Ang axis ay ang direksyon. Nangangahulugan ito na ang projection sa isang axis o papunta sa isang direktang linya ay itinuturing na pareho. Ang projection ay maaaring algebraic o geometric. Sa mga geometric na termino, ang projection ng isang vector sa isang axis ay nauunawaan bilang isang vector, at sa algebraic terms, ito ay nauunawaan bilang isang numero. Iyon ay, ang mga konsepto ng projection ng isang vector papunta sa isang axis at numerical projection ng isang vector sa isang axis ay ginagamit.
Kung mayroon tayong L axis at non-zero vector A B →, maaari tayong bumuo ng vector A 1 B 1 ⇀, na nagsasaad ng mga projection ng mga puntos nito A 1 at B 1.
A 1 B → 1 ang magiging projection ng vector A B → papunta sa L.
Kahulugan 1
Projection ng vector papunta sa axis ay isang vector na ang simula at wakas ay mga projection ng simula at pagtatapos ng isang naibigay na vector. n p L A B → → kaugalian na tukuyin ang projection A B → papunta sa L. Upang makabuo ng projection sa L, ang mga perpendicular ay ibinaba sa L.
Halimbawa 1
Isang halimbawa ng projection ng vector sa isang axis.
Sa coordinate plane O x y, ang puntong M 1 (x 1, y 1) ay tinukoy. Kinakailangang bumuo ng mga projection sa O x at O y upang imahen ang radius vector ng point M 1. Nakukuha namin ang mga coordinate ng mga vectors (x 1, 0) at (0, y 1).
Kung pinag-uusapan natin tungkol sa projection ng a → papunta sa isang di-zero b → o ang projection ng a → papunta sa direksyon b → , pagkatapos ay ibig sabihin namin ang projection ng a → papunta sa axis kung saan ang direksyon b → coincides. Ang projection ng a → papunta sa linyang tinukoy ng b → ay denoted n p b → a → → . Alam na kapag ang anggulo sa pagitan ng a → at b → , n p b → a → → at b → ay maituturing na codirectional. Sa kaso kapag ang anggulo ay malabo, n p b → a → → at b → ay nasa magkasalungat na direksyon. Sa isang sitwasyon ng perpendicularity a → at b →, at a → ay zero, ang projection ng a → sa direksyon b → ay ang zero vector.
Ang numerical na katangian ng projection ng isang vector sa isang axis ay ang numerical na projection ng isang vector sa isang ibinigay na axis.
Kahulugan 2
Numerical projection ng vector papunta sa axis ay isang numero na katumbas ng produkto ng haba ng isang naibigay na vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng ibinigay na vector at ng vector na tumutukoy sa direksyon ng axis.
Ang numerical projection ng A B → papunta sa L ay ipinapahiwatig n p L A B → , at a → sa b → - n p b → a → .
Batay sa formula, nakukuha natin ang n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , mula sa kung saan ang a → ay ang haba ng vector a → , a ⇀ , b → ^ ay ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a → at b → .
Nakukuha namin ang formula para sa pagkalkula ng numerical projection: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Naaangkop ito para sa mga kilalang haba a → at b → at ang anggulo sa pagitan ng mga ito. Ang formula ay naaangkop kapag kilalang mga coordinate a → at b →, ngunit mayroong isang pinasimpleng anyo.
Halimbawa 2
Alamin ang numerical projection ng a → papunta sa isang tuwid na linya sa direksyon b → na may haba a → katumbas ng 8 at isang anggulo sa pagitan ng mga ito na 60 degrees. Sa kundisyon mayroon tayong ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Nangangahulugan ito na pinapalitan natin ang mga numerical value sa formula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Sagot: 4.
Sa kilalang cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , mayroon tayong → , b → bilang scalar product ng a → at b → . Kasunod mula sa formula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , mahahanap natin ang numerical projection a → nakadirekta kasama ang vector b → at makuha ang n p b → a → = a → , b → b → . Ang pormula ay katumbas ng kahulugang ibinigay sa simula ng talata.
Kahulugan 3
Ang numerical projection ng vector a → papunta sa isang axis na tumutugma sa direksyon ng b → ay ang ratio ng scalar product ng mga vectors a → at b → sa haba b → . Ang formula n p b → a → = a → , b → b → ay naaangkop upang mahanap ang numerical projection ng a → papunta sa isang linya na tumutugma sa direksyon sa b → , na may kilala na a → at b → coordinate.
Halimbawa 3
Ibinigay b → = (- 3 , 4) . Hanapin ang numerical projection a → = (1, 7) sa L.
Solusyon
Sa coordinate plane n p b → a → = a → , b → b → ay may anyo n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , na may → = (a x , a y ) at b → = b x , b y . Upang mahanap ang numerical projection ng vector a → papunta sa L axis, kailangan mo ng: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.
Sagot: 5.
Halimbawa 4
Hanapin ang projection ng a → sa L, na tumutugma sa direksyon b →, kung saan mayroong → = - 2, 3, 1 at b → = (3, - 2, 6). Tinukoy ang tatlong-dimensional na espasyo.
Solusyon
Dahil sa a → = a x , a y , a z at b → = b x , b y , b z , kinakalkula namin ang scalar product: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Nahanap natin ang haba b → gamit ang formula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Ito ay sumusunod na ang formula para sa pagtukoy ng numerical projection a → ay magiging: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Palitan ang mga numerical values: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Sagot: - 6 7.
Tingnan natin ang koneksyon sa pagitan ng isang → sa L at ang haba ng projection a → sa L. Gumuhit tayo ng isang axis L, pagdaragdag ng isang → at b → mula sa isang punto sa L, pagkatapos nito ay gumuhit tayo ng isang patayo na linya mula sa dulo a → hanggang L at gumuhit ng projection sa L. Mayroong 5 pagkakaiba-iba ng larawan:
Una ang kaso na may → = n p b → a → → ay nangangahulugang a → = n p b → a → → , kaya n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .
Pangalawa ang kaso ay nagpapahiwatig ng paggamit ng n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , na nangangahulugang n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
Pangatlo ipinapaliwanag ng kaso na kapag n p b → a → → = 0 → nakuha natin ang n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , pagkatapos ay n p b → a → → = 0 at n p b → a → = 0 = n p b → a → → .
Pang-apat ang kaso ay nagpapakita ng n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , sumusunod sa n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .
Panglima ang kaso ay nagpapakita ng a → = n p b → a → → , na nangangahulugang a → = n p b → a → → , kaya mayroon kaming n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .
Kahulugan 4
Ang numerical projection ng vector a → papunta sa L axis, na nakadirekta sa parehong paraan tulad ng b →, ay may sumusunod na halaga:
Halimbawa 5
Dahil sa haba ng projection a → papunta sa L, katumbas ng 2. Hanapin ang numerical projection a → sa kondisyon na ang anggulo ay 5 π 6 radians.
Solusyon
Mula sa kundisyon ay malinaw na ang anggulong ito ay malabo: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Sagot: - 2.
Halimbawa 6
Ibinigay ang isang eroplanong O x y z na may haba ng vector a → katumbas ng 6 3, b → (- 2, 1, 2) na may anggulo na 30 degrees. Hanapin ang mga coordinate ng projection a → papunta sa L axis.
Solusyon
Una, kinakalkula namin ang numerical projection ng vector a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .
Sa kondisyon, ang anggulo ay talamak, pagkatapos ay ang numerical projection a → = ang haba ng projection ng vector a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ang kasong ito ay nagpapakita na ang mga vectors n p L a → → at b → ay co-directed, na nangangahulugang mayroong isang numerong t kung saan ang pagkakapantay-pantay ay totoo: n p L a → → = t · b → . Mula dito makikita natin na n p L a → → = t · b → , na nangangahulugang mahahanap natin ang halaga ng parameter t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Pagkatapos n p L a → → = 3 · b → na may mga coordinate ng projection ng vector a → papunta sa L axis na katumbas ng b → = (- 2 , 1 , 2) , kung saan kinakailangan upang i-multiply ang mga halaga sa pamamagitan ng 3. Mayroon kaming n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Sagot: (- 6, 3, 6).
Kinakailangan na ulitin ang naunang natutunan na impormasyon tungkol sa kondisyon ng collinearity ng mga vectors.
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Projection Ang vector sa isang axis ay isang vector na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng scalar projection ng isang vector sa axis na ito at ang unit vector ng axis na ito. Halimbawa, kung ang isang x - scalar projection vector A sa X axis, pagkatapos ay isang x i- ang vector projection nito sa axis na ito.
Tukuyin natin projection ng vector kapareho ng vector mismo, ngunit may index ng axis kung saan ang vector ay inaasahang. Kaya, ang vector projection ng vector A sa X axis na tinutukoy namin A x( mataba isang titik na nagsasaad ng vector at isang subscript ng pangalan ng axis) o (isang hindi naka-bold na titik na nagsasaad ng vector, ngunit may arrow sa itaas (!) at isang subscript ng pangalan ng axis).
Scalar projection vector per axis ay tinatawag numero, ang absolute value na katumbas ng haba ng axis segment (sa napiling scale) na nakapaloob sa pagitan ng mga projection ng start point at end point ng vector. Kadalasan sa halip na expression scalar projection ang sabi lang nila- projection. Ang projection ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang projected vector (sa normal, non-bold writing), na may mas mababang index (bilang panuntunan) ng pangalan ng axis kung saan ang vector na ito ay projected. Halimbawa, kung ang isang vector ay naka-project sa X axis A, pagkatapos ang projection nito ay tinutukoy ng isang x. Kapag ipino-project ang parehong vector sa isa pang axis, kung ang axis ay Y, ang projection nito ay ilalarawan na a y.
Upang kalkulahin ang projection vector sa isang axis (halimbawa, ang X axis), kinakailangang ibawas ang coordinate ng panimulang punto mula sa coordinate ng pagtatapos nito, iyon ay
a x = x k − x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay isang numero. Bukod dito, ang projection ay maaaring maging positibo kung ang halaga x k ay mas malaki kaysa sa halaga x n,
negatibo kung ang halaga x k ay mas mababa sa halaga x n
at katumbas ng zero kung ang x k ay katumbas ng x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay maaari ding matagpuan sa pamamagitan ng pag-alam sa modulus ng vector at ang anggulo na ginagawa nito sa axis na ito.
Mula sa figure ay malinaw na ang isang x = isang Cos α
ibig sabihin, ang projection ng vector papunta sa axis ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at direksyon ng vector. Kung ang anggulo ay talamak, kung gayon
Cos α > 0 at a x > 0, at, kung malabo, kung gayon ang cosine ng obtuse angle ay negatibo, at ang projection ng vector sa axis ay magiging negatibo din.
Ang mga anggulo na sinusukat mula sa axis na pakaliwa ay itinuturing na positibo, at ang mga anggulo na sinusukat sa kahabaan ng axis ay negatibo. Gayunpaman, dahil ang cosine ay isang even function, iyon ay, Cos α = Cos (− α), kapag kinakalkula ang mga projection, ang mga anggulo ay maaaring bilangin sa parehong clockwise at counterclockwise.
Upang mahanap ang projection ng isang vector sa isang axis, ang modulus ng vector na ito ay dapat na i-multiply sa cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at ng direksyon ng vector.
Mga coordinate ng vector— mga coefficient ng tanging posibleng linear na kumbinasyon ng mga batayang vector sa napiling coordinate system, katumbas ng ibinigay na vector.
nasaan ang mga coordinate ng vector.
Produktong scaler mga vector
Scalar na produkto ng mga vector[- sa may hangganan-dimensional espasyo ng vector ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga produkto ng magkakahawig na mga sangkap na pinaparami mga vector.
Halimbawa, ang S.p.v. a = (a 1 , ..., isang n) At b = (b 1 , ..., b n):
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n
A. Ang projection ng point A papunta sa PQ axis (Fig. 4) ay ang base a ng perpendicular na bumaba mula sa isang naibigay na punto patungo sa isang naibigay na axis. Ang axis kung saan namin pinaplano ay tinatawag na projection axis.
b. Hayaang maibigay ang dalawang axes at isang vector A B, na ipinapakita sa Fig. 5.
Ang isang vector na ang simula ay ang projection ng simula at ang dulo ay ang projection ng dulo ng vector na ito ay tinatawag na projection ng vector A B papunta sa PQ axis.
Minsan ang indicator ng PQ ay hindi nakasulat sa ibaba;
Sa. Theorem I. Ang mga magnitude ng mga vector na nakahiga sa isang axis ay nauugnay bilang ang mga magnitude ng kanilang mga projection sa anumang axis.
Hayaang ibigay ang mga axes at vectors na ipinahiwatig sa Fig. 6 Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok ay malinaw na ang mga haba ng mga vector ay nauugnay bilang ang mga haba ng kanilang mga projection, i.e.
Dahil ang mga vector sa pagguhit ay nakadirekta sa magkaibang panig, kung gayon ang kanilang mga halaga ay may iba't ibang mga palatandaan, samakatuwid,
Malinaw, ang magnitude ng mga projection ay mayroon ding iba't ibang mga palatandaan:
pagpapalit ng (2) sa (3) sa (1), nakukuha natin
Binabaliktad ang mga palatandaan, nakukuha namin
Kung ang mga vector ay pantay na nakadirekta, kung gayon ang kanilang mga projection ay magkakaroon din ng parehong direksyon; walang magiging minus sign sa mga formula (2) at (3). Ang pagpapalit ng (2) at (3) sa pagkakapantay-pantay (1), agad nating makukuha ang pagkakapantay-pantay (4). Kaya, ang teorama ay napatunayan para sa lahat ng mga kaso.
d. Teorama II. Ang magnitude ng projection ng isang vector sa anumang axis ay katumbas ng magnitude ng vector na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan ng axis ng mga projection at ang axis ng vector . 7. Bumuo tayo ng isang vector na may parehong direksyon tulad ng axis nito at naka-plot, halimbawa, mula sa punto ng intersection ng mga axes. Hayaan ang haba nito ay katumbas ng isa. Tapos ang laki nito
Sa physics para sa grade 9 (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
gawain №5
sa kabanata" KABANATA 1. PANGKALAHATANG IMPORMASYON TUNGKOL SA TRAPIKO».
1. Projection ng vector a onto coordinate axis tawagan ang haba ng segment sa pagitan ng mga projection ng simula at dulo ng vector a (mga perpendicular na bumaba mula sa mga puntong ito patungo sa axis) papunta sa coordinate axis na ito.
2. Ang mga projection ng displacement vector s sa mga coordinate axes ay katumbas ng pagbabago sa kaukulang mga coordinate ng katawan.
3. Kung ang coordinate ng isang punto ay tumaas sa paglipas ng panahon, ang projection ng displacement vector sa coordinate axis ay magiging positibo, dahil sa kasong ito, pupunta tayo mula sa projection ng simula hanggang sa projection ng dulo ng vector sa direksyon ng axis mismo.
Kung ang coordinate ng isang punto ay bumababa sa paglipas ng panahon, ang projection ng displacement vector sa coordinate axis ay magiging negatibo, dahil sa kasong ito pupunta tayo mula sa projection ng simula hanggang sa projection ng dulo ng vector laban sa gabay ng axis mismo.
4. Kung ang displacement vector ay parallel sa X axis, kung gayon ang modulus ng projection ng vector sa axis na ito ay katumbas ng modulus ng vector mismo, at ang projection nito sa Y axis ay zero.
5. Sa lahat ng sumusunod na kaso, ang Y coordinate ng katawan ay hindi nagbabago, at ang X coordinate ng katawan ay magbabago tulad ng sumusunod:
a) s 1;
ang projection ng vector s 1 papunta sa X axis ay negatibo at katumbas ng absolute value sa haba ng vector s 1 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay bababa sa haba ng vector s 1.
b) s 2 ;
ang projection ng vector s 2 papunta sa X axis ay positibo at katumbas ng magnitude sa haba ng vector s 1 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay tataas ng haba ng vector s 2.
c) s 3 ;
ang projection ng vector s 3 papunta sa X axis ay negatibo at katumbas ng magnitude sa haba ng vector s 3 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay bababa sa haba ng vector s 3.
d)s 4;
ang projection ng vector s 4 papunta sa X axis ay positibo at katumbas ng magnitude sa haba ng vector s 4 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay tataas ng haba ng vector s 4.
e) s 5;
ang projection ng vector s 5 sa X axis ay negatibo at katumbas ng magnitude sa haba ng vector s 5 . Sa ganoong paggalaw, ang X coordinate ng katawan ay bababa sa haba ng vector s 5.
6. Siguro. Ito ay dahil sa katotohanan na ang displacement (displacement vector) ay isang vector quantity, i.e. ay isang nakadirekta na segment ng tuwid na linya na nagkokonekta sa paunang posisyon ng katawan sa mga kasunod na posisyon nito. At ang pangwakas na posisyon ng katawan (anuman ang distansya na nilakbay) ay maaaring maging kasing lapit ng ninanais sa unang posisyon ng katawan. Kung ang final at mga panimulang posisyon katawan, ang displacement module ay magiging katumbas ng zero.
7. Ang pangunahing gawain ng mekanika ay upang matukoy ang posisyon ng katawan anumang oras. Alam ang vector ng paggalaw ng katawan, matutukoy natin ang mga coordinate ng katawan, i.e. ang posisyon ng katawan sa anumang sandali sa oras, at alam lamang ang distansya na nilakbay, hindi natin matukoy ang mga coordinate ng katawan, dahil wala kaming impormasyon tungkol sa direksyon ng paggalaw, ngunit maaari lamang husgahan ang haba ng distansyang nilakbay sa sandaling ito oras.
Panimula……………………………………………………………………………………3
1. Halaga ng vector at scalar………………………………………….4
2. Kahulugan ng projection, axis at coordinate ng isang punto………………….5
3. Projection ng vector papunta sa axis………………………………………………………………...6
4. Pangunahing pormula ng vector algebra……………………………..8
Panimula:
Ang pisika ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa matematika. Ang matematika ay nagbibigay sa pisika ng mga paraan at pamamaraan para sa isang pangkalahatan at tumpak na pagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga pisikal na dami na natuklasan bilang resulta ng eksperimento o teoretikal na pananaliksik Pagkatapos ng lahat, ang pangunahing paraan ng pananaliksik sa pisika ay eksperimental. Nangangahulugan ito na ang isang siyentipiko ay nagpapakita ng mga kalkulasyon gamit ang mga sukat. Nagsasaad ng ugnayan sa pagitan ng iba't ibang pisikal na dami. Pagkatapos, ang lahat ay isinalin sa wika ng matematika. Nabuo matematikal na modelo. Ang pisika ay isang agham na nag-aaral ng pinakasimple at sa parehong oras ang pinaka pangkalahatang mga pattern. Ang gawain ng pisika ay lumikha ng gayong larawan sa ating isipan pisikal na mundo, na lubos na sumasalamin sa mga katangian nito at nagbibigay ng gayong mga ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng modelong umiiral sa pagitan ng mga elemento.
Kaya, ang pisika ay lumilikha ng isang modelo ng mundo sa paligid natin at pinag-aaralan ang mga katangian nito. Ngunit ang anumang modelo ay limitado. Kapag lumilikha ng mga modelo ng isang partikular na kababalaghan, ang mga katangian at koneksyon lamang na mahalaga para sa isang partikular na hanay ng mga kababalaghan ay isinasaalang-alang. Ito ang sining ng isang siyentipiko - upang piliin ang pangunahing bagay mula sa lahat ng pagkakaiba-iba.
Ang mga pisikal na modelo ay mathematical, ngunit ang matematika ay hindi ang kanilang batayan. Ang mga quantitative na relasyon sa pagitan ng mga pisikal na dami ay tinutukoy bilang resulta ng mga sukat, obserbasyon at eksperimentong pag-aaral at ipinahayag lamang sa wika ng matematika. Gayunpaman, walang ibang wikang mabubuo mga teoryang pisikal ay wala.
1. Kahulugan ng vector at scalar.
Sa pisika at matematika, ang isang vector ay isang dami na nailalarawan sa pamamagitan ng numerical na halaga at direksyon nito. Sa pisika, maraming mahahalagang dami na mga vector, halimbawa, puwersa, posisyon, bilis, acceleration, torque, momentum, electric at magnetic field strength. Maaari silang maihambing sa iba pang mga dami tulad ng masa, lakas ng tunog, presyon, temperatura at density, na maaaring inilarawan ng isang ordinaryong numero, at tinatawag na " mga scalar".
Ang mga ito ay nakasulat sa alinman sa mga regular na titik ng font o sa mga numero (a, b, t, G, 5, −7....). Ang mga scalar na dami ay maaaring positibo o negatibo. Kasabay nito, ang ilang mga bagay ng pag-aaral ay maaaring may mga katangian na buong paglalarawan Para sa kung saan ang kaalaman sa isang numerical na sukat lamang ay lumalabas na hindi sapat, kinakailangan din na makilala ang mga katangiang ito sa pamamagitan ng direksyon sa espasyo. Ang ganitong mga katangian ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga dami ng vector (mga vector). Ang mga vector, hindi tulad ng mga scalar, ay tinutukoy ng mga bold na titik: a, b, g, F, C....
Kadalasan ang isang vector ay tinutukoy ng isang titik sa regular (hindi naka-bold) na font, ngunit may isang arrow sa itaas nito:
Ang modulus ng isang vector, iyon ay, ang haba ng isang nakadirekta na segment ng tuwid na linya, ay tinutukoy ng parehong mga titik tulad ng mismong vector, ngunit sa normal (hindi naka-bold) na pagsulat at walang arrow sa itaas ng mga ito, o sa eksaktong parehong paraan bilang isang vector (iyon ay, sa bold o regular, ngunit may arrow), ngunit pagkatapos ay ang pagtatalaga ng vector ay nakapaloob sa mga patayong gitling.
Ang isang vector ay isang kumplikadong bagay na sabay-sabay na nailalarawan sa pamamagitan ng parehong magnitude at direksyon.
Wala ring positibo at negatibong vectors. Ngunit ang mga vector ay maaaring maging pantay sa bawat isa. Ito ay kapag, halimbawa, ang a at b ay may parehong mga module at nakadirekta sa parehong direksyon. Sa kasong ito, ang notasyon ay totoo a= b. Dapat ding tandaan na ang simbolo ng vector ay maaaring unahan ng isang minus sign, halimbawa - c, gayunpaman, ang sign na ito ay simbolikong nagpapahiwatig na ang vector -c ay may parehong module ng vector c, ngunit nakadirekta sa kabaligtaran. direksyon.
Vector -c ay tinatawag na kabaligtaran (o kabaligtaran) ng vector c.
Sa pisika, ang bawat vector ay puno ng tiyak na nilalaman, at kapag inihahambing ang mga vector ng parehong uri (halimbawa, mga puwersa), ang mga punto ng kanilang aplikasyon ay maaari ding maging makabuluhan.
2. Pagpapasiya ng projection, axis at coordinate ng punto.
Aksis- Ito ay isang tuwid na linya na binibigyan ng ilang direksyon.
Ang isang axis ay itinalaga ng ilang titik: X, Y, Z, s, t... Karaniwan ang isang punto ay pinipili (arbitraryo) sa axis, na tinatawag na pinagmulan at, bilang panuntunan, ay itinalaga ng titik O. Mula sa puntong ito ang mga distansya sa iba pang mga punto ng interes sa amin ay sinusukat.
Projection ng isang punto sa isang axis ay ang base ng isang patayo na iginuhit mula sa puntong ito papunta sa isang ibinigay na axis. Iyon ay, ang projection ng isang punto papunta sa axis ay isang punto.
Point coordinate sa isang ibinigay na axis ay isang numero na ang absolute value ay katumbas ng haba ng axis segment (sa napiling scale) na nasa pagitan ng pinagmulan ng axis at ang projection ng punto sa axis na ito. Ang numerong ito ay kinukuha na may plus sign kung ang projection ng punto ay matatagpuan sa direksyon ng axis mula sa pinanggalingan nito at may minus sign kung nasa tapat na direksyon.
3. Projection ng vector papunta sa axis.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay isang vector na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng scalar projection ng isang vector sa axis na ito at ang unit vector ng axis na ito. Halimbawa, kung ang a x ay ang scalar projection ng vector a papunta sa X axis, kung gayon ang x ·i ay ang vector projection nito sa axis na ito.
Tukuyin natin ang vector projection sa parehong paraan tulad ng vector mismo, ngunit sa index ng axis kung saan ang vector ay inaasahang. Kaya, tinutukoy namin ang vector projection ng vector a papunta sa X axis bilang isang x (isang bold letter na nagsasaad ng vector at ang subscript ng pangalan ng axis) o
(isang mababang-bold na titik na nagsasaad ng vector, ngunit may arrow sa itaas (!) at isang subscript para sa pangalan ng axis).Scalar projection vector per axis ay tinatawag numero, ang absolute value na katumbas ng haba ng axis segment (sa napiling scale) na nakapaloob sa pagitan ng mga projection ng start point at end point ng vector. Kadalasan sa halip na expression scalar projection ang sabi lang nila- projection. Ang projection ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang projected vector (sa normal, non-bold writing), na may mas mababang index (bilang panuntunan) ng pangalan ng axis kung saan ang vector na ito ay projected. Halimbawa, kung ang isang vector ay naka-project sa X axis A, pagkatapos ang projection nito ay tinutukoy ng isang x. Kapag ipino-project ang parehong vector sa isa pang axis, kung ang axis ay Y, ang projection nito ay ilalarawan na a y.
Upang kalkulahin ang projection vector sa isang axis (halimbawa, ang X axis), kinakailangang ibawas ang coordinate ng panimulang punto mula sa coordinate ng pagtatapos nito, iyon ay
a x = x k − x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay isang numero. Bukod dito, ang projection ay maaaring maging positibo kung ang halaga x k ay mas malaki kaysa sa halaga x n,
negatibo kung ang halaga x k ay mas mababa sa halaga x n
at katumbas ng zero kung ang x k ay katumbas ng x n.
Ang projection ng isang vector sa isang axis ay maaari ding matagpuan sa pamamagitan ng pag-alam sa modulus ng vector at ang anggulo na ginagawa nito sa axis na ito.
Mula sa figure ay malinaw na ang isang x = isang Cos α
Iyon ay, ang projection ng vector papunta sa axis ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at direksyon ng vector. Kung ang anggulo ay talamak, kung gayon
Cos α > 0 at a x > 0, at, kung malabo, kung gayon ang cosine ng obtuse angle ay negatibo, at ang projection ng vector sa axis ay magiging negatibo din.
Ang mga anggulo na sinusukat mula sa axis na pakaliwa ay itinuturing na positibo, at ang mga anggulo na sinusukat sa kahabaan ng axis ay negatibo. Gayunpaman, dahil ang cosine ay isang even function, iyon ay, Cos α = Cos (− α), kapag kinakalkula ang mga projection, ang mga anggulo ay maaaring bilangin sa parehong clockwise at counterclockwise.
Upang mahanap ang projection ng isang vector sa isang axis, ang modulus ng vector na ito ay dapat na i-multiply sa cosine ng anggulo sa pagitan ng direksyon ng axis at ng direksyon ng vector.
4. Pangunahing formula ng vector algebra.
I-project natin ang vector a sa X at Y axes hugis-parihaba na sistema mga coordinate Hanapin natin ang vector projection ng vector a sa mga ax na ito:
a x = a x ·i, at y = a y ·j.
Ngunit alinsunod sa panuntunan ng pagdaragdag ng vector
a = a x + a y.
a = a x i + a y j.
Kaya, nagpahayag kami ng isang vector sa mga tuntunin ng mga projection nito at mga vector ng rectangular coordinate system (o sa mga tuntunin ng mga projection ng vector nito).
Ang mga projection ng vector a x at a y ay tinatawag na mga bahagi o bahagi ng vector a. Ang operasyong ginawa namin ay tinatawag na decomposition ng isang vector kasama ang mga axes ng isang rectangular coordinate system.
Kung ang vector ay ibinigay sa espasyo, kung gayon
a = a x i + a y j + a z k.
Ang formula na ito ay tinatawag na pangunahing formula ng vector algebra. Siyempre, maaari itong isulat ng ganito.
