Kabilang sa buong iba't ibang logarithmic inequalities, ang mga inequalities na may variable na base ay pinag-aaralan nang hiwalay. Nalutas ang mga ito gamit ang isang espesyal na pormula, na sa ilang kadahilanan ay bihirang itinuro sa paaralan:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Sa halip na "∨" na checkbox, maaari kang maglagay ng anumang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay: higit pa o mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay sa parehong hindi pagkakapantay-pantay ang mga palatandaan ay pareho.
Sa ganitong paraan, inaalis natin ang logarithms at binabawasan ang problema sa isang rational inequality. Ang huli ay mas madaling malutas, ngunit kapag itinatapon ang mga logarithms, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat. Upang putulin ang mga ito, sapat na upang mahanap ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Kung nakalimutan mo ang ODZ ng isang logarithm, mariing inirerekumenda kong ulitin ito - tingnan ang "Ano ang logarithm".
Ang lahat ng nauugnay sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay dapat na isulat at lutasin nang hiwalay:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Ang apat na hindi pagkakapantay-pantay na ito ay bumubuo ng isang sistema at dapat masiyahan nang sabay-sabay. Kapag ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay natagpuan, ang natitira lamang ay upang i-intersect ito sa solusyon ng rational inequality - at ang sagot ay handa na.
Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Una, isulat natin ang ODZ ng logarithm:
Ang unang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay awtomatikong nasiyahan, ngunit ang huli ay kailangang isulat. Dahil ang parisukat ng isang numero ay zero kung at kung ang numero mismo ay zero, mayroon tayong:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay lahat ng mga numero maliban sa zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ngayon malulutas namin ang pangunahing hindi pagkakapantay-pantay:
Ginagawa namin ang paglipat mula sa hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic patungo sa isang makatwiran. Ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay may "mas mababa sa" na senyales, na nangangahulugang ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat ding magkaroon ng "mas mababa sa" na senyales. Meron kami:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.
Ang mga zero ng expression na ito ay: x = 3; x = −3; x = 0. Bukod dito, ang x = 0 ay isang ugat ng pangalawang multiplicity, na nangangahulugang kapag dumaan dito, ang tanda ng function ay hindi nagbabago. Meron kami:
Nakukuha namin ang x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ang set na ito ay ganap na nakapaloob sa ODZ ng logarithm, na nangangahulugang ito ang sagot.
Kadalasan ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay naiiba sa isa sa itaas. Madali itong maitama gamit ang karaniwang mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa logarithms - tingnan ang "Mga pangunahing katangian ng logarithms". Namely:
Hiwalay, gusto kong ipaalala sa iyo ang tungkol sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Dahil maaaring mayroong ilang logarithms sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang hanapin ang VA ng bawat isa sa kanila. Kaya, ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay ang mga sumusunod:
Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Hanapin natin ang domain ng kahulugan (DO) ng unang logarithm:
Malutas namin gamit ang paraan ng agwat. Paghahanap ng mga zero ng numerator:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Pagkatapos - ang mga zero ng denominator:
x − 1 = 0;
x = 1.
Minarkahan namin ang mga zero at sign sa coordinate arrow:
Nakukuha namin ang x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Ang pangalawang logarithm ay magkakaroon ng parehong VA. Kung hindi ka naniniwala, maaari mong suriin ito. Ngayon binabago namin ang pangalawang logarithm upang ang base ay dalawa:
Tulad ng makikita mo, ang tatlo sa base at sa harap ng logarithm ay nabawasan. Nakakuha kami ng dalawang logarithms na may parehong base. Idagdag natin sila:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Nakuha namin ang karaniwang logarithmic inequality. Inaalis namin ang logarithms gamit ang formula. Dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng isang "mas mababa sa" na senyales, ang resultang nakapangangatwiran na expression ay dapat ding mas mababa sa zero. Meron kami:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Mayroon kaming dalawang set:
Ito ay nananatiling bumalandra sa mga hanay na ito - nakuha namin ang tunay na sagot:
Interesado kami sa intersection ng mga set, kaya pipili kami ng mga agwat na may kulay sa parehong mga arrow. Nakukuha namin ang x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - lahat ng puntos ay nabutas.
Kasama nila ay nasa loob ng logarithms.
Mga halimbawa:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Dapat nating sikaping bawasan ang anumang logarithmic inequality sa anyo na \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (ang simbolo na \(˅\) ay nangangahulugang alinman sa ). Ang ganitong uri ay nagbibigay-daan sa iyo upang mapupuksa ang logarithms at ang kanilang mga base, na ginagawa ang paglipat sa hindi pagkakapantay-pantay ng mga expression sa ilalim ng logarithms, iyon ay, sa anyo na \(f(x) ˅ g(x)\).
Ngunit kapag ginagawa ang paglipat na ito, mayroong isang napakahalagang subtlety:
\(-\) kung ay isang numero at mas malaki ito sa 1, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling pareho sa panahon ng paglipat,
\(-\) kung ang base ay isang numerong mas malaki sa 0 ngunit mas mababa sa 1 (namamalagi sa pagitan ng zero at isa), kung gayon ang inequality sign ay dapat magbago sa kabaligtaran, i.e.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Solusyon: |
\(\log\)\(_(0.5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) \(((x+ 1))\) Solusyon: |
Napaka importante! Sa anumang hindi pagkakapantay-pantay, ang paglipat mula sa form na \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) sa paghahambing ng mga expression sa ilalim ng logarithms ay magagawa lamang kung:
Halimbawa . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: \(\log\)\(≤-1\)
Solusyon:
|
\(\log\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Isulat natin ang ODZ. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Binuksan namin ang mga bracket at dinadala . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Pinaparami namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa \(-1\), hindi nakakalimutang baligtarin ang paghahambing na tanda. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Bumuo tayo ng isang linya ng numero at markahan ang mga puntos na \(\frac(7)(3)\) at \(\frac(3)(2)\) dito. Pakitandaan na ang tuldok ay tinanggal mula sa denominator, sa kabila ng katotohanan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit. Ang katotohanan ay ang puntong ito ay hindi magiging solusyon, dahil kapag napalitan ito ng hindi pagkakapantay-pantay, hahantong ito sa paghahati ng zero. |
|
|
Ngayon ay i-plot namin ang ODZ sa parehong numerical axis at isulat bilang tugon ang pagitan na nahuhulog sa ODZ. |
|
|
Isinulat namin ang huling sagot. |
Halimbawa . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Solusyon:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Isulat natin ang ODZ. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Pumunta tayo sa solusyon. |
|
Solusyon: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Dito mayroon tayong tipikal na square-logarithmic inequality. Gawin natin. |
|
\(t=\log_3x\) |
Pinapalawak namin ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Ngayon kailangan nating bumalik sa orihinal na variable - x. Upang gawin ito, pumunta tayo sa , na may parehong solusyon, at gawin ang reverse substitution. |
|
|
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2\\\log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Ibahin ang anyo ng \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(naipon) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Magpatuloy tayo sa paghahambing ng mga argumento. Ang mga base ng logarithms ay mas malaki kaysa sa \(1\), kaya ang tanda ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. |
|
\(\left[ \begin(naipon) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Pagsamahin natin ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay at ang ODZ sa isang pigura. |
|
|
Isulat natin ang sagot. |
Sa tingin mo ba may oras pa bago ang Unified State Exam at magkakaroon ka ng oras para maghanda? Marahil ay ganito. Ngunit sa anumang kaso, mas maaga ang isang mag-aaral ay nagsisimula sa paghahanda, mas matagumpay na pumasa siya sa mga pagsusulit. Ngayon kami ay nagpasya na magtalaga ng isang artikulo sa logarithmic inequalities. Ito ay isa sa mga gawain, na nangangahulugan ng isang pagkakataon upang makakuha ng karagdagang kredito.
Alam mo na ba kung ano ang logarithm? Sana talaga. Ngunit kahit na wala kang sagot sa tanong na ito, hindi ito problema. Ang pag-unawa kung ano ang logarithm ay napakasimple.
Bakit 4? Kailangan mong itaas ang numero 3 sa kapangyarihang ito upang makakuha ng 81. Kapag naunawaan mo na ang prinsipyo, maaari kang magpatuloy sa mas kumplikadong mga kalkulasyon.
Dumaan ka sa hindi pagkakapantay-pantay ilang taon na ang nakalipas. At mula noon ay palagi mo na silang nakatagpo sa matematika. Kung mayroon kang mga problema sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, tingnan ang naaangkop na seksyon.
Ngayong naging pamilyar na tayo sa mga konsepto nang paisa-isa, magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa mga ito sa pangkalahatan.
Ang pinakasimpleng logarithmic inequality.
Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi limitado sa halimbawang ito, mayroong tatlo pa, na may iba't ibang mga palatandaan. Bakit kailangan ito? Upang mas maunawaan kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms. Ngayon magbigay tayo ng mas naaangkop na halimbawa, medyo simple pa rin;
Paano ito lutasin? Nagsisimula ang lahat sa ODZ. Mahalagang malaman ang higit pa tungkol dito kung gusto mong laging madaling malutas ang anumang hindi pagkakapantay-pantay.
Ang pagdadaglat ay kumakatawan sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang pormulasyon na ito ay madalas na lumalabas sa mga gawain para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado. Ang ODZ ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo hindi lamang sa kaso ng logarithmic inequalities.
Tingnan muli ang halimbawa sa itaas. Isasaalang-alang namin ang ODZ batay dito, upang maunawaan mo ang prinsipyo, at ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi nagtataas ng mga katanungan. Mula sa kahulugan ng isang logarithm, sumusunod na ang 2x+4 ay dapat na mas malaki kaysa sa zero. Sa aming kaso ito ay nangangahulugan ng sumusunod.
Ang numerong ito, ayon sa kahulugan, ay dapat na positibo. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ipinakita sa itaas. Ito ay maaaring gawin kahit pasalita; dito ay malinaw na ang X ay hindi maaaring mas mababa sa 2. Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang kahulugan ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga.
Ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic inequality.
Itinatapon namin ang mga logarithms mismo mula sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Ano ang naiiwan nito sa atin? Simpleng hindi pagkakapantay-pantay.
Hindi ito mahirap lutasin. Ang X ay dapat na mas malaki sa -0.5. Ngayon pinagsasama namin ang dalawang nakuhang halaga sa isang sistema. kaya,
Ito ang magiging hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa logarithmic inequality na isinasaalang-alang.
Bakit kailangan natin ng ODZ? Ito ay isang pagkakataon upang alisin ang mga mali at imposibleng mga sagot. Kung ang sagot ay wala sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, kung gayon ang sagot ay walang katuturan. Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa loob ng mahabang panahon, dahil sa Unified State Examination ay madalas na kailangang maghanap para sa ODZ, at ito ay hindi lamang tungkol sa logarithmic inequalities.
Ang solusyon ay binubuo ng ilang mga yugto. Una, kailangan mong hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Magkakaroon ng dalawang kahulugan sa ODZ, tinalakay natin ito sa itaas. Susunod, kailangan mong lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay mismo. Ang mga pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod:
Depende sa sitwasyon, ito ay nagkakahalaga ng paggamit ng isa sa mga pamamaraan sa itaas. Direktang lumipat tayo sa solusyon. Ibunyag natin ang pinakasikat na paraan, na angkop para sa paglutas ng mga gawain ng Pinag-isang Estado ng Pagsusuri sa halos lahat ng kaso. Susunod na titingnan natin ang paraan ng agnas. Makakatulong ito kung makatagpo ka ng isang partikular na nakakalito na hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, isang algorithm para sa paglutas ng logarithmic inequality.
Mga halimbawa ng solusyon :
Ito ay hindi para sa wala na kinuha namin ang eksaktong hindi pagkakapantay-pantay na ito! Bigyang-pansin ang base. Tandaan: kung ito ay mas malaki sa isa, ang tanda ay nananatiling pareho kapag hinahanap ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga; kung hindi, kailangan mong baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Bilang resulta, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Ngayon binabawasan namin ang kaliwang bahagi sa anyo ng equation na katumbas ng zero. Sa halip na "mas mababa sa" sign inilalagay namin ang "katumbas" at lutasin ang equation. Kaya, mahahanap natin ang ODZ. Umaasa kami na hindi ka magkakaroon ng mga problema sa paglutas ng gayong simpleng equation. Ang mga sagot ay -4 at -2. Hindi lamang yan. Kailangan mong ipakita ang mga puntong ito sa graph, paglalagay ng "+" at "-". Ano ang kailangang gawin para dito? Palitan ang mga numero mula sa mga pagitan sa expression. Kung ang mga halaga ay positibo, inilalagay namin ang "+" doon.
Sagot: Ang x ay hindi maaaring mas malaki sa -4 at mas mababa sa -2.
Natagpuan namin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para lamang sa kaliwang bahagi; Ito ay mas madali. Sagot: -2. Nag-intersect kami sa parehong mga resultang lugar.
At ngayon pa lamang tayo nagsisimulang tugunan ang mismong hindi pagkakapantay-pantay.
Pasimplehin natin ito hangga't maaari para mas madaling malutas.
Muli naming ginagamit ang paraan ng pagitan sa solusyon. Laktawan natin ang mga kalkulasyon; ang lahat ay malinaw na kasama nito mula sa nakaraang halimbawa. Sagot.
Ngunit ang pamamaraang ito ay angkop kung ang logarithmic inequality ay may parehong mga batayan.
Ang paglutas ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay na may iba't ibang base ay nangangailangan ng paunang pagbawas sa parehong base. Susunod, gamitin ang pamamaraang inilarawan sa itaas. Ngunit mayroong isang mas kumplikadong kaso. Isaalang-alang natin ang isa sa mga pinaka-kumplikadong uri ng logarithmic inequalities.
Paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may ganitong mga katangian? Oo, at ang gayong mga tao ay matatagpuan sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado. Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa sumusunod na paraan ay magkakaroon din ng kapaki-pakinabang na epekto sa iyong proseso ng edukasyon. Tingnan natin ang isyu nang detalyado. Iwaksi natin ang teorya at dumiretso sa pagsasanay. Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, sapat na upang maging pamilyar sa halimbawa nang isang beses.
Upang malutas ang isang logarithmic inequality ng form na ipinakita, ito ay kinakailangan upang bawasan ang kanang bahagi sa isang logarithm na may parehong base. Ang prinsipyo ay kahawig ng mga katumbas na transition. Bilang isang resulta, ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging ganito.
Sa totoo lang, ang natitira na lang ay lumikha ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na walang logarithms. Gamit ang paraan ng rasyonalisasyon, lumipat tayo sa isang katumbas na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Mauunawaan mo ang mismong panuntunan kapag pinalitan mo ang mga naaangkop na halaga at sinusubaybayan ang kanilang mga pagbabago. Ang sistema ay magkakaroon ng mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay.
Kapag ginagamit ang paraan ng rasyonalisasyon kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong tandaan ang mga sumusunod: ang isa ay dapat ibawas mula sa base, x, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, ay ibabawas mula sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay (kanan mula sa kaliwa), dalawang expression ay pinarami at itakda sa ilalim ng orihinal na tanda na may kaugnayan sa zero.
Ang karagdagang solusyon ay isinasagawa gamit ang paraan ng agwat, ang lahat ay simple dito. Mahalaga para sa iyo na maunawaan ang mga pagkakaiba sa mga pamamaraan ng solusyon, kung gayon ang lahat ay magsisimulang gumana nang madali.
Mayroong maraming mga nuances sa logarithmic inequalities. Ang pinakasimpleng sa kanila ay medyo madaling malutas. Paano mo malulutas ang bawat isa sa kanila nang walang mga problema? Natanggap mo na ang lahat ng sagot sa artikulong ito. Ngayon ay mayroon kang mahabang pagsasanay sa unahan mo. Patuloy na magsanay sa paglutas ng iba't ibang mga problema sa pagsusulit at magagawa mong makuha ang pinakamataas na marka. Good luck sa iyo sa iyong mahirap na gawain!
Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
