V určitom bode a má spojité parciálne derivácie, z ktorých aspoň jedna nezaniká, potom v blízkosti tohto bodu bude plocha definovaná rovnicou (1) správny povrch.
Okrem vyššie uvedeného implicitný spôsob špecifikácie možno definovať povrch samozrejme, ak jedna z premenných, napríklad z, môže byť vyjadrená ako ostatné:
Je tu tiež parametrické spôsob zadania. V tomto prípade je povrch určený systémom rovníc:
Presnejšie, jednoduchý povrch je obrazom homeomorfného zobrazenia (t. j. vzájomného súvislého zobrazenia jedna ku jednej) vnútra jednotkového štvorca. Táto definícia môže mať analytický výraz.
Pustite do lietadla s pravouhlý systém súradnice u a v sú dané štvorcom, súradnicami vnútorné body ktoré spĺňajú nerovnosti 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").
Príklad jednoduchý povrch je hemisféra. Celá guľa nie je jednoduchý povrch. To si vyžaduje ďalšie zovšeobecnenie pojmu povrch.
Podmnožina priestoru, ktorej každý bod má susedstvo, ktoré je jednoduchý povrch, volal správny povrch .
Helicoid
Catenoid
Metrika jednoznačne neurčuje tvar povrchu. Napríklad metrika helikoidu a katenoidu, zodpovedajúcim spôsobom parametrizovaná, sa zhoduje, to znamená, že medzi ich oblasťami existuje zhoda, ktorá zachováva všetky dĺžky (izometria). Vlastnosti, ktoré sú zachované pri izometrických transformáciách, sa nazývajú vnútorná geometria povrchy. Vnútorná geometria nezávisí od polohy povrchu v priestore a nemení sa, keď sa ohýba bez napätia alebo stlačenia (napríklad keď je valec ohnutý do kužeľa).
Metrické koeficienty určujú nielen dĺžky všetkých kriviek, ale vo všeobecnosti aj výsledky všetkých meraní vo vnútri povrchu (uhly, plochy, zakrivenie atď.). Preto všetko, čo závisí len od metriky, sa vzťahuje na vnútornú geometriu.
Normálne vektory v povrchových bodoch
Jednou z hlavných charakteristík povrchu je jeho normálne- jednotkový vektor kolmý na dotykovú rovinu v danom bode:
.
Znak normály závisí od výberu súradníc.
Rez plochy rovinou obsahujúcou normálu (v danom bode) tvorí na ploche určitú krivku, ktorá je tzv. normálny úsek povrchy. Hlavná normála pre normálny úsek sa zhoduje s normálou k povrchu (až po znamienko).
Ak krivka na ploche nie je normálnou sekciou, potom jej hlavná normála zviera s normálou plochy určitý uhol θ. Potom zakrivenie k krivka súvisiaca so zakrivením k n normálny rez (s rovnakou dotyčnicou) podľa Meunierovho vzorca:
Súradnice normálneho jednotkového vektora pre rôzne metódy definovania povrchu sú uvedené v tabuľke:
| Normálne súradnice v bode povrchu | |
|---|---|
| implicitné zadanie |  |
| explicitné zadanie |  |
| parametrická špecifikácia |  |
Pre rôzne smery v danom bode povrchu sa získa rôzne zakrivenie normálneho rezu, ktoré sa nazýva normálne zakrivenie; priradí sa jej znamienko plus, ak hlavná normála krivky ide v rovnakom smere ako normála k povrchu, alebo znamienko mínus, ak sú smery normály opačné.
Všeobecne povedané, v každom bode povrchu existujú dva kolmé smery e 1 a e 2, v ktorom normálne zakrivenie nadobúda minimálne a maximálne hodnoty; tieto smery sa nazývajú Hlavná. Výnimkou je prípad, keď je normálové zakrivenie vo všetkých smeroch rovnaké (napríklad v blízkosti gule alebo na konci rotačného elipsoidu), potom sú všetky smery v bode hlavné.
Plochy s negatívnym (vľavo), nulovým (v strede) a pozitívnym (vpravo) zakrivením.
Normálne zakrivenia v hlavných smeroch sa nazývajú hlavné zakrivenia; označme ich κ 1 a κ 2. Veľkosť:
K= K 1 K 2volal Gaussovo zakrivenie, plné zakrivenie alebo jednoducho zakrivenie povrchy. Existuje aj termín skalárne zakrivenie, čo znamená výsledok konvolúcie tenzora zakrivenia; v tomto prípade je skalárne zakrivenie dvakrát väčšie ako Gaussovo zakrivenie.
Gaussovo zakrivenie možno vypočítať pomocou metriky, a preto je predmetom vnútornej geometrie povrchov (všimnite si, že hlavné zakrivenia nepatria do vnútornej geometrie). Body povrchu môžete klasifikovať na základe znamienka zakrivenia (pozri obrázok). Zakrivenie roviny je nulové. Zakrivenie gule s polomerom R je všade rovnaké. Existuje aj plocha konštantného negatívneho zakrivenia – pseudosféra.
Krivka na ploche je tzv geodetická čiara, alebo jednoducho geodetický, ak sa vo všetkých jej bodoch hlavná normála ku krivke zhoduje s normálou k ploche. Príklad: v rovine sú geodetikami priame čiary a segmenty priamych čiar, na gule - veľké kruhy a ich segmenty.
Ekvivalentná definícia: pre geodetickú čiaru je projekcia jej hlavnej normály do oskulačnej roviny nulový vektor. Ak krivka nie je geodetická, potom zadaná projekcia je nenulová; jeho dĺžka je tzv geodetické zakrivenie k g krivka na povrchu. Existuje vzťah:
,
Kde k- zakrivenie danej krivky, k n- zakrivenie jeho normálového rezu s rovnakou dotyčnicou.
Geodetické čiary sa vzťahujú na vnútornú geometriu. Uveďme ich hlavné vlastnosti.
Ďalším dôležitým atribútom povrchu je jeho námestie, ktorý sa vypočíta podľa vzorca:
V súradniciach dostaneme:
| explicitné zadanie | parametrická špecifikácia | |
|---|---|---|
| plošný výraz |  |
Konkrétne o tom, čo vidíte v nadpise. V podstate ide o „priestorový analóg“ problémy s hľadaním dotyčníc A normálnosti ku grafu funkcie jednej premennej, a preto by nemali nastať žiadne ťažkosti.
Začnime základnými otázkami: ČO JE tangensová rovina a ČO normála? Mnoho ľudí chápe tieto pojmy na úrovni intuície. Najjednoduchší model, ktorý príde na myseľ, je guľa, na ktorej leží tenký plochý kus kartónu. Kartón je umiestnený čo najbližšie ku gule a dotýka sa jej v jedinom bode. Okrem toho je v mieste kontaktu zaistená ihlou, ktorá trčí priamo nahor.
Teoreticky existuje pomerne dômyselná definícia dotykovej roviny. Predstavte si zadarmo povrch a bod k tomu patriaci. Je zrejmé, že cez bod prechádza veľa priestorové línie, ktoré patria k tomuto povrchu. Kto má aké asociácie? =) ...osobne som si predstavoval chobotnicu. Predpokladajme, že každý takýto riadok má priestorová dotyčnica v bode .
Definícia 1: dotyková rovina na povrch v bode - to je lietadlo, obsahujúci dotyčnice ku všetkým krivkám, ktoré patria danej ploche a prechádzajú bodom.
Definícia 2: normálne na povrch v bode - to je rovno, prechádzajúci daným bodom kolmým na dotykovú rovinu.
Jednoduché a elegantné. Mimochodom, aby ste neumreli od nudy z jednoduchosti materiálu, o niečo neskôr sa s vami podelím o jedno elegantné tajomstvo, vďaka ktorému môžete RAZ A NAVŽDY zabudnúť na napchávanie rôznych definícií.
Zoznámime sa s pracovnými vzorcami a algoritmom riešenia na konkrétnom príklade. V drvivej väčšine problémov je potrebné zostrojiť rovnicu dotykovej roviny aj normálnu rovnicu:
Príklad 1
Riešenie:ak je povrch daný rovnicou (t.j. implicitne), potom rovnicu dotykovej roviny k danému povrchu v bode možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca:
Osobitnú pozornosť venujem nezvyčajným parciálnym derivátom - ich netreba zamieňať s parciálne derivácie implicitne špecifikovanej funkcie (hoci povrch je špecifikovaný implicitne). Pri hľadaní týchto derivátov sa treba riadiť pravidlá pre diferenciáciu funkcie troch premenných, to znamená, že pri diferenciácii vzhľadom na akúkoľvek premennú sa ostatné dve písmená považujú za konštanty:
Bez toho, aby sme opustili pokladňu, nájdeme parciálny derivát v bode:
Podobne: 
Toto bol najnepríjemnejší moment rozhodnutia, v ktorom sa chyba, ak nie je povolená, objavuje neustále. Existuje tu však účinná overovacia technika, o ktorej som hovoril na hodine. Smerová derivácia a gradient.
Všetky „ingrediencie“ boli nájdené a teraz ide o starostlivé nahradenie s ďalšími zjednodušeniami: 
– všeobecná rovnica požadovanú dotykovú rovinu.
Dôrazne odporúčam skontrolovať aj túto fázu riešenia. Najprv sa musíte uistiť, že súradnice dotyčného bodu skutočne spĺňajú nájdenú rovnicu: 
- skutočná rovnosť.
Teraz „odstránime“ koeficienty všeobecná rovnica roviny a skontrolujte ich zhodu alebo proporcionalitu s príslušnými hodnotami. V tomto prípade sú proporcionálne. Ako si pamätáte z kurz analytickej geometrie, - Toto normálny vektor dotyková rovina a on tiež je vodiaci vektor normálna priamka. Poďme skladať kanonické rovnice normály podľa bodového a smerového vektora: 
V zásade môžu byť menovatele znížené o dva, ale nie je to potrebné
Odpoveď:
Nie je zakázané označovať rovnice nejakými písmenami, ale opäť, prečo? Tu je už úplne jasné, o čo ide.
Nasledujúce dva príklady sú pre nezávislé rozhodnutie. Malý „matematický jazykolam“:
Príklad 2
Nájdite rovnice dotykovej roviny a normály k povrchu v bode.
A úloha, ktorá je zaujímavá z technického hľadiska:
Príklad 3
Napíšte rovnice pre dotykovú rovinu a normálu k povrchu v bode
Na mieste.
Existuje veľká šanca, že sa nielen zmätiete, ale pri nahrávaní narazíte aj na ťažkosti kanonické rovnice priamky. A normálne rovnice, ako pravdepodobne chápete, sú zvyčajne napísané v tejto forme. Aj keď kvôli zabudnutiu alebo neznalosti niektorých nuancií je parametrická forma viac ako prijateľná.
Približné príklady konečného prevedenia riešení na konci hodiny.
Existuje v niektorom bode povrchu dotyková rovina? Vo všeobecnosti samozrejme nie. Klasickým príkladom je kužeľová plocha 
a bod - dotyčnice v tomto bode tvoria priamo kužeľovú plochu a samozrejme neležia v rovnakej rovine. Analyticky sa dá ľahko overiť, že niečo nie je v poriadku: .
Ďalším zdrojom problémov je skutočnosť neexistencia akákoľvek parciálna derivácia v bode. To však neznamená, že v danom bode neexistuje jedna dotyková rovina.
Bola to však skôr populárna veda než prakticky významná informácia a vraciame sa k naliehavým veciam:
Prepíšme to implicitne:
A pomocou rovnakých princípov nájdeme parciálne derivácie: 
Vzorec tangenciálnej roviny sa teda transformuje na nasledujúcu rovnicu:
A podľa toho kanonické normálne rovnice:
Ako asi tušíte, 
- tieto sú už „skutočné“ parciálne derivácie funkcie dvoch premenných v bode, ktorý sme zvykli označovať písmenom „z“ a našli sme ho 100 500-krát.
Upozorňujeme, že v tomto článku si stačí zapamätať úplne prvý vzorec, z ktorého je v prípade potreby ľahké odvodiť všetko ostatné (samozrejme, že má Základná úroveň príprava). Presne takýto prístup by sa mal používať pri štúdiu exaktných vied, t.j. z minima informácií sa musíme snažiť „vyvodiť“ maximum záverov a dôsledkov. „Ohľaduplnosť“ a existujúce znalosti pomôžu! Tento princíp je užitočný aj preto, že vás s najväčšou pravdepodobnosťou zachráni v kritickej situácii, keď viete veľmi málo.
Poďme vypracovať „upravené“ vzorce s niekoľkými príkladmi:
Príklad 4
Napíšte rovnice pre dotykovú rovinu a normálu k povrchu 
v bode .
Je tu mierne prekrytie so zápismi - teraz písmeno označuje bod na rovine, ale čo sa dá robiť - také obľúbené písmeno...
Riešenie: zostavme rovnicu požadovanej dotyčnicovej roviny pomocou vzorca:
Vypočítajme hodnotu funkcie v bode:
Poďme počítať Parciálne deriváty 1. rádu v tomto bode: 
Takto:
opatrne, neponáhľajte sa: 
Zapíšme si kanonické rovnice normály v bode: 
Odpoveď:
A posledný príklad pre vaše vlastné riešenie:
Príklad 5
Napíšte rovnice pre dotykovú rovinu a normálu k povrchu v bode.
Na záver - pretože som vysvetlil prakticky všetky technické body a nie je čo dodať. Aj samotné funkcie navrhnuté v tejto úlohe sú fádne a monotónne – v praxi takmer zaručene narazíte na „polynóm“ av tomto zmysle príklad č. 2 s exponentom vyzerá ako „čierna ovca“. Mimochodom, je oveľa pravdepodobnejšie, že narazíte na povrch daný rovnicou a to je ďalší dôvod, prečo bola funkcia zaradená do článku ako číslo dva.
A na záver sľúbené tajomstvo: ako sa teda vyhnúť preplneným definíciám? (Nemyslím samozrejme situáciu, keď študent pred skúškou niečo horúčkovito napcháva)
Definícia akéhokoľvek pojmu/javu/predmetu dáva odpoveď predovšetkým na ďalšia otázka: ČO TO JE? (kto/takí/takí/sú). Vedome Pri odpovedi na túto otázku by ste sa mali pokúsiť zamyslieť významný znamenia, určite identifikácia konkrétneho pojmu/javu/predmetu. Áno, spočiatku sa to ukazuje ako nejaké jazykové, nepresné a nadbytočné (učiteľ vás opraví =)), ale časom sa vyvinie celkom slušná vedecká reč.
Cvičte napríklad na najabstraktnejších predmetoch, odpovedzte na otázku: kto je Cheburashka? Nie je to také jednoduché ;-) Ide o „rozprávkovú postavičku s veľké uši, oči a hnedá srsť“? Ďaleko a veľmi ďaleko od definície - nikdy neviete, že existujú postavy s takými vlastnosťami... Ale toto je oveľa bližšie k definícii: „Cheburashka je postava, ktorú v roku 1966 vymyslel spisovateľ Eduard Uspensky, ktorý ... (zoznam hlavných charakteristické rysy)» . Všimnite si, ako dobre to začalo
Povrch je definovaný ako množina bodov, ktorých súradnice spĺňajú určitý typ rovnice:
F (x, y, z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))Ak funkcia F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) je v určitom bode spojitá a má v sebe spojité parciálne derivácie, z ktorých aspoň jedna nezaniká, potom v okolí tohto bodu bude plocha daná rovnicou (1) správny povrch.
Okrem vyššie uvedeného implicitný spôsob špecifikácie, možno definovať povrch samozrejme, ak jednu z premenných, napríklad z, možno vyjadriť ako ostatné:
z = f (x, y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1“))Prísnejšie jednoduchý povrch je obrazom homeomorfného zobrazenia (t. j. vzájomného súvislého zobrazenia jedna ku jednej) vnútra jednotkového štvorca. Táto definícia môže mať analytický výraz.
Nech je daný štvorec na rovine s pravouhlým súradnicovým systémom u a v, ktorého súradnice vnútorných bodov spĺňajú nerovnosti 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").
Príklad jednoduchý povrch je hemisféra. Celá guľa nie je jednoduchý povrch. To si vyžaduje ďalšie zovšeobecnenie pojmu povrch.
Podmnožina priestoru, ktorej každý bod má susedstvo, ktoré je jednoduchý povrch, volal správny povrch .
Helicoid
Catenoid
Metrika jednoznačne neurčuje tvar povrchu. Napríklad metriky helikoidu a katenoidu, ktoré sú podľa toho parametrizované, sa zhodujú, to znamená, že medzi ich oblasťami existuje zhoda, ktorá zachováva všetky dĺžky (izometria). Vlastnosti, ktoré sú zachované pri izometrických transformáciách, sa nazývajú vnútorná geometria povrchy. Vnútorná geometria nezávisí od polohy povrchu v priestore a nemení sa, keď sa ohýba bez napätia alebo stlačenia (napríklad keď je valec ohnutý do kužeľa).
Metrické koeficienty E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) určiť nielen dĺžky všetkých kriviek, ale aj vo všeobecnosti výsledky všetkých meraní vo vnútri povrchu (uhly, plochy, zakrivenie atď.). Preto všetko, čo závisí len od metriky, sa vzťahuje na vnútornú geometriu.
Normálne vektory v povrchových bodoch
Jednou z hlavných charakteristík povrchu je jeho normálne- jednotkový vektor kolmý na dotykovú rovinu v danom bode:
m = [ r u′, r v′] | [r u′, rv′] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).Znak normály závisí od výberu súradníc.
Úsek plochy rovinou obsahujúcou normálu plochy v danom bode tvorí určitú krivku tzv normálny úsek povrchy. Hlavná normála pre normálny úsek sa zhoduje s normálou k povrchu (až po znamienko).
Ak krivka na ploche nie je normálnou sekciou, potom jej hlavná normála zviera určitý uhol s normálou plochy θ (\displaystyle \theta ). Potom zakrivenie k (\displaystyle k) krivka súvisiaca so zakrivením k n (\displaystyle k_(n)) normálny rez (s rovnakou dotyčnicou) podľa Meunierovho vzorca:
k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )Súradnice normálneho jednotkového vektora pre rôzne metódy definovania povrchu sú uvedené v tabuľke:
| Normálne súradnice v bode povrchu | |
|---|---|
| implicitné zadanie | (∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\čiastočné F)(\čiastočné x));\,(\frac (\čiastočné F)(\čiastočné y));\,(\frac (\čiastočné F)(\čiastočné z))\vpravo) )(\sqrt (\vľavo((\frac (\čiastočné F)(\čiastočné x))\vpravo)^(2)+\vľavo((\frac (\čiastočné F)(\čiastočné y))\vpravo) ^(2)+\vľavo((\frac (\čiastočné F)(\čiastočné z))\vpravo)^(2))))) |
| explicitné zadanie | (− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\čiastočné f) )(\čiastočné x));\,-(\frac (\čiastočné f)(\čiastočné y));\,1\vpravo))(\sqrt (\vľavo((\frac (\čiastočné f)(\ čiastočné x))\vpravo)^(2)+\vľavo((\frac (\čiastočné f)(\čiastočné y))\vpravo)^(2)+1)))) |
| parametrická špecifikácia | (D (y, z) D (u, v); D (z, x) D (u, v); D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u, v)) 2 + (D (x, y) D (u, v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\vpravo)^(2))))) |
Tu D (y, z) D (u, v) = | y u " y v " z u " z v " | , D (z , x) D (u, v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\začiatok(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatica)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).
Všetky deriváty sa berú v bode (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).
Pre rôzne smery v danom bode povrchu sa získa rôzne zakrivenie normálneho rezu, ktoré sa nazýva normálne zakrivenie; priradí sa jej znamienko plus, ak hlavná normála krivky ide v rovnakom smere ako normála k povrchu, alebo znamienko mínus, ak sú smery normály opačné.
Všeobecne povedané, v každom bode povrchu existujú dva kolmé smery e 1 (\displaystyle e_(1)) A e 2 (\displaystyle e_(2)), v ktorom normálne zakrivenie nadobúda minimálne a maximálne hodnoty; tieto smery sa nazývajú Hlavná. Výnimkou je prípad, keď je normálové zakrivenie vo všetkých smeroch rovnaké (napríklad v blízkosti gule alebo na konci rotačného elipsoidu), potom sú všetky smery v bode hlavné.
Plochy s negatívnym (vľavo), nulovým (v strede) a pozitívnym (vpravo) zakrivením.
Normálne zakrivenia v hlavných smeroch sa nazývajú hlavné zakrivenia; označme ich κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) A κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Veľkosť:
K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))nazývané Gaussovo zakrivenie, celkové zakrivenie alebo jednoducho zakrivenie povrchu. Existuje aj termín skalárne zakrivenie, čo znamená výsledok konvolúcie tenzora zakrivenia; v tomto prípade je skalárne zakrivenie dvakrát väčšie ako Gaussovo zakrivenie.
Gaussovo zakrivenie možno vypočítať pomocou metriky, a preto je predmetom vnútornej geometrie povrchov (všimnite si, že hlavné zakrivenia nepatria do vnútornej geometrie). Body povrchu môžete klasifikovať na základe znamienka zakrivenia (pozri obrázok). Zakrivenie roviny je nulové. Zakrivenie gule s polomerom R je všade rovnaké 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Existuje tiež povrch s konštantným negatívnym zakrivením -
Majme plochu definovanú rovnicou tvaru
Uveďme si nasledujúcu definíciu.
Definícia 1. Priamka sa nazýva dotyčnica k povrchu v určitom bode, ak je
dotyčnica akejkoľvek krivky ležiacej na povrchu a prechádzajúcej bodom.
Keďže bodom P prechádza nekonečne veľa rôznych kriviek ležiacich na povrchu, potom, všeobecne povedané, bude existovať nekonečný počet dotyčníc k povrchu prechádzajúcich týmto bodom.
Predstavme si pojem singulárne a obyčajné body plochy
Ak sú v určitom bode všetky tri derivácie rovné nule alebo aspoň jedna z týchto derivácií neexistuje, potom sa bod M nazýva singulárny bod plochy. Ak v určitom bode existujú všetky tri derivácie a sú spojité a aspoň jedna z nich sa líši od nuly, potom sa bod M nazýva obyčajným bodom plochy.
Teraz môžeme sformulovať nasledujúcu vetu.
Veta. Všetky dotyčnice k danej ploche (1) v jej obyčajnom bode P ležia v rovnakej rovine.
Dôkaz. Uvažujme určitú priamku L na ploche (obr. 206) prechádzajúcu daným bodom P plochy. Nech je uvažovaná krivka daná parametrickými rovnicami
Tangenta ku krivke bude dotyčnica k povrchu. Rovnice tejto dotyčnice majú tvar
Ak sa výrazy (2) dosadia do rovnice (1), potom sa táto rovnica zmení na identitu vzhľadom na t, keďže krivka (2) leží na ploche (1). Rozlíšiť to tým, že dostaneme
Projekcie tohto vektora závisia od - súradníc bodu P; všimnite si, že keďže bod P je obyčajný, tieto projekcie v bode P súčasne nezmiznú a preto
dotyčnica ku krivke prechádzajúcej bodom P a ležiacej na povrchu. Projekcie tohto vektora sú vypočítané na základe rovníc (2) pri hodnote parametra t zodpovedajúcej bodu P.
Poďme počítať skalárny produkt vektorov N a ktorý sa rovná súčtu súčinov rovnomenných projekcií:
Na základe rovnosti (3) sa výraz na pravej strane rovná nule, preto
Z poslednej rovnosti vyplýva, že vektor LG a vektor dotyčnice ku krivke (2) v bode P sú kolmé. Vyššie uvedená úvaha platí pre akúkoľvek krivku (2), ktorá prechádza bodom P a leží na povrchu. V dôsledku toho je každá dotyčnica k povrchu v bode P kolmá na rovnaký vektor N a preto všetky tieto dotyčnice ležia v rovnakej rovine kolmej na vektor LG. Veta je dokázaná.
Definícia 2. Rovina, v ktorej sa nachádzajú všetky dotyčnice k priamkam na ploche prechádzajúcich jej daným bodom P, sa nazýva dotyková rovina plochy v bode P (obr. 207).
Všimnite si, že v singulárnych bodoch povrchu nemusí existovať dotyková rovina. V takýchto bodoch nemusia dotyčnice k povrchu ležať v rovnakej rovine. Napríklad vrchol kužeľovej plochy je singulárny bod.
Tangenty ku kužeľovej ploche v tomto bode neležia v rovnakej rovine (samotné tvoria kužeľovú plochu).
Napíšme rovnicu dotykovej roviny k ploche (1) v obyčajnom bode. Keďže táto rovina je kolmá na vektor (4), jej rovnica má tvar
Ak je rovnica povrchu uvedená v tvare alebo rovnica dotykovej roviny v tomto prípade má tvar
Komentujte. Ak zadáme vzorec (6), potom tento vzorec bude mať tvar
jeho pravá strana je úplným diferenciálom funkcie. Preto, . Totálny diferenciál funkcie dvoch premenných v bode zodpovedajúcom prírastkom nezávislých premenných x a y sa teda rovná zodpovedajúcemu prírastku aplikácie dotyčnicovej roviny k povrchu, čo je graf tejto funkcie.
Definícia 3. Priamka vedená bodom na ploche (1) kolmým na dotykovú rovinu sa nazýva normála k ploche (obr. 207).
Dotykové roviny hrajú v geometrii veľkú úlohu. Konštrukcia dotykových rovín má praktický význam, pretože ich prítomnosť umožňuje určiť smer normály k povrchu v bode dotyku. Tento problém je široko používaný v inžinierskej praxi. Dotykové roviny sa tiež používajú na vytváranie obrysov geometrických útvarov ohraničených uzavretými plochami. Teoreticky sa roviny dotýkajúce sa povrchu používajú v diferenciálnej geometrii na štúdium vlastností povrchu v oblasti bodu dotyku.
Základné pojmy a definície
Rovina dotýkajúca sa povrchu by sa mala považovať za hraničnú polohu roviny sečny (analogicky s priamkou dotýkajúcou sa krivky, ktorá je tiež definovaná ako hraničná poloha sečny).
Rovina dotyčnica k ploche v danom bode na ploche je množina všetkých priamok - dotyčníc ťahaných k ploche cez daný bod.
V diferenciálnej geometrii je dokázané, že všetky dotyčnice k ploche nakreslenej v obyčajnom bode sú koplanárne (patria do rovnakej roviny).
Poďme zistiť, ako nakresliť priamku dotýkajúcu sa povrchu. Dotyčnica t k ploche β v bode M špecifikovanom na ploche (obr. 203) predstavuje limitnú polohu sečnice l j pretínajúcej plochu v dvoch bodoch (MM 1, MM 2, ..., MM n), keď priesečníky sa zhodujú (M ≡ M n , l n ≡ l M). Je zrejmé, že (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, pretože g ⊂ β. Z vyššie uvedeného vyplýva nasledujúca definícia: dotyčnica k ploche je priamka dotyčnica k ľubovoľnej krivke patriacej k ploche.
Keďže rovina je definovaná dvoma pretínajúcimi sa priamkami, na definovanie roviny dotýkajúcej sa povrchu v danom bode stačí nakresliť cez tento bod dve ľubovoľné priamky patriace povrchu (najlepšie jednoduchého tvaru) a zostrojiť dotyčnice k povrchu. každý z nich v priesečníku týchto čiar . Zostrojené dotyčnice jednoznačne určujú dotyčnicovú rovinu. Vizuálne znázornenie nakreslenia roviny α dotyčnice k povrchu β v danom bode M je uvedené na obr. 204. Tento obrázok ukazuje aj normálu n k ploche β.
Normálou k povrchu v danom bode je priamka kolmá na dotykovú rovinu a prechádzajúca bodom dotyku.
Priamka priesečníka plochy s rovinou prechádzajúcou normálou sa nazýva normálový rez plochy. V závislosti od typu povrchu môže mať dotyčnicová rovina jeden alebo viacero bodov (priamok) s povrchom. Dotyková čiara môže byť zároveň priesečníkom plochy s rovinou.
Existujú aj prípady, keď sú na povrchu body, v ktorých nie je možné nakresliť dotyčnicu k povrchu; takéto body sa nazývajú singulárne. Ako príklad singulárne body možno uviesť body prislúchajúce k spätnému okraju plochy trupu alebo priesečník meridiánu rotačnej plochy s jej osou, ak sa meridián a os nepretínajú v pravom uhle.
Typy dotyku závisia od charakteru zakrivenia povrchu.
Zakrivenie povrchu
Problematikou zakrivenia povrchu sa zaoberal francúzsky matematik F. Dupin (1784-1873), ktorý navrhol vizuálny spôsob zobrazenia zmien zakrivenia normálnych úsekov povrchu.
Za týmto účelom sa v rovine dotýkajúcej sa uvažovaného povrchu v bode M (obr. 205, 206) na dotyčnice položia segmenty rovnajúce sa druhým odmocničkám hodnôt zodpovedajúcich polomerov zakrivenia týchto úsekov. normálne úseky na oboch stranách tohto bodu. Množina bodov – konce segmentov vymedzujú krivku tzv Dupinova indikatrix. Algoritmus na zostavenie Dupinovej indikatrix (obr. 205) možno napísať:
1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;
2. = √(Rl1), = √(Rl2),..., = √(Rln)
kde R je polomer zakrivenia.
(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) je Dupinova indikatrix.
Ak je Dupinova indikatúra povrchu elipsa, potom sa bod M nazýva eliptický a povrch sa nazýva povrch s eliptickými bodmi.(obr. 206). V tomto prípade má dotyková rovina iba jeden spoločný bod s povrchom a všetky čiary patriace k povrchu a pretínajúce sa v uvažovanom bode sú umiestnené na jednej strane dotykovej roviny. Príklady plôch s eliptickými bodmi sú: rotačný paraboloid, rotačný elipsoid, guľa (v tomto prípade Dupinova indikácia je kruh atď.).
Pri kreslení dotykovej roviny k povrchu trupu sa rovina dotkne tohto povrchu pozdĺž priamej tvoriacej čiary. Body na tejto čiare sa nazývajú parabolický a povrch je povrch s parabolickými bodmi. Dupinova indikatrix sú v tomto prípade dve rovnobežné čiary (obr. 207*).
Na obr. 208 znázorňuje povrch pozostávajúci z bodov, v ktorých
* Krivka druhého rádu - parabola - sa za určitých podmienok môže rozdeliť na dve skutočné rovnobežné priamky, dve imaginárne rovnobežné priamky, dve zhodné priamky. Na obr. 207 máme do činenia s dvoma skutočnými rovnobežnými čiarami.
Akákoľvek dotyková rovina pretína povrch. Takýto povrch je tzv hyperbolický, a body k nemu patriace sú hyperbolické body. Dupinova indikatrix je v tomto prípade hyperbola.
Plocha, ktorej všetky body sú hyperbolické, má tvar sedla (šikmá rovina, jednovrstvový hyperboloid, konkávne rotačné plochy atď.).
Jeden povrch môže mať body odlišné typy napríklad v blízkosti povrchu trupu (obr. 209) je bod M eliptický; bod N je parabolický; bod K je hyperbolický.
V priebehu diferenciálnej geometrie je dokázané, že normálne úseky, v ktorých hodnoty zakrivenia Kj = 1/ Rj (kde Rj je polomer zakrivenia uvažovaného úseku) majú extrémne hodnoty, sa nachádzajú v dvoch vzájomne kolmé roviny.
Takéto zakrivenia K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min sa nazývajú hlavné hodnoty a hodnoty H = (K 1 + K 2)/2 a K = K 1 K 2 sú priemerné zakrivenie povrchu a celkové ( Gaussovo) zakrivenie povrchu v uvažovanom bode. Pre eliptické body K > 0, hyperbolické body K
Určenie dotykovej roviny k povrchu v Mongeovom diagrame
Nižšie si na konkrétnych príkladoch ukážeme konštrukciu rovinnej dotyčnice k ploche s eliptickými (príklad 1), parabolickými (príklad 2) a hyperbolickými (príklad 3) bodmi.
PRÍKLAD 1. Zostrojte rovinu α, ktorá sa dotýka rotačnej plochy β s eliptickými bodmi. Uvažujme dve možnosti riešenia tohto problému: a) bod M ∈ β ab) bod M ∉ β
Možnosť a (obr. 210).
Dotyková rovina je určená dvoma dotyčnicami t 1 a t 2 vedenými v bode M k rovnobežke a poludníku plochy β.
Priemet dotyčnice t 1 k rovnobežke h plochy β bude t" 1 ⊥ (S"M") a t" 1 || os x Horizontálny priemet dotyčnice t" 2 k poludníku d plochy β prechádzajúcej bodom M sa bude zhodovať s horizontálnym priemetom poludníka. Na nájdenie čelného priemetu dotyčnice t" 2 sa použije poludníková rovina γ(γ). ∋ M) sa prenesie do polohy γ otáčaním okolo osi plochy β 1 rovnobežnej s rovinou π 2. V tomto prípade bod M → M 1 (M" 1, M" 1) Priemet dotyčnice t" 2 rarr; t" 2 1 je určený (M" 1 S"). Ak teraz vrátime rovinu γ 1 do pôvodnej polohy, bod S" zostane na mieste (ako prislúcha osi rotácie) a M" 1 → M" a čelný priemet dotyčnice t" 2 zostane určiť (M" S")
Dve dotyčnice t 1 a t 2 pretínajúce sa v bode M ∈ β definujú rovinu α dotyčnicu k povrchu β.
Možnosť b (obr. 211)
Na zostrojenie roviny dotýkajúcej sa plochy prechádzajúcej bodom, ktorý nepatrí k ploche, je potrebné vychádzať z nasledujúcich úvah: cez bod mimo plochy pozostávajúci z eliptických bodov možno nakresliť mnoho rovín dotýkajúcich sa plochy. Obálka týchto plôch bude nejaká kužeľová plocha. Preto, ak neexistujú žiadne ďalšie pokyny, problém má veľa riešení a v tomto prípade sa redukuje na kreslenie kužeľovej plochy γ dotyčnice k danej ploche β.
Na obr. 211 je znázornená konštrukcia kužeľovej plochy γ dotyčnice ku gule β. Akákoľvek rovina α dotýkajúca sa kužeľovej plochy γ sa bude dotýkať plochy β.
Na zostrojenie priemetov plochy γ z bodov M" a M" nakreslíme dotyčnice ku kružniciam h" a f" - priemetoch gule. Označte dotykové body 1 (1" a 1"), 2 (2" a 2"), 3 (3" a 3") a 4 (4" a 4"). Horizontálne premietanie kružnice - priamka dotyku kužeľovej plochy a gule sa premieta do [ 1"2"] Na nájdenie bodov elipsy, do ktorých sa bude táto kružnica premietať na nárysnú rovinu priemetov použijeme rovnobežky gule.
Na obr. 211 sú definované týmto spôsobom čelné projekcie body E a F (E" a F"). Ak máme kužeľovú plochu γ, zostrojíme k nej dotykovú rovinu α. Povaha a postupnosť grafiky
Konštrukcie, ktoré je na to potrebné urobiť, sú uvedené v nasledujúcom príklade.
PRÍKLAD 2 Zostrojte rovinu α, ktorá sa dotýka povrchu β s parabolickými bodmi
Rovnako ako v príklade 1 uvažujeme dve riešenia: a) bod N ∈ β; b) bod N ∉ β
Možnosť a (obr. 212).
Kužeľová plocha označuje plochy s parabolickými bodmi (pozri obr. 207.) Rovina dotýkajúca sa kužeľovej plochy sa jej dotýka pozdĺž priamky Na jej zostrojenie je potrebné:
1) cez daný bod N nakreslite generátor SN (S"N" a S"N");
2) označte priesečník tvoriacej čiary (SN) s vodidlom d: (SN) ∩ d = A;
3) bude fúkať aj k dotyčnici t až d v bode A.
Tvoriaca čiara (SA) a dotyčnica t, ktorá ju pretína, definujú rovinu α dotyčnicu ku kužeľovej ploche β v danom bode N*.
Nakresliť rovinu α, dotýkajúcu sa kužeľovej plochy β a prechádzajúcej bodom N, nepatrí
* Keďže plocha β pozostáva z parabolických bodov (okrem vrcholu S), dotyková rovina α k nej bude mať spoločný nie jeden bod N, ale priamku (SN).
lisovaním daného povrchu je potrebné:
1) cez daný bod N a vrchol S kužeľovej plochy β nakreslite priamku a (a" a a");
2) určte vodorovnú stopu tejto priamky H a;
3) cez H a nakreslite dotyčnice t" 1 a t" 2 krivky h 0β - vodorovnú stopu kužeľovej plochy;
4) spojte dotykové body A (A" a A") a B (B" a B") s vrcholom kužeľovej plochy S (S" a S").
Priesečníky t 1, (AS) a t 2, (BS) určujú požadované dotykové roviny α 1 a α 2
PRÍKLAD 3. Zostrojte rovinu α dotýkajúcu sa plochy β s hyperbolickými bodmi.
Bod K (obr. 214) sa nachádza na povrchu globoidu (vnútorný povrch prstenca).
Na určenie polohy dotykovej roviny α je potrebné:
1) nakreslite rovnobežku s plochou β h(h", h") cez bod K;
2) cez bod K" nakreslite dotyčnicu t" 1 (t" 1 ≡ h");
3) na určenie smerov priemetov dotyčnice k poludníku je potrebné nakresliť rovinu γ cez bod K a os plochy, vodorovná priemet t" 2 sa bude zhodovať s h 0γ; zostrojiť čelný priemet dotyčnice t" 2, najprv preložíme rovinu γ otáčaním okolo osi rotačnej plochy do polohy γ 1 || π 2. V tomto prípade bude poludníkový rez rovinou γ zarovnaný s ľavým obrysovým oblúkom čelnej projekcie - polkruhom g".
Bod K (K", K"), patriaci do krivky meridionálneho rezu, sa posunie do polohy K 1 (K" 1, K" 1). Cez K" 1 nakreslíme nárysný priemet dotyčnice t" 2 1 spojenej s rovinou γ 1 || π 2 polohu a označíme bod jej priesečníka s nárysným priemetom osi rotácie S" 1. Rovinu γ 1 vrátime do pôvodnej polohy, bod K" 1 → K" (bod S" 1 ≡ S") Čelný priemet dotyčnice t" 2 je určený bodmi K" a S".
Dotyčnice t 1 a t 2 definujú požadovanú dotykovú rovinu α, ktorá pretína plochu β pozdĺž krivky l.
PRÍKLAD 4. Zostrojte rovinu α dotýkajúcu sa plochy β v bode K. Bod K sa nachádza na ploche jednovrstvového rotačného hyperboloidu (obr. 215).
Tento problém možno vyriešiť dodržaním algoritmu použitého v predchádzajúcom príklade, ale ak vezmeme do úvahy, že povrch jednovrstvového rotačného hyperboloidu je riadený povrch, ktorý má dve rodiny priamočiarych generátorov a každý z generátorov jedného rodina pretína všetky generátory druhej rodiny (pozri § 32, obr. . 138). Cez každý bod tejto plochy môžu byť nakreslené dve pretínajúce sa priamky - generátory, ktoré sa budú súčasne dotýkať plochy jednovrstvového rotačného hyperboloidu.
Tieto dotyčnice definujú dotyčnicovú rovinu, to znamená, že rovina dotyčnica k povrchu jednovrstvového rotačného hyperboloidu pretína tento povrch pozdĺž dvoch priamok g 1 a g 2. Na zostrojenie priemetov týchto priamok stačí preniesť vodorovný priemet bodu K a dotyčníc t" 1 a t" 2 na vodorovnú rovinu.
tal priemet kružnice d" 2 - hrdlo plochy jednovrstvového rotačného hyperboloidu; určte body 1" a 2, v ktorých t" 1 a t" 2 pretínajú jednu a smerné plochy d 1. Z 1" a 2" nájdeme 1" a 2", ktoré spolu s K" určujú čelné priemety požadovaných čiar.
