Na obr. Obrázok 2 zobrazuje podmienené hustoty X pre niektoré hodnoty Y a regresnú čiaru pre r>0.

9. Stredná štvorcová regresia.

Uvažujme systém náhodných premenných (X,Y). Vyberme funkciu f(x) takú, aby stredná kvadratická odchýlka náhodnej premennej Y od tejto funkcie náhodnej premennej X bola minimálna, t.j. takže táto funkcia poskytuje minimálne matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky Y od f(X). Inými slovami, úlohou je vybrať zo všetkých možných funkcií tú, ktorá poskytuje

(9.1)

Je dokázané, že toto minimum sa dosiahne, akf(x) , určená regresnou rovnicou Y na X (4.9). Ak je však regresná rovnica neznáma, potom je nemožné nájsť takúto funkciu z (9.1). Preto riešia problém hľadania minima výrazu (9.1) pre funkcie daného typu f(A,x), kde A= ( a 1 ,…. a) je vektor koeficientu tejto funkcie, t.j. to, čo sa hľadá, nie je samotná funkcia, ktorá poskytuje minimálnu strednú štvorcovú odchýlku Y od f(X), a určujú sa koeficienty vopred vybranej funkcie (napríklad lineárne, určujú sa koeficienty vopred vybranej funkcie (napríklad lineárne y= x+ balebo kvadratickýr= sekera 2 + bx+ c alebo funkcie iného typu) tak, že zo všetkých funkcií zvoleného typu funkcia s týmito koeficientmi poskytuje minimálnu strednú kvadratúru odchýlky Yodf(A, X). Inými slovami, musíte nájsť koeficient vektora A taký, že funkciapremenných

S=(A)=S( ) = M((Y-f(A,X)) 2) (9,2)

ddosiahnutéminimálne.

Nech A * =(a,……, a) poskytuje toto minimum, t.j. je minimálny bod funkcie S(A). Potom rovnica y=f(A * , x) sa nazýva stredná štvorcová regresná rovnica, a náhodná premenná Y * =f(A * , X) aproximácia náhodnej veličiny Y funkcie daný typ náhodnej premennej X, našiel metóda najmenších štvorcov(MNC). Koeficienty tejto funkcie A * =(a,……, a) sa nazýva regresné koeficienty.

V prípade, keď je potrebné na štúdium náhodných javov použiť dve náhodné premenné X A Y spolu hovoríme, že existuje systém ( X, Y) dve náhodné premenné. Možné systémové hodnoty ( X, Y) predstavujú náhodné body ( x, r) v rozsahu možných hodnôt systému.

Diskrétne a spojité systémy sa rozlišujú v závislosti od typu náhodných premenných, ktoré sú v nich zahrnuté.

Distribučný zákon diskrétneho systému je špecifikovaný vo forme tabuľky alebo distribučnej funkcie.

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Tabuľka distribúcie systému{X, Y) obsahuje množinu veličín xi, yj A P(xi, yj), kde P(xi, yj)=P(X=xi,Y=yj), n, m– počet možných hodnôt náhodnej premennej X, Y, resp.

Funkcia distribúcie systému{X, Y) sa uvádza v tvare:

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Zákon rozdelenia spojitého systému ( X, Y) môžu byť zastúpené distribučná funkcia F(x, y)alebo distribučná hustota φ(x, y):

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Súkromné ​​systémové distribúcie{X, Y) sú zákony rozdelenia každej z náhodných premenných X A Y.

Ak X A Y sú diskrétne náhodné premenné, potom pravdepodobnosti P(xi) A P(yj), potrebné na nájdenie ich distribučných zákonov, sa nachádzajú z distribučnej tabuľky pomocou vzorcov:

Pre kontinuálne systémy ( X, Y) čiastkové distribučné hustoty majú tvar:

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Podmienené distribúcie sú určené:

podmienené pravdepodobnosti P(xi/yj), P(yj/xi) pre diskrétne systémy ( X, Y) a hustoty podmieneného rozdelenia ( x/y), (y/x) pre spojité systémy ( X, Y}:

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Podmienky nezávislosti náhodných premenných X a Y:

– pre diskrétne systémy (8)

– pre kontinuálne systémy (9)

Keď sú tieto vzťahy naplnené, nasleduje:

(10) (11)

Pravdepodobnosť dosiahnutia možných hodnôt spojitého systému{X, Y) do oblasti ( D) sa určuje podľa vzorca:

(12)

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Príklad 3.1

Distribučný zákon systému (X, Y) je daný tabuľkou:

Vyžaduje sa:

a) nájdite parciálne rozdelenia X a Y;

b) zákon podmieneného rozdelenia Y pri X= -1;

c) určiť, či sú veličiny X a Y závislé?

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Riešenie:

a) Nájdite čiastočné rozdelenia X a Y

b) Zákon podmieneného rozdelenia Y pri X= -1. Keď X = -1, náhodná premenná Y má nasledujúci distribučný zákon:

c) Určte, či sú veličiny X a Y závislé?

Keďže v nepodmienečnom a podmienenom zákone sú rozdelenia pravdepodobnosti P(yj) a P(yj / X = -1) rôzne, náhodné premenné X a Y sú závislé.

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Príklad 3.2

Daný systém (X, Y), rovnomerne rozložený v štvorci |x|+|y|1 (pozri obr. 22).

Určte: a) jednotlivé zákony rozdelenia X a Y; b) sú tieto náhodné premenné závislé?

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Riešenie:

Distribučný zákon (X, Y) má tvar:

Hustota pre |x|≤1 je určená vzorcom:

Prednáška 6. Distribučné zákony pre systém dvoch náhodných veličín

Potom (pozri obr. 23):

Podobne pre (y) dostaneme:

Keďže podmienka nezávislosti nie je splnená:

potom sú náhodné premenné X a Y závislé.

K číselným charakteristikám systému ( X, Y) zahŕňajú:

• číselné charakteristiky náhodných premenných X a Y:

mx, môj, Dx, Dy, σx, σy;

• číselné charakteristiky podmienených rozdelení:

mx/r, my/x, Dx/y, Dy/x, σx/y, σy/x;

• číselné charakteristiky spojenia náhodných veličín:

Kxy A rxy

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

Číselné charakteristiky prvej skupiny sa určujú pomocou vyššie uvedených vzorcov.

Numerické charakteristiky druhej skupiny vo vzťahu k spojitému systému ( X, Y) sa určujú podľa vzorcov:

Pre diskrétne systémy ( X, Y) tieto vzorce sú zrejmé.

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

množstvá Kxy A rxy sú charakteristiky lineárnej korelácie medzi X A Y; sú definované závislosťami:

Kde Kxy– korelačný moment alebo moment spojenia medzi X A Y;

– korelačný koeficient medzi X A Y, -1  rx  1. (16)

Korelačný koeficient charakterizuje stupeň lineárnej korelácie medzi X A Y.

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

Pod korelačná závislosť takouto závislosťou sa rozumie, keď pri zmene jednej náhodnej veličiny napr X, druhý - Y jeho matematické očakávania sa menia ( my/x).

Keď | rxy|=1 medzi nimi existuje lineárny funkčný vzťah X A Y, o rxy=0 náhodných premenných X A Y nekorelované.

Ak X A Y nezávislé, potom sú nekorelované. Ak rxy=0, potom náhodné premenné X A Y môže byť závislý.

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

Príklad 3.3

Za podmienok príkladu 3.1. určiť: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Riešenie:

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

Príklad 3.4

Za podmienok príkladu 3.2. určiť číselné charakteristiky systému (X, Y).

Riešenie:

Prednáška 7. Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

je hustota rovnomerného rozloženia v intervale

(-(1-|x|), (1-|x|))

Podobne môžete písať výrazy pre mx/y, Dx/y.

Vo všeobecnom prípade, keď náhodné premenné zahrnuté v systéme ( X, Y), sú závislé, normálna hustota rozdelenia má tvar:

(17)

Čiastočné distribúcie sú určené vzorcami:

(18)

(19)

Prednáška 8. Zákon normálneho rozdelenia pre systém dvoch náhodných veličín

Podmienené hustoty ( x/y) a ( y/x) majú tvar normálneho rozdelenia:

(20) (21)

Kde

(22) (23)

(24) (25)

Prednáška 8. Zákon normálneho rozdelenia pre systém dvoch náhodných veličín

Ak náhodné premenné X A Y sú nezávislé, potom hustota nadobúda tvar:

Pravdepodobnosť zásahu normálne rozloženého systému (X,Y)(v prípade nezávislých náhodných premenných X A Y) do obdĺžnika so stranami rovnobežnými so súradnicovými osami, sú určené pomocou Laplaceovej funkcie podľa vzorca:

(27)

Prednáška 8. Zákon normálneho rozdelenia pre systém dvoch náhodných veličín

Príklad 3.5

Určte pravdepodobnosť, že strela zasiahne cieľ, ktorý má tvar obdĺžnika so stredovými súradnicami: xts = 10 m, yts = 5 m Strany obdĺžnika sú rovnobežné s osami súradníc a sú rovnaké: pozdĺž osi vola: 2 = 20 m, pozdĺž osi oy: 2k = 40 m Súradnice zámerného bodu: mx=5m, my =5 m Rozptylové charakteristiky projektilov pozdĺž osi ox a oy sú rovné: σx=. 20 m, σy = 10 m.

Riešenie: Označme oblasť obdĺžnika písmenom D.

potom:

Téma 4. Funkcie náhodných premenných

Prednáška 9. Zákon rozdelenia funkcie jedného náhodného argumentu

Poradie hľadania distribučného zákona funkcie Y=y(X), kde X– diskrétna náhodná premenná uvedená v príklade 4.1.

Ak je to možné, hodnoty náhodných premenných X A Y spojené funkčnou závislosťou y=y(x), kde r(x) je spojitý a diferencovateľný a zákon rozdelenia náhodnej premennej je známy X-, potom distribučný zákon náhodnej premennej Y- pre prípad, keď r(x) monotónne rastie alebo klesá v rozsahu svojich možných hodnôt vyjadrených vzorcom (1):

Vo vzorci (1) x(r) existuje inverzná funkcia.

V prípade, že funkcia r(x) má núseky klesania a zvyšovania, potom sa tento vzorec zapíše v tvare (2).

Prednáška 9. Zákon rozdelenia funkcie jedného náhodného argumentu

Príklad 4.1

Náhodná premenná X má distribučný zákon:

Nájdite zákon rozdelenia náhodnej premennej

Riešenie: Nájdite možné hodnoty funkcie

pri =0, 1, 2, 3.

V tomto poradí sa rovnajú: 1, 2, 1, 0. Možné hodnoty sú teda: 0, 1, 2.

Prednáška 9. Zákon rozdelenia funkcie jedného náhodného argumentu

Nájdeme pravdepodobnosti týchto možných hodnôt:

Zákon o rozdelení Y:

Prednáška 9. Zákon rozdelenia funkcie jedného náhodného argumentu

Príklad 4.2

Nájdite hustotu distribúcie náhodnej premennej a zakreslite ju, ak je náhodná premenná X rozložená rovnomerne v intervale

Riešenie: Graf funkcie

znázornené na obr. 24.

Prednáška 9. Zákon rozdelenia funkcie jedného náhodného argumentu

Náhodná premenná X má nasledujúcu hustotu distribúcie:

Nájdenie inverznej funkcie x(r)a jeho derivát:

Prednáška 9. Zákon rozdelenia funkcie jedného náhodného argumentu

Nakoniec získame nasledujúci výraz pre hustotu

Graf tejto hustoty

znázornené na obr. 25.

Prednáška 10. Numerické charakteristiky funkcie náhodných veličín

Základné vzorce:

Prednáška 10. Numerické charakteristiky funkcie náhodných veličín

Prednáška 10. Numerické charakteristiky funkcie náhodných veličín

Kde Xi- nezávislé náhodné premenné,

Prednáška 10. Numerické charakteristiky funkcie náhodných veličín

Prednáška 10. Numerické charakteristiky funkcie náhodných veličín

Pre n náhodné premenné, číselné charakteristiky špecifikuje populácia a korelačná matica:

Zápis vo forme trojuholníkovej matice je platný, pretože

Prednáška 10. Numerické charakteristiky funkcie náhodných veličín

Korelačná matica môže byť prezentovaná v normalizovanej forme, t.j. matica korelačných koeficientov:

Prednáška 10. Numerické charakteristiky funkcie náhodných veličín

Príklad 4.3

Určte číselné charakteristiky náhodnej premennej

ak a

Riešenie:

Náhodná premenná U je lineárnou funkciou náhodných argumentov X, Y a Z. Preto pomocou vzorcov (11) a (17) tejto časti dostaneme:

Úvod

Teória pravdepodobnosti patrí medzi klasické odvetvia matematiky. Má dlhú históriu. Základy tohto odvetvia vedy položili veľkí matematici. Spomeniem napríklad Fermat, Bernoulli, Pascal. Neskôr bol vývoj teórie pravdepodobnosti určený v prácach mnohých vedcov. Vedci našej krajiny výrazne prispeli k teórii pravdepodobnosti: P.L., A.M. Pravdepodobnostné a štatistické metódy teraz prenikli hlboko do aplikácií. Používajú sa vo fyzike, technike, ekonómii, biológii a medicíne. Ich úloha vzrástla najmä v súvislosti s rozvojom výpočtovej techniky.

Napríklad na štúdium fyzikálnych javov sa robia pozorovania alebo experimenty. Ich výsledky sa zvyčajne zaznamenávajú vo forme hodnôt niektorých pozorovateľných veličín. Pri opakovaní experimentov zisťujeme rozptyl ich výsledkov. Napríklad opakovaním meraní tej istej veličiny rovnakým prístrojom pri zachovaní určitých podmienok (teplota, vlhkosť a pod.) získame výsledky, ktoré sa od seba aspoň trochu líšia. Ani opakované merania neumožňujú presne predpovedať výsledok nasledujúceho merania. V tomto zmysle hovoria, že výsledkom merania je náhodná veličina. Ešte zreteľnejším príkladom náhodnej premennej je číslo výherného tiketu v lotérii. Je možné uviesť mnoho ďalších príkladov náhodných premenných. Napriek tomu sa vo svete náhody odhaľujú isté vzorce. Matematický aparát na štúdium takýchto vzorcov poskytuje teória pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti sa teda zaoberá matematickou analýzou náhodných udalostí a súvisiacich náhodných premenných.

1. Náhodné premenné

Koncept náhodnej premennej je základom teórie pravdepodobnosti a jej aplikácií. Náhodné premenné sú napríklad počet bodov získaných počas jedného hodu kockou, počet rozpadnutých atómov rádia za dané časové obdobie, počet hovorov do telefónnej ústredne za určité časové obdobie, odchýlka z nominálnej hodnoty určitého rozmeru dielca s riadne upraveným technologickým postupom a pod.

Náhodná veličina je teda veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu a ktorá je vopred známa.

Náhodné premenné možno rozdeliť do dvoch kategórií.

Diskrétna náhodná premenná je veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť určité hodnoty s určitou pravdepodobnosťou a vytvoriť tak spočítateľnú množinu (množinu, ktorej prvky možno očíslovať).

Táto množina môže byť buď konečná alebo nekonečná.

Napríklad počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa je diskrétna náhodná premenná, pretože táto veličina môže nadobudnúť nekonečný, aj keď spočítateľný počet hodnôt.

Spojitá náhodná premenná je veličina, ktorá môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z určitého konečného alebo nekonečného intervalu.

Je zrejmé, že počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej je nekonečný.

Ak chcete zadať náhodnú premennú, nestačí len uviesť jej hodnotu, musíte uviesť aj pravdepodobnosť tejto hodnoty.

2. Rovnomerné rozdelenie

Nech je segment osi Ox mierkou nejakého zariadenia. Predpokladajme, že pravdepodobnosť, že ukazovateľ zasiahne určitý segment stupnice, je úmerná dĺžke tohto segmentu a nezávisí od umiestnenia segmentu na stupnici. Značka ukazovateľa prístroja je náhodná premenná

Teda

Teraz je ľahké nájsť funkciu rozdelenia pravdepodobnosti F(x) náhodnej premennej

Nakoniec, ak

Graf funkcie

Hustotu rozdelenia pravdepodobnosti zistíme pomocou vzorca. Ak

Uvažujme systém dvoch náhodných spojitých premenných. Distribučný zákon tohto systému je normálnym distribučným zákonom, ak funkcia hustoty pravdepodobnosti tohto systému má tvar

. (1.18.35)

Dá sa ukázať, že tu sú matematické očakávania náhodných premenných, sú ich štandardné odchýlky a sú korelačný koeficient premenných. Výpočty pomocou vzorcov (1.18.31) a (1.18.35) dávajú

. (1.18.36)

Je ľahké vidieť, že ak náhodné premenné rozdelené podľa normálneho zákona nie sú korelované, potom sú tiež nezávislé

.

Pre zákon normálneho rozdelenia sú teda nekorelácia a nezávislosť ekvivalentné pojmy.

Ak , potom sú náhodné premenné závislé. Zákony podmieneného rozdelenia sa vypočítavajú pomocou vzorcov (1.18.20)

. (1.18.37)

Oba zákony (1.18.37) predstavujú normálne rozdelenia. V skutočnosti transformujme napríklad druhý zo vzťahov (1.18.37) do tvaru

.

Toto je skutočne normálny distribučný zákon, ktorý má podmienené matematické očakávanie rovná sa

, (1.18.38)

A podmienená smerodajná odchýlka vyjadrené vzorcom

. (1.18.39)

Všimnite si, že v podmienenom zákone rozdelenia množstva pri pevnej hodnote závisí od tejto hodnoty iba podmienené matematické očakávanie, ale nie podmienený rozptyl – .

Na rovine súradníc je závislosť (1.18.38) priamka

, (1.18.40)

ktorý sa nazýva regresná čiara na .

Úplne analogickým spôsobom je stanovené, že podmienené rozdelenie množstva pri pevnej hodnote

, (1.18.41)

existuje normálne rozdelenie s podmieneným matematickým očakávaním

, (1.18.42)

podmienená smerodajná odchýlka

. (1.18.43)

V tomto prípade vyzerá regresná čiara takto

. (1.18.44)

Regresné priamky (1.18.40) a (1.18.44) sa zhodujú iba vtedy, keď je vzťah medzi veličinami a lineárny. Ak sú veličiny a nezávislé, regresné priamky sú rovnobežné so súradnicovými osami.

Koniec práce -

Táto téma patrí do sekcie:

Poznámky z matematiky teória pravdepodobnosti matematická štatistika

Katedra vyššej matematiky a informatiky.. Poznámky k prednáške.. z matematiky..

Ak potrebujete ďalší materiál k tejto téme, alebo ste nenašli to, čo ste hľadali, odporúčame použiť vyhľadávanie v našej databáze diel:

Čo urobíme s prijatým materiálom:

Ak bol tento materiál pre vás užitočný, môžete si ho uložiť na svoju stránku v sociálnych sieťach:

Všetky témy v tejto sekcii:

Teória pravdepodobnosti
Teória pravdepodobnosti je odvetvie matematiky, v ktorom sa študujú vzorce náhodných hromadných javov.

Náhodný jav sa nazýva tzv
Udalosť je náhodný jav, ktorý sa môže alebo nemusí objaviť ako výsledok skúsenosti (nejednoznačný jav). Udalosti uveďte veľkými latinskými písmenami

Priestor elementárnych udalostí
Nech je veľa udalostí spojených s nejakým zážitkom a: 1) ako výsledok zážitku sa objaví len jedna vec

Akcie na udalostiach
Súčet dvoch udalostí a

Preskupenia
Počet rôznych permutácií prvkov označujeme

Umiestnenia
Umiestnením prvkov podľa

Kombinácie
Kombinácia prvkov

Vzorec na pridanie pravdepodobností pre nekompatibilné udalosti
Veta. Pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

(1
Vzorec na pridávanie pravdepodobností pre ľubovoľné udalosti

Veta. Pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobnosti ich súčinu.
Vzorec na násobenie pravdepodobnosti

Nechajte dve udalosti a budú dané. Zvážte udalosť
Vzorec úplnej pravdepodobnosti

Nech je úplná skupina nezlučiteľných udalostí, nazývajú sa hypotézy. Zvážte nejakú udalosť
Vzorec pravdepodobnosti hypotézy (Bayes)

Uvažujme znova - kompletnú skupinu nezlučiteľných hypotéz a udalosti
Asymptotický Poissonov vzorec

V prípadoch, keď je počet testov veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti
Náhodné diskrétne množstvá

Náhodná veličina je veličina, ktorá pri opakovaní experimentu môže nadobudnúť nerovnaké číselné hodnoty. Náhodná premenná sa nazýva diskrétna,
Náhodné spojité premenné

Ak v dôsledku experimentu môže náhodná premenná nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z určitého segmentu alebo celej reálnej osi, potom sa nazýva spojitá. zákon
Funkcia hustoty pravdepodobnosti náhodnej spojitej premennej

Nechaj to tak. Zoberme do úvahy bod a priraďme mu prírastky
Numerické charakteristiky náhodných premenných

Náhodné diskrétne alebo spojité premenné sa považujú za úplne špecifikované, ak sú známe ich distribučné zákony. V skutočnosti, keď poznáte distribučné zákony, môžete vždy vypočítať pravdepodobnosť zásahu
Kvantily náhodných premenných

Kvantil rádu náhodnej spojitej premennej
Matematické očakávanie náhodných premenných

Matematické očakávanie náhodnej premennej charakterizuje jej priemernú hodnotu. Všetky hodnoty náhodnej premennej sú zoskupené okolo tejto hodnoty. Zoberme si najprv náhodnú diskrétnu premennú
Smerodajná odchýlka a rozptyl náhodných veličín

Zoberme si najprv náhodnú diskrétnu premennú. Režim číselných charakteristík, medián, kvantily a matematické očakávanie
Teória pravdepodobnosti využíva okrem matematického očakávania a disperzie aj číselné charakteristiky vyšších rádov, ktoré sa nazývajú momenty náhodných premenných.

Vety o numerických charakteristikách náhodných premenných
Veta 1. Matematické očakávanie nenáhodnej hodnoty sa rovná tejto hodnote samotnej.

Dôkaz: Nech

Zákon binomického rozdelenia
Poissonov zákon o rozdelení

Nech náhodná diskrétna premenná nadobudne hodnoty
Zákon o jednotnej distribúcii

Rovnomerný zákon rozdelenia náhodnej spojitej premennej je zákonom funkcie hustoty pravdepodobnosti, ktorá
Zákon normálneho rozdelenia

Zákon normálneho rozdelenia náhodnej spojitej premennej je zákon funkcie hustoty
Zákon exponenciálneho rozdelenia

Exponenciálne alebo exponenciálne rozdelenie náhodnej premennej sa používa v takých aplikáciách teórie pravdepodobnosti, ako je teória radenia, teória spoľahlivosti
Systémy náhodných premenných

V praxi sa pri aplikáciách teórie pravdepodobnosti často stretávame s problémami, v ktorých sú výsledky experimentu popísané nie jednou náhodnou veličinou, ale viacerými náhodnými veličinami naraz.
Systém dvoch náhodných diskrétnych premenných

Nech dve náhodné diskrétne premenné tvoria systém. Náhodná premenná
Systém dvoch náhodných spojitých premenných

Nech je teraz systém tvorený dvoma náhodnými spojitými premennými. Distribučný zákon tohto systému sa nazýva pravdepodobne
Podmienené zákony distribúcie

Nech závislé náhodné spojité veličiny
Numerické charakteristiky systému dvoch náhodných veličín

Počiatočný moment poriadku sústavy náhodných veličín
Systém viacerých náhodných premenných

Výsledky získané pre systém dvoch náhodných premenných možno zovšeobecniť na prípad systémov pozostávajúcich z ľubovoľného počtu náhodných premenných.
Nech je systém tvorený množinou

Limitné vety teórie pravdepodobnosti
Hlavným cieľom disciplíny teória pravdepodobnosti je študovať vzorce náhodných hromadných javov.

Prax ukazuje, že pozorovanie množstva homogénnych náhodných javov odhaľuje
Čebyševova nerovnosť

Zvážte náhodnú premennú s matematickým očakávaním
Čebyševova veta

Ak sú náhodné premenné párovo nezávislé a majú konečné, kolektívne ohraničené rozptyly
Pri pridávaní náhodných premenných s ľubovoľnými distribučnými zákonmi, ale so spoločne obmedzenými rozptylmi, distribučný zákon

Hlavné problémy matematickej štatistiky
Vyššie diskutované zákony teórie pravdepodobnosti predstavujú matematické vyjadrenie skutočných vzorcov, ktoré skutočne existujú v rôznych náhodných hromadných javoch.

Štúdium
Jednoduchá štatistická populácia. Štatistická distribučná funkcia

Uvažujme o náhodnej premennej, ktorej distribučný zákon nie je známy. Vyžaduje sa na základe skúseností
Štatistický rad. Histogram

Pri veľkom počte pozorovaní (rádovo v stovkách) sa populácia stáva nepohodlnou a ťažkopádnou na zaznamenávanie štatistického materiálu. Pre prehľadnosť a kompaktnosť štatistický materiál
Numerické charakteristiky štatistického rozdelenia

V teórii pravdepodobnosti boli uvažované rôzne číselné charakteristiky náhodných premenných: matematické očakávanie, disperzia, počiatočné a centrálne momenty rôznych rádov. Podobné čísla
Výber teoretického rozdelenia pomocou metódy momentov

Akékoľvek štatistické rozdelenie nevyhnutne obsahuje prvky náhodnosti spojené s obmedzeným počtom pozorovaní. S veľkým počtom pozorovaní sú tieto prvky náhodnosti vyhladené,
Overenie hodnovernosti hypotézy o podobe distribučného zákona

Nech je dané štatistické rozdelenie aproximované nejakou teoretickou krivkou resp
Kritériá súhlasu

Pozrime sa na jedno z najčastejšie používaných kritérií vhodnosti – takzvané Pearsonovo kritérium.
Hádaj

Bodové odhady pre neznáme distribučné parametre
V pp. 2.1. – 2.7 sme podrobne skúmali, ako vyriešiť prvý a druhý hlavný problém matematickej štatistiky. Ide o problémy určovania zákonitostí rozdelenia náhodných veličín na základe experimentálnych údajov

Odhady očakávaní a rozptylu
Prenechajte náhodnú premennú s neznámym matematickým očakávaním

Interval spoľahlivosti. Pravdepodobnosť spoľahlivosti

V praxi pri malom počte experimentov na náhodnej premennej približné nahradenie neznámeho parametra


Zákon normálneho rozdelenia pravdepodobnosti Bez preháňania ho možno nazvať filozofickým zákonom. Pri pozorovaní rôznych predmetov a procesov vo svete okolo nás sa často stretávame s tým, že niečo nestačí a že existuje norma: Tu je základný pohľad

Aké príklady môžete uviesť? Je z nich jednoducho tma. Ide napríklad o výšku, hmotnosť ľudí (nielen), ich fyzickú silu, duševné schopnosti atď. Existuje „hlavná omša“ (z jedného alebo druhého dôvodu) a existujú odchýlky v oboch smeroch.

Ide o rôzne vlastnosti neživých predmetov (rovnaká veľkosť, hmotnosť). Ide o náhodné trvanie procesov..., opäť ma napadol smutný príklad, a preto poviem “životnosť” žiaroviek :) Z fyziky som si spomenul na molekuly vzduchu: medzi nimi sú pomalé, sú rýchle, ale väčšina sa pohybuje „štandardnými“ rýchlosťami.

Ďalej sa od stredu odchýlime o jednu štandardnú odchýlku a vypočítame výšku:

Označenie bodov na výkrese (zelená) a vidíme, že je toho celkom dosť.

V záverečnej fáze opatrne nakreslíme graf a obzvlášť opatrne odrážať to konvexný/konkávny! No, pravdepodobne ste si už dávno uvedomili, že os x je horizontálna asymptota, a je absolútne zakázané za ním „liezť“!

Pri elektronickom podávaní riešenia je ľahké vytvoriť graf v Exceli a neočakávane som pre seba dokonca nahral krátke video na túto tému. Najprv si však povedzme, ako sa tvar normálnej krivky mení v závislosti od hodnôt a.

Pri zvyšovaní alebo znižovaní „a“ (s konštantnou sigmou) graf si zachová svoj tvar a sa pohybuje doprava/doľava resp. Napríklad, keď má funkcia formu a náš graf sa „posunie“ o 3 jednotky doľava – presne na začiatok súradníc:


Normálne rozložená veličina s nulovým matematickým očakávaním dostala úplne prirodzený názov - vycentrované; funkciu jeho hustoty – dokonca a graf je symetrický podľa ordináty.

V prípade zmeny "sigma" (s konštantným „a“), graf „zostáva rovnaký“, ale mení tvar. Keď sa zväčší, stáva sa nižším a predĺženým, ako chobotnica naťahujúca chápadlá. A naopak pri znižovaní grafu sa stáva užším a vyšším- ukáže sa, že je to „prekvapená chobotnica“. Áno, kedy znížiť„sigma“ dvakrát: predchádzajúci graf sa dvakrát zužuje a naťahuje:

Všetko je v plnom súlade s geometrické transformácie grafov.

Normálne rozdelenie s jednotkovou hodnotou sigma sa nazýva normalizované, a ak je tiež vycentrované(náš prípad), potom sa takéto rozdelenie nazýva štandardné. Má ešte jednoduchšiu funkciu hustoty, ktorá už bola nájdená v Laplaceova lokálna veta: . Štandardná distribúcia našla široké uplatnenie v praxi a veľmi skoro konečne pochopíme jej účel.

Tak a teraz si pozrime film:

Áno, úplne správne - akosi nezaslúžene zostalo v tieni funkcia rozdelenia pravdepodobnosti. Spomeňme si na ňu definícia:
– pravdepodobnosť, že náhodná premenná bude mať hodnotu MENŠU ako premenná, ktorá „prebehne“ všetkými reálnymi hodnotami do „plus“ nekonečna.

Vo vnútri integrálu sa zvyčajne používa iné písmeno, aby nedochádzalo k „prekrývaniu“ so zápisom, pretože tu je každá hodnota spojená s nevlastný integrál , čo sa rovná niektorým číslo z intervalu .

Takmer všetky hodnoty sa nedajú vypočítať presne, ale ako sme práve videli, s moderným výpočtovým výkonom to nie je ťažké. Takže pre funkciu štandardná distribúcia, zodpovedajúca funkcia Excel vo všeobecnosti obsahuje jeden argument:

=NORMSDIST(z)

Raz, dva - a máte hotovo:

Výkres jasne ukazuje realizáciu všetkých vlastnosti distribučnej funkcie, a z technických nuancií by ste mali venovať pozornosť horizontálne asymptoty a inflexný bod.

Teraz si spomeňme na jednu z kľúčových úloh témy, a to zistiť, ako nájsť pravdepodobnosť, že normálna náhodná premenná prevezme hodnotu z intervalu. Geometricky sa táto pravdepodobnosť rovná oblasť medzi normálnou krivkou a osou x v zodpovedajúcej časti:

ale zakaždým sa snažím získať približnú hodnotu je nerozumné, a preto je racionálnejšie použiť "ľahký" vzorec:
.

! Tiež si pamätá , Čo?

Tu môžete znova použiť Excel, ale existuje niekoľko významných „ale“: po prvé, nie je vždy po ruke, a po druhé, „hotové“ hodnoty s najväčšou pravdepodobnosťou vyvolajú otázky zo strany učiteľa. prečo?

Hovoril som o tom už mnohokrát: kedysi (a nie veľmi dávno) bola bežná kalkulačka luxusom a „manuálny“ spôsob riešenia daného problému je stále zachovaný vo vzdelávacej literatúre. Jeho podstatou je k štandardizovať hodnoty „alfa“ a „beta“, to znamená, že redukujú riešenie na štandardnú distribúciu:

Poznámka : funkcia sa dá ľahko získať zo všeobecného prípadupomocou lineárneho náhrady. Potom tiež:

a z vykonanej výmeny je nasledujúci vzorec: prechod z hodnôt ľubovoľného rozdelenia na zodpovedajúce hodnoty štandardného rozdelenia.

Prečo je to potrebné? Faktom je, že hodnoty boli starostlivo vypočítané našimi predkami a zostavené do špeciálnej tabuľky, ktorá je v mnohých knihách o terwerovi. Ale ešte častejšie existuje tabuľka hodnôt, ktorej sme sa už venovali Laplaceova integrálna veta:

Ak máme k dispozícii tabuľku hodnôt Laplaceovej funkcie , potom cez to vyriešime:

Zlomkové hodnoty sa tradične zaokrúhľujú na 4 desatinné miesta, ako sa to robí v štandardnej tabuľke. A pre kontrolu existuje Bod 5 rozloženie.

Pripomínam ti to a aby nedošlo k zámene vždy kontrolovať, tabuľku AKEJ funkcie máte pred očami.

Odpoveď je potrebné uviesť v percentách, takže vypočítaná pravdepodobnosť sa musí vynásobiť 100 a výsledok sa musí uviesť zmysluplným komentárom:

– pri lete od 5 do 70 m padne približne 15,87 % nábojov

Cvičíme sami:

Príklad 3

Priemer továrensky vyrobených ložísk je náhodná veličina, normálne rozložená s matematickým očakávaním 1,5 cm a štandardnou odchýlkou ​​0,04 cm Nájdite pravdepodobnosť, že veľkosť náhodne vybraného ložiska sa pohybuje od 1,4 do 1,6 cm.

Vo vzorovom riešení a nižšie použijem funkciu Laplace ako najbežnejšiu možnosť. Mimochodom, všimnite si, že podľa znenia tu môžu byť konce intervalu zahrnuté do úvahy. To však nie je kritické.

A už v tomto príklade sme sa stretli so špeciálnym prípadom – keď je interval symetrický vzhľadom na matematické očakávanie. V takejto situácii ho možno napísať vo forme a pomocou zvláštnosti Laplaceovej funkcie zjednodušiť pracovný vzorec:

Volá sa parameter delta odchýlka z matematického očakávania a dvojitú nerovnosť možno „zabaliť“ pomocou modul:

– pravdepodobnosť, že sa hodnota náhodnej premennej bude odchyľovať od matematického očakávania o menej ako .

Je dobré, že riešenie sedí v jednej línii :)
– pravdepodobnosť, že priemer náhodne vybratého ložiska sa líši od 1,5 cm najviac o 0,1 cm.

Výsledok tejto úlohy sa ukázal byť blízky jednote, ale chcel by som ešte väčšiu spoľahlivosť - konkrétne zistiť hranice, v ktorých sa priemer nachádza takmer každý ložiská. Existuje na to nejaké kritérium? Existuje! Na položenú otázku odpovedá tzv

pravidlo troch sigma

Jeho podstatou je to prakticky spoľahlivé je skutočnosť, že normálne rozložená náhodná premenná nadobudne hodnotu z intervalu .

Pravdepodobnosť odchýlky od očakávanej hodnoty je v skutočnosti menšia ako:
alebo 99,73 %

Z hľadiska ložísk ide o 9973 kusov s priemerom od 1,38 do 1,62 cm a len 27 „neštandardných“ exemplárov.

V praktickom výskume sa pravidlo troch sigma zvyčajne uplatňuje v opačnom smere: ak štatisticky Zistilo sa, že takmer všetky hodnoty skúmaná náhodná premenná spadajú do intervalu 6 štandardných odchýlok, potom existujú presvedčivé dôvody domnievať sa, že táto hodnota je rozdelená podľa normálneho zákona. Overenie sa vykonáva pomocou teórie štatistické hypotézy ku ktorej sa dúfam skôr či neskôr dostanem :)

Medzitým pokračujeme v riešení tvrdých sovietskych problémov:

Príklad 4

Náhodná hodnota chyby váženia je rozdelená podľa normálneho zákona s nulovým matematickým očakávaním a štandardnou odchýlkou ​​3 gramy. Nájdite pravdepodobnosť, že ďalšie váženie sa uskutoční s chybou nepresahujúcou 5 gramov v absolútnej hodnote.

Riešenie veľmi jednoduché. Podľa stavu to okamžite zaznamenáme pri ďalšom vážení (niečo alebo niekto) takmer 100% dostaneme výsledok s presnosťou 9 gramov. Ale problém sa týka užšej odchýlky a podľa vzorca :

– pravdepodobnosť, že nasledujúce váženie sa vykoná s chybou nepresahujúcou 5 gramov.

Odpoveď:

Riešený problém sa zásadne líši od zdanlivo podobného. Príklad 3 lekcia o rovnomerné rozloženie. Vyskytla sa chyba zaokrúhľovanie výsledky meraní, tu hovoríme o náhodnej chybe samotných meraní. Takéto chyby vznikajú v dôsledku technických vlastností samotného zariadenia. (rozsah prijateľných chýb je zvyčajne uvedený v jeho pase) a tiež vinou experimentátora - keď napríklad „od oka“ berieme údaje z ihly rovnakých mierok.

Okrem iných sú tu aj tzv systematický chyby merania. Už je nenáhodné chyby, ktoré sa vyskytnú v dôsledku nesprávneho nastavenia alebo prevádzky zariadenia. Napríklad neregulované podlahové váhy dokážu neustále „pridávať“ kilogramy a predajca zákazníkov systematicky váži. Alebo sa to dá vypočítať nie systematicky. V každom prípade však takáto chyba nebude náhodná a jej očakávanie je iné ako nula.

...naliehavo pripravujem kurz predaja =)

Vyriešme inverzný problém sami:

Príklad 5

Priemer valčeka je náhodná normálne rozložená náhodná veličina, jej smerodajná odchýlka sa rovná mm. Nájdite dĺžku intervalu, symetrickú vzhľadom na matematické očakávanie, do ktorej pravdepodobne spadá dĺžka priemeru valca.

bod 5* dizajnové rozloženie pomôcť. Upozorňujeme, že matematické očakávanie tu nie je známe, ale to nám ani v najmenšom nebráni v riešení problému.

A skúšobná úloha, ktorú veľmi odporúčam na posilnenie materiálu:

Príklad 6

Normálne rozdelená náhodná premenná je špecifikovaná svojimi parametrami (matematické očakávanie) a (štandardná odchýlka). Vyžaduje sa:

a) zapíšte hustotu pravdepodobnosti a schematicky znázornite jej graf;
b) nájdite pravdepodobnosť, že nadobudne hodnotu z intervalu ;
c) nájdite pravdepodobnosť, že absolútna hodnota sa nebude líšiť o viac ako ;
d) pomocou pravidla „tri sigma“ nájdite hodnoty náhodnej premennej.

Takéto problémy sa ponúkajú všade a za roky praxe som ich vyriešil stovky a stovky. Nezabudnite si precvičiť kreslenie kresby ručne a pomocou papierových tabuliek;)

Pozriem sa na príklad zvýšenej zložitosti:

Príklad 7

Hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej má tvar . Nájsť, matematické očakávania, rozptyl, distribučná funkcia, zostaviť grafy hustoty a distribučné funkcie, nájsť.

Riešenie: V prvom rade si všimnime, že podmienka nehovorí nič o povahe náhodnej premennej. Prítomnosť exponentu sama o sebe nič neznamená: môže sa ukázať, že napr. orientačné alebo dokonca svojvoľné nepretržitá distribúcia. A preto „normálnosť“ distribúcie musí byť stále odôvodnená:

Od funkcie určený pri akékoľvek skutočnú hodnotu a možno ju zredukovať na formu , potom je náhodná premenná rozdelená podľa normálneho zákona.

Ideme na to. Pre toto vyberte celý štvorec a organizovať trojposchodový zlomok:


Nezabudnite vykonať kontrolu a vráťte indikátor do pôvodnej podoby:

, čo sme chceli vidieť.

Takto:
- Podľa pravidlá operácií s právomocami"odtrhnúť" A tu si môžete okamžite zapísať zrejmé číselné charakteristiky:

Teraz nájdime hodnotu parametra. Keďže multiplikátor normálneho rozdelenia má tvar a, potom:
, odkiaľ vyjadrujeme a nahrádzame do našej funkcie:
, po ktorom si ešte raz prejdeme záznam očami a presvedčíme sa, že výsledná funkcia má formu .

Zostavme graf hustoty:

a graf distribučnej funkcie :

Ak nemáte po ruke Excel alebo dokonca bežnú kalkulačku, posledný graf môžete ľahko zostaviť ručne! V tomto bode má distribučná funkcia hodnotu a je to tu