Koncept náhodnej premennej. Diskrétne a spojité náhodné premenné. Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti a jej vlastnosti. Hustota rozdelenia pravdepodobnosti a jej vlastnosti. Numerické charakteristiky náhodných premenných: matematické očakávanie, disperzia a ich vlastnosti, smerodajná odchýlka, modus a medián; počiatočné a centrálne momenty, asymetria a špičatosť. Numerické charakteristiky aritmetického priemeru n nezávislých náhodných premenných.

Koncept náhodnej premennej

Náhodný je veličina, ktorá v dôsledku testovania nadobúda jednu alebo druhú (ale len jednu) možnú hodnotu, vopred neznámu, meniacu sa od testu k testu a v závislosti od náhodných okolností. Na rozdiel od náhodná udalosť, čo je kvalitatívna charakteristika výsledku náhodného testu, náhodná premenná kvantitatívne charakterizuje výsledok testu. Príklady náhodnej premennej zahŕňajú veľkosť obrobku, chybu vo výsledku merania akéhokoľvek parametra produktu alebo prostredia. Medzi náhodnými premennými, s ktorými sa v praxi stretávame, možno rozlíšiť dva hlavné typy: diskrétne a spojité.

Diskrétne je náhodná premenná, ktorá nadobúda konečnú alebo nekonečnú spočítateľnú množinu hodnôt. Napríklad: miera zásahov s tromi ranami; počet chybných výrobkov v dávke n kusov; počet hovorov prijatých na telefónnej ústredni počas dňa; počet porúch prvkov zariadenia za určité časové obdobie pri testovaní spoľahlivosti; počet výstrelov do prvého zásahu do terča a pod.

Nepretržitý je náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z určitého konečného alebo nekonečného intervalu. Je zrejmé, že počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej je nekonečný. Napríklad: chyba pri meraní dosahu radaru; doba prevádzky mikroobvodu; výrobná chyba dielov; koncentrácia soli v morská voda atď.

Náhodné premenné sa zvyčajne označujú písmenami X,Y atď. a ich možné hodnoty x,y atď. Na definovanie náhodnej premennej nestačí uviesť všetky jej možné hodnoty. Je tiež potrebné vedieť, ako často sa niektoré z jeho hodnôt môžu objaviť ako výsledok testov za rovnakých podmienok, t.j. musíte nastaviť pravdepodobnosti ich výskytu. Súbor všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a ich zodpovedajúcich pravdepodobností tvorí rozdelenie náhodnej premennej.

Zákony rozdelenia náhodných premenných

Zákon distribúcie náhodná premenná je zhoda medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. O náhodnej premennej sa hovorí, že sa riadi daným distribučným zákonom. Volajú sa dve náhodné premenné nezávislý ak distribučný zákon jedného z nich nezávisí od toho, aké možné hodnoty nadobudlo druhé množstvo. V opačnom prípade sa volajú náhodné premenné závislý. Nazýva sa niekoľko náhodných premenných vzájomne nezávislé ak zákony rozdelenia ľubovoľného počtu z nich nezávisia od toho, aké možné hodnoty nadobudli ostatné množstvá.

Distribučný zákon náhodnej premennej môže byť špecifikovaný vo forme tabuľky, distribučnej funkcie alebo distribučnej hustoty. Tabuľka obsahujúca možné hodnoty náhodnej premennej a zodpovedajúce pravdepodobnosti je najjednoduchšia forma upresňujúci zákon rozdelenia náhodnej premennej.

\begin(pole)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1 )&p_n\\\hline\end(pole)

Tabuľkovú definíciu distribučného zákona možno použiť len pre diskrétnu náhodnú premennú s konečným počtom možných hodnôt. Tabuľková forma špecifikácie zákona náhodnej veličiny sa nazýva aj distribučný rad.

Pre prehľadnosť je distribučná séria prezentovaná graficky. O grafické znázornenie V pravouhlý systém súradnice, os x ukazuje všetky možné hodnoty náhodnej premennej a zvislá os ukazuje zodpovedajúce pravdepodobnosti. Nazývajú sa body (x_i,p_i) spojené priamymi úsečkami distribučný polygón(obr. 5). Malo by sa pamätať na to, že spojenie bodov (x_i,p_i) sa vykonáva len z dôvodu prehľadnosti, pretože v intervaloch medzi x_1 a x_2, x_2 a x_3 atď. neexistujú žiadne hodnoty, ktoré môže náhodná premenná X nadobudnúť. , takže pravdepodobnosť jeho výskytu v týchto intervaloch sa rovná nule.

Distribučný polygón, podobne ako distribučný rad, je jednou z foriem špecifikácie distribučného zákona diskrétnej náhodnej premennej. Môžu mať rôzne tvary, ale všetky majú jeden spoločný majetok: súčet súradníc vrcholov distribučného polygónu, ktorý je súčtom pravdepodobností všetkých možných hodnôt náhodnej premennej, sa vždy rovná jednej. Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že všetky možné hodnoty náhodnej premennej X tvoria ucelenú skupinu nekompatibilných udalostí, ktorých súčet pravdepodobností je rovný jednej.

Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti a jej vlastnosti

Rozdeľovacia funkcia je najvšeobecnejšou formou špecifikácie distribučného zákona. Používa sa na špecifikáciu diskrétnych aj spojitých náhodných premenných. Zvyčajne sa označuje F(x) . Distribučná funkcia určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnoty menšie ako pevné reálne číslo x, t.j. F(x)=P\(X kumulatívna distribučná funkcia.

Geometrická interpretácia distribučnej funkcie je veľmi jednoduchá. Ak sa náhodná veličina považuje za náhodný bod X osi Ox (obr. 6), ktorý v dôsledku testu môže zaujať jednu alebo druhú polohu na osi, potom distribučná funkcia F(x) je pravdepodobnosť, že náhodný bod X ako výsledok testu spadne do ľavých bodov x.

Pre diskrétnu náhodnú premennú X, ktorá môže nadobúdať hodnoty, má distribučná funkcia tvar

F(x)=\súčet\limity_(x_i
kde nerovnosť x_i

Spojitá náhodná veličina má spojitú distribučnú funkciu, graf tejto funkcie má tvar hladkej krivky (obr. 8).

Uvažujme o všeobecných vlastnostiach distribučných funkcií.

Vlastnosť 1. Distribučná funkcia je nezáporná, funkcia medzi nulou a jednotkou:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Platnosť tejto vlastnosti vyplýva zo skutočnosti, že distribučná funkcia F(x) je definovaná ako pravdepodobnosť náhodného javu spočívajúceho v tom, že X

Vlastnosť 2. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná spadne do intervalu [\alpha;\beta) sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch tohto intervalu, t.j.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Z toho vyplýva, že pravdepodobnosť akejkoľvek jednotlivej hodnoty spojitej náhodnej veličiny je nulová.

Vlastnosť 3. Distribučná funkcia náhodnej veličiny je neklesajúca funkcia, t.j. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Vlastnosť 4. V mínus nekonečne sa distribučná funkcia rovná nule a v plus nekonečne sa rovná jednej, t.j. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 A \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Príklad 1. Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej je daná výrazom

F(x)=\začiatok(prípady)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\end(prípady).

Nájdite koeficient a a nakreslite F(x) . Určte pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu na intervale ako výsledok experimentu.

Riešenie. Keďže distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej X je spojitá, potom pre x=3 dostaneme a(3-1)^2=1. Preto a=\frac(1)(4) . Graf funkcie F(x) je na obr. 9.

Na základe druhej vlastnosti distribučnej funkcie máme

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Hustota rozdelenia pravdepodobnosti a jej vlastnosti

Distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny je jej pravdepodobnostnou charakteristikou. Má však nevýhodu v tom, že je ťažké z neho posúdiť povahu rozloženia náhodnej premennej v malom okolí jedného alebo druhého bodu na číselnej osi. Jasnejšiu predstavu o povahe rozdelenia spojitej náhodnej premennej poskytuje funkcia nazývaná hustota rozdelenia pravdepodobnosti alebo funkcia diferenciálneho rozdelenia náhodnej premennej.

Hustota distribúcie f(x) sa rovná derivácii distribučnej funkcie F(x), t.j.

F(x)=F"(x).

Význam distribučnej hustoty f(x) je ten, že udáva, ako často sa náhodná premenná X objaví v niektorom okolí bodu x pri opakovaní experimentov. Nazýva sa krivka zobrazujúca hustotu distribúcie f(x) náhodnej premennej distribučná krivka.

Uvažujme vlastnosti distribučnej hustoty.

Vlastnosť 1. Hustota distribúcie je nezáporná, t.j.

F(x)\geqslant0.

Vlastnosť 2. Distribučná funkcia náhodnej premennej sa rovná integrálu hustoty v intervale od -\infty do x, t.j.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Vlastnosť 3. Pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X spadne do sekcie (\alpha;\beta) sa rovná integrálu hustoty rozdelenia prevzatej z tejto sekcie, t.j.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Vlastnosť 4. Integrál cez nekonečné limity hustoty distribúcie sa rovná jednote:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Príklad 2. Náhodná veličina X podlieha distribučnému zákonu s hustotou

F(x)=\začiatok(prípady)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(cases)

Určite koeficient a; zostrojiť graf hustoty distribúcie; nájsť pravdepodobnosť náhodnej premennej spadajúcej do oblasti od 0 do \frac(\pi)(2), určiť distribučnú funkciu a zostrojiť jej graf.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Ak vezmeme do úvahy vlastnosť 4 hustoty distribúcie, nájdeme a=\frac(1)(2) . Preto je možné hustotu distribúcie vyjadriť takto:

F(x)=\začiatok(prípady)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(prípady).

Graf hustoty distribúcie na obr. 10. Podľa vlastnosti 3 máme

P\!\left\(0

Na určenie distribučnej funkcie používame vlastnosť 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Takto máme

F(x)=\začiatok(prípady)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(prípady).

Graf distribučnej funkcie je znázornený na obr. 11

Numerické charakteristiky náhodných premenných

Distribučný zákon plne charakterizuje náhodnú premennú z pravdepodobnostného hľadiska. Pri riešení množstva praktických problémov však nie je potrebné poznať všetky možné hodnoty náhodnej premennej a zodpovedajúce pravdepodobnosti, ale je vhodnejšie použiť niektoré kvantitatívne ukazovatele. Takéto ukazovatele sa nazývajú číselné charakteristiky náhodnej premennej. Hlavnými sú matematické očakávanie, rozptyl, momenty rôznych rádov, modus a medián.

Matematické očakávanie sa niekedy nazýva priemerná hodnota náhodnej premennej. Uvažujme diskrétnu náhodnú premennú X naberajúcu hodnoty x_1, x_2,\ldots,x_n s príslušnými pravdepodobnosťami p_1, p_2,\ldots,p_n Určme aritmetický priemer hodnôt náhodnej premennej, vážený pravdepodobnosťou ich výskytu. Vypočítame teda priemernú hodnotu náhodnej premennej alebo jej matematické očakávanie M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Vzhľadom na to \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1 dostaneme

M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

takže, matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná je súčet súčinov všetkých jej možných hodnôt a zodpovedajúcich pravdepodobností.

Pre spojitú náhodnú premennú matematické očakávanie

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Očakávanie spojitej náhodnej premennej X, ktorých možné hodnoty patria do segmentu,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Pomocou funkcie rozdelenia pravdepodobnosti F(x) možno matematické očakávanie náhodnej premennej vyjadriť takto:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Vlastnosti matematického očakávania

Vlastnosť 1. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Vlastnosť 2. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:

M(XY)=M(X)M(Y).

Vlastnosť 3. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante:

M(c)=c.

Vlastnosť 4. Konštantný multiplikátor náhodnej premennej možno vyňať zo znamienka matematického očakávania:

M(cX)=cM(X).

Vlastnosť 5. Matematické očakávanie odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania sa rovná nule:

M(X-M(X))=0.

Príklad 3. Nájdite matematické očakávanie počtu chybných výrobkov vo vzorke piatich výrobkov, ak náhodná premenná X (počet chybných výrobkov) je daná distribučným radom.

\begin(pole)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(pole)

Riešenie. Pomocou vzorca (4.1) nájdeme

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Mód M_0 diskrétnej náhodnej premennej jeho najpravdepodobnejšia hodnota je tzv.

Mód M_0 spojitej náhodnej premennej volá sa jej hodnota, ktorá zodpovedá najväčšej hodnote hustoty rozloženia. Geometricky sa modus interpretuje ako úsečka globálneho maximálneho bodu distribučnej krivky (obr. 12).

Medián M_e náhodnej premennej jeho hodnota sa nazýva, pre ktorú platí rovnosť

P\(X M_e\).

Z geometrického hľadiska je medián úsečkou bodu, v ktorom je plocha obrazca ohraničená krivkou rozdelenia pravdepodobnosti a osou úsečky rozdelená na polovicu (obr. 12). Keďže celá plocha ohraničená distribučnou krivkou a osou x sa rovná jednotke, distribučná funkcia v bode zodpovedajúcom mediánu je rovná 0,5, t.j.

F(M_e)=P\(X

Pomocou disperzie a štandardnej odchýlky je možné posúdiť rozptyl náhodnej premennej okolo matematického očakávania. Ako miera rozptylu náhodnej premennej sa používa matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania, tzv. rozptyl náhodnej premennej X a označujú D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

Pre diskrétnu náhodnú premennú sa rozptyl rovná súčtu súčinov štvorcových odchýlok hodnôt náhodnej premennej od jej matematického očakávania a zodpovedajúcich pravdepodobností:

D[X]=\sum\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Pre spojitú náhodnú premennú, ktorej zákon rozdelenia je určený hustotou rozdelenia pravdepodobnosti f(x) , je rozptyl

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Dimenzia rozptylu sa rovná druhej mocnine rozmeru náhodnej premennej, a preto sa nedá interpretovať geometricky. Smerodajná odchýlka náhodnej veličiny, ktorá sa vypočíta podľa vzorca, tieto nevýhody nemá

\sigma=\sqrt(D[X]).

Vlastnosti disperzie náhodných veličín

Vlastnosť 1. Rozptyl súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov týchto premenných:

D=D[X]+D[Y].

Vlastnosť 2. Rozptyl náhodnej premennej sa rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej X a druhou mocninou jej matematického očakávania:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4,3).

Vlastnosť 3. Rozptyl konštantnej hodnoty je nula:

D[c]=0.

Vlastnosť 4. Konštantný multiplikátor náhodnej premennej možno zo znamienka disperzie odstrániť tak, že ho najprv umocníme na druhú:

D=c^2D[X].

Vlastnosť 5. Rozptyl súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných X a Y je určený vzorcom

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Príklad 4. Vypočítajte rozptyl počtu chybných produktov pre distribúciu podľa príkladu 3.

Riešenie. Podľa definície rozptylu

Zovšeobecnením základných číselných charakteristík náhodnej veličiny je pojem momenty náhodnej veličiny.

Počiatočný moment q-tého rádu náhodná premenná je matematické očakávanie hodnoty X^q:

Počiatočný moment prvého rádu predstavuje matematické očakávanie a centrálny moment druhého rádu predstavuje rozptyl náhodnej premennej.

Normalizovaný centrálny moment tretieho rádu charakterizuje šikmosť alebo asymetriu rozloženia ( koeficient asymetrie):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Normalizovaný centrálny moment štvrtého rádu slúži ako charakteristika vrcholovosti alebo plochosti rozloženia ( prebytok):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Príklad 5. Náhodná premenná X je špecifikovaná hustotou rozdelenia pravdepodobnosti

F(x)=\začiatok(prípady)0,&x<0;\\ax^2,&02.\koniec (prípady).

Nájdite koeficient a, matematické očakávanie, disperziu, šikmosť a špičatosť.

Riešenie. Plocha ohraničená distribučnou krivkou sa číselne rovná

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^) 3)(3))\vpravo|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Vzhľadom na to, že táto oblasť by sa mala rovnať jednotke, nájdeme a=\frac(3)(8) . Pomocou vzorca (4.2) nájdeme matematické očakávanie:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

Stanovme disperziu pomocou vzorca (4.3). Aby sme to dosiahli, najprv nájdeme matematické očakávanie druhej mocniny náhodnej premennej:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\vľavo.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\vpravo|_(0)^(2)=2,\!4.

teda

\začiatok(zarovnané)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\približne 0,\!3873.\end(zarovnané)

Pomocou počiatočných momentov vypočítame centrálne momenty tretieho a štvrtého rádu:

\začiatok(zarovnané)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end (zarovnané)

Numerické charakteristiky aritmetického priemeru n nezávislých náhodných premenných

Nechaj x_1, x_2,\ldots,x_n- hodnoty náhodnej premennej X získané v n nezávislých testoch. Matematické očakávanie náhodnej premennej je M(X) a jej rozptyl je D[X] . Tieto hodnoty možno považovať za nezávislé náhodné premenné X_1,X_2,\ldots,X_n s rovnakými matematickými očakávaniami a rozptylmi:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Aritmetický priemer týchto náhodných premenných

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Pomocou vlastností matematického očakávania a disperzie náhodnej premennej môžeme písať:

\začiatok(zarovnané)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\súčet\limity_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4,4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4,5)\end(zarovnané)

Prejdite na ďalšiu sekciu
Viacrozmerné náhodné premenné Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Ak chcete vykonávať výpočty, musíte povoliť ovládacie prvky ActiveX!

NÁHODNÉ PREMENNÉ

§ 1. KONCEPCIA NÁHODNEJ PREMENNE.

Vo fyzike a iných prírodných vedách existuje veľa rôznych veličín rôzneho charakteru, ako je čas, dĺžka, objem, hmotnosť atď. Konštantná veličina je veličina, ktorá nadobúda iba jednu pevnú hodnotu. Veličiny, ktoré môžu nadobudnúť rôzne hodnoty, sa nazývajú premenné. Množstvo sa považuje za dané, ak je špecifikovaný súbor hodnôt, ktoré môže nadobudnúť. Ak je jednoznačne známe, akú hodnotu z množiny nadobudne veličina pri vytváraní určitých podmienok, hovorí sa o „obyčajnej“, deterministickej veličine. Príkladom takéhoto množstva je počet písmen v slove. Väčšina fyzikálnych veličín sa meria pomocou prístrojov s inherentnou presnosťou merania a v zmysle vyššie uvedenej definície nie sú „bežné“. Tieto druhy „nezvyčajných“ množstiev sa nazývajú náhodný . Pre náhodné veličiny je vhodné množinu nazývať množinou možných hodnôt. Náhodná premenná nadobúda jednu alebo druhú hodnotu s určitou pravdepodobnosťou. Všimnite si, že všetky veličiny možno považovať za náhodné, keďže deterministická veličina je náhodná premenná, ktorá nadobúda každú hodnotu s pravdepodobnosťou rovnajúcou sa jednej. Všetko uvedené vyššie je dostatočným základom pre štúdium náhodných premenných.

Definícia. Náhodná premenná je veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú (ale nevyhnutne iba jednu) hodnotu a nie je vopred známe, pred experimentom, ktorú.

Koncept náhodnej premennej je základným pojmom v teórii pravdepodobnosti a hrá dôležitú úlohu v jej aplikáciách.

Náhodné premenné sú označené: a ich hodnoty: .

Existujú dve hlavné triedy náhodných premenných: diskrétne a spojité.

Definícia. Diskrétna náhodná premenná je náhodná premenná, ktorej počet možných hodnôt je konečný alebo spočítateľný.

Príklady diskrétne náhodné premenné:

1. - miera zásahov tromi ranami. Možné hodnoty:

2. - počet chybných výrobkov z kusov. Možné hodnoty:

3. - počet výstrelov pred prvým zásahom. Možné hodnoty:

Definícia. Spojitá náhodná premenná je náhodná premenná, ktorej možné hodnoty nepretržite vypĺňajú určitý interval (konečný alebo nekonečný).

Príklady spojité náhodné premenné:

1. - náhodná odchýlka v dosahu od bodu zásahu k cieľu pri výstrele zo zbrane.

Keďže strela môže zasiahnuť ktorýkoľvek bod v intervale ohraničenom minimálnou a maximálnou hodnotou možného dosahu strely pre danú zbraň, možné hodnoty náhodnej veličiny vypĺňajú medzeru medzi minimálnou a maximálnou hodnotou.

2. - chyby v radarových meraniach.

3. - doba prevádzky zariadenia.

Náhodná premenná je akýmsi abstraktným vyjadrením nejakej náhodnej udalosti. Každá náhodná udalosť môže byť spojená s jednou alebo viacerými náhodnými premennými, ktoré ju charakterizujú. Napríklad pri streľbe na terč môžete zvážiť nasledujúce náhodné premenné: počet zásahov do terča, frekvenciu zásahov do terča, počet bodov získaných pri zasiahnutí určitých oblastí terča atď.

§ 2 ZÁKONY ROZDELENIA PRAVDEPODOBNOSTI

NÁHODNÉ PREMENNÉ.

Definícia. Zákon rozdelenia náhodnej premennej je akýkoľvek vzťah, ktorý vytvára spojenie medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami.

Ak si spomenieme na definíciu funkcie, potom distribučný zákon je funkcia, ktorej doménou definície je rozsah hodnôt náhodnej premennej a rozsah hodnôt danej funkcie pozostáva z pravdepodobností hodnoty náhodnej premennej.

2.1. DISTRIBUČNÝ ROZSAH

Uvažujme o diskrétnej náhodnej premennej, ktorej možné hodnoty sú nám známe. Poznanie hodnôt náhodnej premennej nám však samozrejme neumožňuje úplne ju opísať, pretože nemôžeme povedať, ako často by sme mali očakávať určité možné hodnoty náhodnej premennej pri opakovaní experimentu za rovnakých podmienok. Aby ste to dosiahli, musíte poznať zákon rozdelenia pravdepodobnosti.

Diskrétna náhodná premenná v dôsledku experimentu nadobudne jednu zo svojich možných hodnôt, t.j. dôjde k jednej z nasledujúcich udalostí:

ktoré tvoria ucelenú skupinu nezlučiteľných udalostí.

Pravdepodobnosť týchto udalostí:

Najjednoduchší zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej je tabuľka, ktorá zobrazuje všetky možné hodnoty náhodnej premennej a zodpovedajúce pravdepodobnosti:

Táto tabuľka sa nazýva blízko distribúcie náhodná premenná.

Pre prehľadnosť možno distribučný rad znázorniť grafom:

Táto prerušovaná čiara sa nazýva distribučný polygón . Toto je tiež jedna z foriem špecifikácie distribučného zákona diskrétnej náhodnej premennej.

Súčet ordinátov distribučného polygónu, ktorý predstavuje súčet pravdepodobností všetkých možných hodnôt náhodnej premennej, sa rovná jednej.

Príklad 1 Padli tri výstrely na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu pri každom výstrele je 0,7. Zostavte distribučnú sériu pre počet prístupov.

Náhodná premenná – „počet zásahov“ môže nadobúdať hodnoty od 0 do 3 – x a v tomto prípade sú pravdepodobnosti určené Bernoulliho vzorcom:

.

	0,027	0,189	0,441	0,343

Vyšetrenie

Príklad 2 Urna obsahuje 4 biele a 6 čiernych loptičiek. Náhodne sa vyžrebujú 4 loptičky. Nájdite zákon rozdelenia náhodnej premennej - „počet bielych loptičiek medzi vybranými“.

Táto náhodná premenná môže nadobúdať hodnoty od 0 do 4 – x. Nájdite pravdepodobnosti možných hodnôt náhodnej premennej.

Môžeme skontrolovať, či súčet získaných pravdepodobností je rovný jednej.

2.2. DISTRIBUČNÁ FUNKCIA.

Distribučný rad nemožno zostrojiť pre spojitú náhodnú premennú, pretože nadobúda nekonečne veľa hodnôt. Univerzálnejší distribučný zákon vhodný pre diskrétne aj spojité náhodné premenné je distribučná funkcia.

Definícia. Distribučná funkcia (zákon integrálneho rozdelenia) náhodnej veličiny je priradenie pravdepodobnosti splnenia nerovnosti , t.j.

(1)

Distribučná funkcia sa teda rovná pravdepodobnosti, že náhodná premenná v dôsledku experimentu spadne naľavo od bodu .

Pre diskrétnu náhodnú premennú, pre ktorú poznáme distribučný rad:

distribučná funkcia bude vyzerať takto:

Graf distribučnej funkcie diskrétnej náhodnej premennej je nespojitý krokový obrazec. Pre prehľadnosť sa pozrime na príklad.

Príklad 3 Je uvedený rad distribúcií. Nájdite distribučnú funkciu a nakreslite ju

	0,2	0,1	0,3	0,4

podľa definície

VLASTNOSTI FUNKCIE ROZVODU

1 Distribučná funkcia je nezáporná funkcia, ktorej hodnoty ležia medzi 0 a 1, t.j.

2 Pravdepodobnosť výskytu náhodnej premennej v intervale sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch intervalu:

3 Rozdeľovacia funkcia je neklesajúca funkcia, t.j. po dokončení: ;

Prejdime v rovnosti (2) k limitu pri . Namiesto pravdepodobnosti pádu náhodnej veličiny do intervalu získame pravdepodobnosť bodovej hodnoty náhodnej veličiny, t.j.

Hodnota tejto limity závisí od toho, či je bod bodom spojitosti funkcie, alebo či má funkcia v tomto bode nespojitosť. Ak je funkcia spojitá v bode , potom je limita 0, t.j. . Ak má funkcia v tomto bode diskontinuitu (typ 1), potom sa limita rovná hodnote skoku funkcie v bode.

Keďže spojitá náhodná veličina má spojitú distribučnú funkciu, z rovnosti limity (3) k nule vyplýva, že pravdepodobnosť akejkoľvek pevnej hodnoty spojitej náhodnej veličiny je nulová. Vyplýva to zo skutočnosti, že existuje nekonečne veľa možných hodnôt spojitej náhodnej premennej. Z toho najmä vyplýva, že sa zhodujú tieto pravdepodobnosti:

Dané vlastnosti distribučnej funkcie možno formulovať nasledovne: distribučná funkcia je nezáporná neklesajúca funkcia, ktorá spĺňa podmienky: Platí aj opačné tvrdenie: monotónne rastúca spojitá funkcia, ktorá spĺňa podmienky.

je distribučná funkcia nejakej spojitej náhodnej premennej. Ak sú hodnoty tejto veličiny sústredené v určitom intervale, potom môže byť graf tejto funkcie schematicky znázornený takto:

Uvažujme príklad. Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej je špecifikovaná takto:

Nájdite hodnotu "", vytvorte graf a nájdite pravdepodobnosť

Pretože distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej je spojitá, potom je to spojitá funkcia a musí byť splnená rovnosť:

alebo , t.j.

Nakreslíme túto funkciu

Nájdeme požadovanú pravdepodobnosť

Komentujte. Distribučná funkcia, niekedy tiež tzv integrálny zákon rozdeľovania . Nižšie vám presne vysvetlíme prečo.

2.3 HUSTOTA DISTRIBÚCIE .

Od používania funkcie diskrétneho rozdelenia

náhodná veličina v ktoromkoľvek bode vieme určiť pravdepodobnosť možných hodnôt, potom jednoznačne určuje distribučný zákon diskrétnej náhodnej veličiny.

Z distribučnej funkcie je však ťažké posúdiť charakter rozloženia spojitej náhodnej premennej v malom okolí konkrétneho bodu na číselnej osi.

Vizuálnejšie znázornenie povahy rozloženia spojitej náhodnej premennej v blízkosti rôznych bodov poskytuje funkcia tzv hustota distribúcie (alebo zákon diferenciálnej distribúcie)

Nech je spojitá náhodná premenná s distribučnou funkciou. Nájdite pravdepodobnosť, že táto náhodná premenná spadne do elementárnej sekcie.

Podľa vzorca (2) máme

Rozdeľme túto rovnosť podľa

Vzťah vľavo je tzv priemerná pravdepodobnosť na jednotku dĺžky úseku.

Vzhľadom na to, že funkcia je diferencovateľná, pristúpme k limitu tejto rovnosti

Definícia. Hranica pomeru pravdepodobnosti dopadu spojitej náhodnej premennej na elementárny úsek k dĺžke tohto úseku pri je tzv. hustota distribúcie spojité náhodné množstvo a označuje sa následne,

Hustota distribúcie ukazuje, ako často sa náhodná premenná objaví v určitom okolí bodu pri opakovaní experimentov.

Krivka znázorňujúca graf hustoty distribúcie je tzv distribučná krivka.

Ak možné hodnoty náhodnej premennej vyplnia určitý interval, potom mimo tohto intervalu.

Definícia. Náhodná premenná sa nazýva nepretržitý , ak je jeho distribučná funkcia spojitá na celej číselnej osi a hustota rozdelenia je spojitá všade, možno s výnimkou konečného počtu bodov (body diskontinuity 1. druhu).

HUSTOTNÉ DISTRIBUČNÉ VLASTNOSTI

1. Distribučná hustota je nezáporná, t.j.

(vyplýva to zo skutočnosti, že ide o deriváciu neklesajúcej funkcie).

2. Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej

sme rovní integrálu hustoty rozdelenia (a teda je zákon integrálneho rozdelenia), t.j.

Vskutku, (podľa definície diferenciálu funkcie). teda

Na grafe hustoty distribúcie funkcia distribúcie

je reprezentovaná oblasťou zatienenej oblasti.

3. Pravdepodobnosť pádu náhodnej premennej do oblasti sa rovná integrálu hustoty rozloženia cez tento interval, t.j.

v skutočnosti

4. Integrál nad nekonečnými hranicami hustoty rozdelenia sa rovná jednotke, t.j.

Inými slovami, plocha obrázku pod grafom hustoty distribúcie sa rovná 1. Najmä ak sú možné hodnoty náhodnej premennej sústredené v oblasti, potom

Príklad. Nech je hustota rozdelenia definovaná funkciou

Nájdite: a) hodnotu parametra; b) distribučná funkcia c) Vypočítajte pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnotu zo segmentu .

a) Podľa majetku 4, . Potom

b) Podľa majetku 2, Ak

ak , .

teda

c) Podľa majetku 3,

§ 3. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY NÁHODNÉHO

Pri riešení mnohých praktických problémov nie je potrebné poznať všetky pravdepodobnostné charakteristiky náhodnej veličiny. Niekedy stačí poznať len niektoré číselné charakteristiky zákona o rozdelení.

Číselné charakteristiky umožňujú v stručnej forme vyjadriť najvýznamnejšie znaky konkrétneho rozdelenia.

Pre každú náhodnú premennú je v prvom rade potrebné poznať jej priemernú hodnotu, okolo ktorej sú zoskupené všetky možné hodnoty tejto hodnoty, ako aj určité číslo charakterizujúce stupeň rozptylu týchto hodnôt vzhľadom na priemer.

Rozlišuje sa medzi polohovými charakteristikami a rozptylovými charakteristikami. Jednou z najdôležitejších charakteristík pozície je jej matematické očakávanie.

3.1 Matematické očakávanie (priemerná hodnota).

Najprv zvážime diskrétnu náhodnú premennú s možnými hodnotami s pravdepodobnosťou

Definícia. Matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná je súčet súčinov všetkých možných hodnôt tejto premennej a ich pravdepodobnosti, t.j.

Inak sa označuje matematické očakávanie

Príklad. Nech je daný distribučný rad:

	0,2	0,1	0,3	0,4

Uvažujme teraz spojitú náhodnú premennú, ktorej všetky možné hodnoty sú obsiahnuté v intervale .

Rozdeľme tento segment na čiastkové segmenty, ktorých dĺžky označíme: , a v každom parciálnom intervale vezmeme ľubovoľný bod, resp.

Keďže súčin sa približne rovná pravdepodobnosti náhodnej premennej dopadajúcej na elementárny úsek , potom súčet súčinov zostavený analogicky s definíciou matematického očakávania diskrétnej náhodnej premennej, sa približne rovná matematickému očakávaniu spojitej náhodnej premennej Let .

Potom

Definícia. Matematické očakávanie spojitá náhodná premenná sa nazýva nasledujúci určitý integrál:

(2)

Ak spojitá náhodná premenná nadobúda hodnoty na celej číselnej osi, potom

Príklad. Nech je daná hustota distribúcie spojitej náhodnej premennej:

Potom je jeho matematické očakávanie:

Pojem matematického očakávania má jednoduchý mechanický výklad. Rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej možno interpretovať ako rozdelenie jednotkovej hmotnosti pozdĺž priamky. Diskrétna náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťou, zodpovedá priamke, na ktorej sú hmoty sústredené v bodoch. Spojitá náhodná premenná zodpovedá spojitému rozloženiu hmotností pozdĺž celej priamky alebo na konečnom segmente tejto priamky. Potom je to matematické očakávanie úsečka ťažiska .

VLASTNOSTI MATEMATICKÉHO OČAKÁVANIA

1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante:

2. Konštantný faktor možno vyňať z matematického znaku očakávania:

3. Matematické očakávanie algebraického súčtu náhodných premenných sa rovná algebraickému súčtu ich matematických očakávaní:

4. Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:

5. Matematické očakávanie odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania sa rovná nule:

3.2. Mód a medián náhodnej premennej.

Toto sú ďalšie dve charakteristiky polohy náhodnej premennej.

Definícia. Móda diskrétnej náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšia hodnota. Pre spojitú náhodnú premennú je mód bodom maxima funkcie.

Ak distribučný polygón (pre diskrétnu náhodnú premennú) alebo distribučná krivka (pre spojitú náhodnú premennú) má dva alebo viac maximálnych bodov, potom sa rozdelenie nazýva bimodálne alebo multimodálne.

Ak neexistuje maximálny bod, potom sa rozdelenie nazýva antimodálne.

Definícia. Medián náhodná veličina je jej hodnota, voči ktorej je rovnako pravdepodobné, že sa získa väčšia alebo menšia hodnota náhodnej veličiny, t.j.

Inými slovami, toto je súradnica bodu, v ktorom je plocha pod grafom hustoty distribúcie (polygón distribúcie) rozdelená na polovicu.

Príklad. Hustota náhodnej premennej je daná:

Nájdite medián tejto náhodnej premennej.

Nájdite medián z podmienky . v našom prípade

Zo štyroch koreňov si musíte vybrať ten, ktorý je medzi 0 a 2, t.j.

Komentujte. Ak je rozdelenie náhodnej premennej unimodálne a symetrické (normálne), potom sa všetky tri charakteristiky pozície: matematické očakávanie, modus a medián zhodujú.

3.3 Rozptyl a štandardná odchýlka.

Hodnoty pozorovaných náhodných premenných zvyčajne kolíšu viac-menej okolo nejakej priemernej hodnoty. Tento jav sa nazýva rozptyl náhodnej premennej okolo jej strednej hodnoty. Číselné charakteristiky, ktoré ukazujú, ako tesne sú možné hodnoty náhodnej hodnoty zoskupené okolo priemeru, sa nazývajú rozptylové charakteristiky. Z vlastnosti 5 matematického očakávania vyplýva, že lineárna odchýlka hodnôt náhodnej veličiny od priemernej hodnoty nemôže slúžiť ako charakteristika rozptylu, pretože kladné a záporné odchýlky sa navzájom „rušia“. Preto sa za hlavnú charakteristiku rozptylu náhodnej premennej považuje matematické očakávanie štvorcovej odchýlky náhodnej premennej od priemeru.

Definícia. Rozptyl sa nazýva matematické očakávanie – druhá mocnina odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania (priemernej hodnoty), t.j.

(3)

(4) pre spojitú náhodnú premennú:

(5)

Ale napriek výhodnosti tejto charakteristiky rozptylu je žiaduce mať charakteristiku rozptylu úmernú samotnej náhodnej premennej a jej matematickému očakávaniu.

Preto sa zavádza ďalšia charakteristika rozptylu, ktorá je tzv smerodajná odchýlka a rovná sa koreňu rozptylu, t.j. .

Na výpočet rozptylu je vhodné použiť vzorec daný nasledujúcou vetou.

TEOREM. Rozptyl náhodnej premennej sa rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej a druhou mocninou jej matematického očakávania, t.j.

V skutočnosti podľa definície

Pretože .

DISPERZNÉ VLASTNOSTI:

1. Rozptyl konštantnej náhodnej veličiny je nulový, t.j.

2. Konštantný faktor náhodnej premennej je vyňatý z rozptylu so štvorcom, t.j.

3. Rozptyl algebraického súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j.

Dôsledok z 2 a 3 nehnuteľností:

Pozrime sa na príklady..

Príklad 1 Je daný distribučný rad diskrétnej náhodnej premennej. Nájdite jeho štandardnú odchýlku.

	- 1
	0,2	0,05	0,2	0,3	0,25

Najprv poďme nájsť

Potom štandardná odchýlka

Príklad 2. Nech je daná hustota distribúcie spojitej náhodnej premennej:

Nájdite jeho rozptyl a smerodajnú odchýlku.

3.4 Momenty náhodných premenných.

Existujú dva typy momentov: počiatočné a centrálne.

Definícia. Počiatočný moment objednávky náhodný

veličiny sa nazývajú matematické očakávanie veličiny, t.j. .

Pre diskrétnu náhodnú premennú:

Pre spojitú náhodnú premennú:

Najmä matematické očakávanie je počiatočným momentom 1. rádu.

Definícia. Ústredným momentom je polovičná objednávka náhodná premenná je matematické očakávanie hodnoty, t.j.

Pre diskrétnu náhodnú premennú:

Pre nepretržité -

Centrálny moment 1. rádu je rovný nule (vlastnosť 5 matematického očakávania); ; charakterizuje asymetriu (šikmosť) grafu hustoty rozloženia. volal koeficient asymetrie.

Slúži na charakterizáciu ostrosti distribúcie.

Definícia. Nadbytok náhodná premenná je číslo

Pre normálne rozdelenú náhodnú premennú vzťah Preto distribučné krivky, ktoré sú špicatejšie ako normálne, majú kladnú špičatosť () a krivky s plochým vrcholom majú zápornú špičatosť ().

Príklad. Nech je daná hustota distribúcie náhodnej premennej:

Nájdite koeficient šikmosti a špičatosť tejto náhodnej premennej.

Poďme na to nájsť potrebné body:

Potom koeficient asymetrie: (negatívna asymetria).

Jedným z najdôležitejších základných konceptov teórie pravdepodobnosti je koncept náhodnej premennej.

Náhodná veličina je veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu, pričom sa vopred nevie, ktorá.

Príklady náhodných premenných:

1) počet zásahov pri troch výstreloch;

2) počet hovorov prijatých v telefónnej ústredni za deň;

3) miera zásahov s 10 výstrelmi.

Vo všetkých troch týchto príkladoch môžu náhodné premenné nadobudnúť samostatné, izolované hodnoty, ktoré je možné vopred spočítať.

Takže v príklade 1) sú tieto hodnoty:

v príklade 2):

v príklade 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Takéto náhodné premenné, ktoré majú iba diskrétne hodnoty, ktoré je možné vopred spočítať, sa nazývajú nespojité alebo diskrétne náhodné premenné.

Existujú aj iné typy náhodných premenných, napr.

1) os os bodu dopadu pri výstrele;

2) chyba pri vážení tela na analytických váhach;

3) rýchlosť lietadla v okamihu, keď dosiahne danú výšku;

4) hmotnosť náhodne vybratého zrna pšenice.

Možné hodnoty takýchto náhodných premenných nie sú od seba oddelené; priebežne vypĺňajú určitú medzeru, ktorá má niekedy jasne definované hranice a častejšie – nejasné, nejasné hranice.

Takéto náhodné premenné, ktorých možné hodnoty plynule vypĺňajú určitý interval, sa nazývajú spojité náhodné premenné.

Koncept náhodnej premennej hrá v teórii pravdepodobnosti veľmi dôležitú úlohu. Ak „klasická“ teória pravdepodobnosti operovala primárne s udalosťami, potom moderná teória pravdepodobnosti uprednostňuje, pokiaľ je to možné, prácu s náhodnými premennými.

Uveďme príklady metód prechodu od udalostí k náhodným premenným typickým pre teóriu pravdepodobnosti.

Uskutočňuje sa experiment, v dôsledku ktorého sa môže alebo nemusí objaviť nejaká udalosť. Namiesto udalosti môžeme uvažovať náhodnú premennú, ktorá sa rovná 1, ak udalosť nastane, a rovná 0, ak udalosť nenastane. Náhodná premenná je zjavne nespojitá; má dve možné hodnoty: 0 a 1. Táto náhodná veličina sa nazýva charakteristická náhodná veličina udalosti. V praxi sa často ukazuje ako vhodnejšie pracovať s ich charakteristickými náhodnými premennými namiesto udalostí. Napríklad, ak sa vykoná séria experimentov, v každom z nich je možný výskyt udalosti, potom sa celkový počet výskytov udalosti rovná súčtu charakteristických náhodných premenných udalosti vo všetkých experimentoch. Pri riešení mnohých praktických problémov sa použitie tejto techniky ukazuje ako veľmi pohodlné.

Na druhej strane, na výpočet pravdepodobnosti udalosti sa veľmi často ukazuje ako vhodné spojiť túto udalosť s nejakou spojitou náhodnou premennou (alebo systémom spojitých premenných).

Zmerajte napríklad súradnice nejakého objektu O, aby ste vytvorili bod M, zobrazujúci tento objekt v panoráme (skenovaní) oblasti. Zaujíma nás, či chyba R v polohe bodu M neprekročí zadanú hodnotu (obr. 2.4.1). Označme náhodné chyby pri meraní súradníc objektu. Je zrejmé, že udalosť je ekvivalentná náhodnému bodu M so súradnicami spadajúcimi do kruhu s polomerom so stredom v bode O. Inými slovami, aby udalosť nastala, náhodné premenné a musia spĺňať nerovnosť

Pravdepodobnosť udalosti nie je nič iné ako pravdepodobnosť splnenia nerovnosti (2.4.1). Túto pravdepodobnosť možno určiť, ak sú známe vlastnosti náhodných premenných.

Takéto organické spojenie medzi udalosťami a náhodnými premennými je veľmi charakteristické pre modernú teóriu pravdepodobnosti, ktorá, pokiaľ je to možné, prechádza od „schémy udalostí“ k „schéme náhodných premenných“. Posledná uvedená schéma je v porovnaní s prvou oveľa flexibilnejším a univerzálnejším aparátom na riešenie problémov súvisiacich s náhodnými javmi.

Definícia náhodnej premennej. Mnoho náhodných udalostí možno kvantifikovať náhodnými premennými.

Náhodné je množstvo, ktoré nadobúda hodnoty v závislosti od kombinácie náhodných okolností.

Náhodné veličiny sú: počet pacientov u lekára, počet študentov v publiku, počet pôrodov v meste, očakávaná dĺžka života jedinca, rýchlosť molekuly, teplota vzduchu, chyba merania a Ak očíslujete loptičky v urne takto, ako sa to robí pri lotérii, potom náhodné vybratie loptičky z urny ukáže číslo, ktoré je náhodnou premennou.

Existujú diskrétne a spojité náhodné premenné.

Náhodná premenná sa nazýva diskrétna, ak má spočítateľný súbor hodnôt: počet písmen na ľubovoľnej strane knihy, energia elektrónu v atóme, počet vlasov na hlave človeka, počet zŕn v klasoch, počet molekúl v danom objeme plynu, atď.

Spojitá náhodná premenná nadobúda akékoľvek hodnoty v určitom intervale: telesná teplota, hmotnosť zrna V klasy pšenice, súradnica miesta, kde strela zasiahne cieľ (guľku berieme ako hmotný bod) atď.

Rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej. Diskrétna náhodná premenná sa považuje za danú, ak sú uvedené jej možné hodnoty a zodpovedajúce pravdepodobnosti. Označme diskrétnu náhodnú premennú X, jeho významy x 1 x 2,…., a pravdepodobnosti P(x 1)= p 1, P(x 2)= p 2 atď. Kolekcia X A P sa nazýva rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej(Tabuľka 1).

Tabuľka 1

Náhodná premenná je číslo športu v hre „Sportlo-10“. Celkový počet druhov je 49. Uveďte rozdelenie tejto náhodnej premennej (tab. 3).

Tabuľka 3

Význam 1 = 0 zodpovedá prípadu, v ktorom udalosť trikrát za sebou A sa nestalo. Pravdepodobnosť tejto komplexnej udalosti sa podľa vety o násobení pravdepodobnosti (2.6) rovná
Význam Ja = 1 sa týka prípadu, v ktorom došlo k udalosti A v jednom z troch pokusov. Pomocou vzorca (2.6) dostaneme

Odkedy l = 1 vyskytnú sa aj dve ďalšie komplexné udalosti: (A a A a A) a (A a A a A), potom je potrebné pomocou vety o sčítaní pravdepodobnosti (2.4) získať celkovú pravdepodobnosť pre l = 1, pridanie predchádzajúceho výrazu trikrát:

Význam Ja = 2 zodpovedá prípadu, v ktorom k udalosti A došlo v dvoch z troch pokusov. Použitím argumentov podobných tým, ktoré sú uvedené vyššie, získame celkovú pravdepodobnosť pre tento prípad:

O 1 = 3 udalosť A sa objavuje vo všetkých troch pokusoch. Pomocou vety o násobení pravdepodobnosti nájdeme

Vo všeobecnosti nám binomické rozdelenie umožňuje určiť pravdepodobnosť, že udalosť A nastane l krát o n testy:

Na základe dlhodobých pozorovaní sa privolanie lekára do daného domu odhaduje s pravdepodobnosťou 0,5. Nájdite pravdepodobnosť, že sa do šiestich dní vyskytnú štyri telefonáty lekára; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Použime vzorec (2.10):

Numerické charakteristiky diskrétnej náhodnej premennej. V mnohých prípadoch spolu s rozdelením náhodnej premennej alebo namiesto nej môžu informácie o týchto veličinách poskytnúť číselné parametre tzv. číselné charakteristiky náhodnej premennej. Pozrime sa na najčastejšie z nich.

Matematické očakávanie (priemerná hodnota) náhodnej premennej je súčtom súčinov všetkých jej možných hodnôt
o pravdepodobnosti týchto hodnôt:

Nechajte, s veľkým počtom testov n diskrétna náhodná premenná X nadobúda hodnoty x v x 2,..., x n resp m 1, m g,..., t p raz. Priemerná hodnota je

Ak n je veľká, potom relatívne frekvencie t 1 / p, t 2 / p,... bude inklinovať k pravdepodobnosti a priemerná hodnota bude inklinovať k matematickému očakávaniu. Preto sa matematické očakávanie často stotožňuje s priemernou hodnotou.

Nájdite matematické očakávanie pre diskrétnu náhodnú premennú, ktorá je určená číslom na tvári pri hode kockou (pozri tabuľku 2).

Používame vzorec (2.11):

Nájdite matematické očakávanie pre diskrétnu náhodnú premennú, ktorá je určená obehom Sportloto (pozri tabuľku 3). Podľa vzorca (2.11) nájdeme

Možné hodnoty diskrétnej náhodnej premennej sú rozptýlené okolo jej matematického očakávania, niektoré z nich presahujú M(X),časť - menej M(X). Ako odhadnúť stupeň rozptylu náhodnej premennej vzhľadom na jej strednú hodnotu? Môže sa zdať, že na vyriešenie takéhoto problému je potrebné vypočítať odchýlky všetkých náhodných premenných od jeho matematického očakávania. X – M(X), a potom nájdite matematické očakávanie (priemernú hodnotu) týchto odchýlok: M[X - M(X)]. Pri dôkaze poznamenávame, že táto hodnota sa rovná nule, pretože odchýlky náhodných premenných od matematického očakávania majú kladné aj záporné hodnoty. Preto je vhodné brať do úvahy buď absolútne hodnoty odchýlok M[X - M(X)] alebo ich štvorcov M[X - M(X)]2. Druhá možnosť sa ukazuje ako výhodnejšia a takto sa dostávame ku konceptu disperzie náhodnej premennej.

Rozptyl náhodnej premennej je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania:

Znamená to, že rozptyl sa rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej X a štvorec jeho matematického očakávania.

Nájdite rozptyl náhodnej premennej, ktorý je daný číslom na hrane pri hode kockou (pozri tabuľku 2).

Matematické očakávanie tohto rozdelenia je 3,5. Zapíšme si hodnoty druhých mocnín odchýlky náhodných premenných od matematického očakávania: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5)2 = 2,25; (3 - 3,5)2 = 0,25; (4 - 3,5)2 = 0,25; (5 - 3,5)2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Pomocou vzorca (2.12), berúc do úvahy (2.11), nájdeme rozptyl:

Ako vyplýva z (2.12), rozptyl má rozmer druhej mocniny rozmeru náhodnej premennej. Aby bolo možné odhadnúť vzdialenosť náhodnej premennej v jednotkách rovnakej dimenzie, zavádza sa pojem štandardná odchýlka,čo sa chápe ako druhá odmocnina rozptylu:

Rozdelenie a charakteristiky spojitej náhodnej premennej. Spojitá náhodná premenná nemôže byť špecifikovaná rovnakým zákonom rozdelenia ako diskrétna. V tomto prípade postupujte nasledovne.

Nech dP je pravdepodobnosť spojitej náhodnej premennej X naberá hodnoty medzi X A X+ dx. Je zrejmé, že Irm je dlhší interval dx, tým väčšia pravdepodobnosť dP: dP ~ dx. Okrem toho musí pravdepodobnosť závisieť aj od samotnej náhodnej Veličiny, v blízkosti ktorej sa interval nachádza

Kde f(x)- hustota pravdepodobnosti, alebo funkcia rozdelenia pravdepodobnosti. Ukazuje, ako sa mení pravdepodobnosť súvisiaca s intervalom dx náhodná premenná v závislosti od samotnej hodnoty tejto premennej:

Integrovaním výrazu (2.15) v rámci príslušných limitov zistíme pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v intervale (ab):

Normalizačná podmienka pre spojitú náhodnú premennú má tvar

Ako je zrejmé z (2.19), táto funkcia sa rovná pravdepodobnosti, že náhodná premenná nadobudne hodnoty menšie ako X:

Pre spojitú náhodnú premennú sa matematické očakávanie a rozptyl zapíšu do formulára