Vzťah medzi napätím a potenciálom.

Pre potenciálne pole existuje vzťah medzi potenciálnou (konzervatívnou) silou a potenciálnou energiou

kde ("nabla") je hamiltonovský operátor.

Pretože To

Znamienko mínus ukazuje, že vektor E smeruje k klesajúcemu potenciálu.

Pre grafický obrázok rozdelenia potenciálov využívajú ekvipotenciálne plochy - plochy, ktorých potenciál má vo všetkých bodoch rovnakú hodnotu.

Ekvipotenciálne plochy sa zvyčajne vykonáva tak, že potenciálne rozdiely medzi dvoma susednými ekvipotenciálnymi plochami sú rovnaké. Potom hustota ekvipotenciálnych plôch jasne charakterizuje intenzitu poľa v rôznych bodoch. Tam, kde sú tieto povrchy hustejšie, je intenzita poľa väčšia. Na obrázku bodkovaná čiara znázorňuje siločiary, plné čiary znázorňujú rezy ekvipotenciálnych plôch pre: kladný bodový náboj (a), dipól (b), dva náboje s rovnakým názvom (c), nabitý kov vodič komplexnej konfigurácie (d).

Pre bodový náboj potenciál preto sú ekvipotenciálne plochy sústredné gule. Na druhej strane ťahové čiary sú radiálne priame čiary. V dôsledku toho sú ťahové čiary kolmé na ekvipotenciálne plochy.

Dá sa ukázať, že vo všetkých prípadoch je vektor E kolmý na ekvipotenciálne plochy a vždy smeruje v smere klesajúceho potenciálu.

Príklady výpočtov najdôležitejších symetrických elektrostatických polí vo vákuu.

1. Elektrostatické pole elektrického dipólu vo vákuu.

Elektrický dipól (alebo dvojitý elektrický pól) je systém dvoch rovnako veľkých opačných bodových nábojov (+q,-q), ktorých vzdialenosť l je podstatne menšia ako vzdialenosť uvažovaných bodov poľa (l<< r).

Rameno dipólu l je vektor nasmerovaný pozdĺž osi dipólu od záporného k kladnému náboju a rovný vzdialenosti medzi nimi.

Elektrický moment dipólu re je vektor zhodný v smere s ramenom dipólu a rovný súčinu modulu náboja |q| na ramene ja:

Nech r je vzdialenosť bodu A od stredu osi dipólu. Potom, vzhľadom na to

2) Intenzita poľa v bode B na kolmici obnovenej k osi dipólu z jej stredu v

Bod B je rovnako vzdialený od nábojov +q a -q dipólu, takže potenciál poľa v bode B je nulový. Vektor Ёв smeruje opačne k vektoru l.

3) Vo vonkajšom elektrickom poli pôsobí na konce dipólu dvojica síl, ktorá má tendenciu otáčať dipól tak, že elektrický moment re dipólu sa otáča v smere poľa E (obr. a)).

Vo vonkajšom rovnomernom poli je moment dvojice síl rovný M = qElsin a or Vo vonkajšom nehomogénnom poli (obr. (c)) nie sú sily pôsobiace na konce dipólu totožné. a ich výslednica má tendenciu posunúť dipól do oblasti poľa s vyššou intenzitou - dipól je vtiahnutý do oblasti silnejšieho poľa.

2. Pole rovnomerne nabitej nekonečnej roviny.

Nekonečná rovina je nabitá konštantnou hustotou povrchu Napínacie čiary sú kolmé na uvažovanú rovinu a smerujú z nej v oboch smeroch.

Ako Gaussov povrch berieme povrch valca, ktorého generátory sú kolmé na nabitú rovinu a základne sú rovnobežné s nabitou rovinou a ležia pozdĺž rôzne strany od neho v rovnakých vzdialenostiach.

Pretože generátory valca sú rovnobežné s ťahovými čiarami, tok vektora napätia cez bočný povrch valca je nulový a celkový tok valcom sa rovná súčtu tokov cez jeho základne 2ES. Náboj obsiahnutý vo valci sa rovná . Podľa Gaussovej vety kde:

E nezávisí od dĺžky valca, t.j. Intenzita poľa v akejkoľvek vzdialenosti je rovnaká. Takéto pole sa nazýva homogénne.

Potenciálny rozdiel medzi bodmi ležiacimi vo vzdialenosti x1 a x2 od roviny je rovný

3. Pole dvoch nekonečných rovnobežných opačne nabitých rovín s rovnakými absolútnymi hodnotami hustoty povrchového náboja σ>0 a - σ.

Z predchádzajúceho príkladu vyplýva, že vektory napätia E 1 a E 2 prvej a druhej roviny majú rovnakú veľkosť a sú všade nasmerované kolmo na roviny. Preto sa v priestore mimo rovín navzájom kompenzujú a v priestore medzi rovinami celkové napätie . Preto medzi rovinami

(v dielektriku.).

Pole medzi rovinami je rovnomerné. Potenciálny rozdiel medzi rovinami.
(v dielektriku ).

4.Pole rovnomerne nabitého guľového povrchu.

Guľový povrch s polomerom R s celkovým nábojom q je nabitý rovnomerne s povrchovou hustotou

Keďže sústava nábojov a následne aj samotné pole je centrálne symetrické voči stredu gule, línie napätia smerujú radiálne.

Ako Gaussovu plochu zvolíme guľu s polomerom r, ktorá má spoločný stred s nabitou guľou. Ak r>R, potom sa celý náboj q dostane do vnútra povrchu. Podľa Gaussovej vety odkiaľ

Na r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Potenciálny rozdiel medzi dvoma bodmi ležiacimi vo vzdialenostiach r 1 a r 2 od stredu gule

(r1 >R,r2 >R), sa rovná

Mimo nabitej gule je pole rovnaké ako pole bodového náboja q umiestneného v strede gule. Vo vnútri nabitej gule nie je žiadne pole, takže potenciál je všade rovnaký a rovnaký ako na povrchu

Ekvipotenciálne plochy a siločiary elektrostatického poľa.

Chcel by som byť schopný vizualizovať elektrostatické pole. Skalárne potenciálne pole môže byť geometricky reprezentované ako množina ekvipotenciálne plochy ( v plochom prípade - čiary) alebo rovné plochy, ako ich nazývajú matematici:

Pre každý takýto povrch platí podmienka (podľa definície!):

(*)

Uveďme túto podmienku v ekvivalentnom zápise:

Tu patrí uvažovaná plocha, vektor kolmý na element plochy ( skalárny produkt nenulové vektory sú rovné nule práve za tejto podmienky). Máme možnosť určiť jednotkový normálový vektor k príslušnému plošnému prvku:

Ak sa vrátime k fyzike, dospejeme k záveru vektor intenzity elektrostatického poľa je kolmý na ekvipotenciálnu plochu tohto poľa!

Matematický obsah pojmu "gradient skalárneho poľa":

Smer vektora je smer, v ktorom funkcia rastie najrýchlejšie;

Toto je prírastok funkcie na jednotku dĺžky v smere maximálneho nárastu.

Ako vytvoriť ekvipotenciálnu plochu?

Nechajte ekvipotenciálnu plochu, daný rovnicou(*), prechádza cez bod v priestore so súradnicami ( x,y,z). Nastavme napríklad ľubovoľne malé posuny dvoch súradníc x=>x+dx A y=>y+dy. Z rovnice (*) určíme požadované posunutie dz tak, aby koncový bod zostal na uvažovanej ekvipotenciálnej ploche. Týmto spôsobom sa môžete „dostať“ do požadovaného bodu na povrchu.

Vektorová siločiara.

Definícia. Tangenta siločiary sa zhoduje v smere s vektorom definujúcim uvažované vektorové pole.

Vektor a vektor sú v smere rovnaké (t.j. navzájom rovnobežné), ak

Vo forme súradnicového zápisu máme:

Je ľahké vidieť, že platia nasledujúce vzťahy:

Rovnaký výsledok možno dosiahnuť, ak zapíšeme podmienku paralelnosti dvoch vektorov pomocou ich vektorového súčinu:

Takže máme vektorové pole. Zvážte elementárny vektor ako siločiarový prvok vektorového poľa.

V súlade s definíciou elektrického vedenia musia byť splnené tieto vzťahy:

(**)

Takto vyzerajú diferenciálne rovnice elektrické vedenie. Analytické riešenie tohto systému rovníc je možné získať vo veľmi zriedkavých prípadoch (pole bodového náboja, konštantné pole atď.). Ale vybudujte si graficky rodinu elektrické vedenie nenáročný.

Nechajte čiaru poľa prechádzať bodom so súradnicami ( x,y,z). V tomto bode poznáme hodnoty projekcií vektora napätia do súradnicových smerov. Zvolíme ľubovoľne malé miešanie, napr. x=>x+dx. Pomocou rovníc (**) určíme potrebné posuny D Y A dz. Presunuli sme sa teda na susedný bod siločiary V procese výstavby sa môže pokračovať.

NB! (Nota bene!). Elektrické vedenie úplne neurčuje vektor napätia. Ak je na silovom vedení špecifikovaný kladný smer, vektor napätia môže byť nasmerovaný buď v kladnom alebo zápornom smere (ale pozdĺž vedenia!). Siločiara neurčuje modul vektora (t. j. jeho veľkosť) uvažovaného vektorového poľa.

Vlastnosti zadaných geometrických objektov:

Elektrostatické pole možno charakterizovať súborom siločiar a ekvipotenciálnych čiar.

elektrické vedenie - je to čiara mentálne nakreslená v poli, začínajúca na kladne nabitom telese a končiaca na záporne nabitom tele, nakreslená tak, že dotyčnica k nej v ktoromkoľvek bode poľa udáva smer napätia v tomto bode .

Siločiary sa uzatvárajú na kladných a záporných nábojoch a nemôžu sa uzavrieť do seba.

Pod ekvipotenciálna plocha pochopiť množinu bodov poľa, ktoré majú rovnaký potenciál ().

Ak prerušíte elektrostatické pole sečnou rovinou, v reze budú viditeľné stopy priesečníka roviny s ekvipotenciálnymi plochami. Tieto stopy sa nazývajú ekvipotenciálne čiary.

Ekvipotenciálne vedenia sú uzavreté do seba.

Siločiary a ekvipotenciálne čiary sa pretínajú v pravom uhle.

R
Zoberme si ekvipotenciálnu plochu:

(keďže body ležia na ekvipotenciálnej ploche).

- skalárny súčin

Elektrostatické siločiary prenikajú cez ekvipotenciálny povrch pod uhlom 90°, potom pod uhlom medzi vektormi
sa rovná 90 stupňom a ich skalárny súčin sa rovná 0.

Rovnica ekvipotenciálnej čiary

Zvážte siločiaru:

N
intenzita elektrostatického poľa smeruje tangenciálne k siločiare (pozri definíciu siločiary) a prvok dráhy smeruje tiež , takže uhol medzi týmito dvoma vektormi je nula.

alebo

Rovnica poľnej čiary

Potenciálny gradient

Potenciálny gradient je miera potenciálneho nárastu v najkratšom smere medzi dvoma bodmi.

Medzi dvoma bodmi existuje určitý potenciálny rozdiel. Ak sa tento rozdiel vydelí najkratšou vzdialenosťou medzi odobratými bodmi, potom výsledná hodnota bude charakterizovať rýchlosť zmeny potenciálu v smere najkratšej vzdialenosti medzi bodmi.

Potenciálny gradient ukazuje smer najväčšieho nárastu potenciálu, číselne sa rovná napäťovému modulu a je voči nemu negatívne nasmerovaný.

Pri definovaní gradientu sú nevyhnutné dve ustanovenia:

Smer, ktorým sa berú dva blízke body, by mal byť taký, aby rýchlosť zmeny bola maximálna.

Smer je taký, že skalárna funkcia sa v tomto smere zvyšuje.

Pre kartézsky súradnicový systém:

Rýchlosť zmeny potenciálu v smere osi X, Y, Z:

;
;

Dva vektory sú rovnaké iba vtedy, ak sú ich projekcie rovnaké. Projekcia vektora napätia na os X rovná projekcii rýchlosti zmeny potenciálu pozdĺž osi X, brané s opačným znamienkom. To isté pre osi Y A Z.

;
;
.

Vo valcovom súradnicovom systéme bude mať výraz pre potenciálny gradient nasledujúci tvar.

Pre názornejšie grafické znázornenie polí sa okrem napäťových čiar používajú aj plochy s rovnakým potenciálom alebo ekvipotenciálne plochy. Ako už názov napovedá, ekvipotenciálna plocha je plocha, na ktorej majú všetky body rovnaký potenciál. Ak je potenciál daný ako funkcia x, y, z, potom rovnica ekvipotenciálnej plochy má tvar:

Čiary intenzity poľa sú kolmé na ekvipotenciálne plochy.

Dokážme toto tvrdenie.

Čiara a siločiara nech zvierajú určitý uhol (obr. 1.5).

Presuňme skúšobný náboj z bodu 1 do bodu 2 pozdĺž čiary. V tomto prípade poľné sily fungujú:

. (1.5)

To znamená, že práca vykonaná pohybom skúšobného náboja pozdĺž ekvipotenciálneho povrchu je nulová. Rovnakú prácu možno definovať aj iným spôsobom - ako súčin náboja modulom intenzity poľa pôsobiaceho na skúšobný náboj, veľkosťou posunutia a kosínusom uhla medzi vektorom a vektorom posunutia, t.j. kosínus uhla (pozri obr. 1.5):

.

Množstvo práce nezávisí od spôsobu jej výpočtu podľa (1.5), rovná sa nule; Z toho vyplýva, že a teda čo bolo potrebné dokázať.

Ekvipotenciálna plocha môže byť nakreslená cez ktorýkoľvek bod v poli. V dôsledku toho môžu byť takéto povrchy skonštruované nekonečná množina. Bolo však dohodnuté nakresliť povrchy tak, aby potenciálny rozdiel pre dva susediace povrchy bol všade rovnaký. Potom je možné podľa hustoty ekvipotenciálnych plôch posúdiť veľkosť intenzity poľa. V skutočnosti, čím sú ekvipotenciálne plochy hustejšie, tým rýchlejšie sa mení potenciál pri pohybe pozdĺž normály k povrchu.

Na obrázku 1.6a sú znázornené ekvipotenciálne plochy (presnejšie ich priesečníky s rovinou výkresu) pre pole bodového náboja. V súlade s povahou zmeny sa ekvipotenciálne plochy stávajú hustejšie, keď sa blížia k náboju. Obrázok 1.6b znázorňuje ekvipotenciálne plochy a ťahové čiary pre dipólové pole. Z obr. 1.6 je zrejmé, že pri súčasnom použití ekvipotenciálnych plôch a ťahových čiar je obraz poľa obzvlášť jasný.

Pre jednotné pole ekvipotenciálne plochy zjavne predstavujú systém rovín, ktoré sú od seba rovnako vzdialené, kolmé na smer intenzity poľa.

1.8. Vzťah medzi silou poľa a potenciálom

(potenciálny gradient)

Nech existuje ľubovoľné elektrostatické pole. V tomto poli nakreslíme dve ekvipotenciálne plochy tak, že sa navzájom líšia v potenciáli o veľkosť dφ(Obr. 1.7)

Vektor napätia smeruje kolmo k povrchu. Normálny smer je rovnaký ako smer osi x. Os Xťahaný z bodu 1 pretína povrch v bode 2.

Segment čiary dx predstavuje najkratšia vzdialenosť medzi bodmi 1 a 2. Práca vykonaná pri pohybe náboja pozdĺž tohto segmentu:

Na druhej strane, rovnakú prácu možno napísať ako:

Porovnaním týchto dvoch výrazov dostaneme:

kde symbol čiastočnej derivácie zdôrazňuje, že diferenciácia sa vykonáva len vzhľadom na X. Opakovanie podobných úvah pre osi r A z, môžeme nájsť vektor:

, (1.7)

kde sú jednotkové vektory súradnicové osi x, y, z.

Vektor definovaný výrazom (1.7) sa nazýva gradient skaláru φ . Pre ňu sa spolu s označením používa aj označenie. ("nabla") znamená symbolický vektor nazývaný hamiltonovský operátor

Ekvipotenciálne plochy sú plochy, kde má každý bod rovnaký potenciál. To znamená, že na ekvipotenciálnej ploche má elektrický potenciál konštantnú hodnotu. Takýto povrch je povrchom vodičov, pretože ich potenciál je rovnaký.

Predstavme si povrch, pre ktorý bude potenciálny rozdiel nulový pre dva body. Toto bude ekvipotenciálna plocha. Pretože potenciál na ňom je rovnaký. Ak uvažujeme ekvipotenciálnu plochu v dvojrozmernom priestore, povedzme na výkrese, potom bude mať tvar čiary. Práca síl elektrické pole podľa pohybu elektrického náboja pozdĺž tejto čiary sa bude rovnať nule.

Jednou z vlastností ekvipotenciálnych plôch je, že sú vždy kolmé na siločiary. Túto vlastnosť možno formulovať aj naopak. Akýkoľvek povrch, ktorý je vo všetkých bodoch kolmý na siločiary elektrického poľa, sa nazýva ekvipotenciál.

Také povrchy sa nikdy navzájom nepretínajú. Pretože by to znamenalo rozdiel v potenciáli v rámci jedného povrchu, čo je v rozpore s definíciou. Tiež sú vždy zatvorené. Plochy s rovnakým potenciálom nemôžu začať a ísť do nekonečna bez jasných hraníc.

Spravidla nie je potrebné na výkresoch zobrazovať celé povrchy. Častejšie zobrazujú kolmý rez k ekvipotenciálnym plochám. Takto degenerujú do radu. To sa ukazuje ako celkom postačujúce na odhad distribúcie tohto poľa. Pri grafickom znázornení sú plochy umiestnené v rovnakých intervaloch. To znamená, že medzi dvoma susednými povrchmi je pozorovaný rovnaký krok, povedzme jeden volt. Potom podľa hustoty čiar vytvorených prierezom ekvipotenciálnych plôch možno posúdiť silu elektrického poľa.

Uvažujme napríklad pole vytvorené bodovým elektrickým nábojom. Siločiary takéhoto poľa sú radiálne. To znamená, že začínajú v strede náboja a smerujú k nekonečnu, ak je náboj kladný. Alebo nasmerované na náboj, ak je záporný. Ekvipotenciálne povrchy takéhoto poľa budú mať tvar guľôčok sústredených na náboj a rozbiehajúcich sa od neho. Ak znázorníme dvojrozmerný rez, potom budú ekvipotenciálne čiary vo forme sústredných kruhov, ktorých stred je tiež umiestnený v náboji.

Obrázok 1 - ekvipotenciálne čiary bodového náboja

Pre rovnomerné pole, ako je napríklad pole medzi doskami elektrického kondenzátora, budú mať povrchy s rovnakým potenciálom tvar rovín. Tieto roviny sú umiestnené navzájom rovnobežne v rovnakej vzdialenosti. Je pravda, že na okrajoch platní bude obraz poľa skreslený v dôsledku okrajového efektu. Ale predstavíme si, že taniere sú nekonečne dlhé.

Obrázok 2 - ekvipotenciálne čiary rovnomerného poľa

Na zobrazenie ekvipotenciálnych čiar pre pole vytvorené dvoma nábojmi rovnakej veľkosti a opačného znamienka nestačí použiť princíp superpozície. Pretože v tomto prípade, keď sú dva obrazy bodových nábojov superponované, budú existovať priesečníky siločiar. Ale to nemôže byť, pretože pole nemôže byť nasmerované v dvoch rôznych smeroch naraz. V tomto prípade je potrebné problém vyriešiť analyticky.

Obrázok 3 - Obrázok poľa dvoch elektrických nábojov