Upang maunawaan kung ano ito pangunahing sistema ng pagpapasya maaari kang manood ng video tutorial para sa parehong halimbawa sa pamamagitan ng pag-click. Ngayon ay lumipat tayo sa aktwal na paglalarawan ng lahat ng kinakailangang gawain. Makakatulong ito sa iyo na maunawaan ang kakanyahan ng isyung ito nang mas detalyado.
Kunin natin ang sistemang ito bilang isang halimbawa linear na equation:
Maghanap tayo ng solusyon dito linear na sistema mga equation Upang magsimula sa, kami kailangan mong isulat ang coefficient matrix ng system.
Ibahin natin ang matrix na ito sa isang tatsulok. Sinusulat namin muli ang unang linya nang walang mga pagbabago. At ang lahat ng mga elemento na nasa ilalim ng $a_(11)$ ay dapat gawing zero. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(21)$, kailangan mong ibawas ang una sa pangalawang linya, at isulat ang pagkakaiba sa pangalawang linya. Upang makagawa ng zero sa halip ng elementong $a_(31)$, kailangan mong ibawas ang una sa ikatlong linya at isulat ang pagkakaiba sa ikatlong linya. Upang makagawa ng zero sa halip na elementong $a_(41)$, kailangan mong ibawas ang unang pinarami ng 2 mula sa ikaapat na linya at isulat ang pagkakaiba sa ikaapat na linya. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(31)$, kailangan mong ibawas ang unang pinarami ng 2 mula sa ikalimang linya at isulat ang pagkakaiba sa ikalimang linya. 
Sinusulat namin muli ang una at pangalawang linya nang walang mga pagbabago. At ang lahat ng mga elemento na nasa ilalim ng $a_(22)$ ay dapat gawing zero. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(32)$, kailangan mong ibawas ang pangalawa na pinarami ng 2 mula sa ikatlong linya at isulat ang pagkakaiba sa ikatlong linya. Upang gumawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(42)$, kailangan mong ibawas ang pangalawa na pinarami ng 2 mula sa ikaapat na linya at isulat ang pagkakaiba sa ikaapat na linya. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(52)$, kailangan mong ibawas ang pangalawa na pinarami ng 3 mula sa ikalimang linya at isulat ang pagkakaiba sa ikalimang linya. 
Nakikita natin yan ang huling tatlong linya ay pareho, kaya kung ibawas mo ang pangatlo sa ikaapat at ikalima, magiging zero sila. 
Ayon sa matrix na ito isulat bagong sistema mga equation.
Nakikita natin na mayroon lamang tayong tatlong linearly independent equation, at limang hindi alam, kaya ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay bubuo ng dalawang vectors. Kaya kami kailangan nating ilipat sa kanan ang huling dalawang hindi alam.
Ngayon, nagsisimula kaming ipahayag ang mga hindi alam na nasa kaliwang bahagi sa pamamagitan ng mga nasa kanang bahagi. Magsisimula tayo sa huling equation, una ay nagpapahayag tayo ng $x_3$, pagkatapos ay pinapalitan natin ang resultang resulta sa pangalawang equation at ipahayag ang $x_2$, at pagkatapos ay sa unang equation at dito ipinapahayag natin ang $x_1$. Kaya, ipinahayag namin ang lahat ng hindi alam na nasa kaliwang bahagi sa pamamagitan ng mga hindi alam na nasa kanang bahagi. 
Pagkatapos ay sa halip na $x_4$ at $x_5$, maaari naming palitan ang anumang numero at hanapin ang $x_1$, $x_2$ at $x_3$. Ang bawat lima sa mga numerong ito ang magiging ugat ng ating orihinal na sistema ng mga equation. Upang mahanap ang mga vector na kasama sa FSR kailangan nating palitan ang 1 sa halip na $x_4$, at palitan ang 0 sa halip na $x_5$, hanapin ang $x_1$, $x_2$ at $x_3$, at pagkatapos ay vice versa $x_4=0$ at $x_5=1$.
Layunin ng serbisyo. Ang online na calculator ay idinisenyo upang makahanap ng isang hindi mahalaga at pangunahing solusyon sa SLAE. Ang resultang solusyon ay nai-save sa isang Word file (tingnan ang halimbawang solusyon).
Mga tagubilin. Pumili ng dimensyon ng matrix:
Teorama. Ang isang sistema sa kaso na m=n ay may isang hindi mahalaga na solusyon kung at kung ang determinant ng sistemang ito ay katumbas ng zero.
Teorama. Ang anumang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang system ay isa ring solusyon sa system na iyon.
Kahulugan. Ang hanay ng mga solusyon sa isang sistema ng mga linear homogenous na equation ay tinatawag pangunahing sistema ng mga solusyon, kung ang set na ito ay binubuo ng mga linearly independent na solusyon at anumang solusyon sa system ay isang linear na kumbinasyon ng mga solusyong ito.
Teorama. Kung ang ranggo r ng system matrix ay mas mababa sa bilang n ng mga hindi alam, kung gayon mayroong isang pangunahing sistema ng mga solusyon na binubuo ng (n-r) na mga solusyon.
Halimbawa. Hanapin ang batayan ng sistema ng mga vectors (a 1, a 2,...,a m), ranggo at ipahayag ang mga vectors batay sa base. Kung ang isang 1 =(0,0,1,-1), at 2 =(1,1,2,0), at 3 =(1,1,1,1), at 4 =(3,2,1 ,4), at 5 =(2,1,0,3).
Isulat natin ang pangunahing matrix ng system:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Sa paaralan, ang bawat isa sa atin ay nag-aral ng mga equation at, malamang, mga sistema ng mga equation. Ngunit hindi alam ng maraming tao na may ilang mga paraan upang malutas ang mga ito. Ngayon ay susuriin natin nang detalyado ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng linear algebraic equation, na binubuo ng higit sa dalawang pagkakapantay-pantay.
Ngayon ay kilala na ang sining ng paglutas ng mga equation at ang kanilang mga sistema ay nagmula sa Sinaunang Babylon at Egypt. Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay sa kanilang pamilyar na anyo ay lumitaw pagkatapos ng paglitaw ng pantay na tanda na "=", na ipinakilala noong 1556 ng English mathematician Record. Sa pamamagitan ng paraan, ang sign na ito ay pinili para sa isang kadahilanan: nangangahulugan ito ng dalawang magkatulad na pantay na mga segment. Sa katunayan, walang mas mahusay na halimbawa ng pagkakapantay-pantay.
Ang nagtatag ng modernong mga pagtatalaga ng titik para sa mga hindi alam at mga senyales ng mga degree ay isang Pranses na matematiko Gayunpaman, ang kanyang mga pagtatalaga ay makabuluhang naiiba mula sa mga ngayon. Halimbawa, tinukoy niya ang isang parisukat ng isang hindi kilalang numero na may titik Q (lat. "quadratus"), at isang kubo na may titik C (lat. "cubus"). Ang notasyong ito ay tila awkward ngayon, ngunit sa panahong iyon ito ang pinaka-maiintindihan na paraan upang magsulat ng mga sistema ng linear algebraic equation.
Gayunpaman, ang isang kapintasan sa mga pamamaraan ng solusyon noong panahong iyon ay ang mga mathematician ay isinasaalang-alang lamang ang mga positibong ugat. Ito ay maaaring dahil sa ang katunayan na ang mga negatibong halaga ay wala praktikal na aplikasyon. Sa isang paraan o iba pa, ang mga Italian mathematician na sina Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano at Raphael Bombelli ang unang nagbilang ng mga negatibong ugat noong ika-16 na siglo. A modernong hitsura, ang pangunahing paraan ng solusyon (sa pamamagitan ng discriminant) ay nilikha lamang noong ika-17 siglo salamat sa gawain nina Descartes at Newton.
Noong kalagitnaan ng ika-18 siglo, nakahanap ng bagong paraan ang Swiss mathematician na si Gabriel Cramer para gawing mas madali ang paglutas ng mga sistema ng mga linear equation. Ang pamamaraang ito ay pinangalanan pagkatapos niya at ginagamit pa rin namin ito hanggang ngayon. Ngunit pag-uusapan natin ang pamamaraan ng Cramer sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon ay talakayin natin ang mga linear na equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito nang hiwalay sa system.
Ang mga linear na equation ay ang pinakasimpleng equation na may variable (mga variable). Ang mga ito ay inuri bilang algebraic. nakasulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Kakailanganin nating katawanin ang mga ito sa form na ito kapag nag-compile ng mga system at matrice sa ibang pagkakataon.
Ang kahulugan ng terminong ito ay: ito ay isang hanay ng mga equation na may karaniwang hindi kilalang dami at isang karaniwang solusyon. Bilang isang patakaran, sa paaralan ang lahat ay nalutas ang mga sistema na may dalawa o kahit tatlong equation. Ngunit may mga system na may apat o higit pang mga bahagi. Unawain muna natin kung paano isulat ang mga ito upang maging maginhawang malutas sa hinaharap. Una, ang mga sistema ng linear algebraic equation ay magiging mas maganda kung ang lahat ng mga variable ay isusulat bilang x na may naaangkop na subscript: 1,2,3, at iba pa. Pangalawa, ang lahat ng equation ay dapat dalhin sa canonical form: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.
Matapos ang lahat ng mga hakbang na ito, maaari na nating simulan ang pag-usapan kung paano maghanap ng mga solusyon sa mga sistema ng mga linear na equation. Ang mga matrice ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para dito.
Ang isang matrix ay isang talahanayan na binubuo ng mga hilera at haligi, at sa kanilang intersection ay ang mga elemento nito. Ang mga ito ay maaaring maging partikular na mga halaga o mga variable. Kadalasan, upang ipahiwatig ang mga elemento, ang mga subscript ay inilalagay sa ilalim ng mga ito (halimbawa, isang 11 o isang 23). Ang unang index ay nangangahulugan ng row number, at ang pangalawa - ang column number. Maaaring isagawa ang iba't ibang mga operasyon sa mga matrice, tulad ng anumang iba pang elemento ng matematika. Kaya, maaari mong:
2) I-multiply ang isang matrix sa anumang numero o vector.
3) Transpose: gawing mga column ang mga matrix row, at mga column sa mga row.
4) I-multiply ang mga matrice kung ang bilang ng mga row ng isa sa mga ito ay katumbas ng bilang ng mga column ng isa pa.
Talakayin natin ang lahat ng mga diskarteng ito nang mas detalyado, dahil magiging kapaki-pakinabang ang mga ito sa atin sa hinaharap. Ang pagbabawas at pagdaragdag ng mga matrice ay napakasimple. Dahil kumukuha kami ng mga matrice na may parehong laki, ang bawat elemento ng isang talahanayan ay nauugnay sa bawat elemento ng isa pa. Kaya, idinaragdag namin (ibawas) ang dalawang elementong ito (mahalaga na sila ay nakatayo sa parehong mga lugar sa kanilang mga matrice). Kapag nagpaparami ng matrix sa isang numero o vector, i-multiply mo lang ang bawat elemento ng matrix sa numerong iyon (o vector). Ang transposisyon ay isang napaka-kagiliw-giliw na proseso. Nakakatuwang makita siya minsan totoong buhay, halimbawa, kapag binabago ang oryentasyon ng isang tablet o telepono. Ang mga icon sa desktop ay kumakatawan sa isang matrix, at kapag nagbago ang posisyon, ito ay lumilipat at nagiging mas malawak, ngunit bumababa sa taas.
Tingnan natin ang isa pang proseso tulad ng: Bagama't hindi natin ito kakailanganin, magiging kapaki-pakinabang pa rin na malaman ito. Maaari mo lamang i-multiply ang dalawang matrice kung ang bilang ng mga column sa isang table ay katumbas ng bilang ng mga row sa kabilang table. Ngayon kunin natin ang mga elemento ng isang hilera ng isang matrix at ang mga elemento ng kaukulang column ng isa pa. I-multiply natin ang mga ito sa isa't isa at pagkatapos ay idagdag ang mga ito (iyon ay, halimbawa, ang produkto ng mga elemento a 11 at a 12 sa b 12 at b 22 ay magiging katumbas ng: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Kaya, ang isang elemento ng talahanayan ay nakuha, at ito ay napunan pa gamit ang isang katulad na pamamaraan.
Ngayon ay maaari nating simulan na isaalang-alang kung paano nalulutas ang isang sistema ng mga linear na equation.
Ang paksang ito ay nagsisimulang talakayin sa paaralan. Alam namin ang konsepto ng "isang sistema ng dalawang linear equation" at alam namin kung paano lutasin ang mga ito. Ngunit paano kung ang bilang ng mga equation ay higit sa dalawa? Makakatulong ito sa atin
Siyempre, maginhawang gamitin ang pamamaraang ito kung gagawa ka ng matrix sa labas ng system. Ngunit hindi mo kailangang baguhin ito at lutasin ito sa dalisay nitong anyo.
Kaya, paano malulutas ng pamamaraang ito ang sistema ng mga linear na Gaussian equation? Sa pamamagitan ng paraan, kahit na ang pamamaraang ito ay ipinangalan sa kanya, natuklasan ito noong sinaunang panahon. Iminumungkahi ni Gauss ang mga sumusunod: upang magsagawa ng mga operasyon na may mga equation upang tuluyang mabawasan ang buong set sa isang stepwise na anyo. Iyon ay, ito ay kinakailangan na mula sa itaas hanggang sa ibaba (kung inayos nang tama) mula sa unang equation hanggang sa huling hindi kilalang bumababa. Sa madaling salita, kailangan nating tiyakin na nakukuha natin, sabihin nating, tatlong equation: sa una ay may tatlong hindi alam, sa pangalawa ay dalawa, sa pangatlo ay may isa. Pagkatapos, mula sa huling equation ay makikita natin ang unang hindi alam, palitan ang halaga nito sa pangalawa o unang equation, at pagkatapos ay hanapin ang natitirang dalawang variable.
Upang makabisado ang pamamaraang ito, mahalagang magkaroon ng mga kasanayan sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice, at kailangan mo ring makahanap ng mga determinant. Samakatuwid, kung gagawin mo ang lahat ng ito nang hindi maganda o hindi mo alam kung paano, kailangan mong matuto at magsanay.
Ano ang kakanyahan ng pamamaraang ito, at kung paano ito gagawin upang makuha ang isang sistema ng mga linear na Cramer equation? Napakasimple ng lahat. Dapat tayong bumuo ng isang matrix ng numerical (halos palagi) na mga coefficient ng isang sistema ng linear algebraic equation. Upang gawin ito, kukunin lang namin ang mga numero sa harap ng mga hindi alam at ayusin ang mga ito sa isang talahanayan sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito sa system. Kung mayroong isang "-" sign sa harap ng numero, pagkatapos ay isulat namin ang isang negatibong koepisyent. Kaya, pinagsama-sama namin ang unang matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam, hindi kasama ang mga numero pagkatapos ng pantay na mga palatandaan (natural, ang equation ay dapat na bawasan sa canonical form, kapag ang numero lamang ang nasa kanan, at ang lahat ng hindi alam na may mga coefficient ay nasa ang kaliwa). Pagkatapos ay kailangan mong lumikha ng higit pang mga matrice - isa para sa bawat variable. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang bawat column ng mga coefficient sa unang matrix sa turn ng isang column ng mga numero pagkatapos ng equal sign. Kaya, nakakakuha kami ng ilang mga matrice at pagkatapos ay hanapin ang kanilang mga determinant.
Pagkatapos naming mahanap ang mga determinant, ito ay isang maliit na bagay. Mayroon kaming paunang matrix, at mayroong ilang mga resultang matrice na tumutugma sa iba't ibang mga variable. Upang makakuha ng mga solusyon sa system, hinahati namin ang determinant ng resultang talahanayan sa determinant ng unang talahanayan. Ang resultang numero ay ang halaga ng isa sa mga variable. Katulad nito, nahanap namin ang lahat ng hindi alam.
Mayroong ilang higit pang mga pamamaraan para sa pagkuha ng mga solusyon sa mga sistema ng mga linear na equation. Halimbawa, ang tinatawag na Gauss-Jordan method, na ginagamit upang makahanap ng mga solusyon sa system quadratic equation at nauugnay din sa paggamit ng mga matrice. Mayroon ding pamamaraang Jacobi para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Ito ang pinakamadaling iakma sa isang computer at ginagamit sa pag-compute.
Karaniwang nangyayari ang pagiging kumplikado kapag ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable. Pagkatapos ay masasabi nating sigurado na ang sistema ay hindi pare-pareho (iyon ay, walang mga ugat), o ang bilang ng mga solusyon nito ay may posibilidad na infinity. Kung mayroon tayong pangalawang kaso, kailangan nating isulat ang pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga linear na equation. Maglalaman ito ng hindi bababa sa isang variable.
Dito na tayo sa dulo. Ibuod natin: nalaman natin kung ano ang isang sistema at isang matrix, at natutunan kung paano maghanap ng pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation. Bilang karagdagan, isinasaalang-alang namin ang iba pang mga pagpipilian. Nalaman namin kung paano lutasin ang isang sistema ng mga linear equation: ang Gauss method at pinag-usapan ang mga kumplikadong kaso at iba pang paraan ng paghahanap ng mga solusyon.
Sa katunayan, ang paksang ito ay mas malawak, at kung nais mong maunawaan ito nang mas mabuti, inirerekomenda namin ang pagbabasa ng mas espesyal na literatura.
Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho at may maliit na solusyon 
. Para umiral ang isang nontrivial na solusyon, kinakailangan na ang ranggo ng matrix 
ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam:
.
Pangunahing sistema ng mga solusyon
homogenous na sistema 
tumawag sa isang sistema ng mga solusyon sa anyo ng mga vector ng haligi 
, na tumutugma sa kanonikal na batayan, i.e. batayan kung saan arbitrary constants 
ay halili na itinakda katumbas ng isa, habang ang iba ay nakatakda sa zero.
Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistema ay may anyo:
saan 
- di-makatwirang mga pare-pareho. Sa madaling salita, ang pangkalahatang solusyon ay isang linear na kumbinasyon ng pangunahing sistema ng mga solusyon.
Kaya, ang mga pangunahing solusyon ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang solusyon kung ang mga libreng hindi alam ay binibigyan ng halaga ng isa, na itinatakda ang lahat ng iba ay katumbas ng zero.
Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema
Tanggapin natin , pagkatapos ay makakakuha tayo ng solusyon sa form:
Bumuo tayo ngayon ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon:
.
Ang pangkalahatang solusyon ay isusulat bilang:
Ang mga solusyon ng isang sistema ng homogenous linear equation ay may mga sumusunod na katangian:
Sa madaling salita, ang anumang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ay muling isang solusyon.
Ang paglutas ng mga sistema ng linear equation ay interesado sa mga mathematician sa loob ng ilang siglo. Ang mga unang resulta ay nakuha noong ika-18 siglo. Noong 1750, inilathala ni G. Kramer (1704–1752) ang kanyang mga gawa sa mga determinant ng square matrices at nagmungkahi ng algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix. Noong 1809, binalangkas ni Gauss ang isang bagong paraan ng solusyon na kilala bilang paraan ng pag-aalis.
Ang pamamaraang Gauss, o ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, ay binubuo sa katotohanan na, gamit ang elementarya na pagbabago, ang isang sistema ng mga equation ay binabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang hakbang (o triangular) na anyo. Ginagawang posible ng mga ganitong sistema na magkakasunod na mahanap ang lahat ng hindi alam sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod.
Ipagpalagay natin na sa system (1) 
(na laging posible).
(1)
Pagpaparami ng unang equation nang paisa-isa sa tinatawag na angkop na mga numero
at pagdaragdag ng resulta ng multiplikasyon sa mga katumbas na equation ng system, makakakuha tayo ng katumbas na sistema kung saan sa lahat ng equation maliban sa una ay walang malalaman X 1
(2)
I-multiply natin ngayon ang pangalawang equation ng system (2) sa mga angkop na numero, sa pag-aakalang iyon 
,
at pagdaragdag nito sa mga mas mababa, inaalis namin ang variable 
mula sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo.
Ang pagpapatuloy ng prosesong ito, pagkatapos 
hakbang na nakukuha natin:
(3)
Kung hindi bababa sa isa sa mga numero 
ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang katumbas na pagkakapantay-pantay ay magkasalungat at ang sistema (1) ay hindi pare-pareho. Sa kabaligtaran, para sa anumang pinagsamang sistema ng numero 
ay katumbas ng zero. Numero 
ay walang iba kundi ang ranggo ng matrix ng system (1).
Ang paglipat mula sa system (1) hanggang (3) ay tinatawag dumiretso Gauss method, at paghahanap ng mga hindi alam mula sa (3) - sa kabaligtaran .
Magkomento : Mas madaling magsagawa ng mga pagbabagong-anyo hindi sa mga equation mismo, ngunit sa pinahabang matrix ng system (1).
Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema
.
Isulat natin ang pinahabang matrix ng system:
.
Idagdag natin ang una sa mga linyang 2,3,4, na pinarami ng (-2), (-3), (-2) ayon sa pagkakabanggit:
.
Pagpalitin natin ang row 2 at 3, pagkatapos ay sa resultang matrix idagdag ang row 2 sa row 4, na pinarami ng 
:
.
Idagdag sa linya 4 na linya 3 na pinarami ng 
:
.
Obvious naman yun 
, samakatuwid, ang sistema ay pare-pareho. Mula sa nagresultang sistema ng mga equation
mahanap namin ang solusyon sa pamamagitan ng reverse substitution:
,
,
,
.
Halimbawa 2. Maghanap ng solusyon sa system:
.
Obvious naman na inconsistent ang system, kasi 
, A 
.
Mga kalamangan ng pamamaraang Gauss :
Hindi gaanong labor intensive kaysa sa pamamaraan ni Cramer.
Hindi malabo na itinatatag ang pagiging tugma ng system at nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng solusyon.
Ginagawang posible upang matukoy ang ranggo ng anumang mga matrice.
Hayaan M 0 – set ng mga solusyon sa isang homogenous system (4) ng mga linear equation.
Kahulugan 6.12. Mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay tinatawag pangunahing hanay ng mga solusyon(pinaikling FNR), kung
1) mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p linearly independent (ibig sabihin, wala sa kanila ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba);
2) anumang iba pang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga solusyon Sa 1 ,Sa 2 , …, may p.
Tandaan na kung Sa 1 ,Sa 2 , …, may p– anumang f.n.r., pagkatapos ay ang expression k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + … + k p× may p maaari mong ilarawan ang buong set M 0 solusyon sa system (4), kaya ito ay tinatawag na pangkalahatang pagtingin sa solusyon ng system (4).
Teorama 6.6. Anumang hindi natukoy homogenous na sistema Ang mga linear equation ay may pangunahing hanay ng mga solusyon.
Ang paraan upang mahanap ang pangunahing hanay ng mga solusyon ay ang mga sumusunod:
Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation;
Build ( n – r) bahagyang mga solusyon ng sistemang ito, habang ang mga halaga ng mga libreng hindi alam ay dapat bumuo ng isang identity matrix;
Isulat pangkalahatang anyo mga solusyon na kasama sa M 0 .
Halimbawa 6.5. Maghanap ng pangunahing hanay ng mga solusyon sa sumusunod na sistema:
Solusyon. Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa sistemang ito.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Mayroong limang hindi alam sa sistemang ito ( n= 5), kung saan mayroong dalawang pangunahing hindi alam ( r= 2), mayroong tatlong libreng hindi alam ( n – r), iyon ay, ang pangunahing hanay ng solusyon ay naglalaman ng tatlong mga vector ng solusyon. Buuin natin sila. Meron kami x 1 at x 3 - pangunahing hindi alam, x 2 , x 4 , x 5 – libreng hindi alam
Mga halaga ng mga libreng hindi alam x 2 , x 4 , x 5 bumuo ng identity matrix E ikatlong order. Nakuha na ang mga vectors Sa 1 ,Sa 2 , Sa 3 anyo f.n.r. ng sistemang ito. Kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng homogenous na sistemang ito ay magiging M 0 = {k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + k 3× Sa 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Alamin natin ngayon ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng mga nonzero na solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, sa madaling salita, ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon.
Ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay may mga non-zero na solusyon, iyon ay, hindi tiyak kung
1) ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;
2) sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;
3) kung sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero (i.e. | A| = 0).
Halimbawa 6.6. Sa anong halaga ng parameter a homogenous na sistema ng mga linear equation 
may mga non-zero na solusyon?
Solusyon. Buuin natin ang pangunahing matrix ng sistemang ito at hanapin ang determinant nito: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero sa a = –4.
Sagot: –4.
7. Arithmetic n-dimensional na espasyo ng vector
Pangunahing Konsepto
Sa mga nakaraang seksyon ay nakatagpo na natin ang konsepto ng isang hanay ng mga tunay na numero na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay isang row matrix (o column matrix) at isang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation na may n hindi kilala. Ang impormasyong ito ay maaaring ibuod.
Kahulugan 7.1. n-dimensional na arithmetic vector tinatawag na isang ordered set ng n tunay na mga numero.
ibig sabihin A= (a 1 , a 2 , …, a n), kung saan a iО R, i = 1, 2, …, n– pangkalahatang view ng vector. Numero n tinawag sukat mga vector, at mga numero a i ay tinatawag na kanya mga coordinate.
Halimbawa: A= (1, –8, 7, 4, ) – limang-dimensional na vector.
All set n-dimensional vectors ay karaniwang denoted bilang Rn.
Kahulugan 7.2. Dalawang vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ng parehong dimensyon pantay kung at kung magkapantay lamang ang kanilang mga katumbas na coordinate, i.e. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Kahulugan 7.3.Halaga dalawa n-dimensional na mga vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ay tinatawag na vector a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).
Kahulugan 7.4. Ang trabaho totoong numero k sa vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) ay tinatawag na vector k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)
Kahulugan 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) ay tinatawag sero(o null vector).
Madaling i-verify na ang mga aksyon (operasyon) ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero ay may mga sumusunod na katangian: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Kahulugan 7.6. Isang grupo ng Rn sa mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vectors at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero na ibinigay dito ay tinatawag arithmetic n-dimensional na vector space.
