1. Náhodné udalosti
Teória pravdepodobnosti je oblasť matematiky, ktorá študuje vzorce hromadných náhodných udalostí.
Udalosť, ktorej výskyt nemožno zaručiť, sa nazýva náhodná. Náhodnosť udalosti je určená mnohými dôvodmi, ktoré objektívne existujú, ale nie je možné ich všetky vziať do úvahy, ako aj mieru ich vplyvu na skúmanú udalosť. Takéto náhodné udalosti zahŕňajú: získanie konkrétneho čísla pri hode kockou, výhra v lotérii, počet pacientov, ktorí si dohodli stretnutie s lekárom atď.
A hoci v každom konkrétnom prípade je ťažké predpovedať výsledok testu, s dostatočným veľké množstvo pozorovaní, je možné zistiť prítomnosť nejakého vzoru. Pri hode mincou si všimnete, že počet hláv a chvostov je približne rovnaký a pri hode kockou sa objavujú aj rôzne strany, približne rovnaké. To naznačuje, že náhodné javy majú svoje vlastné vzorce, ale objavujú sa len pri veľkom počte testov. Zákon potvrdzuje správnosť tohto veľké čísla, ktorá je základom teórie pravdepodobnosti.
Uvažujme o základných pojmoch a konceptoch teórie pravdepodobnosti.
Test je súbor podmienok, za ktorých môže dôjsť k danej náhodnej udalosti.
Udalosť - je fakt, že pri splnení určitých podmienok môže, ale nemusí nastať. Udalosti sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy A, B, C...
napr. udalosť A- narodenie chlapca, príp IN - výhra v lotérii, udalosť C - vypadnutie čísla 4 pri hode kockou.
Udalosti môžu byť spoľahlivé, nemožné a náhodné.
Spoľahlivé podujatie- toto je udalosť, ktorá musí určite nastať ako výsledok testu.
napr. ak na kocke na všetkých šiestich stranách . dajte číslo 1, potom vypadnutie čísla 1 pri hode kockou je spoľahlivá udalosť.
Nemožná udalosť - je to udalosť, ktorá nemôže nastať v dôsledku testu.
napr. v predtým diskutovanom príklade je to vzhľad akéhokoľvek čísla iného ako 1.
Náhodná udalosť je udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať počas testovania. Určité udalosti sa realizujú s rôznymi možnosťami.
napr. Zajtra popoludní sa očakáva dážď. V tomto príklade je príchod dňa testom a dážď je náhodná udalosť.
Udalosti sú tzv nezlučiteľné, ak v dôsledku daného testu vzhľad jedného z nich vylučuje vzhľad druhého.
napr. Pri hádzaní mincou sú súčasné získavanie hláv a chvostov nezlučiteľné.
Udalosti sú tzv kĺb, ak v dôsledku tohto testu vzhľad jedného z nich nevylučuje vzhľad druhého.
napr. Pri hraní kariet je objavenie sa jacka a piky spoločnými udalosťami.
Udalosti sú tzv rovnako možné, pokiaľ neexistuje dôvod domnievať sa, že jeden z nich sa vyskytuje častejšie ako druhý!
napr. Strata ktorejkoľvek strany kocky je rovnako možná udalosť.
Formulár udalostí celá skupina podujatí, ak aspoň jeden z nich nastane ako výsledok testu a ktorékoľvek dva z nich sú nezlučiteľné.
napr. Pri 10 výstreloch na cieľ je možný 0 až 10 zásahov. Pri hode kockou sa môže objaviť číslo od 1 do 6. Tieto udalosti tvoria ucelenú skupinu.
Volajú sa udalosti zahrnuté v kompletnej skupine párovo nekompatibilných a rovnako možných udalostí výsledky, alebo elementárne udalosti. Podľa definície spoľahlivej udalosti môžeme považovať udalosť pozostávajúcu z objavenia sa jednej, bez ohľadu na to, ktorá z udalostí celej skupiny, je spoľahlivou udalosťou.
napr. Keď padne jedna kocka, objaví sa číslo menšie ako sedem. Toto je príklad spoľahlivej udalosti.
Špeciálnym prípadom udalostí, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sú opačné udalosti.
Dve nezlučiteľné udalosti A a (čítaj „nie A“) sa nazývajú opak, ak v dôsledku testu musí nevyhnutne nastať jeden z nich.
napr. ak sa štipendium udeľuje len po získaní dobrého a vynikajúceho hodnotenia na skúške, potom sú udalosti „štipendium“ a „nedostatočná alebo uspokojivá známka“ opačné.
Udalosť A volal priaznivé udalosť IN, ak k udalosti dôjde A znamená výskyt udalosti IN.
napr. Pri hádzaní kockou uprednostňujú vzhľad nepárneho čísla udalosti spojené s číslami 1, 3 a 5.
2. Operácie na udalostiach
Operácie s udalosťami sú podobné operáciám s množinami.
Suma viacero udalostí je udalosť pozostávajúca z výskytu aspoň jednej z nich v dôsledku testu.
Súčet udalostí môže byť označený znakmi „+“, „È“, „alebo“.
Obrázok 1 znázorňuje geometrickú interpretáciu pomocou Euler-Vennových diagramov. Súčet udalostí A + B Celá zatienená oblasť sa bude zhodovať.
Obr.1
Oblasť križovatky udalostí A A IN zodpovedá spoločným udalostiam, ktoré sa môžu stať súčasne. To isté pre udalosti A, B A S sú spoločné akcie A A IN; A A S; IN a C; A A IN A S,čo sa môže stať súčasne.
napr. urna obsahuje biele, červené a modré gule. Možné sú nasledujúce udalosti: A- vyberie sa biela guľa; IN- vytiahne sa červená guľa; C - vyžrebuje sa modrá guľa. Udalosť B + C znamená, že nastala udalosť – ťahá sa farebná guľa alebo nebiela guľa.
Dielo viacero udalostí je udalosť, ktorá spočíva v spoločnom výskyte všetkých týchto udalostí v dôsledku testu.
Výroba udalostí môže byť označená znakmi „x“, „∩“, „and“.
Geometrická interpretácia produktu udalostí je uvedená na obr. 2.
Obr.2
Produkovaním udalostí A A IN tam, kde sa štvorce pretínajú, bude zatienená oblasť A A IN. A to na tri podujatia A A IN A S - celková plocha, súčasne zahrnuté do všetkých troch podujatí.
napr. Nechajte náhodne vytiahnuť kartu z balíčka kariet. Udalosť A- vytiahne sa piková karta; IN - zdvihák je vytiahnutý. Potom udalosť A×B znamená udalosť - pikový zdvihák je vytiahnutý.
Rozdielom dve udalosti A-B je udalosť pozostávajúca z výsledkov zahrnutých do A, ale nie sú zahrnuté IN.
Na obr. Obrázok 3 znázorňuje ilustráciu rozdielu udalostí pomocou Euler-Vennových diagramov.
Obr.3
Rozdiel medzi dvoma udalosťami A-B je zatienená oblasť A bez časti, ktorá je súčasťou akcie IN. Rozdiel medzi produktom udalostí A A IN a udalosť S bude priestor spoločného podujatia A a udalosti IN bez toho, aby s ním oblasť udalosti zdieľala S.
napr. nech sa udalosť stane pri hode kockou A - výskyt párnych čísel (2,4,6) a udalosť IN -čísla, ktoré sú násobkami 3, t.j. (3, 6). Potom udalosť A-B vzhľad čísel (2,4).
3. Určenie pravdepodobnosti udalosti
Náhodné udalosti sa realizujú s rôznymi možnosťami. Niektoré sa vyskytujú častejšie, iné menej často. Na kvantifikáciu možností realizácie podujatia je predstavený koncept pravdepodobnosť udalosti.
Pravdepodobnosť udalosti- je to číslo charakterizujúce stupeň možnosti udalosti, ktorá nastane, keď sa testy mnohokrát opakujú.
Pravdepodobnosť je označená písmenom R(z angl pravdepodobnosť - pravdepodobnosť). Pravdepodobnosť je jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti. Existuje niekoľko definícií tohto pojmu.
klasické Definícia pravdepodobnosti je nasledovná. Ak sú známe všetky možné výsledky testu a nie je dôvod domnievať sa, že by sa jedna náhodná udalosť vyskytovala častejšie ako ostatné, t.j. udalosti sú rovnako možné a nezlučiteľné, potom je možné analyticky určiť pravdepodobnosť udalosti.
Pravdepodobnosť P(A) udalosti A nazývaný pomer počtu priaznivých výsledkov T Komu celkový počet rovnako možné nezlučiteľné výsledky p:
Vlastnosti pravdepodobnosti:
1. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti A je medzi 0 a 1.
2. Pravdepodobnosť určitej udalosti je 1.
.
3. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je 0.
.
Náhodná udalosť -
Dve udalosti nezlučiteľné
Teória pravdepodobnosti
Algebra náhodných udalostí, Vienne-Eulerove diagramy.
Súčet udalostí A a B je udalosť, ktorá nastane, keď nastane buď A alebo B, alebo obe udalosti.
Produkt A a B nazývaná udalosť, ktorá nastane, ak nastane skúsenosť oboje udalosti.
Udalosť Ā, oproti udalosti A je udalosť, ktorá nastane vždy, keď udalosť A nenastane.
A\B (doplnok A až B)- A sa stane, ale B sa nestane
Klasická definícia pravdepodobnosti. Kombinatorika.
– klasická definícia pravdepodobnosti.
m– celkový počet výsledkov
n– počet výsledkov priaznivých pre výskyt udalosti A.
Kombinatorika- odbor matematiky, ktorý študuje usporiadanie predmetov podľa osobitných pravidiel a počíta počet spôsobov takéhoto usporiadania. Kombinatorika vznikla v 18. storočí. Považuje sa za odvetvie teórie množín.
Axiomatická konštrukcia teórie pravdepodobnosti.
Axióma 1.„axióma nezápornosti“ P(A)≥0
axióma 2.„axióma normálnosti“ P(Ω)=1
axióma 3.„axióma aditivity“ Ak sú udalosti A a B nekompatibilné (AB=Ø), potom P(A+B)=P(A)+P(B)
Veta o pravdepodobnosti súčtu udalostí.
Pre všetky udalosti P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) (dokument v prednáške)
Podmienená pravdepodobnosť. Závislé a nezávislé udalosti. Vety o pravdepodobnosti udalostí.
P(A|B) – pravdepodobnosť udalosti A, ak udalosť B už nastala – podmienená pravdepodobnosť.
Udalosť A sa volá nezávislý, z udalosti B, ak sa pravdepodobnosť udalosti A nemení v závislosti od toho, či udalosť B nastane alebo nie.
Veta o násobení pravdepodobnosti: P(AB) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A)
Veta o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí: P(AB) = P(A) P(B)
Podľa definície podmienenej pravdepodobnosti,
Vzorec celkovej pravdepodobnosti.
Existujú udalosti Н 1 , Н 2 ,…., Н n, ktoré sú párovo nekompatibilné a tvoria kompletnú skupinu. Takéto udalosti sa nazývajú hypotéz. Nech je nejaká udalosť A. A=AN 1 +AN 2 +…+AN n (členy tohto súčtu sú párovo nezlučiteľné).
Bayesov vzorec.
Н 1, Н 2,…., Н n A
Bernoulliho schéma. Bernoulliho vzorec. S najväčšou pravdepodobnosťou počet úspechov.
Nech sa vykoná konečný počet n po sebe idúcich skúšok, z ktorých každá môže nastať buď „úspešná“ alebo „neúspešná“ nejaká udalosť A a tieto skúšky spĺňajú nasledujúce podmienky:
· Každá skúška je náhodná vzhľadom na udalosť A.t.j. pred testom nie je možné povedať, či sa A objaví alebo nie;
· Skúšky sa vykonávajú za identických podmienok z pravdepodobnostného hľadiska, t.j. pravdepodobnosť úspechu v každom jednotlivom pokuse je p a nemení sa od pokusu k pokusu;
· Testy sú nezávislé, t.j. výsledok žiadneho z nich nemá vplyv na výsledky iných testov.
Táto postupnosť testov sa nazýva Bernoulliho schéma alebo binomická schéma a samotné testy sa nazývajú Bernoulliho testy.
Na výpočet pravdepodobnosti P n (k), že v sérii n Bernoulliho testov bude práve k úspešných, sa používa Bernoulliho vzorec: (k = 0,1,2,...n).
10. Pojem náhodnej veličiny. Diskrétna náhodná veličina, metódy jej špecifikácie: distribučné rady.
Náhodná premenná je veličina, ktorá v každom teste (pri každom pozorovaní) nadobúda jednu z mnohých možných hodnôt, vopred sa nevie, ktorá.
Diskrétne r.v.– r.v., ktorého množina možných hodnôt je konečná alebo spočítateľná.
Rozvodný rad r.v.(rad rozdelenia pravdepodobnosti). Graf distribučného radu je určený distribučným polygónom - prerušovanou čiarou, ktorá spája body so súradnicami (x i,p i)
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x k | … |
| P | p 1 | p2 | p 3 | … | p k | … |
Distribučný zákon r.v.: pk =P((X=x k))
Náhodné udalosti, ich klasifikácia. Pojem pravdepodobnosti.
Náhodná udalosť - udalosť, ktorá za podmienok zážitku môže, ale nemusí nastať. Navyše sa vopred nevie, či sa tak stane alebo nie.
Dve udalosti nezlučiteľné ak vzhľad jedného z nich vylučuje vzhľad druhého v rovnakom zážitku.
Teória pravdepodobnostištuduje vzorce spojené s hromadnými náhodnými javmi. Základné pojmy teórie pravdepodobnosti boli stanovené v korešpondencii medzi Pascalom a Fermatom. Tieto koncepty vznikli z pokusov opísať hazard matematicky.
Je nepravdepodobné, že veľa ľudí premýšľa o tom, či je možné vypočítať udalosti, ktoré sú viac-menej náhodné. Zjednodušene povedané jednoduchými slovami, je naozaj možné vedieť, ktorá strana kocky príde nabudúce? Práve túto otázku si položili dvaja veľkí vedci, ktorí položili základy takej vedy, akou je teória pravdepodobnosti, v ktorej sa pravdepodobnosť udalosti pomerne obšírne skúma.
Ak sa pokúsite definovať taký pojem ako teória pravdepodobnosti, dostanete nasledovné: toto je jedna z oblastí matematiky, ktorá študuje stálosť náhodných udalostí. samozrejme, tento koncept neodhalí naozaj celú podstatu, preto je potrebné sa nad tým podrobnejšie zaoberať.
Chcel by som začať tvorcami teórie. Ako už bolo spomenuté vyššie, boli dvaja a boli jedni z prvých, ktorí skúšali používať vzorce a matematické výpočty vypočítať výsledok udalosti. Vo všeobecnosti sa začiatky tejto vedy objavili v stredoveku. V tom čase sa rôzni myslitelia a vedci pokúšali analyzovať hazardné hry, ako je ruleta, kocky atď., a tým určiť vzorec a percento vypadnutia konkrétneho čísla. Základ položili v sedemnástom storočí spomínaní vedci.
Spočiatku ich práce nebolo možné považovať za veľké úspechy v tejto oblasti, pretože všetko, čo robili, boli jednoducho empirické fakty a experimenty sa vykonávali vizuálne, bez použitia vzorcov. Postupom času bolo možné dosiahnuť skvelé výsledky, ktoré sa objavili ako výsledok pozorovania hodu kockou. Práve tento nástroj pomohol odvodiť prvé zrozumiteľné vzorce.
Nie je možné nespomenúť takú osobu, akou je Christiaan Huygens v procese štúdia témy nazývanej „teória pravdepodobnosti“ (pravdepodobnosť udalosti je pokrytá práve touto vedou). Táto osoba je veľmi zaujímavá. Rovnako ako vyššie uvedení vedci sa pokúsil odvodiť vzorec náhodných udalostí vo forme matematických vzorcov. Je pozoruhodné, že to neurobil spolu s Pascalom a Fermatom, to znamená, že všetky jeho diela sa nepretínali s týmito myšlienkami. Huygens odvodil
Zaujímavosťou je, že jeho práca vyšla dávno pred výsledkami práce objaviteľov, alebo skôr o dvadsať rokov skôr. Spomedzi identifikovaných konceptov sú najznámejšie:
Nedá sa nespomenúť ani na to, kto tiež významne prispel k štúdiu problému. Vykonaním vlastných testov, nezávislých od kohokoľvek, dokázal predložiť dôkaz o zákone veľkých čísel. Na druhej strane vedci Poisson a Laplace, ktorí pracovali na začiatku devätnásteho storočia, dokázali pôvodné vety dokázať. Od tohto momentu sa teória pravdepodobnosti začala používať na analýzu chýb v pozorovaniach. Obchvat túto vedu Ruskí vedci, či skôr Markov, Čebyšev a Djapunov, tiež nemohli. Na základe práce veľkých géniov založili tento predmet ako odvetvie matematiky. Tieto figúry fungovali už na konci devätnásteho storočia a vďaka ich prispeniu sa preukázali tieto javy:
Takže s históriou zrodu vedy a s hlavnými ľuďmi, ktorí ju ovplyvnili, je všetko viac-menej jasné. Teraz nastal čas objasniť všetky skutočnosti.
Predtým, ako sa dotknete zákonov a teorémov, stojí za to študovať základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Podujatie v ňom zohráva vedúcu úlohu. Táto téma je dosť objemná, ale bez nej nebude možné pochopiť všetko ostatné.
Udalosť v teórii pravdepodobnosti je akýkoľvek súbor výsledkov experimentu. Existuje pomerne veľa konceptov tohto fenoménu. Vedec Lotman, pracujúci v tejto oblasti, povedal, že v tomto prípade hovoríme o o tom, čo sa „stalo, hoci sa to možno nestalo“.
Náhodné udalosti (teória pravdepodobnosti im venuje osobitnú pozornosť) je pojem, ktorý zahŕňa absolútne akýkoľvek jav, ktorý má príležitosť nastať. Alebo naopak, tento scenár sa nemusí stať, ak je splnených veľa podmienok. Je tiež potrebné vedieť, že sú to náhodné udalosti, ktoré zachytávajú celý objem javov, ktoré sa vyskytli. Teória pravdepodobnosti naznačuje, že všetky podmienky sa môžu neustále opakovať. Je to ich správanie, ktoré sa nazýva „skúsenosť“ alebo „test“.
Spoľahlivá udalosť je jav, ktorý sa na sto percent v danom teste stane. Nemožná udalosť je teda taká, ktorá sa nestane.
Kombinácia dvojice akcií (podmienečne prípad A a prípad B) je jav, ktorý sa vyskytuje súčasne. Sú označené ako AB.
Súčet dvojíc udalostí A a B je C, inými slovami, ak sa stane aspoň jeden z nich (A alebo B), potom C dostaneme vzorec pre opísaný jav: C = A + B.
Inkongruentné udalosti v teórii pravdepodobnosti znamenajú, že dva prípady sa navzájom vylučujú. Za žiadnych okolností sa nemôžu stať súčasne. Spoločné udalosti v teórii pravdepodobnosti sú ich antipódom. Myslí sa tu to, že ak sa stalo A, potom to nijako nebráni B.
Opačné udalosti (teória pravdepodobnosti ich zvažuje veľmi podrobne) sú ľahko pochopiteľné. Najlepší spôsob, ako im porozumieť, je porovnávať. Sú takmer rovnaké ako nezlučiteľné udalosti v teórii pravdepodobnosti. Ich rozdiel však spočíva v tom, že v každom prípade musí nastať jeden z mnohých javov.
Rovnako pravdepodobné udalosti sú tie činy, ktorých opakovanie je rovnaké. Aby to bolo jasnejšie, môžete si predstaviť, že si hodíte mincou: stratiť jednu z jej strán je rovnako pravdepodobné, ako vypadnúť druhú.
Je jednoduchšie zvážiť priaznivú udalosť s príkladom. Povedzme, že existuje epizóda B a epizóda A. Prvým je hod kockou s nepárnym číslom a druhým je výskyt čísla päť na kocke. Potom sa ukáže, že A uprednostňuje B.
Nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sa premietajú iba do dvoch alebo viacerých prípadov a znamenajú nezávislosť akejkoľvek akcie od inej. Napríklad A je strata hláv pri hádzaní mince a B je vytiahnutie jacka z balíčka. Sú to nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti. V tomto bode to bolo jasnejšie.
Závislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sú tiež prípustné len pre ich množinu. Naznačujú závislosť jedného od druhého, to znamená, že jav B sa môže vyskytnúť iba vtedy, ak sa A už stalo, alebo naopak, nestalo sa, keď je to hlavná podmienka pre B.
Výsledkom náhodného experimentu pozostávajúceho z jednej zložky sú elementárne udalosti. Teória pravdepodobnosti vysvetľuje, že ide o jav, ktorý sa stal iba raz.
Pojmy „udalosť“ a „teória pravdepodobnosti“ boli teda uvedené vyššie. Teraz je čas zoznámiť sa priamo s dôležitými vzorcami. Tieto výrazy matematicky potvrdzujú všetky hlavné pojmy v tak zložitom predmete, akým je teória pravdepodobnosti. Aj tu zohráva veľkú úlohu pravdepodobnosť udalosti.
Je lepšie začať s tými základnými a predtým, ako s nimi začnete, stojí za to zvážiť, aké sú.
Kombinatorika je predovšetkým oblasťou matematiky, zaoberá sa štúdiom veľkého množstva celých čísel, ako aj rôznych permutácií samotných čísel a ich prvkov, rôznych údajov atď., čo vedie k vzniku množstva kombinácií. Okrem teórie pravdepodobnosti je toto odvetvie dôležité pre štatistiku, informatiku a kryptografiu.
Takže teraz môžeme prejsť k predstaveniu samotných vzorcov a ich definície.
Prvým z nich bude výraz pre počet permutácií, vyzerá takto:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
Rovnica sa použije len vtedy, ak sa prvky líšia iba v poradí ich usporiadania.
Teraz sa zváži vzorec umiestnenia, vyzerá takto:
A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!
Tento výraz sa vzťahuje nielen na poradie umiestnenia prvku, ale aj na jeho zloženie.
Tretia a zároveň posledná rovnica z kombinatoriky sa nazýva vzorec pre počet kombinácií:
C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!
Kombinácia sa vzťahuje na výbery, ktoré nie sú usporiadané podľa toho, platí pre ne toto pravidlo.
Bolo ľahké porozumieť kombinatorickým vzorcom, teraz môžete prejsť na klasickú definíciu pravdepodobností. Tento výraz vyzerá takto:
V tomto vzorci je m počet podmienok priaznivých pre udalosť A a n je počet absolútne všetkých rovnako možných a základných výsledkov.
Existuje veľké množstvo výrazy, článok nebude brať do úvahy všetky, ale dotkne sa najdôležitejších z nich, ako je napríklad pravdepodobnosť súčtu udalostí:
P(A + B) = P(A) + P(B) - táto veta slúži na sčítanie iba nekompatibilných udalostí;
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a toto je na pridávanie iba kompatibilných.
Pravdepodobnosť udalostí:
P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - táto veta platí pre nezávislé udalosti;
(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) – a toto je pre závislého.
Zoznam udalostí bude doplnený o vzorec udalostí. Teória pravdepodobnosti nám hovorí o Bayesovej vete, ktorá vyzerá takto:
P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n
V tomto vzorci je H 1, H 2, ..., H n úplná skupina hypotéz.
Ak si pozorne preštudujete ktorúkoľvek časť matematiky, nezaobíde sa bez cvičení a vzorových riešení. Rovnako aj teória pravdepodobnosti: udalosti a príklady sú tu neoddeliteľnou súčasťou, ktorá potvrdzuje vedecké výpočty.
Povedzme, že v balíčku kariet je tridsať kariet, počnúc hodnotou jedna. Ďalšia otázka. Koľko spôsobov je možné poskladať balíček tak, aby karty s hodnotou jedna a dva neboli vedľa seba?
Úloha bola stanovená, teraz prejdime k jej riešeniu. Najprv musíte určiť počet permutácií tridsiatich prvkov, na to vezmeme vzorec uvedený vyššie, ukáže sa P_30 = 30!.
Na základe tohto pravidla zistíme, koľko je možností zložiť balíček rôznymi spôsobmi, no treba od nich odpočítať tie, v ktorých sú prvá a druhá karta vedľa seba. Ak to chcete urobiť, začnime s možnosťou, keď je prvá nad druhou. Ukazuje sa, že prvá karta môže zaberať dvadsaťdeväť miest – od prvej do dvadsiatej deviatej a druhá karta od druhej do tridsiateho, čiže spolu dvadsaťdeväť miest pre dvojicu kariet. Zvyšok môže prijať dvadsaťosem miest v akomkoľvek poradí. To znamená, že na preusporiadanie dvadsiatich ôsmich kariet existuje dvadsaťosem možností P_28 = 28!
V dôsledku toho sa ukazuje, že ak zvážime riešenie, keď je prvá karta nad druhou, bude tu 29 ⋅ 28 možností navyše! = 29!
Pomocou rovnakej metódy musíte vypočítať počet nadbytočných možností pre prípad, keď je prvá karta pod druhou. Ukazuje sa tiež, že 29 ⋅ 28! = 29!
Z toho vyplýva, že existuje 2 ⋅ 29 možností navyše!, pričom potrebných spôsobov zostavenia paluby je 30! - 2 ⋅ 29!. Ostáva už len počítať.
30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28
Teraz musíte vynásobiť všetky čísla od jednej do dvadsaťdeväť a nakoniec všetko vynásobiť 28. Odpoveď je 2,4757335 ⋅〖10〗^32
V tomto probléme musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako umiestniť pätnásť zväzkov na jednu policu, ale za predpokladu, že celkovo je tridsať zväzkov.
Riešenie tohto problému je o niečo jednoduchšie ako predchádzajúce. Pomocou už známeho vzorca je potrebné vypočítať celkový počet aranžmán tridsiatich zväzkov po pätnásť.
A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 700 3
Odpoveď sa teda bude rovnať 202 843 204 931 727 360 000.
Teraz si dáme trochu náročnejšiu úlohu. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako usporiadať tridsať kníh na dve police, keďže jedna polica pojme iba pätnásť zväzkov.
Pred začatím riešenia by som chcel objasniť, že niektoré problémy možno vyriešiť niekoľkými spôsobmi a tento má dve metódy, ale obe používajú rovnaký vzorec.
V tomto probléme môžete prevziať odpoveď z predchádzajúcej, pretože tam sme vypočítali, koľkokrát môžete rôznymi spôsobmi naplniť policu pätnástimi knihami. Ukázalo sa, že A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.
Druhú policu vypočítame pomocou permutačného vzorca, pretože do nej možno umiestniť pätnásť kníh, pričom ich zostane len pätnásť. Používame vzorec P_15 = 15!.
Ukazuje sa, že súčet bude A_30^15 ⋅ P_15 spôsobov, ale okrem toho bude potrebné súčin všetkých čísel od tridsiatich do šestnástich vynásobiť súčinom čísel od jednej do pätnástich. dostane súčin všetkých čísel od jedna do tridsať, to znamená, že odpoveď sa rovná 30!
Ale tento problém sa dá vyriešiť aj inak – jednoduchšie. K tomu si viete predstaviť, že na tridsať kníh je jedna polica. Všetky sú umiestnené na tejto rovine, ale keďže podmienka vyžaduje, aby tam boli dve police, jednu dlhú sme pílili na polovicu, a tak nám vychádza dve pätnástky. Z toho vyplýva, že možností usporiadania môže byť P_30 = 30!.
Teraz zvážime verziu tretieho problému z kombinatoriky. Je potrebné zistiť, koľko spôsobov je možné usporiadať pätnásť kníh, za predpokladu, že si musíte vybrať z tridsiatich úplne rovnakých.
Na vyriešenie sa samozrejme použije vzorec pre počet kombinácií. Z podmienky je zrejmé, že poradie rovnakých pätnástich kníh nie je dôležité. Preto najprv musíte zistiť celkový počet kombinácií tridsiatich kníh z pätnástich.
C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520
To je všetko. Pomocou tohto vzorca v najkratší čas podarilo vyriešiť tento problém, odpoveď je teda 155 117 520.
Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete nájsť odpoveď na jednoduchý problém. Pomôže to však jasne vidieť a sledovať priebeh akcií.
Problém uvádza, že v urne je desať absolútne rovnakých loptičiek. Z toho sú štyri žlté a šesť modrých. Z urny sa vyberie jedna lopta. Musíte zistiť pravdepodobnosť, že dostanete modrú.
Na vyriešenie problému je potrebné označiť získanie modrej gule ako udalosť A. Tento experiment môže mať desať výsledkov, ktoré sú naopak elementárne a rovnako možné. Zároveň z desiatich je šesť priaznivých pre udalosť A. Riešime pomocou vzorca:
P(A) = 6:10 = 0,6
Použitím tohto vzorca sme zistili, že pravdepodobnosť získania modrej gule je 0,6.
Teraz bude prezentovaná možnosť, ktorá sa rieši pomocou vzorca pravdepodobnosti súčtu udalostí. Podmienkou sú teda dve krabice, prvá obsahuje jednu sivú a päť bielych guľôčok a druhá osem sivých a štyri biele gule. V dôsledku toho vzali jednu z nich z prvej a druhej škatule. Musíte zistiť, aká je šanca, že gule, ktoré dostanete, budú sivobiele.
Na vyriešenie tohto problému je potrebné identifikovať udalosti.
Podľa podmienok problému je potrebné, aby sa stal jeden z javov: AB‘ alebo A‘B. Pomocou vzorca dostaneme: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.
Teraz bol použitý vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti. Ďalej, aby ste našli odpoveď, musíte použiť rovnicu ich sčítania:
P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.
Takto môžete vyriešiť podobné problémy pomocou vzorca.
V článku boli prezentované informácie na tému „Teória pravdepodobnosti“, v ktorej pravdepodobnosť udalosti zohráva zásadnú úlohu. Samozrejme, nie všetko bolo zohľadnené, ale na základe prezentovaného textu sa teoreticky môžete zoznámiť s touto časťou matematiky. Daná veda môže byť užitočná nielen v profesionálne záležitosti, ale aj v každodenný život. S jeho pomocou môžete vypočítať akúkoľvek možnosť akejkoľvek udalosti.
Dotkol sa aj text významné dátumy v histórii formovania teórie pravdepodobnosti ako vedy a mená ľudí, ktorých práca bola do nej investovaná. Takto ľudská zvedavosť viedla k tomu, že sa ľudia naučili počítať aj náhodné udalosti. Kedysi ich to jednoducho zaujímalo, no dnes už o tom vedia všetci. A nikto nepovie, čo nás čaká v budúcnosti, aké ďalšie brilantné objavy súvisiace s uvažovanou teóriou sa urobia. Jedno je však isté – výskum nestojí na mieste!
Budeme predpokladať, že výsledok skutočný zážitok(experimentu) môže existovať jeden alebo viac vzájomne sa vylučujúcich výsledkov; tieto výsledky sú nerozložiteľné a vzájomne sa vylučujú. V tomto prípade sa experiment vraj končí jedným a jediným elementárny výsledok.
Súbor všetkých elementárnych udalostí, ktoré sa v dôsledku toho dejú náhodný experiment, nazveme to priestor elementárnych udalostí W (elementárna udalosť zodpovedá elementárnemu výsledku).
Náhodné udalosti(udalosti), budeme nazývať podmnožiny priestoru elementárnych udalostí W .
Príklad 1 Hodime si raz mincou.
Minca môže padnúť s číslom hore - elementárny dej w c (alebo w 1), alebo s erbom - elementárny dej w Г (alebo w 2).
Príklad 2. Raz hodíme kockou. V tomto experimente je priestor elementárnych udalostí W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde w i- strata i bodov. Udalosť A- získanie párneho počtu bodov, A= (š 2 , š 4 , š 6 ), A W.
Príklad 3. Bod je umiestnený náhodne (náhodne) na segmente. Meria sa vzdialenosť bodu od ľavého konca segmentu. V tomto experimente je priestor elementárnych udalostí W = množina reálnych čísel na jednotkovej úsečke.
Presnejšie, formálne, elementárne udalosti a priestor elementárnych udalostí sú opísané nasledovne.
Priestor elementárnych dejov je ľubovoľná množina W, W =(w). Prvky w tejto množiny W sa nazývajú elementárne udalosti .
Koncepty elementárna udalosť, udalosť, priestor elementárnych udalostí, sú pôvodné koncepty teórie pravdepodobnosti.
Nie je možné bližšie popísať priestor elementárnych udalostí. Na popis každého reálneho modelu sa vyberie zodpovedajúci priestor W. Udalosť W sa volá spoľahlivý
udalosť. Spoľahlivá udalosť nemôže nastať ako výsledok experimentu.
vždy sa stane i Príklad 4. Raz hodíme kockou. i Spoľahlivá udalosť je, že počet hodených bodov nie je menší ako jeden a nie je väčší ako šesť, t.j. W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w
- strata
bodov, je spoľahlivá udalosť. Nemožná udalosť je prázdna množina..
Nemožná udalosť nemôže nastať ako výsledok experimentu sa nikdy nestane.
Náhodná udalosť môže, ale nemusí nastať ako výsledok experimentu
sa niekedy stáva A Príklad 5. Raz hodíme kockou. A Hodiť viac ako šesť bodov je nemožná udalosť.
Opak udalosti A nazývaná udalosť spočívajúca v tom, že udalosť i Príklad 4. Raz hodíme kockou. i sa nestalo. Označené , . A Príklad 6. Raz hodíme kockou.
Udalosť
A A potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w okuliare, = (w2,w4,w6), =. .Nekompatibilné udalosti sa nazývajú udalosti A B potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w, pre ktoré A A B = Príklad 7. Raz hodíme kockou. A= (š 2 , š 4 , š 6 ), Udalosť- hodenie párnym počtom bodov, príp A- počet stratených bodov je menší ako dva. Udalosť B A A pozostáva z hodenia párnym počtom bodov menším ako dva. To je nemožné, B=
Suma(w 1), A A potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w je udalosť pozostávajúca zo všetkých základných udalostí patriacich k jednej z udalostí A alebo B. Určené A+ B.
Príklad 8. Raz hodíme kockou. V tomto experimente priestor elementárnych dejov W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde elementárny dej w i Príklad 4. Raz hodíme kockou. i bodov. A Udalosť A potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w Udalosť- získanie párneho počtu bodov,
Udalosť A+ potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w = (w 5, w 6). A(w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) je, že buď bol hodený párny počet bodov, alebo počet bodov väčší ako štyri, t.j. došlo k udalosti B., alebo udalosť A+ potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w To je zrejmé
Dielo(w 1), A W. potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w A A W. B. Určené je udalosť pozostávajúca zo všetkých elementárnych udalostí, ktoré súčasne patria k udalostiam.
AB Príklad 9. Raz hodíme kockou. V tomto zážitku priestor elementárnych udalostí W = ( i Príklad 4. Raz hodíme kockou. i bodov. A Udalosť A w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde elementárny dej w potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w= (w 2 , w 4 , w 6 ), event Udalosť- získanie párneho počtu bodov,
Udalosť A potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w- hodenie o väčší počet bodov ako štyri, A spočíva v tom, že sa hádže párny počet bodov väčší ako štyri, t.j. došlo k obom udalostiam a udalosti potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w = a udalosť A potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w B, A
Rozdielom(w 1), A A potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w(w 6) A W. B. Určené je udalosť pozostávajúca zo všetkých elementárnych udalostí patriacich do.
, ale nepatrí A Udalosť A w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde elementárny dej w potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w= (w 2 , w 4 , w 6 ), event Udalosť A\B Príklad 10. Raz hodíme kockou. potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w = Udalosť A(w 5, w 6). Udalosť A\ W.
(w 2 ,w 4 ) je, že sa hádže párny počet bodov nepresahujúci štyri, t.j. došlo k udalosti
a udalosť sa nestala 
.
B, A\B
, (To je zrejmé)A+A=A, AA=A,.
Je ľahké dokázať rovnosť:
A+B
C=AC+BC
Definície súčtu a súčinu udalostí sa prenášajú do nekonečných sledov udalostí: - , udalosť pozostávajúca zo základných udalostí, z ktorých každá patrí aspoň k jednej z nich; , udalosť pozostávajúca z elementárnych udalostí, z ktorých každá patrí súčasne všetkým. Nech W je ľubovoľný priestor elementárnych udalostí a takto
množina náhodných udalostí, pre ktoré platí: W , AB, A+B a A\B, ak A a B. : (A Zavolá sa numerická funkcia P definovaná na množine udalostí A pravdepodobnosť, ; Ak
P pre akúkoľvek klesajúcu postupnosť udalostí (.
i )od ,, tak, že , platí rovnosť.
Volajú trojku
pravdepodobnostný priestor
Téma 5: Prvky teórie pravdepodobnosti
Neexistuje žiadny telegram, žiadny list.
Existuje však slepá hazardná hra.
A ak práve vyjdete na nástupište,
Všetci dosť často hovoríme „je to neuveriteľné“, „je pravdepodobnejšie, že...“, „nepravdepodobné“, „so stopercentnou pravdepodobnosťou sa dá povedať, že...“, keď sa snažíme predpovedať výskyt tohto resp. tej udalosti. V tomto prípade sa zvyčajne spoliehame na intuíciu, životná skúsenosť, zdravý rozum atď. Takéto hrubé odhady sa však veľmi často ukážu ako nedostatočné: niekedy je dôležité vedieť ako dlho alebo v akom čase krát je výskyt jednej náhodnej udalosti pravdepodobnejší ako inej. Inými slovami, potrebujeme presné kvantitatívne odhady, musíme vedieť číselne charakterizovať možnosť výskytu konkrétnej udalosti. Odvetvie matematiky venované štúdiu kvantitatívnych odhadov náhodných udalostí sa nazýva teória pravdepodobnosti.
Za jej zakladateľov sa považujú Pierre Fermat a Blaise Pascal. Títo Francúzi vedci XVII storočia ako prvé našli kľúč ku kvantifikácii pravdepodobnosti udalosti. Použili metódu, ktorá sa neskôr nazývala kombinatorická analýza alebo jednoduchšie kombinatorika.
Teraz však nebudeme hovoriť ani o predmete, ani o obsahu teórie pravdepodobnosti a kombinatoriky, ale jednoducho uvedieme príklad, ktorý ilustruje všetky vyššie uvedené slová.
Šéf napísal 10 rôznych listov a poveril svojho asistenta, aby napísal 10 obálok s požadovanými adresami. Urobil tak, no zvyšok delegoval na tajomníka. Túto dôležitú úlohu vykonávala formálne, to znamená, že listy vkladala do obálok, pričom nevenovala pozornosť adresám. Aká je pravdepodobnosť, že ani jeden list neskončil v správnej obálke? Odpoveď sa ukazuje ako prekvapivo veľká: pravdepodobnosť takejto rozsiahlej chyby presahuje 36 %!
Náhodné udalosti a ich pravdepodobnosť
Vyvolá sa akákoľvek akcia, jav, pozorovanie s niekoľkými rôznymi výsledkami, realizované za daného súboru podmienok test .
Napríklad opakované hádzanie mince, proces výroby súčiastky, sú testy.
Výsledok tejto akcie alebo pozorovania bude vyvolaný udalosť .
Napríklad výskyt čísla pri hode mincou, zasiahnutie cieľa pri streľbe sú udalosti.
Ak máme záujem o akúkoľvek konkrétnu udalosť zo všetkých možných, tak ju zavoláme vyhľadávaný .
Udalosti sú zvyčajne určené veľkými písmenami latinská abeceda.
Mnoho hier používa kocky. Kocka má 6 strán, každá strana má na sebe vyznačený iný počet bodiek - od 1 do 6. Hráč hodí kockou a pozrie sa, koľko bodiek je na spadnutej strane (na strane, ktorá sa nachádza navrchu) . Pomerne často sa body na povrchu kocky nahrádzajú zodpovedajúcim číslom a potom sa hovorí o hodení 1, 2 alebo 6. Hádzanie kockou možno považovať za zážitok, experiment, test a získaný výsledok je výsledkom testu alebo elementárnej udalosti. Ľudia majú záujem uhádnuť výskyt tejto alebo tej udalosti a predpovedať jej výsledok. Aké predpovede môžu urobiť, keď hodia kockou? Napríklad tieto:
1) udalosť A - objaví sa číslo 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6;
2) udalosť IN - objaví sa číslo 7, 8 alebo 9;
3) udalosť S - objaví sa číslo 1.
Udalosť A,čo sa predpovedalo v prvom prípade, určite príde. Vo všeobecnosti sa nazýva udalosť, ktorá sa v danom zážitku určite vyskytne spoľahlivá udalosť .
Udalosť 5, predpovedaná v druhom prípade, sa nikdy nestane, je to jednoducho nemožné. Vo všeobecnosti sa nazýva udalosť, ktorá v danom zážitku nemôže nastať nemožné podujatie .
Čo si myslíte o udalosti S,čo sa predpovedalo v treťom prípade, stane sa to alebo nie? Na túto otázku nevieme s úplnou istotou odpovedať, keďže 1 môže a nemusí vypadnúť. Udalosť, ktorá môže alebo nemusí nastať v danom zážitku, sa nazýva náhodná udalosť .
Jeden zo zakladateľov matematickej štatistiky, švédsky vedec Harald Kramer, napísal: „Zjavne nie je možné presne definovať, čo sa myslí slovom „náhodný“. Význam tohto slova najlepšie vysvetlia príklady.“
Budeme sa riadiť touto radou.
Príklad 1. Všetky dvojciferné čísla sú napísané na kartičkách. Peťa náhodne vybral jednu kartu. Opíšte nasledujúce udalosti ako isté, nemožné alebo náhodné:
a) udalosť A - zvolená karta obsahuje prvočíslo;
b) udalosť IN - na karte bolo zložené číslo;
c) udalosť S - na karte bolo číslo, ktoré nebolo ani prvočíslo, ani zložené;
d) udalosť D – na karte je párne alebo nepárne číslo.
Riešenie. Udalosti A A IN náhodné, pretože sa môžu alebo nemusia stať. Udalosť S nemožné: zapamätajte si definíciu prvočísel a zložených čísel. Udalosť D spoľahlivé, pretože každé dvojciferné číslo je párne alebo nepárne.
Keď uvažujete o výskyte určitej udalosti, s najväčšou pravdepodobnosťou nepoužijete slovo „pravdepodobne“. Napríklad, ak je dnes streda, zajtra je štvrtok, je to spoľahlivá udalosť. V stredu nepoviete: „Pravdepodobne zajtra je štvrtok,“ poviete stručne a jasne: „Zajtra je štvrtok“. Pravda, ak ste naklonení krásne frázy, potom môžete povedať toto: "So stopercentnou pravdepodobnosťou hovorím, že zajtra je štvrtok." Naopak, ak je dnes streda, potom je začiatok piatku zajtra nemožná udalosť. Pri hodnotení tejto udalosti v stredu môžete povedať: "Som si istý, že zajtra nie je piatok." Alebo toto: "Je neuveriteľné, že zajtra je piatok." No, ak máte sklon ku krásnym frázam, môžete povedať toto: „Pravdepodobnosť, že zajtra je piatok, je nulová. Spoľahlivá udalosť je teda udalosť, ktorá sa vyskytuje za daných podmienok so stopercentnou pravdepodobnosťou(t. j. vyskytujúce sa v 10 prípadoch z 10, v 100 prípadoch zo 100 atď.). Nemožná udalosť je udalosť, ktorá za daných podmienok nikdy nenastane, udalosť s nulovou pravdepodobnosťou.
Ale, bohužiaľ (a možno našťastie), nie všetko v živote je také jasné a presné: vždy to bude (určitá udalosť), nikdy nebude (nemožná udalosť). Najčastejšie sa stretávame s náhodnými udalosťami, z ktorých niektoré sú pravdepodobnejšie, iné menej pravdepodobné. Zvyčajne ľudia používajú slová „pravdepodobnejšie“ alebo „menej pravdepodobné“, ako sa hovorí, z rozmaru, na základe toho, čo nazývajú zdravý rozum. Takéto odhady sa však veľmi často ukážu ako nedostatočné, pretože je dôležité vedieť ako dlho percent pravdepodobne náhodná udalosť resp koľkokrát jedna náhodná udalosť je pravdepodobnejšia ako iná. Inými slovami, potrebujeme presné kvantitatívne charakteristiky, musíte vedieť charakterizovať pravdepodobnosť číslom.
V tomto smere sme už urobili prvé kroky. Povedali sme, že pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti je charakterizovaná ako na sto percent, a pravdepodobnosť výskytu nemožnej udalosti je nula. Vzhľadom na to, že 100 % sa rovná 1, ľudia sa zhodli na nasledujúcom:
1) pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa považuje za rovnakú 1;
2) pravdepodobnosť nemožnej udalosti sa považuje za rovnakú 0.
Ako vypočítať pravdepodobnosť náhodnej udalosti? Veď sa aj stalo náhodou, To znamená, že nedodržiava zákony, algoritmy ani vzorce. Ukazuje sa, že vo svete náhodnosti platia určité zákony, ktoré umožňujú vypočítať pravdepodobnosti. Toto je odvetvie matematiky, ktoré sa nazýva - teória pravdepodobnosti.
Urobme nasledujúci experiment. Hodíme kockou (100-krát) a výsledok zaznamenáme do tabuľky.
| T | n | r | |
| 0,19 | |||
| 0,14 | |||
| 0,2 | |||
| 0,14 | |||
| 0,22 | |||
| 0,11 |
číslo T znamená počet výsledkov hodov, v ktorých sa objavil počet bodov uvedený v príslušnom riadku. číslo n– toto je celkový počet hodov kockami (skúšok). číslo r volal absolútna frekvencia udalosti a nachádza sa podľa vzorca: . Ak budeme pokračovať v hádzaní kockou, môžeme si všimnúť, že absolútne frekvencie udalostí " rolka 1», « rolka 2»… « rolka 6» sa stanú približne rovnakými, t.j. usilujte sa o číslo 0,1666... = . Absolútna frekvencia náhodnej udalosti sa tiež nazýva skúsený alebo štatistická pravdepodobnosť udalosti.
Často sa to stáva opakovanie rovnaká skúsenosť je nemožná. V tomto prípade ide o tzv klasický , alebo predexperimentálna pravdepodobnosť .
SCHÉMA KLASICKEJ PRAVDEPODOBNOSTI: Nájdenie pravdepodobnosti udalosti A Pri vykonávaní nejakého experimentu by ste mali:
1) nájdite číslo N všetky možné výsledky tejto skúsenosti;
2) prijať predpoklad rovnakej pravdepodobnosti (rovnakej možnosti) všetkých týchto výsledkov;
3) nájdite množstvo N(A) tie výsledky skúsenosti, v ktorých sa udalosť vyskytuje A;
4) nájdite kvocient, bude sa rovnať pravdepodobnosti udalosti A.
Akceptovaná pravdepodobnosť udalosti A označovať: R(A). Vysvetlenie tohto označenia je veľmi jednoduché: slovo „pravdepodobnosť“ vo francúzštine je pravdepodobnosť, po anglicky - pravdepodobnosť. Označenie používa prvé písmeno slova.
Pomocou tohto zápisu pravdepodobnosť udalosti A podľa klasickej schémy možno nájsť pomocou vzorca.
Často sú všetky body vyššie uvedenej klasickej pravdepodobnostnej schémy vyjadrené jednou pomerne dlhou frázou.
KLASICKÁ DEFINÍCIA PRAVDEPODOBNOSTI Pravdepodobnosť udalosti A počas určitého testu je pomer počtu výsledkov, v dôsledku ktorých nastane udalosť A, k celkovému počtu všetkých rovnako možných výsledkov tohto testu.
Príklad 2 Nájdite pravdepodobnosť, že pri jednom hode kockou bude výsledok: a) 4; b) 5; c) párny počet bodov; d) počet bodov väčší ako 4; e) počet bodov nedeliteľný tromi.
Riešenie. Celkom k dispozícii N= 6 možných výsledkov: vypadávajúca stena kocky s počtom bodov rovným 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6. Domnievame sa, že žiadny z nich nemá oproti ostatným žiadne výhody, t.j. akceptujeme predpoklad o ekvipravdepodobnosť tieto výsledky.
a) Presne v jednom z výsledkov nastane udalosť A, ktorá nás zaujíma – objaví sa číslo 4 To znamená N(A) = 1 A 
.
b) Riešenie a odpoveď sú rovnaké ako v predchádzajúcom odseku.
c) Udalosť, ktorá nás zaujíma IN sa stane presne v troch prípadoch, keď je počet bodov 2, 4 alebo 6. To znamená N(B) = 3 A 
.
d) Udalosť C, ktorá nás zaujíma, nastane práve v dvoch prípadoch, keď padne počet bodov 5 alebo 6, to znamená e) Zo šiestich možných vyžrebovaných čísel štyri (1, 2, 4 a 5) nie násobok troch a zvyšné dva (3 a 6) sú deliteľné tromi. To znamená, že pre nás zaujímavá udalosť sa vyskytuje presne v štyroch zo šiestich možných a rovnako pravdepodobných výsledkov experimentu. Preto sa ukazuje, že odpoveď je .
Odpoveď: a) ; b) ; V); G); d) .
Skutočná kocka sa môže líšiť od tej ideálnej. (modelka) kocka, preto je na opis jej správania potrebný presnejší a podrobnejší model, ktorý zohľadňuje výhody jednej tváre oproti druhej, možnú prítomnosť magnetov atď. Ale „diabol je v detailoch“ a väčšia presnosť vedie spravidla k väčšej zložitosti a získanie odpovede sa stáva problémom. Obmedzíme sa na zváženie najjednoduchšieho pravdepodobnostného modelu, kde sú všetky možné výsledky rovnako pravdepodobné.
Poznámka 1. Pozrime sa na ďalší príklad. Bola položená otázka: „Aká je pravdepodobnosť, že dostanete trojku na jeden hod? Študent odpovedal: "Pravdepodobnosť je 0,5." A svoju odpoveď vysvetlil: „Buď prídu traja, alebo nie. To znamená, že sú celkovo dva výsledky a presne v jednom z nich nastane udalosť, ktorá nás zaujíma. Použitím klasickej pravdepodobnostnej schémy dostaneme odpoveď 0,5.“ Je v tejto úvahe chyba? Na prvý pohľad nie. Stále však existuje, a to zásadným spôsobom. Áno, skutočne, trojka buď príde alebo nie, t.j. s týmto určením výsledku žrebovania N = 2. To je tiež pravda N(A) = 1 a samozrejme platí, že = 0,5, t.j. tri body pravdepodobnostnej schémy sa berú do úvahy, ale splnenie bodu 2) je pochybné. Samozrejme, z čisto právneho hľadiska máme právo veriť, že pri hodení trojky je rovnako pravdepodobné, že nevypadneme. Môžeme si to však myslieť bez toho, aby sme porušili naše vlastné prirodzené predpoklady o „rovnakosti“ hrán? Samozrejme, že nie! Tu máme do činenia so správnym uvažovaním v rámci určitého modelu. Len tento model sám o sebe je „nesprávny“, nezodpovedá skutočnému javu.
Poznámka 2. Pri diskusii o pravdepodobnosti nezabúdajte na nasledujúcu dôležitú okolnosť. Ak povieme, že pri hode kockou sa pravdepodobnosť získania jedného bodu rovná krát, jeden bod získate presne trikrát atď. Slovo pravdepodobné je špekulatívny. predpokladáme čo, s najväčšou pravdepodobnosťou sa stane. Pravdepodobne, ak hodíme kockou 600-krát, jeden bod sa objaví 100-krát alebo asi 100-krát. Ak máte čas a chuť, vykonajte experiment: hoďte kockou napríklad 60-krát a vytvorte tabuľku s bodmi 1, 2, 3, 4, 5, 6. S najväčšou pravdepodobnosťou (s najväčšou pravdepodobnosťou) všetky čísla vo vašej tabuľke budú okolo 10.
Príklad 3 Nájdite pravdepodobnosť, že pri dvojnásobnom hode kockou bude súčin hodených bodov: a) násobok 5; b) násobok 6.
Riešenie. Pri každom z dvoch hodov kockami je možných 6 výsledkov. Predpokladá sa, že tieto dva testy nezávislý jeden od druhého. Podľa pravidla násobenia to dostaneme túto skúsenosť má 6 6 = 36 výsledkov. Budeme konať podľa klasickej pravdepodobnostnej schémy, teda predpokladať, že všetko N = 36 výsledky sú rovnako pravdepodobné.
Je možné uviesť všetkých 36 výsledkov. Napríklad pomocou tabuľky. V tomto prípade sú všetky výsledky dvojice (1; 1), (1; 2), ..., (1; 6), (2; 1), (2; 2), ..., (6; 5 ), (6; 6).
a) Ak je 5 na prvom mieste, potom pre každú druhú číslicu je ich súčin násobkom 5. To dáva šesť možností: (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4 (5; 5), (5; 6). Ak je 5 na druhom mieste, získa sa ďalších šesť možností. Keďže 5 je prvočíslo, iné možnosti nie sú.
Zdá sa, že odpoveď je 6 + 6 = 12. Ale vypočítali sme jeden výsledok (5; 5) dvakrát. To znamená, že udalosť, ktorá nás zaujíma, je A sa vyskytuje presne v 11 z 36 možných rovnako pravdepodobných výsledkov, t.j. N(A)= 11, takže 
.
b) Ak je na prvom alebo druhom mieste 6, súčin vyžrebovaných čísel je deliteľný 6 a celkový počet takýchto možností ako v prípade a) bude 11. Ale súčin vyžrebovaných čísel čísla budú násobkom 6 v prípadoch, keď jedno z čísel , odlišné od 6, je párne a druhé je násobkom 3. Uveďme si výhodné možnosti: (2; 3), (4; 3), ( 3; 2), (3; 4) - celkom 4 možnosti. Ak ich pripočítame k 11 vyššie uvedeným možnostiam, dostaneme 15 priaznivých výsledkov, t.j. N(A) = 15. Takže, 
.
odpoveď: a) , b) .
Problémy hľadania pravdepodobnosti náhodných udalostí sú „dvaapolkrát“ ťažšie ako problémy v kombinatorike. Najprv používame kombinatoriku na hľadanie N– počet všetkých výsledkov experimentu. Druhýkrát je potrebné nájsť kombinatoriku N(A). Navyše, druhýkrát je to už zložitejšia kombinatorika. Nakoniec musíte vedieť vypočítať aj hodnotu zlomku. Takže dostaneme „dva a pol kombinatoriky“.
Teória pravdepodobnosti vznikla v 17. storočí pri analýze rôznych hazardných hier. Nie je preto prekvapujúce, že prvé príklady majú hravý charakter. Od príkladov s kockami prejdime k náhodnému ťahaniu hracích kariet z balíčka.
Príklad 4. Z balíčka 36 kariet sa súčasne náhodne vytiahnu 3 karty. Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi nie je žiadny piková dáma?
Riešenie. Máme sadu 36 prvkov. Vyberáme tri prvky, ktorých poradie nie je dôležité. To znamená, že je možné prijímať N= výsledky. Budeme postupovať podľa klasickej pravdepodobnostnej schémy, t.j. budeme predpokladať, že všetky tieto výsledky sú rovnako pravdepodobné.
Medzi všetkými N= výsledky by sme mali započítať tie, v ktorých nie je piková dáma (udal A). Pikovú dámu dáme bokom a zo zvyšných 35 kariet vyberieme 3 karty. Dostaneme všetky možnosti, ktoré nás zaujímajú. znamená, N(A) = .
Zostáva vypočítať požadovanú pravdepodobnosť podľa klasickej definície:
Aká je pravdepodobnosť, že medzi vybranými tromi kartami Existuje piková dáma? Počet všetkých takýchto výsledkov nie je ťažké vypočítať, stačí to N odpočítajte všetky výsledky, v ktorých pikové dámy nie, odčítajte číslo uvedené v príklade 4 N(A). Potom tento rozdiel N – N(A) v súlade s klasickou pravdepodobnostnou schémou treba rozdeliť na N. Tu je to, čo dostaneme: .
Vidíme, že existuje určitá súvislosť medzi pravdepodobnosťami dvoch udalostí. Ak udalosť A spočíva v neprítomnosti pikovej dámy a event IN spočíva v jeho prítomnosti medzi vybranými tromi kartami, teda
P(B) = 1 – P(A)
P(A) + P(B) = 1.
Bohužiaľ, v rovnosti P(A) + P(B) = 1 neexistujú žiadne informácie o súvislosti medzi udalosťami A a B; toto spojenie musíme mať na pamäti. Výhodnejšie by bolo dať udalosť IN meno a označenie jasne naznačujúce jeho spojenie s A.
Definícia 1. Udalosť IN volal opačná udalosťA a označujú B = , ak udalosť IN nastane vtedy a len vtedy, ak udalosť A nenastane.
TEÓZA 1. Ak chcete nájsť výsledky. Budeme postupovať podľa klasickej pravdepodobnostnej schémy, t.j. budeme predpokladať, že všetky tieto výsledky sú medzi sebou rovnako pravdepodobné.
Ak A– udalosť, o ktorú sa zaujímame, potom udalosť jej opačnú je to medzi vybranými piatimi kartami žiadna nie je karty diamantovej farby. To však znamená, že všetkých 5 kariet bolo vybraných z iných farieb kariet, teda z 36 - 9 = 27 kariet. znamená, N(A)= a ľahko zistíte pravdepodobnosť udalosti A: .
Teraz pomocou vety nájdeme pravdepodobnosť samotnej udalosti A: P(A) = 1 - Р() ≈ 0,786.
Ako vidíte, pravdepodobnosť je dosť vysoká. Mimochodom, užitočná pripomienka: bez kalkulačky môže byť ťažké vypočítať pravdepodobnosť viac či menej komplexnej udalosti.
Odpoveď: ≈ 0,786.
V teórii pravdepodobnosti sa používajú rôzne štandardné herné situácie. Ide o hádzanie mince alebo kocky, ťahanie kariet z balíčka. Pridajme k tomuto zoznamu ešte jednu, nazvime ju „urnová schéma“: v tmavej krabici (urne) sú na dotyk nerozoznateľné gule rôznych farieb. Vytiahne sa jedna alebo viac loptičiek. Vypočíta sa pravdepodobnosť, že vybrané loptičky majú určitú sadu farieb.
Príklad 6. Urna obsahuje 10 bielych a 11 červených loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 5 loptičiek. Aká je pravdepodobnosť, že medzi týmito 5 loptičkami sú práve 3 biele loptičky?
Riešenie. Predpokladá sa, že loptičky v urne sú nerozoznateľné, z 21 loptičiek sa náhodne vyberie 5 loptičiek, pričom poradie výberu nie je dôležité. Takže existuje N= spôsoby takejto voľby. Všetky tieto metódy považujeme za rovnako pravdepodobné.
Udalosť, ktorá nás zaujíma A nastane, keď sú 3 z 5 loptičiek biele a 2 červené. Z 10 bielych loptičiek v urne je možné vybrať 3 loptičky rôznymi spôsobmi a z 11 červených loptičiek je možné vybrať rôznymi spôsobmi 2 loptičky. Výber viacfarebných loptičiek považujeme za samostatný. Podľa pravidla násobenia zistíme, že zloženie loptičiek, ktoré potrebujeme, si môžeme zvoliť N(A) = spôsoby. Zostáva len vypočítať pravdepodobnosť.
(takmer jedna tretina).
Odpoveď: ≈ 0,324.
©2015-2019 stránka
Všetky práva patria ich autorom. Táto stránka si nenárokuje autorstvo, ale poskytuje bezplatné používanie.
Dátum vytvorenia stránky: 08.01.2018
