Skalárny súčin vektory (ďalej len SP). Drahí priatelia! Skúška z matematiky obsahuje skupinu úloh na riešenie vektorov. O niektorých problémoch sme už uvažovali. Môžete ich vidieť v kategórii „Vektory“. Vo všeobecnosti teória vektorov nie je zložitá, hlavnou vecou je dôsledne ju študovať. Výpočty a operácie s vektormi v školský kurz Matematika je jednoduchá, vzorce nie sú zložité. Pozri sa na. V tomto článku budeme analyzovať problémy so SP vektorov (zahrnuté v Jednotnej štátnej skúške). Teraz „ponorenie“ do teórie:
H Ak chcete nájsť súradnice vektora, musíte odpočítať od súradníc jeho koncazodpovedajúce súradnice jeho pôvodu
A ďalej:
*Dĺžka vektora (modul) sa určuje takto:
Tieto vzorce si treba zapamätať!!!
Ukážme uhol medzi vektormi:
Je jasné, že sa môže meniť od 0 do 180 0(alebo v radiánoch od 0 do Pi).
Môžeme vyvodiť nejaké závery o znamení skalárneho súčinu. Dĺžky vektorov majú kladnú hodnotu, to je zrejmé. To znamená, že znamienko skalárneho súčinu závisí od hodnoty kosínusu uhla medzi vektormi.
Možné prípady:
1. Ak je uhol medzi vektormi ostrý (od 0 0 do 90 0), potom bude mať kosínus uhla kladnú hodnotu.
2. Ak je uhol medzi vektormi tupý (od 90 0 do 180 0), potom bude mať kosínus uhla zápornú hodnotu.
*Pri nulových stupňoch, to znamená, keď majú vektory rovnaký smer, je kosínus rovný jednej, a preto bude výsledok kladný.
Pri 180 o, teda keď majú vektory opačné smery, je kosínus rovný mínus jedna,a podľa toho bude výsledok negatívny.
Teraz DÔLEŽITÉ UPOZORNENIE!
Pri 90 o, teda keď sú vektory na seba kolmé, je kosínus rovný nule, a preto sa SP rovná nule. Táto skutočnosť (dôsledok, záver) sa využíva pri riešení mnohých problémov, kde hovoríme o relatívnej polohe vektorov, vrátane problémov zahrnutých v otvorená banka matematické úlohy.
Formulujme tvrdenie: skalárny súčin sa rovná nule práve vtedy, ak tieto vektory ležia na kolmých priamkach.
Takže vzorce pre SP vektory:
Ak sú známe súradnice vektorov alebo súradnice bodov ich začiatkov a koncov, vždy môžeme nájsť uhol medzi vektormi:
Zoberme si úlohy:
27724 Nájdite skalárny súčin vektorov a a b.
Skalárny súčin vektorov môžeme nájsť pomocou jedného z dvoch vzorcov:
Uhol medzi vektormi nie je známy, ale ľahko zistíme súradnice vektorov a potom použijeme prvý vzorec. Keďže počiatky oboch vektorov sa zhodujú s počiatkom súradníc, súradnice týchto vektorov sa rovnajú súradniciam ich koncov, tj.
Ako nájsť súradnice vektora je popísané v.
Vypočítame:
odpoveď: 40
Nájdite súradnice vektorov a použite vzorec:
Na nájdenie súradníc vektora je potrebné odpočítať zodpovedajúce súradnice jeho začiatku od súradníc konca vektora, čo znamená
Vypočítame skalárny súčin:
odpoveď: 40
Nájdite uhol medzi vektormi a a b. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Nech súradnice vektorov majú tvar:
Na nájdenie uhla medzi vektormi použijeme vzorec pre skalárny súčin vektorov:
Kosínus uhla medzi vektormi:
Preto:
Súradnice týchto vektorov sú rovnaké:
Dosadíme ich do vzorca:
Uhol medzi vektormi je 45 stupňov.
odpoveď: 45
Dĺžka vektora sa teda vypočíta ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc 
. Dĺžka n-rozmerného vektora sa vypočíta podobne 
. Ak si zapamätáme, že každá súradnica vektora je rozdiel medzi súradnicami konca a začiatku, tak získame vzorec pre dĺžku segmentu, t.j. Euklidovská vzdialenosť medzi bodmi.
Skalárny súčin dva vektory v rovine sú súčinom dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi: 
. Dá sa dokázať, že skalárny súčin dvoch vektorov 
= (x 1, x 2) a 
= (y 1 , y 2) sa rovná súčtu súčinov zodpovedajúcich súradníc týchto vektorov: 
= x 1 * y1 + x 2 * y2.
V n-rozmernom priestore je skalárny súčin vektorov X= (x 1, x 2,...,x n) a Y= (y 1, y 2,...,y n) definovaný ako súčet súčinov. ich zodpovedajúcich súradníc: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.
Operácia vzájomného násobenia vektorov je podobná násobeniu riadkovej matice stĺpcovou maticou. Zdôrazňujeme, že výsledkom bude číslo, nie vektor.
Skalárny súčin vektorov má nasledujúce vlastnosti (axiómy):
1) Komutatívna vlastnosť: X*Y=Y*X.
2) Distributívna vlastnosť vzhľadom na sčítanie: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.
3) Pre akékoľvek reálne číslo 
.
4)
, ifX nie je nulový vektor; 
ifX je nulový vektor.
Lineárny vektorový priestor, v ktorom je daný skalárny súčin vektorov, ktorý spĺňa štyri zodpovedajúce axiómy, sa nazýva Euklidovský lineárny vektorpriestor.
Je ľahké vidieť, že keď vynásobíme ľubovoľný vektor sám o sebe, dostaneme druhú mocninu jeho dĺžky. Takže je to iné dĺžka vektor môže byť definovaný ako druhá odmocnina jeho skalárneho štvorca:.
Dĺžka vektora má nasledujúce vlastnosti:
1) |X| = 0Х = 0;
2) |X| = ||*|X|, kde je reálne číslo;
3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť);
4) |X+Y||X|+|Y| ( trojuholníková nerovnosť).
Uhol medzi vektormi v n-rozmernom priestore je určený na základe konceptu skalárneho súčinu. V skutočnosti, ak 
, To 
. Tento zlomok nie je väčší ako jedna (podľa Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti), takže odtiaľ môžeme nájsť .
Tieto dva vektory sa nazývajú ortogonálne alebo kolmý, ak je ich skalárny súčin rovný nule. Z definície skalárneho súčinu vyplýva, že nulový vektor je ortogonálny k ľubovoľnému vektoru. Ak sú oba ortogonálne vektory nenulové, potom cos= 0, t.j.=/2 = 90 o.
Pozrime sa znova na obrázok 7.4. Z obrázku je vidieť, že kosínus uhla sklonu vektora k horizontálnej osi možno vypočítať ako 
, a kosínus uhlasklonu vektora k zvislej osi je as 
. Tieto čísla sa zvyčajne volajú smerové kosínusy. Je ľahké overiť, že súčet druhých mocnín smerových kosínusov je vždy rovný jednej: cos 2 +cos 2 = 1. Podobne je možné zaviesť pojmy smerových kosínusov pre priestory vyšších rozmerov.
Pre vektory môžeme definovať pojmy lineárna kombinácia,lineárna závislosť A nezávislosť podobne, ako boli tieto koncepty zavedené pre riadky matice. Tiež platí, že ak sú vektory lineárne závislé, potom aspoň jeden z nich môže byť vyjadrený lineárne v podmienkach ostatných (t. j. ide o ich lineárnu kombináciu). Platí to aj naopak: ak je jeden z vektorov lineárnou kombináciou ostatných, potom sú všetky tieto vektory spolu lineárne závislé.
Všimnite si, že ak medzi vektormi a l , a 2 ,...a m je nulový vektor, potom je táto množina vektorov nevyhnutne lineárne závislá. V skutočnosti dostaneme l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, ak napríklad koeficient j v nulovom vektore prirovnáme k jednej a všetky ostatné koeficienty k nule. V tomto prípade sa nie všetky koeficienty budú rovnať nule ( j ≠ 0).
Okrem toho, ak je niektorá časť vektorov z množiny vektorov lineárne závislá, potom všetky tieto vektory sú lineárne závislé. V skutočnosti, ak niektoré vektory dávajú nulový vektor vo svojej lineárnej kombinácii s koeficientmi, ktoré nie sú oba nulové, potom zostávajúce vektory vynásobené nulovými koeficientmi môžu byť pridané k tomuto súčtu súčinov a stále to bude nulový vektor.
Ako zistiť, či sú vektory lineárne závislé?
Vezmime si napríklad tri vektory: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) a a 3 = (3, 1, 4, 3). Vytvorme z nich maticu, v ktorej budú stĺpce:
Potom sa otázka lineárnej závislosti zredukuje na určenie poradia tejto matice. Ak sa ukáže, že sa rovná trom, potom sú všetky tri stĺpce lineárne nezávislé, a ak sa ukáže, že sú menšie, bude to znamenať lineárnu závislosť vektorov.
Keďže poradie je 2, vektory sú lineárne závislé.
Všimnite si, že riešenie problému môže začať aj úvahou, ktorá je založená na definícii lineárnej nezávislosti. Konkrétne vytvorte vektorovú rovnicu l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, ktorá bude mať tvar l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Potom dostaneme sústavu rovníc:
Riešenie tohto systému pomocou Gaussovej metódy sa zredukuje na získanie rovnakej krokovej matice, len bude mať o jeden stĺpec viac – voľné členy. Všetky sa budú rovnať nule, pretože lineárne transformácie nuly nemôžu viesť k inému výsledku. Transformovaný systém rovníc bude mať tvar:
Riešením tohto systému bude (-с;-с; с), kde с je ľubovoľné číslo; napríklad (-1;-1;1). To znamená, že ak vezmeme l = -1; 2 =-1 a 3 = 1, potom l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, t.j. vektory sú vlastne lineárne závislé.
Z riešeného príkladu je zrejmé, že ak vezmeme počet vektorov väčší ako je rozmer priestoru, potom budú nevyhnutne lineárne závislé. V skutočnosti, ak by sme v tomto príklade vzali päť vektorov, dostali by sme maticu 4 x 5, ktorej poradie nemôže byť väčšie ako štyri. Tie. maximálny počet lineárne nezávislých stĺpcov by stále nebol vyšší ako štyri. Dva, tri alebo štyri štvorrozmerné vektory môžu byť lineárne nezávislé, ale päť alebo viac nie. V dôsledku toho nemôžu byť na rovine lineárne nezávislé viac ako dva vektory. Akékoľvek tri vektory v dvojrozmernom priestore sú lineárne závislé. V trojrozmernom priestore sú ľubovoľné štyri (alebo viac) vektorov vždy lineárne závislé. A tak ďalej.
Preto rozmer priestor možno definovať ako maximálny počet lineárne nezávislých vektorov, ktoré sa v ňom môžu nachádzať.
Množina n lineárne nezávislých vektorov n-rozmerného priestoru R sa nazýva základ tento priestor.
Veta. Každý vektor lineárneho priestoru môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia základných vektorov a jedinečným spôsobom.
Dôkaz. Nech vektory e l , e 2 ,...e n tvoria bázovo-rozmerný priestor R. Dokážme, že ľubovoľný vektor X je lineárnou kombináciou týchto vektorov. Keďže spolu s vektorom X sa počet vektorov stane (n +1), tieto (n +1) vektory budú lineárne závislé, t.j. existujú čísla l , 2 ,..., n ,, ktoré sa súčasne nerovnajú nule, takže
l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0
V tomto prípade 0, pretože inak by sme dostali l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, kde nie všetky koeficienty l , 2 ,..., n sa rovnajú nule. To znamená, že základné vektory by boli lineárne závislé. Preto môžeme obe strany prvej rovnice rozdeliť takto:
( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0
Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n
Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,
kde x j = -( j /), 
.
Teraz dokážeme, že takéto zobrazenie vo forme lineárnej kombinácie je jedinečné. Predpokladajme opak, t.j. že existuje iné zastúpenie:
Х = y l e l + y 2 e 2 +...+y n e n
Odčítajme od neho po členoch predtým získaný výraz:
0 = (y l – x 1) e l + (y 2 – x 2) e 2 +...+ (y n – x n) e n
Keďže základné vektory sú lineárne nezávislé, dostaneme, že (y j - x j) = 0, 
, t.j. y j = x j . Takže výraz sa ukázal byť rovnaký. Veta bola dokázaná.
Výraz X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n je tzv. rozklad vektor X založený na e l, e 2,...e n a číslach x l, x 2,...x n - súradnice vektor x vzhľadom k tejto báze, alebo v tejto báze.
Dá sa dokázať, že ak je nnenulových vektorov n-rozmerného euklidovského priestoru párovo ortogonálnych, potom tvoria základ. V skutočnosti vynásobme obe strany rovnosti l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 ľubovoľným vektorom e i. Dostaneme l (e l * е i) + 2 (e 2 * е i) +...+ n (e n * е i) = 0 i (e i * е i) = 0 i = 0 pre i.
Vektory e l , e 2 ,...e n n-rozmerného euklidovského priestoru ortonormálny základ, ak sú tieto vektory párovo ortogonálne a norma každého z nich je rovná jednej, t.j. ak e i *e j = 0 pre i≠j и |е i | = 1 prei.
Veta (bez dôkazu). V každom n-rozmernom euklidovskom priestore existuje ortonormálny základ.
Príkladom ortonormálnej bázy je systém n jednotkových vektorov e i, pre ktorý sa i-tá zložka rovná jednej a zvyšné zložky sa rovnajú nule. Každý takýto vektor sa nazýva ort. Napríklad vektorové vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1) tvoria základ trojrozmerného priestoru.
Naďalej sa zaoberáme vektormi. Na prvej lekcii Vektory pre figuríny Pozreli sme sa na pojem vektor, akcie s vektormi, vektorové súradnice a najjednoduchšie problémy s vektormi. Ak ste na túto stránku prišli prvýkrát z vyhľadávača, dôrazne vám odporúčam prečítať si vyššie uvedený úvodný článok, pretože na zvládnutie látky je potrebné poznať pojmy a zápisy, ktoré používam, mať základné znalosti o vektoroch a vedieť riešiť základné problémy. Táto lekcia je logickým pokračovaním témy a podrobne v nej rozoberiem typické úlohy, ktoré využívajú skalárny súčin vektorov. Toto je VEĽMI DÔLEŽITÁ aktivita.. Snažte sa nepreskakovať príklady, prichádzajú s užitočným bonusom – prax vám pomôže upevniť si preberaný materiál a zlepšiť sa v riešení bežných problémov v analytickej geometrii.
Sčítanie vektorov, násobenie vektora číslom.... Bolo by naivné si myslieť, že matematici neprišli na niečo iné. Okrem už diskutovaných akcií existuje množstvo ďalších operácií s vektormi, a to: bodový súčin vektorov, vektorový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov. Skalárny súčin vektorov je nám známy zo školy, ďalšie dva súčine sa tradične týkajú kurzu vyššia matematika. Témy sú jednoduché, algoritmus na riešenie mnohých problémov je jednoduchý a zrozumiteľný. Jediná vec. Informácií je slušné množstvo, preto je nežiaduce snažiť sa zvládnuť a vyriešiť VŠETKO RAZ. To platí najmä pre figuríny, verte, že autor sa absolútne nechce cítiť ako Chikatilo z matematiky. No, z matematiky, samozrejme, tiež nie =) Pripravenejší študenti môžu používať materiály selektívne, v určitom zmysle „získať“ chýbajúce vedomosti pre vás budem neškodný gróf Drakula =)
Otvorme konečne dvere a s nadšením sledujme, čo sa stane, keď sa stretnú dva vektory....
Najprv o uhol medzi vektormi. Myslím, že každý intuitívne chápe, aký je uhol medzi vektormi, ale pre každý prípad trochu podrobnejšie. Uvažujme voľné nenulové vektory a . Ak tieto vektory vykreslíte z ľubovoľného bodu, získate obrázok, ktorý si už mnohí v duchu predstavili: 
Priznám sa, tu som opísal situáciu len v rovine pochopenia. Ak potrebujete presne definovať uhol medzi vektormi, pozrite si praktické problémy v učebnici, v zásade je to pre nás zbytočné. Aj TU A TU budem miestami ignorovať nulové vektory pre ich nízky praktický význam. Urobil som rezerváciu špeciálne pre pokročilých návštevníkov stránky, ktorí mi môžu vyčítať teoretickú neúplnosť niektorých následných vyhlásení.
môže nadobúdať hodnoty od 0 do 180 stupňov (0 až radiány), vrátane. Analyticky je táto skutočnosť zapísaná vo forme dvojitej nerovnosti:
alebo 
(v radiánoch). V literatúre sa symbol uhla často vynecháva a jednoducho sa píše.
Definícia: Skalárny súčin dvoch vektorov je ČÍSLO rovné súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi: 
Teraz je to dosť prísna definícia.
Zameriavame sa na základné informácie:
Označenie: skalárny súčin sa označuje alebo jednoducho.
Výsledkom operácie je ČÍSLO: Vektor sa vynásobí vektorom a výsledkom je číslo. Ak sú dĺžky vektorov čísla, kosínus uhla je číslo, potom ich súčin 
bude tiež číslo.
Len pár príkladov zahrievania:
Príklad 1
Riešenie: Používame vzorec 
. V tomto prípade:
odpoveď:
Kosínové hodnoty nájdete v trigonometrická tabuľka. Odporúčam si ho vytlačiť - bude potrebný takmer vo všetkých častiach veže a bude potrebný mnohokrát.
Z čisto matematického hľadiska je skalárny súčin bezrozmerný, to znamená, že výsledkom je v tomto prípade iba číslo a to je všetko. Z hľadiska fyzikálnych problémov má skalárny súčin vždy určitú fyzický význam, to znamená, že po výsledku musíte uviesť jednu alebo druhú fyzickú jednotku. Kanonický príklad výpočtu práce sily možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici (vzorec je presne skalárny súčin). Práca sily sa meria v jouloch, preto bude odpoveď napísaná celkom konkrétne, napríklad .
Príklad 2
Nájdite ak 
a uhol medzi vektormi je rovný .
Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie, odpoveď je na konci lekcie.
V príklade 1 sa skalárny produkt ukázal ako pozitívny a v príklade 2 sa ukázal ako negatívny. Poďme zistiť, od čoho závisí znamenie skalárneho produktu. Pozrime sa na náš vzorec: 
. Dĺžky nenulových vektorov sú vždy kladné: , takže znamienko môže závisieť iba od hodnoty kosínusu.
Poznámka: Pre lepšie pochopenie nižšie uvedených informácií je lepšie preštudovať si kosínusový graf v príručke Funkčné grafy a vlastnosti. Pozrite sa, ako sa kosínus správa na segmente.
Ako už bolo uvedené, uhol medzi vektormi sa môže meniť 
a sú možné tieto prípady:
1) Ak rohu medzi vektormi pikantné: 
(od 0 do 90 stupňov), potom 
, A bodový súčin bude pozitívny spolurežírovaný, potom sa uhol medzi nimi považuje za nulový a skalárny súčin bude tiež kladný. Keďže vzorec zjednodušuje: .
2) Ak rohu medzi vektormi tupý: 
(od 90 do 180 stupňov), potom 
a zodpovedajúcim spôsobom, bodový súčin je negatívny: . Špeciálny prípad: ak vektory opačných smeroch, potom sa berie do úvahy uhol medzi nimi rozšírené: (180 stupňov). Skalárny súčin je tiež negatívny, keďže
Aj opačné tvrdenia sú pravdivé:
1) Ak , potom je uhol medzi týmito vektormi ostrý. Alternatívne sú vektory ko-smerné.
2) Ak , potom je uhol medzi týmito vektormi tupý. Alternatívne sú vektory v opačných smeroch.
Tretí prípad je však obzvlášť zaujímavý:
3) Ak rohu medzi vektormi rovno: (90 stupňov), teda skalárny súčin je nula: . Platí to aj naopak: ak , tak . Vyhlásenie možno formulovať kompaktne takto: Skalárny súčin dvoch vektorov je nula práve vtedy, ak sú vektory ortogonálne. Krátky matematický zápis: 
! Poznámka
: Zopakujme si základy matematickej logiky: Ikona obojstranného logického dôsledku sa zvyčajne číta „ak a len vtedy“, „ak a len vtedy“. Ako vidíte, šípky sú nasmerované oboma smermi - "z tohto vyplýva toto a naopak - z toho vyplýva toto." Mimochodom, aký je rozdiel od ikony jednosmerného sledovania? Ikona uvádza len to, že, že „z toho vyplýva toto“ a nie je pravdou, že opak je pravdou. Napríklad: , ale nie každé zviera je panter, takže v tomto prípade nemôžete použiť ikonu. Zároveň namiesto ikony Môcť použite jednostrannú ikonu. Napríklad pri riešení úlohy sme zistili, že sme dospeli k záveru, že vektory sú ortogonálne: 
- takýto záznam bude správny a ešte vhodnejší ako 
.
Tretí prípad má viac praktický význam , pretože vám umožňuje skontrolovať, či sú vektory ortogonálne alebo nie. Tento problém vyriešime v druhej časti lekcie.
Vráťme sa k situácii, keď dva vektory spolurežírovaný. V tomto prípade je uhol medzi nimi nula, a vzorec skalárneho súčinu má tvar: .
Čo sa stane, ak sa vektor vynásobí sám od seba? Je jasné, že vektor je zarovnaný sám so sebou, preto použijeme vyššie uvedený zjednodušený vzorec:
Číslo sa volá skalárny štvorec vektor a sú označené ako .
teda skalárny štvorec vektora sa rovná štvorcu dĺžky daného vektora:
Z tejto rovnosti môžeme získať vzorec na výpočet dĺžky vektora:
Zatiaľ sa to zdá nejasné, ale ciele lekcie dajú všetko na svoje miesto. Na vyriešenie problémov, ktoré potrebujeme vlastnosti bodového produktu.
Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:
1) – komutatívne resp komutatívny skalárny produktový zákon.
2) 
– distribúcia resp distributívny skalárny produktový zákon. Jednoducho, môžete otvoriť zátvorky.
3) 
– priraďovacie resp asociatívne skalárny produktový zákon. Konštantu možno odvodiť zo skalárneho súčinu.
Často sú všelijaké vlastnosti (ktoré treba aj dokazovať!) študentmi vnímané ako zbytočné svinstvo, ktoré sa stačí naučiť naspamäť a hneď po skúške bezpečne zabudnúť. Zdalo by sa, že čo je tu dôležité, každý už od prvej triedy vie, že preskupením faktorov sa produkt nemení: . Musím vás upozorniť, že vo vyššej matematike je ľahké pokaziť veci takýmto prístupom. Takže napríklad komutatívna vlastnosť nie je pravdivá pre algebraické matice. Tiež to nie je pravda pre vektorový súčin vektorov. Preto je prinajmenšom lepšie ponoriť sa do akýchkoľvek vlastností, s ktorými sa stretnete vo vyššom kurze matematiky, aby ste pochopili, čo môžete a čo nie.
Príklad 3
.
Riešenie: Najprv si objasnime situáciu s vektorom. Čo to vôbec je? Súčet vektorov je dobre definovaný vektor, ktorý je označený . Geometrický výklad akcií s vektormi nájdete v článku Vektory pre figuríny. Rovnaký petržlen s vektorom je súčtom vektorov a .
Takže podľa stavu je potrebné nájsť skalárny súčin. Teoreticky musíte použiť pracovný vzorec 
, ale problém je, že nepoznáme dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Ale podmienka dáva podobné parametre pre vektory, takže pôjdeme inou cestou:
(1) Nahraďte výrazy vektorov.
(2) Zátvorky otvárame podľa pravidla pre násobenie mnohočlenov v článku nájdete vulgárny jazykolam Komplexné čísla alebo Integrácia zlomkovo-racionálnej funkcie. Nebudem sa opakovať =) Mimochodom, distribučná vlastnosť skalárneho produktu nám umožňuje otvárať zátvorky. Máme právo.
(3) V prvom a poslednom člene kompaktne napíšeme skalárne štvorce vektorov: 
. V druhom člene používame komutabilitu skalárneho súčinu: .
(4) Uvádzame podobné výrazy: .
(5) V prvom člene používame vzorec skalárneho štvorca, ktorý bol spomenutý nedávno. V poslednom termíne teda funguje to isté: . Druhý člen rozširujeme podľa štandardného vzorca 
.
(6) Nahradiť tieto podmienky 
a OPATRNE vykonajte konečné výpočty.
odpoveď:
Záporná hodnota skalárneho súčinu vyjadruje skutočnosť, že uhol medzi vektormi je tupý.
Problém je typický, tu je príklad, ako ho vyriešiť sami:
Príklad 4
Nájdite skalárny súčin vektorov a ak je známy 
.
Teraz ďalšia bežná úloha, len pre nový vzorec pre dĺžku vektora. Tento zápis sa bude trochu prekrývať, takže pre prehľadnosť ho prepíšem iným písmenom:
Príklad 5
Nájdite dĺžku vektora if 
.
Riešenie bude nasledovný:
(1) Dodávame výraz pre vektor .
(2) Používame dĺžkový vzorec: a celý výraz ve funguje ako vektor „ve“.
(3) Na druhú mocninu súčtu použijeme školský vzorec. Všimnite si, ako to tu kuriózne funguje: – je to vlastne druhá mocnina rozdielu a v skutočnosti to tak je. Tí, ktorí si želajú, môžu preusporiadať vektory: - stane sa to isté, až po preskupenie pojmov.
(4) To, čo nasleduje, je už známe z dvoch predchádzajúcich problémov.
odpoveď: 
Keďže hovoríme o dĺžke, nezabudnite uviesť rozmer - „jednotky“.
Príklad 6
Nájdite dĺžku vektora if 
.
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Pokračujeme vo vytláčaní užitočných vecí z bodkového produktu. Pozrime sa znova na náš vzorec 
. Pomocou pravidla proporcie resetujeme dĺžky vektorov na menovateľ ľavej strany: 
Vymeňme časti: 
Aký je význam tohto vzorca? Ak sú známe dĺžky dvoch vektorov a ich skalárny súčin, môžeme vypočítať kosínus uhla medzi týmito vektormi a následne aj samotný uhol.
Je bodový súčin číslo? číslo. Sú dĺžky vektorov čísla? čísla. To znamená, že zlomok je tiež číslo. A ak je známy kosínus uhla: 
, potom pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol: 
.
Príklad 7
Nájdite uhol medzi vektormi a ak je známe, že .
Riešenie: Používame vzorec:
V záverečnej fáze výpočtov bola použitá technická technika - eliminácia iracionality v menovateli. Aby som odstránil iracionalitu, vynásobil som čitateľa a menovateľa číslom .
Ak teda 
, To: 
Inverzné hodnoty goniometrické funkcie možno nájsť podľa trigonometrická tabuľka. Aj keď sa to stáva zriedka. V úlohách analytickej geometrie sa oveľa častejšie nejaký nemotorný znáša ako , a hodnotu uhla treba nájsť približne pomocou kalkulačky. V skutočnosti takýto obrázok uvidíme viackrát.
odpoveď: 
Opäť nezabudnite uviesť rozmery - radiány a stupne. Osobne, aby som zjavne „vyriešil všetky otázky“, uprednostňujem uvedenie oboch (pokiaľ podmienka samozrejme nevyžaduje uvedenie odpovede iba v radiánoch alebo len v stupňoch).
Teraz sa môžete samostatne vyrovnať so zložitejšou úlohou:
Príklad 7*
Dané sú dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Nájdite uhol medzi vektormi , .
Úloha nie je ani tak náročná, ako viacstupňová.
Pozrime sa na algoritmus riešenia:
1) Podľa podmienky musíte nájsť uhol medzi vektormi a , takže musíte použiť vzorec 
.
2) Nájdite skalárny súčin (pozri príklady č. 3, 4).
3) Nájdite dĺžku vektora a dĺžku vektora (pozri Príklady č. 5, 6).
4) Koniec riešenia sa zhoduje s príkladom č. 7 - poznáme číslo , čo znamená, že je ľahké nájsť samotný uhol: 
Rýchle riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Druhá časť lekcie je venovaná rovnakému skalárnemu súčinu. Súradnice. Bude to ešte jednoduchšie ako v prvej časti.
odpoveď:
Netreba dodávať, že narábanie so súradnicami je oveľa príjemnejšie.
Príklad 14
Nájdite skalárny súčin vektorov a ak
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Tu môžete využiť asociatívnosť operácie, teda nepočítať , ale hneď vziať trojku mimo skalárneho súčinu a vynásobiť ju ako poslednú. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.
Na konci odseku provokatívny príklad výpočtu dĺžky vektora:
Príklad 15
Nájdite dĺžky vektorov 
, Ak
Riešenie: Metóda z predchádzajúcej časti sa opäť navrhuje: existuje však aj iný spôsob:
Poďme nájsť vektor:
A jeho dĺžka podľa triviálneho vzorca 
:
Skalárny súčin tu vôbec nie je relevantný!
Tiež to nie je užitočné pri výpočte dĺžky vektora:
Stop. Nemali by sme využiť zjavnú vlastnosť dĺžky vektora? Čo môžete povedať o dĺžke vektora? Tento vektor je 5-krát dlhší ako vektor. Smer je opačný, ale to nevadí, pretože hovoríme o dĺžke. Je zrejmé, že dĺžka vektora sa rovná súčinu modul počet na dĺžku vektora:
– znamienko modulu „žerie“ možné mínus čísla.
Takto:
odpoveď:
teraz máme úplné informácie, takže predtým odvodený vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi 
vyjadriť pomocou vektorových súradníc:
Kosínus uhla medzi rovinnými vektormi a , špecifikované na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:
.
Kosínus uhla medzi priestorovými vektormi, špecifikované na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom: 
Príklad 16
Dané tri vrcholy trojuholníka. Nájdite (vrcholový uhol).
Riešenie: Podľa podmienok sa kresba nevyžaduje, ale stále: 
Požadovaný uhol je označený zeleným oblúkom. Hneď si spomeňme na školské označenie uhla: – osobitnú pozornosť priemer písmeno - to je vrchol uhla, ktorý potrebujeme. Pre stručnosť môžete napísať aj jednoducho .
Z výkresu je celkom zrejmé, že uhol trojuholníka sa zhoduje s uhlom medzi vektormi a inými slovami: 
.
Je vhodné naučiť sa vykonávať analýzu mentálne.
Poďme nájsť vektory: 
Vypočítajme skalárny súčin:
A dĺžky vektorov: 
Kosínus uhla:
Presne toto je poradie plnenia úlohy, ktoré odporúčam pre figuríny. Pokročilejší čitatelia môžu písať výpočty „do jedného riadku“: 
Tu je príklad „zlej“ hodnoty kosínusu. Výsledná hodnota nie je konečná, preto nemá zmysel zbavovať sa iracionality v menovateli.
Poďme nájsť samotný uhol:
Ak sa pozriete na kresbu, výsledok je celkom vierohodný. Pre kontrolu je možné uhol merať aj uhlomerom. Nepoškoďte kryt monitora =)
odpoveď: 
V odpovedi na to nezabúdame spýtal sa na uhol trojuholníka(a nie o uhle medzi vektormi), nezabudnite uviesť presnú odpoveď: a približnú hodnotu uhla: 
, nájdené pomocou kalkulačky.
Tí, ktorým sa tento proces páčil, môžu vypočítať uhly a overiť platnosť kanonickej rovnosti
Príklad 17
Trojuholník je definovaný v priestore súradnicami jeho vrcholov. Nájdite uhol medzi stranami a
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny
Krátka záverečná časť bude venovaná projekciám, ktoré zahŕňajú aj skalárny súčin:
Zvážte vektory a: 
Premietnime vektor na vektor, aby sme to urobili, od začiatku a konca vektora vynecháme kolmice na vektor (zelené bodkované čiary). Predstavte si, že lúče svetla dopadajú kolmo na vektor. Potom bude segment (červená čiara) „tieňom“ vektora. V tomto prípade je projekcia vektora na vektor DĹŽKA segmentu. Teda PROJEKCIA JE ČÍSLO.
Toto ČÍSLO je označené nasledovne: , „veľký vektor“ označuje vektor KTORÝ projekt, „vektor malého dolného indexu“ označuje vektor ON ktorý sa premieta.
Samotný záznam znie takto: „projekcia vektora „a“ na vektor „be“.
Čo sa stane, ak je vektor „byť“ „príliš krátky“? Nakreslíme priamku obsahujúcu vektor „be“. A vektor „a“ sa už premietne do smeru vektora "byť", jednoducho - na priamku obsahujúcu vektor „be“. To isté sa stane, ak sa vektor „a“ odloží v tridsiatom kráľovstve – stále sa bude ľahko premietať na priamku obsahujúcu vektor „be“.
Ak uhol medzi vektormi pikantné(ako na obrázku), teda
Ak vektory ortogonálne, potom (projekcia je bod, ktorého rozmery sa považujú za nulové).
Ak uhol medzi vektormi tupý(na obrázku mentálne preusporiadajte vektorovú šípku), potom (rovnaká dĺžka, ale so znamienkom mínus).
Nakreslite tieto vektory z jedného bodu: 
Je zrejmé, že keď sa vektor pohybuje, jeho projekcia sa nemení
