Mga uso at uso sa fashion. Mga accessories, sapatos, kagandahan, hairstyle

Isaalang-alang natin ang mga algorithm para sa pagbuo ng mga geometric na modelo ng mga pinakakaraniwang katawan, na kadalasang ginagamit bilang mga pangunahing elemento kapag gumagawa ng mas kumplikadong mga modelo.

4.4.1. Konstruksyon ng regular na polyhedra

Ang regular na polyhedra (Platonic solids) ay convex polyhedra na ang lahat ng mga mukha ay regular na polygons at lahat ng polyhedral na anggulo sa vertices ay pantay-pantay sa isa't isa.

Mayroong eksaktong 5 regular na polyhedra: regular na tetrahedron, hexahedron (kubo), octahedron, dodecahedron at icosahedron. Ang kanilang mga pangunahing katangian ay ibinibigay sa sumusunod na talahanayan. 4.2.

Ang mga mukha, gilid at vertex ay nauugnay sa isa't isa sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay na Hey-

G + B = P +2.

Para sa buong paglalarawan ng isang regular na polyhedron dahil sa convexity nito, sapat na upang ipahiwatig ang isang paraan para sa paghahanap ng lahat ng vertices nito. Ang isang kubo (hexahedron) ay napakadaling buuin. Ipakita natin kung paano binuo ang iba pang mga katawan.

Upang makabuo ng isang tetrahedron, ang isang kubo ay unang itinayo; Kaya, ang mga vertices ng isang tetrahedron ay anumang 4 na vertices ng isang cube na hindi magkapares na katabi ng alinman sa mga gilid nito (Fig. 4.1).

kanin. 4.1. Paggawa ng cube, tetrahedron at octahedron

Upang makabuo ng isang octahedron, isang kubo ang unang itinayo. Ang mga vertex ng octahedron ay ang mga sentro ng grabidad ng mga mukha ng kubo (Larawan 4.1), na nangangahulugan na ang bawat vertex ng octahedron ay ang arithmetic mean ng mga coordinate ng parehong pangalan ng apat na vertices na bumubuo sa mukha nito ng ang kubo.

4.4.2. Konstruksyon ng icosahedron

Ang icosahedron at dodecahedron ay maaari ding gawin gamit ang isang kubo. Gayunpaman, mayroong isang mas simpleng paraan upang itayo ito:

- dalawang bilog ng unit radius ay itinayo sa layo na h=1;

- Ang bawat isa sa mga bilog ay nahahati sa 5 pantay na bahagi, tulad ng ipinapakita sa Fig. 4.2.

- gumagalaw sa mga bilog na pakaliwa, binibilang namin ang napiling 10 puntos sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng anggulo ng pag-ikot at pagkatapos ay sunud-sunod, alinsunod sa pag-numero, ikonekta ang mga puntong ito sa mga tuwid na segment;

- pagkatapos, sa pamamagitan ng paghigpit sa mga puntos na napili sa bawat isa sa mga bilog na may mga chord, nakakuha kami bilang isang resulta ng isang sinturon ng 10 regular na tatsulok;

- Upang makumpleto ang pagtatayo ng icosahedron, pumili kami ng dalawang punto sa Z axis upang ang haba ng mga gilid na gilid ng pentagonal pyramids na may mga vertices sa mga punto at base na ito na tumutugma sa mga itinayong pentagons ay katumbas ng haba ng mga gilid ng sinturon ng mga tatsulok. Hindi mahirap makita na nangangailangan ito

Mayroon kaming mga puntos na may mga applicates ± 5 2.

Bilang resulta ng inilarawan na mga konstruksyon, nakakuha kami ng 12 puntos. Ang convex polyhedron na may mga vertices sa mga puntong ito ay magkakaroon ng 20 mukha, bawat isa ay isang regular na tatsulok, at lahat ng

polyhedral angles sa vertices ay magiging katumbas ng bawat isa. Kaya, ang resulta ng inilarawan na konstruksiyon ay isang icosahedron.

4.4.3. Konstruksyon ng dodecahedron at globo

Upang makabuo ng isang dodecahedron, gagamitin namin ang pag-aari ng duality: ang mga vertices ng dodecahedron ay ang mga sentro (ng grabidad) ng mga tatsulok na mukha ng icosahedron. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng bawat vertex ng dodecahedron ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkalkula ng arithmetic average ng mga kaukulang coordinate ng vertex ng mga mukha ng icosahedron.

Upang makabuo ng isang modelo ng isang globo, ginagamit namin ang naunang ginawang icosahedron. Tandaan na ang icosahedron ay isa nang modelo ng isang globo: lahat ng vertices ay nasa ibabaw nito, ang lahat ng mga mukha ay equilateral triangles. Ang tanging disbentaha nito ay ang maliit na bilang ng mga tatsulok na mukha upang maihatid ang makinis na ibabaw ng globo. Upang mapataas ang antas ng detalye sa modelo, ginagamit ang sumusunod na recursive procedure:

ang bawat tatsulok na mukha ay nahahati sa apat na bahagi, ang mga bagong vertices ay kinuha sa gitna ng mga gilid ng mukha, tulad ng ipinapakita sa Fig. 4.3.;

kanin. 4.3. Icosahedron mukha

ang mga bagong vertex ay inaasahang papunta sa ibabaw ng globo;

Ang mga hakbang na ito ay paulit-ulit hanggang sa makuha ang kinakailangang antas ng detalye sa ibabaw ng globo.

Ang itinuturing na mga algorithm ay nagbibigay-daan sa amin upang makuha ang mga parameter ng mga pangunahing geometric na modelo. Sa katulad na paraan, maaari kang bumuo ng mga modelo ng isang silindro, torus at iba pang mga katawan.

4.5. Mga polynomial parametric na anyo ng representasyon

Ang mga polygonal na modelo ay may isang makabuluhang disbentaha: upang makakuha ng isang makatotohanang modelo ng mga katawan na may kumplikadong mga hugis, sampu-sampung libong polygon ang kinakailangan. Ang mga makatotohanang eksena ay mayroon nang daan-daang libong polygon. Ang isang paraan upang makakuha ng mga de-kalidad na modelo na may makabuluhang pagbawas sa pag-compute ay ang paggamit ng mga polynomial parametric form, na gumagamit ng polygonal mesh para lamang makakuha ng mga control point.

4.5.1. Mga anyo ng representasyon ng mga kurba at ibabaw

May tatlong pangunahing anyo ng matematikal na representasyon ng mga kurba at ibabaw: tahasan, implicit, parametric.

Ang tahasang anyo ng pagtukoy ng curve sa dalawang-dimensional na espasyo ay isang equation, sa kaliwang bahagi nito ay ang dependent variable, at sa kanang bahagi ay isang function, ang argumento kung saan ay ang independent variable.

Implicit form sa two-dimensional space f(x ,y) =0. Sa parametric form sa tatlong-dimensional na espasyo:

curve equation - x = x(u), y = y(u), z = z(u);

equation sa ibabaw - x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).

Ang isa sa mga pangunahing bentahe ng representasyon ng parametric form (PF) ay ang pagkakapareho nito sa dalawa at tatlong-dimensional na espasyo. Ang PF ay, una, ang pinaka-kakayahang umangkop, at pangalawa, lumalaban sa anumang mga pagkakaiba-iba sa hugis at oryentasyon ng mga bagay, na ginagawang mas maginhawa sa matematikal na suporta ng mga computer graphics system.

Parametric polynomial curves at mga ibabaw

Mayroong maraming mga paraan upang kumatawan sa mga bagay, ngunit kami ay tumutuon sa mga polynomial, i.e. lahat ng mga function ng parameter na u kapag naglalarawan ng mga kurba o mga parameter na u at v kapag naglalarawan ng mga ibabaw ay mga polynomial.

Isaalang-alang ang equation ng curve:

p (u )= [ x (u )y (u )z (u )] T .

i = 0 j = 0

Ang isang polynomial parametric curve ng degree n ay (Madalas na ginagamit ng OpenGL ang terminong "order" ng isang polynomial, na may value na 1 higit pa sa degree ng polynomial)

Ang isang matrix (c k), na binubuo ng n +1 na mga haligi, ay pinagsasama ang mga koepisyent ng mga polynomial para sa mga bahaging p; nangangahulugan ito na mayroon tayong 3(n +1) na antas ng kalayaan sa pagpili ng mga coefficient para sa isang partikular na curve p.

Maaaring matukoy ang curve sa anumang pagitan ng pagbabago sa parameter na u, ngunit nang hindi nawawala ang pangkalahatan ng paghatol, maaari nating ipagpalagay na 0≤ u ≤ 1, i.e. ang curve segment ay tinutukoy.

Ang parametric polynomial surface ay inilalarawan ng sumusunod na equation:

x(u, v)

p(u, v) = y(u, v) = ∑∑ n m cij ui vj .

z(u, v)

Kaya, upang matukoy ang isang tiyak na ibabaw p (u, v), kinakailangan upang tukuyin ang 3(n +1)(m +1) coefficients. Sa pagsusuri, maaari kang kumuha ng n=m, at baguhin ang mga parameter u at v sa pagitan 0≤ u, v ≤ 1 at matukoy ang bahagi ng ibabaw (surface patch) na ipinapakita sa Fig. 4.4.

kanin. 4.4. Kahulugan ng isang bahagi ng isang ibabaw

Ang isang lugar sa ibabaw na tinukoy sa paraang ito ay maaaring ituring bilang isang limitasyon kung saan ang isang hanay ng mga kurba ay nabubuo kapag ang isa sa mga parameter u o v ay tumatakbo sa mga halaga sa pagitan nito, habang ang isa ay nananatiling pare-pareho.

malinaw na kahulugan. Sa hinaharap, tutukuyin muna natin ang mga polynomial curve at pagkatapos ay gagamitin ang mga ito upang bumuo ng isang ibabaw na may katulad na mga katangian.

Tandaan natin ang mga pakinabang ng paggamit ng polynomial parametric form ng representasyon:

ang kakayahang lokal na kontrolin ang hugis ng isang bagay;

kinis at pagpapatuloy sa matematikal na kahulugan;

posibilidad ng analytical na pagkalkula ng mga derivatives;

paglaban sa maliliit na kaguluhan;

ang kakayahang gumamit ng medyo simple, at samakatuwid ay mataas ang bilis, mga pamamaraan ng toning.

4.5.2. Parametrically tinukoy na cubic curves

Kung gagamit ka ng napakataas na degree na polynomial, magkakaroon ng higit na "kalayaan", ngunit mangangailangan din ito ng higit pang mga kalkulasyon kapag kinakalkula ang mga coordinate ng mga puntos. Gayundin, habang tumataas ang antas ng kalayaan, tumataas ang panganib ng pagkakaroon ng kulot na kurba. Sa kabilang banda, ang pagpili ng polynomial na masyadong mababa ang isang degree ay magbibigay sa amin ng napakakaunting mga parameter at hindi magagawang i-reproduce ang hugis ng curve. Solusyon - ang curve ay nahahati sa mga segment na inilalarawan ng mga low degree polynomial.

Ang isang cubic polynomial curve ay maaaring ilarawan bilang mga sumusunod:

p(u) = c0 + c1 u+ c2 u2 + c3 u3 = ∑ uk ck = uT c,

Sa mga expression na ito, ang c ay kumakatawan sa coefficient matrix ng polynomial. Ito ay eksakto kung ano ang kailangang kalkulahin mula sa isang ibinigay na grupo ng mga reference point. Susunod, isasaalang-alang namin ang iba't ibang mga klase ng cubic curves, na naiiba sa likas na katangian ng kanilang paghahambing sa mga reference point. Para sa bawat uri, isang sistema ng 12 equation na may 12 na hindi alam ay mabubuo, ngunit dahil parametric function para sa mga bahagi x,y,z independyente, ang 12 equation na ito ay hahatiin sa tatlong grupo ng 4 na equation na may 4 na hindi alam.

Ang pagkalkula ng mga halaga ng koepisyent ng isang tiyak na uri ng cubic curve ay isinasagawa gamit ang isang naibigay na grupo ng mga reference point na naaayon sa ilang mga halaga ng independiyenteng parameter

u. Ang data na ito ay maaaring magkaroon ng anyo ng mga hadlang na nangangailangan ng curve na dumaan sa ilan sa mga ibinigay na punto at sa paligid ng iba pang mga punto. Bilang karagdagan, ang mga data na ito ay nagpapataw ng ilang mga kundisyon sa kinis ng curve, halimbawa, ang pagpapatuloy ng mga derivatives sa mga ibinigay na punto ng conjugation ng mga indibidwal na segment. Ang mga curve ng iba't ibang klase na nabuo sa parehong mga reference point ay maaaring magkaiba nang malaki.

4.5.3. Interpolation

Hayaang mayroong apat na reference point sa tatlong-dimensional na espasyo: p 0 , p 1 , p 2 at p 3 . Ang bawat punto ay kinakatawan ng isang triple ng mga coordinate nito:

p k= [ x ky kz k] T .

Hanapin natin ang mga elemento ng coefficient matrix c na ang polynomial p(u)=u T c ay dadaan sa ibinigay na apat na reference point.

Solusyon. Mayroong apat na puntos, gumawa kami ng 12 equation na may 12 hindi alam - mga elemento ng matrixc. Ipinapalagay namin na ang mga halaga u k (k= 0.1,2.3) ay ibinahagi nang pantay sa pagitan, ibig sabihin, u= 0.1/3.2/3.1. Nakukuha namin ang mga equation:

Isulat natin ang mga equation na ito sa anyong matrix: p=AC,

p = [ p 0p 1p 2p 3] T

Suriin natin ang matrix A. Kung bibigyang-kahulugan natin ang p at c bilang mga columnar matrice ng 12 elemento, kung gayon ang panuntunan ng pagpaparami ng matrix ay hindi masusunod. Ngunit maaari nating isaalang-alang ang p at c bilang mga column matrice ng 4 na elemento, na ang bawat isa ay isang row matrix. Pagkatapos, bilang isang resulta ng produkto, nakakakuha kami ng isang elemento ng parehong uri ng mga elemento ng column matrix p. Ang matrix ay hindi isahan, maaari itong baligtarin at makuha ang batayan ng impormasyon

terpolation matrix:

Ang pagkakaroon ng mga halaga ng M I, maaari mong kalkulahin ang mga kinakailangang halaga ng mga coefficient c = M I / p.

Kung ang curve ay tinukoy hindi sa pamamagitan ng 4, ngunit sa pamamagitan ng m reference point, pagkatapos ito ay maaaring kinakatawan ng isang interpolation polynomial ng (m -1) order (kalkulahin ang 3 × m coefficients gamit ang isang katulad na pamamaraan). Magagawa mo ito nang iba - isaalang-alang ang curve na ito na binubuo ng ilang mga segment, na ang bawat isa ay tinukoy ng isa pang pangkat ng 4 na puntos. Ang pagpapatuloy ay maaaring matiyak sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa huling punto ng suporta ng nakaraang grupo upang maging unang punto ng suporta ng susunod na grupo. Magiging pareho ang mga matrice M I sa bawat segment, dahil u . Ngunit sa kasong ito, ang mga function ng derivatives na may paggalang sa pa-

Ang metro ay sasailalim sa pahinga sa mga junction point.

4.5.4. Blending functions (polynomial weighting function ng control point)

Suriin natin ang kinis ng interpolation polynomial curves. Upang gawin ito, muling isinulat namin ang dating nagmula na mga relasyon sa isang bahagyang binagong anyo:

p(u) = uT с= uT MI p.

Ang relasyon na ito ay maaaring isulat bilang: p (u) = b (u) T p,

b(u) = MI T u,

mayroong isang column matrix ng apat polynomial mixing function

pinaghalong polynomial:

b (u )= [ b 0 (u )b 1 (u )b 2 (u )b 3 (u )] T .

Sa bawat pag-andar ng paghahalo, ang polynomial ay kubiko. Ang pagpapahayag ng p(u) bilang kabuuan ng paghahalo ng mga polynomial, nakukuha natin ang:

p (u )= b 0 (u )p 0 + b 1 (u )p 1 + b 2 (u )p 2 + b 3 (u )p 3 = ∑ b i (u )p i .

i= 0

Mula sa relasyong ito, sinusunod na ang polynomial mixing function ay nagpapakilala sa kontribusyon na ginawa ng bawat reference point, at sa gayon ay ginagawang posible na tantiyahin kung gaano kalaki ang pagbabago sa posisyon ng isang partikular na reference point na makakaapekto sa hugis ng huling kurba. Analytical expression para sa kanila:

b 0 (u )= − 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 )(u − 1),b 1 (u )= 27 2 u (u − 2 3 )(u − 1),

b 2 (u )= − 27 2 u (u − 1 3 )(u − 1),b 3 (u )= 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 ) .

kasi Ang lahat ng mga zero ng mga function ay namamalagi sa pagitan, kung gayon ang kanilang mga halaga ay maaaring magbago nang malaki sa agwat na ito, at ang mga pag-andar mismo ay hindi monotoniko (Larawan 4.5.). Ang mga katangiang ito ay sumusunod sa katotohanan na ang interpolation curve ay dapat dumaan sa mga reference point, at hindi sa kanilang agarang paligid. Ang mahinang kinis ng curve at ang kawalan ng continuity ng mga derivatives sa mga junction point ng mga segment ay nagpapaliwanag kung bakit bihirang gamitin ang interpolating polynomial curve sa CG. Ngunit gamit ang parehong pamamaraan ng pagsusuri, makakahanap ka ng mas angkop na uri ng kurba.

Bahagi ng cubic interpolation surface

Ang bicubic surface equation ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

p(u, v) = ∑∑ ui vj cij .

i = 0j = 0

Dito ang c ij ay isang three-component column matrix, ang mga elemento nito ay ang mga coefficients sa parehong kapangyarihan ng independent variable sa mga equation para sa x, y, z component. Tukuyin natin ang isang 4x4 matrix C sa paraang ang mga elemento nito ay tatlong bahagi na column matrice:

C = [cij].

Pagkatapos ang isang bahagi ng ibabaw ay maaaring ilarawan tulad ng sumusunod: p (u, v) = u T Cv,

Ang isang tiyak na bahagi ng isang bicubic na ibabaw ay tinutukoy ng 48 mga halaga ng mga elemento ng matrix C - 16 na three-dimensional na mga vector.

Ipagpalagay natin na mayroong 16 na three-dimensional na reference point p ij ,i= 0,..,3,j= 0,..,3 (Fig. 4.6.). Ipagpalagay namin na ang mga data na ito ay ginagamit para sa interpolation na may pantay na mga hakbang para sa parehong mga independiyenteng parameter u at v, na kumukuha ng mga halaga 0, 1/3, 2/3, 1. Samakatuwid

nakakakuha tayo ng tatlong set ng 16 na equation na may 16 na hindi alam bawat isa. Kaya, para sa u=v= 0 nakukuha natin

p 00 = [ 1 0 0 0] C 0 0 = c 00 .0

kanin. 4.6. Interpolation na bahagi ng ibabaw

Hindi mo kailangang lutasin ang lahat ng mga equation na ito. Kung ayusin natin ang v = 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagpapalit ng u makakakuha tayo ng isang kurba na dumadaan sa p 00 , p 10 , p 20 , p 30 . Gamit ang mga resulta na nakuha sa nakaraang seksyon, maaari naming isulat ang sumusunod na relasyon para sa curve na ito:

Para sa mga halaga ng v= 1/3, 2/3, 1, tatlong iba pang mga interpolation curve ang maaaring tukuyin, ang bawat isa ay maaaring ilarawan sa parehong paraan. Ang pagsasama-sama ng mga equation para sa lahat ng mga curve, nakuha namin ang sistema ng 16 na mga equation na interesado sa amin:

uT MI P= uT CAT ,

kung saan ang A ay ang inverse matrix ng M I . Ang solusyon sa equation na ito ay ang nais na matrix ng mga coefficient:

C = MI PMI T .

Ang pagpapalit nito sa surface equation, sa wakas ay nakuha natin ang p (u ,v )= u T M I PM I T v .

Ang resultang ito ay maaaring bigyang-kahulugan sa iba't ibang paraan. Ito ay sumusunod mula dito, una, na ang mga resulta na nakuha mula sa pagsusuri ng mga kurba ay maaaring mapalawak sa kaukulang mga ibabaw. Pangalawa, ang pamamaraan ng paggamit ng polynomial mixing function ay maaaring mapalawak sa mga ibabaw:

p(u, v) = ∑∑ bi (u) bj (v ) pij .

i = 0j = 0

4.5.5. Form ng representasyon ng Hermite curves at surfaces

Hayaang magkaroon ng mga puntos p 0,p 3 at ang pagitan ay tumutugma sa segment, i.e. ang mga magagamit na puntos ay tumutugma sa u =0 at u =1. Isulat natin ito

dalawang kondisyon:

p (0)= p 0 = c 0,

p (1) = p 3= c 0+ c 1+ c 2+ c 3.

Nakukuha namin ang dalawang iba pang mga kundisyon sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga halaga ng mga derivatives ng mga pag-andar sa mga matinding punto ng segment na u = 0 at u = 1:

p "(u)= c 1 + 2uc 2 + 3u 2 c 3, pagkatapos

p " 0 = p " (0)= c 1 ,

p " 3= p " (1) = c 1+ 2 c 2+ 3 c 3.

Isulat natin ang mga equation na ito sa matrix form:

ang equation ay maaaring isulat bilang:

c = MH q,

kung saan ang MH ay tinatawag na pangkalahatang Hermite geometry matrix.

Bilang resulta, nakakakuha kami ng mga representasyon ng polynomial curve sa Hermite form:

p(u) = uT MH q.

Gagamitin namin ang Hermite form upang kumatawan sa mga segment ng compound curve, tulad ng ipinapakita sa Fig. 4.7. Ang conjugation point ay karaniwan sa parehong mga segment, at, bilang karagdagan, ang mga derivatives ng curve sa conjugation point para sa parehong mga segment ay pantay din. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng composite curve na tuloy-tuloy sa unang derivative sa buong haba nito.

p(0) p(1)=q(0)

kanin. 4.7. Paglalapat ng Hermite form sa pagsali sa mga segment

Ang posibilidad na makakuha ng mas makinis na mga kurba kapag ginagamit ang form ng representasyon ng Hermite ay maaaring mabigyang-katwiran sa matematika tulad ng sumusunod. Isulat natin ang polynomial sa anyo

p(u) = b(u) T q,

kung saan ang bagong mixing function ay

Ang mga zero ng apat na polynomial na ito ay matatagpuan sa labas ng pagitan , at samakatuwid ang mga function ng paghahalo ay mas makinis kaysa sa interpolation polynomial.

Maaaring tukuyin ng isa ang isang bahagi ng isang ibabaw sa anyong Hermite tulad ng sumusunod:

p (u , v ) = ∑∑ b i(u ) b j(v) q ij,

i = 0j = 0

kung saan ang Q =[ q ij ] ay isang set ng data na kumakatawan sa isang bahagi ng surface sa parehong paraan kung paano ang q ay kumakatawan sa isang segment ng isang curve. Ang apat na elemento ng Q ay kumakatawan sa mga halaga ng function na p (u,v) sa mga punto ng sulok ibabaw, at ang iba pang apat ay dapat na kumakatawan sa mga derivatives sa ibabaw sa mga sulok na puntong ito. Sa mga interactive na application, kanais-nais para sa user na tukuyin hindi ang data sa mga derivatives, ngunit ang mga coordinate ng mga puntos, at, samakatuwid, nang walang pagbabalangkas ng mga analytical expression para sa data na ito, hindi kami makakakuha ng mga derivatives.

Kung sa conjugation point ang mga halaga ng lahat ng tatlong parametric na bahagi ng mga vectors p at q ay pantay, kung gayon parametric na pagpapatuloy klaseC 0 .

Ang mga curve kung saan ang mga kondisyon ng pagpapatuloy ay nasiyahan para sa parehong halaga at ang unang hinalaw ay may parametric na pagpapatuloy ng klase C 1.

Kung ang mga halaga ng mga bahagi ng mga derivative ay proporsyonal, kung gayon mayroong geometric na pagpapatuloy ng klase G 1.

Ang mga ideyang ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga derivative.

Ang hugis ng isang kurba na may geometric na pagpapatuloy ng klase G 1 ay nakasalalay sa koepisyent ng proporsyonalidad ng mga haba ng mga tangent sa mga segment sa punto ng conjugation. Sa Fig. 4.8. Ito ay ipinapakita na ang hugis ng mga curve segment na nag-tutugma sa mga dulong punto at may proporsyonal na tangent vector sa mga puntong ito ay medyo naiiba. Ang property na ito ay kadalasang ginagamit sa mga graphical plotting program.

p"(0) q(u) p"(1)

kanin. 4.8. Impluwensiya ng haba ng tangent vector sa hugis ng mga segment

4.5.6. Mga kurba at ibabaw ng Bezier

Ang paghahambing ng mga curves sa Hermite form at sa anyo ng isang interpolation polynomial ay imposible, dahil ginamit para sa kanilang pagbuo

mga set ng data ng iba't ibang kalikasan. Subukan nating gamitin ang parehong ensemble ng mga reference point para matukoy ang interpolation polynomial at upang hindi direktang tukuyin ang mga curve sa Hermite form. Ang resulta ay isang Bezier-shaped curve na isang magandang approximation ng Hermite-shaped curve at maaaring ihambing sa isang interpolation polynomial na nabuo sa parehong ensemble ng mga puntos. Bilang karagdagan, ang pamamaraang ito ay perpekto para sa interactive na pagtatayo ng mga hubog na bagay sa CG at CAD system, dahil Ang pagtukoy ng curve sa anyo ng Bezier ay hindi nangangailangan ng pagtukoy ng mga derivatives.

Bezier curves

Hayaang mayroong apat na reference point sa tatlong-dimensional na espasyo: p 0 , p 1 , p 2 at p 3 . Ang mga end point ng nabuong curve p (u) ay dapat na tumutugma sa mga reference point p 0, p 1:

p 0 = p (0),p 3 = p (1).

Iminungkahi ni Bezier ang paggamit ng dalawa pang reference point p 1 at p 2 upang tukuyin ang mga derivatives sa mga extreme point ng segment na u = 0 at u = 1. Re-

kanin. 4.9. Approximation ng tangent vectors

Ang paglalapat ng approximation na ito sa mga tangent sa dalawang matinding punto sa parametric polynomial curve p (u) =u T c, nakakakuha tayo ng dalawang kundisyon:

3 p 1− 3 p 0= c 1,

3 p 3− 3 p 2= c 1+ 2 c 2+ 3 c 3.

Idagdag natin ang mga ito sa mga umiiral na kundisyon para mag-coincide ang curve sa mga end point:

p (0)= p 0 = c 0 ,

p (1) =p 3 =c 0 +c 1 +c 2 +c 3 .

Kaya, mayroon kaming tatlong set ng apat na equation bawat isa na may apat na hindi alam. Ang paglutas ng mga ito gamit ang parehong paraan tulad ng sa nakaraang seksyon, nakukuha namin:

c = MB p,

kung saan ang M B ay tinatawag na Bezier geometry matrix:

Bilang resulta, nakakakuha kami ng mga representasyon ng polynomial curve sa anyo ng Bezier:

p(u) = uT MB p.

Maaaring gamitin ang formula na ito upang makagawa ng composite curve na ang mga segment ay mga interpolation polynomial. Malinaw na ang isang composite curve na binuo gamit ang Bezier method sa isang di-makatwirang grupo ng mga control point ay kabilang sa klase C 0, ngunit hindi nito natutugunan ang mga kinakailangan ng klase C 1, dahil ang mga tangent sa kanan at kaliwa ng conjugation point ay tinatantya gamit ang iba't ibang mga formula.

Suriin natin ang mga katangian ng curve gamit ang mga blending function. Isulat natin ang polynomial sa anyo:

p(u) = b(u) T p,

kung saan ang bagong function ng paghahalo ay may anyo (Larawan 4.10):

Ang apat na polynomial na ito ay mga espesyal na kaso Bernstein polynomials:

b kd (u )= k !(d d − ! k )! u k (1− u )d − k .

Mga katangian ng Bernstein polynomial:

1) lahat ng mga zero sa tuldok u= 0 o u= 1;

2) samakatuwid, sa 0< ) ay dapat nasa loob ng isang matambok na polygonal na shell na nabuo ng apat binigay na puntos, tulad ng ipinapakita sa Fig. 4.11. Kaya, kahit na ang Bezier curve ay hindi dumadaan sa lahat ng tinukoy na control point, hindi ito lumalampas sa lugar na nalilimitahan ng mga puntong iyon. Ito ay napaka-maginhawa para sa interactive na visual na disenyo.

Mga bahagi ng ibabaw sa hugis ng Bezier

Maaaring mabuo ang mga bahagi ng Bezier surface gamit ang mga blending function. Kung ang P = ay isang hanay ng mga control point na may di-

ay may sukat na 4x4, pagkatapos ay ang kaukulang bahagi ng ibabaw sa anyo ng Bezier ay inilalarawan ng kaugnayan:

Ang isang bahagi ng ibabaw ay dumadaan sa mga punto ng sulok p00 ,p03 ,p30 At p33 at hindi lumalampas sa matambok na polygon na ang mga vertices ay ang mga reference point. Labindalawang control point sa 16

maaaring bigyang-kahulugan bilang data na tumutukoy sa direksyon ng mga derivatives na may kinalaman sa iba't ibang mga parameter sa mga sulok na punto ng nabuong bahagi ng ibabaw.

4.6. Isang halimbawa ng pagbuo ng mga polygonal na modelo

Ang problemang isinasaalang-alang - ang representasyon ng mga geometric na modelo na tinukoy ng polygonal meshes - ay maaaring nahahati sa mga sumusunod na yugto:

1) pagbuo ng isang modelo (mga istruktura ng data) upang kumatawan sa eksena;

2) pagbuo ng isang format ng file para sa pag-iimbak ng modelo;

3) pagsulat ng isang programa upang tingnan ang mga nilikhang eksena;

4) pagsulat ng isang programa upang makabuo ng mga polygonal na modelo ng mga bagay alinsunod sa opsyon sa gawain.

4.6.1. Pagbuo ng mga istruktura ng data ng polygonal na modelo

Ang mga sumusunod na elemento ng modelo ay maaaring makilala: punto, polygon, modelo ng isang indibidwal na bagay, eksena (isang hanay ng mga bagay na may isang naibigay na lokasyon na nauugnay sa bawat isa).

1) Ang isang punto ay inilalarawan ng tatlong coordinate:

2) Ang polygon ay, sa pangkalahatan, isang arbitrary convex polygon. Gagamitin namin ang espesyal na kaso nito - isang tatsulok. Ang aming pagpili ay nabibigyang katwiran sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga kasunod na shading algorithm na may Kakailanganin ang mga Z-buffer, tatsulok para sa kanilang trabaho

mga gilid at lalong kumplikadong mga polygon ay kailangang hatiin.

typedef struct Polygon (

int Mga Puntos; //mga indeks ng tatlong vertice na bumubuo //ang polygon, ang mga vertices ay nakaimbak sa listahan ng mga vertices ng modelo

3) Ang modelo ng isang indibidwal na bagay ay isang listahan ng mga punto at isang listahan ng mga vertice:

typedef struct Model3D (

Mga Polygon na Polygon; //array ng mga polygon

4) Ang isang eksena ay isang hanay ng mga bagay na may ibinigay na lokasyon na may kaugnayan sa isa't isa. Sa pinakasimpleng kaso maaari mong gamitin

listahan (array) ng mga bagay, halimbawa,

4.6.2. Pagbuo ng isang format ng file para sa pag-iimbak ng modelo

Upang mag-imbak at magproseso ng mga eksena at modelo, maginhawang gumamit ng mga text file na binubuo ng iba't ibang mga seksyon. Maaaring paghiwalayin ang mga seksyon mga keyword, na nagpapadali sa pagbabasa at pag-edit ng mga file, at ginagawang posible na tukuyin lamang ang bahagi ng impormasyon para sa modelo. Ang isang magandang halimbawa ay ang format na DXF, na ginagamit upang makipagpalitan ng mga guhit sa pagitan ng mga CAD system. Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa:

kung saan ang unang numero ay ang bilang ng mga modelo sa scene file na N. Susunod ay N mga modelo. Ang unang numero sa paglalarawan ng mga modelo ay ang bilang ng mga vertice K. Pagkatapos ay ang mga coordinate ay nakalista nang sunud-sunod

x,y,z ng lahat ng K vertices. Pagkatapos nito ay ang numero G, na tumutukoy sa bilang ng mga mukha sa modelo. Sinusundan ito ng mga linyang G, na ang bawat isa ay naglalaman ng mga indeks ng tatlong vertice na bumubuo sa tatsulok na mukha.

4.6.3. Tingnan ang mga ginawang eksena

Upang tingnan ang mga nilikhang eksena sa orthographic projection, ang sumusunod na programa ay binuo:

#isama #isama #isama #isama

const int MAX_MODEL_COUNT = 3; //Max. bilang ng mga modelo sa eksena const int MAX_POINT_COUNT =100; //Max. bilang ng mga puntos sa modelo const int MAX_POLY_COUNT =100; //Max. bilang ng mga mukha sa modelo

typedef struct Point ( dobleng x, y, z;

typedef struct Polygon (

int Mga Puntos; //mga indeks ng tatlong vertices na bumubuo sa polygon

typedef struct Model3D (

int PolygonCount;//bilang ng mga polygon sa modelo

Mga Polygon na Polygon; // array ng mga polygon

Mga Modelong Modelo 3D; //array ng mga modelo

//function na nagbabasa ng eksena mula sa file

void LoadScene(Scene3D &scene, const char * filename)

kung ((f = fopen(filename, "rt")) == NULL)

fprintf(stderr, "Hindi mabuksan ang input file.\n"); exit(1);

//basahin ang bilang ng mga modelo sa file fscanf(f, "%d", &scene.ModelsCount);

para sa(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

Model3D *model = &scene.Models[m]; //loading a list of model points fscanf(f, "%d", &model->PointCount);

para sa(int i = 0; i< model->PointCount; ++i)

fscanf(f, "%lf%lf%lf", &p.x, &p.y, &p.z); modelo->Mga Punto[i] = p;

Polygon *p = &(model->Mga Polygon[i]); fscanf(f, "%d%d%d", &(p->Puntos),

&(p->Mga Puntos), &p->Mga Puntos);

//magpakita ng wireframe //modelo sa orthographic projection

//disadvantage - lahat ng mga gilid ay iginuhit ng dalawang beses na walang bisa DrawWireFrameScene(const Scene3D &scene)

para sa(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

const Model3D *model = &scene.Models[m]; para sa(int i = 0; i< model->PolygonCount; ++i)

const Polygon *poly = &model->Polygons[i];

//pasimulan ang graphics mode na walang bisa InitGraphMode(walang bisa)

int gdriver = DETECT, gmode, errorcode; initgraph(&gdriver, &gmode, "");

errorcode = graphresult();

kung (errorcode != grOk) //may naganap na error

printf("Error sa graphics: %s\n", grapherrormsg(errorcode));

printf("Pindutin ang anumang key upang ihinto:");

Scene3D scene; LoadScene(eksena, "model.dat"); InitGraphMode(); DrawWireFrameScene(eksena); getch();

Binibigyang-daan ka ng ibinigay na halimbawa na i-load ang mga eksenang tinukoy sa inilarawang format at ipakita ang mga ito sa orthographic projection. Ipinapakita nito ang mga pangunahing prinsipyo ng pagtatrabaho sa mga modelong polygon.

Ngunit dahil sa pagpapasimple upang mapabuti ang kalinawan, mayroon itong mga sumusunod na makabuluhang disadvantages:

1) ang bilang ng mga vertice, mukha, modelo ay direktang tinukoy sa programa, at ang dynamic na memorya ay dapat gamitin, halimbawa, isang dynamic na one-dimensional array, ang memorya kung saan ilalaan kapag naglo-load ng eksena.

2) kung mayroong ilang magkaparehong mga modelo na naiiba lamang sa posisyon at oryentasyon sa espasyo, kung gayon ang data na naglalarawan sa kanilang geometry ay nadoble, halimbawa, ilang mga modelo ng mga sphere. Maipapayo na hatiin ang modelo sa dalawang bahagi: geometric, pag-iimbak ng isang paglalarawan ng mga mukha at vertices, at topological, i.e. isang tiyak na halimbawa ng isang bagay na matatagpuan sa kalawakan.

3) ang paglalarawan ng mga istruktura ng data at ang mga pamamaraan na sumusuporta sa mga ito ay dapat na ihiwalay sa isang hiwalay na module, pagkatapos ay maaari itong magamit, halimbawa, sa mga primitive na programa ng henerasyon

Kaya, ang mga polygonal geometric na modelo ay kasalukuyang nangingibabaw. Ito ay dahil sa pagiging simple ng kanilang representasyon ng software at hardware. Dahil sa patuloy na paglaki ng mga pagkakataon

teknolohiya sa pag-compute sa isang banda at mga kinakailangan para sa kalidad ng mga modelo sa kabilang banda, ang masinsinang pananaliksik ay isinasagawa sa mga bagong uri ng mga modelo.

Mga tanong at pagsasanay sa pagsusulit

1. Paano naiiba ang mga geometric na modelo sa iba pang uri ng mga modelo?

2. Pangalanan ang mga pangunahing bahagi ng isang geometric na modelo.

3. Paano naiiba ang mga coordinate na modelo sa mga analytical na modelo?

4. Anong mga uri ng geometric na modelo ang umiiral?

5. Bakit laganap ang mga polygonal na modelo?

6. Anong mga paraan ng pagtukoy sa isang polygonal na modelo ang alam mo?

7. Anong mga kawalan at limitasyon ang mayroon ang mga polygonal na modelo?

8. Magpatupad ng mga algorithm para sa pagbuo ng mga polygonal na modelo ng mga dodecahedron, icosahedron at sphere.

9. Magmungkahi ng isang algorithm para sa pagbuo ng isang polygonal na modelo ng isang torus.

10. Paano mo mababawasan ang dami ng data na nakaimbak?

Vmemorya ng computer, na may paulit-ulit na paggamit ng magkaparehong polygonal na mga modelo?

Belozerova Maria, mag-aaral sa ika-10 baitang

Ang gawaing ito ay nagbibigay ng impormasyon tungkol sa geometric na modelo na nakilala ng mag-aaral sa panahon ng paggawa nito.

I-download:

Preview:

Regular na polyhedron. Icosahedron

Ginawa ni Belozerova Maria, mag-aaral 10 klase ng MOU « High school No. 16", Kimry, rehiyon ng Tver

Ang mga pangalan ng regular na polyhedra ay nagmula sa Greece. Literal na isinalin mula sa Griyego, "tetrahedron", "octahedron", "hexahedron", "dodecahedron", "icosahedron" ay nangangahulugang: "tetrahedron", "octahedron", "hexahedron", "dodecahedron", "dalawampu't-hedron". Ang ika-13 aklat ng Euclid's Elements ay nakatuon sa magagandang katawan na ito. Tinatawag din silang Platonic solids, dahil. sinakop nila

mahalagang lugar sa konseptong pilosopikal Plato tungkol sa istruktura ng uniberso.

Apat na polyhedron ang nagpapakilala sa apat na essence o "elemento" dito Ang tetrahedron ay sumasagisag sa apoy, dahil. ang tuktok nito ay nakadirekta paitaas; icosahedron - tubig, dahil ito ang pinaka-"streamline"; kubo - lupa, bilang ang pinaka "matatag"; octahedron - hangin, bilang ang pinaka "mahangin". Ang ikalimang polyhedron, ang dodecahedron, ay naglalaman ng "lahat ng bagay na umiiral," sumisimbolo sa buong uniberso, at itinuturing na pangunahing isa.

Icosahedron (mula sa Greek ico - dalawampu at hedra - mukha).

Isang regular na convex polyhedron na binubuo ng 20 regular na tatsulok. Ang bawat isa sa 12 vertex ng icosahedron ay ang vertex ng 5 equilateral triangles, kaya ang kabuuan ng mga anggulo sa vertex ay 300°.

Ang icosahedron ay may 30 mga gilid. Tulad ng lahat ng regular na polyhedra, mayroon ang mga gilid ng icosahedron pantay na haba, at ang mga mukha ay pantay na lawak.

Ang icosahedron ay may 15 axes ng symmetry, bawat isa ay dumadaan sa mga midpoint ng magkatapat na mga gilid. Ang punto ng intersection ng lahat ng axes ng simetrya ng icosahedron ay ang sentro nito

simetriya.

Mayroon ding 15 na mga eroplano ng simetriya Ang mga eroplano ng simetriya ay dumadaan sa apat na vertice na nakahiga sa parehong eroplano at ang mga midpoint ng magkatapat na mga gilid.

Ang icosahedron ay isang geometric na katawan, ang hugis nito ay kinukuha ng mga virus na binubuo ng DNA at protina, iyon ay, ang icosahedral na hugis at pentagonal symmetry "ay pangunahing sa organisasyon ng buhay na bagay."

Ang regular na polyhedra ay matatagpuan din sa buhay na kalikasan. Halimbawa, isang balangkas solong selulang organismo Ang Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) ay hugis tulad ng isang icosahedron.

Karamihan sa mga feudaries ay nabubuhay malalim na dagat at nagsisilbing biktima ng coral fish. Ngunit pinoprotektahan ng pinakasimpleng hayop ang sarili gamit ang labindalawang spines na umuusbong mula sa 12 tuktok ng balangkas. Mas mukhang star polyhedron ito. Sa lahat ng polyhedra na may parehong bilang ng mga mukha, mayroon ang icosahedron pinakamalaking volume sa pinakamaliit na lugar ibabaw. Tinutulungan ng ari-arian na ito ang marine organism na malampasan ang presyon ng column ng tubig.

Ang virus ay hindi maaaring maging ganap na bilog, gaya ng naisip dati. Upang maitatag ang hugis nito, kumuha sila ng iba't ibang polyhedra at itinuro ang liwanag sa kanila sa parehong mga anggulo gaya ng daloy ng mga atomo sa virus. Ito ay lumabas na isang polyhedron lamang ang nagbibigay ng eksaktong parehong anino - ang icosahedron.

Sinamantala ng mga virus ang pagiging natatangi ng icosahedron sa mga Platonic solids. Dapat na baligtarin ng viral particle ang buong palitan ng host cell; dapat nitong pilitin ang infected cell na mag-synthesize ng maraming enzymes at iba pang molecule na kailangan para sa synthesis ng mga bagong viral particle. Ang lahat ng mga enzyme na ito ay dapat na naka-encode sa viral nucleic acid. Ngunit ang dami nito ay limitado. Samakatuwid, napakaliit na espasyo ang natitira sa virus na nucleic acid para sa pag-encode ng mga protina ng sarili nitong sobre. Ano ang ginagawa ng virus? Ginagamit lang nito ang parehong seksyon ng nucleic acid nang paulit-ulit para sa synthesis malaking bilang karaniwang mga molekula - pagbuo ng mga protina na nagsasama-sama sa panahon ng autoassembly ng isang viral particle. Bilang resulta, ang pinakamataas na pagtitipid ng genetic na impormasyon ay nakakamit. Ayon sa mga batas ng matematika, upang makabuo ng isang closed shell mula sa magkatulad na mga elemento sa pinaka-ekonomiko na paraan, kailangan mong pagsamahin ang mga ito sa isang icosahedron, na nakikita natin sa mga virus.

Ito ay kung paano "malutas" ng mga virus ang pinaka kumplikado (tinatawag itong "isopyran") na problema: upang makahanap ng isang katawan na may pinakamaliit na lugar sa ibabaw para sa isang naibigay na dami at, bukod dito, na binubuo ng magkapareho at pinakasimpleng mga numero. Ang mga virus, ang pinakamaliit sa mga organismo, ay napakasimple na hindi pa rin malinaw kung iuuri sila bilang buhay o walang buhay na kalikasan, - ang parehong mga virus na ito ay nakayanan ang isang geometric na problema na umabot sa mga tao ng higit sa dalawang milenyo! Ang lahat ng tinatawag na "spherical virus," kabilang ang isang kakila-kilabot na virus tulad ng polio virus, ay mga icosahedron, at hindi mga sphere, gaya ng naisip dati.

Ang istraktura ng mga adenovirus ay mayroon ding hugis ng isang icosahedron. Adenoviruses (mula sa Greek aden - iron and viruses), isang pamilya ng mga virus ng DNA na nagdudulot ng mga sakit na adenoviral sa mga tao at hayop.

Ang feline panleukopenia virus (FPLV) ay kabilang sa pamilyang parnovirus. Walang nauugnay na mga pathogen sa mga karaniwang sakit ng tao. Ang virus ay isang spherical na dalawampu't panig na icosahedron, maliit, sukat na halos 20 nm (0.00002 mm), simple sa istraktura, walang panlabas na shell; genome ay isang molekula ng single-stranded DNA na may molekular na timbang na humigit-kumulang 2 milyon Ang virus ay napaka-stable at maaaring manatiling aktibo sa labas ng katawan sa loob ng mga buwan at taon.

Ang Hepatitis B virus ay ang causative agent ng hepatitis B, ang pangunahing kinatawan ng pamilya ng hepadnovirus. Kasama rin sa pamilyang ito ang hepatotropic hepatitis virus ng mga marmot, ground squirrels, duck at squirrels. Ang hepatitis B virus ay naglalaman ng DNA. Ito ay isang particle na may diameter na 42-47 nm, binubuo ng isang nucleoid core na hugis tulad ng isang icosahedron na may diameter na 28 nm, sa loob kung saan mayroong DNA, isang terminal na protina at ang enzyme DNA polymerase.

Kaya, nang makumpleto ang gawaing ito, natutunan ko ang maraming bago at kawili-wiling mga bagay tungkol sa regular na polyhedron - ang icosahedron.

Habang nagtatrabaho sa paggawa ng isang modelo ng icosahedron, pag-aaral ng materyal, nalaman ko na ang mga sinaunang siyentipiko na sina Plato at Archimedes ang unang nag-aral ng regular na semi-regular na polyhedra. Sa ngayon, maraming mga siyentipiko ang nag-aaral ng polyhedra. Ang mga katangian ng polyhedra ay ginagamit sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao. Halimbawa, sa arkitektura: halos lahat ng mga gusali ay itinayo bilang pagsunod sa mahusay na proporsyon.

Kaya, ang aming buong buhay ay puno ng polyhedrons ang bawat tao ay nakatagpo sa kanila: parehong maliliit na bata at mga may sapat na gulang.

Sa aking trabaho, ibinuod ko ang materyal na nakolekta sa paksa at gumawa ng isang icosahedron figure, at nakuhanan ng larawan ang figure na ito. Kawili-wili para sa akin na magtrabaho sa napiling paksa ng sanaysay.

Ang isang relief polyhedron ay tinatawag na isang positibong polyhedron kung ang lahat ng mga mukha nito ay pantay, mga positibong polygon, at isang magkaparehong bilang ng mga gilid ay nagtatagpo sa buong vertex nito. Mayroong limang regular na polyhedra - tetrahedron, octahedron, icosahedron, hexahedron (kubo) at dodecahedron. Ang icosahedron ay isang polyhedron na ang mga mukha ay dalawampung pantay na tamang tatsulok.

Mga tagubilin

1. Upang bumuo icosahedron Gamitin natin ang pagbuo ng isang kubo. Tukuyin natin ang isa sa mga mukha nito bilang SPRQ.

2. Gumuhit ng dalawang segment AA1 at BB1 upang ikonekta nila ang mga midpoint ng mga gilid ng kubo, iyon ay, bilang = AP = A1R = A1Q = BS = BQ.

3. Sa mga segment na AA1 at BB1, maglagay ng pantay na mga segment CC1 at DD1 ng haba n upang ang kanilang mga dulo ay nasa pantay na distansya mula sa mga gilid ng kubo, i.e. BD = B1D1 = AC = A1C1.

4. Ang mga segment na CC1 at DD1 ay ang mga gilid ng konstruksyon icosahedron A. Sa pamamagitan ng pagbuo ng mga segment na CD at C1D, makakakuha ka ng isa sa mga mukha icosahedron a – CC1D.

5. Ulitin ang mga konstruksyon 2, 3 at 4 para sa lahat ng mga mukha ng kubo - bilang isang resulta makakakuha ka ng isang regular na polyhedron na nakasulat sa kubo - icosahedron. Sa tulong ng hexahedron posible na bumuo ng anumang regular na polyhedron.

Ang icosahedron ay isang regular na polygon. Ang nasabing geometric figure ay may 30 gilid, 20 tatsulok na mukha at 12 vertices, na siyang junction ng limang gilid. Ang pag-assemble ng isang icosahedron mula sa papel ay medyo mahirap, ngunit napaka-kapana-panabik. Maaari itong gawin mula sa corrugated, packaging o kulay na papel o foil. Sa pamamagitan ng paggamit ng iba't ibang mga materyales, maaari kang magdagdag ng mas malaking epekto at kagandahan sa iyong icosahedron.

Kakailanganin mo

• - layout ng icosahedron;
• - papel;
• - gunting;
• - pinuno;
• - PVA glue.

Mga tagubilin

1. I-print ang layout ng icosahedron sa isang piraso ng papel, pagkatapos ay gupitin ito sa may tuldok na linya. Ito ay kinakailangan upang mag-iwan ng libreng espasyo para sa gluing bahagi ng figure sa bawat isa. Subukang i-cut out ang icosahedron bilang nakakalibang hangga't maaari, sa kabaligtaran, sa pinakamaliit na paglilipat, ang iyong craft ay magmumukhang pangit. Ang pangangailangan para sa napakahusay na pagputol ay dahil sa ang katunayan na ang lahat ng mga tatsulok sa isang regular na icosahedron ay may magkaparehong panig. Dahil dito, kung ang anumang panig ay nagsimulang mag-iba sa haba nito, bilang isang resulta, ang gayong pagkakaiba sa laki ay hindi makikita.

2. Tiklupin ang icosahedron sa mga solidong linya, pagkatapos ay gumamit ng pandikit upang idikit ang mga lugar na nakabalangkas sa may tuldok na linya at ikonekta ang mga katabing gilid ng mga tatsulok sa isa't isa. Para sa isang mas mahigpit na pag-aayos, ang bawat nakadikit na gilid ay dapat panatilihin sa ganitong estado sa loob ng 20 segundo. Totoo na ang lahat ng iba pang panig ng icosahedron ay dapat na nakadikit sa parehong paraan. Ang huling dalawang tadyang ay ang pinakamahirap na idikit, dahil ang pagkonekta sa kanila ay nangangailangan ng pasensya at kasanayan. Ang iyong papel na icosahedron ay handa na.

3. Ang gayong geometric na pigura ay makikita sa araw-araw na buhay. Halimbawa, ang isang soccer ball ay ginawa sa hugis ng isang pinutol na icosahedron (isang polyhedron na binubuo ng 20 hexagons at 12 pentagons). Lalo itong nagiging hindi nakikita kung ang nagreresultang icosahedron ay pininturahan ng itim at puti. Maaari kang gumawa ng soccer ball sa papel nang mag-isa sa pamamagitan ng pag-print ng isang scan ng pinutol na icosahedron sa 2 kopya nang maaga.

4. Ang paggawa ng isang icosahedron mula sa papel ay isang kawili-wiling proseso na nangangailangan ng pasensya, pag-iisip at maraming papel. Ngunit ang magiging resulta ay mahabang panahon pakiusap ang mata. Ang isang papel na icosahedron ay maaaring ibigay bilang isang developmental na laruan sa isang bata na umabot sa edad na 3. Sa pamamagitan ng paglalaro sa geometric figure na ito, ang sanggol ay bubuo hindi lamang spatial na mga kasanayan at mapanlikhang pag-iisip, ngunit maging mas pamilyar din sa mundo ng geometry. Para sa isang may sapat na gulang, ang malikhaing proseso ng paggawa ng isang papel na icosahedron gamit ang iyong sariling mga kamay ay magbibigay-daan sa iyo na magpalipas ng oras, pati na rin humanga ang iyong mga mahal sa buhay sa kaalaman sa paggawa ng mga mahihirap na pigura.

Kapaki-pakinabang na payo
Kapag gumagawa ng isang papel na icosahedron, kailangan mong bigyang-pansin ang proseso ng pagyuko sa mga gilid nito. Upang baluktot ang papel nang pantay-pantay, maaari mong gamitin ang isang ordinaryong ruler.

Ang octahedron ay isa sa apat na tunay na polyhedra, kung saan ang mga tao ay nagbigay ng mahiwagang kahalagahan noong sinaunang panahon. Ang polyhedron na ito ay sumisimbolo sa hangin. Ang isang demonstration model ng octahedron ay maaaring gawin mula sa makapal na papel o wire.

Kakailanganin mo

• - makapal na papel o karton;
• - pinuno;
• - lapis;
• - protraktor;
• - gunting;
• - PVA glue.

Mga tagubilin

1. Ang octahedron ay may walong mukha, na lahat ay isang equilateral triangle. Sa geometry, ang isang octahedron ay karaniwang itinayo, nakasulat sa isang kubo o inilarawan sa paligid nito. Upang makagawa ng isang modelo nito geometric na katawan, hindi kakailanganin ang mga mahihirap na kalkulasyon. Ang octahedron ay bubuuin ng 2 magkaparehong tetrahedral pyramids na pinagdikit.

2. Gumuhit ng isang parisukat sa isang piraso ng papel. Sa isa sa mga gilid nito, bumuo ng isang positibong tatsulok kung saan ang lahat ng panig ay pantay at ang lahat ng mga anggulo ay 60°. Maginhawang gumawa ng isang tatsulok gamit ang isang protractor, na nagtabi ng 60° na sulok ng isang parisukat na katabi ng parehong panig. Gumuhit ng mga sinag sa pamamagitan ng mga marka. Ang punto mula sa intersection ay ang ikatlong anggulo, at sa hinaharap - ang tuktok ng pyramid. Buuin ang parehong mga tatsulok sa natitirang mga gilid ng parisukat.

3. Kakailanganin mong idikit ang pyramid. Mangangailangan ito ng mga allowance. Apat na allowance ang sapat, isa para sa bawat tatsulok. Putulin kung ano ang mayroon ka. Gumawa ng pangalawang katulad na piraso. Tiklupin ang mga fold lines sa maling panig.

4. Tiklupin ang bawat isa sa mga tatsulok sa maling panig. Ilapat ang PVA glue sa mga allowance. Pagdikitin ang dalawang magkatulad na pyramid at hayaang matuyo ang mga ito.

5. Ngayon ay kailangan nating idikit ang mga pyramids. Ikalat ang parisukat na ibaba ng isa sa mga ito gamit ang pandikit, pindutin ang ilalim ng ika-2, ihanay ang mga gilid at sulok. Hayaang matuyo ang octahedron.

6. Upang makagawa ng isang wire octahedron na modelo, kakailanganin mo ng karton o kahoy na parisukat. Gayunpaman, maaari kang makakuha ng isang ordinaryong tatsulok - upang yumuko ang workpiece sa isang tamang anggulo, ito ay ganap na sapat. Baluktot ang wire sa isang parisukat.

7. Gupitin ang 4 na magkaparehong piraso ng wire na may sukat na 2 gilid ng parisukat, kasama ang isang allowance para sa paglakip ng mga ito sa 2 puntos sa bawat isa, at, kung kinakailangan, ilakip ang mga ito sa mga sulok ng parisukat. Depende ito sa wire. Kung ang materyal ay maaaring soldered, ang haba ng mga gilid ay katumbas ng dalawang beses sa gilid ng parisukat nang walang anumang mga allowance.

8. Hanapin ang gitna ng piraso, hanginin o ihinang ito sa sulok ng parisukat. Ikabit ang natitirang mga piraso sa parehong paraan. Ikonekta ang mga dulo ng mga tadyang sa isang gilid ng square base sa bawat isa. Ang mga positibong tatsulok ay lilitaw nang mag-isa. Magsagawa ng parehong operasyon sa mga dulo ng mga tadyang na matatagpuan sa kabilang panig ng base. Ang octahedron ay handa na.

Kapaki-pakinabang na payo
Para sa mga katulad na modelo, dapat mong piliin ang wire na humahawak ng maayos sa hugis nito.

Ang sining ng origami ay dumating sa amin mula sa Sinaunang Tsina. Sa bukang-liwayway ng kanilang pagbuo, ang mga pigura ng mga hayop at ibon ay ginawa mula sa papel. Ngunit ngayon posible na lumikha hindi lamang ang mga ito, kundi pati na rin ang mga kumplikadong geometric na numero.

Kakailanganin mo

• - isang sheet ng A4 na papel
• - gunting

Mga tagubilin

1. Upang makagawa ng isang three-dimensional na geometric figure, isang octahedron, kailangan mo ng isang parisukat na sheet ng papel. Magagawa mo ito mula sa isang ordinaryong A4 sheet. Upang gawin ito, ibaluktot ang kanang itaas o kaliwang sulok ng sheet sa kabaligtaran. Gumawa ng isang tala sa isang piraso ng papel. Gumuhit ng isang linya parallel sa masikip na bahagi ng sheet kasama ang marka na iyong ginawa. Putulin ang hindi gustong piraso ng papel. Tiklupin ang parisukat sa kalahati.

2. Ilagay ang kanang sulok sa itaas sa gitnang fold. I-align ang kaliwang sulok sa itaas upang ang fold line ay dumaan sa naka-attach na kanang sulok sa itaas.

3. Tiklupin ang kaliwang sulok sa ibaba ng parisukat patungo sa gitnang linya. I-align ang kanang sulok sa ibaba na katulad ng mga sulok sa itaas, gumawa ng fold. Pagkatapos nito, ang workpiece ay dapat na baligtad.

4. Tiklupin ang kanang sulok sa ibaba ng piraso at ang kaliwang sulok sa itaas sa gitnang fold. Plantsahin ang workpiece gamit ang iyong kamay at ibalik ito sa kabilang panig.

5. I-align ang itaas at ibabang gilid sa resultang fold line. Pakinisin ang workpiece gamit ang iyong kamay.

6. Ibaluktot ang mga gilid ng figure patungo sa gitnang linya ng parisukat. I-flip ang piraso sa kabilang panig.

7. Tiklupin ang piraso mula sa ibaba hanggang sa itaas sa isang pahalang na linya. Ang resulta ay dapat na isang figure na kahawig ng Latin na titik na "V".

8. Tiklupin ang kaliwang bahagi pababa sa kaliwang bahagi ng gitnang tatsulok. Tiklupin ang kanang bahagi pababa sa kanang bahagi ng gitnang tatsulok.

9. Gumawa ng mga guhit sa tuktok na gilid ng figure. Ang fold point ng strips ay magsisimula sa ilalim na punto ng inside cutout ng "V".

10. Tiklupin ang itaas na kaliwang sulok sa fold line ng strip. Pagkatapos ay tiklupin ang strip pababa. Tiklupin ang kanang sulok at i-strip sa parehong paraan.

11. Tiklupin ang kaliwang bahagi pababa.

12. Ipinapakita ng ilustrasyon ang mga bulsa at mga insert para sa pag-assemble ng octahedron.

13. Upang makabuo ng isang octahedron, kailangan mong gumawa ng 4 tulad ng mga module. Ihanay ang dalawang module sa isang anggulo, ipasok ang mga nakausli na bahagi sa mga bulsa. Pagkatapos nito, tipunin ang lahat ng 4 na module.

14. Ang resulta ay isang geometric figure na tinatawag na octahedron.

- (Griyego, mula sa eikosi twenty, at hedra base). Dalawampu't hedron. Diksyunaryo ng mga banyagang salita na kasama sa wikang Ruso. Chudinov A.N., 1910. ICOSAEDR Greek. eikosaedros, mula sa eikosi, dalawampu, at hedra, base. Dalawampu't hedron. Tungkol sa... Diksyunaryo ng mga banyagang salita ng wikang Ruso

Polyhedron, dalawampu't-hedron Dictionary ng mga kasingkahulugan ng Ruso. pangngalang icosahedron, bilang ng mga kasingkahulugan: 2 dalawampu't panig (3) ... Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan

- (mula sa Griyegong eikosi twenty at hedra face), isa sa 5 uri ng regular na polyhedra, na mayroong 20 tatsulok na mukha, 30 gilid at 12 vertices, bawat isa ay may 5 gilid na nagtatagpo... Makabagong encyclopedia

- (mula sa Griyegong eikosi twenty at hedra face) isa sa limang uri ng regular na polyhedra; may 20 mukha (tatsulok), 30 gilid, 12 vertices (5 gilid ay nagtatagpo sa bawat isa) ... Malaki Encyclopedic Dictionary

ICOSAHEDRON, icosahedron, lalaki. (mula sa Griyegong eikosi twenty at hedra base, gilid) (mat.). Ang isang geometric na pigura ay isang regular na polyhedron na may dalawampung anggulo. Diksyunaryo Ushakova. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Ushakov's Explanatory Dictionary

Lalaki, Griyego isang katawan faceted sa pamamagitan ng dalawampung equilateral triangles, ito ay isa sa mga regular na myoghedrons nabuo mula sa isang bola sa pamamagitan ng pagputol ng mga seksyon. Diksyunaryo ng Paliwanag ni Dahl. V.I. Dahl. 1863 1866 … Diksyunaryo ng Paliwanag ni Dahl

Isang polyhedron na may 20 tatsulok na mukha at cubic symmetry. Isang anyo na katangian ng mga virion ng maraming mga virus. (Pinagmulan: "Microbiology: isang diksyunaryo ng mga termino", Firsov N.N., M: Drofa, 2006) ... Diksyunaryo ng microbiology

Icosahedron- (mula sa Griyegong eikosi twenty at hedra face), isa sa 5 uri ng regular na polyhedra, na mayroong 20 tatsulok na mukha, 30 gilid at 12 vertices, na ang bawat isa ay may 5 gilid na nagtatagpo. ... Illustrated Encyclopedic Dictionary

Icosahedron- * icasahedron * Ang icosahedron ay isang polyhedron na may labindalawang triangular na mukha, na mayroong kubiko na simetriko at humigit-kumulang spherical na hugis. I. hugis, katangian ng karamihan sa mga spherical na DNA na naglalaman ng mga virus... Genetics. Encyclopedic Dictionary

- (Griyegong eikosaédron, mula sa éikosi dalawampu at hédra base) isa sa limang regular na Polyhedra; may 20 mukha (tatsulok), 30 gilid, 12 vertices (5 gilid ay nagtatagpo sa bawat vertex). Kung ang a ay ang haba ng gilid I., kung gayon ang dami nito ay ... ... Malaki Ensiklopedya ng Sobyet

Mga libro

• Magic faces No. 9. Stellated polyhedron "Great icosahedron", . Isang set para sa pagkamalikhain para sa mga mag-aaral at mag-aaral. Bumubuo ng spatial na imahinasyon. Pinapayagan kang mag-glue ng isang three-dimensional na figure - isang polyhedron - mula sa kulay na karton. Ang bawat modelo ng polyhedron ay natatangi...
• Geometry ng mga kumplikadong numero, quaternions at spins, ang V.I. Arnold na kumplikadong mga numero ay naglalarawan ng mga paggalaw ng Euclidean plane ay tumutugma sa dalawang quaternion, ang pagkakaiba nito (tinatawag ng mga physicist na ito na spin) ay nauugnay...