Priama čiara v rovine je jedným z najjednoduchších geometrických útvarov, ktoré poznáte zo základnej školy a dnes sa naučíme, ako s ňou zaobchádzať pomocou metód analytickej geometrie. Aby ste zvládli materiál, musíte byť schopní postaviť priamku; vedieť, aká rovnica definuje priamku, najmä priamku prechádzajúcu počiatkom súradníc a priamky rovnobežné so súradnicovými osami. Tieto informácie nájdete v príručke Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií, vytvoril som ju pre Mathana, ale časť o lineárnej funkcii sa ukázala ako veľmi vydarená a podrobná. Preto, milé čajníky, najprv sa tam zohrejte. Okrem toho musíte mať základné vedomosti o vektory, inak bude pochopenie materiálu neúplné.
V tejto lekcii sa pozrieme na spôsoby, ako môžete vytvoriť rovnicu priamky v rovine. Odporúčam nezanedbávať praktické príklady (aj keď sa to zdá veľmi jednoduché), pretože im poskytnem základné a dôležité fakty, technické techniky, ktoré budú potrebné v budúcnosti, a to aj v iných častiach vyššej matematiky.
a začíname:
Známa „školská“ forma rovnice s priamkou sa nazýva rovnica priamky so sklonom. Napríklad, ak je rovnicou daná priamka, potom jej sklon: . Pozrime sa na geometrický význam tohto koeficientu a ako jeho hodnota ovplyvňuje umiestnenie čiary: 
V kurze geometrie je to dokázané sklon priamky sa rovná dotyčnica uhla medzi kladným smerom osia tento riadok: a uhol sa „odskrutkuje“ proti smeru hodinových ručičiek.
Aby kresba nebola neprehľadná, kreslila som uhly len pre dve rovné čiary. Zoberme si „červenú“ čiaru a jej sklon. Podľa vyššie uvedeného: (uhol „alfa“ je označený zeleným oblúkom). Pre „modrú“ priamku s uhlovým koeficientom platí rovnosť (uhol „beta“ je označený hnedým oblúkom). A ak je známa dotyčnica uhla, v prípade potreby sa dá ľahko nájsť a samotný roh pomocou inverznej funkcie - arkustangens. Ako sa hovorí, trigonometrický stôl alebo mikrokalkulačka vo vašich rukách. teda uhlový koeficient charakterizuje stupeň sklonu priamky k osi x.
Možné sú tieto prípady:
1) Ak je sklon záporný: potom čiara, zhruba povedané, ide zhora nadol. Príkladmi sú „modré“ a „malinové“ priame čiary na výkrese.
2) Ak je sklon kladný: čiara ide zdola nahor. Príklady - „čierne“ a „červené“ rovné čiary na výkrese.
3) Ak je sklon nula: , potom rovnica nadobudne tvar a zodpovedajúca priamka je rovnobežná s osou. Príkladom je „žltá“ priamka.
4) Pre skupinu čiar rovnobežných s osou (na výkrese nie je žiadny príklad, okrem samotnej osi), uhlový koeficient neexistuje (tangens 90 stupňov nie je definovaný).
Čím väčší je koeficient sklonu v absolútnej hodnote, tým strmší je lineárny graf..
Zvážte napríklad dve priame čiary. Tu má teda rovinka strmší sklon. Pripomínam, že modul vám umožňuje ignorovať znamenie, len nás zaujíma absolútne hodnoty uhlové koeficienty.
Priamka je zasa strmšia ako priamka 
.
Naopak: čím menší je koeficient sklonu v absolútnej hodnote, tým plochejšia je priamka.
Pre rovné čiary 
nerovnosť je pravdivá, teda priamka je plochejšia. Detská šmykľavka, aby ste si nerobili modriny a hrbolčeky.
Prečo je to potrebné?
Predĺžte si svoje trápenie Znalosť vyššie uvedených skutočností vám umožní okamžite vidieť svoje chyby, najmä chyby pri vytváraní grafov - ak sa ukáže, že kresba „očividne nie je v poriadku“. Je vhodné, aby ste hneď bolo jasné, že napríklad priamka je veľmi strmá a ide zdola nahor a priamka je veľmi plochá, pritlačená blízko osi a ide zhora nadol.
IN geometrické problémyČasto sa objavuje niekoľko priamych čiar, takže je vhodné ich nejako označiť.
Označenia: rovné čiary sú označené malými latinskými písmenami: . Obľúbenou možnosťou je označiť ich pomocou rovnakého písmena s prirodzenými dolnými indexmi. Napríklad päť riadkov, na ktoré sme sa práve pozreli, možno označiť 
.
Pretože každá priamka je jednoznačne určená dvoma bodmi, možno ju označiť týmito bodmi: 
atď. Označenie jasne naznačuje, že body patria k čiare.
Je čas sa trochu zahriať:
Ak je známy bod patriaci k určitej čiare a uhlový koeficient tejto čiary, potom rovnica tejto čiary je vyjadrená vzorcom:
Príklad 1
Napíšte rovnicu pre priamku so sklonom, ak je známe, že bod patrí danej priamke.
Riešenie: Zostavme rovnicu priamky pomocou vzorca 
. V tomto prípade: 
Odpoveď:
Vyšetrenie sa robí jednoducho. Najprv sa pozrieme na výslednú rovnicu a uistíme sa, že náš svah je na mieste. Po druhé, súradnice bodu musia spĺňať túto rovnicu. Zapojme ich do rovnice:
Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že bod vyhovuje výslednej rovnici.
Záver: Rovnica bola nájdená správne.
Ošemetnejší príklad pre nezávislé rozhodnutie:
Príklad 2
Napíšte rovnicu pre priamku, ak je známe, že jej uhol sklonu voči kladnému smeru osi je , a bod patrí tejto priamke.
Ak máte nejaké ťažkosti, znova si prečítajte teoretický materiál. Presnejšie, praktickejšie, preskakujem veľa dôkazov.
Posledný zvon zazvonil a stíchol stužková, a za bránami našej rodnej školy nás čaká samotná analytická geometria. Vtipom je koniec... Alebo možno ešte len začínajú =)
Nostalgicky mávame perom známemu a zoznamujeme sa so všeobecnou rovnicou priamky. Pretože v analytickej geometrii sa používa presne toto:
Všeobecná rovnica priamky má tvar: , kde sú nejaké čísla. Zároveň koeficienty súčasne sa nerovnajú nule, pretože rovnica stráca svoj význam.
Oblečme sa do obleku a spojme rovnicu s koeficientom sklonu. Najprv presuňte všetky výrazy na ľavú stranu:
Výraz s „X“ musí byť uvedený na prvé miesto:
Rovnica má v zásade už tvar , ale podľa pravidiel matematickej etikety musí byť koeficient prvého člena (v tomto prípade) kladný. Zmena znamenia:
Pamätajte na túto technickú vlastnosť! Prvý koeficient (najčastejšie) robíme kladným!
V analytickej geometrii bude rovnica priamky takmer vždy uvedená vo všeobecnej forme. V prípade potreby sa dá ľahko zredukovať na „školský“ tvar s uhlovým koeficientom (s výnimkou priamych čiar rovnobežných s osou ordinátov).
Položme si otázku čo dosť viete postaviť rovnú čiaru? Dva body. Ale viac o tomto incidente z detstva neskôr; Každá rovinka má veľmi špecifický sklon, ktorému sa dá ľahko „prispôsobiť“. vektor.
Vektor, ktorý je rovnobežný s priamkou, sa nazýva smerový vektor tejto priamky. Je zrejmé, že každá priamka má nekonečný počet smerových vektorov a všetky budú kolineárne (kolineárne alebo nie - na tom nezáleží).
Smerový vektor označím takto: .
Ale jeden vektor nestačí na vytvorenie priamky; vektor je voľný a nie je viazaný na žiadny bod v rovine. Preto je dodatočne potrebné poznať nejaký bod, ktorý patrí k čiare.
Ak je známy určitý bod patriaci do priamky a smerový vektor tejto priamky, potom rovnicu tejto priamky možno zostaviť pomocou vzorca:
Niekedy je tzv kanonická rovnica priamky .
Čo robiť, keď jedna zo súradníc sa rovná nule, pochopíme na praktických príkladoch nižšie. Mimochodom, všimnite si - oboje naraz súradnice sa nemôžu rovnať nule, pretože nulový vektor neurčuje konkrétny smer.
Príklad 3
Napíšte rovnicu pre priamku pomocou bodu a smerového vektora
Riešenie: Zostavme rovnicu priamky pomocou vzorca. V tomto prípade:
Pomocou vlastností proporcie sa zbavíme zlomkov: 
A privedieme rovnicu do jej všeobecného tvaru:
Odpoveď:
V takýchto príkladoch spravidla nie je potrebné robiť kresbu, ale kvôli pochopeniu: 
Na výkrese vidíme začiatočný bod, pôvodný smerový vektor (môže byť vykreslený z akéhokoľvek bodu roviny) a zostrojenú priamku. Mimochodom, v mnohých prípadoch je najvhodnejšie zostrojiť priamku pomocou rovnice s uhlovým koeficientom. Je ľahké transformovať našu rovnicu do formy a ľahko vybrať iný bod na vytvorenie priamky.
Ako bolo uvedené na začiatku odseku, priama čiara má nekonečne veľa smerových vektorov a všetky sú kolineárne. Napríklad som nakreslil tri takéto vektory: 
. Nech už zvolíme akýkoľvek smerový vektor, výsledkom bude vždy rovnaká priamka rovnica.
Vytvorme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:
Vyriešenie pomeru:
Vydeľte obe strany číslom –2 a získajte známu rovnicu:
Rovnakým spôsobom môžu záujemcovia testovať vektory 
alebo akýkoľvek iný kolineárny vektor.
Teraz vyriešme inverzný problém:
Veľmi jednoduché:
Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlý systém súradnice, potom vektor je smerový vektor tejto čiary.
Príklady hľadania smerových vektorov priamych čiar: 
Tento príkaz nám umožňuje nájsť iba jeden smerový vektor z nekonečného počtu, ale viac nepotrebujeme. Aj keď v niektorých prípadoch je vhodné znížiť súradnice smerových vektorov:
Rovnica teda špecifikuje priamku, ktorá je rovnobežná s osou a súradnice výsledného smerového vektora sú vhodne delené –2, čím sa získa presne základný vektor ako smerový vektor. Logické.
Podobne rovnica určuje priamku rovnobežnú s osou a vydelením súradníc vektora číslom 5 získame jednotkový vektor ako smerový vektor.
Teraz poďme na to kontrolný príklad 3. Príklad išiel hore, preto pripomínam, že sme v ňom zostavili rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora
Po prvé, pomocou rovnice priamky rekonštruujeme jej smerový vektor: 
– všetko je v poriadku, dostali sme pôvodný vektor (v niektorých prípadoch môže byť výsledkom kolineárny vektor s pôvodným, čo je zvyčajne ľahké si všimnúť podľa proporcionality zodpovedajúcich súradníc).
Po druhé, súradnice bodu musia vyhovovať rovnici. Dosadíme ich do rovnice:
Bola dosiahnutá správna rovnosť, čo nás veľmi teší.
Záver: Úloha bola dokončená správne.
Príklad 4
Napíšte rovnicu pre priamku pomocou bodu a smerového vektora
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie. Dôrazne sa odporúča skontrolovať pomocou algoritmu, o ktorom sme práve hovorili. Snažte sa vždy (ak je to možné) skontrolovať koncept. Je hlúpe robiť chyby tam, kde sa im dá 100% vyhnúť.
V prípade, že jedna zo súradníc smerového vektora je nulová, postupujte veľmi jednoducho:
Príklad 5
Riešenie: Vzorec nie je vhodný, pretože menovateľ na pravej strane je nula. Existuje východ! Pomocou vlastností proporcie prepíšeme vzorec do formulára a zvyšok sa valí po hlbokej koľaji:
Odpoveď:
Vyšetrenie:
1) Obnovte smerový vektor priamky:
– výsledný vektor je kolineárny s pôvodným smerovým vektorom.
2) Dosaďte súradnice bodu do rovnice: 
Získa sa správna rovnosť
Záver: úloha dokončená správne
Vynára sa otázka, prečo sa obťažovať vzorcom, ak existuje univerzálna verzia, ktorá bude fungovať v každom prípade? Dôvody sú dva. Po prvé, vzorec je vo forme zlomku oveľa lepšie zapamätateľné. A po druhé, nevýhodou univerzálneho vzorca je to riziko zámeny sa výrazne zvyšuje pri dosadzovaní súradníc.
Príklad 6
Napíšte rovnicu pre priamku pomocou bodu a smerového vektora.
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.
Vráťme sa k dvom všadeprítomným bodom:
Ak sú známe dva body, potom rovnicu priamky prechádzajúcej týmito bodmi možno zostaviť pomocou vzorca:
V skutočnosti ide o typ vzorca a tu je dôvod, prečo: ak sú známe dva body, vektor bude smerový vektor danej čiary. Na lekcii Vektory pre figuríny zvažovali sme najjednoduchšia úloha– ako nájsť súradnice vektora z dvoch bodov. Podľa tohto problému sú súradnice smerového vektora: 
Poznámka
: body možno „prehodiť“ a použiť vzorec 
. Takéto riešenie bude ekvivalentné.
Príklad 7
Napíšte rovnicu priamky pomocou dvoch bodov 
.
Riešenie: Používame vzorec: 
Kombinácia menovateľov:
A zamiešajte balíček: 
Teraz je čas sa zbaviť zlomkové čísla. V tomto prípade musíte obe strany vynásobiť 6: 
Otvorte zátvorky a spomeňte si na rovnicu: 
Odpoveď:
Vyšetrenie je zrejmé - súradnice počiatočných bodov musia spĺňať výslednú rovnicu:
1) Dosaďte súradnice bodu: 
Skutočná rovnosť.
2) Dosaďte súradnice bodu: 
Skutočná rovnosť.
Záver: Rovnica úsečky je napísaná správne.
Ak aspoň jeden bodov nevyhovuje rovnici, hľadajte chybu.
Stojí za zmienku, že grafické overenie je v tomto prípade ťažké, pretože zostrojte priamku a zistite, či k nej body patria 
, nie je to také jednoduché.
Zaznamenám niekoľko ďalších technických aspektov riešenia. Možno je v tomto probléme výhodnejšie použiť zrkadlový vzorec 
a v rovnakých bodoch 
urob rovnicu: 
Menej zlomkov. Ak chcete, môžete vykonať riešenie až do konca, výsledkom by mala byť rovnaká rovnica.
Druhým bodom je pozrieť sa na konečnú odpoveď a zistiť, či sa dá ďalej zjednodušiť? Napríklad, ak dostanete rovnicu , potom je vhodné ju zmenšiť o dve: – rovnica bude definovať rovnakú priamku. To je však už téma na rozhovor relatívnu polohu čiar.
Po prijatí odpovede 
v príklade 7 som pre každý prípad skontroloval, či sú VŠETKY koeficienty rovnice deliteľné 2, 3 alebo 7. Aj keď najčastejšie sa takéto redukcie robia pri riešení.
Príklad 8
Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodmi 
.
Toto je príklad nezávislého riešenia, ktoré vám umožní lepšie pochopiť a precvičiť výpočtové techniky.
Podobne ako v predchádzajúcom odseku: ak je vo vzorci 
jeden z menovateľov (súradnica smerového vektora) sa stane nulou, potom ho prepíšeme do tvaru . Opäť si všimnite, ako nemotorne a zmätene vyzerá. Nevidím zmysel uvádzať praktické príklady, keďže tento problém sme už skutočne vyriešili (pozri č. 5, 6).
čo je normálne? Jednoducho povedané, normálna je kolmá. To znamená, že normálový vektor priamky je kolmý na danú priamku. Je zrejmé, že každá priamka ich má nekonečný počet (rovnako ako smerových vektorov) a všetky normálové vektory priamky budú kolineárne (kolineárne alebo nie, na tom nezáleží).
Manipulácia s nimi bude ešte jednoduchšia ako s vodiacimi vektormi:
Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je normálový vektor tejto priamky.
Ak je potrebné z rovnice opatrne „vytiahnuť“ súradnice smerového vektora, potom je možné súradnice normálového vektora jednoducho „odstrániť“.
Normálny vektor je vždy ortogonálny k smerovému vektoru priamky. Overme si ortogonalitu týchto vektorov pomocou skalárny súčin:
Uvediem príklady s rovnakými rovnicami ako pre smerový vektor: 
Je možné zostrojiť rovnicu priamky s jedným bodom a normálovým vektorom? Cítim to vo svojich črevách, je to možné. Ak je známy normálny vektor, potom je smer samotnej priamky jasne definovaný - ide o „tuhú štruktúru“ s uhlom 90 stupňov.
Ak je známy určitý bod patriaci do priamky a normálový vektor tejto priamky, potom rovnica tejto priamky je vyjadrená vzorcom:
Tu všetko fungovalo bez zlomkov a iných prekvapení. Toto je náš normálny vektor. Milovať ho. A rešpekt =)
Príklad 9
Napíšte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor čiary.
Riešenie: Používame vzorec: 
Všeobecná rovnica priamky bola získaná, skontrolujme:
1) „Odstráňte“ súradnice normálneho vektora z rovnice: 
– áno, skutočne, pôvodný vektor bol získaný z podmienky (alebo by sa mal získať kolineárny vektor).
2) Skontrolujeme, či bod spĺňa rovnicu: 
Skutočná rovnosť.
Keď sa presvedčíme, že rovnica je zložená správne, dokončíme druhú, ľahšiu časť úlohy. Vyberieme smerový vektor priamky: 
Odpoveď: 
Na obrázku vyzerá situácia takto: 
Na účely školenia podobná úloha na samostatné riešenie:
Príklad 10
Napíšte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor čiary.
Záverečná časť hodiny bude venovaná menej bežným, ale aj dôležitým typom rovníc priamky v rovine
Rovnica priamky v segmentoch má tvar , kde sú nenulové konštanty. Niektoré typy rovníc nemôžu byť reprezentované v tejto forme, napríklad priama úmernosť (keďže voľný člen sa rovná nule a neexistuje spôsob, ako dostať jeden na pravú stranu).
Toto je, obrazne povedané, „technický“ typ rovnice. Bežnou úlohou je reprezentovať všeobecnú rovnicu priamky ako rovnicu priamky v segmentoch. Ako je to pohodlné? Rovnica čiary v segmentoch vám umožňuje rýchlo nájsť priesečníky čiary s súradnicové osi, čo môže byť v niektorých problémoch vyššej matematiky veľmi dôležité.
Nájdite priesečník priamky s osou. Vynulujeme „y“ a rovnica nadobudne tvar . Požadovaný bod sa získa automaticky: .
To isté s osou 
– bod, v ktorom priamka pretína ordinátovú os.
Pokračovanie témy, rovnica priamky v rovine je založená na štúdiu priamky z hodín algebry. Tento článok poskytuje všeobecné informácie o téme rovnice priamky so sklonom. Uvažujme o definíciách, získajme samotnú rovnicu a identifikujme spojenie s inými typmi rovníc. Všetko sa bude diskutovať na príkladoch riešenia problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pred napísaním takejto rovnice je potrebné definovať uhol sklonu priamky k osi O x s ich uhlovým koeficientom. Predpokladajme, že je daný kartézsky súradnicový systém O x v rovine.
Definícia 1
uhol sklonu priamky k osi O x, nachádza sa v karteziánsky systém súradnice O x y v rovine, je to uhol, ktorý sa meria od kladného smeru O x k priamke proti smeru hodinových ručičiek.
Keď je čiara rovnobežná s Ox alebo sa v nej zhoduje, uhol sklonu je 0. Potom je uhol sklonu danej priamky α definovaný na intervale [ 0 , π) .
Definícia 2
Priamy svah je dotyčnica uhla sklonu danej priamky.
Štandardné označenie je k. Z definície dostaneme, že k = t g α . Keď je čiara rovnobežná s Oxom, hovoria, že sklon neexistuje, pretože ide do nekonečna.
Sklon je kladný, keď sa graf funkcie zvyšuje a naopak. Na obrázku sú znázornené rôzne variácie umiestnenia pravého uhla voči súradnicovému systému s hodnotou koeficientu.
Na nájdenie tohto uhla je potrebné použiť definíciu uhlového koeficientu a vypočítať tangens uhla sklonu v rovine.
Riešenie
Z podmienky máme, že α = 120°. Podľa definície sa musí vypočítať sklon. Zistime to zo vzorca k = t g α = 120 = - 3.
odpoveď: k = - 3 .
Ak je známy uhlový koeficient a je potrebné nájsť uhol sklonu k osi x, potom by sa mala brať do úvahy hodnota uhlového koeficientu. Ak k > 0, potom je pravý uhol ostrý a nájdeme ho podľa vzorca α = a r c t g k. Ak k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Príklad 2
Určte uhol sklonu danej priamky k O x s uhlovým koeficientom 3.
Riešenie
Z podmienky máme, že uhlový koeficient je kladný, čo znamená, že uhol sklonu k O x je menší ako 90 stupňov. Výpočty sa robia pomocou vzorca α = a r c t g k = a r c t g 3.
Odpoveď: α = a r c t g 3 .
Príklad 3
Nájdite uhol sklonu priamky k osi O x, ak sklon = -1 3.
Riešenie
Ak zoberieme písmeno k ako označenie uhlového koeficientu, tak α je uhol sklonu k danej priamke v kladnom smere O x. Preto k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
odpoveď: 5 π 6 .
Rovnica v tvare y = k x + b, kde k je sklon a b je nejaké reálne číslo, sa nazýva rovnica priamky so sklonom. Rovnica je typická pre akúkoľvek priamku, ktorá nie je rovnobežná s osou O y.
Ak podrobne zvážime priamku v rovine v pevnom súradnicovom systéme, ktorá je určená rovnicou s uhlovým koeficientom, ktorá má tvar y = k x + b. V tomto prípade to znamená, že rovnica zodpovedá súradniciam ľubovoľného bodu na priamke. Ak dosadíme súradnice bodu M, M 1 (x 1, y 1) do rovnice y = k x + b, tak v tomto prípade bude priamka prechádzať týmto bodom, inak bod do priamky nepatrí.
Príklad 4
Je daná priamka so sklonom y = 1 3 x - 1. Vypočítajte, či body M 1 (3, 0) a M 2 (2, - 2) patria danej priamke.
Riešenie
Do danej rovnice je potrebné dosadiť súradnice bodu M 1 (3, 0), potom dostaneme 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Rovnosť je pravdivá, čo znamená, že bod patrí k čiare.
Ak dosadíme súradnice bodu M 2 (2, - 2), dostaneme nesprávnu rovnosť tvaru - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Môžeme konštatovať, že bod M 2 nepatrí do priamky.
odpoveď: M 1 patrí do radu, ale M 2 nie.
Je známe, že priamka je definovaná rovnicou y = k · x + b, prechádzajúcou cez M 1 (0, b), pri dosadení dostaneme rovnosť tvaru b = k · 0 + b ⇔ b = b. Z toho môžeme usúdiť, že rovnica priamky s uhlovým koeficientom y = k x + b v rovine definuje priamku, ktorá prechádza bodom 0, b. S kladným smerom osi O x zviera uhol α, kde k = t g α.
Uvažujme ako príklad priamku definovanú pomocou uhlového koeficientu špecifikovaného v tvare y = 3 x - 1. Dostaneme, že priamka bude prechádzať bodom so súradnicou 0, - 1 so sklonom α = a r c t g 3 = π 3 radiánov v kladnom smere osi O x. To ukazuje, že koeficient je 3.
Je potrebné vyriešiť úlohu, kde je potrebné získať rovnicu priamky s daným sklonom prechádzajúcej bodom M 1 (x 1, y 1).
Rovnosť y 1 = k · x + b môžeme považovať za platnú, keďže priamka prechádza bodom M 1 (x 1, y 1). Na odstránenie čísla b je potrebné odčítať rovnicu so sklonom z ľavej a pravej strany. Z toho vyplýva, že y - y 1 = k · (x - x 1) . Táto rovnosť sa nazýva rovnica priamky s daným sklonom k, prechádzajúcej súradnicami bodu M 1 (x 1, y 1).
Príklad 5
Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom M 1 so súradnicami (4, - 1), s uhlovým koeficientom rovným - 2.
Riešenie
Podľa podmienky máme, že x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Odtiaľ bude rovnica priamky napísaná takto: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
odpoveď: y = -2 x + 7.
Príklad 6
Napíšte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom, ktorá prechádza bodom M 1 so súradnicami (3, 5), rovnobežnou s priamkou y = 2 x - 2.
Riešenie
Podľa podmienky máme, že rovnobežné čiary majú zhodné uhly sklonu, čo znamená, že uhlové koeficienty sú rovnaké. Aby ste našli sklon z tejto rovnice, musíte si zapamätať jej základný vzorec y = 2 x - 2, z toho vyplýva, že k = 2. Vytvoríme rovnicu s koeficientom sklonu a dostaneme:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
odpoveď: y = 2 x - 1 .
Táto rovnica nie je vždy použiteľná na riešenie problémov, pretože nie je príliš vhodne napísaná. Ak to chcete urobiť, musíte ho prezentovať v inej forme. Napríklad rovnica tvaru y = k x + b nám neumožňuje zapísať súradnice smerového vektora priamky ani súradnice normálového vektora. Aby ste to dosiahli, musíte sa naučiť reprezentovať pomocou rovníc iného typu.
Kanonickú rovnicu priamky na rovine môžeme získať pomocou rovnice priamky s uhlovým koeficientom. Dostaneme x - x 1 a x = y - y 1 a y . Je potrebné posunúť člen b na ľavú stranu a deliť vyjadrením výslednej nerovnosti. Potom dostaneme rovnicu v tvare y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Rovnica priamky so sklonom sa stala kanonickou rovnicou tejto priamky.
Príklad 7
Uveďte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom y = - 3 x + 12 do kanonickej podoby.
Riešenie
Vypočítajme a prezentujme ju vo forme kanonickej rovnice priamky. Dostaneme rovnicu v tvare:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odpoveď: x 1 = y - 12 - 3.
Všeobecnú rovnicu priamky je najjednoduchšie získať z y = k · x + b, ale na to je potrebné vykonať transformácie: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Prechod je vytvorený z všeobecná rovnica priamka na rovnice iného typu.
Príklad 8
Daná priama rovnica tvaru y = 1 7 x - 2 . Zistite, či vektor so súradnicami a → = (- 1, 7) je normálny čiarový vektor?
Riešenie
Na vyriešenie je potrebné prejsť na inú formu tejto rovnice, preto píšeme:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Koeficienty pred premennými sú súradnice normálového vektora priamky. Zapíšme si to takto: n → = 1 7, - 1, teda 1 7 x - y - 2 = 0. Je jasné, že vektor a → = (- 1, 7) je kolineárny s vektorom n → = 1 7, - 1, keďže máme spravodlivý vzťah a → = - 7 · n →. Z toho vyplýva, že pôvodný vektor a → = - 1, 7 je normálový vektor priamky 1 7 x - y - 2 = 0, čo znamená, že sa považuje za normálový vektor pre priamku y = 1 7 x - 2.
odpoveď: Je
Poďme vyriešiť inverzný problém tohto.
Treba sa odsťahovať všeobecný pohľad rovnice A x + B y + C = 0, kde B ≠ 0, na rovnicu so sklonom. Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu pre y. Dostaneme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Výsledkom je rovnica so sklonom rovným -A B.
Príklad 9
Je daná priama rovnica v tvare 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Získajte rovnicu danej priamky s uhlovým koeficientom.
Riešenie
Na základe podmienky je potrebné vyriešiť pre y, potom dostaneme rovnicu v tvare:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odpoveď: y = 1 6 x + 1 4 .
Podobným spôsobom sa rieši rovnica tvaru x a + y b = 1, ktorá sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, alebo kanonická v tvare x - x 1 a x = y - y 1 a y. Musíme to vyriešiť pre y, až potom dostaneme rovnicu so sklonom:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Kanonická rovnica môže byť zredukovaná na formu s uhlovým koeficientom. Pre to:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x x x - a y a x x x 1 + y 1
Príklad 10
Existuje priamka daná rovnicou x 2 + y - 3 = 1. Redukujte na formu rovnice s uhlovým koeficientom.
Riešenie.
Na základe podmienky je potrebné transformovať, potom získame rovnicu v tvare _vzorec_. Obidve strany rovnice sa musia vynásobiť -3, aby sa získala požadovaná rovnica sklonu. Transformáciou dostaneme:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
odpoveď: y = 3 2 x - 3.
Príklad 11
Rovnicu priamky tvaru x - 2 2 = y + 1 5 zredukujte na tvar s uhlovým koeficientom.
Riešenie
Je potrebné vypočítať výraz x - 2 2 = y + 1 5 ako podiel. Dostaneme, že 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Teraz ho musíte úplne povoliť, aby ste to urobili:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 r + 2 ⇔ 2 r = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odpoveď: y = 5 2 x - 6 .
Na vyriešenie takýchto problémov by sa parametrické rovnice priamky v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ mali zredukovať na kanonickú rovnicu priamky, až potom možno prejsť na rovnicu s sklonový koeficient.
Príklad 12
Nájdite sklon priamky, ak je daný parametrickými rovnicami x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Riešenie
Je potrebné prejsť z parametrického pohľadu do svahu. Na tento účel nájdeme kanonickú rovnicu z danej parametrickej rovnice:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Teraz je potrebné vyriešiť túto rovnosť vzhľadom na y, aby sme dostali rovnicu priamky s uhlovým koeficientom. Ak to chcete urobiť, napíšme to takto:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Z toho vyplýva, že sklon čiary je 2. Toto je napísané ako k = 2.
odpoveď: k = 2.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Naučte sa brať derivácie funkcií. Derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom bode ležiacom na grafe tejto funkcie. V tomto prípade môže byť graf priama alebo zakrivená čiara. To znamená, že derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom časovom bode. Pamätajte na všeobecné pravidlá, podľa ktorých sa odvodzujú, a až potom prejdite na ďalší krok.
Naučte sa rozlišovať medzi problémami, v ktorých musí byť sklon vypočítaný pomocou derivácie funkcie. Problémy nie vždy vyžadujú, aby ste našli sklon alebo deriváciu funkcie. Môžete byť napríklad požiadaní, aby ste našli rýchlosť zmeny funkcie v bode A(x,y). Môžete byť tiež požiadaní, aby ste našli sklon dotyčnice v bode A(x,y). V oboch prípadoch je potrebné vziať deriváciu funkcie.
Vezmite deriváciu funkcie, ktorú ste dostali. Tu nie je potrebné vytvárať graf - potrebujete iba rovnicu funkcie. V našom príklade vezmite deriváciu funkcie. Vezmite derivát podľa metód uvedených v článku vyššie:
Na výpočet sklonu dosaďte súradnice bodu, ktorý ste dostali, do nájdenej derivácie. Derivácia funkcie sa rovná sklonu v určitom bode. Inými slovami, f"(x) je sklon funkcie v ľubovoľnom bode (x,f(x)). V našom príklade:
Ak je to možné, skontrolujte svoju odpoveď v grafe. Pamätajte, že sklon nemožno vypočítať v každom bode. Diferenciálny počet sa zaoberá komplexnými funkciami a zložitými grafmi, kde nie je možné vypočítať sklon v každom bode a v niektorých prípadoch body na grafoch vôbec neležia. Ak je to možné, použite grafickú kalkulačku, aby ste skontrolovali, či je sklon zadanej funkcie správny. V opačnom prípade nakreslite dotyčnicu ku grafu v bode, ktorý vám bol daný, a porozmýšľajte, či sa nájdená hodnota sklonu zhoduje s tým, čo vidíte na grafe.
Tento matematický program nájde rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie \(f(x)\) v užívateľom zadanom bode \(a\).
Program zobrazuje nielen tangentovú rovnicu, ale zobrazuje aj proces riešenia problému.
Táto online kalkulačka môže byť užitočná pre študentov stredných škôl na stredných školách v rámci prípravy testy a skúšky, pri preverovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, aby rodičia ovládali riešenie mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo to len chcete mať čo najrýchlejšie hotové? domáca úloha v matematike alebo algebre? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.
Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný tréning a/alebo tréning váš. mladší bratiači sestry, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešených problémov.
Ak potrebujete nájsť deriváciu funkcie, tak na to máme úlohu Nájsť deriváciu.
Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania funkcií, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.
Zadajte funkčný výraz \(f(x)\) a číslo \(a\) Nájdite tangentovú rovnicu Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.
Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...
Ak ty všimol si chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.
Naše hry, hádanky, emulátory:
Pripomeňme si ten rozvrh lineárna funkcia\(y=kx+b\) je priamka. Volá sa číslo \(k=tg \alpha \). sklon priamky a uhol \(\alpha \) je uhol medzi touto čiarou a osou Ox
Ak \(k>0\), potom \(0 Ak \(kRovnica dotyčnice ku grafu funkcie
Ak bod M(a; f(a)) patrí do grafu funkcie y = f(x) a ak v tomto bode možno ku grafu funkcie nakresliť dotyčnicu, ktorá nie je kolmá na os x, potom z geometrického významu derivácie vyplýva, že uhlový koeficient dotyčnice je rovný f"(a). Ďalej vyvinieme algoritmus na zostavenie rovnice pre dotyčnicu ku grafu ľubovoľnej funkcie.
Nech je na grafe tejto funkcie uvedená funkcia y = f(x) a bod M(a; f(a)); nech je známe, že f"(a) existuje. Vytvorme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu danú funkciu V daný bod. Táto rovnica, rovnako ako rovnica akejkoľvek priamky, ktorá nie je rovnobežná s osou ordinátov, má tvar y = kx + b, takže úlohou je nájsť hodnoty koeficientov k a b.
S uhlovým koeficientom k je všetko jasné: je známe, že k = f"(a). Na výpočet hodnoty b použijeme skutočnosť, že požadovaná priamka prechádza bodom M(a; f(a)) To znamená, že ak dosadíme súradnice bodu M do rovnice priamky, dostaneme správnu rovnosť: \(f(a)=ka+b\), teda \(b = f(a) -. ka\).
Zostáva nahradiť nájdené hodnoty koeficientov k a b do rovnice priamky:
Dostali sme rovnica dotyčnice ku grafu funkcie\(y = f(x) \) v bode \(x=a \).
Algoritmus na nájdenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie \(y=f(x)\)
1. Označte úsečku dotyčného bodu písmenom \(a\)
2. Vypočítajte \(f(a)\)
3. Nájdite \(f"(x)\) a vypočítajte \(f"(a)\)
4. Dosaďte nájdené čísla \(a, f(a), f"(a) \) do vzorca \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
