a na osi alebo nejakom inom vektore sú pojmy jeho geometrickej projekcie a numerickej (alebo algebraickej) projekcie. Výsledkom geometrickej projekcie bude vektor a výsledkom algebraickej projekcie bude nezáporné reálne číslo. Ale skôr, než prejdeme k týmto pojmom, spomeňme si potrebné informácie.
Hlavným konceptom je koncept samotného vektora. Aby sme zaviedli definíciu geometrického vektora, spomeňme si, čo je segment. Uveďme si nasledujúcu definíciu.
Definícia 1
Úsek je časť priamky, ktorá má dve hranice vo forme bodov.
Segment môže mať 2 smery. Na označenie smeru nazveme jednu z hraníc úsečky jej začiatok a druhú hranicu jej koniec. Smer je označený od jeho začiatku po koniec segmentu.
Definícia 2
Vektor alebo smerovaný segment bude segment, pre ktorý je známe, ktorá z hraníc segmentu sa považuje za začiatok a ktorá je jeho koniec.
Označenie: dvoma písmenami: $\overline(AB)$ – (kde $A$ je jeho začiatok a $B$ je jeho koniec).
Jedným malým písmenom: $\overline(a)$ (obr. 1).
Uveďme niekoľko ďalších pojmov súvisiacich s pojmom vektor.
Definícia 3
Dva nenulové vektory budeme nazývať kolineárne, ak ležia na tej istej priamke alebo na priamkach navzájom rovnobežných (obr. 2).
Definícia 4
Dva nenulové vektory budeme nazývať kosmerné, ak spĺňajú dve podmienky:
Zápis: $\overline(a)\overline(b)$
Definícia 5
Budeme volať dva nenulové vektory v opačnom smere, ak spĺňajú dve podmienky:
Zápis: $\overline(a)↓\overline(d)$
Definícia 6
Dĺžka vektora $\overline(a)$ bude dĺžka segmentu $a$.
Zápis: $|\overline(a)|$
Prejdime k určovaniu rovnosti dvoch vektorov
Definícia 7
Budeme nazývať dva vektory rovnaké, ak spĺňajú dve podmienky:
Ako sme už povedali, výsledkom geometrickej projekcie bude vektor.
Definícia 8
Geometrická projekcia vektora $\overline(AB)$ na os je vektor, ktorý sa získa takto: Na túto os sa premietne počiatočný bod vektora $A$. Získame bod $A"$ - začiatok požadovaného vektora. Na túto os sa premietne koncový bod vektora $B$. Získame bod $B"$ - koniec požadovaného vektora. Vektor $\overline(A"B")$ bude požadovaný vektor.
Zoberme si problém:
Príklad 1
Zostrojte geometrickú projekciu $\overline(AB)$ na os $l$ znázornenú na obrázku 6.
Nakreslíme kolmicu z bodu $A$ na os $l$, získame na nej bod $A"$. Ďalej nakreslíme kolmicu z bodu $B$ na os $l$, získame bod $B "$ na ňom (obr. 7).
Os je smer. To znamená, že projekcia na os alebo na smerovanú čiaru sa považuje za rovnakú. Projekcia môže byť algebraická alebo geometrická. Z geometrického hľadiska sa premietanie vektora na os chápe ako vektor a v algebrickom zmysle sa rozumie ako číslo. To znamená, že sa používajú koncepty projekcie vektora na os a numerické premietanie vektora na os.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ak máme os L a nenulový vektor A B →, potom môžeme zostrojiť vektor A 1 B 1 ⇀, označujúci priemety jeho bodov A 1 a B 1.
A 1 B → 1 bude projekcia vektora A B → na L.
Definícia 1
Premietanie vektora na os je vektor, ktorého začiatok a koniec sú projekciou začiatku a konca daného vektora. n p L A B → → je zvykom označovať priemet A B → na L. Na vytvorenie projekcie na L sa kolmice pustia na L.
Príklad 1
Príklad vektorovej projekcie na os.
Na rovine súradníc O x y je určený bod M 1 (x 1, y 1). Na zobrazenie vektora polomeru bodu M 1 je potrebné zostrojiť projekcie na O x a O y. Získame súradnice vektorov (x 1, 0) a (0, y 1).
Ak hovoríme o o priemete a → na nenulové b → alebo priemete a → do smeru b → , potom máme na mysli priemet a → na os, s ktorou sa zhoduje smer b →. Priemet a → na priamku definovanú b → je označený n p b → a → → . Je známe, že keď uhol medzi a → a b → , n p b → a → → a b → možno považovať za kosmerný. V prípade, že je uhol tupý, n p b → a → → a b → sú v opačných smeroch. V situácii kolmosti a → a b → a a → je nula, priemet a → v smere b → je nulový vektor.
Číselná charakteristika premietania vektora na os je číselná premietanie vektora na danú os.
Definícia 2
Numerické premietanie vektora na os je číslo, ktoré sa rovná súčinu dĺžky daného vektora a kosínusu uhla medzi daným vektorom a vektorom, ktorý určuje smer osi.
Číselná projekcia A B → na L sa označí n p L A B → a a → na b → - n p b → a → .
Na základe vzorca dostaneme n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , odkiaľ a → je dĺžka vektora a → , a ⇀ , b → ^ je uhol medzi vektormi a → a b → .
Získame vzorec na výpočet číselnej projekcie: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Platí pre známe dĺžky a → a b → a uhol medzi nimi. Vzorec je použiteľný, keď známe súradnice a → a b →, ale existuje zjednodušená forma.
Príklad 2
Zistite numerický priemet a → na priamku v smere b → s dĺžkou a → rovnou 8 a uhlom medzi nimi 60 stupňov. Podľa podmienky máme a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. To znamená, že dosadíme číselné hodnoty do vzorca n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
odpoveď: 4.
Pri známom cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → máme a → , b → ako skalárny produkt a → a b → . Podľa vzorca n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ môžeme nájsť číselnú projekciu a → smerujúcu pozdĺž vektora b → a dostaneme n p b → a → = a → , b → b → . Vzorec je ekvivalentný definícii uvedenej na začiatku odseku.
Definícia 3
Numerický priemet vektora a → na os zhodnú s b → je pomer skalárneho súčinu vektorov a → a b → k dĺžke b → . Vzorec n p b → a → = a → , b → b → je použiteľný na nájdenie numerickej projekcie a → na priamku zhodnú v smere s b → , so známymi súradnicami a → a b →.
Príklad 3
Dané b → = (- 3 , 4) . Nájdite numerickú projekciu a → = (1, 7) na L.
Riešenie
Na rovine súradníc n p b → a → = a → , b → b → má tvar n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , pričom a → = (a x , a y ) a b → = b x , b y . Na nájdenie numerickej projekcie vektora a → na os L potrebujete: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.
odpoveď: 5.
Príklad 4
Nájdite priemet a → na L, ktorý sa zhoduje so smerom b →, kde sú a → = - 2, 3, 1 a b → = (3, - 2, 6). Špecifikuje sa trojrozmerný priestor.
Riešenie
Vzhľadom na a → = a x , a y , a z a b → = b x , b y , b z vypočítame skalárny súčin: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Dĺžku b → nájdeme pomocou vzorca b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Z toho vyplýva, že vzorec na určenie číselnej projekcie a → bude: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Dosaďte číselné hodnoty: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Odpoveď: - 67.
Pozrime sa na súvislosť medzi a → na L a dĺžkou priemetu a → na L. Nakreslíme os L s pridaním a → a b → z bodu na L, za ktorým nakreslíme kolmicu z konca a → na L a nakreslíme priemet na L. Existuje 5 variácií obrázka:
najprv prípad s a → = n p b → a → → znamená a → = n p b → a → → , teda n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .
Po druhé prípad implikuje použitie n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , čo znamená n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
Po tretie prípad vysvetľuje, že keď n p b → a → → = 0 → dostaneme n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, potom n p b → a → → = 0 a n p b → a → = 0 = n p b → a → → .
Po štvrté prípad ukazuje n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , nasleduje n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .
Po piate prípad ukazuje a → = n p b → a → → , čo znamená a → = n p b → a → → , teda máme n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .
Definícia 4
Numerická projekcia vektora a → na os L, ktorá smeruje rovnakým spôsobom ako b →, má nasledujúcu hodnotu:
Príklad 5
Vzhľadom na dĺžku priemetu a → na L sa rovná 2. Nájdite číselnú projekciu a → za predpokladu, že uhol je 5 π 6 radiánov.
Riešenie
Z podmienky je zrejmé, že tento uhol je tupý: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
odpoveď: - 2.
Príklad 6
Daná je rovina O x y z s vektorovou dĺžkou a → rovnou 6 3, b → (- 2, 1, 2) s uhlom 30 stupňov. Nájdite súradnice priemetu a → na os L.
Riešenie
Najprv vypočítame numerickú projekciu vektora a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .
Podľa podmienky je uhol ostrý, potom číselná projekcia a → = dĺžka priemetu vektora a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Tento prípad ukazuje, že vektory n p L a → → a b → sú v spoločnom smere, čo znamená, že existuje číslo t, pre ktoré platí rovnosť: n p L a → → = t · b → . Odtiaľ vidíme, že n p L a → → = t · b → , čo znamená, že môžeme nájsť hodnotu parametra t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 99 = 3.
Potom n p L a → → = 3 · b → so súradnicami priemetu vektora a → na os L rovným b → = (- 2 , 1 , 2), kde je potrebné hodnoty vynásobiť 3. Máme n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Odpoveď: (- 6, 3, 6).
Je potrebné zopakovať predtým naučené informácie o podmienke kolinearity vektorov.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Úvod ……………………………………………………………………………………………… 3
1. Hodnota vektora a skalára……………………………………………….4
2. Definícia priemetu, osi a súradnice bodu………………...5
3. Premietnutie vektora na os………………………………………………………...6
4. Základný vzorec vektorovej algebry………………………………………..8
Úvod:
Fyzika je neoddeliteľne spojená s matematikou. Matematika dáva fyzike prostriedky a techniky na všeobecné a presné vyjadrenie vzťahu medzi fyzikálnymi veličinami, ktoré sú objavené ako výsledok experimentu alebo teoretického výskumu Koniec koncov, hlavná metóda výskumu vo fyzike je experimentálna. To znamená, že vedec odhaľuje výpočty pomocou meraní. Označuje vzťah medzi rôznymi fyzikálnymi veličinami. Potom sa všetko preloží do jazyka matematiky. Sformovaný matematický model. Fyzika je veda, ktorá študuje najjednoduchšie a zároveň najviac všeobecné vzory. Úlohou fyziky je vytvoriť takýto obraz v našej mysli fyzický svet, ktorý najplnšie odráža jeho vlastnosti a poskytuje také vzťahy medzi prvkami modelu, ktoré medzi prvkami existujú.
Fyzika teda vytvára model sveta okolo nás a študuje jeho vlastnosti. Ale každý model je obmedzený. Pri tvorbe modelov konkrétneho javu sa berú do úvahy len vlastnosti a súvislosti, ktoré sú pre daný okruh javov podstatné. To je umenie vedca – vybrať si zo všetkej rozmanitosti to hlavné.
Fyzikálne modely sú matematické, ale matematika nie je ich základom. Kvantitatívne vzťahy medzi fyzikálnymi veličinami sa určujú ako výsledok meraní, pozorovaní a experimentálnych štúdií a sú vyjadrené iba v jazyku matematiky. Neexistuje však žiadny iný jazyk na vytvorenie fyzikálne teórie neexistuje.
1. Význam vektora a skaláru.
Vo fyzike a matematike je vektor veličina, ktorá je charakterizovaná svojou číselnou hodnotou a smerom. Vo fyzike existuje veľa dôležitých veličín, ktoré sú vektormi, napríklad sila, poloha, rýchlosť, zrýchlenie, krútiaci moment, hybnosť, intenzita elektrického a magnetického poľa. Môžu byť porovnané s inými veličinami, ako je hmotnosť, objem, tlak, teplota a hustota, ktoré možno opísať obyčajným číslom a nazývajú sa „ skaláre" .
Píšu sa buď obyčajným písmom, alebo číslicami (a, b, t, G, 5, −7....). Skalárne veličiny môžu byť kladné alebo záporné. Niektoré predmety štúdia môžu mať zároveň také vlastnosti, že úplný popis U ktorých sa znalosť len numerickej miery ukazuje ako nedostatočná, je potrebné tieto vlastnosti charakterizovať aj podľa smeru v priestore. Takéto vlastnosti sú charakterizované vektorovými veličinami (vektormi). Vektory sa na rozdiel od skalárov označujú tučnými písmenami: a, b, g, F, C....
Vektor je často označený písmenom obyčajným (nie tučným) písmom, ale so šípkou nad ním:
Modul vektora, teda dĺžka nasmerovaného priamkového segmentu, sa označuje rovnakými písmenami ako samotný vektor, ale normálnym (nie tučným) písmom a bez šípky nad nimi, alebo úplne rovnakým spôsobom. ako vektor (to znamená tučným alebo pravidelným písmom, ale so šípkou), ale označenie vektora je potom uzavreté zvislými pomlčkami.
Vektor je komplexný objekt, ktorý je súčasne charakterizovaný veľkosťou aj smerom.
Neexistujú ani pozitívne a negatívne vektory. Ale vektory sa môžu navzájom rovnať. To je, keď napríklad a a b majú rovnaké moduly a sú nasmerované rovnakým smerom. V tomto prípade je zápis pravdivý a= b. Malo by sa tiež pamätať na to, že pred symbolom vektora môže byť znamienko mínus, napríklad - c, toto znamienko však symbolicky naznačuje, že vektor -c má rovnaký modul ako vektor c, ale smeruje opačne. smer.
Vektor -c sa nazýva opak (alebo inverzný) vektora c.
Vo fyzike je každý vektor naplnený špecifickým obsahom a pri porovnávaní vektorov rovnakého typu (napríklad síl) môžu byť významné aj body ich aplikácie.
2. Určenie priemetu, osi a súradnice bodu.
Os- Toto je priamka, ktorá má určitý smer.
Os je označená nejakým písmenom: X, Y, Z, s, t... Zvyčajne sa na osi vyberie (ľubovoľne) bod, ktorý sa nazýva počiatok a spravidla sa označuje písmenom O. Od tohto bodu sa merajú vzdialenosti k iným bodom, ktoré nás zaujímajú.
Projekcia bodu na osi je základňa kolmice nakreslenej z tohto bodu na danú os. To znamená, že priemet bodu na os je bod.
Bodová súradnica na danej osi je číslo, ktorého absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (na zvolenej mierke) obsiahnutej medzi začiatkom osi a priemetom bodu na túto os. Toto číslo sa berie so znamienkom plus, ak je priemet bodu umiestnený v smere osi od jeho začiatku, a so znamienkom mínus, ak je v opačnom smere.
3. Premietnutie vektora na os.
Projekcia vektora na os je vektor, ktorý sa získa vynásobením skalárnej projekcie vektora na túto os a jednotkového vektora tejto osi. Napríklad, ak x – skalárna projekcia vektor a na os X, potom a x ·i je jeho vektorová projekcia na túto os.
Vektorovú projekciu označme rovnako ako samotný vektor, avšak s indexom osi, na ktorú sa vektor premieta. Vektorovú projekciu vektora a na os X teda označíme ako x (tučné písmeno označujúce vektor a dolný index názvu osi) resp.
(nízko tučné písmeno označujúce vektor, ale so šípkou navrchu (!) a dolným indexom názvu osi).
Skalárna projekcia vektor na os sa nazýva číslo, ktorej absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (na zvolenej mierke) uzavretého medzi priemetmi začiatočného bodu a koncového bodu vektora. Zvyčajne namiesto výrazu skalárna projekcia jednoducho hovoria - projekcia. Projekcia je označená rovnakým písmenom ako premietaný vektor (normálnym, nie tučným písmom), s nižším indexom (spravidla) názvu osi, na ktorú sa tento vektor premieta. Napríklad, ak sa vektor premieta na os X A, potom jeho priemet označíme x. Pri premietaní rovnakého vektora na inú os, ak je osou Y, bude jej projekcia označená ako y.
Na výpočet projekcie vektor na osi (napríklad os X) je potrebné odpočítať súradnicu začiatočného bodu od súradnice jeho koncového bodu, tj.
a x = x k − x n.
Priemet vektora na os je číslo. Okrem toho môže byť projekcia kladná, ak je hodnota x k väčšia ako hodnota x n,
záporné, ak je hodnota x k menšia ako hodnota x n
a rovná sa nule, ak x k sa rovná x n.
Projekciu vektora na os možno nájsť aj tak, že poznáme modul vektora a uhol, ktorý zviera s touto osou.
Z obrázku je zrejmé, že a x = a Cos α
To znamená, že priemet vektora na os sa rovná súčinu modulu vektora a kosínusu uhla medzi smerom osi a vektorový smer. Ak je uhol ostrý, potom
Cos α > 0 a a x > 0, a ak je tupý, potom kosínus tupého uhla je záporný a projekcia vektora na os bude tiež záporná.
Uhly merané od osi proti smeru hodinových ručičiek sa považujú za kladné a uhly merané pozdĺž osi sú záporné. Keďže však kosínus je párna funkcia, to znamená Cos α = Cos (− α), pri výpočte projekcií možno uhly počítať v smere aj proti smeru hodinových ručičiek.
Aby sme našli priemet vektora na os, musí sa modul tohto vektora vynásobiť kosínusom uhla medzi smerom osi a smerom vektora.
4. Základný vzorec vektorovej algebry.
Premietnime vektor a na osi X a Y pravouhlého súradnicového systému. Nájdite vektorové projekcie vektora a na týchto osiach:
a x = a x ·i a y = ay ·j.
Ale v súlade s pravidlom pridávania vektorov
a = a x + a y.
a = a x i + a y j.
Vektor sme teda vyjadrili z hľadiska jeho projekcií a vektorov pravouhlého súradnicového systému (alebo z hľadiska jeho vektorových projekcií).
Vektorové projekcie a x a a y sa nazývajú zložky alebo zložky vektora a. Operácia, ktorú sme vykonali, sa nazýva rozklad vektora pozdĺž osí pravouhlého súradnicového systému.
Ak je vektor uvedený v priestore, potom
a = a x i + a y j + a z k.
Tento vzorec sa nazýva základný vzorec vektorovej algebry. Samozrejme, že sa to dá napísať aj takto.
Mnoho fyzikálnych veličín je úplne určených špecifikovaním určitého čísla. Sú to napríklad objem, hmotnosť, hustota, telesná teplota atď. Takéto veličiny sa nazývajú skalárne. Z tohto dôvodu sa čísla niekedy nazývajú skaláre. Existujú však aj veličiny, ktoré sa určujú zadaním nielen čísla, ale aj určitého smeru. Napríklad, keď sa telo pohybuje, mali by ste uviesť nielen rýchlosť, akou sa telo pohybuje, ale aj smer pohybu. Rovnakým spôsobom pri štúdiu pôsobenia akejkoľvek sily je potrebné uviesť nielen hodnotu tejto sily, ale aj smer jej pôsobenia. Takéto množstvá sa nazývajú vektor. Na ich opis bol zavedený pojem vektor, ktorý sa ukázal byť užitočný pre matematiku.
Každá usporiadaná dvojica bodov A až B v priestore definuje riadený segment, t.j. segment spolu so smerom, ktorý je na ňom určený. Ak je bod A prvý, potom sa nazýva začiatok smerovaného segmentu a bod B je jeho koniec. Smer segmentu sa považuje za smer od začiatku do konca.
Definícia
Smerovaný segment sa nazýva vektor.
Vektor budeme označovať symbolom \(\overrightarrow(AB) \), pričom prvé písmeno označuje začiatok vektora a druhé - jeho koniec.
Vektor, ktorého začiatok a koniec sa zhodujú, sa nazýva nula a označuje sa ako \(\vec(0)\) alebo jednoducho 0.
Vzdialenosť medzi začiatkom a koncom vektora sa nazýva jeho dĺžka a označuje sa ako \(|\overrightarrow(AB)| \) alebo \(|\vec(a)| \).
Volajú sa vektory \(\vec(a) \) a \(\vec(b) \). kolineárne, ak ležia na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach. Kolineárne vektory môžu mať rovnaký alebo opačný smer.
Teraz môžeme formulovať dôležitý koncept rovnosti dvoch vektorov.
Definícia
O vektoroch \(\vec(a) \) a \(\vec(b) \) sa hovorí, že sú rovnaké (\(\vec(a) = \vec(b) \)), ak sú kolineárne, majú rovnaké smer a ich dĺžky sú rovnaké .
Na obr. 1 sú zobrazené nerovnaké vektory vľavo a rovnaké vektory \(\vec(a) \) a \(\vec(b) \) vpravo. Z definície rovnosti vektorov vyplýva, že ak sa daný vektor posunie rovnobežne so sebou samým, výsledkom bude vektor rovný danému. V tomto ohľade sa vektory v analytickej geometrii nazývajú zadarmo.
Nech os \(u\) a nejaký vektor \(\overrightarrow(AB)\) sú dané v priestore. Nakreslite roviny kolmé na os \(u\) cez body A a B. Označme A" a B" priesečníky týchto rovín s osou (pozri obrázok 2).
Priemet vektora \(\overrightarrow(AB) \) na os \(u\) je hodnota A"B" orientovaného segmentu A"B" na osi \(u\). Pripomeňme si to
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , ak sa smer \(\overrightarrow(A"B") \) zhoduje so smerom osi \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , ak je smer \(\overrightarrow(A"B") \) opačný ako smer osi \(u\),
Priemet vektora \(\overrightarrow(AB)\) na os \(u\) sa označí takto: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).
Veta
Priemet vektora \(\overrightarrow(AB) \) na os \(u\) sa rovná dĺžke vektora \(\overrightarrow(AB) \) vynásobenej kosínusom uhla medzi vektorom \ (\overrightarrow(AB) \) a os \( u\) , t.j.
Komentujte
Nech je zadané \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) a nejaká os \(u\). Aplikovaním vzorca vety na každý z týchto vektorov dostaneme
Nechajme sa dať v priestore pravouhlý systém súradnice Oxyz a ľubovoľný vektor \(\overrightarrow(AB)\). Ďalej, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Priemet vektora X, Y, Z \(\overrightarrow(AB)\) na súradnicové osi sú tzv. súradnice. Zároveň píšu
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
Veta
Bez ohľadu na dva body A(x 1 ; y 1 ; z 1) a B(x 2 ; y 2 ; z 2), súradnice vektora \(\overrightarrow(AB) \) sú určené nasledujúcimi vzorcami :
X = x2-x1, Y = y2-y1, Z = z2-z1
Komentujte
Ak vektor \(\overrightarrow(AB) \) opustí počiatok, t.j. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, potom sa súradnice X, Y, Z vektora \(\overrightarrow(AB) \) rovnajú súradniciam jeho konca:
X = x, Y = y, Z = z.
Z elementárnej geometrie je známe, že štvorec dĺžky uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov dĺžok jeho troch rozmerov. teda
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Ale \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); tak dostaneme
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
alebo
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Tento vzorec vyjadruje dĺžku ľubovoľného vektora prostredníctvom jeho súradníc.
Označme \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) uhly medzi vektorom \(\vec(a) \) a súradnicovými osami. Zo vzorcov na premietanie vektora na os a dĺžku vektora získame
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) sú tzv. smerové kosínusy vektora \(\vec(a) \).
Máme kvadratúru ľavej a pravej strany každej z predchádzajúcich rovníc a sčítanie získaných výsledkov
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
tie. súčet druhých mocnín smerových kosínusov ľubovoľného vektora sa rovná jednej.
Komentujte
Pôsobenie odčítacích vektorov je inverzné k pôsobeniu sčítania, t.j. rozdiel \(\vec(b) - \vec(a) \) vektory \(\vec(b) \) a \(\vec(a) \) je vektor, ktorý v súčte s vektorom \(\ vec(a ) \) dáva vektor \(\vec(b) \) (pozri obrázok).
Komentujte
Určením súčtu dvoch vektorov môžete nájsť súčet ľubovoľného počtu daných vektorov. Dajme napríklad tri vektory \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Sčítaním \(\vec(a) \) a \(\vec(b) \ získame vektor \(\vec(a) + \vec(b) \). Keď k tomu pridáme vektor \(\vec(c) \), dostaneme vektor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
Ak \(\lambda =0 \) alebo \(\vec(a) = \vec(0) \), potom sa súčin \(\lambda \vec(a) \) považuje za rovný nulovému vektoru.
Komentujte
Pomocou definície násobenia vektora číslom je ľahké dokázať, že ak vektory \(\vec(a) \) a \(\vec(b) \) sú kolineárne a \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), potom existuje (a len jedno) číslo \(\lambda \) také, že \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
1. Komutatívna vlastnosť sčítania
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Kombinatívna vlastnosť sčítania
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. Kombinatívna vlastnosť násobenia
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Rozdeľovacia vlastnosť týkajúca sa súčtu čísel
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. Distributívna vlastnosť vzhľadom na súčet vektorov
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Komentujte
Tieto vlastnosti lineárnych operácií majú zásadný význam, pretože umožňujú vykonávať bežné algebraické operácie s vektormi. Napríklad vďaka vlastnostiam 4 a 5 môžete vynásobiť skalárny polynóm vektorovým polynómom „termín po člene“.
Veta
Priemet súčtu dvoch vektorov na os sa rovná súčtu ich priemetov na túto os, t.j.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
Veta sa dá zovšeobecniť na prípad ľubovoľného počtu členov.
Veta
Keď sa vektor \(\vec(a) \) vynásobí číslom \(\lambda \), vynásobí sa týmto číslom aj jeho priemet na os, t.j. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)
Dôsledok
Ak \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) a \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), potom
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Dôsledok
Ak \(\vec(a) = (x;y;z) \), potom \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) pre ľubovoľné číslo \(\lambda \)
Odtiaľ sa to dá ľahko odvodiť podmienka kolinearity dvoch vektorov v súradniciach.
V skutočnosti, rovnosť \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) je ekvivalentná rovnosti \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) alebo
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) t.j. vektory \(\vec(a) \) a \(\vec(b) \) sú kolineárne práve vtedy, ak sú ich súradnice proporcionálne.
Nech vektory \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) sú jednotkové vektory súradnicových osí, t.j. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1\) a každý z nich je rovnako nasmerovaný s príslušnou súradnicovou osou (pozri obrázok). Trojica vektorov \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) sa nazýva základ.
Platí nasledujúca veta.
Veta
Akýkoľvek vektor \(\vec(a) \) je možné jednoznačne rozšíriť cez základ \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), t.j. prezentované ako
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
kde \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) sú nejaké čísla. 
