0 okolo jedného z jeho vrcholov a okolo bodu O v jeho vnútornej oblasti (dva nákresy).Poradie vykonávania môžete zobraziť na doske s kresliacim štvorcom.
učiteľ: - Pozrime sa na obrazovku a dosku a porovnajme tieto zobrazenia. Čo si na nich všímate?
Študenti: (Odpovede študentov)
učiteľ: Správne. Po transformácii sa figúry stali rovnakými figúrkami. To znamená, že rotácia, podobne ako paralelná translácia, je pohyb.
učiteľ: - A teraz vás pozývam pozrieť sa na obrazy umelca Mauricea Eschera (snímka č. 19, ak máte čas, môžete študentom povedať o tvorivej ceste umelca hypertextový odkaz na snímke), ktorý vytvoril svoje diela pomocou typov pohybov. Povedzte mi, aké typy pohybov ste videli na týchto obrazoch?
Študenti: (Otáčanie. Paralelný preklad. Stredová symetria.)
4. Zhrnutie lekcie.
Učiteľ zhrnie lekciu na základe cieľov.
učiteľ:
1. S akým novým typom pohybu sme sa dnes stretli? (otočte sa)
2.Aké kresliace nástroje sme použili na zostrojenie rotácií figúrok? (Uhlomer, pravítko, kružidlo).
3. Ako sa nazýva bod, okolo ktorého sa otáča? (stred otáčania).
Myslím si, že všetci ste sa naučili identifikovať tento typ pohybu, a preto si ľahko poradíte s domácimi úlohami. Všetci študenti dostanú známky.
Žiaci vyplnia dotazník na zamyslenie.
5. Domáce úlohy.
učiteľ: Chlapci a teraz vy a ja, inšpirovaní typmi pohybov, Escherovými maľbami, pripravujeme správy na témy podľa vášho výberu:
- symetria v architektúre;
Symetria v prírode;
Symetria v umení.
A tiež rozhodnúť o úrovni získaných vedomostí a urobiť:
Úroveň 1 – č. 1166,1167
Úroveň 2 – č. 1166,1168
Dodatok 1
Dotazník
Celé meno triedy
Dodatok 2
Priezvisko, meno - , trieda - .
№ 1. Zostrojte rotáciu segmentu AB o uhol 120 0 vzhľadom k bodu O proti smeru hodinových ručičiek.
č. 2. A). Postavte otočku o 90 0 trojuholník okolo jeho vrcholu. Snímka 2
Určite typy pohybu 1 2 3 4 5 7 6 8 9 10 11
Ciele: zopakovať si pojem pohybu a jeho druhy; rozvíjať schopnosť vykonávať formácie pri otáčaní; vštepiť lásku ku geometrii prostredníctvom obrazov umelca Mauricea Eschera.
Pamätajme: Pohyb. Druhy pohybu. Pohyb roviny je mapovaním roviny na seba so zachovaním vzdialeností. Druhy pohybu: 1. Symetria: ─ axiálny, ─ stredový, 2. Paralelný prenos. 3. Otočte.
M Paralelný prenos do vektora je zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený na bod M 1 tak, že vektor MM 1 je rovný vektoru a a a M 1
a B A C B 1 C 1 A 1
paralelný prenos
Čo je to za symetriu?
Osová symetria v prírode
Čo je toto za pohyb???
O Otočenie roviny okolo bodu O o uhol je zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený na bod M 1 tak, že OM = OM 1 a uhol MOM 1 je rovný M M 1
Otočte segment. O
0. 0 20 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 180 170 160 150 140 130 120 110 100 0 3 0. 07 0 3 80 30 Uhol natočenia 60 0 M O M 1
0. 0 20 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 180 170 160 150 140 130 120 110 100 0 3 0. 07 0 3 80 30 10 20 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 180 170 160 150 140 130 120 110 100 80 0 10 20 30 40 50 60 70 0 40 30 OVA B 1 A 1 Uhol natočenia 120
Otočte segment. O O
O Stred otáčania figúrky môže byť vo vnútornej oblasti figúry a vo vonkajšej...
O Pri otáčaní mnohouholníka musíte otáčať každý vrchol.
Escher obrazy Maurits Cornelis Escher – holandský grafik (17. jún 1898 – 27. marec 1972, Holandsko)
Paralelný prenos
Domáca úloha Kompletná úroveň 1 – č. 1166,1167 Úroveň 2 – č. 1166,1168 Pripravte správy na témy, z ktorých si môžete vybrať: 1. symetria v prírode 2. symetria v architektúre. 3. symetria v umení.
PLÁN VYUČOVANIA
Celé meno Ljubaková Mária Vasilievna
Miesto výkonu práce Mestská vzdelávacia inštitúcia „Stredná škola č. 34“, Ryazan
Pracovný názov učiteľ
Položka geometria
triedy 9
Téma a číslo lekcie v téme Pohyby, lekcia č.3
Základný návod Geometria. 7-9 ročníkov. L.S. Atanasyan, V.F., Butuzov, S.B Kadomtsev a ďalší.
Cieľ lekcie:Štúdium nových druhov pohybu a ich vlastností.
. Úlohy:
- vzdelávacíOboznámiť žiakov s novými druhmi pohybu
- rozvíjajúci saRozvíjať schopnosti žiakov pre samostatnú činnosť
vzdelávacieRozvíjanie holistického chápania prírodných a matematických disciplín, vytváranie interdisciplinárnych prepojení; rozvoj schopností zovšeobecňovania a analýzy.
Typ lekcie lekcia vysvetľujúca nový materiál
Formy študentských prác praktická práca, práca s počítačovým modelom.
Potrebné technické vybavenie počítačová trieda so sieťovým pripojením, projektor
ŠTRUKTÚRA A PRIEBEH HODINY
Názov použitých EOR(s uvedením sériového čísla z tabuľky 2)
Učiteľské aktivity
(označenie akcií s ESM, napríklad demonštrácia)
Aktivita študenta
čas
(za minútu)
Organizačné
Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu, vytváranie podmienok pre pozitívny prístup žiakov k ďalšej činnosti
1 min
Aktualizácia referenčných znalostí
1. Pojem pohybu. P2
V minulej lekcii sme sa zoznámili s konceptom mapovania roviny na seba a pohybu .
Otázky pre triedu:
Vysvetlite, čo je mapovanie roviny na seba.
Aké typy displejov poznáte?
Čo je pohyb v rovine?
Aký tvar má segment pri pohybe? trojuholník?
Je pravda, že pri pohybe je akákoľvek postava namapovaná na rovnakú postavu?
Dokončite úlohu z modulu.
Odpovedzte na otázky
Dokončite úlohu bez opakovania konceptu pohybu v module.
5 min
Vysvetlenie nového materiálu.
2. Paralelný prenos.
Dnes sa zoznámime ešte s dvoma druhmi pohybu. Sú tzv Paralelný posun a rotácia(Teraz si vypočujete príbeh o týchto typoch pohybov.
Počítačová prednáška - transfer.
Paralelný prenos do vektora je mapovanie roviny na seba, v ktorom je bod A spojený s bodom A' tak, že 
.
Vlastnosti:
Je pohyb;
Udržuje smer priamych čiar a lúčov,
Udržuje orientáciu.
Nakreslíme segment do zošita AB a vektor . Zostavme segment A 1 IN 1 , ktorý bude výsledkom segmentu AB paralelný prenos do vektora .
Kde sme sa už v matematike stretli s paralelným prenosom? – pri konštrukcii grafov funkcií (slide). Skúste určiť súradnice translačného vektora?
Zapíšte si tému do zošita a na tabuľu. Po vypočutí si zapíšte názov pohybu a vlastnosti, nakreslite kresbu.
Nakreslite kresbu do zošita.
Pozrite sa na snímku a odpovedzte na otázku.
15 min
3. Otočte sa
Pokračovanie prednášky – odbočka.
Definíciu si zapíšeme do zošita a nakreslíme nákres z projektora:
Otočte rovinu okolo stredu O o uhol – odraz roviny na seba, v ktorom O→O, M→M 1 a OM=OM 1 , PTO 1 = .
Pokračovanie prednášky
Vlastnosť: otáčanie je pohyb.
Rotáciu možno pozorovať aj pri vykresľovaní funkcií (príklad na snímke).
Zapíšte si názov pohybu, definíciu do zošita a nakreslite kresbu z obrazovky.
Zapíšte si nehnuteľnosť do zošita.
Riešenie problémov pri stavaní figúrok počas pohybu.
Teraz zostrojme čísla získané posunom a rotáciou.
1) Nakreslite trojuholník ABC a bod ležiaci mimo trojuholníka. Zostrojte z toho získaný trojuholník prenesením do vektora AO.
2) nakreslite štvorec ABCD a zostrojte štvorec, ktorý získame z daného otáčaním okolo bodu A pri 120.
Dokončite úlohu v zošite.
7 min
4. „Matematický konštruktor“
Úlohou je zostrojiť obrazec získaný z daného paralelným prenosom do daného vektora.
Konštrukčná úloha pomocou rotácie.
Ako vidíte, pri pohybe na papieri je ťažké zostaviť obrázky postáv. Využime možnosti počítača.
Daný šesťuholník ABCD
Daný štvorec a kruh so stredom E; bod K, patriaci do štvorca a bod G, nepatriaci do štvorca. Zostrojte bod N na kružnici tak, aby KGN =120 .
Zostrojte trojuholník, ktorý možno získať z daného trojuholníka ABC
a) otočte sa okolo bodu A pod uhlom 60 v smere hodinových ručičiek - namaľte ho modrou farbou;
b) rotácia okolo bodu S pod uhlom 40 proti smeru hodinových ručičiek - natrieť na žlto
Vykonajte prácu na počítači pomocou matematického konštruktora.
Pre úlohy 1 a 2 sa používajú polotovary. Úloha 3 sa plní úplne nezávisle. Súbory sa uložia do sieťového priečinka.
12 min
Zhrnutie
Pozrime sa na vaše výsledky. Selektívne kontrolujeme práce študentov online.
Otázky pre triedu: Je vhodné zostaviť počítačové modely uvažovaných druhov pohybu? Aká je jeho výhoda? Aká je nevýhoda?
Na základe výsledkov práce sa udeľujú známky.
Domáca úloha: odseky 116, 117, č. 1170, 1163 (b) (napísané na zadnej strane tabule.
Pozerajú sa na výsledky práce svojich spolužiakov a vyjadrujú svoj vlastný názor na prácu.
5 min
Literatúra
„Geometria“, ročníky 7-9, Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I.
Príloha k plánu hodiny
Paralelný posun a rotácia
Tabuľka 2
ZOZNAM EOR POUŽITÉ V TEJTO LEKCII
Praktické
Paralelný prenos.
Informačné
Animácia
http :// školy - zber . edu . ru / katalógu / res / c 25 d 57 b 1-5115-4 ba 1-91 d 9-1091 c 1616200/ pohľad /
Späť Vpred
Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.
Ciele lekcie:
Vzdelávacie
Vývojový
Vzdelávacie
Typ lekcie: lekcia o učení sa nového materiálu a stredne pokročilá kontrola študentskej asimilácie učiva preberaného v tejto lekcii a predtým preštudovaného.
Organizačné formy komunikácie: kolektívne, individuálne, frontálne, vo dvojiciach.
Štruktúra lekcie:
Dizajn: multimediálny projektor, plátno, notebook, počítačová prezentácia, signálne karty.
Motivačný rozhovor.
Bez pohybu je život len letargickým spánkom.
Jean Jacques Rousseau
I. Komunikácia témy, cieľov a postupu vyučovacej hodiny.(SNÍMKA 2)
Chlapci, viete, akú dôležitú úlohu hrá pohyb v ľudskom živote, spoločnosti a vede. Veľkú úlohu v matematike zohráva aj pohyb: transformácia grafov, zobrazovanie bodov, obrazcov, rovín – to všetko je pohyb. V predchádzajúcich lekciách sme sa pozreli na niekoľko druhov pohybu. Dnes sa zoznámime s iným typom pohybu: otáčaním. Téma lekcie: obrat.
A aj naša hodina je ukážkou pohybu, len pohybu nie z fyzického hľadiska, ale pohybu v duševnom rozvoji, učení sa nových vecí a získavaní nových vedomostí. Počas lekcie budete vykonávať rôzne úlohy a testy. Buďte preto aktívni, posúvajte sa vo svojich vedomostiach počas celej hodiny a zlepšujte svoje výsledky z jednej fázy do druhej!
Počas celej hodiny bude môj aj váš prejav sprevádzaný prezentáciou, ktorá pomôže skontrolovať správnosť vašich domácich úloh, navrhované testy a samostatne vyriešené problémy.
II. Kontrola domácich úloh.
Pomocou SNÍMKOV 3-5 skontrolujte roztok č. 1165.
III. Aktualizácia základných vedomostí.
Test č.1. (SNÍMKY 6-13)
Dodatok 1Po dokončení testu si chalani vymenia zošity a vykonajú vzájomnú kontrolu.
IV. Učenie nového materiálu.(obohatenie vedomostí)
(SNÍMKA 14) Označte bod O (pevný bod) na rovine a nastavte uhol a- uhol natočenia. Otočenie roviny okolo bodu O o uhol a nazývané zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený na bod M 1 tak, že OM = OM 1 a uhol MOM 1 = a.
(SNÍMKA 15) V tomto prípade zostáva bod O na mieste, t.j. je mapovaný na seba a všetky ostatné body sú otočené okolo bodu O v rovnakom smere o uhol a v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek.
(SNÍMKA 16) Bod O sa nazýva stred otáčania, a- uhol natočenia. Označuje P o a .
(SNÍMKA 17) Ak sa otáčanie vykonáva v smere hodinových ručičiek, potom uhol otočenia a sa považuje za negatívne. Ak sa otáčanie vykonáva proti smeru hodinových ručičiek, potom je uhol otočenia kladný.
Chlapci, pripomeňme si pojem pohyb. Myslíte si, že otáčanie je pohyb? (robte si domnienky)
Rotácia je pohyb, t.j. mapovanie lietadla na seba. Poďme to dokázať.
(SNÍMKA 18 alebo SNÍMKA 19)
(Dôkaz môže dokončiť silný študent na SNÍMKU 18. V takom prípade môžete po vykonaní dôkazu okamžite prejsť na SNÍMKU 20. Učiteľ môže dokončiť dôkaz spolu s triedou na SNÍMKU 19, kde sa zobrazia fázy dôkazu .)
V. Konsolidácia študovaného materiálu.
Cvičenie. Zostrojte bod M 1, ktorý získate z bodu M otočením o uhol 60 o. Pomocou posúvača 20 sa krok za krokom vypracuje konštrukcia bodu Ml.
Aké nástroje potrebujeme, aby sme zabočili? (pravítko, kružidlo, uhlomer)
Chlapci, čo si treba uvedomiť ako prvé? (bod M a stred otáčania - bod O)
Ako nastavíme stred otáčania? Oslavujeme na určitom mieste? (nie, svojvoľne)
Ako sa otáčame v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek? prečo? (proti, pretože uhol je kladný)
Čo je potrebné postaviť, aby vznikol uhol 60 o? (lúč OM)
Ako nájsť bod M 1 na druhej strane uhla? (pomocou kompasu odložte úsečku OM 1 = OM)
Pozrime sa, ako sa segment otáča v závislosti od polohy stredu otáčania.
Zoberme si prípad, keď stred otáčania leží mimo segmentu. Riešime č. 1166 (a). (Ak je trieda silná, potom môžete spolu s deťmi zostaviť plán riešenia problému, zadajte úlohu č. 1166 (a) na samostatné riešenie. Skontrolujte riešenie pomocou ŠMYKĽAVKY 21. Ak je pre deti ťažké dokončiť úlohu a potom ju vyriešte spoločne na základe SNÍMKU 21)
Pracujte vo dvojiciach.
Cvičenie. Zostrojte obrazec, ktorý získate, keď sa segment AB otočí o uhol 100 o okolo bodu A.
(hlavné otázky)
Ktorý bod je stredom otáčania? Čo o nej poviete? (toto je jeden z koncov segmentu - bod A, bude nehybný, zostane na mieste)
Ako sa otáčame v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek? (v smere hodinových ručičiek, pretože uhol je záporný)
Urobte si plán na vyriešenie problému.
Úloha sa vykonáva vo dvojiciach. Skontrolujte riešenie pomocou SNÍMKU 22.
Samostatná práca.
Cvičenie. Zostrojte obrazec, do ktorého sa segment AB otočí pri otočení o uhol 100 o okolo bodu O, stredu segmentu AB.
Urobte si plán na vyriešenie problému. Úloha je dokončená samostatne, riešenie sa kontroluje pomocou SLIDE 23.
Dnes sme sa v lekcii pozreli na rotáciu segmentu v závislosti od umiestnenia stredu rotácie. V budúcich lekciách sa pozrieme na rotácie iných tvarov. (zobraziť SNÍMKY 24-25)
VI. Kontrola asimilácie študovaného materiálu.
Test č.2. (SNÍMKY 26-30)
Dodatok 2Autotest.
VII. Zhrnutie lekcie. (odraz)
Chlapci, poďme vyzdvihnúť tých, ktorí boli najlepší v jednotlivých fázach. (súhrn, známky sú uvedené)
Zdvihnite ruky, ak sa vám lekcia páčila. Všimnite si, čo bolo na lekcii zaujímavé?
VII. Domáce úlohy.
Dôležitým pojmom v trigonometrii je uhol natočenia. Nižšie dôsledne poskytneme predstavu o obrate a predstavíme všetky súvisiace koncepty. Začnime všeobecnou myšlienkou otočenia, povedzme úplného otočenia. Ďalej prejdime ku konceptu uhla rotácie a zvážme jeho hlavné charakteristiky, ako je smer a veľkosť rotácie. Nakoniec uvádzame definíciu rotácie obrazca okolo bodu. Celú teóriu poskytneme v texte s vysvetľujúcimi príkladmi a grafickými ilustráciami.
Navigácia na stránke.
Okamžite si všimnime, že spolu s frázou „rotácia okolo bodu“ budeme používať aj frázy „rotácia okolo bodu“ a „rotácia okolo bodu“, ktoré znamenajú to isté.
Poďme sa predstaviť koncept otáčania bodu okolo bodu.
Najprv definujme stred otáčania.
Definícia.
Bod, okolo ktorého sa rotácia vykonáva, sa nazýva stred otáčania.
Teraz si povedzme, čo sa stane v dôsledku otáčania bodu.
V dôsledku otáčania určitého bodu A vzhľadom na stred otáčania O sa získa bod A 1 (ktorý sa v prípade určitého čísla môže zhodovať s bodom A) a bod A 1 leží na kružnici s stred v bode O polomeru OA. Inými slovami, pri otáčaní vzhľadom na bod O prechádza bod A do bodu A 1 ležiaceho na kružnici so stredom v bode O s polomerom OA.
Verí sa, že bod O, keď sa otáča okolo seba, sa mení na seba. To znamená, že v dôsledku rotácie okolo stredu otáčania O sa bod O zmení na seba.
Za zmienku tiež stojí, že rotácia bodu A okolo bodu O by sa mala považovať za posun v dôsledku pohybu bodu A v kruhu so stredom v bode O s polomerom OA.
Pre názornosť uvedieme ilustráciu rotácie bodu A okolo bodu O na obrázkoch nižšie, pohyb bodu A do bodu A 1 znázorníme pomocou šípky.
Bod A je možné otočiť vzhľadom na stred otáčania O tak, že bod A, ktorý prejde všetkými bodmi kružnice, bude na rovnakom mieste. V tomto prípade hovoria, že bod A sa pohyboval okolo bodu O.
Uveďme grafickú ilustráciu úplnej revolúcie.
Ak sa nezastavíte pri jednej otáčke, ale pokračujete v pohybe bodu po kružnici, môžete vykonať dve, tri a tak ďalej celé otáčky. Na obrázku nižšie je znázornené, ako možno vykonať dve úplné otáčky vpravo a tri otáčky vľavo.
Z konceptu otáčania bodu uvedeného v prvom odseku je zrejmé, že existuje nekonečné množstvo možností otáčania bodu A okolo bodu O. Akýkoľvek bod na kružnici so stredom v bode O s polomerom OA možno považovať za bod A 1 získaný ako výsledok rotácie bodu A. Preto, aby sme rozlíšili jeden obrat od druhého, uvádzame koncepcia uhla natočenia.
Jednou z charakteristík uhla natočenia je smer otáčania. Smer otáčania určuje, či sa bod otáča v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek.
Ďalšou charakteristikou uhla natočenia je jeho veľkosť. Uhly rotácie sa merajú v rovnakých jednotkách ako: najčastejšie sú stupne a radiány. Tu stojí za zmienku, že uhol natočenia môže byť vyjadrený v stupňoch akýmkoľvek reálnym číslom od mínus nekonečna do plus nekonečna, na rozdiel od uhla v geometrii, ktorého hodnota v stupňoch je kladná a nepresahuje 180.
Na označenie uhla natočenia sa zvyčajne používajú malé písmená gréckej abecedy: atď. Na označenie veľkého počtu uhlov natočenia sa často používa jedno písmeno s dolnými indexmi, napr. 
.
Teraz poďme hovoriť o charakteristikách uhla natočenia podrobnejšie a v poriadku.
Nech sú body A a A1 vyznačené na kruhu so stredom v bode O. Do bodu A 1 sa z bodu A dostanete otočením okolo stredu O buď v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek. Je logické považovať tieto odbočky za odlišné.
Znázornime rotácie v pozitívnom a negatívnom smere. Na obrázku nižšie je znázornená rotácia v pozitívnom smere vľavo a v negatívnom smere vpravo.
Uhol natočenia iného bodu ako je stred otáčania je úplne určený uvedením jeho veľkosti, na druhej strane podľa veľkosti uhla natočenia možno posúdiť, ako sa toto otáčanie uskutočnilo.
Ako sme uviedli vyššie, uhol natočenia v stupňoch je vyjadrený ako číslo od -∞ do +∞. V tomto prípade znamienko plus zodpovedá otáčaniu v smere hodinových ručičiek a znamienko mínus otáčaniu proti smeru hodinových ručičiek.
Teraz zostáva stanoviť súlad medzi hodnotou uhla natočenia a otočením, ktorému zodpovedá.
Začnime s uhlom rotácie nula stupňov. Tento uhol natočenia zodpovedá pohybu bodu A smerom k sebe. Inými slovami, pri otočení o 0 stupňov okolo bodu O zostane bod A na mieste.
Pristúpime k rotácii bodu A okolo bodu O, v ktorom k rotácii dôjde do pol otáčky. Predpokladajme, že bod A prechádza do bodu A1. V tomto prípade absolútna hodnota uhla AOA 1 v stupňoch nepresahuje 180. Ak k rotácii došlo v kladnom smere, potom sa hodnota uhla rotácie považuje za rovnajúcu sa hodnote uhla AOA 1, a ak rotácia nastala v zápornom smere, potom sa jej hodnota považuje za rovnajúcu sa hodnote uhla. AOA 1 so znamienkom mínus. Ako príklad uvádzame obrázok znázorňujúci uhly otáčania 30, 180 a -150 stupňov.
Uhly rotácie väčšie ako 180 stupňov a menšie ako -180 stupňov sa určujú na základe nasledujúceho celkom zrejmého vlastnosti po sebe idúcich zákrut: niekoľko po sebe idúcich rotácií bodu A okolo stredu O je ekvivalentných jednej rotácii, ktorej veľkosť sa rovná súčtu veličín týchto rotácií.
Uveďme príklad ilustrujúci túto vlastnosť. Otočme bod A vzhľadom k bodu O o 45 stupňov a potom tento bod otočme o 60 stupňov, potom tento bod otočíme o -35 stupňov. Označme medziľahlé body počas týchto zákrut ako A 1, A 2 a A 3. Do rovnakého bodu A 3 by sme sa mohli dostať vykonaním jednej rotácie bodu A pod uhlom 45+60+(−35)=70 stupňov.
Takže uhly rotácie väčšie ako 180 stupňov budeme reprezentovať ako niekoľko po sebe nasledujúcich otočení uhlami, ktorých súčet dáva hodnotu pôvodného uhla natočenia. Napríklad uhol rotácie 279 stupňov zodpovedá po sebe idúcim rotáciám o 180 a 99 stupňov alebo 90, 90, 90 a 9 stupňov alebo 180, 180 a -81 stupňov alebo 279 po sebe idúcich rotáciách o 1 stupeň.
Uhly rotácie menšie ako -180 stupňov sa určujú podobne. Napríklad uhol otočenia -520 stupňov možno interpretovať ako postupné otočenie bodu o -180, -180 a -160 stupňov.
Poďme si to zhrnúť. Určili sme uhol natočenia, ktorého hodnotu v stupňoch vyjadruje nejaké reálne číslo z intervalu od −∞ do +∞. V trigonometrii budeme špecificky pracovať s uhlami rotácie, hoci slovo „rotácia“ sa často vynecháva a hovoria jednoducho „uhol“. V trigonometrii teda budeme pracovať s uhlami ľubovoľnej veľkosti, pod ktorými rozumieme uhly natočenia.
Na záver tohto bodu si všimneme, že úplná rotácia v pozitívnom smere zodpovedá uhlu rotácie 360 stupňov (alebo 2 π radiánov) a v negatívnom smere - uhlu rotácie −360 stupňov (alebo −2 π rad) . V tomto prípade je vhodné znázorniť veľké uhly otáčania ako určitý počet plných otáčok a ďalšie otočenie pod uhlom v rozsahu od -180 do 180 stupňov. Vezmime si napríklad uhol natočenia 1 340 stupňov. Je ľahké si predstaviť 1 340 ako 360·4+ (-100) . To znamená, že počiatočný uhol otočenia zodpovedá 4 úplným otáčkam v kladnom smere a následnému otočeniu o -100 stupňov. Ďalší príklad: uhol otočenia −745 stupňov možno interpretovať ako dve otáčky proti smeru hodinových ručičiek, po ktorých nasleduje otočenie o −25 stupňov, pretože −745=(−360) 2+(−25) .
Koncept bodovej rotácie sa dá ľahko rozšíriť na otočte ľubovoľný tvar okolo bodu o uhol(hovoríme o takej rotácii, že bod, okolo ktorého sa rotácia vykonáva, aj obrazec, ktorý sa otáča, ležia v rovnakej rovine).
Otočením obrazca rozumieme otáčanie všetkých bodov obrazca okolo daného bodu o daný uhol.
Ako príklad si uveďme nasledujúcu akciu: otočte segment AB o uhol vzhľadom na bod O, tento segment pri otočení prejde do segmentu A 1 B 1.
Referencie.
