Módne trendy a trendy. Doplnky, topánky, krása, účesy

Uvažujme o takzvanej energetickej forme Fourierovho integrálu. V kapitole 5 boli uvedené vzorce (7.15) a (7.16), ktoré udávajú prechod z časovej funkcie na Fourierov obraz a späť. Ak nejaké náhodná funkciačas x (s), potom preň môžu byť tieto vzorce napísané v tvare

a integrovať nad všetkými

nahradiť výrazom (11.54):

Množstvo v hranatých zátvorkách (11,57), ako je ľahké vidieť, je pôvodnou funkciou času (11,55). Výsledkom je teda takzvaný Rayleighov vzorec (Parsevalova veta), ktorý zodpovedá energetickej forme Fourierovho integrálu:

Pravá strana (11.58) a (11.39) predstavuje veličinu úmernú energii posudzovaného procesu. Takže napríklad, ak vezmeme do úvahy prúd pretekajúci cez určitý odpor s odporom K, potom energia uvoľnená v tomto odpore v priebehu času bude

Vzorce (11.58) a (11.59) vyjadrujú energetickú formu Fourierovho integrálu.

Tieto vzorce sú však nepohodlné, pretože pre väčšinu procesov má energia tendenciu k nekonečnu počas nekonečného časového intervalu. Preto je vhodnejšie zaoberať sa nie energiou, ale priemerným výkonom procesu, ktorý sa získa, ak sa energia vydelí intervalom pozorovania. Potom vzorec (11.58) môže byť reprezentovaný ako

Predstavujeme označenie

sa volá spektrálna hustota. Dôležité

Svojím spôsobom fyzický význam spektrálna hustota je hodnota, ktorá je úmerná priemernému výkonu procesu vo frekvenčnom rozsahu od co do co + d?co.

V niektorých prípadoch sa spektrálna hustota berie do úvahy iba pre kladné frekvencie, čím sa zdvojnásobuje, čo sa dá urobiť, pretože spektrálna hustota je rovnomernou funkciou frekvencie. Potom by mal byť vo forme napísaný napríklad vzorec (11.62).

- spektrálna hustota pre kladné frekvencie.

keďže v tomto prípade sa vzorce stávajú symetrickejšie.

Veľmi dôležitou okolnosťou je, že spektrálna hustota a korelačnej funkcie náhodné procesy sú vzájomné Fourierove transformácie, t.j. sú spojené integrálnymi závislosťami typu (11.54) a (11.55). Táto vlastnosť je daná bez dokladu.

Takto je možné napísať nasledujúce vzorce:

Keďže spektrálna hustota a korelačná funkcia sú dokonca reálne funkcie, vzorce (11.65) a (11.66) sú niekedy prezentované v jednoduchšej forme;

)

Vyplýva to zo skutočnosti, že platia nasledujúce rovnosti:

a imaginárne časti možno po dosadení zahodiť do (11.65) a (11.66), keďže naľavo sú reálne funkcie.

Ide o to, že čím užší je graf spektrálnej hustoty (obr. 11.16a), t. j. čím sú v spektrálnej hustote zastúpené nižšie frekvencie, tým pomalšie sa mení hodnota x v čase. Naopak, čím širší je graf spektrálnej hustoty (obr. 11.16, b), t. j. čím sú v spektrálnej hustote zastúpené vyššie frekvencie, tým jemnejšia je štruktúra funkcie x(r) a tým rýchlejšie dochádza k zmenám v čase.

Ako vyplýva z tejto úvahy, súvislosť medzi typom spektrálnej hustoty a typom časovej funkcie je inverzná v porovnaní so súvislosťou medzi korelačnou funkciou a samotným procesom (obr. 11.14). Z toho vyplýva, že širší graf spektrálnej hustoty by mal zodpovedať užšiemu grafu korelačnej funkcie a naopak.

A 8 (spolu). Tieto funkcie, na rozdiel od impulzných funkcií diskutovaných v kapitole 4, sú párne. To znamená, že funkcia 8(t) je umiestnená symetricky vzhľadom na začiatok a môže byť definovaná nasledovne;

Podobná definícia platí pre funkciu 8 (co). Niekedy sa berie do úvahy normalizovaná spektrálna hustota, čo je Fourierov obraz normalizovanej korelačnej funkcie (11.52):

a preto,

kde O je disperzia.

Krížové spektrálne hustoty sú tiež mierou vzťahu medzi dvoma náhodnými premennými. Pri absencii komunikácie sú vzájomné spektrálne hustoty rovné nule.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Táto funkcia je znázornená na obr. 11.17, a. Zodpovedajúci Fourierov obraz založený na tabuľke. bude 11.3

Spektrum procesu pozostáva z jediného vrcholu typu impulznej funkcie umiestnenej v počiatku súradníc (obr. 11.17, b).

To znamená, že všetka sila daného procesu sa sústreďuje na frekvenciu striel, ako by sa dalo očakávať.

Táto funkcia je znázornená na obr. 11.18, a, V súlade s tabuľkou. 11.3 bude spektrálna hustota

3. Pre periodickú funkciu rozšíriteľnú vo Fourierovom rade

okrem periodickej časti bude obsahovať neperiodickú zložku, potom bude spektrum tejto funkcie obsahovať popri jednotlivých riadkoch typu impulznej funkcie aj spojitú časť (obr. 11.20). Jednotlivé píky v grafe spektrálnej hustoty naznačujú prítomnosť skrytých neriodicít v skúmanej funkcii.

neobsahuje periodickú časť, potom bude mať spojité spektrum bez výrazných vrcholov.

Uvažujme o niektorých stacionárnych náhodných procesoch, ktoré sú dôležité pri štúdiu riadiacich systémov. Budeme brať do úvahy iba centrované

V rovnakej dobe, priemerný štvorec náhodná premenná sa bude rovnať rozptylu:

brať do úvahy konštantnú odchýlku v riadiacom systéme je elementárne.

(Obr. 11.21, a):

Príkladom takéhoto procesu je tepelný šum rezistora, ktorý udáva úroveň spektrálnej hustoty chaotického napätia na tomto rezistore.

Absolútna teplota.

Na základe (11,68) spektrálna hustota (11,71) zodpovedá korelačnej funkcii

neexistuje žiadna korelácia medzi nasledujúcimi a predchádzajúcimi hodnotami náhodnej premennej x.

a teda nekonečne väčšia sila.

Na získanie fyzikálne reálneho procesu je vhodné zaviesť koncept bieleho šumu s obmedzenou spektrálnou hustotou (obr. 11.21, b):

Šírka pásma pre spektrálnu hustotu.

Tento proces zodpovedá korelačnej funkcii

Stredná odmocnina náhodnej premennej je úmerná druhej odmocnine frekvenčného pásma:

Často je vhodnejšie aproximovať závislosť (11,73) hladkou krivkou. Na tento účel môžete použiť napríklad výraz

Koeficient, ktorý určuje šírku frekvenčného pásma.

Proces sa blíži k bielemu šumu, takže

čo sa týka týchto frekvencií

Integrácia (11.77) na všetkých frekvenciách umožňuje určiť rozptyl:

Preto možno spektrálnu hustotu (11.77) zapísať v inej forme:

Korelačná funkcia pre tento proces

Korelačná funkcia je znázornená aj na obr. 11.21 hod.

Prechod z jednej hodnoty na druhú nastáva okamžite. Časové intervaly sa riadia Poissonovým zákonom rozdelenia (11.4).

Graf tohto typu sa získa napríklad ako prvá aproximácia pri sledovaní pohybujúceho sa cieľa pomocou radaru. Konštantná hodnota rýchlosti zodpovedá cieľu pohybujúcemu sa v priamom smere. Zmena znamienka alebo veľkosti rýchlosti zodpovedá cieľovému manévru.

Bude priemerná hodnota časového intervalu, počas ktorého zostáva uhlová rýchlosť konštantná. Vo vzťahu k radaru bude táto hodnota priemerným časom pohybu cieľa po priamke.

Na určenie korelačnej funkcie je potrebné nájsť priemernú hodnotu súčinu

Pri hľadaní tohto diela môžu nastať dva prípady.

patria do rovnakého intervalu. Potom sa priemerná hodnota súčinu uhlových rýchlostí bude rovnať strednej štvorci uhlovej rýchlosti alebo disperzie:

patria do rôznych intervalov. Potom sa priemerná hodnota súčinu rýchlostí bude rovnať guľke:

pretože produkty s pozitívnymi a negatívnymi znakmi budú rovnako pravdepodobné. Korelačná funkcia sa bude rovnať

Pravdepodobnosť ich nájdenia v rôznych intervaloch.

Pravdepodobnosť absencie

Na časový interval

keďže tieto udalosti sú nezávislé.

Výsledkom je, že pre konečný interval At dostaneme

Znamienko modulu pre m je dané z dôvodu, že výraz (11.80) musí zodpovedať párnej funkcii. Výraz pre korelačnú funkciu sa zhoduje s (11.79). Preto sa spektrálna hustota uvažovaného procesu musí zhodovať s (11.78):

Všimnite si, že na rozdiel od (11.78) je vzorec spektrálnej hustoty (11.81) napísaný pre uhlovú rýchlosť procesu (obr. 11.22). Ak prejdeme z uhlovej rýchlosti do uhla, dostaneme nestacionárny náhodný proces s disperziou smerujúcou k nekonečnu. Vo väčšine prípadov však servosystém, na vstupe ktorého tento proces funguje, má astatizmus prvého a vyššieho rádu. Preto je prvý chybový koeficient c0 sledovacieho systému nulový a jeho chyba bude určená len vstupnou rýchlosťou a deriváciami vyšších rádov, vzhľadom na ktoré je proces stacionárny. To umožňuje použiť spektrálnu hustotu (11.81) pri výpočte dynamickej chyby sledovacieho systému.

3. Nepravidelná výška tónu. Niektoré objekty, napríklad lode, lietadlá a iné, ktoré sú pod vplyvom nepravidelných porúch (nepravidelné vlny, atmosférické poruchy atď.), sa pohybujú podľa náhodného zákona, pretože samotné objekty majú určitú charakteristickú frekvenciu kmitov vlastnosť zvýraznenia tých frekvencií rušenia, ktoré sú blízke ich vlastnej frekvencii kmitov. Výsledný náhodný pohyb objektu sa nazýva nepravidelný pohyb, na rozdiel od pravidelného pohybu, ktorý je periodickým pohybom.

Typický graf nepravidelného pohybu je na obr. 11.23. Zo skúmania tohto grafu je zrejmé, že napriek náhodnému charakteru toto

pohyb je dosť blízky periodickému.

V praxi je korelačná funkcia nepravidelného pohybu často aproximovaná výrazom

Disperzia.

sa zvyčajne zisťujú spracovaním experimentálnych údajov (testy v plnom rozsahu).

Korelačná funkcia (11.82) zodpovedá spektrálnej hustote (pozri tabuľku 11.3)

Nevýhoda aproximácie (11.82) je v tom, že tento vzorec môže opísať správanie akejkoľvek jednej veličiny nepravidelného pohybu (uhol, uhlová rýchlosť alebo uhlové zrýchlenie V tomto prípade bude hodnota O zodpovedať rozptylu uhla, rýchlosti resp zrýchlenie.

Ak napríklad napíšeme vzorec (11.82) pre uhol, potom tento proces bude zodpovedať nepravidelnému kameňu s disperziou pre uhlové rýchlosti smerujúce do nekonečna, teda pôjde o fyzikálne nereálny proces.

Pohodlnejší vzorec na aproximáciu uhla sklonu

Táto aproximácia však tiež zodpovedá fyzikálne nereálnemu procesu, pretože rozptyl uhlového zrýchlenia má tendenciu k nekonečnu.

Na získanie konečného rozptylu uhlového zrýchlenia ešte viac zložité vzorce aproximácie, ktoré tu nie sú uvedené.

Typické krivky pre korelačnú funkciu a spektrálnu hustotu nepravidelného pohybu sú znázornené na obr. 11.24.

V štatistickej rádiotechnike a fyzike sa pri štúdiu deterministických signálov a náhodných procesov široko využíva ich spektrálna reprezentácia vo forme spektrálnej hustoty, ktorá je založená na Fourierovej transformácii.

Ak proces $x(t)$ má konečnú energiu a je kvadraticky integrovateľný (a to je nestacionárny proces), potom pre jednu implementáciu procesu môžeme definovať Fourierovu transformáciu ako náhodnú komplexná funkcia frekvencie:

Funkcia $S\_x(f)=|X(f)|^2$ teda charakterizuje distribúciu energie implementácie pozdĺž frekvenčnej osi a nazýva sa spektrálna hustota implementácie. Spriemerovaním tejto funkcie zo všetkých implementácií možno získať spektrálnu hustotu procesu.

Prejdime teraz k stacionárnemu, v širšom zmysle, centrovanému náhodnému procesu $x(t)$, ktorých realizácie s pravdepodobnosťou 1 majú nekonečnú energiu, a preto nemajú Fourierovu transformáciu. Výkonovú spektrálnu hustotu takéhoto procesu možno nájsť na základe Wiener-Khinchinovej vety ako Fourierovu transformáciu korelačnej funkcie:

Ak predpokladáme vo vzorcoch (3) a (4). $f=0$ A $\backslash tau=0$, máme

5

6

Vzorec (6), berúc do úvahy (2), ukazuje, že disperzia určuje celkovú energiu stacionárneho náhodného procesu, ktorá sa rovná ploche pod krivkou spektrálnej hustoty. Rozmerová hodnota $S\_x(f)df$ možno interpretovať ako časť energie koncentrovanej v malom frekvenčnom rozsahu od $f-df/2$ do $f+df/2$. Ak máme na mysli $x(t)$ náhodný (kolísanie) prúdu alebo napätia, potom hodnota $S\_x(f)$ bude mať energetický rozmer [V 2 /Hz] = [V 2 s]. Preto $S\_x(f)$ niekedy tzv energetické spektrum. V literatúre často nájdete iný výklad: $\backslash sigma\_x^2$– sa považuje za priemerný výkon generovaný prúdom alebo napätím cez odpor 1 ohm. Zároveň hodnota $S\_x(f)$ volal výkonové spektrum náhodný proces.

Vlastnosti spektrálnej hustoty

• Energetické spektrum stacionárny proces(skutočné alebo komplexné) – nezáporné množstvo:

• Korelačná funkcia $k\_x(\backslash tau)$ a energetického spektra $S\_x(f)$ stacionárne v širšom zmysle náhodné procesy majú všetky vlastnosti charakteristické pre dvojicu vzájomných Fourierových transformácií. Najmä „širšie“ spektrum $S\_x(f)$„užšia“ korelačná funkcia $k\_x(\backslash tau)$, a naopak. Tento výsledok je kvantifikovaný ako princíp alebo vzťah neurčitosti.

Pozri tiež

Napíšte recenziu na článok "Spektrálna hustota"

Literatúra

1. Zyuko, A.G. Teória prenosu signálu / A. G. Zyuko [et al.]. - M.: Komunikácia, 1980. - 288 s.
2. Tichonov, V. I.Štatistická analýza a syntéza rádiotechnických zariadení a systémov / V. I. Tichonov, V. N. Kharisov. - M.: Rozhlas a komunikácia, 2004. - 608 s. - ISBN 5-256-01701-2.
3. Tichonov, V. I.Štatistická teória rádiotechnických zariadení / V. I. Tichonov, Yu N. Bakaev. - M.: Akadémia pomenovaná po. Prednášal prof. N. E. Žukovskij, 1978. - 420 s.

Úryvok charakterizujúci spektrálnu hustotu

„Nuž, nech takí a takí okradnú štát a cára a štát a cár mu dajú pocty; a včera sa na mňa usmiala a požiadala ma, aby som prišiel, a ja ju milujem a nikto sa to nikdy nedozvie,“ pomyslel si.
Pierre stále chodil do spoločnosti, pil rovnako veľa a viedol rovnaký nečinný a neprítomný život, pretože okrem tých hodín, ktoré strávil s Rostovmi, musel stráviť zvyšok svojho času a zvyky a známosti vyrobil v Moskve, neodolateľne ho priťahoval život, ktorý ho zajal. No nedávno, keď z vojnového divadla prichádzalo čoraz viac znepokojujúcich klebiet a keď sa Natašin zdravotný stav začal zlepšovať a prestala v ňom vzbudzovať niekdajší pocit šetrného súcitu, začala ho premáhať čoraz nepochopiteľnejšia úzkosť. Cítil, že situácia, v ktorej sa ocitol, nemôže dlho trvať, že prichádza katastrofa, ktorá zmení celý jeho život, a vo všetkom netrpezlivo hľadal znaky tejto blížiacej sa katastrofy. Pierrovi odhalil jeden z bratov slobodomurárov nasledujúce proroctvo o Napoleonovi, odvodené z Apokalypsy Jána Teológa.
V Apokalypse, trinásta kapitola, osemnásty verš, sa hovorí: „Tu je múdrosť; Nech tí, ktorí majú inteligenciu, rešpektujú počet zvierat: počet je ľudský a jeho počet je šesťstošesťdesiatšesť."
A z tej istej kapitoly v piatom verši: „A boli mu dané ústa hovoriace veľké veci a rúhavé veci; a dostal panstvo stvorenia na mesiac štyri až desať a dva.“
Francúzske písmená, podobne ako obrázok hebrejského čísla, podľa ktorého prvých desať písmen predstavuje jednotky a zvyšné desiatky, majú nasledujúci význam:
a b c d e f g h i k.. l..m..n..o..p..q..r..s..t.. u...v w.. x.. y.. z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Po napísaní slov L "empereur Napoleon [cisár Napoleon] pomocou tejto abecedy v číslach sa ukázalo, že súčet týchto čísel sa rovná 666, a teda Napoleon je zviera, o ktorom sa predpovedalo v Apokalypse. napísané slová quarante deux s použitím rovnakej abecedy [ štyridsaťdva], teda hranica, ktorá bola stanovená pre zver povedať veľký a rúhavý, súčet týchto čísel zobrazujúcich quarante deux je opäť rovný 666, z čoho vyplýva, že hranica Napoleonovej moci prišla v roku 1812, v ktorom sa francúzsky cisár obrátil 42 Táto predpoveď Pierra veľmi ohromila a často si kládol otázku, čo presne by obmedzilo moc šelmy, teda Napoleona, a na základe rovnakých obrázkov slov s číslami a výpočtami napísal Pierre v odpovedi na túto otázku: L "empereur Alexandre? Ruský národ? [cisár Alexander? Rusi?] Počítal písmená, ale súčet čísel bol oveľa väčší alebo menší ako 666. Raz, keď robil tieto výpočty, napísal svoje meno - Comte Pierre Besouhoff; Súčet čísel tiež nevyšiel ďaleko. Zmenil pravopis, dal z namiesto s, pridal de, pridal článok le a stále nedosiahol požadovaný výsledok. Potom mu napadlo, že ak odpoveď na hľadanú otázku spočíva v jeho mene, potom by odpoveď určite zahŕňala aj jeho národnosť. Napísal Le Russe Besuhoff a spočítaním čísel dostal 671. Len 5 bolo navyše; 5 znamená „e“, to isté „e“, ktoré bolo v článku vyradené pred slovom L „empereur. Po vyradení „e“ rovnakým spôsobom, hoci nesprávne, dostal Pierre požadovanú odpoveď; L „Russe Besuhof, rovný na 666 ti. Tento objav ho vzrušil. Ako, akým spojením bol spojený s tou veľkou udalosťou, ktorá bola predpovedaná v Apokalypse, nevedel; ale o tomto spojení nepochyboval ani minútu. Jeho láska k Rostovej, Antikristovi, vpád Napoleona, kométa, 666, cisár Napoleon a Russe Besuhof – to všetko spolu malo dozrieť, prepuknúť a vyviesť ho z toho čarovného, ​​bezvýznamného sveta Moskvy. zvyky, v ktorých sa cítil v zajatí, a priviedli ho k veľkým výkonom a veľkému šťastiu.
Pierre, v predvečer tej nedele, keď sa modlitba čítala, sľúbil Rostovcom, že im prinesú od grófa Rostopchina, s ktorým sa dobre poznal, výzvu Rusku a najnovšie správy z armády. Ráno, keď sa zastavil u grófa Rastopchina, ho Pierre našiel, keď práve dorazil kuriér z armády.

Nechajte signál s(t) je špecifikovaná ako neperiodická funkcia a existuje iba na intervale ( t 1 ,t 2) (príklad - jeden impulz). Vyberme si ľubovoľné časové obdobie T vrátane intervalu ( t 1 ,t 2) (pozri obr. 1).

Označme periodický signál získaný z s(t), vo forme ( t). Potom môžeme napísať Fourierov rad

Ak chcete prejsť na funkciu s(t) nasleduje vo výraze ( t) nasmerujte obdobie do nekonečna. V tomto prípade počet harmonických zložiek s frekvenciami w=n 2p/T budú nekonečne veľké, vzdialenosť medzi nimi bude mať tendenciu k nule (na nekonečne malú hodnotu:

amplitúdy komponentov budú tiež nekonečne malé. Preto už nie je možné hovoriť o spektre takéhoto signálu, pretože spektrum sa stáva spojitým.

Vnútorný integrál je funkciou frekvencie. Nazýva sa spektrálna hustota signálu, alebo frekvenčná odozva signálu a označuje sa t.j.

Pre všeobecnosť môžu byť limity integrácie nastavené na nekonečno, pretože je všetko rovnaké, kde s(t) sa rovná nule a integrál sa rovná nule.

Výraz pre spektrálnu hustotu sa nazýva priama Fourierova transformácia. Inverzná Fourierova transformácia určuje časovú funkciu signálu z jeho spektrálnej hustoty

Priame (*) a inverzné (**) Fourierove transformácie sa spoločne nazývajú pár Fourierových transformácií. Modul spektrálnej hustoty

určuje amplitúdovo-frekvenčnú odozvu (AFC) signálu a jeho argument nazývaná fázovo-frekvenčná odozva (PFC) signálu. Frekvenčná odozva signálu je párna funkcia a fázová odozva je nepárna.

Význam modulu S(w) je definovaná ako amplitúda signálu (prúdu alebo napätia) na 1 Hz v nekonečne úzkom frekvenčnom pásme, ktoré zahŕňa príslušnú frekvenciu w. Jeho rozmer je [signál/frekvencia].

Energetické spektrum signálu. Ak má funkcia s(t) Fourierovu hustotu výkonu signálu ( spektrálna hustota energie signálu) je určený výrazom:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Výkonové spektrum W()-reálne nezáporné dokonca funkciu, ktoré sa zvyčajne nazýva energetické spektrum. Výkonové spektrum ako druhá mocnina modulu spektrálnej hustoty signálu neobsahuje fázovú informáciu o jeho frekvenčných zložkách, a preto je rekonštrukcia signálu z výkonového spektra nemožná. To tiež znamená, že signály s rôznymi fázovými charakteristikami môžu mať rovnaké výkonové spektrá. Najmä posun signálu sa neodráža v jeho výkonovom spektre. Ten nám umožňuje získať vyjadrenie pre energetické spektrum priamo z výrazov (5.2.7). V limite pre identické signály u(t) a v(t) s posunom t 0 má imaginárna časť spektra Wuv () tendenciu k nulovým hodnotám a reálna časť k hodnotám modulu spektra. . S úplnou časovou kombináciou signálov máme:

tie. energia signálu sa rovná integrálu kvadrátu modulu jeho frekvenčného spektra - súčtu energie jeho frekvenčných zložiek a je vždy reálnou hodnotou.

Pre ľubovoľný signál s(t) je rovnosť

zvyčajne nazývaná Parsevalova rovnosť (v matematike - Plancherelova veta, vo fyzike - Rayleighov vzorec). Rovnosť je zrejmá, pretože súradnicové a frekvenčné reprezentácie sú v podstate len rôzne matematické reprezentácie toho istého signálu. Podobne pre energiu interakcie dvoch signálov:

Parsevalova rovnosť znamená nemennosť bodkový produkt signály a normy týkajúce sa Fourierovej transformácie:

V rade čisto praktických problémov záznamu a prenosu signálov je energetické spektrum signálu veľmi významné. Periodické signály sa prekladajú do spektrálnej oblasti vo forme Fourierových radov. Napíšme periodický signál s periódou T vo forme Fourierovho radu v komplexnom tvare:

Interval 0-T obsahuje celé číslo periód všetkých exponentov integrandu a rovná sa nule, s výnimkou exponenciály v k = -m, pre ktorú sa integrál rovná T. Priemerná mocnina a periodický signál sa rovná súčtu štvorcových modulov koeficientov jeho Fourierovho radu:

Energetické spektrum signálu – ide o rozloženie energie základných signálov, ktoré tvoria neharmonický signál na frekvenčnej osi. Matematicky sa energetické spektrum signálu rovná druhej mocnine modulu spektrálnej funkcie:

V súlade s tým amplitúdovo-frekvenčné spektrum zobrazuje množinu amplitúd zložiek základných signálov na frekvenčnej osi a fázovo frekvenčné spektrum zobrazuje množinu fáz

Modul spektrálnej funkcie sa často nazýva amplitúdové spektrum, a jej argument je fázové spektrum.

Okrem toho existuje inverzná Fourierova transformácia, ktorá vám umožňuje obnoviť pôvodný signál s vedomím jeho spektrálnej funkcie:

Vezmite napríklad obdĺžnikový impulz:

Ďalší príklad spektra:

Nyquistova frekvencia, Kotelnikovova veta .

Nyquistova frekvencia - pri digitálnom spracovaní signálu frekvencia rovnajúca sa polovici vzorkovacej frekvencie. Pomenovaný po Harrym Nyquistovi. Z Kotelnikovovej vety vyplýva, že pri vzorkovaní analógového signálu nedôjde k strate informácie iba vtedy, ak je spektrum (spektrálna hustota) signálu rovnaké alebo nižšie ako Nyquistova frekvencia. V opačnom prípade pri obnove analógového signálu dôjde k prekrytiu spektrálnych „chvostov“ (frekvenčná substitúcia, frekvenčné maskovanie) a tvar obnoveného signálu bude skreslený. Ak spektrum signálu nemá žiadne zložky nad Nyquistovou frekvenciou, potom sa môže (teoreticky) vzorkovať a potom rekonštruovať bez skreslenia. V skutočnosti je „digitalizácia“ signálu (konverzia analógového signálu na digitálny) spojená s kvantizáciou vzoriek - každá vzorka je zapísaná vo forme digitálneho kódu s konečnou bitovou hĺbkou, v dôsledku čoho kvantizačné (zaokrúhľovacie) chyby sa pridávajú do vzoriek, za určitých podmienok považovaných za „kvantizačný šum“.

Reálne signály s konečnou dobou trvania majú vždy nekonečne široké spektrum, ktoré sa s rastúcou frekvenciou viac či menej rýchlo zmenšuje. Vzorkovanie signálu preto vždy vedie k strate informácie (skreslenie tvaru signálu pri vzorkovaní a rekonštrukcii), bez ohľadu na to, aká vysoká je vzorkovacia frekvencia. Pri zvolenej vzorkovacej frekvencii možno skreslenie znížiť potlačením spektrálnych zložiek analógového signálu (predvzorkovanie) nad Nyquistovou frekvenciou, čo si vyžaduje filter veľmi vysokého rádu, aby sa zabránilo aliasingu. Praktická realizácia takéhoto filtra je veľmi komplikovaná, keďže amplitúdovo-frekvenčné charakteristiky filtrov nie sú pravouhlé, ale hladké a medzi priepustným pásmom a pásmom potlačenia je vytvorené určité pásmo prechodových frekvencií. Preto sa vzorkovacia frekvencia volí s rezervou, napríklad pri audio CD sa používa vzorkovacia frekvencia 44 100 Hz, pričom za najvyššiu frekvenciu v spektre audio signálov sa považuje 20 000 Hz. Nyquistova frekvenčná rezerva 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz vám umožňuje vyhnúť sa frekvenčnej substitúcii pri použití implementovaného filtra nízkeho rádu.

Kotelnikovova veta

Pre obnovenie pôvodného spojitého signálu z navzorkovaného s malými skresleniami (chybami) je potrebné racionálne zvoliť krok vzorkovania. Preto pri prevode analógového signálu na diskrétny nevyhnutne vyvstáva otázka veľkosti kroku vzorkovania. Intuitívne nie je ťažké pochopiť nasledujúcu myšlienku. Ak má analógový signál nízkofrekvenčné spektrum obmedzené určitou hornou frekvenciou Fe (t.j. funkcia u(t) má tvar plynule sa meniacej krivky bez prudkých zmien amplitúdy), potom je nepravdepodobné, že by táto funkcia mohla sa výrazne zmenili počas určitého malého časového intervalu vzorkovania. Je celkom zrejmé, že presnosť rekonštrukcie analógového signálu zo sekvencie jeho vzoriek závisí od veľkosti intervalu vzorkovania, čím je kratší, tým menej sa bude funkcia u(t) líšiť od hladkej krivky prechádzajúcej vzorkou bodov. S klesajúcim intervalom odberu vzoriek sa však výrazne zvyšuje zložitosť a objem spracovateľského zariadenia. Ak je interval vzorkovania dostatočne veľký, zvyšuje sa pravdepodobnosť skreslenia alebo straty informácií pri rekonštrukcii analógového signálu. Optimálnu hodnotu intervalu vzorkovania určuje Kotelnikovova veta (iné názvy sú vzorkovacia veta, veta K. Shannona, veta X. Nyquista: vetu prvýkrát objavil v matematike O. Cauchy a potom ju opäť opísal D. Carson a R. Hartley), ktorý dokázal v roku 1933 V. A. Kotelnikovova veta má dôležitý teoretický a praktický význam: umožňuje správne vzorkovať analógový signál a určiť najlepší spôsob jeho obnovenie na prijímacom konci na základe referenčných hodnôt.

Podľa jednej z najznámejších a najjednoduchších interpretácií Kotelnikovovej vety je možné ľubovoľný signál u(t), ktorého spektrum je obmedzené určitou frekvenciou Fe, úplne rekonštruovať zo sekvencie jeho referenčných hodnôt, ktoré nasledujú po čase. interval

Vzorkovací interval a frekvencia Fe(1) sa v rádiotechnike často nazývajú interval a frekvencia Nyquist. Analyticky je Kotelnikovova veta uvedená vedľa

kde k je číslo vzorky; - hodnota signálu v referenčných bodoch - horná frekvencia spektra signálu.

Frekvenčná reprezentácia diskrétnych signálov .

Väčšina signálov môže byť reprezentovaná ako Fourierova séria:

Spektrálna hustota a signál sú vzájomne prepojené pomocou dvojice Fourierových transformácií:

Všetky vlastnosti spektrálnej hustoty sú spojené v základných vetách o spektrách.

I. Vlastnosť linearity.

Ak existuje určitá množina signálov a,..., potom je vážený súčet signálov Fourierovou transformáciou takto:

Tu sú ľubovoľné číselné koeficienty.

II. Veta o posune.

Predpokladajme, že signál má známu korešpondenciu. Uvažujme ten istý signál, ale vyskytujúci sa o niekoľko sekúnd neskôr. Berúc bod ako nový začiatok času, označujeme tento posunutý signál ako. Zavedieme zmenu premennej: . potom

Modul komplexného čísla je rovný 1 pre akúkoľvek hodnotu, preto amplitúdy elementárnych harmonických zložiek, ktoré tvoria signál, nezávisia od jeho polohy na časovej osi. Informácie o tejto charakteristike signálu sú obsiahnuté vo fázovom spektre.

III. Veta o mierke.

Predpokladajme, že pôvodný signál podlieha zmene časového rozsahu. To znamená, že úlohu času zohráva nová nezávislá premenná (nejaké reálne číslo). Ak je > 1, dôjde k „kompresii“ pôvodného signálu; ak 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если, то:

Nahradíme premennú, potom to bude nasledovať:

Keď je signál na časovej osi stlačený faktorom jedna, jeho spektrum na frekvenčnej osi sa rozšíri o rovnakú hodnotu. V tomto prípade sa modul spektrálnej hustoty zníži o faktor.

Je zrejmé, že keď je signál natiahnutý v čase (t.j<1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV. Veta o spektre derivačného a neurčitého integrálu.

Nech je daný signál a jeho spektrálna rovina. Budeme študovať nový signál a stanovíme si cieľ nájsť jeho spektrálnu hustotu.

Podľa definície:

Fourierova transformácia je lineárna operácia, čo znamená, že rovnosť (2.3) platí aj vzhľadom na spektrálne hustoty. Pomocou vety o posune dostaneme:

Znázornenie exponenciálnej funkcie ako Taylorovho radu:

Nahradením tohto radu do (2.6) a obmedzením sa na prvé dva členy radu zistíme

Takže diferenciácia signálu vzhľadom na čas je ekvivalentná jednoduchej algebraickej operácii vynásobenia spektrálnej hustoty faktorom. Preto sa hovorí, že imaginárne číslo je diferenciačný operátor pracujúci vo frekvenčnej oblasti.

Druhá časť vety. Uvažovaná funkcia je vzhľadom na funkciu neurčitý integrál. Tento integrál existuje, čo znamená jeho spektrálnu hustotu a zo vzorca (2.7) sa rovná:

Multiplikátor teda slúži ako integračný operátor vo frekvenčnej doméne.

V. Konvolučný teorém.

Pri sčítaní signálov sa ich spektrá sčítajú. Spektrum súčinu signálov sa však nerovná súčinu spektier, ale je vyjadrené nejakým špeciálnym integrálnym vzťahom medzi spektrami faktorov.

Dovoliť a byť dva signály, pre ktoré sú známe korešpondencie. Vytvorme súčin týchto signálov: a vypočítajme jeho spektrálnu hustotu. Ako všeobecné pravidlo platí:

Aplikovaním inverznej Fourierovej transformácie vyjadríme signál z hľadiska jeho spektrálnej hustoty a výsledok dosadíme do (2.9):

Pri zmene poradia integrácie máme:

Integrál na pravej strane sa nazýva zväzok funkcie a. Symbolicky je konvolučná operácia označená ako *

Spektrálna hustota súčinu dvoch signálov až po konštantný číselný faktor sa teda rovná konvolúcii spektrálnych hustôt faktorov.

Pri štúdiu automatických riadiacich systémov je vhodné použiť ďalšiu charakteristiku stacionárneho náhodného procesu, nazývanú spektrálna hustota. V mnohých prípadoch, najmä pri štúdiu transformácie stacionárnych náhodných procesov lineárnymi riadiacimi systémami, sa spektrálna hustota ukazuje ako vhodnejšia charakteristika ako korelačná funkcia. Spektrálna hustota náhodného procesu je definovaná ako Fourierova transformácia korelačnej funkcie, t.j.

Ak použijeme Eulerov vzorec, potom (9.52) môže byť reprezentovaný ako

Keďže funkcia je nepárna, v poslednom výraze je druhý integrál rovný nule. Ak vezmeme do úvahy, že funkcia je párna, dostaneme

Keďže z (9.53) vyplýva, že

Spektrálna hustota je teda skutočnou a rovnomernou funkciou frekvencie o). Preto je na grafe spektrálna hustota vždy symetrická podľa ordinátnej osi.

Ak je známa spektrálna hustota, potom pomocou vzorca inverznej Fourierovej transformácie môžete nájsť zodpovedajúcu korelačnú funkciu:

Pomocou (9.55) a (9.38) môžeme stanoviť dôležitý vzťah medzi disperziou a spektrálnou hustotou náhodného procesu:

Pojem „spektrálna hustota“ vďačí za svoj pôvod teórii elektrických oscilácií. Fyzikálny význam spektrálnej hustoty možno vysvetliť nasledovne.

Nech je napätie aplikované na ohmický odpor 1 Ohm, potom sa priemerný výkon rozptýlený cez tento odpor v priebehu času rovná

Ak zväčšíme interval pozorovania na nekonečné limity a použijeme (9,30), (9,38) a (9,55), potom môžeme vzorec pre priemernú mocninu zapísať takto:

Rovnosť (9.57) ukazuje, že priemerný výkon signálu môže byť reprezentovaný ako nekonečný súčet nekonečne malých členov, ktorý sa vzťahuje na všetky frekvencie od 0 do

Každý elementárny člen tohto súčtu hrá úlohu mocniny zodpovedajúcej nekonečne malej časti spektra, obsiahnutej v rozsahu od do Každá elementárna mocnina je úmerná hodnote funkcie pre danú frekvenciu hustota je, že charakterizuje rozloženie výkonu signálu vo frekvenčnom spektre.

Spektrálnu hustotu možno zistiť experimentálne prostredníctvom priemernej hodnoty druhej mocniny amplitúdy harmonických pri implementácii náhodného procesu. Prístroje používané na tento účel a pozostávajúce zo spektrálneho analyzátora a kalkulačky pre priemernú hodnotu druhej mocniny harmonickej amplitúdy sa nazývajú spektrometre. Experimentálne je ťažšie nájsť spektrálnu hustotu ako korelačnú funkciu, preto sa v praxi spektrálna hustota najčastejšie počíta pomocou známej korelačnej funkcie pomocou vzorca (9.52) alebo (9.53).

Vzájomná spektrálna hustota dvoch stacionárnych náhodných procesov je definovaná ako Fourierova transformácia funkcie krížovej korelácie, t.j.

Použitím vzájomnej spektrálnej hustoty, použitím inverznej Fourierovej transformácie na (9.58), môžeme nájsť výraz pre funkciu krížovej korelácie:

Krížová spektrálna hustota je mierou štatistického vzťahu medzi dvoma stacionárnymi náhodnými procesmi: Ak sú procesy nekorelované a majú nulové priemerné hodnoty, potom je krížová spektrálna hustota nulová, t.j.

Na rozdiel od spektrálnej hustoty, krížová spektrálna hustota nie je párnou funkciou o a nie je skutočnou, ale komplexnou funkciou.

Uvažujme o niektorých vlastnostiach spektrálnych hustôt

1 Spektrálna hustota čistého náhodného procesu alebo bieleho šumu je konštantná v celom frekvenčnom rozsahu (pozri obr. 9.5, d):

V skutočnosti, nahradením výrazu (9.47) za funkciu korelácie bieleho šumu do (9.52), dostaneme

Stálosť spektrálnej hustoty bieleho šumu v celom nekonečnom frekvenčnom rozsahu získaná v poslednom výraze znamená, že energia bieleho šumu je rozložená rovnomerne v celom spektre a celková energia procesu sa rovná nekonečnu. To naznačuje fyzickú nemožnosť náhodného procesu, akým je napríklad biely šum. Biely šum je matematickou idealizáciou skutočného procesu. V skutočnosti frekvenčné spektrum klesá pri veľmi vysokých frekvenciách (ako je znázornené bodkovanou čiarou na obr. 9.5, d). Ak sú však tieto frekvencie také vysoké, že pri uvažovaní o akomkoľvek konkrétnom zariadení nehrajú rolu (pretože ležia mimo frekvenčného pásma vysielaného týmto zariadením), potom idealizácia signálu vo forme bieleho šumu zjednoduší úvahu a je preto celkom vhodné.

Pôvod pojmu „biely šum“ sa vysvetľuje analógiou takéhoto procesu s bielym svetlom, ktoré má rovnakú intenzitu všetkých zložiek, a skutočnosťou, že náhodné procesy, ako je biely šum, boli prvýkrát identifikované pri štúdiu tepelnej energie. kolísavý šum v rádiotechnických zariadeniach.

2. Spektrálna hustota konštantného signálu je -funkcia umiestnená v počiatku súradníc (pozri obr. 9.5, a), t.j.

Aby sme to dokázali, predpokladajme, že spektrálna hustota má tvar (9.62) az (9.55) zodpovedajúcu korelačnú funkciu. Pretože

potom keď dostaneme

To (v súlade s vlastnosťou 5 korelačných funkcií) znamená, že signál zodpovedajúci spektrálnej hustote definovanej pomocou (9.62) je konštantný signál rovný

Skutočnosť, že spektrálna hustota je funkciou znamená, že všetok výkon jednosmerného signálu je sústredený pri nulovej frekvencii, ako by sa dalo očakávať.

3. Spektrálna hustota periodického signálu predstavuje dve -funkcie umiestnené symetricky vzhľadom na počiatok súradníc v (pozri obr. 9.5, e), t.j.

Aby sme to dokázali, predpokladajme, že spektrálna hustota má tvar (9.63) a pomocou (9.55) nájdeme zodpovedajúcu korelačnú funkciu:

To (v súlade s vlastnosťou 6 korelačných funkcií) znamená, že signál zodpovedajúci spektrálnej hustote určenej pomocou (9.63) je periodický signál rovný

Skutočnosť, že spektrálna hustota predstavuje dve -funkcie umiestnené na znamená, že všetka sila periodického signálu je sústredená na dvoch frekvenciách: Ak uvažujeme spektrálnu hustotu iba v oblasti kladných frekvencií, dostaneme,

že všetka sila periodického signálu bude sústredená na jednej frekvencii.

4. Na základe vyššie uvedeného má spektrálna hustota časovej funkcie rozšírenej vo Fourierovom rade tvar

Táto spektrálna hustota zodpovedá čiarovému spektru (obr. 9.9) s funkciami umiestnenými na kladných a záporných harmonických frekvenciách. Na obr. 9.9 -funkcie sú konvenčne znázornené tak, že ich výšky sú zobrazené úmerne koeficientom jednotkovej funkcie, t.j.

ktorá sa úplne zhoduje s korelačnou funkciou určenou pomocou (9.45).

Z obr. 9.5, b, c je zrejmé, že čím širší je graf spektrálnej hustoty, tým užší je graf príslušnej korelačnej funkcie a naopak. To zodpovedá fyzikálnej podstate procesu: čím širší je graf spektrálnej hustoty, t. j. čím sú v spektrálnej hustote zastúpené vyššie frekvencie, tým vyšší je stupeň variability náhodného procesu a rovnaké grafy korelačnej funkcie. Inými slovami, vzťah medzi typom spektrálnej hustoty a typom časovej funkcie je inverzný v porovnaní so vzťahom medzi korelačnou funkciou a typom časovej funkcie. Platí to najmä pri zvažovaní konštantného signálu a bieleho šumu. V prvom prípade má korelačná funkcia tvar vodorovnej priamky a spektrálna hustota má tvar -funkcie (pozri obr. 9.5, a). V druhom prípade (pozri obr. 9.5, d) nastáva opačný obraz.

6. Spektrálna hustota náhodného procesu, na ktorom sú superponované periodické zložky, obsahuje spojitú časť a samostatné -funkcie zodpovedajúce frekvenciám periodických zložiek.

Jednotlivé píky v grafe spektrálnej hustoty naznačujú, že náhodný proces je zmiešaný so skrytými periodickými zložkami, ktoré nemusia byť na prvý pohľad detekované v jednotlivých záznamoch procesu. Ak je napríklad jeden periodický signál s frekvenciou superponovaný na náhodný proces, potom graf; spektrálna hustota má tvar znázornený na obr. 9.10,

Niekedy sa zvažuje normalizovaný štandard

spektrálna hustota, ktorá je Fourierovým obrazom normalizovanej korelačnej funkcie (9.48):

Normalizovaná spektrálna hustota má rozmer času.