Kabanata 8. Sistema ng mga equation
8.2. Sistema ng dalawa linear na equation na may dalawang hindi alam
Kahulugan
Maraming mga equation kung saan ang parehong mga hindi alam ay tumutukoy sa parehong dami ay tinatawag sistema ng mga equation.
Ang uri ng sistema ay tinatawag normal na anyo mga sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam.
Ang paglutas ng naturang sistema ay nangangahulugan ng paghahanap ng hanay ng lahat ng mga solusyon na karaniwan sa parehong mga equation.
Paano malutas ang ganitong sistema?
Ang ganitong sistema ay maaaring malutas, halimbawa, graphically. Karaniwan, ang ganitong sistema ay graphic na kinakatawan ng dalawang tuwid na linya, at ang pangkalahatang solusyon sa mga equation na ito (ang solusyon sa system) ay ang mga coordinate ng karaniwang punto ng dalawang tuwid na linya. Mayroong tatlong posibleng mga kaso dito:
1) Ang mga tuwid na linya (graphs) ay may isang karaniwang punto lamang (intersect) - ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon at ito ay tinatawag na tiyak.
2) Ang mga tuwid na linya (mga graph) ay walang mga karaniwang puntos (parallel) - ang sistema ay walang solusyon at ito ay tinatawag na inconsistent.
3) Ang mga tuwid na linya (mga graph) ay may walang katapusan na maraming karaniwang mga punto (nagtutugma) - ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon at tinatawag na walang katiyakan.
May hindi ko pa maintindihan. Marahil ito ay magiging mas malinaw sa mga halimbawa?
Siyempre, ngayon ay magbibigay kami ng isang halimbawa para sa bawat kaso at ang lahat ay agad na magiging mas malinaw.
Magsimula tayo sa isang halimbawa kapag ang sistema ay tinukoy (may kakaibang solusyon). Kunin natin ang sistema. Bumuo tayo ng mga graph ng mga function na ito.
Sila ay bumalandra lamang sa isang punto, samakatuwid ang solusyon sa sistemang ito ay ang mga coordinate lamang ng punto: , .
Ngayon magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang hindi katugmang sistema (isa na walang solusyon). Isaalang-alang natin ang ganitong sistema.
Sa kasong ito, ang sistema ay salungat: ang mga kaliwang bahagi ay pantay, ngunit ang mga tamang bahagi ay naiiba. Ang mga graph ay walang mga karaniwang puntos (parallel), samakatuwid ang sistema ay walang solusyon.
Well, ngayon ay may huling kaso, kapag ang sistema ay hindi sigurado (may walang katapusang bilang ng mga solusyon). Narito ang isang halimbawa ng naturang sistema: . I-plot natin ang mga equation na ito.
Ang mga tuwid na linya (mga graph) ay may walang katapusan na maraming karaniwang mga punto (nagtutugma), na nangangahulugang ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa kasong ito, ang mga equation ng system ay katumbas (multiply ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 2 , nakukuha natin ang unang equation).
Ang pinakamahalaga ay ang unang kaso. Ang tanging solusyon sa naturang sistema ay palaging makikita sa graphically - minsan eksakto, at kadalasan ay humigit-kumulang sa kinakailangang antas ng katumpakan.
Kahulugan
Dalawang sistema ng mga equation ang tinatawag na katumbas (katumbas), kung ang lahat ng mga solusyon ng bawat isa sa kanila ay mga solusyon din ng isa (ang mga hanay ng mga solusyon ay nagtutugma) o kung pareho ay walang mga solusyon.
§1. Mga sistema ng linear equation.
Tingnan ang sistema
tinatawag na sistema m linear equation na may n hindi kilala.
Dito 
- hindi kilala, 
- coefficients para sa mga hindi alam, 
- libreng mga tuntunin ng mga equation.
Kung ang lahat ng mga libreng termino ng mga equation ay katumbas ng zero, ang sistema ay tinatawag homogenous.
Sa pamamagitan ng desisyon Ang sistema ay tinatawag na koleksyon ng mga numero 
, kapag pinapalitan ang mga ito sa sistema sa halip na mga hindi alam, lahat ng equation ay nagiging mga pagkakakilanlan. Ang sistema ay tinatawag magkadugtong, kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang isang katugmang sistema na may natatanging solusyon ay tinatawag tiyak. Ang dalawang sistema ay tinatawag katumbas, kung ang mga hanay ng kanilang mga solusyon ay magkakasabay.
Ang sistema (1) ay maaaring katawanin sa anyong matrix gamit ang equation
(2)
.
§2. Pagkakatugma ng mga sistema ng mga linear na equation.
Tawagin natin ang pinalawig na matrix ng system (1) ang matrix
Kronecker-Capelli theorem. Ang system (1) ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng system matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix:
.
§3. Solusyon sa sisteman linear equation na mayn hindi kilala.
Isaalang-alang ang isang hindi homogenous na sistema n linear equation na may n hindi alam:
(3)
Teorama ni Cramer.Kung ang pangunahing determinant ng system (3) 
, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, na tinutukoy ng mga formula:
mga. 
,
saan 
- determinant na nakuha mula sa determinant 
kapalit 
ika-column sa column ng mga libreng miyembro.
Kung 
, at hindi bababa sa isa sa 
≠0, kung gayon ang sistema ay walang mga solusyon.
Kung 
, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.
Ang system (3) ay maaaring malutas gamit ang matrix form nito (2). Kung ang ranggo ng matrix A katumbas n, ibig sabihin. 
, pagkatapos ay ang matrix A may kabaligtaran 
. Pagpaparami ng matrix equation 
sa matrix 
sa kaliwa, makukuha natin:
.
Ang huling pagkakapantay-pantay ay nagpapahayag ng paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation gamit ang baligtad na matris.
Halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga equation gamit ang isang inverse matrix.
Solusyon.
Matrix 
non-degenerate, since 
, na nangangahulugang mayroong isang kabaligtaran na matrix. Kalkulahin natin ang inverse matrix: 
.
,
Mag-ehersisyo. Lutasin ang system gamit ang paraan ng Cramer.
§4. Paglutas ng mga arbitraryong sistema ng mga linear na equation.
Hayaang magbigay ng isang di-homogeneous na sistema ng mga linear na equation ng anyong (1).
Ipagpalagay natin na pare-pareho ang sistema, i.e. ang kondisyon ng Kronecker-Capelli theorem ay nasiyahan: 
. Kung ang ranggo ng matrix 
(bilang ng mga hindi alam), kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung 
, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon. Hayaan mo akong magpaliwanag.
Hayaan ang ranggo ng matrix r(A)=
r<
n. Dahil ang 
, pagkatapos ay mayroong ilang di-zero minor ng order r. Tawagin natin itong basic minor. Ang mga hindi alam na ang mga coefficient ay bumubuo ng isang batayang menor ay tatawaging pangunahing mga variable. Tinatawag namin ang natitirang mga hindi kilalang mga libreng variable. Ayusin natin ang mga equation at muling lagyan ng numero ang mga variable upang ang menor de edad na ito ay matatagpuan sa itaas na kaliwang sulok ng system matrix:
.
Una r linearly independent ang mga linya, ang iba ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito. Samakatuwid, ang mga linyang ito (equation) ay maaaring itapon. Nakukuha namin:
Bigyan natin ang mga libreng variable ng mga arbitrary na halagang numero: . Iwanan lamang natin ang mga pangunahing variable sa kaliwang bahagi at ilipat ang mga libre sa kanang bahagi.
Nakuha ang sistema r linear equation na may r hindi alam, na ang determinant ay naiiba sa 0. Ito ay may natatanging solusyon.
Ang sistemang ito ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga linear na equation (1). Kung hindi: ang pagpapahayag ng mga pangunahing variable sa pamamagitan ng mga libre ay tinatawag pangkalahatang desisyon mga sistema. Mula dito maaari kang makakuha ng walang katapusang bilang ng pribadong solusyon, na nagbibigay ng mga libreng variable ng mga arbitrary na halaga. Ang isang partikular na solusyon na nakuha mula sa isang pangkalahatan para sa mga zero na halaga ng mga libreng variable ay tinatawag pangunahing solusyon. Ang bilang ng iba't ibang mga pangunahing solusyon ay hindi lalampas 
. Ang isang pangunahing solusyon na may mga di-negatibong sangkap ay tinatawag pagsuporta solusyon sa sistema.
Halimbawa.
,
r=2.
Mga variable 
- basic, 
- libre.
Pagsamahin natin ang mga equation; ipahayag natin 
sa pamamagitan ng 
:
- pribadong solusyon para sa 
.
- pangunahing solusyon, sanggunian.
§5. Pamamaraan ng Gauss.
Ang Gauss method ay isang unibersal na paraan para sa pag-aaral at paglutas ng mga arbitraryong sistema ng mga linear equation. Binubuo ito ng pagbabawas ng system sa isang dayagonal (o triangular) na anyo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam gamit ang mga pagbabagong elementarya, na hindi lumalabag sa equivalence ng mga system. Ang isang variable ay itinuturing na hindi kasama kung ito ay nakapaloob lamang sa isang equation ng system na may coefficient na 1.
Mga pagbabago sa elementarya ang mga sistema ay:
Pagpaparami ng equation sa isang numero maliban sa zero;
Pagdaragdag ng isang equation na pinarami ng anumang numero sa isa pang equation;
Muling pag-aayos ng mga equation;
Tinatanggihan ang equation na 0 = 0.
Ang mga pagbabago sa elementarya ay maaaring gawin hindi sa mga equation, ngunit sa mga pinalawig na matrice ng mga resultang katumbas na sistema.
Halimbawa.
Solusyon. Isulat natin ang pinahabang matrix ng system:
.
Sa pagsasagawa ng mga elementarya na pagbabago, babawasan natin ang kaliwang bahagi ng matrix sa anyo ng unit: gagawa tayo ng mga nasa pangunahing dayagonal, at mga zero sa labas nito.
Magkomento. Kung, kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong elementarya, ang isang equation ng form 0 ay nakuha = k(Saan Upang
0),
tapos inconsistent ang system.
Ang solusyon ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam ay maaaring isulat sa anyo mga mesa.
Ang kaliwang column ng talahanayan ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa mga ibinukod (pangunahing) variable. Ang natitirang mga column ay naglalaman ng mga coefficient ng mga hindi alam at ang mga libreng termino ng mga equation.
Ang pinalawig na matrix ng system ay naitala sa source table. Susunod, nagsisimula kaming magsagawa ng mga pagbabago sa Jordan:
1. Pumili ng variable 
, na siyang magiging batayan. Ang kaukulang column ay tinatawag na key column. Pumili ng equation kung saan mananatili ang variable na ito, na hindi kasama sa iba pang equation. Ang katumbas na hilera ng talahanayan ay tinatawag na isang key row. Coefficient 
, na nakatayo sa intersection ng key row at key column, ay tinatawag na key.
2. Ang mga pangunahing elemento ng string ay nahahati sa pangunahing elemento.
3. Ang key column ay puno ng mga zero.
4. Ang natitirang mga elemento ay kinakalkula gamit ang parihaba na panuntunan. Gumawa ng isang parihaba, sa kabaligtaran ng mga vertices kung saan mayroong isang pangunahing elemento at isang recalculated elemento; mula sa produkto ng mga elemento na matatagpuan sa dayagonal ng rektanggulo na may pangunahing elemento, ang produkto ng mga elemento ng iba pang dayagonal ay ibinabawas, at ang nagresultang pagkakaiba ay nahahati sa pangunahing elemento.
Halimbawa. Hanapin ang pangkalahatang solusyon at pangunahing solusyon ng sistema ng mga equation:
Solusyon.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
Pangkalahatang solusyon ng system:
Pangunahing solusyon: 
.
Ang isang solong pagbabagong-anyo ng pagpapalit ay nagpapahintulot sa iyo na lumipat mula sa isang batayan ng system patungo sa isa pa: sa halip na isa sa mga pangunahing variable, isa sa mga libreng variable ay ipinakilala sa batayan. Upang gawin ito, pumili ng isang pangunahing elemento sa column ng libreng variable at magsagawa ng mga pagbabago ayon sa algorithm sa itaas.
§6. Paghahanap ng mga solusyon sa suporta
Ang reference na solusyon ng isang sistema ng mga linear equation ay isang pangunahing solusyon na hindi naglalaman ng mga negatibong bahagi.
Ang mga reference na solusyon ng system ay matatagpuan sa pamamagitan ng Gaussian method kapag ang mga sumusunod na kondisyon ay natugunan.
1. Sa orihinal na sistema, ang lahat ng libreng termino ay dapat na hindi negatibo: 
.
2. Ang pangunahing elemento ay pinili sa mga positibong coefficient.
3. Kung ang isang variable na ipinakilala sa batayan ay may ilang mga positibong coefficient, kung gayon ang pangunahing linya ay ang isa kung saan ang ratio ng libreng termino sa positibong koepisyent ay ang pinakamaliit.
Tandaan 1. Kung, sa proseso ng pag-aalis ng mga hindi alam, lumilitaw ang isang equation kung saan ang lahat ng koepisyent ay hindi positibo at ang libreng termino 
, kung gayon ang system ay walang mga di-negatibong solusyon.
Tandaan 2. Kung walang isang solong positibong elemento sa mga hanay ng mga coefficient para sa mga libreng variable, kung gayon ang paglipat sa isa pang reference na solusyon ay imposible.
Halimbawa.
|
|
|
|
Patuloy kaming humaharap sa mga sistema ng mga linear na equation. Sa ngayon ay tiningnan ko ang mga system na may isang solong solusyon. Ang ganitong mga sistema ay maaaring malutas sa anumang paraan: sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit(“paaralan”), ayon sa mga formula ni Cramer, pamamaraan ng matrix, Gaussian na pamamaraan. Gayunpaman, sa pagsasagawa, dalawa pang kaso ang laganap:
– Ang sistema ay hindi pare-pareho (walang mga solusyon);
– Ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.
Para sa mga sistemang ito, ang pinaka-unibersal sa lahat ng mga pamamaraan ng solusyon ay ginagamit - Gaussian na pamamaraan. Sa katunayan, ang paraan ng "paaralan" ay hahantong din sa sagot, ngunit sa mas mataas na matematika Nakaugalian na gamitin ang Gaussian na paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam. Sa mga hindi pamilyar sa Gaussian method algorithm, mangyaring pag-aralan muna ang aralin Gaussian na pamamaraan para sa mga dummies.
Ang mga pagbabagong elementarya ng matrix mismo ay eksaktong pareho, ang pagkakaiba ay nasa pagtatapos ng solusyon. Una, tingnan natin ang ilang mga halimbawa kapag ang system ay walang mga solusyon (hindi pare-pareho).
Halimbawa 1
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation
Ano ang agad na nakakakuha ng iyong mata tungkol sa sistemang ito? Ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable. Kung ang bilang ng mga equation ay mas mababa sa bilang ng mga variable, pagkatapos ay maaari nating agad na sabihin na ang sistema ay alinman sa hindi pare-pareho o may walang katapusang maraming solusyon. At ang natitira na lang ay alamin.
Ang simula ng solusyon ay ganap na karaniwan - isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang sunud-sunod na anyo:
(1) Sa itaas na kaliwang hakbang kailangan nating makakuha ng +1 o –1. Walang ganoong mga numero sa unang hanay, kaya ang muling pagsasaayos ng mga hilera ay hindi magbibigay ng anuman. Ang yunit ay kailangang ayusin ang sarili nito, at ito ay maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito: Sa unang linya ay idinagdag namin ang ikatlong linya, na pinarami ng -1.
(2) Ngayon ay nakakakuha tayo ng dalawang zero sa unang hanay. Sa pangalawang linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 3. Sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 5.
(3) Matapos makumpleto ang pagbabagong-anyo, palaging ipinapayong tingnan kung posible bang gawing simple ang mga resultang string? Pwede. Hinahati namin ang pangalawang linya sa pamamagitan ng 2, kasabay ng pagkuha ng kinakailangang -1 sa pangalawang hakbang. Hatiin ang ikatlong linya sa –3.
(4) Idagdag ang pangalawang linya sa ikatlong linya.
Marahil ay napansin ng lahat ang masamang linya na nagresulta mula sa mga pagbabagong elementarya: . Ito ay malinaw na ito ay hindi maaaring maging gayon. Sa katunayan, muling isulat natin ang nagresultang matrix pabalik sa isang sistema ng mga linear equation:
Gayunpaman, sa pagsasagawa, dalawa pang kaso ang laganap:
– Ang sistema ay hindi pare-pareho (walang mga solusyon);
– Ang sistema ay pare-pareho at may walang katapusang maraming solusyon.
Tandaan : Ang terminong "consistency" ay nagpapahiwatig na ang system ay may kahit ilang solusyon. Sa isang bilang ng mga problema, kailangan munang suriin ang system para sa pagiging tugma kung paano ito gagawin, tingnan ang artikulo sa ranggo ng mga matrice.
Para sa mga sistemang ito, ang pinaka-unibersal sa lahat ng mga pamamaraan ng solusyon ay ginagamit - Gaussian na pamamaraan. Sa katunayan, ang paraan ng "paaralan" ay hahantong din sa sagot, ngunit sa mas mataas na matematika ay kaugalian na gamitin ang Gaussian na paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam. Sa mga hindi pamilyar sa Gaussian method algorithm, mangyaring pag-aralan muna ang aralin Gaussian na pamamaraan para sa mga dummies.
Ang mga pagbabagong elementarya ng matrix mismo ay eksaktong pareho, ang pagkakaiba ay nasa pagtatapos ng solusyon. Una, tingnan natin ang ilang mga halimbawa kapag ang system ay walang mga solusyon (hindi pare-pareho).
Halimbawa 1
Ano ang agad na nakakakuha ng iyong mata tungkol sa sistemang ito? Ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable. Kung ang bilang ng mga equation ay mas mababa sa bilang ng mga variable, pagkatapos ay maaari nating agad na sabihin na ang sistema ay alinman sa hindi pare-pareho o may walang katapusang maraming solusyon. At ang natitira na lang ay alamin.
Ang simula ng solusyon ay ganap na karaniwan - isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang sunud-sunod na anyo:
(1) Sa itaas na kaliwang hakbang kailangan nating makakuha ng +1 o –1. Walang ganoong mga numero sa unang hanay, kaya ang muling pagsasaayos ng mga hilera ay hindi magbibigay ng anuman. Ang yunit ay kailangang ayusin ang sarili nito, at ito ay maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito: Sa unang linya ay idinagdag namin ang ikatlong linya, na pinarami ng -1.
(2) Ngayon ay nakakakuha tayo ng dalawang zero sa unang hanay. Sa pangalawang linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 3. Sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 5.
(3) Matapos makumpleto ang pagbabagong-anyo, palaging ipinapayong tingnan kung posible bang gawing simple ang mga resultang string? Pwede. Hinahati namin ang pangalawang linya sa pamamagitan ng 2, kasabay ng pagkuha ng kinakailangang -1 sa pangalawang hakbang. Hatiin ang ikatlong linya sa –3.
(4) Idagdag ang pangalawang linya sa ikatlong linya.
Marahil ay napansin ng lahat ang masamang linya na nagresulta mula sa elementarya na pagbabago: 
. Ito ay malinaw na ito ay hindi maaaring maging gayon. Sa katunayan, muling isulat natin ang resultang matrix 
bumalik sa sistema ng mga linear na equation: 
Kung, bilang isang resulta ng mga pagbabagong elementarya, ang isang string ng form ay nakuha, kung saan ay isang non-zero na numero, kung gayon ang sistema ay hindi naaayon (walang mga solusyon).
Paano isulat ang pagtatapos ng isang gawain? Gumuhit tayo gamit ang puting tisa: "bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, isang string ng form , kung saan " ay nakuha at ibigay ang sagot: ang sistema ay walang mga solusyon (hindi naaayon).
Kung, ayon sa kondisyon, kinakailangan na RESEARCH ang system para sa pagiging tugma, kung gayon kinakailangan na gawing pormal ang solusyon sa isang mas solidong istilo gamit ang konsepto ranggo ng matrix at ang Kronecker-Capelli theorem.
Pakitandaan na walang pagbaliktad ng Gaussian algorithm dito - walang mga solusyon at wala lang mahahanap.
Halimbawa 2
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation 
Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Muli kong ipinapaalala sa iyo na ang iyong solusyon ay maaaring magkaiba sa aking solusyon;
Ang isa pang teknikal na tampok ng solusyon: ang mga pagbabagong elementarya ay maaaring ihinto sabay-sabay, sa lalong madaling isang linya tulad ng , kung saan . Isaalang-alang natin kondisyonal na halimbawa: ipagpalagay na pagkatapos ng unang pagbabagong-anyo ay nakuha ang matrix 
. Ang matrix ay hindi pa nabawasan sa echelon form, ngunit hindi na kailangan para sa karagdagang elementarya na pagbabago, dahil lumitaw ang isang linya ng form, kung saan . Ang sagot ay dapat ibigay kaagad na ang sistema ay hindi tugma.
Kapag ang isang sistema ng mga linear na equation ay walang mga solusyon, ito ay halos isang regalo, dahil sa ang katunayan na ang isang maikling solusyon ay nakuha, kung minsan ay literal sa 2-3 mga hakbang.
Ngunit lahat ng bagay sa mundong ito ay balanse, at isang problema kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon ay mas mahaba.
Halimbawa 3
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation 
Mayroong 4 na equation at 4 na hindi alam, kaya ang system ay maaaring magkaroon ng isang solong solusyon, o walang mga solusyon, o magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon. Magkagayunman, ang pamamaraang Gaussian ay sa anumang kaso ay magdadala sa atin sa sagot. Ito ang versatility nito.
Ang simula ay muling pamantayan. Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo: 
Iyon lang, at natakot ka.
(1) Pakitandaan na ang lahat ng mga numero sa unang column ay nahahati sa 2, kaya ang 2 ay maayos sa kaliwang hakbang sa itaas. Sa pangalawang linya idinagdag namin ang unang linya, na pinarami ng -4. Sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya, na pinarami ng –2. Sa ikaapat na linya idinaragdag namin ang unang linya, na pinarami ng -1.
Pansin! Marami ang maaaring matukso sa ikaapat na linya ibawas unang linya. Magagawa ito, ngunit hindi kinakailangan ang karanasan na nagpapakita na ang posibilidad ng isang error sa mga kalkulasyon ay tumataas nang maraming beses. Idagdag lamang: Sa ikaapat na linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –1 – eksakto!
(2) Ang huling tatlong linya ay proporsyonal, dalawa sa kanila ay maaaring tanggalin.
Narito muli kailangan nating ipakita nadagdagan ang atensyon, pero proporsyonal ba talaga ang mga linya? Upang maging ligtas na bahagi (lalo na para sa isang teapot), magandang ideya na i-multiply ang pangalawang linya sa –1, at hatiin ang ikaapat na linya sa 2, na magreresulta sa tatlong magkaparehong linya. At pagkatapos lamang na alisin ang dalawa sa kanila.
Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, ang pinalawig na matrix ng system ay nabawasan sa isang sunud-sunod na anyo: 
Kapag nagsusulat ng isang gawain sa isang kuwaderno, ipinapayong gumawa ng parehong mga tala sa lapis para sa kalinawan.
Isulat muli natin ang kaukulang sistema ng mga equation: 
Walang amoy ng isang "ordinaryong" solong solusyon sa system dito. Wala ring masamang linya. Nangangahulugan ito na ito ang pangatlong natitirang kaso - ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon. Minsan, ayon sa kondisyon, kinakailangang siyasatin ang pagiging tugma ng system (i.e. patunayan na may solusyon talaga), mababasa mo ang tungkol dito sa huling talata ng artikulo. Paano mahahanap ang ranggo ng isang matrix? Ngunit sa ngayon, tingnan natin ang mga pangunahing kaalaman:
Ang isang walang katapusang hanay ng mga solusyon sa isang sistema ay maikling nakasulat sa anyo ng tinatawag na pangkalahatang solusyon ng system .
Nahanap namin ang pangkalahatang solusyon ng sistema gamit ang kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian.
Una kailangan nating tukuyin kung anong mga variable ang mayroon tayo basic, at kung anong mga variable libre. Hindi mo kailangang abalahin ang iyong sarili sa mga tuntunin ng linear algebra, tandaan lamang na mayroong mga ganoon pangunahing mga variable At mga libreng variable.
Ang mga pangunahing variable ay palaging "umupo" nang mahigpit sa mga hakbang ng matrix.
Sa halimbawang ito, ang mga pangunahing variable ay at
Ang mga libreng variable ay lahat natitira mga variable na hindi nakatanggap ng isang hakbang. Sa aming kaso mayroong dalawa sa kanila: – mga libreng variable.
Ngayon kailangan mo Lahat pangunahing mga variable ipahayag sa pamamagitan lamang ng mga libreng variable.
Tradisyonal na gumagana ang reverse ng Gaussian algorithm mula sa ibaba pataas.
Mula sa pangalawang equation ng system ipinapahayag namin ang pangunahing variable:
Ngayon tingnan ang unang equation: 
. Una naming pinapalitan ang nahanap na expression dito: 
Ito ay nananatiling ipahayag ang pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable: 
Sa huli nakuha namin ang kailangan namin - Lahat ang mga pangunahing variable ( at ) ay ipinahayag sa pamamagitan lamang ng mga libreng variable: 
Sa totoo lang, handa na ang pangkalahatang solusyon: 
Paano isulat nang tama ang pangkalahatang solusyon?
Ang mga libreng variable ay nakasulat sa pangkalahatang solusyon "sa pamamagitan ng kanilang sarili" at mahigpit sa kanilang mga lugar. Sa kasong ito, ang mga libreng variable ay dapat na nakasulat sa pangalawa at ikaapat na posisyon: 
.
Ang mga resultang expression para sa mga pangunahing variable 
at malinaw na kailangang isulat sa una at ikatlong posisyon: 
Pagbibigay ng mga libreng variable mga arbitraryong halaga, makakahanap ka ng walang katapusang marami pribadong solusyon. Ang pinakasikat na mga halaga ay mga zero, dahil ang partikular na solusyon ay ang pinakamadaling makuha. Palitan natin ang pangkalahatang solusyon: 
- pribadong solusyon.
Isa pa matamis na mag-asawa ay mga yunit, pinapalitan namin ang mga ito sa pangkalahatang solusyon: 
– isa pang pribadong solusyon.
Madaling makita na mayroon ang sistema ng mga equation walang katapusang maraming solusyon(dahil maaari tayong magbigay ng mga libreng variable anuman halaga)
Ang bawat isa ang partikular na solusyon ay dapat masiyahan sa bawat isa equation ng system. Ito ang batayan para sa isang "mabilis" na pagsusuri ng kawastuhan ng solusyon. Kunin, halimbawa, ang isang partikular na solusyon at palitan ito sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng orihinal na sistema: 
Dapat magkaisa ang lahat. At sa anumang partikular na solusyon na matatanggap mo, dapat ding sumang-ayon ang lahat.
Ngunit, mahigpit na nagsasalita, ang pagsuri sa isang partikular na solusyon ay minsan ay nanlilinlang, i.e. ang ilang partikular na solusyon ay maaaring matugunan ang bawat equation ng system, ngunit ang pangkalahatang solusyon mismo ay aktwal na natagpuan nang hindi tama.
Samakatuwid, ang pag-verify ng pangkalahatang solusyon ay mas masinsinan at maaasahan. Paano suriin ang resultang pangkalahatang solusyon 
?
Hindi ito mahirap, ngunit medyo nakakapagod. Kailangan nating kumuha ng mga ekspresyon basic mga variable, sa kasong ito 
at , at palitan ang mga ito sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system.
Sa kaliwang bahagi ng unang equation ng system: 
Sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation ng system: 
Ang kanang bahagi ng orihinal na equation ay nakuha.
Halimbawa 4
Lutasin ang sistema gamit ang Gaussian method. Hanapin ang pangkalahatang solusyon at dalawang partikular na solusyon. Suriin ang pangkalahatang solusyon. 
Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Dito, sa pamamagitan ng paraan, muli ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam, na nangangahulugan na ito ay agad na malinaw na ang sistema ay maaaring maging hindi pare-pareho o magkaroon ng isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ano ang mahalaga sa mismong proseso ng pagpapasya? Atensyon, at atensyon muli. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
At ilang higit pang mga halimbawa upang palakasin ang materyal
Halimbawa 5
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation. Kung ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon, maghanap ng dalawang partikular na solusyon at suriin ang pangkalahatang solusyon 
Solusyon: Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo: 
(1) Idagdag ang unang linya sa pangalawang linya. Sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 2. Sa ikaapat na linya ay idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 3.
(2) Sa ikatlong linya idinaragdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng –5. Sa ikaapat na linya idinaragdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -7.
(3) Ang ikatlo at ikaapat na linya ay pareho, tinatanggal namin ang isa sa mga ito.
Ito ay isang kagandahan: 
Ang mga pangunahing variable ay nakaupo sa mga hakbang, samakatuwid - mga pangunahing variable.
Mayroon lamang isang libreng variable na hindi nakakuha ng isang hakbang:
Reverse:
Ipahayag natin ang mga pangunahing variable sa pamamagitan ng isang libreng variable:
Mula sa ikatlong equation: 
Isaalang-alang natin ang pangalawang equation at palitan ang natagpuang expression dito: 
Isaalang-alang natin ang unang equation at palitan ang mga natagpuang expression at dito: 
Oo, maginhawa pa rin ang isang calculator na nagkalkula ng mga ordinaryong fraction.
Kaya ang pangkalahatang solusyon ay: 
Muli, paano ito naging resulta? Ang libreng variable ay nakaupo nang mag-isa sa nararapat nitong ikaapat na puwesto. Ang mga resultang expression para sa mga pangunahing variable ay kinuha din ang kanilang mga ordinal na lugar.
Suriin natin kaagad ang pangkalahatang solusyon. Ang trabaho ay para sa mga itim, ngunit nagawa ko na ito, kaya hulihin ito =)
Pinapalitan namin ang tatlong bayani , , sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system:
Ang kaukulang kanang bahagi ng mga equation ay nakuha, kaya ang pangkalahatang solusyon ay matatagpuan nang tama.
Ngayon mula sa nahanap na pangkalahatang solusyon 
nakakakuha tayo ng dalawang partikular na solusyon. Ang tanging libreng variable dito ay ang chef. Hindi na kailangang i-rack ang iyong mga utak.
Hayaan mo na 
- pribadong solusyon.
Hayaan mo na 
– isa pang pribadong solusyon.
Sagot: Karaniwang desisyon: 
, mga pribadong solusyon: 
, .
Hindi ko na dapat maalala ang tungkol sa mga itim... ...dahil lahat ng uri ng sadistikong motibo ay pumasok sa aking isipan at naalala ko ang sikat na photoshop kung saan si Ku Klux Klansmen na nakasuot ng puting robe ay tumatakbo sa buong field pagkatapos ng isang itim na manlalaro ng football. Umupo ako at ngumiti ng tahimik. Alam mo kung gaano ka-distracting...
Ang maraming matematika ay nakakapinsala, kaya isang katulad na huling halimbawa para sa paglutas nito sa iyong sarili.
Halimbawa 6
Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa sistema ng mga linear na equation. 
Nasuri ko na ang pangkalahatang solusyon, ang sagot ay mapagkakatiwalaan. Ang iyong solusyon ay maaaring naiiba sa aking solusyon, ang pangunahing bagay ay ang mga pangkalahatang solusyon ay nag-tutugma.
Maraming mga tao ang malamang na napansin ang isang hindi kasiya-siyang sandali sa mga solusyon: madalas, kapag binabaligtad ang pamamaraang Gauss, kailangan nating mag-tinker sa ordinaryong fraction. Sa pagsasagawa, ito talaga ang kaso kung saan walang mga fraction ay hindi gaanong karaniwan. Maging handa sa pag-iisip at, higit sa lahat, sa teknikal.
Tatalakayin ko ang ilang mga tampok ng solusyon na hindi natagpuan sa mga nalutas na halimbawa.
Ang pangkalahatang solusyon ng system ay maaaring minsan ay may kasamang constant (o constants), halimbawa: . Narito ang isa sa mga pangunahing variable ay katumbas ng isang pare-parehong numero: . Walang kakaiba tungkol dito, nangyayari ito. Malinaw, sa kasong ito, ang anumang partikular na solusyon ay maglalaman ng lima sa unang posisyon.
Bihirang, ngunit may mga sistema kung saan bilang ng mga equation mas dami mga variable. Gumagana ang pamamaraang Gaussian sa pinakamalalang kondisyon; Ang ganitong sistema ay maaaring hindi pare-pareho, maaaring may walang katapusang maraming solusyon, at, kakaiba, maaaring may isang solong solusyon.
Solusyon ng mga linear system algebraic equation(SLAE) ay walang alinlangan ang pinakamahalagang paksa sa linear algebra course. Ang isang malaking bilang ng mga problema mula sa lahat ng sangay ng matematika ay bumaba sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ipinapaliwanag ng mga salik na ito ang dahilan ng artikulong ito. Ang materyal ng artikulo ay pinili at nakabalangkas upang sa tulong nito ay magagawa mo
Maikling paglalarawan ng materyal ng artikulo.
Una, ibibigay namin ang lahat ng kinakailangang mga kahulugan, konsepto at ipakilala ang mga notasyon.
Susunod, isasaalang-alang natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at kung saan ay may natatanging solusyon. Una, tututukan natin ang pamamaraan ng Cramer, pangalawa, ipapakita natin ang pamamaraan ng matrix para sa paglutas ng mga naturang sistema ng mga equation, at pangatlo, susuriin natin ang pamamaraang Gauss (ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable). Upang pagsama-samahin ang teorya, tiyak na malulutas namin ang ilang mga SLAE sa iba't ibang paraan.
Pagkatapos nito, magpapatuloy tayo sa paglutas ng mga sistema ng mga linear algebraic equation pangkalahatang pananaw, kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable o ang pangunahing matrix ng system ay isahan. Bumuo tayo ng Kronecker-Capelli theorem, na nagpapahintulot sa atin na itatag ang compatibility ng mga SLAE. Suriin natin ang solusyon ng mga system (kung magkatugma ang mga ito) gamit ang konsepto ng isang batayang minor ng isang matrix. Isasaalang-alang din natin ang pamamaraang Gauss at ilalarawan nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa.
Tiyak na tatalakayin natin ang istruktura ng pangkalahatang solusyon ng homogenous at inhomogenous na mga sistema ng linear algebraic equation. Ibigay natin ang konsepto ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at ipakita kung paano isinulat ang pangkalahatang solusyon ng isang SLAE gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, tingnan natin ang ilang mga halimbawa.
Sa konklusyon, isasaalang-alang namin ang mga sistema ng mga equation na maaaring bawasan sa mga linear, pati na rin ang iba't ibang mga problema sa solusyon kung saan lumitaw ang mga SLAE.
Pag-navigate sa pahina.
Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang mga variable (p ay maaaring katumbas ng n) ng form
Mga hindi kilalang variable, - coefficients (ilang tunay o kumplikadong mga numero), - libreng termino (real o kumplikadong mga numero din).
Ang form na ito ng pagtatala ng SLAE ay tinatawag coordinate.
SA anyo ng matris Ang pagsulat ng sistemang ito ng mga equation ay may anyo,
saan 
- ang pangunahing matrix ng system, - isang column matrix ng hindi kilalang mga variable, - isang column matrix ng mga libreng termino.
Kung magdaragdag tayo ng matrix-column ng mga libreng termino sa matrix A bilang (n+1)th column, makukuha natin ang tinatawag na pinahabang matrix sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang isang pinahabang matrix ay tinutukoy ng titik T, at ang haligi ng mga libreng termino ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay, 
Paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation tinatawag na isang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable na ginagawang mga pagkakakilanlan ang lahat ng mga equation ng system. Ang matrix equation para sa mga ibinigay na halaga ng mga hindi kilalang variable ay nagiging isang pagkakakilanlan din.
Kung ang isang sistema ng mga equation ay may hindi bababa sa isang solusyon, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong.
Kung ang isang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkasanib.
Kung ang isang SLAE ay may natatanging solusyon, kung gayon ito ay tinatawag tiyak; kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon - hindi sigurado.
Kung ang mga libreng termino ng lahat ng mga equation ng system ay katumbas ng zero 
, pagkatapos ay tinawag ang system homogenous, kung hindi - magkakaiba.
Kung ang bilang ng mga equation ng isang system ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang mga naturang SLAE ay tatawagin elementarya. Ang ganitong mga sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, at sa kaso homogenous na sistema lahat ng hindi kilalang variable ay zero.
Sinimulan naming pag-aralan ang mga ganitong SLAE mataas na paaralan. Kapag nilulutas ang mga ito, kumuha kami ng isang equation, nagpahayag ng isang hindi kilalang variable sa mga tuntunin ng iba at pinalitan ito sa natitirang mga equation, pagkatapos ay kinuha ang susunod na equation, ipinahayag ang susunod na hindi kilalang variable at pinalitan ito sa iba pang mga equation, at iba pa. O ginamit nila ang paraan ng pagdaragdag, iyon ay, nagdagdag sila ng dalawa o higit pang mga equation upang maalis ang ilang hindi kilalang mga variable. Hindi namin tatalakayin nang detalyado ang mga pamamaraang ito, dahil ang mga ito ay mahalagang pagbabago ng pamamaraang Gauss.
Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga elementary system ng linear equation ay ang Cramer method, ang matrix method at ang Gauss method. Ayusin natin sila.
Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation 
kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay iba sa zero, iyon ay, .
Hayaan ang determinant ng pangunahing matrix ng system, at 
- mga determinant ng mga matrice na nakukuha mula sa A sa pamamagitan ng pagpapalit 1st, 2nd, …, nth column ayon sa pagkakabanggit sa column ng mga libreng miyembro: 
Sa notasyong ito, ang mga hindi kilalang variable ay kinakalkula gamit ang mga formula ng paraan ng Cramer bilang 
. Ito ay kung paano ang solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation ay matatagpuan gamit ang Cramer's method.
Halimbawa.
Pamamaraan ni Cramer 
.
Solusyon.
Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo 
. Kalkulahin natin ang determinant nito (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): 
Dahil ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay nonzero, ang system ay may natatanging solusyon na matatagpuan sa pamamaraan ni Cramer.
Bumuo tayo at kalkulahin ang mga kinakailangang determinant 
(nakukuha namin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column sa matrix A ng column ng mga free terms, ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa pangalawang column ng column ng free terms, at sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikatlong column ng matrix A ng column ng libreng terms) : 
Paghahanap ng mga hindi kilalang variable gamit ang mga formula 
:
Sagot:
Ang pangunahing kawalan ng pamamaraan ni Cramer (kung matatawag itong disadvantage) ay ang pagiging kumplikado ng pagkalkula ng mga determinant kapag ang bilang ng mga equation sa system ay higit sa tatlo.
Hayaang ibigay ang isang sistema ng mga linear algebraic equation sa anyong matrix, kung saan ang matrix A ay may dimensyon n ng n at ang determinant nito ay nonzero.
Dahil , ang matrix A ay invertible, iyon ay, mayroong isang inverse matrix. Kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa, makakakuha tayo ng formula para sa paghahanap ng matrix-column ng mga hindi kilalang variable. Ito ay kung paano namin nakuha ang isang solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method.
Halimbawa.
Lutasin ang sistema ng mga linear na equation pamamaraan ng matrix.
Solusyon.
Isulat muli natin ang sistema ng mga equation sa anyong matrix: 
kasi
pagkatapos ay ang SLAE ay maaaring malutas gamit ang matrix method. Gamit ang inverse matrix, ang solusyon sa sistemang ito ay matatagpuan bilang 
.
Bumuo tayo ng inverse matrix gamit ang isang matrix mula sa algebraic na pagdaragdag ng mga elemento ng matrix A (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): 
Ito ay nananatiling kalkulahin ang matrix ng hindi kilalang mga variable sa pamamagitan ng pagpaparami ng inverse matrix 
sa isang matrix-column ng mga libreng miyembro (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): 
Sagot:
o sa ibang notasyon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Ang pangunahing problema kapag naghahanap ng mga solusyon sa mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method ay ang pagiging kumplikado ng paghahanap ng inverse matrix, lalo na para sa square matrices ng order na mas mataas kaysa sa ikatlo.
Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng solusyon sa isang sistema ng n linear equation na may n hindi kilalang mga variable 
ang determinant ng pangunahing matrix kung saan ay iba sa zero.
Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss binubuo ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable: una, ang x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation ng system, simula sa pangalawa, pagkatapos x 2 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo, at iba pa, hanggang sa ang hindi kilalang variable na x n na lang ang natitira. sa huling equation. Ang prosesong ito ng pagbabago ng mga equation ng system upang sunud-sunod na alisin ang mga hindi kilalang variable ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gaussian. Pagtapos pasulong na stroke gamit ang Gauss method, x n ay matatagpuan mula sa huling equation, gamit ang halagang ito, x n-1 ay kinakalkula mula sa penultimate equation, at iba pa, x 1 ay matatagpuan mula sa unang equation. Ang proseso ng pagkalkula ng mga hindi kilalang variable kapag lumilipat mula sa huling equation ng system hanggang sa una ay tinatawag kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian.
Ilarawan natin sa madaling sabi ang algorithm para sa pag-aalis ng mga hindi kilalang variable.
Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Tanggalin natin ang hindi kilalang variable x 1 sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, sa pangalawang equation ng system ay idinagdag namin ang una, pinarami ng , sa ikatlong equation idinaragdag namin ang una, pinarami ng , at iba pa, sa ika-n equation idinaragdag namin ang una, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng naturang mga pagbabago ay kukuha ng anyo 
saan at 
.
Narating namin ang parehong resulta kung ipinahayag namin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang resultang expression sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable na x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.
Susunod, nagpapatuloy kami sa katulad na paraan, ngunit sa bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure 
Upang gawin ito, sa ikatlong equation ng system idinagdag namin ang pangalawa, pinarami ng , sa ikaapat na equation idinagdag namin ang pangalawa, pinarami ng , at iba pa, sa ika-n equation idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng naturang mga pagbabago ay kukuha ng anyo 
saan at 
. Kaya, ang variable na x 2 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo.
Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos kami nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure 
Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang pag-unlad ng pamamaraang Gaussian hanggang sa makuha ng sistema ang anyo 
Mula sa sandaling ito sinisimulan natin ang reverse ng Gaussian method: kinakalkula natin ang x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga ng x n nahanap natin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, nahanap natin ang x 1 mula sa unang equation .
Halimbawa.
Lutasin ang sistema ng mga linear na equation Pamamaraan ng Gauss.
Solusyon.
Ibukod natin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang gawin ito, sa magkabilang panig ng pangalawa at pangatlong equation ay idinaragdag namin ang mga kaukulang bahagi ng unang equation, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit: 
Ngayon ay tinanggal namin ang x 2 mula sa ikatlong equation sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kaliwa at kanang bahagi nito sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, na pinarami ng: 
Kinukumpleto nito ang pasulong na stroke ng pamamaraang Gauss, sinisimulan natin ang reverse stroke.
Mula sa huling equation ng nagresultang sistema ng mga equation nakita natin ang x 3: 
Mula sa pangalawang equation makuha namin.
Mula sa unang equation nakita namin ang natitirang hindi kilalang variable at sa gayon ay kumpletuhin ang reverse ng Gauss method.
Sagot:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Sa pangkalahatan, ang bilang ng mga equation ng system p ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable n:
Ang mga naturang SLAE ay maaaring walang mga solusyon, may iisang solusyon, o may walang katapusang maraming solusyon. Nalalapat din ang pahayag na ito sa mga sistema ng mga equation na ang pangunahing matrix ay parisukat at isahan.
Bago maghanap ng solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation, kinakailangan upang maitatag ang pagiging tugma nito. Ang sagot sa tanong kung kailan tugma ang SLAE at kapag hindi tugma ay ibinibigay ng Kronecker–Capelli theorem:
Upang maging pare-pareho ang isang sistema ng mga p equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n), kinakailangan at sapat na ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, iyon ay , Ranggo(A)=Ranggo(T).
Isaalang-alang natin, bilang isang halimbawa, ang aplikasyon ng Kronecker–Capelli theorem upang matukoy ang pagiging tugma ng isang sistema ng mga linear na equation.
Halimbawa.
Alamin kung mayroon ang sistema ng mga linear equation 
mga solusyon.
Solusyon.
. Gamitin natin ang paraan ng bordering menor de edad. Minor ng pangalawang order 
iba sa zero. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito: 
Dahil ang lahat ng mga karatig na menor de edad ng ikatlong order ay katumbas ng zero, ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng dalawa.
Sa turn, ang ranggo ng pinalawig na matrix 
ay katumbas ng tatlo, dahil ang menor de edad ay nasa ikatlong pagkakasunud-sunod 
iba sa zero.
kaya, Rang(A), samakatuwid, gamit ang Kronecker-Capelli theorem, maaari nating tapusin na ang orihinal na sistema ng mga linear na equation ay hindi pare-pareho.
Sagot:
Ang sistema ay walang solusyon.
Kaya, natutunan nating itatag ang hindi pagkakapare-pareho ng isang sistema gamit ang Kronecker–Capelli theorem.
Ngunit paano makahanap ng solusyon sa isang SLAE kung ang pagkakatugma nito ay itinatag?
Upang gawin ito, kailangan namin ang konsepto ng isang batayang menor ng isang matrix at isang teorama tungkol sa ranggo ng isang matrix.
Ang menor sa pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng matrix A, naiiba sa zero, ay tinatawag basic.
Mula sa kahulugan ng isang batayang minor ay sumusunod na ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng ranggo ng matris. Para sa isang non-zero matrix A, maaaring mayroong ilang batayang minor;
Halimbawa, isaalang-alang ang matrix 
.
Ang lahat ng mga third-order na menor de edad ng matrix na ito ay katumbas ng zero, dahil ang mga elemento ng ikatlong hilera ng matrix na ito ay ang kabuuan ng mga katumbas na elemento ng una at ikalawang hanay.
Ang mga sumusunod na second-order minor ay basic, dahil hindi zero ang mga ito 
Mga menor de edad 
ay hindi basic, dahil ang mga ito ay katumbas ng zero.
Teorama ng ranggo ng matrix.
Kung ang ranggo ng isang matrix ng order p by n ay katumbas ng r, kung gayon ang lahat ng row (at column) na elemento ng matrix na hindi bumubuo sa napiling batayang minor ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng katumbas na row (at column) na mga elemento na bumubuo. ang batayang menor.
Ano ang sinasabi sa atin ng matrix rank theorem?
Kung, ayon sa Kronecker–Capelli theorem, naitatag namin ang compatibility ng system, pagkatapos ay pipili kami ng anumang batayang minor ng pangunahing matrix ng system (ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng r), at ibubukod mula sa system ang lahat ng mga equation na ginagawa hindi bumubuo ng napiling batayang menor. Ang SLAE na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng orihinal, dahil ang mga itinapon na equation ay kalabisan pa rin (ayon sa matrix rank theorem, sila ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang equation).
Bilang resulta, pagkatapos itapon ang mga hindi kinakailangang equation ng system, posible ang dalawang kaso.
Kung ang bilang ng mga equation r sa resultang sistema ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ito ay magiging tiyak at ang tanging solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.
Halimbawa.
.
Solusyon.
Ranggo ng pangunahing matrix ng system 
ay katumbas ng dalawa, dahil ang menor de edad ay nasa pangalawang pagkakasunud-sunod 
iba sa zero. Pinalawak na Ranggo ng Matrix 
ay katumbas din ng dalawa, dahil ang tanging ikatlong order na minor ay zero 
at ang pangalawang-order na menor de edad na isinasaalang-alang sa itaas ay iba sa zero. Batay sa Kronecker–Capelli theorem, maaari nating igiit ang pagiging tugma ng orihinal na sistema ng mga linear equation, dahil Rank(A)=Rank(T)=2.
Bilang batayang minor ang kinukuha namin . Ito ay nabuo sa pamamagitan ng mga coefficient ng una at pangalawang equation: 
Ang pangatlong equation ng system ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng batayang menor, kaya hindi namin ito kasama sa system batay sa theorem sa ranggo ng matrix: 
Ito ay kung paano namin nakuha ang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation. Lutasin natin ito gamit ang paraan ng Cramer: 
Sagot:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Kung ang bilang ng mga equation r sa nagresultang SLAE mas kaunting numero hindi kilalang mga variable n, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation ay iniiwan namin ang mga termino na bumubuo sa batayang minor, at inililipat namin ang natitirang mga termino sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may kabaligtaran na tanda.
Ang hindi kilalang mga variable (r ng mga ito) na natitira sa kaliwang bahagi ng mga equation ay tinatawag pangunahing.
Ang mga hindi kilalang variable (may mga n - r na piraso) na nasa kanang bahagi ay tinatawag libre.
Ngayon naniniwala kami na ang mga libreng hindi kilalang variable ay maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga, habang ang mga pangunahing hindi kilalang variable ay ipahahayag sa pamamagitan ng mga libreng hindi kilalang variable sa isang natatanging paraan. Ang kanilang pagpapahayag ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang SLAE gamit ang Cramer method, ang matrix method, o ang Gauss method.
Tingnan natin ito sa isang halimbawa.
Halimbawa.
Lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation 
.
Solusyon.
Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system 
sa pamamagitan ng paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Kunin natin ang 1 1 = 1 bilang non-zero minor ng unang order. Simulan natin ang paghahanap para sa isang hindi zero na menor de edad ng pangalawang order na malapit sa menor de edad na ito: 
Ito ay kung paano namin nakita ang isang non-zero minor ng pangalawang order. Simulan natin ang paghahanap ng non-zero bordering minor ng ikatlong order: 
Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ay tatlo. Ang ranggo ng pinalawig na matrix ay katumbas din ng tatlo, iyon ay, ang sistema ay pare-pareho.
Isinasaalang-alang namin ang natagpuang di-zero na menor sa ikatlong order bilang batayan ng isa.
Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang mga elemento na bumubuo sa batayang minor: 
Iniiwan namin ang mga terminong kasangkot sa batayang minor sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, at inilipat ang natitira na may magkasalungat na mga palatandaan sa kanang bahagi: 
Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable na x 2 at x 5 na mga arbitrary na halaga, ibig sabihin, tinatanggap natin 
, kung saan ang mga arbitrary na numero. Sa kasong ito, kukunin ng SLAE ang form 
Ating lutasin ang nagresultang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation gamit ang paraan ng Cramer: 
Kaya naman, .
Sa iyong sagot, huwag kalimutang magpahiwatig ng mga libreng hindi kilalang variable.
Sagot:
Nasaan ang mga arbitrary na numero.
Ibuod.
Upang malutas ang isang sistema ng pangkalahatang linear algebraic equation, una naming tinutukoy ang pagiging tugma nito gamit ang Kronecker–Capelli theorem. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay napagpasyahan namin na ang sistema ay hindi tugma.
Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay pumili kami ng isang batayang menor at itapon ang mga equation ng sistema na hindi nakikilahok sa pagbuo ng napiling batayang menor.
Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor katumbas ng bilang hindi kilalang mga variable, kung gayon ang SLAE ay may natatanging solusyon, na makikita namin sa anumang paraan na alam namin.
Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi kilalang variable, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system ay iniiwan namin ang mga termino na may pangunahing hindi kilalang mga variable, ilipat ang natitirang mga termino sa kanang bahagi at bigyan ng mga arbitrary na halaga sa ang mga libreng hindi kilalang variable. Mula sa nagresultang sistema ng mga linear equation ay makikita natin ang pangunahing hindi kilalang mga variable gamit ang Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.
Ang Gauss method ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng linear algebraic equation ng anumang uri nang hindi muna sinusubukan ang mga ito para sa consistency. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable ay ginagawang posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa parehong compatibility at incompatibility ng SLAE, at kung mayroong isang solusyon, ginagawang posible na mahanap ito.
Mula sa isang computational point of view, ang Gaussian method ay mas mainam.
Panoorin mo Detalyadong Paglalarawan at sinuri ang mga halimbawa sa artikulong Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.
Sa seksyong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa sabay-sabay na homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng mga linear algebraic equation na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Hayaan muna natin ang mga homogenous na sistema.
Pangunahing sistema ng mga solusyon homogenous system ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang variable ay isang koleksyon ng (n – r) linearly independent solutions ng system na ito, kung saan ang r ay ang order ng batayang minor ng pangunahing matrix ng system.
Kung tinutukoy natin ang mga linearly independent na solusyon ng isang homogenous na SLAE bilang X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ay mga columnar matrice ng dimensyon n sa pamamagitan ng 1) , kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistemang ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vectors ng pangunahing sistema ng mga solusyon na may mga di-makatwirang pare-parehong coefficient C 1, C 2, ..., C (n-r), iyon ay, .
Ano ang ibig sabihin ng terminong pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation (oroslau)?
Ang kahulugan ay simple: ang formula ay nagtatakda ng lahat posibleng solusyon ang orihinal na SLAE, sa madaling salita, kumukuha ng anumang hanay ng mga halaga ng mga di-makatwirang constants C 1, C 2, ..., C (n-r), gamit ang formula makakakuha tayo ng isa sa mga solusyon sa orihinal na homogenous na SLAE.
Kaya, kung makakahanap tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, maaari nating tukuyin ang lahat ng solusyon ng homogenous na SLAE na ito bilang .
Ipakita natin ang proseso ng pagbuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na SLAE.
Pinipili namin ang batayang minor ng orihinal na sistema ng mga linear na equation, ibubukod ang lahat ng iba pang equation mula sa system at ilipat ang lahat ng mga terminong naglalaman ng mga libreng hindi kilalang variable sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may magkasalungat na mga palatandaan. Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga 1,0,0,...,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang elementarya na sistema ng mga linear na equation sa anumang paraan, halimbawa, gamit ang paraan ng Cramer. Magreresulta ito sa X (1) - ang unang solusyon ng pangunahing sistema. Kung bibigyan natin ang mga libreng hindi alam ng mga halaga 0,1,0,0,…,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, makakakuha tayo ng X (2). At iba pa. Kung itatalaga namin ang mga halaga 0.0,…,0.1 sa mga libreng hindi kilalang variable at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, nakukuha namin ang X (n-r) . Sa ganitong paraan, ang isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na SLAE ay bubuo at ang pangkalahatang solusyon nito ay maaaring isulat sa form .
Para sa mga inhomogeneous system ng linear algebraic equation, ang pangkalahatang solusyon ay kinakatawan sa anyo , kung saan ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system, at ang partikular na solusyon ng orihinal na inhomogeneous na SLAE, na nakukuha natin sa pamamagitan ng pagbibigay sa mga libreng hindi alam ng mga halaga 0,0,…,0 at pagkalkula ng mga halaga ng mga pangunahing hindi alam.
Tingnan natin ang mga halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon at ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng linear algebraic equation 
.
Solusyon.
Ang ranggo ng pangunahing matrix ng mga homogenous na sistema ng mga linear na equation ay palaging katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix. Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix gamit ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Bilang isang non-zero minor ng unang order, kinukuha namin ang elemento a 1 1 = 9 ng pangunahing matrix ng system. Hanapin natin ang bordering non-zero minor ng pangalawang order: 
Ang isang menor de edad ng pangalawang order, naiiba sa zero, ay natagpuan. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito sa paghahanap ng hindi zero one: 
Ang lahat ng third-order bordering minors ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang ranggo ng main at extended matrix ay katumbas ng dalawa. Kunin natin . Para sa kalinawan, tandaan natin ang mga elemento ng system na bumubuo nito: 
Ang ikatlong equation ng orihinal na SLAE ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng batayang minor, samakatuwid, maaari itong ibukod: 
Iniiwan namin ang mga terminong naglalaman ng mga pangunahing hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation, at inililipat ang mga terminong may mga libreng hindi alam sa kanang bahagi:
Bumuo tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa orihinal na homogenous na sistema ng mga linear equation. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng SLAE na ito ay binubuo ng dalawang solusyon, dahil ang orihinal na SLAE ay naglalaman ng apat na hindi kilalang variable, at ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor nito ay katumbas ng dalawa. Upang mahanap ang X (1), binibigyan namin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga x 2 = 1, x 4 = 0, pagkatapos ay nakita namin ang mga pangunahing hindi alam mula sa sistema ng mga equation 
.
- 
