Ang mga equation sa matematika ay kasinghalaga ng mga pandiwa sa Russian. Kung walang kakayahang hanapin ang ugat ng isang equation, mahirap sabihin na ang mag-aaral ay nakabisado ang kursong algebra. Bilang karagdagan, ang bawat uri ay may sariling mga espesyal na solusyon.
Ang equation ay dalawang arbitrary na expression na naglalaman ng mga variable, kung saan inilalagay ang isang pantay na tanda. Bukod dito, ang bilang ng mga hindi kilalang dami ay maaaring maging arbitrary. Minimal na halaga- isa.
Ang paglutas nito ay nangangahulugan ng pag-alam kung mayroong ugat ng equation. Ibig sabihin, ang bilang na nagiging tunay na pagkakapantay-pantay. Kung wala, ang sagot ay ang pahayag na "walang mga ugat." Ngunit ang kabaligtaran ay maaari ding maging totoo, kapag ang sagot ay isang hanay ng mga numero.
Linear. Naglalaman ito ng variable na ang antas ay katumbas ng isa.
Ito ay basic. Ito ang hitsura na sinisikap ng iba na makamit. Dahil medyo madaling mahanap ang ugat ng equation.
Una dapat siyang dalhin sa karaniwang view, iyon ay, buksan ang lahat ng mga bracket, magdala ng mga katulad na termino at ilipat ang lahat ng mga monomial sa kaliwang bahagi. Dapat ay may zero na lang ang natitira sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay.
Hanapin muna ang ugat ng equation x. Natutukoy ito sa pamamagitan ng pagpili ng mga numero na mga divisors ng libreng termino. Maginhawang isaalang-alang ang pamamaraang ito gamit ang isang tiyak na halimbawa. Hayaang ang equation ay: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.
Ang libreng termino nito ay katumbas ng 12. Pagkatapos ang mga divisors na kailangang suriin ay magiging positibo at negatibong mga numero: 1, 2, 3, 4, 6 at 12. Ang paghahanap ay maaaring makumpleto na sa numero 2. Ito ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay sa equation. Ibig sabihin, ang kaliwang bahagi nito ay nagiging zero. Kaya ang numero 2 ay ang unang ugat ng cubic equation.
Ngayon ay kailangan mong hatiin ang orihinal na equation sa pagkakaiba ng variable at ang unang ugat. Sa partikular na halimbawa ito ay (x - 2). Ang isang simpleng pagbabago ay humahantong sa numerator sa sumusunod na factorization: (x - 2)(x + 2)(x - 3). Ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nagkansela, at ang natitirang dalawang panaklong kapag binuksan ay nagbibigay ng isang simpleng quadratic equation: x 2 - x - 6 = 0.
Dito, hanapin ang dalawang ugat ng equation gamit ang prinsipyong inilarawan sa nakaraang seksyon. Ang mga ito ay mga numero: 3 at -2.
Sa kabuuan, ang isang partikular na cubic equation ay may tatlong ugat: 2, -2 at 3.
Ang isang paraan para sa pag-aalis ng mga hindi alam ay iminungkahi dito. Binubuo ito ng pagpapahayag ng isang hindi alam sa mga tuntunin ng isa pa sa isang equation at pagpapalit ng expression na ito sa isa pa. Bukod dito, ang solusyon sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam ay palaging isang pares ng mga variable.
Kung ang mga variable sa mga ito ay itinalaga ng mga titik x 1 at x 2, kung gayon posible na makuha, halimbawa, x 2 mula sa unang pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay pinapalitan ito sa pangalawa. Ang kinakailangang pagbabago ay isinasagawa: pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino. Ang resulta ay isang simpleng linear equation, ang ugat nito ay madaling kalkulahin.
Ngayon bumalik sa unang equation at hanapin ang ugat ng equation x 2 gamit ang resultang equation. Ang dalawang numerong ito ang sagot.
Upang makasigurado sa natanggap na sagot, inirerekumenda na palaging suriin. Hindi ito kailangang isulat.
Kung ang isang equation ay nalutas, ang bawat isa sa mga ugat nito ay dapat na palitan sa orihinal na pagkakapantay-pantay at makakuha ng parehong mga numero sa magkabilang panig. Nagsama-sama ang lahat - tama ang desisyon.
Kapag nagtatrabaho sa system, ang mga ugat ay dapat na maipasok sa bawat solusyon at ang lahat ng posibleng aksyon ay dapat gawin. Tama ba ang equation? Kaya tama ang desisyon.
Atbp., lohikal na pamilyar sa mga equation ng iba pang mga uri. Ang susunod sa linya ay linear na equation, ang target na pag-aaral na nagsisimula sa mga aralin sa algebra sa ika-7 baitang.
Maliwanag na kailangan muna nating ipaliwanag kung ano ang linear equation, magbigay ng kahulugan ng linear equation, ang mga coefficient nito, at ipakita ang pangkalahatang anyo nito. Pagkatapos ay maaari mong malaman kung gaano karaming mga solusyon ang mayroon ang isang linear equation depende sa mga halaga ng mga coefficient, at kung paano matatagpuan ang mga ugat. Ito ay magpapahintulot sa iyo na magpatuloy sa paglutas ng mga halimbawa, at sa gayon ay pagsamahin ang natutunang teorya. Sa artikulong ito gagawin natin ito: tatalakayin natin nang detalyado ang lahat ng teoretikal at praktikal na mga punto na may kaugnayan sa mga linear na equation at ang kanilang mga solusyon.
Sabihin natin kaagad na dito ay isasaalang-alang lamang natin ang mga linear na equation na may isang variable, at sa isang hiwalay na artikulo ay pag-aaralan natin ang mga prinsipyo ng solusyon linear equation na may dalawang variable.
Pag-navigate sa pahina.
Ang kahulugan ng isang linear equation ay ibinibigay sa paraan ng pagkakasulat nito. Bukod dito, sa iba't ibang mga aklat-aralin sa matematika at algebra, ang mga pormulasyon ng mga kahulugan ng mga linear na equation ay may ilang mga pagkakaiba na hindi nakakaapekto sa kakanyahan ng isyu.
Halimbawa, sa algebra textbook para sa grade 7 ni Yu N. Makarychev et al., ang isang linear na equation ay tinukoy bilang sumusunod:
Kahulugan.
Equation ng form isang x=b, kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay ilang mga numero, ay tinatawag linear equation na may isang variable.
Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga linear na equation na nakakatugon sa nakasaad na kahulugan. Halimbawa, ang 5 x = 10 ay isang linear equation na may isang variable na x, dito ang coefficient a ay 5, at ang bilang b ay 10. Isa pang halimbawa: −2.3·y=0 ay isa ring linear na equation, ngunit may variable na y, kung saan ang a=−2.3 at b=0. At sa mga linear na equation x=−2 at −x=3.33 a ay hindi malinaw na naroroon at katumbas ng 1 at −1, ayon sa pagkakabanggit, habang sa unang equation b=−2, at sa pangalawa - b=3.33.
At isang taon na mas maaga, sa aklat-aralin ng matematika ni N. Ya Vilenkin, ang mga linear na equation na may isang hindi kilalang, bilang karagdagan sa mga equation ng form a x = b, ay isinasaalang-alang din ang mga equation na maaaring dalhin sa form na ito sa pamamagitan ng paglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi. ng equation sa isa pang may kabaligtaran na tanda, gayundin sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Ayon sa kahulugan na ito, ang mga equation ng form 5 x = 2 x + 6, atbp. linear din.
Sa turn, sa algebra textbook para sa grade 7 ni A. G. Mordkovich ang sumusunod na kahulugan ay ibinigay:
Kahulugan.
Linear equation na may isang variable x ay isang equation ng anyong a·x+b=0, kung saan ang a at b ay ilang bilang na tinatawag na coefficients ng linear equation.
Halimbawa, ang mga linear na equation ng ganitong uri ay 2 x−12=0, dito ang coefficient a ay 2, at b ay katumbas ng −12, at 0.2 y+4.6=0 na may coefficients a=0.2 at b =4.6. Ngunit sa parehong oras, may mga halimbawa ng mga linear na equation na may anyo na hindi a·x+b=0, ngunit a·x=b, halimbawa, 3·x=12.
Hayaan natin, upang wala tayong anumang mga pagkakaiba sa hinaharap, sa pamamagitan ng isang linear na equation na may isang variable na x at mga coefficients a at b mauunawaan natin ang isang equation ng form na a x + b = 0. Ang ganitong uri ng linear equation ay tila ang pinaka-makatwiran, dahil ang mga linear equation ay algebraic equation unang degree. At lahat ng iba pang mga equation na nabanggit sa itaas, pati na rin ang mga equation na, gamit ang mga katumbas na pagbabagong-anyo, ay nabawasan sa anyo na a x + b = 0, tatawagin natin mga equation na bumababa sa mga linear na equation. Sa diskarteng ito, ang equation na 2 x+6=0 ay isang linear na equation, at 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, atbp. - Ito ang mga equation na bumababa sa mga linear.
Ngayon ay oras na upang malaman kung paano nalulutas ang mga linear equation na a·x+b=0. Sa madaling salita, oras na upang malaman kung ang isang linear equation ay may mga ugat, at kung gayon, ilan sa kanila at kung paano mahahanap ang mga ito.
Ang pagkakaroon ng mga ugat ng isang linear equation ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficient a at b. Sa kasong ito, ang linear equation a x+b=0 ay mayroon
Ipaliwanag natin kung paano nakuha ang mga resultang ito.
Alam natin na upang malutas ang mga equation maaari tayong lumipat mula sa orihinal na equation patungo sa mga katumbas na equation, iyon ay, sa mga equation na may parehong mga ugat o, tulad ng orihinal, na walang mga ugat. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na katumbas na pagbabago:
Kaya, sa isang linear equation na may isang variable ng form na a·x+b=0, maaari nating ilipat ang terminong b mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda. Sa kasong ito, ang equation ay kukuha ng anyong a·x=−b.
At pagkatapos ay hinihiling nito ang tanong ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa bilang na a. Ngunit mayroong isang bagay: ang numero a ay maaaring katumbas ng zero, kung saan imposible ang naturang dibisyon. Upang harapin ang problemang ito, ipagpalagay muna natin na ang numero a ay hindi zero, at isasaalang-alang natin ang kaso ng isang pagiging katumbas ng zero nang hiwalay sa ibang pagkakataon.
Kaya, kapag ang a ay hindi katumbas ng zero, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na a·x=−b ng a, pagkatapos nito ay mababago ito sa anyo na x=(−b):a, ang resultang ito ay maaaring nakasulat gamit ang fractional slash bilang.
Kaya, para sa a≠0, ang linear equation na a·x+b=0 ay katumbas ng equation, kung saan makikita ang ugat nito.
Madaling ipakita na ang ugat na ito ay natatangi, ibig sabihin, ang linear equation ay walang ibang mga ugat. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na gawin ito sa pamamagitan ng kontradiksyon.
Tukuyin natin ang ugat bilang x 1. Ipagpalagay natin na may isa pang ugat ng linear equation, na tinutukoy natin bilang x 2, at x 2 ≠x 1, na, dahil sa pagtukoy ng pantay na mga numero sa pamamagitan ng pagkakaiba ay katumbas ng kundisyon x 1 −x 2 ≠0. Dahil ang x 1 at x 2 ay mga ugat ng linear equation na a·x+b=0, kung gayon ang mga numerical equalities na a·x 1 +b=0 at a·x 2 +b=0 ay humawak. Maaari nating ibawas ang mga katumbas na bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito, na pinahihintulutan ng mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay na numero, mayroon tayong a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, kung saan a·(x 1). −x 2)+( b−b)=0 at pagkatapos ay a·(x 1 −x 2)=0 . Ngunit ang pagkakapantay-pantay na ito ay imposible, dahil pareho ang a≠0 at x 1 − x 2 ≠0. Kaya dumating kami sa isang kontradiksyon, na nagpapatunay sa pagiging natatangi ng ugat ng linear equation na a·x+b=0 para sa a≠0.
Kaya nalutas namin ang linear equation na a·x+b=0 para sa a≠0. Ang unang resulta na ibinigay sa simula ng talatang ito ay makatwiran. May dalawa pang natitira na nakakatugon sa kundisyon a=0.
Kapag a=0, ang linear equation na a·x+b=0 ay nasa anyong 0·x+b=0. Mula sa equation na ito at sa pag-aari ng pagpaparami ng mga numero sa zero ay sumusunod na kahit anong numero ang kunin natin bilang x, kapag ito ay ipinalit sa equation na 0 x + b=0, ang numerical equality b=0 ay makukuha. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo kapag b=0, at sa ibang mga kaso kapag b≠0 ang pagkakapantay-pantay na ito ay mali.
Dahil dito, na may a=0 at b=0, ang anumang numero ay ang ugat ng linear equation na a·x+b=0, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang pagpapalit ng anumang numero para sa x ay nagbibigay ng tamang numerical equality 0=0. At kapag ang a=0 at b≠0, ang linear equation na a·x+b=0 ay walang mga ugat, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x ay humahantong sa hindi tamang pagkakapantay-pantay ng numero b=0.
Ang ibinigay na mga katwiran ay nagbibigay-daan sa amin na bumalangkas ng isang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na nagbibigay-daan sa amin upang malutas ang anumang linear equation. Kaya, algorithm para sa paglutas ng linear equation ay:
Ang nakasulat na algorithm ay isang komprehensibong sagot sa tanong kung paano malutas ang mga linear na equation.
Sa pagtatapos ng puntong ito, nararapat na sabihin na ang isang katulad na algorithm ay ginagamit upang malutas ang mga equation ng anyong a·x=b. Ang pagkakaiba nito ay kapag ang a≠0, ang magkabilang panig ng equation ay agad na hinati sa numerong ito, dito ang b ay nasa kinakailangang bahagi ng equation at hindi na kailangang ilipat ito.
Upang malutas ang mga equation ng form a x = b, ang sumusunod na algorithm ay ginagamit:
Magpatuloy tayo sa pagsasanay. Tingnan natin kung paano ginagamit ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation. Magpakita tayo ng mga solusyon sa mga tipikal na halimbawa na tumutugma sa iba't ibang mga halaga ng mga koepisyent ng mga linear na equation.
Halimbawa.
Lutasin ang linear equation 0·x−0=0.
Solusyon.
Sa linear equation na ito, a=0 at b=−0 , na kapareho ng b=0 . Samakatuwid, ang equation na ito ay may walang katapusang maraming ugat;
Sagot:
x – anumang numero.
Halimbawa.
May mga solusyon ba ang linear equation 0 x + 2.7 = 0?
Solusyon.
Sa kasong ito, ang coefficient a ay katumbas ng zero, at ang coefficient b ng linear equation na ito ay katumbas ng 2.7, iyon ay, naiiba sa zero. Samakatuwid, ang isang linear na equation ay walang mga ugat.
Mahalagang tala!
1. Kung makakita ka ng gobbledygook sa halip na mga formula, i-clear ang iyong cache. Kung paano ito gawin sa iyong browser ay nakasulat dito:
2. Bago mo simulan ang pagbabasa ng artikulo, bigyang pansin ang aming navigator para sa karamihan kapaki-pakinabang na mapagkukunan Para sa
o pasalita - tatlong kaibigan ang binigyan ng mansanas bawat isa sa batayan na si Vasya ay may lahat ng mansanas sa stock.
At ngayon nakapagdesisyon ka na linear equation
Ngayon, bigyan natin ang terminong ito ng depinisyon sa matematika.
Linear equation - Ito algebraic equation, kung saan ang kabuuang antas ng mga constituent polynomial nito ay katumbas ng. Mukhang ganito:
Saan at anumang mga numero at
Para sa aming kaso kay Vasya at mansanas, isusulat namin:
- "Kung magbibigay si Vasya ng parehong bilang ng mga mansanas sa lahat ng tatlong mga kaibigan, wala siyang mga mansanas na natitira"
Sa kabila ng katotohanan na sa unang sulyap ang lahat ay napaka-simple, kapag nilutas ang mga equation kailangan mong mag-ingat, dahil ang mga linear na equation ay tinatawag na hindi lamang mga equation ng ganitong uri, kundi pati na rin ang anumang mga equation na maaaring mabawasan sa ganitong uri sa pamamagitan ng mga pagbabagong-anyo at pagpapagaan. Halimbawa:
Nakikita natin kung ano ang nasa kanan, na, sa teorya, ay nagpapahiwatig na na ang equation ay hindi linear. Bukod dito, kung bubuksan natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng dalawa pang termino kung saan ito magiging, ngunit huwag magmadali sa mga konklusyon! Bago husgahan kung linear ang isang equation, kailangang gawin ang lahat ng pagbabago at sa gayon ay gawing simple ang orihinal na halimbawa. Sa kasong ito, maaaring magbago ang mga pagbabago hitsura, ngunit hindi ang pinakadiwa ng equation.
Sa madaling salita, ang data ng pagbabago ay dapat magkapareho o katumbas. Dalawa lang ang ganitong pagbabago, ngunit napakaimportante ng papel nila sa paglutas ng mga problema. Tingnan natin ang parehong pagbabago gamit ang mga partikular na halimbawa.
Sabihin nating kailangan nating lutasin ang sumusunod na equation:
Nasa mababang Paaralan Sinabi sa amin: "na may X's - sa kaliwa, walang X's - sa kanan." Anong expression na may X ang nasa kanan? Iyan ay tama, ngunit hindi kung paano hindi. At ito ay mahalaga, dahil kung ang tila simpleng tanong na ito ay hindi maintindihan, ang maling sagot ay lalabas. Anong expression na may X ang nasa kaliwa? Tama, .
Ngayong napag-isipan na natin ito, inililipat natin sa kaliwang bahagi ang lahat ng mga terminong may hindi alam, at lahat ng nalalaman sa kanan, na naaalala na kung walang palatandaan sa harap ng numero, halimbawa, positibo ang numero. , ibig sabihin, may karatula sa harap nito " "
Inilipat? Ano ang nakuha mo?
Ang kailangan lang gawin ay magdala ng mga katulad na termino. Ipinepresenta namin:
Kaya, matagumpay naming nasuri ang unang magkaparehong pagbabago, kahit na sigurado ako na alam mo na ito at aktibong ginamit ito nang wala ako. Ang pangunahing bagay ay huwag kalimutan ang tungkol sa mga palatandaan ng mga numero at baguhin ang mga ito sa kabaligtaran kapag naglilipat sa pamamagitan ng pantay na tanda!
Magsimula tayo kaagad sa isang halimbawa
Tingnan natin at isipin: ano ang hindi natin gusto sa halimbawang ito? Ang hindi alam ay nasa isang bahagi, ang kilala sa isa pa, ngunit may pumipigil sa atin... At ito ay apat, dahil kung hindi dahil dito, magiging perpekto ang lahat - x katumbas ng bilang- eksakto sa paraang kailangan natin ito!
Paano mo ito maaalis? Hindi natin ito maililipat sa kanan, dahil kailangan nating ilipat ang buong multiplier (hindi natin ito makukuha at alisin ito), at ang paglipat ng buong multiplier ay hindi rin makatwiran...
Panahon na upang tandaan ang tungkol sa paghahati, kaya hatiin natin ang lahat sa pamamagitan ng! Lahat - nangangahulugan ito ng parehong kaliwa at kanang bahagi. Sa ganitong paraan at sa ganitong paraan lamang! Anong gagawin natin?
Narito ang sagot.
Tingnan natin ngayon ang isa pang halimbawa:
Maaari mo bang hulaan kung ano ang kailangang gawin sa kasong ito? Tama, paramihin ang kaliwa at kanang bahagi! Anong sagot ang natanggap mo? Tama. .
Tiyak na alam mo na ang lahat tungkol sa pagbabago ng pagkakakilanlan. Isipin na na-refresh lang namin ang kaalamang ito sa iyong memorya at oras na para sa higit pa - Halimbawa, upang malutas ang aming malaking halimbawa:
Tulad ng sinabi namin kanina, sa pagtingin dito, hindi mo masasabi na ang equation na ito ay linear, ngunit kailangan nating buksan ang mga bracket at magsagawa ng magkaparehong pagbabago. Kaya simulan na natin!
Upang magsimula, naaalala natin ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na, ang parisukat ng kabuuan at ang parisukat ng pagkakaiba. Kung hindi mo matandaan kung ano ito at kung paano binubuksan ang mga panaklong, lubos kong inirerekumenda na basahin ang paksa, dahil ang mga kasanayang ito ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo kapag nilulutas ang halos lahat ng mga halimbawang nakatagpo sa pagsusulit.
Nabunyag? Ihambing natin:
Ngayon ay oras na upang magdala ng mga katulad na termino. Naalala mo ba kung paano tayo naging pareho mababang Paaralan sabi ba nila "hindi kami naglalagay ng langaw na may mga cutlet"? Narito ipinaalala ko sa iyo ito. Idinaragdag namin ang lahat nang hiwalay - ang mga salik na mayroon, ang mga salik na mayroon, at ang natitirang mga salik na walang mga hindi alam. Kapag nagdala ka ng mga katulad na termino, ilipat ang lahat ng hindi alam sa kaliwa, at lahat ng alam sa kanan. Ano ang nakuha mo?
Tulad ng nakikita mo, ang mga X sa parisukat ay nawala at nakita namin ang isang bagay na ganap na normal. linear equation. Ang natitira na lang ay hanapin ito!
At sa wakas sasabihin ko ang isa pa mahalagang bagay tungkol sa mga pagbabago sa pagkakakilanlan - ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan ay naaangkop hindi lamang para sa mga linear na equation, kundi pati na rin para sa quadratic, fractional rational at iba pa. Kailangan mo lang tandaan na kapag naglilipat tayo ng mga salik sa pamamagitan ng equal sign, binabago natin ang sign sa kabaligtaran, at kapag naghahati o nag-multiply sa ilang numero, pinaparami/hinahati natin ang magkabilang panig ng equation sa PAREHONG numero.
Ano pa ang kinuha mo sa halimbawang ito? Na sa pamamagitan ng pagtingin sa isang equation ay hindi laging posible na direkta at tumpak na matukoy kung ito ay linear o hindi. Kinakailangan munang ganap na gawing simple ang expression, at pagkatapos ay hatulan kung ano ito.
Linear na equation. Mga halimbawa.
Narito ang ilang higit pang mga halimbawa para sa iyo na magsanay sa iyong sarili - tukuyin kung ang equation ay linear at kung gayon, hanapin ang mga ugat nito:
Mga sagot:
1. Ay.
2. Ay hindi.
Buksan natin ang mga bracket at ipakita ang mga katulad na termino:
Magsagawa tayo ng magkaparehong pagbabago - hatiin ang kaliwa at kanang bahagi sa:
Nakikita natin na ang equation ay hindi linear, kaya hindi na kailangang hanapin ang mga ugat nito.
3. Ay.
Magsagawa tayo ng magkatulad na pagbabagong-anyo - paramihin ang kaliwa at kanang bahagi upang maalis ang denominator.
Isipin kung bakit napakahalaga nito? Kung alam mo ang sagot sa tanong na ito, magpatuloy sa higit pang paglutas sa equation kung hindi, siguraduhing tingnan ang paksa upang hindi magkamali sa mas kumplikadong mga halimbawa. Sa pamamagitan ng paraan, tulad ng nakikita mo, ang sitwasyon ay imposible. Bakit?
Kaya, magpatuloy tayo at muling ayusin ang equation:
Kung pinamamahalaan mo ang lahat nang walang kahirapan, pag-usapan natin ang mga linear equation na may dalawang variable.
Ngayon ay lumipat tayo sa isang maliit na mas kumplikado - mga linear equation na may dalawang variable.
Linear na equation na may dalawang variable ay may anyo:
Saan, at - anumang mga numero at.
Tulad ng nakikita mo, ang pagkakaiba lamang ay ang isa pang variable ay idinagdag sa equation. At kaya lahat ay pareho - walang x squared, walang dibisyon sa pamamagitan ng isang variable, atbp. at iba pa.
Anong uri ng halimbawa ng buhay ang maibibigay ko sa iyo... Kunin natin ang parehong Vasya. Sabihin nating nagpasya siyang bibigyan niya ang bawat isa sa 3 kaibigan ng parehong bilang ng mga mansanas, at itago ang mga mansanas para sa kanyang sarili. Ilang mansanas ang kailangang bilhin ni Vasya kung bibigyan niya ang bawat kaibigan ng isang mansanas? Paano kung? Paano kung sa pamamagitan ng?
Ang pagtitiwala sa bilang ng mga mansanas na matatanggap ng bawat tao kabuuang bilang Ang mga mansanas na kailangang bilhin ay ipapahayag ng equation:
Ang paglutas ng problemang ito, nakuha namin na kung binibigyan ni Vasya ang isang kaibigan ng isang mansanas, pagkatapos ay kailangan niyang bumili ng mga piraso, kung nagbibigay siya ng mga mansanas, atbp.
At sa pangkalahatan. Mayroon kaming dalawang variable. Bakit hindi i-plot ang relasyon na ito sa isang graph? Binubuo at minarkahan namin ang halaga namin, iyon ay, mga puntos, na may mga coordinate, at!
Tulad ng makikita mo, umaasa sila sa isa't isa linear, kaya ang pangalan ng mga equation - " linear».
Mag-abstract tayo mula sa mga mansanas at tingnan ang iba't ibang mga equation nang grapiko. Tingnang mabuti ang dalawang graph na binuo - isang tuwid na linya at isang parabola, na tinukoy ng mga arbitrary na function:
Hanapin at markahan ang mga kaukulang punto sa parehong larawan.
Ano ang nakuha mo?
Makikita mo iyon sa graph ng unang function mag-isa tumutugma isa, iyon ay, sila rin ay linearly na nakasalalay sa isa't isa, na hindi masasabi tungkol sa pangalawang pag-andar. Siyempre, maaari kang magtaltalan na sa pangalawang graph ang x - ay tumutugma din, ngunit ito ay isang punto lamang, iyon ay, isang espesyal na kaso, dahil makakahanap ka pa rin ng isa na tumutugma sa higit sa isa. At ang itinayong graph ay hindi katulad ng isang linya, ngunit isang parabola.
Uulitin ko, isang beses pa: ang graph ng isang linear equation ay dapat na isang STRAIGHT line.
Sa katotohanan na ang equation ay hindi magiging linear kung pupunta tayo sa anumang antas - ito ay malinaw gamit ang halimbawa ng isang parabola, bagaman maaari kang bumuo ng ilang mas simpleng mga graph para sa iyong sarili, halimbawa o. Ngunit sinisiguro ko sa iyo - wala sa mga ito ang magiging tuwid na LINE.
Hindi naniniwala? Buuin ito at pagkatapos ay ihambing ito sa kung ano ang nakuha ko:
Ano ang mangyayari kung hatiin natin ang isang bagay sa, halimbawa, ilang numero? Magkakaroon ba ng linear na relasyon at? Huwag na tayong magtalo, bagkus ay bumuo tayo! Halimbawa, bumuo tayo ng graph ng isang function.
Kahit papaano ay hindi ito mukhang itinayo bilang isang tuwid na linya... ayon dito, ang equation ay hindi linear.
Ibuod natin:
1. Linear equation
Ito ay isang algebraic equation kung saan ang kabuuang antas ng mga constituent polynomial nito ay pantay.
2. Linear equation na may isang variable ay may anyo:
Saan at anumang mga numero;
3. Linear equation na may dalawang variable ay may anyo:
Saan, at - anumang mga numero.
4. Mga pagbabago sa pagkakakilanlan
Upang matukoy kung ang isang equation ay linear o hindi, kinakailangan na magsagawa ng magkatulad na pagbabagong-anyo:
Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.
Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa sa isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!
Ngayon ang pinakamahalagang bagay.
Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.
Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...
Para saan?
Para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.
Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...
Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.
Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.
Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa kanila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...
Pero isipin mo ang sarili mo...
Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at makapasok sa huli... mas masaya?
AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.
Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.
Kakailanganin mong lutasin ang mga problema laban sa oras.
At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.
Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.
Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!
Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.
Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.
Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:
Oo, mayroon kaming 99 na mga artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.
Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa BUONG buhay ng site.
Sa konklusyon...
Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.
Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.
Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!
Ang pag-aaral sa paglutas ng mga equation ay isa sa mga pangunahing gawain na ibinibigay ng algebra para sa mga mag-aaral. Simula sa pinakasimple, kapag ito ay binubuo ng isang hindi alam, at lumipat sa mas at mas kumplikado. Kung hindi mo pa pinagkadalubhasaan ang mga aksyon na kailangang gawin gamit ang mga equation mula sa unang grupo, magiging mahirap na maunawaan ang iba.
Upang ipagpatuloy ang pag-uusap, kailangan mong sumang-ayon sa notasyon.
Anumang equation na maaaring isulat tulad nito:
a * x = b,
tinawag linear. Ito ang pangkalahatang formula. Ngunit madalas sa mga takdang-aralin ang mga linear na equation ay nakasulat sa implicit form. Pagkatapos ay kinakailangan na magsagawa ng magkaparehong mga pagbabagong-anyo upang makakuha ng pangkalahatang tinatanggap na notasyon. Kasama sa mga pagkilos na ito ang:
Sa kaso kung saan ang isang hindi kilalang dami ay nasa denominator ng isang fraction, kailangan mong matukoy ang mga halaga nito kung saan ang expression ay hindi magkakaroon ng kahulugan. Sa madaling salita, kailangan mong malaman ang domain ng kahulugan ng equation.
Ang prinsipyo kung saan nalulutas ang lahat ng mga linear na equation ay bumaba sa paghahati ng halaga sa kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng coefficient sa harap ng variable. Ibig sabihin, ang "x" ay magiging katumbas ng b/a.
Sa panahon ng pangangatwiran, maaaring lumitaw ang mga sandali kapag ang mga linear na equation ay kinuha sa isa sa mga espesyal na anyo. Ang bawat isa sa kanila ay may isang tiyak na solusyon.
Sa unang sitwasyon:
a * x = 0, at isang ≠ 0.
Ang solusyon sa naturang equation ay palaging x = 0.
Sa pangalawang kaso, kinukuha ng "a" ang halaga na katumbas ng zero:
0 * x = 0.
Ang sagot sa naturang equation ay anumang numero. Ibig sabihin, mayroon itong walang katapusang bilang ng mga ugat.
Ang ikatlong sitwasyon ay ganito ang hitsura:
0 * x = sa, kung saan sa ≠ 0.
Walang saysay ang equation na ito. Dahil walang mga ugat na nagbibigay-kasiyahan dito.
Mula sa pangalan nito ay nagiging malinaw na mayroon nang dalawang hindi kilalang dami sa loob nito. Mga linear na equation sa dalawang variable ganito ang hitsura:
a * x + b * y = c.
Dahil mayroong dalawang hindi alam sa talaan, ang sagot ay magmumukhang isang pares ng mga numero. Ibig sabihin, hindi sapat na tukuyin lamang ang isang halaga. Ito ay magiging isang hindi kumpletong sagot. Ang isang pares ng mga dami kung saan ang equation ay naging isang pagkakakilanlan ay isang solusyon sa equation. Bukod dito, sa sagot, ang variable na nauuna sa alpabeto ay palaging naisulat muna. Minsan sinasabi nila na ang mga numerong ito ay nagbibigay-kasiyahan sa kanya. Bukod dito, maaaring mayroong isang walang katapusang bilang ng mga naturang pares.
Upang gawin ito, kailangan mo lamang pumili ng anumang pares ng mga numero na lumalabas na tama. Para sa pagiging simple, maaari mong kunin ang isa sa mga hindi alam na katumbas ng ilang prime number, at pagkatapos ay hanapin ang pangalawa.
Kapag nagso-solve, madalas kang kailangang magsagawa ng mga hakbang upang gawing simple ang equation. Tinatawag silang mga pagbabago sa pagkakakilanlan. Bukod dito, ang mga sumusunod na katangian ay palaging totoo para sa mga equation:
Unang gawain. Lutasin ang mga linear na equation: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.
Sa equation na mauna sa listahang ito, hatiin lang ang 20 sa 4. Ang magiging resulta ay 5. Ito ang sagot: x = 5.
Ang ikatlong equation ay nangangailangan na ang isang pagbabago ng pagkakakilanlan ay maisagawa. Ito ay binubuo ng pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino. Pagkatapos ng unang hakbang, ang equation ay kukuha ng anyo: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Pagkatapos ay kailangan mong ilipat ang lahat ng hindi alam sa kaliwang bahagi ng equation, at ang natitira sa kanan. Magiging ganito ang equation: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Pagkatapos magdagdag ng mga katulad na termino: 14x = 16. Ngayon ay kapareho ito ng una, at ang solusyon nito ay madaling mahanap. Ang magiging sagot ay x=8/7. Ngunit sa matematika dapat mong ihiwalay ang buong bahagi mula sa isang hindi wastong bahagi. Pagkatapos ang resulta ay mababago, at ang "x" ay magiging katumbas ng isang buo at isang ikapito.
Sa natitirang mga halimbawa, ang mga variable ay nasa denominator. Nangangahulugan ito na kailangan mo munang malaman kung anong mga halaga ang tinukoy ng mga equation. Upang gawin ito, kailangan mong ibukod ang mga numero kung saan ang mga denominator ay napupunta sa zero. Sa unang halimbawa ito ay "-4", sa pangalawa ito ay "-3". Iyon ay, ang mga halagang ito ay kailangang ibukod sa sagot. Pagkatapos nito, kailangan mong i-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ng mga expression sa denominator.
Ang pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino, sa una sa mga equation na ito ay makukuha natin: 5x + 15 = 4x + 16, at sa pangalawang 5x + 15 = 4x + 12. Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, ang solusyon sa unang equation ay magiging x = -1. Ang pangalawa ay lumalabas na katumbas ng "-3", na nangangahulugan na ang huli ay walang mga solusyon.
Pangalawang gawain. Lutasin ang equation: -7x + 2y = 5.
Ipagpalagay na ang unang hindi kilalang x = 1, kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo -7 * 1 + 2y = 5. Ang paglipat ng salik na "-7" sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay at pagpapalit ng sign nito sa plus, lumalabas na 2y = 12. Ibig sabihin y =6. Sagot: isa sa mga solusyon sa equation na x = 1, y = 6.
Ang lahat ng posibleng sitwasyon para sa hindi pagkakapantay-pantay ay ipinakita dito:
Sa pangkalahatan, mukhang isang simpleng linear equation, ang pantay na tanda lamang ang pinalitan ng hindi pagkakapantay-pantay.
Tulad ng mga linear equation, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring baguhin ayon sa ilang mga batas. Sila ay bumagsak sa mga sumusunod:
Ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ipakita sa mga problema:
Tinatawag itong doble dahil nalilimitahan ito ng mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay sa magkabilang panig. Ito ay malulutas gamit ang parehong mga patakaran tulad ng mga ordinaryong hindi pagkakapantay-pantay. At ang paghahanap ng sagot ay nagmumula sa isang serye ng magkatulad na pagbabago. Hanggang sa makuha ang pinakasimple.
Ang una sa mga ito ay ang kanyang imahe sa coordinate axis. Hindi na kailangang gamitin ang paraang ito para sa mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay. Ngunit sa mahihirap na kaso, maaaring kailanganin lamang ito.
Upang ilarawan ang isang hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong markahan sa axis ang lahat ng mga puntos na nakuha sa panahon ng pangangatwiran. Ito ay mga di-wastong halaga, na ipinahiwatig ng mga butas na tuldok, at mga halaga mula sa mga hindi pagkakapantay-pantay na nakuha pagkatapos ng mga pagbabago. Dito rin, mahalagang iguhit nang tama ang mga tuldok. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, iyon ay< или >, pagkatapos ay mapupuksa ang mga halagang ito. Sa mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga punto ay dapat na lilim.
Pagkatapos ito ay kinakailangan upang ipahiwatig ang kahulugan ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Magagawa ito gamit ang pagtatabing o mga arko. Ang kanilang intersection ay magsasaad ng sagot.
Ang pangalawang tampok ay nauugnay sa pag-record nito. Mayroong dalawang opsyon na inaalok dito. Ang una ay ang tunay na hindi pagkakapantay-pantay. Ang pangalawa ay nasa anyo ng mga pagitan. Nangyayari sa kanya na lumitaw ang mga paghihirap. Ang sagot sa mga puwang ay palaging mukhang isang variable na may sign ng pagiging miyembro at mga panaklong na may mga numero. Minsan mayroong ilang mga puwang, pagkatapos ay kailangan mong isulat ang simbolo na "at" sa pagitan ng mga bracket. Ang mga palatandaang ito ay ganito ang hitsura: ∈ at ∩. May papel din ang mga spacing bracket. Ang bilog ay inilalagay kapag ang punto ay hindi kasama sa sagot, at ang hugis-parihaba ay kasama ang halagang ito. Ang infinity sign ay palaging nasa panaklong.
1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 7 - 5x ≥ 37.
Pagkatapos ng mga simpleng pagbabago, makakakuha tayo ng: -5x ≥ 30. Ang paghahati sa "-5" ay makukuha natin ang sumusunod na expression: x ≤ -6. Ito na ang sagot, ngunit maaari itong isulat sa ibang paraan: x ∈ (-∞; -6].
2. Lutasin ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay -4< 2x + 6 ≤ 8.
Una kailangan mong ibawas ang 6 kahit saan makakakuha ka ng: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].
Ang linear equation ay isang algebraic equation na ang kabuuang antas ng polynomials ay katumbas ng isa. Ang paglutas ng mga linear na equation ay bahagi ng kurikulum ng paaralan, at hindi ang pinakamahirap. Gayunpaman, nahihirapan pa rin ang ilan sa pagkumpleto ng paksang ito. Sana matapos basahin materyal na ito, lahat ng paghihirap para sa iyo ay magiging isang bagay ng nakaraan. Kaya, alamin natin ito. kung paano lutasin ang mga linear equation.
Ang linear equation ay kinakatawan bilang:
Kahit na ang a at b ay maaaring maging anumang numero, ang kanilang mga halaga ay nakakaapekto sa bilang ng mga solusyon sa equation. Mayroong ilang mga espesyal na kaso ng solusyon:
Kung ang parehong mga numero ay may mga non-zero na halaga, ang equation ay dapat lutasin upang makuha ang panghuling expression para sa variable.
Ang paglutas ng isang linear equation ay nangangahulugan ng paghahanap kung ano ang katumbas ng variable. Paano ito gawin? Oo, ito ay napaka-simple - gamit ang mga simpleng algebraic na operasyon at pagsunod sa mga patakaran ng paglipat. Kung ang equation ay lilitaw sa harap mo sa pangkalahatang anyo, ikaw ay swerte ang kailangan mo lang gawin;
Iyon lang - isang solusyon ay natagpuan!
Ngayon tingnan natin ang isang partikular na halimbawa:
Iyon lang! Ang aming solusyon: x = -2.
Tulad ng nakikita mo, ang solusyon sa isang linear equation na may isang variable ay medyo simple upang mahanap, ngunit ang lahat ay napakasimple kung tayo ay sapat na mapalad na makita ang equation sa pangkalahatang anyo nito. Sa karamihan ng mga kaso, bago lutasin ang equation sa dalawang hakbang na inilarawan sa itaas, kailangan mo ring bawasan ang umiiral na expression sa pangkalahatang hitsura. Gayunpaman, hindi rin ito isang napakahirap na gawain. Tingnan natin ang ilang mga espesyal na kaso gamit ang mga halimbawa.
Una, tingnan natin ang mga kaso na inilarawan namin sa simula ng artikulo at ipaliwanag kung ano ang ibig sabihin ng magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon at walang solusyon.
Ang inilarawan na mga espesyal na kaso ay hindi lahat ng mga linear equation na maaaring mabigla sa amin. Minsan ang equation ay mahirap kilalanin sa unang tingin. Tingnan natin ang isang halimbawa:
Ito ba ay isang linear equation? Paano ang zero sa kanang bahagi? Huwag tayong magmadali sa mga konklusyon, kumilos tayo - ilipat natin ang lahat ng mga bahagi ng ating equation sa kaliwa. Nakukuha namin:
Ngayon ibawas ang like mula sa like, nakukuha natin:
Natutunan? Ang pinaka-linear na equation kailanman! Ang solusyon kung saan ay: x = 20/10 = 2.
Paano kung mayroon tayong ganitong halimbawa:
Oo, ito rin ay isang linear na equation, mas maraming pagbabagong-anyo lamang ang kailangang isagawa. Una, buksan natin ang mga bracket:
Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay maaaring malutas, ang pangunahing bagay ay hindi mag-alala, ngunit kumilos. Tandaan, kung ang iyong equation ay naglalaman lamang ng mga variable ng unang antas at mga numero, mayroon kang isang linear na equation, na, gaano man ito hitsura sa simula, ay maaaring bawasan sa isang pangkalahatang anyo at lutasin. Umaasa kami na ang lahat ay gagana para sa iyo! Good luck!
