S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
MODELOVANIE SYSTÉMOV
Návod
Federálna agentúra pre vzdelávanie
Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho vzdelávania odborné vzdelanie
Štátna chemicko-technologická univerzita v Ivanove
Medzinárodná univerzita obchodu a nových technológií (Inštitút)
S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV
MODELOVANIE SYSTÉMOV
pre študentov vysokých škôl.
Bobkov S.P. Modelovanie systémov: učebnica. príspevok / S.P. Bobkov,
TO. Bytev; Ivan. štátu chemická technológia univ. – Ivanovo, 2008. – 156 s. - ISBN
Účelom učebnice je poskytnúť študentom všeobecnú predstavu o moderných metódach technického a technického modelovania ekonomické systémy a predmetov.
Príručka pojednáva o všeobecných problémoch a modernej metodológii
technológia modelovania, spojité a diskrétne deterministické modely
delenia objektov a systémov, stochastické modely s diskrétnym a spojitým časom. Veľká pozornosť je venovaná metódam simulačného modelovania systémov s pravdepodobnostnými charakteristikami. Uvádza sa prehľad iných prístupov k modelovaniu zložitých systémov, ako je informačno-entropia neurónové siete a Petriho siete.
Učebnica je určená pre študentov odborov 080801 „Aplikovaná informatika“ a 230201
« Informačné systémy a technológie." Okrem toho môže byť príručka užitočná aj pre študentov iných odborov a oblastí.
Tabuľka 7. Il.92. Bibliografia: 10 titulov
Vydané rozhodnutím redakčnej a vydavateľskej rady Ivanov-
Ruská štátna chemicko-technologická univerzita.
Recenzenti:
Katedra aplikovanej matematiky, Ivanovo State Energy University; Doktor fyzikálnych a matematických vied V.A. Sokolov (Yaroslavl State University).
ISBN 5-9616-0268-6 © Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania Ivanovo Štátna chemicko-technologická univerzita, 2008
1.5. Koncept schémy matematického modelovania. . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Všeobecná technika vytváranie matematických modelov. . . . . . . . . . . 13
1.7. Základné pojmy systematického prístupu k tvorbe
matematické modely. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. DETERMINISTICKÉ MODELY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Matematické modely technických objektov. . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Komponentné funkcionálne rovnice objektov. . . . . 20
2.1.2. Fázové premenné a ich analógie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3. Topologické rovnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4. Príklady tvorby modelov technických objektov. . . . . . . 25
2.1.5. Modely technologických zariadení. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Konečné automaty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1. Koncept konečného automatu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2. Metódy popisu a triedy konečných automatov. . . . . . . . 32
2.2.3. Iné typy konečných automatov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. STOCHASTICKÉ MODELY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1. Prvky Markovovej teórie náhodné procesy. . . . . . . . . . . 39
3.1.1. Koncept náhodného procesu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2. Diskrétne Markovove reťaze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3. Stacionárne rozdelenie pravdepodobnosti. . . . . . . . . . . . . 43
3.1.4. Nepretržité Markovove reťazce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.5. Rovnice A.N. Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.6. Streamy udalostí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2. Základy teórie radenia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1. Zovšeobecnená bloková schéma QS. Možnosti
a vlastnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2. QS s otvoreným koncom s čakaním a požiadavkami pacienta. 58
3.2.3. Limitné varianty QS s otvorenou slučkou. . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.4 Všeobecný prípad QS s otvorenou slučkou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.5. Uzavreté QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.6. Siete radenia
s jednoduchými tokmi udalostí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3. Pravdepodobnostné automaty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
| 4. SIMULAČNÉ MODELOVANIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.1. Definícia simulačnej metódy. . . . . . . . . . | |
| 4.2. Základné pojmy simulačného modelovania. . . . . . . . . . . . | |
| 4.3. Hlavné fázy simulačného modelovania. . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.4. Čas v simulačných modeloch. Pseudoparalelizmus. . . . . . . . . . | |
| 4.5. Zovšeobecnené simulačné algoritmy. . . . . . . | |
| 4.6. Modelovanie náhodných faktorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.1. Základné modelovanie náhodné premenné. . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.2. Modelovanie spojitých náhodných premenných | |
| s náhodné rozdelenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.6.3. Modelovanie diskrétnych náhodných premenných. . . . . . . . . | |
| 4.6.4. Modelovanie náhodné udalosti a ich toky. . . . . . . | |
| 4.7 Modelovanie náhodných procesov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.7.1 Diskrétne Markovove reťaze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.7.2 Súvislé Markovove reťazce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8. Spracovanie a analýza výsledkov simulácií. | |
| 4.8.1. Odhad pravdepodobnostných parametrov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8.2. Odhad korelačných parametrov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 4.8.3. Výpočet časovo priemerných parametrov QS. . . . . . . . . . . . | |
| 4.9. Plánovanie experimentov so simulačnými modelmi. . . . . | |
| 4.10. Všeobecné problémy simulačného modelovania. . . . . . . . . . . . | |
| 5. PREHĽAD ALTERNATÍVNYCH PRÍSTUPOV K MODELOVANIU | |
| KOMPLEXNÉ SYSTÉMY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1. Petriho siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.1. Definícia Petriho siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.2. Fungovanie Petriho siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.1.3. Analýza Petriho sietí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2. Neurónové siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.1. Koncept neurónovej siete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.2. Umelý neurón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.3. Hlavné typy aktivačných funkcií umelých | |
| neuróny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.4. Typy jednoduchých neurónových sietí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 5.2.5. Rekurentné a samoorganizujúce sa neurónové siete. . . | |
| 5.2.6. Všeobecné poznámky o používaní neurónových sietí. . . . | |
| 5.3. Informačno-entropický prístup k modelovaniu systému | |
| ZOZNAM ODPORÚČANÝCH ČÍTANÍ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| . . . . . . . . . |
ÚVOD
Modelovanie je univerzálna metóda získavania a využívania poznatkov o okolitom svete. Modeling využíva človek vždy pri cieľavedomej činnosti, najmä vo výskume. V moderných podmienkach narastá úloha a význam matematického modelovania, ktoré s rozvojom prostriedkov výpočtovej technikyčasto sa začali nazývať počítač.
Matematické (počítačové) modely vďaka svojej logike a striktnej formálnej povahe umožňujú identifikovať hlavné faktory, ktoré určujú vlastnosti skúmaných systémov a študovať ich reakcie na vonkajšie vplyvy a zmeny parametrov. Matematické modely sú často jednoduchšie a pohodlnejšie na použitie ako prirodzené (fyzikálne) modely. Umožňujú realizovať výpočtové experimenty, ktorých reálna realizácia je náročná alebo nemožná.
Učenie sa základných princípov matematického modelovania je neoddeliteľnou súčasťou prípravy špecialistov v technické oblastičinnosti. Disciplíny súvisiace so štúdiom hlavných aspektov modelovania objektov a systémov v povinné sú zahrnuté v príslušných učebných osnovách ako súčasti federálnych vzdelávacích štandardov.
Účelom tohto tutoriálu je konzistentná prezentácia moderných metód modelovania. Príručka je určená najmä študentom študujúcich v odboroch a odboroch „Informačné systémy“ a „Aplikovaná informatika (podľa odvetví.“ S prihliadnutím na skúsenosti s výučbou takýchto disciplín na technických univerzitách však autori považovali za vhodné neobmedzovať samy brať do úvahy len informácie - o systémoch, ale do textu zahrnúť aj úvahy o technických a technicko-ekonomických systémoch a objektoch.
Materiál manuálu je štruktúrovaný nasledovne. Prvá kapitola rozoberá všeobecnú problematiku a modernú metodiku modelovania, využitie systémového prístupu pri tvorbe matematických modelov. Druhá kapitola je venovaná úvahám o spojitých a diskrétnych deterministických modeloch objektov a systémov. Pri syntéze a analýze modelov technických objektov rôzneho fyzikálneho charakteru sa navrhuje použiť metódu analógií. Tretia kapitola študuje stochastické modely s diskrétnym a spojitým časom. Veľká pozornosť v príručke je venovaná metódam simulácie systémov s pravdepodobnostnými charakteristikami, ktoré tvoria obsah štvrtej kapitoly. Piata kapitola poskytuje prehľad ďalších prístupov k modelovaniu zložitých systémov, akými sú informačno-entropia, využitie neurónových sietí a Petriho sietí.
VŠEOBECNÉ POJMY MATEMATICKÉHO MODELOVANIA
Matematické modelovanie v užšom zmysle slova chápeme ako opis vo forme rovníc a nerovníc reálnych fyzikálnych, chemických, technologických, biologických, ekonomických a iných procesov. Aby bolo možné použiť matematické metódy Aby ste mohli analyzovať a syntetizovať rôzne procesy, musíte byť schopní opísať tieto procesy v jazyku matematiky, to znamená opísať ich vo forme systému rovníc a nerovníc.
Matematické metódy fungujú ako spôsob, ako získať nové poznatky o objekte. Neplatí to len pre systémy. Pri pohľade späť do histórie vedy výskumník vidí, že celú dynamiku vedy možno považovať za nepretržitý proces budovania nových, pokročilejších a výkonnejších modelov. Zakorenila sa myšlienka, že „všetko poznanie je modelovanie“ (N. Amosov). Pod vplyvom všeobecnej teórie systémov došlo aj k prehodnoteniu a prehodnoteniu klasických predstáv. Pojem matematické modelovanie sa začal vykladať tak široko, že zahŕňal celú formalizáciu a matematizáciu poznatkov. " Matematický model je len špeciálna metóda popisu, ktorá umožňuje použiť na analýzu formálny logický aparát matematiky."(Moiseev N.N., 1973).
Ale modely zložitých a veľké systémy- to je v princípe niečo iné, kvalitatívne. Analytický, formálno-logický aparát tu už nestačí. V rámci tejto práce sa matematickým modelom rozumie akákoľvek matematická štruktúra, ktorá je veľká a/alebo zložitá. dynamický systém a majúci vlastnosť štruktúrno-funkčného izomorfizmu vo vzťahu k skúmanému systému (pôvodnému systému).
Existuje hlboký rozdiel medzi modelovaním a získavaním kvantitatívneho alebo kvalitatívneho výsledku pomocou matematických metód. Využitie matematiky sa stáva možným vtedy, keď je jasné, čo a za akým účelom určovať, hodnotiť, merať, čo a ako spracovávať pomocou matematických metód. Model na tieto účely neslúži. Matematické modelovanie nie je aplikácia matematického nástroja na objekt, ani riešenie konkrétnych problémov pomocou matematických prostriedkov. Ide o konštrukciu abstraktného objektu izofunkčného voči skúmanému objektu formálnymi metódami a prostriedkami pre následnú aplikáciu matematických metód kvantitatívnych a kvalitatívna analýza. Využitie matematiky ako jazyka (metateórie) pri modelovaní zároveň dáva získaným záverom demonštratívnu silu. Činnosť konštruovania modelov nepatrí do matematiky a je (mali by) vykonávať nie matematici, ale špecialisti v špecifickej oblasti poznania.
Na vybudovanie modelu systému potrebujeme tie zmysluplné empirické myšlienky, tie deskriptívne vedy, ktoré predchádzajú vzniku formalizovaných vied. Tieto opisy nie sú zahrnuté ako komponenty vo formalizovanej vede, ale iba uľahčujú proces formalizácie a obohacujú heuristické možnosti formalizácie. Model nevyžaduje predbežný popis modelovaného objektu, pretože sám o sebe je formou popisu.
Vzťah medzi modelom a realitou je iný ako vzťah medzi realitou a matematickým vzorcom. Vzorec je hieroglyf, znak reality. Modelom je samotná realita. Dá sa namietať, že fyzik či matematik má veľký zmysel pre dynamiku, skutočné vzťahy, ktoré sa za vzorcom skrývajú, nevníma ho ako hieroglyf a navyše moderná matematika ani zďaleka nie je jednoduchá a nie je iba vzorcom. . A predsa nemôže vedec myslieť vo vzorcoch. Model je iná vec. Má dynamiku, žije (nielen obrazne, niekedy v prenesenom zmysle slova). Výskumník môže uvažovať v modeloch, dostane príležitosť myslieť nápadito. Vo svete modelov sa spája umelecké a logické vnímanie reality.
Matematické modelovanie nevylučuje použitie klasickej matematiky, navyše ako súčasť modelu získava matematika silu a univerzálnosť prieniku, o ktorú bola v klasickej ére ukrátená.
Ak uvažujeme o objekte ako o celku, ktorý je definovaný jeho vonkajšími vlastnosťami, môžeme efektívne využiť analytické metódy popisu procesov prebiehajúcich mimo tohto celku. Ale akonáhle si dáme za úlohu vnútorne popísať veľký a/alebo zložitý systém, popísať interakcie medzi jeho časťami, prvkami a podsystémami metódami klasickej matematiky, okamžite narazíme na neprekonateľné ťažkosti.
Na druhej strane pokus popísať určitý systém procedurálnymi metódami vo všeobecnosti bez preniknutia do jeho vnútornej štruktúry, do jeho štruktúry a funkcií jeho prvkov spravidla nevedie k významnému výsledku. Každá metóda má svoje miesto.
V matematike analytických štruktúr musíme najprv pochopiť a potom popísať. V modelovaní, v matematike algoritmických procesov, sa samotný proces opisovania toho, čo ešte nie je pochopené, často stáva prostriedkom porozumenia.
Ako metodika vedecký výskum matematické modelovanie spája skúsenosti z rôznych oblastí prírodných a spoločenských vied, aplikovanej matematiky, informatiky a systémového programovania pri riešení základných problémov. Matematické modelovanie zložitých objektov je jeden ucelený vývojový cyklus od základného výskumu problému až po špecifické numerické výpočty ukazovateľov účinnosti objektu. Výsledkom vývoja je systém matematických modelov, ktoré popisujú kvalitatívne heterogénne vzorce fungovania objektu a jeho vývoja ako celku ako komplexného systému za rôznych podmienok. Výpočtové experimenty s matematickými modelmi poskytujú počiatočné údaje na posúdenie výkonnostných ukazovateľov objektu. Preto je matematické modelovanie ako metodológia na organizovanie vedeckého skúmania hlavných problémov nevyhnutné pri vývoji národných ekonomických riešení. (V prvom rade to platí pre modelovanie ekonomických systémov). Vo svojom jadre je matematické modelovanie metódou na riešenie nových zložitých problémov, takže výskum matematického modelovania by mal byť proaktívny. Nové metódy musia byť vyvinuté vopred a vyškolený personál, ktorý dokáže tieto metódy kompetentne aplikovať na riešenie nových praktických problémov. Matematický model môže vzniknúť tromi spôsobmi:1. Výsledkom priameho štúdia skutočného procesu. Takéto modely sa nazývajú fenomenologické.2. V dôsledku procesu odpočtu. Nový model je u niektorých zvláštnym prípadom všeobecný model. Takéto modely sa nazývajú asymptotické.3. V dôsledku procesu indukcie. Nový model je zovšeobecnením elementárnych modelov. Takéto modely sa nazývajú súborové modely. Proces modelovania začína modelovaním zjednodušeného procesu, ktorý na jednej strane odráža hlavné kvalitatívne javy a na druhej strane umožňuje celkom jednoduchý matematický popis. Ako sa výskum prehlbuje, budujú sa nové modely, ktoré tento jav popisujú podrobnejšie. Faktory, ktoré sa v tejto fáze považujú za menej významné, sa vyradia. Avšak v ďalších fázach štúdie, keď sa model stáva zložitejším, môžu byť zahrnuté do úvahy. V závislosti od účelu štúdie možno rovnaký faktor považovať za primárny alebo sekundárny. Matematický model a skutočný proces nie sú navzájom totožné. Matematický model sa spravidla vytvára s určitým zjednodušením a určitou idealizáciou. Len približne odráža skutočný predmet štúdia a výsledky štúdia skutočného objektu pomocou matematických metód sú približné. Presnosť štúdie závisí od miery primeranosti modelu a objektu a od presnosti použitých metód výpočtová matematika.Schéma vytvárania matematických modelov je nasledovná:1. Identifikácia parametra alebo funkcie, ktorá sa má študovať.2. Voľba zákona, ktorému táto veličina podlieha.3. Výber oblasti, v ktorej chcete tento jav študovať.
Teoretická disciplína sa stáva exaktnou vedou, keď pracuje s kvantitatívnymi charakteristikami. Po kvalitatívnom popise modelu nasleduje druhá fáza abstrakcie – kvantitatívny popis modelu. Galileo Galilei tiež povedal, že kniha prírody je napísaná v jazyku matematiky. Immanuel Kant vyhlásil, že „v každej vede je toľko pravdy, koľko je v nej matematiky“. A David Hilbert napísal slová: „Matematika − základom celej exaktnej prírodnej vedy“.
Matematické modelovanie je teoretická a experimentálna metóda kognitívnej a tvorivej činnosti, je to metóda skúmania a vysvetľovania javov, procesov a systémov (pôvodných objektov) založená na vytváraní nových objektov - matematických modelov.
Matematický model sa zvyčajne chápe ako súbor vzťahov (rovnice, nerovnice, logické podmienky, operátory atď.), ktoré určujú charakteristiky stavov modelovacieho objektu a prostredníctvom nich výstupné hodnoty - reakcie v závislosti od parametre pôvodného objektu, vstupné vplyvy 
, počiatočné a hraničné podmienky, ako aj čas.
Matematický model spravidla berie do úvahy iba tie vlastnosti (atribúty) pôvodného objektu, ktoré odrážajú, definujú a sú zaujímavé z hľadiska cieľov a zámerov konkrétnej štúdie. V dôsledku toho, v závislosti od cieľov modelovania, pri posudzovaní toho istého pôvodného objektu z rôznych uhlov pohľadu a v rôznych aspektoch môže mať tento objekt rôzne matematické popisy a v dôsledku toho môže byť reprezentovaný rôznymi matematickými modelmi.
Berúc do úvahy vyššie uvedené, uvedieme najvšeobecnejšiu, no zároveň striktnú konštruktívnu definíciu matematického modelu formulovaného P.J. Cohen.
Definícia 4.1. Matematický model je formálny systém, ktorý je konečnou zbierkou symbolov a úplne prísnych pravidiel pre fungovanie týchto symbolov v spojení s interpretáciou vlastností určitého objektu určitými vzťahmi, symbolmi alebo konštantami.
Ako vyplýva z vyššie uvedenej definície, konečný súbor symbolov (abeceda) a úplne prísne pravidlá pre obsluhu týchto symbolov („gramatika“ a „syntax“ matematických výrazov) vedú k vytváraniu abstraktných matematických objektov (AMO). Iba interpretácia robí z tohto abstraktného objektu matematický model.
Matematický model je kvantitatívna formalizácia abstraktných predstáv o skúmanom jave alebo objekte.
Matematické modely môžu byť reprezentované rôznymi matematickými prostriedkami:
· skutočné alebo komplexné množstvá;
· vektory, matice;
· geometrické obrazy;
· nerovnosti;
· funkcie a funkčnosť;
· množiny, rôzne rovnice;
· funkcie rozdelenia pravdepodobnosti, štatistiky atď.
„Vo fyzike − napísal Thompson, − pri štúdiu akéhokoľvek objektu je prvým a najdôležitejším krokom nájdenie princípov numerického odhadu a praktických metód merania určitej veličiny, ktorá je tomuto objektu vlastná.
Prechod z prvej do druhej fázy abstrakcie, t.j. od fyzikálneho modelu k matematickému často model oslobodzuje od špecifických čŕt, ktoré sú vlastné danému javu alebo skúmanému objektu. Mnohé matematické modely, ktoré stratili svoju fyzickú alebo technickú škrupinu, nadobúdajú univerzálnosť, t.j. schopnosť kvantitatívne opísať procesy, ktoré sa líšia svojou fyzikálnou podstatou alebo technickým účelom predmetov. To odhaľuje jednu z najdôležitejších vlastností matematickej formalizácie predmetu výskumu, vďaka ktorej pri formulovaní a riešení aplikovaných úloh vo väčšine prípadov nie je potrebné vytvárať nový matematický aparát, ale je možné použiť ten existujúci. so zlepšením a výkladom potrebným pre konkrétnu situáciu. Na riešenie teda možno použiť jeden matematický model veľké množstvo súkromné, špecifické úlohy a v tomto zmysle vyjadruje jeden z hlavných praktických účelov teórie.
Samozrejme, konštrukcia fyzikálneho modelu je často neoddeliteľne spojená s konštrukciou matematického modelu a oba tieto procesy predstavujú dve strany jediného procesu abstrakcie.
Sme obklopení komplexom technické objekty (technické systémy) vytvorené človekom. V procese návrhu nového alebo modernizácie existujúceho technického systému sa riešia problémy výpočtu parametrov a študovania procesov v tomto systéme. Pri vykonávaní viacrozmerných výpočtov je reálny systém nahradený modelom. V širšom zmysle je model definovaný ako odraz najpodstatnejších vlastností objektu.
Definícia 4.2 . Matematický model technického objektu je súbor matematických objektov a vzťahov medzi nimi, ktorý adekvátne odráža vlastnosti skúmaného objektu, ktoré sú zaujímavé pre výskumníka (inžiniera).
Model môže byť reprezentovaný rôznymi spôsobmi.
Formy reprezentácie modelu
· invariantný - zaznamenávanie vzťahov modelu pomocou tradičného matematického jazyka, bez ohľadu na spôsob riešenia rovníc modelu;
· analytický – záznam modelu vo forme výsledku analytického riešenia počiatočných rovníc modelu;
· algoritmické – zaznamenávanie vzťahov medzi modelom a vybranou numerickou metódou riešenia vo forme algoritmu;
· schematické (grafické) – znázornenie modelu v nejakom grafickom jazyku (napríklad jazyk grafov, ekvivalentné obvody, schémy a pod.);
· fyzické;
· analóg;
Matematické modelovanie je najuniverzálnejším popisom procesov.
Pojem matematického modelovania niekedy zahŕňa proces riešenia problému na počítači (čo v zásade nie je úplne správne, pretože riešenie problému na počítači zahŕňa okrem iného vytvorenie algoritmického a softvérového modelu, ktorý implementuje výpočet v súlade s matematickým modelom).
Definícia 4.3.MM je obraz skúmaného objektu, vytvorený v mysli skúmaného subjektu pomocou určitých formálnych (matematických) systémov za účelom štúdia (hodnotenia) určitých vlastností tohto objektu.
Nech nejaký namieta Q má nejaký majetok, ktorý nás zaujíma C 0 .
Na získanie matematického modelu, ktorý túto vlastnosť popisuje, je potrebné:
1. Určte ukazovateľ tejto vlastnosti(tie. určiť mieru vlastnosti v nejakom systéme merania).
2. Nastavte zoznam vlastností C 1 , ..., С m, s ktorou nehnuteľnosťS 0 spojené nejakými vzťahmi (môžu to byť vnútorné vlastnosti objektu a vlastnosti vonkajšie prostredie, ovplyvňujúce objekt).
3. Popíšte vo vybranom formátovom systéme vlastnosti vonkajšieho prostredia ako vonkajšie faktory x 1 , ..., x n, ovplyvňujúce požadovaný indikátorY,interné vlastnosti objektu, ako sú parametre z 1 , ..., z r , a nezapočítané vlastnosti sú zahrnuté do skupiny nezapočítaných faktorov.
4. Zistite, ak je to možné, pravidelné vzťahy medzi nimiYa všetky faktory a parametre, ktoré sa berú do úvahy, a vytvorte matematický popis(model).
Reálny objekt je charakterizovaný nasledujúcim funkčným vzťahom medzi ukazovateľmi jeho vlastností:
Model však zobrazuje len tie faktory a parametre pôvodného objektu, ktoré sú podstatné pre riešenie skúmaného problému. Navyše merania podstatných faktorov a parametrov takmer vždy obsahujú chyby spôsobené nepresnosťou meracích prístrojov a neznalosťou určitých faktorov. Vďaka tomu je MM len približným popisom vlastností skúmaného objektu.
Matematický model možno definovať aj ako abstrakcie skúmaný skutočný život esencia.
Modely sa zvyčajne líšia od originálov charakterom svojich vnútorných parametrov. Podobnosť spočíva v primeranosti odozvy Y model a pôvodné zmeny vonkajších faktorov. Preto je vo všeobecnom prípade matematický model funkciou
kde sú vnútorné parametre modelu, adekvátne parametrom originálu.
V závislosti od metód používaných na matematický popis skúmaných objektov (javov, procesov) môžu byť MM analytické, logické, grafické, automatické atď.
Hlavnou otázkou matematického modelovania je otázka, ako presne zostavený MM odráža vzťahy medzi zohľadnenými faktormi, parametrami a ukazovateľom. Y posudzovaná vlastnosť reálneho predmetu, t.j. Ako presne zodpovedá rovnica (4.2) rovnici (4.1). Niekedy možno rovnicu (4.2) získať okamžite v explicitnej forme, napríklad vo forme systému diferenciálnych rovníc alebo vo forme iných explicitných matematických vzťahov.
V zložitejších prípadoch je tvar rovnice (4.2) neznámy a úlohou výskumníka je v prvom rade nájsť túto rovnicu. V tomto prípade rôzne parametre zahŕňajú všetky zohľadnené vonkajšie faktory a parametre skúmaného objektu a hľadané parametre zahŕňajú vnútorné parametre modelu, ktoré spájajú faktory s ukazovateľom. Y"najpravdepodobnejší vzťah. Riešením tohto problému je teória experimentu. Podstatou tejto teórie je, že na základe selektívnych meraní hodnôt parametrov a ukazovateľa Y", nájdite parametre, pre ktorú funkcia (4.2) najpresnejšie odráža skutočný vzor (4.1).
Prednáška č.1
Úvod. Koncepcia matematických modelov a metód
Časť 1. Úvod
2. Metódy konštrukcie matematických modelov. Koncept systémového prístupu. 1
3. Základné pojmy matematického modelovania ekonomických systémov.. 4
4. Metódy analýzy, simulácie a modelovania v plnom rozsahu. 5
Testovacie otázky.. 6
Táto disciplína sa venuje štúdiu metód modelovania a praktická aplikácia nadobudnuté vedomosti. Účelom disciplíny je vzdelávať študentov všeobecné otázky teória modelovania, metódy konštrukcie matematických modelov a formálnych popisov procesov a objektov, využitie matematických modelov na vykonávanie výpočtových experimentov a riešenie optimalizačných problémov pomocou moderných výpočtových nástrojov.
Medzi ciele disciplíny patrí:
Oboznámiť študentov so základnými pojmami teórie matematického modelovania, teóriou systémov, teóriou podobnosti, teóriou plánovania experimentov a spracovaním experimentálnych údajov používaných na zostavovanie matematických modelov.
Poskytnúť študentom zručnosti v oblasti formulácie modelovacích úloh, matematického popisu objektov/procesov/, numerické metódy implementácia matematických modelov na počítači a riešenie optimalizačných úloh.
V dôsledku štúdia odboru musí študent ovládať metódy matematického modelovania procesov a objektov od formulácie problémov až po implementáciu matematických modelov na počítači a prezentáciu výsledkov modelového výskumu.
Disciplinárny kurz je určený na 12 prednášok a 12 praktická práca. V dôsledku štúdia odboru musí študent ovládať metódy matematického modelovania od formulácie problému až po implementáciu matematických modelov na počítači.
5. Riešenie problému.
Dôsledné používanie metód operačného výskumu a ich implementácia na modernú informačnú a výpočtovú techniku umožňuje prekonávať subjektivitu a eliminovať takzvané vôľové rozhodnutia založené nie na striktnom a presnom zohľadnení objektívnych okolností, ale na náhodných emóciách a osobnom záujme manažérov pri rôzne úrovne, ktoré navyše nemajú, môžu tieto vôľové rozhodnutia koordinovať.
Systémová analýza umožňuje zohľadňovať a využívať pri riadení všetky dostupné informácie o riadenom objekte, koordinovať rozhodnutia prijímané skôr z pohľadu objektívneho ako subjektívneho kritéria efektívnosti. Úspora na výpočtoch pri ovládaní je rovnaká ako úspora na mierení pri streľbe. Počítač však nielenže umožňuje brať do úvahy všetky informácie, ale tiež zbavuje manažéra nepotrebných informácií a obchádza všetky potrebné informácie obchádzajúc osobu, pričom jej poskytuje iba najvšeobecnejšie informácie, kvintesenciu. Systémový prístup v ekonómii je účinný sám o sebe, bez použitia počítača, ako výskumná metóda a nemení predtým objavené ekonomické zákony, ale len učí, ako ich čo najlepšie používať.
Simulácia je silná metóda vedecké poznatky, pri použití je skúmaný objekt nahradený jednoduchším objektom nazývaným model. Za hlavné typy procesu modelovania možno považovať dva typy – matematické a fyzikálne modelovanie. Pri fyzikálnom (v plnom rozsahu) modelovanie je skúmaný systém nahradený iným jemu zodpovedajúcim materiálovým systémom, ktorý reprodukuje vlastnosti skúmaného systému pri zachovaní ich fyzikálnej podstaty. Príkladom tohto typu modelovania je pilotná sieť, pomocou ktorej sa študuje zásadná možnosť budovania siete založenej na určitých počítačoch, komunikačných zariadeniach, operačných systémoch a aplikáciách.
Možnosti fyzického modelovania sú dosť obmedzené. Umožňuje riešiť jednotlivé problémy pri zadaní malého počtu kombinácií skúmaných parametrov systému. Pri modelovaní počítačovej siete v plnom rozsahu je totiž takmer nemožné overiť jej fungovanie na možnosti pomocou rôznych typov komunikačných zariadení – smerovačov, prepínačov a pod. veľké úsilie a čas, ale aj značné materiálové náklady.
Ale aj v prípadoch, keď sa pri optimalizácii siete nemenia typy zariadení a operačných systémov, ale iba ich parametre, je vykonávanie experimentov v reálnom čase pre veľké množstvo rôznych kombinácií týchto parametrov prakticky nemožné v dohľadnej dobe. čas. Aj obyčajná zmena maximálna veľkosť balík v akomkoľvek protokole vyžaduje rekonfiguráciu operačný systém na stovkách počítačov v sieti, čo vyžaduje veľa práce od správcu siete.
Preto je pri optimalizácii sietí v mnohých prípadoch vhodnejšie použiť matematické modelovanie. Matematický model je súbor vzťahov (vzorcov, rovníc, nerovníc, logických podmienok), ktoré určujú proces zmeny stavu systému v závislosti od jeho parametrov, vstupných signálov, počiatočných podmienok a času.
Špeciálnou triedou matematických modelov sú simulačné modely. Takéto modely sú počítačovým programom, ktorý krok za krokom reprodukuje udalosti vyskytujúce sa v skutočný systém. Vo vzťahu k počítačovým sieťam ich simulačné modely reprodukujú procesy generovania správ aplikáciami, rozdeľovanie správ na pakety a rámce určitých protokolov, oneskorenia spojené so spracovaním správ, paketov a rámcov v rámci operačného systému, proces získavania prístupu počítača zdieľané sieťové prostredie, proces spracovania prichádzajúcich paketov routerom a pod. Pri simulácii siete nie je potrebné kupovať drahé zariadenie - jeho činnosť je simulovaná programami, ktoré pomerne presne reprodukujú všetky hlavné vlastnosti a parametre takéhoto zariadenia.
Výhodou simulačných modelov je možnosť nahradiť proces meniacich sa udalostí v skúmanom systéme v reálnom čase zrýchleným procesom meniacich sa udalostí tempom programu. Výsledkom je, že v priebehu niekoľkých minút je možné reprodukovať prevádzku siete na niekoľko dní, čo umožňuje vyhodnocovať prevádzku siete v širokom rozsahu rôznych parametrov.
Výsledkom simulačného modelu sú štatistické údaje zozbierané počas pozorovania prebiehajúcich udalostí o najdôležitejších charakteristikách siete: čas odozvy, miera využitia kanálov a uzlov, pravdepodobnosť straty paketov atď.
Existujú špeciálne simulačné jazyky, ktoré uľahčujú proces vytvárania modelu programu ako používanie všeobecných programovacích jazykov. Príklady simulačných jazykov zahŕňajú jazyky ako SIMULA, GPSS, SIMDIS.
Existujú aj systémy simulačného modelovania, ktoré sa zameriavajú na úzku triedu skúmaných systémov a umožňujú vám vytvárať modely bez programovania.
V tomto článku, ktorý vám predstavujeme, ponúkame príklady matematických modelov. Okrem toho budeme venovať pozornosť fázam vytvárania modelov a analyzovať niektoré problémy spojené s matematickým modelovaním.
Ďalšou otázkou, ktorú máme, sú matematické modely v ekonómii, na ktorých príklady sa pozrieme o niečo neskôr. Navrhujeme začať náš rozhovor samotným pojmom „model“, stručne zvážiť ich klasifikáciu a prejsť k našim hlavným otázkam.
Často počujeme slovo „modelka“. čo je to? Tento pojem má veľa definícií, tu sú len tri z nich:
Na základe všetkého, čo bolo povedané skôr, môžeme vyvodiť malý záver: model vám umožňuje podrobne študovať zložitý systém alebo objekt.
Všetky modely možno klasifikovať podľa niekoľkých charakteristík:
Informačné modely sa zase delia na symbolické a verbálne. A to symbolické – do počítačových aj nepočítačových. Teraz prejdime k podrobnému zváženiu príkladov matematického modelu.
Ako možno uhádnete, matematický model odráža akékoľvek vlastnosti objektu alebo javu pomocou špeciálnych matematických symbolov. Matematika je potrebná na modelovanie vzorcov okolitého sveta v jeho vlastnom špecifickom jazyku.
Metóda matematického modelovania vznikla pomerne dávno, pred tisíckami rokov, spolu s príchodom tejto vedy. Impulz k rozvoju tejto metódy modelovania však dal vznik počítačov (elektronických počítačov).
Teraz prejdime ku klasifikácii. Môže sa vykonávať aj podľa niektorých znakov. Sú uvedené v tabuľke nižšie.
Navrhujeme zastaviť sa a bližšie sa pozrieť na najnovšiu klasifikáciu, ako to odráža všeobecné vzory modelovanie a ciele vytvorených modelov.
V tejto kapitole sa navrhujeme podrobnejšie venovať deskriptívnym matematickým modelom. Aby bolo všetko veľmi jasné, uvedieme príklad.
Začnime tým, že tento typ možno nazvať popisným. Je to spôsobené tým, že jednoducho robíme výpočty a prognózy, ale nemôžeme žiadnym spôsobom ovplyvniť výsledok udalosti.
Pozoruhodným príkladom deskriptívneho matematického modelu je výpočet dráhy letu, rýchlosti a vzdialenosti od Zeme kométy, ktorá napadla priestory našej slnečnej sústavy. Tento model je popisný, keďže všetky získané výsledky nás môžu len varovať pred akýmkoľvek nebezpečenstvom. Výsledok akcie bohužiaľ nevieme ovplyvniť. Na základe získaných výpočtov je však možné prijať akékoľvek opatrenia na zachovanie života na Zemi.
Teraz si povieme niečo málo o ekonomických a matematických modeloch, ktorých príkladmi môžu byť rôzne aktuálne situácie. V tomto prípade hovoríme o o modeloch, ktoré za určitých podmienok pomáhajú nájsť správnu odpoveď. Určite majú nejaké parametre. Aby to bolo úplne jasné, pozrime sa na príklad z poľnohospodárskeho sektora.
Máme sýpku, ale obilie sa veľmi rýchlo kazí. V tomto prípade musíme zvoliť správne teplotné podmienky a optimalizovať proces skladovania.
Môžeme teda definovať pojem „model optimalizácie“. V matematickom zmysle ide o sústavu rovníc (lineárnych aj nie), ktorých riešenie pomáha nájsť optimálne riešenie v konkrétnej ekonomickej situácii. Pozreli sme sa na príklad matematického modelu (optimalizácie), ale rád by som dodal: tento typ patrí do triedy extrémnych problémov, pomáhajú opísať fungovanie ekonomického systému.
Všimnime si ešte jednu nuanciu: modely sa môžu nosiť iný charakter(pozri tabuľku nižšie).
Teraz vás pozývame, aby ste sa trochu porozprávali o matematickom modeli multikriteriálnej optimalizácie. Predtým sme uviedli príklad matematického modelu na optimalizáciu procesu podľa ktoréhokoľvek kritéria, ale čo ak ich je veľa?
Pozoruhodným príkladom viackriteriálnej úlohy je organizácia správnej, zdravej a zároveň ekonomickej výživy. veľké skupinyľudí. S takýmito úlohami sa často stretávame v armáde, školských jedálňach, letných táboroch, nemocniciach a pod.
Aké kritériá máme v tejto úlohe?
Ako vidíte, tieto ciele sa vôbec nezhodujú. To znamená, že pri riešení problému je potrebné hľadať optimálne riešenie, rovnováhu medzi dvoma kritériami.
Keď hovoríme o herných modeloch, je potrebné pochopiť pojem „teória hier“. Jednoducho povedané, tieto modely odrážajú matematické modely skutočných konfliktov. Musíte len pochopiť, že na rozdiel od skutočného konfliktu má herný matematický model svoje špecifické pravidlá.
Teraz poskytneme minimum informácií z teórie hier, ktoré vám pomôžu pochopiť, čo je herný model. Model teda nevyhnutne obsahuje strany (dve alebo viac), ktoré sa zvyčajne nazývajú hráči.
Všetky modely majú určité vlastnosti.
Herný model môže byť párový alebo viacnásobný. Ak máme dva subjekty, potom je konflikt párový, ak je viac, je viacnásobný. Môžete tiež rozlíšiť antagonistickú hru, nazýva sa to aj hra s nulovým súčtom. Ide o model, v ktorom sa zisk jedného z účastníkov rovná strate druhého.
V tejto časti sa budeme venovať simulačným matematickým modelom. Príklady úloh:
V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré sú čo najbližšie k reálnym procesom. Celkovo napodobňujú nejaký prejav v prírode. V prvom prípade môžeme napríklad simulovať dynamiku počtu mravcov v jednej kolónii. Zároveň môžete sledovať osud každého jednotlivca. V tomto prípade sa zriedkavo používa matematický popis, častejšie sú prítomné písomné podmienky:
Používajú sa teda na opis veľkého systému. Matematickým záverom je spracovanie získaných štatistických údajov.
Je veľmi dôležité vedieť, čo robiť tento druh modely majú určité požiadavky, vrátane tých, ktoré sú uvedené v tabuľke nižšie.
Všestrannosť | Táto vlastnosť vám umožňuje použiť rovnaký model pri popise podobných skupín objektov. Je dôležité poznamenať, že univerzálne matematické modely sú úplne nezávislé od fyzickej povahy skúmaného objektu |
Primeranosť | Tu je dôležité pochopiť, že táto vlastnosť vám umožňuje čo najpresnejšie reprodukovať skutočné procesy. V operačných úlohách je táto vlastnosť matematického modelovania veľmi dôležitá. Príkladom modelu je proces optimalizácie využitia plynového systému. V tomto prípade sa porovnávajú vypočítané a skutočné ukazovatele, v dôsledku čoho sa kontroluje správnosť zostaveného modelu |
Presnosť | Táto požiadavka implikuje zhodu hodnôt, ktoré získame pri výpočte matematického modelu a vstupných parametrov nášho reálneho objektu |
Ekonomický | Požiadavka nákladovej efektívnosti pre akýkoľvek matematický model je charakterizovaná nákladmi na implementáciu. Ak sa vykonáva práca s modelom manuálne, potom je potrebné vypočítať, koľko času zaberie vyriešenie jedného problému pomocou tohto matematického modelu. Ak hovoríme o počítačom podporovanom dizajne, potom sa vypočítajú ukazovatele nákladov na čas a pamäť počítača |
Celkovo je matematické modelovanie zvyčajne rozdelené do štyroch etáp.
V tejto časti stručne poukážeme na tento problém.
Ekonomicko-matematický model odráža ekonomickú abstrakciu, ktorá je vyjadrená pomocou matematických pojmov a symbolov.
Príklady počítačového matematického modelu sú:
Počítačový model je obraz objektu alebo systému prezentovaný vo forme:
V rovnakom čase tento model odráža štruktúru a vzťahy systému.
Už sme hovorili o tom, čo je ekonomicko-matematický model. Práve teraz sa zváži príklad riešenia problému. Musíme analyzovať výrobný program, aby sme identifikovali rezervu na zvýšenie zisku s posunom v sortimente.
Nebudeme sa plne zaoberať problémom, ale vytvoríme iba ekonomický a matematický model. Kritériom našej úlohy je maximalizácia zisku. Potom má funkcia tvar: А=р1*х1+р2*х2..., smerujúci k maximu. V tomto modeli p je zisk na jednotku a x je počet vyrobených jednotiek. Ďalej, na základe skonštruovaného modelu, je potrebné urobiť výpočty a zhrnúť.
Úloha. Rybár sa vrátil s týmto úlovkom:
Koľko rýb kúpil v obchode?
Takže príklad konštrukcie matematického modelu tohto problému vyzerá takto. Označujeme celkové množstvo ryby za x. Podľa podmienky 0,2x je počet rýb žijúcich v južných zemepisných šírkach. Teraz skombinujeme všetky dostupné informácie a dostaneme matematický model úlohy: x=0,2x+8. Vyriešime rovnicu a dostaneme odpoveď na hlavnú otázku: kúpil 10 rýb v obchode.
Od polovice 20. stor. Matematické metódy a počítače sa začali vo veľkej miere využívať v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. Objavili sa nové disciplíny ako „matematická ekonómia“, „matematická chémia“, „matematická lingvistika“ atď., ktoré študujú matematické modely relevantných objektov a javov, ako aj metódy na štúdium týchto modelov.
Matematický model je približný popis akejkoľvek triedy javov alebo objektov reálneho sveta v jazyku matematiky. Hlavným účelom modelovania je preskúmať tieto objekty a predpovedať výsledky budúcich pozorovaní. Modeling je však aj metóda, ako porozumieť svetu okolo nás, vďaka čomu je možné ho ovládať.
Matematické modelovanie a súvisiaci počítačový experiment sú nevyhnutné v prípadoch, keď je experiment v plnom rozsahu z jedného alebo druhého dôvodu nemožný alebo ťažký. Napríklad nie je možné vytvoriť prirodzený experiment v histórii, ktorý by overil „čo by sa stalo, keby...“ Nie je možné overiť správnosť tej či onej kozmologickej teórie. V zásade je možné, ale sotva rozumné, experimentovať so šírením choroby, ako je mor, alebo vykonávať nukleárny výbuchštudovať jeho dôsledky. To všetko sa však dá urobiť na počítači tak, že sa najskôr skonštruujú matematické modely skúmaných javov.
1) Stavba modelu. V tejto fáze sa špecifikuje nejaký „nematematický“ objekt – prírodný jav, dizajn, ekonomický plán, výrobný proces atď. V tomto prípade je spravidla obtiažne jasne popísať situáciu. Najprv sa identifikujú hlavné črty javu a súvislosti medzi nimi na kvalitatívnej úrovni. Potom sa nájdené kvalitatívne závislosti formulujú v jazyku matematiky, to znamená, že sa zostaví matematický model. Toto je najťažšia fáza modelovania.
2) Riešenie matematického problému, ku ktorému model vedie. V tejto fáze sa veľká pozornosť venuje vývoju algoritmov a numerických metód na riešenie problému na počítači, pomocou ktorých je možné nájsť výsledok s požadovanou presnosťou a v prijateľnom čase.
3) Interpretácia získaných dôsledkov z matematického modelu. Dôsledky odvodené z modelu v jazyku matematiky sú interpretované v jazyku akceptovanom v danej oblasti.
4) Kontrola vhodnosti modelu. V tejto fáze sa zisťuje, či experimentálne výsledky súhlasia s teoretickými dôsledkami modelu v rámci určitej presnosti.
5) Úprava modelu. V tejto fáze sa buď model skomplikuje tak, aby viac zodpovedal realite, alebo sa zjednoduší, aby sa dosiahlo prakticky prijateľné riešenie.
Modely možno klasifikovať podľa rôznych kritérií. Napríklad podľa charakteru riešených problémov možno modely rozdeliť na funkčné a štrukturálne. V prvom prípade sú kvantitatívne vyjadrené všetky veličiny charakterizujúce jav alebo predmet. Okrem toho sa niektoré z nich považujú za nezávislé premenné, zatiaľ čo iné sa považujú za funkcie týchto veličín. Matematický model je zvyčajne systém rovníc rôznych typov (diferenciálnych, algebraických atď.), ktoré stanovujú kvantitatívne vzťahy medzi uvažovanými veličinami. V druhom prípade model charakterizuje štruktúru komplexného objektu pozostávajúceho z jednotlivých častí, medzi ktorými existujú určité súvislosti. Tieto spojenia sa zvyčajne nedajú kvantifikovať. Na zostavenie takýchto modelov je vhodné použiť teóriu grafov. Graf je matematický objekt, ktorý predstavuje množinu bodov (vrcholov) v rovine alebo v priestore, z ktorých niektoré sú spojené čiarami (hranami).
Na základe charakteru východiskových údajov a výsledkov možno modelové predpovede rozdeliť na deterministické a pravdepodobnostno-štatistické. Modely prvého typu poskytujú isté, jednoznačné predpovede. Modely druhého typu sú založené na štatistických informáciách a predpovede získané s ich pomocou majú pravdepodobnostný charakter.
1) Problémy s pohybom projektilu.
Zvážte nasledujúci problém mechaniky.
Strela je vypustená zo Zeme počiatočnou rýchlosťou v 0 = 30 m/s pod uhlom a = 45° k jej povrchu; je potrebné nájsť trajektóriu jeho pohybu a vzdialenosť S medzi počiatočným a koncovým bodom tejto trajektórie.
Potom, ako je známe zo školského kurzu fyziky, pohyb projektilu je opísaný vzorcami:
kde t je čas, g = 10 m/s 2 je gravitačné zrýchlenie. Tieto vzorce poskytujú matematický model problému. Vyjadrením t až x z prvej rovnice a jej dosadením do druhej dostaneme rovnicu pre dráhu strely:
Táto krivka (parabola) pretína os x v dvoch bodoch: x 1 = 0 (začiatok trajektórie) a 
(miesto, kde projektil dopadol). Dosadením daných hodnôt v0 a a do výsledných vzorcov dostaneme
odpoveď: y = x – 90x 2, S = 90 m.
Všimnite si, že pri konštrukcii tohto modelu sa použilo množstvo predpokladov: napríklad sa predpokladá, že Zem je plochá a vzduch a rotácia Zeme neovplyvňujú pohyb projektilu.
2) Problém s nádržou s najmenším povrchom.
Je potrebné nájsť výšku h 0 a polomer r 0 plechovej nádrže s objemom V = 30 m 3, ktorá má tvar uzavretého kruhový valec, pri ktorom je jeho povrch S minimálny (v tomto prípade sa na jeho výrobu použije najmenšie množstvo cínu).
Napíšme nasledujúce vzorce pre objem a povrch valca s výškou h a polomerom r:
V = pr2h, S = 2pr(r + h).
Vyjadrením h cez r a V z prvého vzorca a dosadením výsledného výrazu do druhého dostaneme:
Z matematického hľadiska je teda problém určiť hodnotu r, pri ktorej funkcia S(r) dosiahne svoje minimum. Nájdite tie hodnoty r 0, pre ktoré je derivácia
ide na nulu: 
Môžete skontrolovať, či druhá derivácia funkcie S(r) zmení znamienko z mínus na plus, keď argument r prechádza bodom r 0 . V dôsledku toho má v bode r0 funkcia S(r) minimum. Zodpovedajúca hodnota je h 0 = 2r 0 . Dosadením danej hodnoty V do výrazu pre r 0 a h 0 dostaneme požadovaný polomer 
a výška 
3) Problém s dopravou.
Mesto má dva sklady múky a dve pekárne. Denne sa z prvého skladu prepraví 50 ton múky a do tovární 70 ton z druhého, do prvého 40 ton a do druhého 80 ton.
Označme podľa a ij náklady na prepravu 1 tony múky z i-teho skladu do j-tá rastlina(i, j = 1,2). Nechaj
a 11 = 1,2 rubľov, a 12 = 1,6 rubľov, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rub.
Ako plánovať dopravu, aby bola čo najnižšia?
Dajme problému matematickú formuláciu. Označme x 1 a x 2 množstvo múky, ktoré sa musí prepraviť z prvého skladu do prvého a druhého závodu a x 3 a x 4 - z druhého skladu do prvého a druhého závodu. potom:
x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)
Celkové náklady na všetku dopravu sa určujú podľa vzorca
f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4.
Z matematického hľadiska je problém nájsť štyri čísla x 1, x 2, x 3 a x 4, ktoré spĺňajú všetky zadané podmienky a dávajú minimum funkcie f. Vyriešme sústavu rovníc (1) pre xi (i = 1, 2, 3, 4) odstránením neznámych. Chápeme to
x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)
a x 4 nemožno určiť jednoznačne. Pretože x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), potom z rovníc (2) vyplýva, že 30Ј x 4 Ј 70. Dosadením výrazu pre x 1, x 2, x 3 do vzorca pre f dostať
f = 148 – 0,2 x 4.
Je ľahké vidieť, že minimum tejto funkcie sa dosiahne pri maximálnej možnej hodnote x 4, teda pri x 4 = 70. Zodpovedajúce hodnoty ostatných neznámych sú určené vzorcami (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.
4) Problém rádioaktívneho rozpadu.
Nech N(0) je počiatočný počet atómov rádioaktívnej látky a N(t) je počet nerozložených atómov v čase t. Experimentálne sa zistilo, že rýchlosť zmeny počtu týchto atómov N"(t) je úmerná N(t), to znamená, že N"(t)=–l N(t), l >0 je konštanta rádioaktivity danej látky. V školskom kurze matematickej analýzy sa ukazuje, že riešenie tohto problému diferenciálnu rovnicu má tvar N(t) = N(0)e –l t . Čas T, počas ktorého sa počet počiatočných atómov znížil na polovicu, sa nazýva polčas rozpadu a je dôležitou charakteristikou rádioaktivity látky. Aby sme určili T, musíme zadať vzorec 
Potom 
Napríklad pre radón l = 2,084 · 10 –6, a teda T = 3,15 dňa.
5) Problém cestujúceho predajcu.
Cestujúci obchodník žijúci v meste A 1 potrebuje navštíviť mestá A 2 , A 3 a A 4 , každé mesto presne raz, a potom sa vrátiť späť do A 1 . Je známe, že všetky mestá sú spojené v pároch cestami a dĺžky ciest b ij medzi mestami A i a A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sú nasledovné:
b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.
Je potrebné určiť poradie návštev miest, v ktorých je dĺžka zodpovedajúcej cesty minimálna.
Znázornime každé mesto ako bod na rovine a označme ho príslušným štítkom Ai (i = 1, 2, 3, 4). Spojme tieto body rovnými čiarami: budú predstavovať cesty medzi mestami. Pre každú „cestu“ uvádzame jej dĺžku v kilometroch (obr. 2). Výsledkom je graf - matematický objekt pozostávajúci z určitej množiny bodov v rovine (nazývaných vrcholy) a určitej množiny čiar spájajúcich tieto body (nazývaných hrany). Okrem toho je tento graf označený, pretože jeho vrcholy a hrany majú priradené nejaké označenia - čísla (hrany) alebo symboly (vrcholy). Cyklus na grafe je postupnosť vrcholov V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 taká, že vrcholy V 1 , ..., V k sú rôzne a ľubovoľná dvojica vrcholov V i, V i+1 (i = 1, ..., k – 1) a dvojica V 1, V k sú spojené hranou. Uvažovaným problémom je teda nájsť na grafe cyklus prechádzajúci všetkými štyrmi vrcholmi, pre ktorý je súčet všetkých váh hrán minimálny. Pozrime sa na všetky rôzne cykly prechádzajúce cez štyri vrcholy a začínajúce na A 1:
1) Ai, A4, A3, A2, Ai;
2) Ai, A3, A2, A4, Ai;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.
Nájdime teraz dĺžky týchto cyklov (v km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Prvá je teda trasa s najkratšou dĺžkou.
Všimnite si, že ak je v grafe n vrcholov a všetky vrcholy sú spojené v pároch hranami (takýto graf sa nazýva úplný), potom počet cyklov prechádzajúcich všetkými vrcholmi je Preto sú v našom prípade presne tri cykly.
6) Problém hľadania súvislosti medzi štruktúrou a vlastnosťami látok.
Pozrime sa na niekoľko chemických zlúčenín nazývaných normálne alkány. Pozostávajú z n atómov uhlíka a n + 2 atómov vodíka (n = 1, 2 ...), vzájomne prepojených, ako je znázornené na obrázku 3 pre n = 3. Nech sú známe experimentálne hodnoty teplôt varu týchto zlúčenín:
ye (3) = – 42°, ye (4) = 0°, ye (5) = 28°, ye (6) = 69°.
Pre tieto zlúčeniny je potrebné nájsť približný vzťah medzi teplotou varu a číslom n. Predpokladajme, že táto závislosť má tvar
y" a n+b,
Kde a, b - konštanty, ktoré sa majú určiť. Ak chcete nájsť a a b do tohto vzorca dosadíme postupne n = 3, 4, 5, 6 a zodpovedajúce hodnoty bodov varu. Máme:
– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.
Na určenie toho najlepšieho a ab existuje mnoho rôznych metód. Využime najjednoduchšie z nich. Vyjadrime b prostredníctvom a z týchto rovníc:
b » – 42 – 3 a, b " – 4 a, b » 28. – 5 a, b » 69 – 6 a.
Vezmime aritmetický priemer týchto hodnôt ako požadované b, to znamená, že dáme b » 16 – 4,5 a. Dosaďte túto hodnotu b do pôvodného systému rovníc a výpočtu a, dostaneme za a nasledujúce hodnoty: a» 37, a» 28, a» 28, a“ 36. Vezmime si to podľa potreby a priemerná hodnota týchto čísel, teda dajme tomu a 34. Takže požadovaná rovnica má tvar
y » 34n – 139.
Skontrolujeme presnosť modelu na pôvodných štyroch zlúčeninách, pre ktoré vypočítame teploty varu pomocou výsledného vzorca:
y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.
Chyba pri výpočte tejto vlastnosti pre tieto zlúčeniny teda nepresahuje 5°. Výslednú rovnicu použijeme na výpočet teploty varu zlúčeniny s n = 7, ktorá nie je zahrnutá v pôvodnej množine, za ktorú do tejto rovnice dosadíme n = 7: y р (7) = 99°. Výsledok bol celkom presný: je známe, že experimentálna hodnota teploty varu y e (7) = 98°.
7) Problém stanovenia spoľahlivosti elektrického obvodu.
Tu sa pozrieme na príklad pravdepodobnostného modelu. Najprv uvádzame niekoľko informácií z teórie pravdepodobnosti – matematickej disciplíny, ktorá študuje vzorce náhodných javov pozorovaných počas opakovaného opakovania experimentov. Nazvime náhodnú udalosť A možným výsledkom nejakého experimentu. Udalosti A 1, ..., A k tvoria ucelenú skupinu, ak jedna z nich nevyhnutne nastane v dôsledku experimentu. Udalosti sa nazývajú nekompatibilné, ak sa nemôžu vyskytnúť súčasne v jednej skúsenosti. Nech sa udalosť A vyskytne m-krát počas n-násobného opakovania experimentu. Frekvencia udalosti A je číslo W =. Je zrejmé, že hodnotu W nemožno presne predpovedať pred vykonaním série n experimentov. Povaha náhodných udalostí je však taká, že v praxi sa niekedy pozoruje nasledujúci efekt: so zvyšujúcim sa počtom experimentov hodnota prakticky prestáva byť náhodná a ustáli sa okolo nejakého nenáhodného čísla P(A), nazývaného pravdepodobnosť udalosť A. Pre nemožnú udalosť (ktorá sa v experimente nikdy nevyskytuje) P(A)=0 a pre spoľahlivú udalosť (ktorá sa vždy vyskytne v skúsenosti) P(A)=1. Ak udalosti A 1 , ..., Ak tvoria úplnú skupinu nezlučiteľných udalostí, potom P(A 1)+...+P(A k)=1.
Nech sa experiment skladá napríklad z hodu kockou a pozorovania počtu vyvalených bodov X Potom môžeme zaviesť nasledujúce náhodné javy A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Oni tvoria ucelenú skupinu nezlučiteľných rovnako pravdepodobných udalostí, preto P(A i) = (i = 1, ..., 6).
Súčet dejov A a B je dej A + B, ktorý spočíva v tom, že aspoň jeden z nich nastane v skúsenosti. Súčinom dejov A a B je dej AB, ktorý pozostáva zo súčasného výskytu týchto dejov. Pre nezávislé udalosti A a B platia nasledujúce vzorce:
P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).
8) Uvažujme teraz o nasledujúcom úloha. Predpokladajme, že tri prvky sú zapojené v sérii do elektrického obvodu a fungujú nezávisle od seba. Pravdepodobnosť zlyhania 1., 2. a 3. prvku je rovná P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Obvod budeme považovať za spoľahlivý, ak pravdepodobnosť, že v obvode nebude prúd, nie je väčšia ako 0,4. Je potrebné zistiť, či je daný obvod spoľahlivý.
Keďže prvky sú zapojené do série, v obvode nebude prúdiť (udalosť A), ak zlyhá aspoň jeden z prvkov. Nech je A i udalosť, ktorá i-tý prvok funguje (i = 1, 2, 3). Potom P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Je zrejmé, že A 1 A 2 A 3 je udalosť, v ktorej všetky tri prvky pracujú súčasne a
P(A1A2A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,612.
Potom P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, teda P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.
Na záver poznamenávame, že uvedené príklady matematických modelov (vrátane funkčných a štrukturálnych, deterministických a pravdepodobnostných) sú svojou povahou ilustratívne a samozrejme nevyčerpávajú rôznorodosť matematických modelov, ktoré vznikajú v prírodných a humanitných vedách.
