Nech je funkcia z - /(x, y) definovaná v nejakej oblasti D a nech Mo(xo, Vo) je vnútorný bod tejto oblasti. Definícia. Ak existuje číslo také, že pre všetky splnené podmienky platí nerovnosť, potom bod Mo(xo, yo) sa nazýva lokálny maximálny bod funkcie /(x, y); ak pre všetky Dx, Du, spĺňajúce podmienky | potom sa bod Mo(xo,yo) nazýva tenké lokálne minimum. Inými slovami, bod M0(x0, y0) je bod maxima alebo minima funkcie f(x, y), ak existuje 6-okolie bodu A/o(x0, y0) také, že vôbec bodov M(x, y) tohto v susedstve, prírastok funkcie si zachováva svoje znamienko. Príklady. 1. Pre funkčný bod - minimálny bod (obr. 17). 2. Pre funkciu je bod 0(0,0) maximálny bod (obr. 18). 3. Pre funkciu je bod 0(0,0) lokálnym maximálnym bodom. 4 V skutočnosti existuje okolie bodu 0(0, 0), napríklad kružnica s polomerom j (pozri obr. 19), v ktorejkoľvek bode odlišnom od bodu 0(0,0) hodnota funkcie /(x,y) menšia ako 1 = Budeme uvažovať len body striktného maxima a minima funkcií, keď je splnená striktná nerovnosť alebo striktná nerovnosť pre všetky body M(x) y) z nejakého prepichnutého 6-okolia bod Mq. Hodnota funkcie v maximálnom bode sa nazýva maximum a hodnota funkcie v minimálnom bode sa nazýva minimum tejto funkcie. Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú extrémne body funkcie a samotné maximá a minimá funkcie sa nazývajú jej extrémy. Veta 11 (nevyhnutná podmienka pre extrém). Ak je funkcia extrémom funkcie viacerých premenných Pojem extrém funkcie viacerých premenných. Nevyhnutné a dostatočné podmienky extrém Podmienený extrém Najväčší a najmenšia hodnota spojité funkcie majú v bode extrém, potom v tomto bode každá parciálna derivácia u buď zaniká, alebo neexistuje. Nech v bode M0(x0, y®) má funkcia z = f(x) y) extrém. Dajme premennej y hodnotu yo. Potom funkcia z = /(x, y) bude funkciou jednej premennej x\ Keďže pri x = xo má extrém (maximum alebo minimum, obr. 20), potom jej derivácia vzhľadom na x = „o, | (*o,l>)" Rovná sa nule alebo neexistuje. Podobne sme presvedčení, že) sa rovná nule alebo neexistuje. Body, v ktorých = 0 a χ = 0 alebo neexistujú, sa nazývajú kritické body funkcie z = Dx, y). Funkcia je tenká na imvat brnkačka V skutočnosti sa funkcia rovná nule v bode 0(0,0) a nadobúda kladné hodnoty v bodoch M(x,y), ľubovoľne blízko k bodu 0(0). ,0), a záporné hodnoty Pre to tak, že v bodoch (0, y) pre ľubovoľne malý Bod 0(0,0) uvedeného typu sa nazýva minimax bod (obr. 21). extrém funkcie dvoch premenných vyjadrujeme takto Veta 12 (dostatočné podmienky pre extrém funkcie dvoch premenných Nech je bod Mo(x, y) stacionárny bod funkcie f(x, y). ), a v niektorom okolí bodu / vrátane samotného bodu Mo má funkcia /(r, y ) spojité parciálne derivácie až do druhého rádu vrátane. Potom". v bode Mo(xo, V0) funkcia /(xo, y) nemá extrém, ak D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Extrém funkcie f(x, y) môže alebo nemusí existovať. V tomto prípade je potrebný ďalší výskum. m Obmedzme sa na dokazovanie tvrdení 1) a 2) vety. Napíšme Taylorov vzorec druhého rádu pre funkciu /(i, y): kde. Podľa podmienky je zrejmé, že znamienko prírastku D/ je určené znamienkom trojčlenky na pravej strane (1), teda znamienkom druhého diferenciálu d2f. Pre stručnosť si to označme. Potom rovnosť (l) môžeme zapísať takto: Nech v bode MQ(so, V0) máme... Keďže podľa podmienky sú parciálne derivácie druhého rádu funkcie f(s, y) spojité, potom nerovnosť (3) bude platiť aj v okolí bodu M0(s0,yo). Ak je podmienka splnená (v bode А/0 a na základe spojitosti si derivácia /,z(s,y) zachová svoje znamienko v niektorom okolí bodu Af0. V oblasti, kde А Ф 0, máme Z toho je zrejmé, že ak ЛС - В2 > 0 v niektorom okolí bodu M0(x0) y0, potom sa znamienko trojčlenky AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 zhoduje so znamienkom A v bode (tj. , V0) (ako aj so znamienkom C, keďže pre AC - B2 > 0 A a C nemôžu mať rôzne znamienka). Keďže znamienko súčtu AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 v bode (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) určuje znamienko rozdielu, dospejeme k tomuto záveru: ak pre funkciu /(s,y) pri podmienka stacionárneho bodu (s0, V0), potom pre dostatočne malú || nerovnosť bude uspokojená. V bode (sq, V0) má teda funkcia /(s, y) maximum. Ak je podmienka splnená v stacionárnom bode (s0, y0), potom pre všetkých dostatočne malý |Dr| a |Du| nerovnosť je pravdivá, čo znamená, že v bode (so,yo) má funkcia /(s, y) minimum. Príklady. 1. Preskúmajte funkciu pre extrém 4 Pomocou nevyhnutných podmienok pre extrém hľadáme stacionárne body funkcie. Aby sme to dosiahli, nájdeme parciálne derivácie u a prirovnáme ich k nule. Získame systém rovníc odkiaľ - stacionárny bod. Použime teraz vetu 12. Máme To znamená, že v bode Ml je extrém. Lebo toto je minimum. Ak prevedieme funkciu r do tvaru, je ľahké vidieť, že pravá strana (“) bude minimálna, keď je absolútne minimum tejto funkcie. 2. Preskúmajte funkciu pre extrém Nájdeme stacionárne body funkcie, pre ktoré teda zostavíme sústavu rovníc, aby bol bod stacionárny. Pretože na základe vety 12 neexistuje extrém v bode M. * 3. Preskúmajte extrém funkcie. Nájdite stacionárne body funkcie. Zo sústavy rovníc to dostaneme, takže bod je stacionárny. Ďalej máme, že veta 12 neodpovedá na otázku o prítomnosti alebo neprítomnosti extrému. Urobme to takto. Pre funkciu o všetkých bodoch odlišných od bodu tak, podľa definície, a bodu A/o(0,0) má funkcia r absolútne minimum. Podobnými výpočtami zistíme, že funkcia má maximum v bode, ale funkcia nemá v bode extrém. Nech je funkcia n nezávislých premenných diferencovateľná v bode Bod Mo sa nazýva stacionárny bod funkcie podľa Veta 13 (až do dostatočných podmienok pre extrém). Nech je funkcia definovaná a má spojité parciálne derivácie druhého rádu v niektorom okolí jemnej Mt(xi..., čo je stacionárna jemná funkcia, ak má kvadratickú formu (druhý diferenciál funkcie f v jemnom je kladný určitý (záporne určitý), minimálny bod (resp. jemné maximum) funkcie f je tenký. Ak je kvadratická forma (4) znamienkovo alternujúca, potom v jemnom LG0 nie je extrém, aby sme mohli určiť, či existuje. bude. kvadratická forma (4) pozitívne alebo negatívne určité, môžete použiť napríklad Sylvesterovo kritérium pre pozitívnu (negatívnu) určitosť kvadratickej formy. 15.2. Podmienený extrém Doteraz sme hľadali lokálne extrémy funkcie v celom obore jej definície, keď argumenty funkcie nie sú viazané žiadnymi dodatočnými podmienkami. Takéto extrémy sa nazývajú bezpodmienečné. Často sa však vyskytujú problémy s nájdením takzvaných podmienených extrémov. Nech je funkcia z = /(x, y) definovaná v oblasti D. Predpokladajme, že v tejto oblasti je daná krivka L a potrebujeme nájsť extrémy funkcie f(x> y) len medzi týmito jeho hodnôt, ktoré zodpovedajú bodom krivky L. Rovnaké extrémy sa nazývajú podmienené extrémy funkcie z = f(x) y) na krivke L. Definícia Hovorí sa, že v bode ležiacom na krivke L , funkcia f(x, y) má podmienené maximum (minimum), ak je nerovnosť splnená vo všetkých bodoch M (s, y) y) krivka L, patriaca do nejakého okolia bodu M0(x0, V0) a rozdielna z bodu M0 (Ak je krivka L daná rovnicou, potom problém nájdenia podmieneného extrému funkcie r - f(x,y) na krivke! možno formulovať takto: nájdite extrémy funkcie x = /(z, y) v oblasti D, za predpokladu, že Pri zistení podmienených extrémov funkcie z = y už teda argumenty pakoňa nemožno považovať za nezávislé premenné: navzájom súvisia vzťah y) = 0, ktorý sa nazýva rovnica spojenia. Aby sme objasnili rozdiel medzi nepodmieneným a podmieneným extrémom, pozrime sa na príklad, kde sa nepodmienené maximum funkcie (obr. 23) rovná jednej a dosiahne sa v bode (0,0). Zodpovedá bodu M - vrcholu pvvboloidu Pridajme rovnicu spojenia y = j. Potom sa jej bude zrejme rovnať podmienené maximum. Dosiahne sa v bode (o,|) a zodpovedá vrcholu Afj gule, ktorý je priesečníkom gule s rovinou y = j. V prípade bezpodmienečného mvxima máme mvximum aplikáciu medzi všetkými vpplicvt povrchu * = 1 - l;2 ~ y1; summvv podmienené - iba medzi vllikvt bodmi pvraboloidv, zodpovedajúcimi bodu* priamky y = j nie rovine xOy. Jedna z metód na nájdenie podmieneného extrému funkcie v prítomnosti a spojení je nasledovná. Nech rovnica spojenia y) - O definuje y ako jedinečnú diferencovateľnú funkciu argumentu x: Dosadením funkcie namiesto y do funkcie získame funkciu jedného argumentu, v ktorej je už podmienka spojenia zohľadnená. (Nepodmienený) extrém funkcie je požadovaný podmienený extrém. Príklad. Nájdite extrém funkcie pod podmienkou Extrém funkcie viacerých premenných Pojem extrém funkcie viacerých premenných. Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém Podmienený extrém Najväčšie a najmenšie hodnoty spojitých funkcií A Z rovnice spojenia (2") zistíme y = 1-x. Dosadením tejto hodnoty y do (V) dostaneme funkciu jeden argument x: Preskúmajme to pre extrém: kde x = 1 je kritický bod, teda poskytuje podmienené minimum funkcie g (obr. 24). , nazývaná Lagrangeova multiplikačná metóda Nech existuje bod podmieneného extrému funkcie v prítomnosti spojenia definuje jedinečnú spojito diferencovateľnú funkciu v určitom okolí bodu xx až x funkcie /(r, ip(x)) v bode xq sa musí rovnať nule alebo, čo je tomuto ekvivalentu, musí byť diferenciál f(x, y) v bode Mo rovný nule " O) Zo spojovacej rovnice máme (5) Vynásobením poslednej rovnosti zatiaľ neurčeným číselným faktorom A a pripočítaním člena po člene s rovnosťou (4) dostaneme (predpokladáme, že). Potom v dôsledku svojvoľnosti dx dostaneme Rovnice (6) a (7) vyjadrujú potrebné podmienky pre nepodmienený extrém v bode funkcie, ktorý sa nazýva Lagrangeova funkcia. Teda podmienený extrém funkcie /(x, y), ak, je nevyhnutne stacionárny bod Lagrangeovej funkcie, kde A je určitý číselný koeficient. Odtiaľ dostaneme pravidlo na nájdenie podmienených extrémov: aby sme našli body, ktoré môžu byť bodmi konvenčného extrému funkcie v prítomnosti spojenia, 1) zostavíme Lagrangeovu funkciu, 2) priradíme derivácie tejto funkcie. funkcie na nulu a pripočítaním rovnice spojenia k výsledným rovniciach získame systém troch rovníc, z ktorých nájdeme hodnoty A a súradnice x, y možných extrémnych bodov. Otázka existencie a povahy podmieneného extrému je vyriešená na základe štúdia znamienka druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie pre uvažovaný systém hodnôt x0, V0, A, získaných z (8) za predpokladu, že ak , potom v bode (x0, V0) má funkcia /(x, y ) podmienené maximum; ak d2F > 0 - potom podmienené minimum. Konkrétne, ak je v stacionárnom bode (xo, J/o) determinant D pre funkciu F(x, y) kladný, potom v bode (®o, V0) existuje podmienené maximum funkcie f( x, y), ak a podmienené minimum funkcie /(x, y), ak Príklad. Vráťme sa opäť k podmienkam predchádzajúceho príkladu: nájdite extrém funkcie za predpokladu, že x + y = 1. Úlohu vyriešime pomocou Lagrangeovej multiplikačnej metódy. Lagrangeova funkcia má v tomto prípade tvar Na nájdenie stacionárnych bodov zostavíme systém Z prvých dvoch rovníc systému dostaneme, že x = y. Potom z tretej rovnice systému (rovnice spojenia) zistíme, že x - y = j sú súradnice možného extrémneho bodu. V tomto prípade (udáva sa, že A = -1. Lagrangeova funkcia. je teda podmieneným minimálnym bodom funkcie * = x2 + y2 za podmienky, že pre Lagrangeovu funkciu neexistuje nepodmienený extrém. P(x, y) ) ešte neznamená absenciu podmieneného extrému pre funkciu /(x, y) za prítomnosti spojenia Príklad: Nájdite extrém funkcie pod podmienkou y 4 Poskladáme Lagrangeovu funkciu a vypíšeme sústavu pre určenie A a súradníc možných extrémnych bodov: Z prvých dvoch rovníc dostaneme x + y = 0 a dostaneme sa do sústavy, z ktorej x = y = A = 0. Príslušná Lagrangeova funkcia má teda tvar V bode (0,0), funkcia F(x, y; 0) nemá nepodmienený extrém, existuje však podmienený extrém funkcie r = xy, keď y = x Skutočne v tomto prípade r = x2. Odtiaľ je zrejmé, že v bode (0,0) je podmienené minimum "Metóda Lagrangeových multiplikátorov sa prenáša na prípad funkcií ľubovoľného počtu argumentov. Hľadajme extrém funkcie v prítomnosti Zostavme Lagrangeovu funkciu kde A|, Az,..., A„, sú neurčité konštantné faktory. Vyrovnaním všetkých parciálnych derivácií funkcie F prvého rádu na nulu a pridaním rovníc spojenia (9) do výsledných rovníc dostaneme sústavu n + m rovníc, z ktorých určíme Ab A3|..., At a súradnice x \) x2). » xn možných bodov podmieneného extrému. Otázku, či body nájdené pomocou Lagrangeovej metódy sú skutočne bodmi podmieneného extrému, možno často vyriešiť na základe úvah fyzikálnej alebo geometrickej povahy. 15.3. Najväčšie a najmenšie hodnoty spojitých funkcií Nech je potrebné nájsť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie z = /(x, y), spojitú v nejakej uzavretej ohraničenej oblasti D. Podľa vety 3 je v tejto oblasti je bod (xo, V0), v ktorom funkcia nadobúda najväčšiu (najmenšiu) hodnotu. Ak bod (xo, y0) leží vo vnútri oblasti D, tak funkcia / má v sebe maximum (minimum), takže v tomto prípade je bod nášho záujmu obsiahnutý medzi kritickými bodmi funkcie /(x, y). Funkcia /(x, y) však môže dosiahnuť svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na hranici regiónu. Preto, aby ste našli najväčšiu (najmenšiu) hodnotu získanú funkciou z = /(x, y) v obmedzenej uzavretej oblasti 2, musíte nájsť všetky maximá (minimum) funkcie dosiahnuté v tejto oblasti, ako aj najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na hranici tejto oblasti. Najväčšie (najmenšie) zo všetkých týchto čísel bude požadovaná najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie z = /(x,y) v oblasti 27. Ukážme si, ako sa to robí v prípade diferencovateľnej funkcie. Prmmr. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie oblasti 4. Nájdeme kritické body funkcie vo vnútri oblasti D. Na tento účel zostavíme sústavu rovníc, takže dostaneme x = y « 0 bod 0 (0,0) je kritický bod funkcie x. Pretože Teraz nájdime najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na hranici Г oblasti D. Na časti hranice máme, že y = 0 je kritický bod a keďže = potom v tomto bode funkcia z = 1 + y2 má minimum rovné jednej. Na koncoch úsečky Г", v bodoch (, máme. Pomocou úvah o symetrii získame rovnaké výsledky pre ostatné časti hranice. Nakoniec dostaneme: najmenšiu hodnotu funkcie z = x2+y2 v oblasti „B sa rovná nule a dosiahne sa v vnútorný bod 0(0, 0) oblasť a maximálna hodnota tejto funkcie rovná dvom sa dosiahne v štyroch bodoch hranice (obr. 25) Obr. 25 Cvičenia Nájdite definičný obor funkcií: Zostrojte čiary úrovne funkcií: 9 Nájdite povrchy úrovní funkcií troch nezávislých premenných: Vypočítajte limity funkcií: Nájdite parciálne derivácie funkcií a ich totálne diferenciály: Nájdite derivácie komplexných funkcií: 3 Nájdite J. Extrém funkcie viacerých premenných Pojem extrému funkcie viacerých premenných. Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém Podmienený extrém Najväčšie a najmenšie hodnoty spojitých funkcií 34. Použitie vzorca na deriváciu komplexnej funkcie dvoch premenných, nájdi a funkcií: 35. Použitie vzorca na deriváciu komplexu funkcia dvoch premenných, nájsť |J a funkcie: Nájsť jj funkcie dané implicitne: 40. Nájsť sklon dotyčnica ku krivke v priesečníku s priamkou x = 3. 41. Nájdite body, v ktorých je dotyčnica ku krivke x rovnobežná s osou Ox. . V nasledujúcich úlohách nájdite a T: Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály plochy: 49. Napíšte rovnice dotykových rovín plochy x2 + 2y2 + 3z2 = 21, rovnobežných s rovinou x + 4y. + 6z = 0. Nájdite prvé tri alebo štyri členy expanzie pomocou Taylorovho vzorca : 50. y v blízkosti bodu (0, 0). Pomocou definície extrému funkcie preskúmajte nasledujúce funkcie pre extrém:). Pomocou dostatočných podmienok pre extrém funkcie dvoch premenných preskúmajte extrém funkcie: 84. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie z = x2 - y2 v uzavretom kruhu 85. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie * = x2y(4-x-y) v trojuholníku ohraničenom priamkami x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Určte rozmery obdĺžnikového otvoreného bazéna s najmenšou plochou za predpokladu, že jeho objem sa rovná V. 87. Nájdite rozmery pravouhlého rovnobežnostenu s daným celoplošný 5 maximálna hlasitosť. Odpovede 1. a | Štvorec tvorený úsečkami x vrátane jeho strán. 3. Rodina sústredných prstencov 2= 0,1,2,... .4. Celá rovina okrem bodov na priamkach. Časť roviny umiestnená nad parabolou y = -x?. 8. Body kružnice x. Celá rovina okrem rovných čiar x Radikálový výraz je nezáporný v dvoch prípadoch j * ^ alebo j x ^ ^, čo je ekvivalent nekonečného radu nerovností, resp. l ktorý je ekvivalentný nekonečnému radu Funkcia je definovaná v bodoch. a) Priamky rovnobežné s priamkou x b) sústredné kružnice so stredom v počiatku. 10. a) paraboly y) paraboly y a) paraboly b) hyperboly | .Lietadlá xc. 13.Prime - jednodutinové hyperboloidy rotácie okolo osi Oz; keď a sú dvojvrstvové hyperboloidy rotácie okolo osi Oz, obe skupiny plôch sú oddelené kužeľom; Neexistuje žiadna hranica, b) 0. 18. Nech y = kxt potom z lim z = -2, teda danú funkciu nemá v bode žiadne obmedzenie (0,0). 19. a) Bod (0,0); b) bod (0,0). 20. a) Prerušovacia čiara - kružnica x2 + y2 = 1; b) lomová čiara je priamka y = x. 21. a) Prelomové čiary - súradnicové osi Oh a Oh; b) 0 (prázdna súprava). 22. Všetky body (m, n), kde a n sú celé čísla
Extrémy funkcií viacerých premenných. Nevyhnutná podmienka pre extrém. Dostatočný stav pre extrém. Podmienený extrém. Lagrangeova multiplikačná metóda. Nájdenie najväčších a najmenších hodnôt.
Prednáška 5.
Definícia 5.1. Bodka M 0 (x 0, y 0) volal maximálny bod funkcie z = f (x, y), Ak f (x o, y o) > f(x,y) za všetky body (x, y) M 0.
Definícia 5.2. Bodka M 0 (x 0, y 0) volal minimálny bod funkcie z = f (x, y), Ak f (x o, y o) < f(x,y) za všetky body (x, y) z nejakého okolia bodu M 0.
Poznámka 1. Dovolávajú sa maximálne a minimálne body extrémne body funkcie viacerých premenných.
Poznámka 2. Extrémny bod funkcie ľubovoľného počtu premenných sa určí podobným spôsobom.
Veta 5.1(nevyhnutné podmienky pre extrém). Ak M 0 (x 0, y 0)– extrémny bod funkcie z = f (x, y), potom sa v tomto bode parciálne derivácie prvého rádu tejto funkcie rovnajú nule alebo neexistujú.
Dôkaz.
Opravme hodnotu premennej pri, počítanie y = y 0. Potom funkcia f (x, y 0) bude funkciou jednej premennej X, pre ktoré x = x 0 je extrémny bod. Preto podľa Fermatovej vety, alebo neexistuje. Rovnaké tvrdenie je dokázané podobne pre .
Definícia 5.3. Body patriace do definičného oboru funkcie viacerých premenných, v ktorých sú parciálne derivácie funkcie rovné nule alebo neexistujú, sa nazývajú stacionárne body túto funkciu.
Komentujte. Extrém sa teda dá dosiahnuť iba v stacionárnych bodoch, ale nemusí byť nevyhnutne pozorovaný v každom z nich.
Veta 5.2(dostatočné podmienky pre extrém). Nechajte v nejakom okolí bodu M 0 (x 0, y 0), čo je stacionárny bod funkcie z = f (x, y), táto funkcia má spojité parciálne derivácie až do 3. rádu vrátane. Označme potom:
1) f(x,y) má v bode M 0 maximálne ak AC–B² > 0, A < 0;
2) f(x,y) má v bode M 0 minimálne ak AC–B² > 0, A > 0;
3) neexistuje extrém v kritickom bode, ak AC–B² < 0;
4) ak AC–B² = 0, je potrebný ďalší výskum.
Dôkaz.
Napíšme Taylorov vzorec druhého rádu pre funkciu f(x,y), pamätajúc, že v stacionárnom bode sú parciálne derivácie prvého rádu rovné nule:
Kde 
Ak je uhol medzi segmentom M 0 M, Kde M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ pri) a os O X označte φ, potom Δ x =Δ ρ
cos φ,
Δ y =Δρsinφ. V tomto prípade bude mať Taylorov vzorec tvar: . Nech Potom môžeme výraz v zátvorkách deliť a násobiť A. Dostaneme:
Uvažujme teraz o štyroch možných prípadoch:
1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и 
pri dostatočne malom Δρ. Preto v nejakej štvrti M0f (x0+ Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), teda M 0- maximálny bod.
2) Nechajte AC–B² > 0, A > 0. Potom 
, A M 0- minimálny bod.
3) Nechajte AC-B² < 0, A> 0. Uvažujme prírastok argumentov pozdĺž lúča φ = 0. Potom z (5.1) vyplýva, že 
, to znamená, že pri pohybe pozdĺž tohto lúča sa funkcia zvyšuje. Ak sa pohybujeme po lúči tak, že tg φ 0 = -A/B, To 
, preto pri pohybe po tomto lúči funkcia klesá. Takže bodka M 0 nie je extrémnym bodom.
3') Kedy AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
podobný predchádzajúcemu.
3``) Ak AC–B² < 0, A= 0, potom . V čom . Potom pre dostatočne malé φ výraz 2 B cosφ + C sinφ je blízko 2 IN, teda šetrí trvalé znamenie, a sinφ mení znamienko v blízkosti bodu M 0. To znamená, že prírastok funkcie mení znamienko v blízkosti stacionárneho bodu, ktorý teda nie je extrémnym bodom.
4) Ak AC–B² = 0 a 
, 
, to znamená, že znamienko prírastku je určené znamienkom 2α 0. Zároveň je potrebný ďalší výskum na objasnenie otázky existencie extrému.
Príklad. Poďme nájsť extrémne body funkcie z = x² - 2 xy + 2r² + 2 X. Aby sme našli stacionárne body, riešime sústavu 
. Takže stacionárny bod je (-2,-1). V čom A = 2, IN = -2, S= 4. Potom AC–B² = 4 > 0, teda v stacionárnom bode sa dosiahne extrém, a to minimum (od r. A > 0).
Definícia 5.4. Ak argumenty funkcie f (x 1 , x 2 ,..., x n) sú viazané dodatočnými podmienkami vo formulári m rovnice ( m< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,..., x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,..., x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,..., x n) = 0, (5.2)
kde funkcie φ i majú spojité parciálne derivácie, potom sa volajú rovnice (5.2). spojovacie rovnice.
Definícia 5.5. Extrém funkcie f (x 1 , x 2 ,..., x n) pri splnení podmienok (5.2) je tzv podmienený extrém.
Komentujte. Môžeme ponúknuť nasledujúcu geometrickú interpretáciu podmieneného extrému funkcie dvoch premenných: nech sú argumenty funkcie f(x,y) súvisí rovnicou φ (x,y)= 0, definujúca nejakú krivku v rovine O xy. Rekonštrukcia kolmice na rovinu O z každého bodu tejto krivky xy kým sa nepretína s povrchom z = f (x, y), získame priestorovú krivku ležiacu na povrchu nad krivkou φ (x,y)= 0. Úlohou je nájsť krajné body výslednej krivky, ktoré sa samozrejme vo všeobecnom prípade nezhodujú s nepodmienečnými krajnými bodmi funkcie. f(x,y).
Určme potrebné podmienky pre podmienený extrém pre funkciu dvoch premenných tak, že najprv zavedieme nasledujúcu definíciu:
Definícia 5.6. Funkcia L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1, x 2,…, x n) +…+λ m φ m (x 1, x 2,…, x n), (5.3)
Kde λi – niektoré sú stále, tzv Lagrangeova funkcia a čísla λ i– neurčité Lagrangeove multiplikátory.
Veta 5.3(nevyhnutné podmienky pre kondičný extrém). Podmienený extrém funkcie z = f (x, y) v prítomnosti väzbovej rovnice φ ( x, y)= 0 je možné dosiahnuť len v stacionárnych bodoch Lagrangeovej funkcie L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Dôkaz. Spojovacia rovnica špecifikuje implicitný vzťah pri od X, preto budeme predpokladať, že pri existuje funkcia od X: y = y(x). Potom z existuje komplexná funkcia z X a jeho kritické body sú určené podmienkou: 
. (5.4) Z väzbovej rovnice vyplýva, že 
. (5.5)
Vynásobme rovnosť (5.5) nejakým číslom λ a sčítajme s (5.4). Dostaneme:
, alebo .
Posledná rovnosť musí byť splnená v stacionárnych bodoch, z čoho vyplýva:
(5.6)
Získa sa systém troch rovníc pre tri neznáme: x, y a λ a prvé dve rovnice sú podmienky pre stacionárny bod Lagrangeovej funkcie. Vylúčením pomocnej neznámej λ zo systému (5.6) nájdeme súradnice bodov, v ktorých môže mať pôvodná funkcia podmienený extrém.
Poznámka 1. Prítomnosť podmieneného extrému v nájdenom bode možno skontrolovať štúdiom parciálnych derivácií Lagrangeovej funkcie druhého rádu analogicky s vetou 5.2.
Poznámka 2. Body, v ktorých možno dosiahnuť podmienený extrém funkcie f (x 1 , x 2 ,..., x n) pri splnení podmienok (5.2) možno definovať ako riešenia systému 
(5.7)
Príklad. Nájdite podmienený extrém funkcie z = xy vzhľadom na to x + y= 1. Zostavme Lagrangeovu funkciu L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Systém (5.6) vyzerá takto:
kde -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. V čom L(x,y) môžu byť zastúpené vo forme L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, teda v nájdenom stacionárnom bode L(x,y) má maximum a z = xy – podmienené maximum.
Extrémy funkcie viacerých premenných
Metóda najmenších štvorcov.
Lokálny extrém FNP
Nech je funkcia daná A= f(P), РÎDÌR n a nech bod P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –interné bod sady D.
Definícia 9.4.
1) Bod P 0 sa nazýva maximálny bod funkcie A= f(P), ak existuje okolie tohto bodu U(P 0) М D také, že pre ktorýkoľvek bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , podmienka je splnená f(P) £ f(P 0). Význam f(P 0) sa volá funkcia v maximálnom bode maximum funkcie a je určený f(P0) = max f(P) .
2) Bod P 0 sa nazýva minimálny bod funkcie A= f(P), ak je okolie tohto bodu U(P 0)Ì D také, že pre ktorýkoľvek bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , podmienka je splnená f(P)³ f(P 0). Význam f(P 0) sa volá funkcia v minimálnom bode minimálna funkcia a je určený f(P 0) = min f(P).
Volajú sa minimálne a maximálne body funkcie extrémne body sa volajú hodnoty funkcie v extrémnych bodoch extrémy funkcie.
Ako vyplýva z definície, nerovnosti f(P) £ f(P 0), f(P)³ f(P 0) musí byť splnená len v určitom okolí bodu P 0, a nie v celom definičnom obore funkcie, čo znamená, že funkcia môže mať viacero extrémov rovnakého typu (niekoľko miním, viacero maxím) . Preto sa vyššie definované extrémy nazývajú miestne(lokálne) extrémy.
Veta 9.1 (nevyhnutná podmienka pre extrém FNP)
Ak funkcia A= f(X 1 , X 2 , ..., x n) má extrém v bode P 0 , potom jeho parciálne derivácie prvého rádu v tomto bode sú buď rovné nule, alebo neexistujú.
Dôkaz. Nech v bode P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkciu A= f(P) má extrém, napríklad maximum. Poďme opraviť argumenty X 2 , ..., x n, uvedenie X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Potom A= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) je funkciou jednej premennej X 1. Keďže táto funkcia má X 1 = A 1 extrém (maximálne), potom f 1 ¢=0alebo neexistuje, keď X 1 =A 1 (nevyhnutná podmienka existencie extrému funkcie jednej premennej). To však znamená alebo neexistuje v bode P 0 - extrémnom bode. Podobne môžeme uvažovať o parciálnych deriváciách vzhľadom na iné premenné. CTD.
Volajú sa body v definičnom obore funkcie, v ktorých sú parciálne derivácie prvého rádu rovné nule alebo neexistujú kritických bodov túto funkciu.
Ako vyplýva z vety 9.1, medzi kritickými bodmi funkcie treba hľadať extrémne body FNP. Ale čo sa týka funkcie jednej premennej, nie každý kritický bod je extrémnym bodom.
Veta 9.2 (dostatočná podmienka pre extrém FNP)
Nech P 0 je kritický bod funkcie A= f(P) a 
je diferenciál druhého rádu tejto funkcie. Potom
A keď d 2 u(P 0) > 0 v , potom P 0 je bod minimálne funkcie A= f(P);
b) ak d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximálne funkcie A= f(P);
c) ak d 2 u(P 0) nie je definované znamienkom, potom P 0 nie je extrémny bod;
Túto vetu budeme uvažovať bez dôkazu.
Všimnite si, že veta nezohľadňuje prípad, kedy d 2 u(P 0) = 0 alebo neexistuje. To znamená, že otázka prítomnosti extrému v bode P 0 za takýchto podmienok zostáva otvorená – je potrebný ďalší výskum, napríklad štúdia prírastku funkcie v tomto bode.
V podrobnejších kurzoch matematiky je dokázané, že najmä pre funkciu z = f(X,r) dvoch premenných, ktorých diferenciál druhého rádu je súčtom tvaru
štúdium prítomnosti extrému v kritickom bode P 0 možno zjednodušiť.
Označme , , . Zostavme si determinant
.
Ukazuje sa:
d 2 z> 0 v bode P 0, t.j. P 0 – minimálny bod, ak A(P°) > 0 a D(P°) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
ak D(P 0)< 0, то d 2 z v okolí bodu P 0 mení znamienko a v bode P 0 nie je extrém;
ak D(Р 0) = 0, potom sú potrebné aj ďalšie štúdie funkcie v blízkosti kritického bodu Р 0.
Teda pre funkciu z = f(X,r) z dvoch premenných máme nasledujúci algoritmus (nazvime ho „algoritmus D“) na nájdenie extrému:
1) Nájdite doménu definície D( f) funkcie.
2) Nájdite kritické body, t.j. body z D( f), pre ktoré a sú rovné nule alebo neexistujú.
3) V každom kritickom bode P 0 skontrolujte dostatočné podmienky pre extrém. Ak to chcete urobiť, nájdite , kde , , a vypočítajte D(P 0) a A(P 0). Potom:
ak D(P 0) >0, tak v bode P 0 je extrém, a ak A(P 0) > 0 – potom je to minimum a ak A(P 0)< 0 – максимум;
ak D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Ak D(P 0) = 0, potom je potrebný ďalší výskum.
4) V nájdených extrémnych bodoch vypočítajte hodnotu funkcie.
Príklad 1
Nájdite extrém funkcie z = X 3 + 8r 3 – 3xy .
Riešenie. Oblasť definície tejto funkcie je celá rovina súradníc. Poďme nájsť kritické body.
, 
, 
Þ P 0 (0,0) , .
Skontrolujme, či sú splnené dostatočné podmienky pre extrém. nájdeme
6X, = -3, = 48pri A 
= 288xy – 9.
Potom D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 – v bode Р 1 je extrém, a od r. A(P 1) = 3 >0, potom je tento extrém minimom. Takže min z=z(P 1) = 
.
Príklad 2
Nájdite extrém funkcie 
.
Riešenie: D( f) = R2. Kritické body: 
; neexistuje kedy pri= 0, čo znamená, že P 0 (0,0) je kritický bod tejto funkcie.
2, = 0, = , = , ale D(P 0) nie je definované, takže štúdium jeho znamienka je nemožné.
Z rovnakého dôvodu nie je možné priamo aplikovať vetu 9.2 - d 2 z v tomto bode neexistuje.
Zoberme si prírastok funkcie f(X, r) v bode P 0. Ak D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, potom P 0 je minimálny bod, ale ak D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
V našom prípade máme
D f = f(X, r) – f(0, 0) = f(0+D X,0+D r) – f(0, 0) = .
V D X= 0,1 a D r= -0,008 dostaneme D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 a D r= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, t.j. v blízkosti bodu P 0 nie je splnená ani jedna podmienka D f <0 (т.е. f(X, r) < f(0, 0) a preto P 0 nie je maximálny bod), ani podmienka D f>0 (t.j. f(X, r) > f(0, 0) a potom P 0 nie je minimálny bod). To znamená, že podľa definície extrému táto funkcia nemá žiadne extrémy.
Podmienený extrém.
Uvažovaný extrém funkcie sa nazýva bezpodmienečné, pretože na argumenty funkcie nie sú kladené žiadne obmedzenia (podmienky).
Definícia 9.2. Extrém funkcie A = f(X 1 , X 2 , ... , x n), zistil pod podmienkou, že jeho argumenty X 1 , X 2 , ... , x n splniť rovnice j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kde P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), tzv podmienený extrém .
Rovnice j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, sa volajú spojovacie rovnice.
Pozrime sa na funkcie z = f(X,r) dve premenné. Ak je rovnica spojenia jedna, t.j. , potom nájdenie podmieneného extrému znamená, že extrém sa nehľadá v celej doméne definície funkcie, ale na nejakej krivke ležiacej v D( f) (t. j. nehľadajú sa najvyššie alebo najnižšie body povrchu z = f(X,r), a najvyššie alebo najnižšie body medzi priesečníkmi tejto plochy s valcom, obr. 5).
Podmienený extrém funkcie z = f(X,r) dvoch premenných možno nájsť nasledujúcim spôsobom ( eliminačná metóda). Z rovnice vyjadrite jednu z premenných ako funkciu inej (napríklad napíšte ) a dosadením tejto hodnoty premennej do funkcie zapíšte túto premennú ako funkciu jednej premennej (v uvažovanom prípade 
). Nájdite extrém výslednej funkcie jednej premennej.
Najprv si predstavme prípad funkcie dvoch premenných. Podmienený extrém funkcie $z=f(x,y)$ v bode $M_0(x_0;y_0)$ je extrém tejto funkcie dosiahnutý za podmienky, že premenné $x$ a $y$ v okolie tohto bodu spĺňa rovnicu spojenia $\ varphi (x,y)=0$.
Názov „podmienený“ extrém je spôsobený skutočnosťou, že premenné podliehajú dodatočná podmienka$\varphi(x,y)=0$. Ak je možné jednu premennú vyjadriť z rovnice spojenia cez druhú, potom sa problém určenia podmieneného extrému redukuje na problém určenia obvyklého extrému funkcie jednej premennej. Napríklad, ak rovnica spojenia implikuje $y=\psi(x)$, potom dosadením $y=\psi(x)$ do $z=f(x,y)$ dostaneme funkciu jednej premennej $z =f\vľavo (x,\psi(x)\vpravo)$. Vo všeobecnom prípade je však táto metóda málo použiteľná, takže je potrebné zaviesť nový algoritmus.
Metóda Lagrangeovho multiplikátora pozostáva z konštrukcie Lagrangeovej funkcie na nájdenie podmieneného extrému: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda$ sa nazýva Lagrangeov multiplikátor). Nevyhnutné podmienky pre extrém sú špecifikované systémom rovníc, z ktorých sú určené stacionárne body:
$$ \left \( \začiatok(zarovnané) & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=0;\\ & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(zarovnané) \vpravo.
Postačujúcou podmienkou, z ktorej možno určiť povahu extrému, je znamienko $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Ak je v stacionárnom bode $d^2F > 0$, potom funkcia $z=f(x,y)$ má v tomto bode podmienené minimum, ale ak $d^2F< 0$, то условный максимум.
Existuje ďalší spôsob, ako určiť povahu extrému. Zo spojovacej rovnice dostaneme: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, preto v akomkoľvek stacionárnom bode máme:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \vpravo)$$
Druhý faktor (umiestnený v zátvorkách) môže byť znázornený v tejto forme:
Prvky determinantu $\left| sú zvýraznené červenou farbou. \begin(pole) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (pole)\right|$, čo je Hessián Lagrangeovej funkcie. Ak $H > 0$, potom $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, t.j. máme podmienené minimum funkcie $z=f(x,y)$.
Poznámka týkajúca sa zápisu determinantu $H$. ukázať skryť
$$ H=-\left|\begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(pole) \right| $$
V tejto situácii sa pravidlo formulované vyššie zmení takto: ak $H > 0$, potom má funkcia podmienené minimum a ak $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Povedzme, že máme funkciu $n$ premenných $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ a $m$ spojovacích rovníc ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,$$
Označením Lagrangeových multiplikátorov ako $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ vytvoríme Lagrangeovu funkciu:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Nevyhnutné podmienky pre prítomnosť podmieneného extrému sú dané systémom rovníc, z ktorých sa nachádzajú súradnice stacionárnych bodov a hodnoty Lagrangeových multiplikátorov:
$$\left\(\začiatok(zarovnané) & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(zarovnané) \right.$$
Či má funkcia podmienené minimum alebo podmienené maximum v nájdenom bode, ako predtým, môžete zistiť pomocou znamienka $d^2F$. Ak je v nájdenom bode $d^2F > 0$, potom má funkcia podmienené minimum, ale ak $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Determinant matice $\left| \begin(pole) (ccccc) \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)^(2)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)\čiastočné x_(2) ) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)\čiastočné x_(3)) &\ldots & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)\čiastočné x_(n)) \\ \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(2)\čiastočné x_1) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(2)^(2)) & \frac(\čiastočné^2F )(\čiastočné x_(2)\čiastočné x_(3)) &\ldots & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(2)\čiastočné x_(n))\\ \frac(\čiastočné^2F )(\čiastočné x_(3) \čiastočné x_(1)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(3)\čiastočné x_(2)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\čiastočné x_(3)\čiastočné x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)\čiastočné x_(1)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)\čiastočné x_(2)) & \ frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)\čiastočné x_(3)) &\ldots & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)^(2))\\ \end( pole) \right|$, zvýraznené červenou farbou v matici $L$, je Hessián Lagrangeovej funkcie. Používame nasledujúce pravidlo:
Príklad č.1
Nájdite podmienený extrém funkcie $z(x,y)=x+3y$ pod podmienkou $x^2+y^2=10$.
Geometrický výklad tohto problému je nasledovný: je potrebné nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty aplikácie roviny $z=x+3y$ pre body jej priesečníka s valcom $x^2+y ^2=10$.
Je trochu ťažké vyjadriť jednu premennú cez druhú z väzbovej rovnice a dosadiť ju do funkcie $z(x,y)=x+3y$, preto použijeme Lagrangeovu metódu.
Označením $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ vytvoríme Lagrangeovu funkciu:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=1+2\lambda x; \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=3+2\lambda y. $$
Napíšme sústavu rovníc na určenie stacionárnych bodov Lagrangeovej funkcie:
$$ \left \( \začiatok(zarovnané) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (zarovnané)\vpravo.$$
Ak predpokladáme $\lambda=0$, potom prvá rovnica bude: $1=0$. Výsledný rozpor naznačuje, že $\lambda\neq 0$. Pod podmienkou $\lambda\neq 0$ z prvej a druhej rovnice máme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Nahradením získaných hodnôt do tretej rovnice dostaneme:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(zarovnané) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(zarovnané) \right.\\ \begin(zarovnané) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(zarovnané) $$
Systém má teda dve riešenia: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ a $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Zistime povahu extrému v každom stacionárnom bode: $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$. Aby sme to urobili, počítajme determinant$H$ v každom z bodov.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\vľavo| \begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right| $$
V bode $M_1(1;3)$ dostaneme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \začiatok(pole) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(pole) \right|=40 > 0$, takže na bod Funkcia $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ má podmienené maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Podobne v bode $M_2(-1,-3)$ nájdeme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \začiatok(pole) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(pole) \right|=-40$. Od $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Poznamenávam, že namiesto výpočtu hodnoty determinantu $H$ v každom bode je oveľa pohodlnejšie ho rozšíriť v všeobecný pohľad. Aby sa text nezahltil detailmi, skryjem tento spôsob pod poznámku.
Zápis determinantu $H$ vo všeobecnom tvare. ukázať skryť
$$ H=8\cdot\left|\begin(pole)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(pole)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
V zásade je už zrejmé, aké znamienko $H$ má. Keďže žiadny z bodov $M_1$ alebo $M_2$ sa nezhoduje s pôvodom, potom $y^2+x^2>0$. Preto je znamienko $H$ opačné ako znamienko $\lambda$. Môžete dokončiť výpočty:
$$ \začiatok(zarovnané) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\vľavo((-3)^2+(-1)^2\vpravo)=-40. \end(zarovnané) $$
Otázku o povahe extrému v stacionárnych bodoch $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$ je možné vyriešiť bez použitia determinantu $H$. Nájdite znamienko $d^2F$ v každom stacionárnom bode:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\vpravo) $$
Dovoľte mi poznamenať, že zápis $dx^2$ znamená presne $dx$ povýšené na druhú mocninu, t.j. $\left(dx \right)^2$. Máme teda: $dx^2+dy^2>0$, teda s $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dostaneme $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Odpoveď: v bode $(-1;-3)$ má funkcia podmienené minimum $z_(\min)=-10$. V bode $(1;3)$ má funkcia podmienené maximum, $z_(\max)=10$
Príklad č.2
Nájdite podmienený extrém funkcie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod podmienkou $x+y=0$.
Označením $\varphi(x,y)=x+y$ vytvoríme Lagrangeovu funkciu: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=9y^2-x+\lambda.\\ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(zarovnané) \vpravo.
Po vyriešení systému dostaneme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ a $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9) $, $\lambda_2=-10 $. Máme dva stacionárne body: $M_1(0;0)$ a $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Zistime povahu extrému v každom stacionárnom bode pomocou determinant$H$.
$$H=\vľavo| \begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \začiatok(pole) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18r \end(pole) \right|=-10-18r $$
V bode $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, preto má funkcia v tomto bode podmienené maximum $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Skúmame povahu extrému v každom bode pomocou inej metódy na základe znamienka $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Z rovnice spojenia $x+y=0$ máme: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Keďže $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, potom $M_1(0;0)$ je podmienený minimálny bod funkcie $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Podobne $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Z rovnice spojenia $x+y=0$ dostaneme: $y=-x$. Dosadením $y=-x$ do funkcie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ dostaneme nejakú funkciu premennej $x$. Označme túto funkciu ako $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Problém hľadania podmieneného extrému funkcie dvoch premenných sme teda zredukovali na problém určenia extrému funkcie jednej premennej.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);
Získali sme body $M_1(0;0)$ a $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ďalší výskum je známy z priebehu diferenciálneho počtu funkcií jednej premennej. Preskúmaním znamienka $u_(xx)^("")$ v každom stacionárnom bode alebo kontrolou zmeny znamienka $u_(x)^(")$ v nájdených bodoch získame rovnaké závery, ako keď riešenie prvej metódy Napríklad skontrolujeme znak $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10, $ $
Keďže $u_(xx)^("")(M_1)>0$, potom $M_1$ je minimálny bod funkcie $u(x)$ a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Hodnoty funkcie $u(x)$ pre danú podmienku pripojenia sa zhodujú s hodnotami funkcie $z(x,y)$, t.j. nájdené extrémy funkcie $u(x)$ sú hľadané podmienené extrémy funkcie $z(x,y)$.
Odpoveď: v bode $(0;0)$ má funkcia podmienené minimum $z_(\min)=0$. V bode $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ má funkcia podmienené maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Uvažujme o ďalšom príklade, v ktorom objasníme povahu extrému určením znamienka $d^2F$.
Príklad č.3
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie $z=5xy-4$, ak sú premenné $x$ a $y$ kladné a spĺňajú spojovaciu rovnicu $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Zostavme Lagrangeovu funkciu: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Poďme nájsť stacionárne body Lagrangeovej funkcie:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \;
Všetky ďalšie transformácie sa vykonajú s prihliadnutím na $x > 0; \; y > 0 $ (toto je špecifikované vo vyhlásení o probléme). Z druhej rovnice vyjadríme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ a nájdenú hodnotu dosadíme do prvej rovnice: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Dosadením $x=2y$ do tretej rovnice dostaneme: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $ y = 1 $.
Pretože $y=1$, potom $x=2$, $\lambda=-10$. Povahu extrému v bode $(2;1)$ určíme na základe znamienka $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Keďže $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, potom:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
V zásade tu môžete okamžite nahradiť súradnice stacionárneho bodu $x=2$, $y=1$ a parameter $\lambda=-10$, čím získate:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \vpravo)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Avšak v iných problémoch na podmienenom extréme môže byť niekoľko stacionárnych bodov. V takýchto prípadoch je lepšie reprezentovať $d^2F$ vo všeobecnom tvare a potom do výsledného výrazu dosadiť súradnice každého z nájdených stacionárnych bodov:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Nahradením $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ dostaneme:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Pretože $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Odpoveď: v bode $(2;1)$ má funkcia podmienené maximum, $z_(\max)=6$.
V ďalšej časti sa budeme zaoberať aplikáciou Lagrangeovej metódy pre funkcie viac premenných.
