Módne trendy a trendy. Doplnky, topánky, krása, účesy

Ak je každé prirodzené číslo n spojené s nejakým reálnym číslom x n, potom hovoríme, že dané číselná postupnosť

x 1 , x 2 , … x n , …

číslo x 1 sa nazýva člen postupnosti s číslom 1 alebo prvý člen sekvencie, číslo x 2 - člen postupnosti s číslom 2 alebo druhý člen postupnosti atď. Volá sa číslo x n člen postupnosti s číslom n.

Existujú dva spôsoby, ako zadať číselné poradie – s a s opakujúci sa vzorec.

Sekvenčné použitie vzorce pre všeobecný člen sekvencie– ide o sekvenčnú úlohu

x 1 , x 2 , … x n , …

pomocou vzorca vyjadrujúceho závislosť členu x n od jeho čísla n.

Príklad 1 Poradie čísel

1, 4, 9, … n 2 , …

uvedené pomocou všeobecného vzorca

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Zadanie sekvencie pomocou vzorca vyjadrujúceho člen sekvencie x n prostredníctvom členov sekvencie s predchádzajúcimi číslami sa nazýva špecifikácia sekvencie pomocou opakujúci sa vzorec.

x 1 , x 2 , … x n , …

volal v rastúcom poradí, viac predchádzajúci člen.

Inými slovami, pre každého n

x n + 1 >x n

Príklad 3 Postupnosť prirodzených čísel

1, 2, 3, … n, …

je vzostupná postupnosť.

Definícia 2. Číselná postupnosť

x 1 , x 2 , … x n , …

volal zostupná postupnosť ak každý člen tejto postupnosti menej predchádzajúci člen.

Inými slovami, pre každého n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená

x n + 1 < x n

Príklad 4. Následná sekvencia

daný vzorcom

je zostupná postupnosť.

Príklad 5. Poradie čísel

1, - 1, 1, - 1, …

daný vzorcom

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

nie je ani nezvyšuje, ani neklesá sekvencie.

Definícia 3. Zväčšujúce sa a klesajúce číselné postupnosti sa nazývajú monotónne sekvencie.

Ohraničené a neohraničené sekvencie

Definícia 4. Číselná postupnosť

x 1 , x 2 , … x n , …

volal obmedzené zhora, ak existuje číslo M také, že každý člen tejto postupnosti menejčísla M.

Inými slovami, pre každého n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená

Definícia 5. Číselná postupnosť

x 1 , x 2 , … x n , …

volal ohraničený dole, ak existuje číslo m také, že každý člen tejto postupnosti viacčísla m.

Inými slovami, pre každého n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená

Definícia 6. Číselná postupnosť

x 1 , x 2 , … x n , …

sa nazýva obmedzený, ak to obmedzené nad aj pod.

Inými slovami, existujú čísla M a m také, že pre všetky n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená

m< x n < M

Definícia 7. Číselné postupnosti, ktoré nie sú obmedzené, volal neobmedzené sekvencie.

Príklad 6. Poradie čísel

1, 4, 9, … n 2 , …

daný vzorcom

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ohraničené nižšie, napríklad číslo 0. Avšak táto postupnosť neobmedzené zhora.

Príklad 7. Následná sekvencia

daný vzorcom

je obmedzená sekvencia, pretože pre každého n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená

Na našej stránke sa môžete zoznámiť aj so vzdelávacími materiálmi, ktoré vypracovali učitelia školiaceho strediska Resolventa na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku a Jednotnú štátnu skúšku z matematiky.

Pre školákov, ktorí sa chcú dobre pripraviť a prejsť Jednotná štátna skúška z matematiky alebo ruského jazyka za vysoké skóre, školiace stredisko"Resolventa" vedie

Monotónnosť sekvencie

Monotónna sekvencia- poradie spĺňajúce jednu z nasledujúcich podmienok:

Medzi monotónnymi sekvenciami vynikajú tieto: prísne monotónne sekvencie spĺňajúce jednu z nasledujúcich podmienok:

Niekedy sa používa variant terminológie, v ktorom sa výraz „zvyšujúca sa sekvencia“ považuje za synonymum výrazu „neklesajúca sekvencia“ a výraz „klesajúca sekvencia“ sa považuje za synonymum výrazu „nezvyšujúca sa sekvencia“. ". V takom prípade sa zvyšujúce a klesajúce postupnosti z vyššie uvedenej definície nazývajú „prísne rastúce“ a „prísne klesajúce“.

Niektoré zovšeobecnenia

Môže sa ukázať, že vyššie uvedené podmienky nie sú splnené pre všetky čísla, ale len pre čísla z určitého rozsahu

(tu je povolené obrátiť pravú hranicu N+ do nekonečna). V tomto prípade sa volá sekvencia monotónna na intervale ja a samotný rozsah ja volal interval monotónnosti sekvencie.

Príklady

Pozri tiež

Nadácia Wikimedia.

2010.

Pozrite sa, čo je „Monotónnosť sekvencie“ v iných slovníkoch: Odvetvie matematiky, ktoré študuje vlastnosti rôznych funkcií. Teória funkcií spadá do dvoch oblastí: teória funkcií reálnej premennej a teória funkcií komplexnej premennej, pričom rozdiel medzi nimi je taký veľký, že... ...

Collierova encyklopédia

Tento výraz má iné významy, pozri Measure. Miera množiny je nezáporná veličina, intuitívne interpretovaná ako veľkosť (objem) množiny. V skutočnosti je miera určitá numerická funkcia, ktorá priraďuje každému... ... Wikipedia

Slávny spisovateľ. Rod. v Orli v roku 1871; jeho otec bol zememerač. Študoval na gymnáziu Oryol a na univerzitách v Petrohrade a Moskve, na Právnickej fakulte. Študent bol vo veľkej núdzi. Vtedy napísal svoj prvý príbeh „o... ... Veľká životopisná encyklopédia

Numerické metódy riešenia sú metódy, ktoré nahrádzajú riešenie okrajovej úlohy riešením diskrétnej úlohy (pozri Lineárna okrajová úloha; numerické metódy riešenia a Nelineárna rovnica; numerické metódy riešenia). V mnohých prípadoch, najmä pri zvažovaní...... Matematická encyklopédia

Voynichov rukopis bol napísaný pomocou neznámeho písacieho systému Voynich Manuscript (anglicky Voyni ... Wikipedia

Napísané neznámym písmom Voynichov rukopis je záhadná kniha napísaná asi pred 500 rokmi neznámym autorom v neznámom jazyku s použitím neznámej abecedy. Voynichov rukopis... ...Wikipedia

Sigismondo d'India (tal. Sigismondo d India, okolo 1582, Palermo? do 19. apríla 1629, Modena) taliansky hudobný skladateľ. Obsah 1 Životopis 2 Kreativita ... Wikipedia

Modernizácia- (Modernizácia) Modernizácia je proces zmeny niečoho v súlade s požiadavkami moderny, prechod na vyspelejšie podmienky, prostredníctvom zavádzania rôznych nových aktualizácií Teória modernizácie, typy modernizácie, organické... ... Encyklopédia investorov

Jeden z hlavných matematické pojmy, ktorého význam s rozvojom matematiky podliehal viacerým zovšeobecneniam. I. Dokonca aj v Euklidových „Prvkoch“ (3. storočie pred n. l.) boli vlastnosti V., teraz nazývané, jasne formulované tak, aby ich odlíšili od... ... Veľká sovietska encyklopédia

Weierstrassova limitná veta monotónna postupnosť

Akákoľvek monotónna ohraničená sekvencia (xn) má konečnú hranicu rovnajúcu sa presnej hornej hranici, sup(xn) pre neklesajúce a presné dolná hranica, inf(xn) pre nezvyšujúcu sa sekvenciu.
Akákoľvek monotónna neohraničená postupnosť má nekonečnú hranicu rovnajúcu sa plus nekonečnu pre neklesajúcu postupnosť a mínus nekonečno pre nerastúcu postupnosť.

Dôkaz

1) neklesajúca ohraničená postupnosť.

(1.1) .

Keďže postupnosť je ohraničená, má pevnú hornú hranicu
.
To znamená, že:

• pre všetky n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Tu sme tiež použili (1.3). V kombinácii s (1.2) nájdeme:
na .
Odvtedy
,
alebo
na .
Prvá časť vety bola dokázaná.

2) Nech je teraz poradie nerastúca ohraničená postupnosť:
(2.1) pre všetky n.

Keďže postupnosť je ohraničená, má pevnú spodnú hranicu
.
To znamená nasledovné:

• pre všetky n platia nasledujúce nerovnosti:
  (2.2) ;
• pre každé kladné číslo existuje číslo v závislosti od ε, pre ktoré
  (2.3) .

.
Tu sme tiež použili (2.3). Ak vezmeme do úvahy (2.2), zistíme:
na .
Odvtedy
,
alebo
na .
To znamená, že číslo je limitom postupnosti.
Druhá časť vety je dokázaná.

Teraz zvážte neobmedzené sekvencie.
3) Nech je postupnosť taká neobmedzená neklesajúca postupnosť.

Keďže postupnosť je neklesajúca, pre všetky n platia nasledujúce nerovnosti:
(3.1) .

Keďže postupnosť je neklesajúca a neohraničená, na pravej strane je neohraničená. Potom pre ľubovoľné číslo M existuje číslo v závislosti od M, pre ktoré
(3.2) .

Keďže postupnosť je neklesajúca, potom keď máme:
.
Tu sme tiež použili (3.2).

.
To znamená, že limit postupnosti je plus nekonečno:
.
Tretia časť vety je dokázaná.

4) Nakoniec zvážte prípad, kedy neohraničená nerastúca postupnosť.

Podobne ako v predchádzajúcom, pretože postupnosť sa nezvyšuje
(4.1) pre všetky n.

Keďže postupnosť je nerastúca a neohraničená, na ľavej strane je neohraničená. Potom pre ľubovoľné číslo M existuje číslo v závislosti od M, pre ktoré
(4.2) .

Keďže postupnosť sa nezvyšuje, potom keď máme:
.

Takže pre každé číslo M existuje také prirodzené číslo v závislosti od M tak, že pre všetky čísla platia nasledujúce nerovnosti:
.
To znamená, že limit postupnosti sa rovná mínus nekonečnu:
.
Veta je dokázaná.

Príklad riešenia problému

Pomocou Weierstrassovej vety dokážte konvergenciu postupnosti:
, , . . . , , . . .
Potom nájdite jeho hranicu.

Predstavme si postupnosť vo forme opakujúcich sa vzorcov:
,
.

Dokážme, že daná postupnosť je ohraničená vyššie hodnotou
(P1) .
Dôkaz sa vykonáva metódou matematickej indukcie.
.
Nechaj .
.
Potom

Nerovnosť (A1) je dokázaná.
;
Dokážme, že postupnosť rastie monotónne. .
(P2)
.
To znamená, že postupnosť sa prísne zvyšuje.

Keďže postupnosť je rastúca a ohraničená vyššie, je to ohraničená postupnosť. Preto má podľa Weierstrassovej vety limitu.

Poďme nájsť túto hranicu. Označme to:
.
Využime to
.
Aplikujme to na (A2) pomocou aritmetických vlastností limitov konvergentných postupností:
.
Podmienka je splnená koreňom.

Cieľ: Podať pojem, definíciu postupnosti, konečnej, nekonečnej, rôzne spôsoby definovania postupností, ich rozdiely, naučiť ich používať pri riešení príkladov.

Vybavenie: Stoly.

Priebeh lekcie

I. Organizačný moment.

II. Predná kontrola domácej úlohy:

1) študent na tabuľkovej úlohe č. 2.636 (z II. časti „Zbierky úloh na písomnú skúšku v 9. ročníku)

2) študent. Zostavte graf

3) frontálne s celou triedou č. 2.334 (a).

III. Vysvetlenie nového materiálu.

Školská prednáška je forma organizácie vzdelávacieho procesu, ktorá orientuje študentov pri štúdiu konkrétnej témy na hlavnú vec a zahŕňa širokú demonštráciu osobného postoja učiteľa a študentov k vzdelávaciemu materiálu. Pretože Lekcia-prednáška zabezpečuje veľkoblokovú prezentáciu učiva učiteľom, v jej technológii je potom hlavnou vecou verbálna komunikácia medzi učiteľom a študentmi. Slovo učiteľa pôsobí emocionálne, esteticky a vytvára určitý postoj k predmetu. Pomocou prednášky sa usmerňujú rôzne druhy žiackych aktivít na vyučovacích hodinách a prostredníctvom vedomostí, zručností a schopností sa formuje poznanie ako základ výchovno-vzdelávacej činnosti.

I. Zapíšte dvojciferné čísla končiace na 3 vo vzostupnom poradí.

13; 23; 33;………….93.

Všetkým sériové číslo Od 1 do 9 priraďte konkrétne dvojciferné číslo:

1->13; 2->23;………9->93.

Medzi množinou prvých deviatich prirodzených čísel a množinou dvojciferných čísel končiacich číslom 3 sa vytvorila korešpondencia. Táto korešpondencia je funkcia.

Oblasť definície je (1; 2; 3;……..9)

Mnoho hodnôt (13; 23; 33;…….93).

Ak je korešpondencia označená f, potom

Táto postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Tabuľka č.1

A)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) =;

g(3) =;

...

g(60)=

Funkcia definovaná na množine prirodzených čísel sa nazýva nekonečná postupnosť.

c) 2; 4; 6; 8; 10; ......

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- členovia postupnosti.

Poznámka: je potrebné rozlišovať medzi pojmom množina a pojmom postupnosť.

Rovnaká zostava.

{40; 30; 20; 10}

b) avšak sekvencie 10; 20; 30; 40

rôzne:

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

III. Zvážte postupnosť:

1) 3; 5; 7; 9; 11; ...... -> nekonečný, rastúci

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> konečný, klesajúci.

A)

Postupnosť sa nazýva rastúca, ak každý člen, počnúc druhým, je väčší ako predchádzajúci.

b)

Je uvedená definícia klesajúcej postupnosti.

Zvyšujúce sa alebo klesajúce sekvencie sa nazývajú monotónne.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - kolísavá;

5; 5; 5; 5; ….. - stály.

IV. Sekvencie môžu byť znázornené geometricky. Pretože postupnosť je funkcia, ktorej doménou definície je množina N, potom je graf zrejme množinou bodov roviny (x; y).

Príklad: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Zostavme si túto postupnosť

Obrázok 1

Príklad: Dokážte, že postupnosť uvedená v tomto tvare

99; 74; 49; 24; -1;……………

klesá.

V. Metódy špecifikácie sekvencií.

Pretože Sekvencia je funkcia definovaná na množine N, potom existuje päť spôsobov, ako definovať postupnosti:

I. Tabuľkový

II. Spôsob popisu

III. Analytický

IV. Grafický

V. Opakujúce sa

I. Tabuľkový - veľmi nepohodlný. Zostavíme tabuľku a pomocou nej určíme, ktorý člen? aké miesto zaberá....

II. Spôsob opisu.

Príklad: Postupnosť je taká, že každý člen je zapísaný pomocou čísla 4 a počet číslic sa rovná číslu postupnosti.

III. Analytická metóda (pomocou vzorca).

Vzorec, ktorý vyjadruje každý člen postupnosti v zmysle jeho čísla n, sa nazýva vzorec n člena postupnosti.

Napríklad:

a študenti tvoria tieto postupnosti a naopak: vyberte vzorec pre členy postupností:

a) 1; ;
b) ...
;…………..
V)
G)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;………….

IV. Grafická metóda tiež nie je príliš pohodlná a zvyčajne sa nepoužíva. Niekedy sa takéto sekvencie nazývajú prísne rastúce a, a výraz "V. p." platí pre sekvencie, ktoré spĺňajú všetky podmienky Takéto sekvencie sa nazývajú. tiež neklesá. Každá neklesajúca postupnosť ohraničená vyššie má konečnú hranicu a každá postupnosť, ktorá nie je ohraničená vyššie, má nekonečnú hranicu rovnajúcu sa +nekonečnu.

L. D. Kudrjavcev. Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia

.

I. M. Vinogradov. 1977-1985. Pozrite sa, čo je „INCURING SEQUENCE“ v iných slovníkoch: vo všeobecnosti EN vzostupne... Technická príručka prekladateľa

Úlohou nájsť najdlhšiu rastúcu podsekvenciu je nájsť najdlhšiu rastúcu podsekvenciu v danej postupnosti prvkov. Obsah 1 Úloha 2 Súvisiace algoritmy ... Wikipedia

Monotónna funkcia je funkcia, ktorej prírastok nemení znamienko, to znamená, že je buď vždy nezáporná alebo vždy kladná. Ak navyše prírastok nie je nula, potom sa o funkcii hovorí, že je prísne monotónna. Obsah 1 Definície 2 ... ... Wikipedia

Postupnosť Postupnosť čísel je postupnosť prvkov v číselnom priestore. Číselné čísla... Wikipedia

Ide o postupnosť, ktorej prvky pri zvyšovaní čísla neklesajú, alebo naopak nerastú. S takýmito sekvenciami sa často stretávame vo výskume a majú množstvo charakteristické črty a ďalšie vlastnosti... ... Wikipedia

Monotónna postupnosť je postupnosť, ktorá spĺňa jednu z nasledujúcich podmienok: pre ľubovoľné číslo platí nerovnosť (neklesajúca postupnosť), pre ľubovoľné číslo platí nerovnosť (nerastúca... ... Wikipedia

Odvetvie teórie čísel, v ktorom sa metricky (to znamená na základe teórie miery) študujú a charakterizujú množiny čísel, ktoré majú určité aritmetické vlastnosti. vlastnosti. M. t.h. úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti, čo niekedy umožňuje... ... Matematická encyklopédia

Povedzte, že každá ohraničená rastúca postupnosť má limitu a že táto limita sa rovná jej supremu. Napriek jednoduchosti dôkazu sa táto veta ukazuje ako veľmi vhodná na nájdenie hraníc mnohých... ... Wikipedia

Veta, ktorá dáva odhad hustoty súčtu dvoch postupností. Nech A=(0, a 1, a.2,..., a i, ...) je rastúca postupnosť celých čísel a hustota postupnosti je Anaz. množstvo je aritmetický súčet dvoch... ... Matematická encyklopédia

Priestor konjugovaný s priestorom základných (dosť dobrých) funkcií. Dôležitú úlohu tu zohrávajú Fréchetove priestory (typu FS) a silne konjugované priestory (typu DFS). Priestor typu FS je projektívny limit kompaktu... ... Matematická encyklopédia