atbp. ay isang pangkalahatang pang-edukasyon na kalikasan at ito ay may malaking kahalagahan para sa pag-aaral ng BUONG kurso ng mas mataas na matematika. Ngayon ay uulitin natin ang mga equation ng "paaralan", ngunit hindi lamang ang mga "paaralan" - ngunit ang mga matatagpuan sa lahat ng dako sa iba't ibang mga problema sa vyshmat. Gaya ng dati, ang kuwento ay isalaysay sa paraang inilapat, i.e. Hindi ako magtutuon sa mga kahulugan at pag-uuri, ngunit eksaktong ibabahagi ko sa iyo Personal na karanasan mga solusyon. Ang impormasyon ay pangunahing inilaan para sa mga nagsisimula, ngunit ang mas advanced na mga mambabasa ay makakahanap din ng maraming kawili-wiling mga punto para sa kanilang sarili. At siyempre magkakaroon bagong materyal, lagpas mataas na paaralan.
Kaya ang equation.... Naaalala ng marami ang salitang ito nang may panginginig. Ano ang mga "sopistikadong" equation na may mga ugat na nagkakahalaga... ... kalimutan ang tungkol sa mga ito! Dahil pagkatapos ay matutugunan mo ang pinaka hindi nakakapinsalang "mga kinatawan" ng species na ito. O boring trigonometriko equation na may dose-dosenang mga pamamaraan ng solusyon. Sa totoo lang, hindi ko talaga sila gusto... Huwag mag-panic! – pagkatapos ay karamihan sa mga "dandelions" ay naghihintay sa iyo na may malinaw na solusyon sa 1-2 hakbang. Kahit na ang "burdock" ay tiyak na kumapit, kailangan mong maging layunin dito.
Kakatwa, sa mas mataas na matematika ay mas karaniwan ang pakikitungo sa napaka primitive na mga equation tulad ng linear mga equation
Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation na ito? Nangangahulugan ito ng paghahanap ng GANOONG halaga ng "x" (ugat) na nagiging tunay na pagkakapantay-pantay. Itapon natin ang "tatlo" sa kanan na may pagbabago ng tanda:
at i-drop ang "dalawa" sa kanang bahagi (o, ang parehong bagay - paramihin ang magkabilang panig sa)
:
Upang suriin, palitan natin ang napanalunang tropeo sa orihinal na equation: 
Nakukuha ang tamang pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang halaga na natagpuan ay talagang ugat ng equation na ito. O, gaya ng sinasabi din nila, natutugunan ang equation na ito.
Pakitandaan na ang ugat ay maaari ding isulat bilang isang decimal fraction:
At subukang huwag manatili sa masamang istilo na ito! Inulit ko ang dahilan nang higit sa isang beses, sa partikular, sa pinakaunang aralin sa mas mataas na algebra.
Sa pamamagitan ng paraan, ang equation ay maaari ding malutas "sa Arabic":
At ang pinaka-interesante ay ganap na legal ang recording na ito! Ngunit kung hindi ka isang guro, mas mahusay na huwag gawin ito, dahil ang pagka-orihinal ay may parusa dito =)
At ngayon ng kaunti tungkol sa
Ang equation ay may anyo at ang ugat nito ay "X" coordinate mga intersection point linear function graph may schedule linear function (x axis):
Mukhang ang halimbawa ay napaka elementarya na wala nang dapat pag-aralan dito, ngunit ang isa pang hindi inaasahang nuance ay maaaring "ipit" dito: ipakita natin ang parehong equation sa anyo at bumuo ng mga graph ng mga function: 
kung saan, mangyaring huwag malito ang dalawang konsepto: ang isang equation ay isang equation, at function- ito ay isang function! Mga pag-andar tulong lang hanapin ang mga ugat ng equation. Kung saan maaaring dalawa, tatlo, apat, o kahit na walang hanggan marami. Ang pinakamalapit na halimbawa sa ganitong kahulugan ay ang kilala quadratic equation, ang algorithm ng solusyon kung saan nakatanggap ng hiwalay na talata "mainit" na mga formula ng paaralan. At hindi ito nagkataon! Kung maaari mong malutas ang isang parisukat na equation at alam Pythagorean theorem, pagkatapos, maaaring sabihin ng isa, "kalahati ng mas mataas na matematika ay nasa iyong bulsa na" =) Exaggerated, siyempre, ngunit hindi napakalayo sa katotohanan!
Samakatuwid, huwag tayong maging tamad at lutasin ang ilang quadratic equation gamit karaniwang algorithm:
, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang magkaibang wasto ugat: 
Madaling i-verify na ang parehong mga nahanap na halaga ay aktwal na nakakatugon sa equation na ito: 
Ano ang gagawin kung bigla mong nakalimutan ang algorithm ng solusyon, at walang paraan/pagtulong sa kamay? Maaaring lumitaw ang sitwasyong ito, halimbawa, sa panahon ng pagsusulit o pagsusulit. Ginagamit namin ang graphical na paraan! At mayroong dalawang paraan: magagawa mo bumuo ng punto sa punto parabola 
, sa gayon ay nalaman kung saan ito nag-intersect sa axis (kung ito ay tumawid sa lahat). Ngunit mas mahusay na gumawa ng isang bagay na mas tuso: isipin ang equation sa anyo, gumuhit ng mga graph ng mas simpleng mga function - at "X" na mga coordinate kitang-kita ang mga punto ng intersection nila! 
Kung lumalabas na ang tuwid na linya ay humipo sa parabola, kung gayon ang equation ay may dalawang magkatugma (maramihang) ugat. Kung ito ay lumabas na ang tuwid na linya ay hindi bumalandra sa parabola, kung gayon walang mga tunay na ugat.
Upang gawin ito, siyempre, kailangan mong makapagtayo mga graph ng elementarya function, ngunit sa kabilang banda, kahit isang mag-aaral ay kayang gawin ang mga kasanayang ito.
At muli - ang isang equation ay isang equation, at ang mga function , ay mga function na nakatulong lang lutasin ang equation!
At dito, sa pamamagitan ng paraan, magiging angkop na tandaan ang isa pang bagay: kung ang lahat ng mga coefficient ng isang equation ay pinarami ng isang di-zero na numero, kung gayon ang mga ugat nito ay hindi magbabago.
Kaya, halimbawa, ang equation 
ay may parehong mga ugat. Bilang isang simpleng "patunay", aalisin ko ang pare-pareho sa mga bracket: 
at tatanggalin ko ito nang walang sakit (Hatiin ko ang parehong bahagi sa "minus dalawa"):
PERO! Kung isasaalang-alang natin ang pag-andar 
, kung gayon hindi mo maaalis ang pare-pareho dito! Pinapayagan lamang na alisin ang multiplier sa mga bracket: 
.
Maraming mga tao ang minamaliit ang paraan ng graphical na solusyon, na isinasaalang-alang ito na isang bagay na "hindi marangal," at ang ilan ay ganap na nakakalimutan ang tungkol sa posibilidad na ito. At ito ay sa panimula ay mali, dahil ang paglalagay ng mga graph kung minsan ay nagliligtas lamang sa sitwasyon!
Isa pang halimbawa: ipagpalagay na hindi mo naaalala ang mga ugat ng pinakasimpleng trigonometric equation: . Ang pangkalahatang pormula ay nasa mga aklat-aralin sa paaralan, sa lahat ng mga sangguniang aklat sa elementarya, ngunit hindi ito magagamit sa iyo. Gayunpaman, ang paglutas ng equation ay kritikal (aka "dalawa"). May labasan! - bumuo ng mga graph ng mga function: 
pagkatapos nito ay mahinahon naming isulat ang "X" na mga coordinate ng kanilang mga intersection point: 
Mayroong walang katapusang maraming mga ugat, at sa algebra ang kanilang condensed notation ay tinatanggap:
, Saan ( – set ng mga integer)
.
At, nang hindi "aalis", ilang salita tungkol sa graphical na paraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable. Ang prinsipyo ay pareho. Kaya, halimbawa, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay anumang "x", dahil Ang sinusoid ay halos ganap na nasa ilalim ng tuwid na linya. Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang hanay ng mga agwat kung saan ang mga piraso ng sinusoid ay nasa itaas ng tuwid na linya. (x-axis):
o, sa madaling salita:
Ngunit narito ang maraming solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay: walang laman, dahil walang punto ng sinusoid ang nasa itaas ng tuwid na linya.
May hindi ka ba naiintindihan? Agad na pag-aralan ang mga aralin tungkol sa set At mga function graph!
Magpainit tayo:
Ehersisyo 1
Lutasin ang mga sumusunod na trigonometrikong equation nang grapiko:
Mga sagot sa pagtatapos ng aralin
Tulad ng nakikita mo, upang pag-aralan ang mga eksaktong agham ay hindi kinakailangan na magsiksik ng mga formula at mga sangguniang libro! Bukod dito, ito ay isang pangunahing may depektong diskarte.
Dahil tiniyak ko na sa iyo sa simula pa lamang ng aralin, ang mga kumplikadong trigonometric equation sa isang karaniwang kurso ng mas mataas na matematika ay kailangang malutas nang napakadalang. Ang lahat ng pagiging kumplikado, bilang panuntunan, ay nagtatapos sa mga equation tulad ng , ang solusyon kung saan ay dalawang grupo ng mga ugat na nagmula sa pinakasimpleng mga equation at 
. Huwag masyadong mag-alala tungkol sa paglutas sa huli - tumingin sa isang libro o hanapin ito sa Internet =)
Ang paraan ng graphical na solusyon ay maaari ding makatulong sa mga hindi gaanong maliit na kaso. Isaalang-alang, halimbawa, ang sumusunod na "ragtag" na equation:
Ang mga prospect para sa solusyon nito ay mukhang... hindi mukhang kahit ano, ngunit kailangan mo lang isipin ang equation sa form , build mga function graph at ang lahat ay magiging hindi kapani-paniwalang simple. May guhit sa gitna ng artikulo tungkol sa infinitesimal function (magbubukas sa susunod na tab).
Gamit ang parehong graphical na pamamaraan, maaari mong malaman na ang equation ay mayroon nang dalawang ugat, at ang isa sa mga ito ay katumbas ng zero, at ang isa pa, tila, hindi makatwiran at kabilang sa segment . Ang ugat na ito ay maaaring kalkulahin nang humigit-kumulang, halimbawa, padaplis na paraan. Sa pamamagitan ng paraan, sa ilang mga problema, nangyayari na hindi mo kailangang hanapin ang mga ugat, ngunit alamin mayroon ba silang lahat?. At dito, makakatulong din ang pagguhit - kung ang mga graph ay hindi magsalubong, kung gayon walang mga ugat.
At ngayon inaanyayahan kita na ibaling ang iyong tingin sa Middle Ages at pakiramdam ang kakaibang kapaligiran klasikal na algebra. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa materyal, inirerekumenda ko na basahin mo kahit kaunti kumplikadong mga numero.
Sila ang pinakamagaling. Mga polynomial.
Ang object ng aming interes ay ang pinakakaraniwang polynomials ng form na may buo coefficients Natural na numero tinawag antas ng polynomial, numero – koepisyent ng pinakamataas na antas (o ang pinakamataas na koepisyent lamang), at ang koepisyent ay libreng miyembro.
Sa madaling sabi ay tukuyin ko ang polynomial na ito sa pamamagitan ng .
Mga ugat ng isang polynomial tawagan ang mga ugat ng equation
Gustung-gusto ko ang iron logic =)
Para sa mga halimbawa, pumunta sa pinakasimula ng artikulo: 
Walang mga problema sa paghahanap ng mga ugat ng polynomials ng 1st at 2nd degrees, ngunit habang pinapataas mo ang gawaing ito ay nagiging mas at mas mahirap. Bagaman sa kabilang banda, ang lahat ay mas kawili-wili! At ito mismo ang ilalaan sa ikalawang bahagi ng aralin.
Una, literal na kalahating screen ng teorya:
1) Ayon sa corollary pangunahing teorama ng algebra, eksakto ang degree na polynomial kumplikado mga ugat Ang ilang mga ugat (o kahit lahat) ay maaaring partikular wasto. Bukod dito, sa mga tunay na ugat ay maaaring may magkaparehong (maraming) ugat (minimum na dalawa, maximum na piraso).
Kung ang ilang kumplikadong numero ay ang ugat ng isang polynomial, kung gayon conjugate ang bilang nito ay kinakailangang ugat din ng polynomial na ito (ang conjugate complex roots ay may anyo).
Ang pinakasimpleng halimbawa ay isang quadratic equation, na unang nakita noong 8 (gaya ng) klase, at sa wakas ay "natapos" namin sa paksa kumplikadong mga numero. Ipaalala ko sa iyo: ang isang quadratic equation ay may alinman sa dalawang magkaibang tunay na ugat, o maramihang ugat, o conjugate complex na ugat.
2) Mula sa Ang teorama ni Bezout ito ay sumusunod na kung ang isang numero ay ang ugat ng isang equation, kung gayon ang katumbas na polynomial ay maaaring i-factorize:
, kung saan ay isang polynomial ng degree .
At muli, atin lumang halimbawa: dahil ang ugat ng equation, kung gayon . Pagkatapos nito ay hindi mahirap makuha ang kilalang pagpapalawak ng "paaralan".
Ang corollary ng Bezout's theorem ay may malaking praktikal na halaga: kung alam natin ang ugat ng isang equation ng 3rd degree, kung gayon maaari natin itong katawanin sa anyo. 
at mula sa quadratic equation madaling makilala ang natitirang mga ugat. Kung alam natin ang ugat ng isang equation ng ika-4 na antas, posible na palawakin ang kaliwang bahagi sa isang produkto, atbp.
At mayroong dalawang katanungan dito:
Tanong isa. Paano mahahanap ang napaka-ugat na ito? Una sa lahat, tukuyin natin ang likas na katangian nito: sa maraming mga problema ng mas mataas na matematika kinakailangan upang mahanap makatwiran, sa partikular buo mga ugat ng polynomial, at sa bagay na ito, higit pa tayong magiging interesado sa kanila.... ...napakagaling nila, napakalambot, na gusto mo lang silang hanapin! =)
Ang unang bagay na nasa isip ay ang paraan ng pagpili. Isaalang-alang, halimbawa, ang equation . Ang catch dito ay nasa libreng termino - kung ito ay katumbas ng zero, kung gayon ang lahat ay magiging maayos - kinuha namin ang "x" mula sa mga bracket at ang mga ugat mismo ay "nahuhulog" sa ibabaw: 
Ngunit ang aming libreng termino ay katumbas ng "tatlo", at samakatuwid ay sinimulan naming palitan ang iba't ibang mga numero sa equation na nagsasabing "ugat". Una sa lahat, ang pagpapalit ng mga solong halaga ay nagmumungkahi ng sarili nito. Palitan natin: 
Natanggap hindi tama pagkakapantay-pantay, sa gayon, ang yunit ay "hindi magkasya." Well, okay, palitan natin: 
Natanggap totoo pagkakapantay-pantay! Iyon ay, ang halaga ay ang ugat ng equation na ito.
Upang mahanap ang mga ugat ng isang polynomial ng 3rd degree, mayroong isang analytical na pamamaraan (ang tinatawag na mga formula ng Cardano), ngunit ngayon kami ay interesado sa isang bahagyang naiibang gawain.
Dahil - ay ang ugat ng aming polynomial, ang polynomial ay maaaring katawanin sa anyo at arises Pangalawang tanong: paano makahanap ng “nakababatang kapatid”?
Ang pinakasimpleng pagsasaalang-alang sa algebraic ay nagmumungkahi na upang magawa ito kailangan nating hatiin sa pamamagitan ng . Paano hatiin ang isang polynomial sa isang polynomial? Pareho pamamaraan ng paaralan, na ginagamit upang hatiin ang mga ordinaryong numero - sa isang "haligi"! Tinalakay ko nang detalyado ang pamamaraang ito sa mga unang halimbawa ng aralin. Kumplikadong Limitasyon, at ngayon ay titingnan natin ang isa pang pamamaraan, na tinatawag na Horner scheme.
Una naming isulat ang "pinakamataas" polynomial kasama ang iba
, kabilang ang mga zero coefficient:
, pagkatapos nito ay ipinasok namin ang mga coefficient na ito (mahigpit na pagkakasunud-sunod) sa tuktok na hilera ng talahanayan:
Isinulat namin ang ugat sa kaliwa:
Agad akong magpapareserba na gagana rin ang scheme ni Horner kung ang "pula" na numero Hindi ay ang ugat ng polynomial. Gayunpaman, huwag nating madaliin ang mga bagay.
Inalis namin ang nangungunang koepisyent mula sa itaas:
Ang proseso ng pagpuno sa mas mababang mga cell ay medyo nakapagpapaalaala sa pagbuburda, kung saan ang "minus one" ay isang uri ng "karayom" na tumatagos sa mga kasunod na hakbang. I-multiply namin ang numerong "dinala pababa" sa (–1) at idinaragdag ang numero mula sa itaas na cell sa produkto:
I-multiply namin ang nahanap na halaga sa pamamagitan ng "pulang karayom" at idagdag ang sumusunod na koepisyent ng equation sa produkto:
At sa wakas, ang resultang halaga ay muling "naproseso" gamit ang "karayom" at ang itaas na koepisyent:
Ang zero sa huling cell ay nagsasabi sa amin na ang polynomial ay nahahati sa walang bakas (gaya ng nararapat), habang ang mga expansion coefficient ay "tinatanggal" nang direkta mula sa ilalim na linya ng talahanayan:
Kaya, lumipat kami mula sa equation patungo sa isang katumbas na equation at ang lahat ay malinaw sa dalawang natitirang mga ugat. (sa kasong ito nakakakuha tayo ng conjugate complex roots).
Ang equation, sa pamamagitan ng paraan, ay maaari ding malutas sa graphically: plot "kidlat" 
at makita na ang graph ay tumatawid sa x-axis ()
sa puntong . O ang parehong "tuso" na lansihin - muli naming isinusulat ang equation sa anyo , gumuhit ng mga elementary graph at nakita ang "X" coordinate ng kanilang intersection point.
Sa pamamagitan ng paraan, ang graph ng anumang function-polynomial ng 3rd degree ay nag-intersect sa axis nang hindi bababa sa isang beses, na nangangahulugang ang kaukulang equation ay kahit na isa wasto ugat. Ang katotohanang ito ay totoo para sa anumang polynomial function ng kakaibang antas.
At dito ko rin gustong pag-isipan mahalagang punto na may kinalaman sa terminolohiya: polinomyal At polynomial function – hindi ito ang parehong bagay! Ngunit sa pagsasagawa, madalas nilang pinag-uusapan, halimbawa, ang tungkol sa "graph ng isang polynomial," na, siyempre, ay kapabayaan.
Gayunpaman, bumalik tayo sa pamamaraan ni Horner. Tulad ng nabanggit ko kamakailan, ang scheme na ito ay gumagana para sa iba pang mga numero, ngunit kung ang numero Hindi ay ang ugat ng equation, pagkatapos ay isang hindi-zero na karagdagan (natitira) ay lilitaw sa aming formula:
"Patakbuhin" natin ang "hindi matagumpay" na halaga ayon sa pamamaraan ni Horner. Sa kasong ito, maginhawang gamitin ang parehong talahanayan - magsulat ng isang bagong "karayom" sa kaliwa, ilipat ang nangungunang koepisyent mula sa itaas (kaliwang berdeng arrow), at umalis na kami: 
Upang suriin, buksan natin ang mga bracket at ipakita ang mga katulad na termino:
, OK.
Madaling makita na ang natitira (“anim”) ay eksaktong halaga ng polynomial sa . At sa katunayan - ano ito: 
, at mas maganda pa - ganito:
Mula sa mga kalkulasyon sa itaas, madaling maunawaan na ang pamamaraan ni Horner ay nagbibigay-daan hindi lamang sa kadahilanan ng polynomial, kundi pati na rin upang magsagawa ng isang "sibilisadong" pagpili ng ugat. Iminumungkahi ko na pagsamahin mo ang algorithm ng pagkalkula sa iyong sarili sa isang maliit na gawain:
Gawain 2
Gamit ang scheme ni Horner, hanapin ang integer root ng equation at i-factor ang katumbas na polynomial
Sa madaling salita, dito kailangan mong sunud-sunod na suriin ang mga numero 1, –1, 2, –2, ... – hanggang sa isang zero na natitira ay “iguguhit” sa huling column. Nangangahulugan ito na ang "karayom" ng linyang ito ay ang ugat ng polynomial
Ito ay maginhawa upang ayusin ang mga kalkulasyon sa isang solong talahanayan. Detalyadong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Ang paraan ng pagpili ng mga ugat ay mabuti para sa medyo simpleng mga kaso, ngunit kung ang mga coefficient at/o antas ng polynomial ay malaki, kung gayon ang proseso ay maaaring tumagal ng mahabang panahon. O marahil mayroong ilang mga halaga mula sa parehong listahan 1, –1, 2, –2 at walang punto sa pagsasaalang-alang? At, bukod sa, ang mga ugat ay maaaring maging fractional, na hahantong sa isang ganap na hindi makaagham na poking.
Sa kabutihang palad, mayroong dalawang makapangyarihang teorema na maaaring makabuluhang bawasan ang paghahanap para sa mga halaga ng "kandidato" para sa mga makatwirang ugat:
Teorama 1 Isaalang-alang natin hindi mababawasan fraction , kung saan . Kung ang numero ay ang ugat ng equation, kung gayon ang libreng termino ay nahahati sa at ang nangungunang koepisyent ay hinati ng.
Sa partikular, kung ang nangungunang koepisyent ay , kung gayon ang makatwirang ugat na ito ay isang integer:
At sinimulan nating samantalahin ang teorama gamit lamang ang masarap na detalyeng ito:
Bumalik tayo sa equation. Dahil ang nangungunang koepisyent nito ay , kung gayon ang hypothetical na rational na mga ugat ay maaaring eksklusibong integer, at ang libreng termino ay dapat na hatiin sa mga ugat na ito nang walang nalalabi. At ang "tatlo" ay maaari lamang hatiin sa 1, -1, 3 at -3. Ibig sabihin, mayroon lang tayong 4 na “root candidates”. At, ayon sa Teorama 1, ang ibang mga rational na numero ay hindi maaaring maging ugat ng equation na ito SA PRINSIPYO.
Mayroong kaunti pang "contenders" sa equation: ang libreng termino ay nahahati sa 1, -1, 2, - 2, 4 at -4.
Pakitandaan na ang mga numero 1, –1 ay "mga regular" ng listahan ng mga posibleng ugat (isang malinaw na kinahinatnan ng teorama) at karamihan pinakamahusay na pagpipilian para sa priority check.
Lumipat tayo sa mas makabuluhang mga halimbawa:
Suliranin 3
Solusyon: dahil ang nangungunang koepisyent ay , kung gayon ang hypothetical na rational na mga ugat ay maaari lamang maging integer, at dapat silang maging mga divisors ng libreng termino. Ang “minus apatnapu” ay nahahati sa mga sumusunod na pares ng mga numero:
– kabuuang 16 na “kandidato”.
At narito ang isang mapang-akit na pag-iisip ay agad na lumitaw: posible bang alisin ang lahat ng negatibo o lahat ng positibong ugat? Sa ilang mga kaso posible! Gagawa ako ng dalawang palatandaan:
1) Kung Lahat Kung ang mga coefficient ng polynomial ay hindi negatibo, hindi ito maaaring magkaroon ng mga positibong ugat. Sa kasamaang palad, hindi ito ang aming kaso (Ngayon, kung bibigyan kami ng isang equation - pagkatapos ay oo, kapag pinapalitan ang anumang halaga ng polynomial, ang halaga ng polynomial ay mahigpit na positibo, na nangangahulugan na ang lahat ng mga positibong numero (at mga hindi makatwiran din) hindi maaaring maging ugat ng equation.
2) Kung ang mga coefficient para sa mga kakaibang kapangyarihan ay hindi negatibo, at para sa lahat ng kahit na kapangyarihan (kabilang ang libreng miyembro) ay negatibo, kung gayon ang polynomial ay hindi maaaring magkaroon ng negatibong mga ugat. Ito ang kaso natin! Kung titingnan nang mas malapit, makikita mo na kapag pinapalitan ang anumang negatibong "X" sa equation, ang kaliwang bahagi ay magiging mahigpit na negatibo, na nangangahulugang mawawala ang mga negatibong ugat.
Kaya, mayroong 8 numero na natitira para sa pananaliksik:
"Siningil" namin sila nang sunud-sunod ayon sa pamamaraan ni Horner. Umaasa ako na pinagkadalubhasaan mo na ang mga kalkulasyon sa pag-iisip: 
Naghintay sa amin ang suwerte nang subukan ang "dalawa". Kaya, ay ang ugat ng equation na isinasaalang-alang, at
Ito ay nananatiling pag-aralan ang equation 
. Madali itong gawin sa pamamagitan ng discriminant, ngunit magsasagawa ako ng indicative test gamit ang parehong pamamaraan. Una, tandaan natin na ang libreng termino ay katumbas ng 20, ibig sabihin Teorama 1 ang mga numero 8 at 40 ay bumaba sa listahan ng mga posibleng ugat, na iniiwan ang mga halaga para sa pananaliksik (ang isa ay inalis ayon sa pamamaraan ni Horner).
Isinulat namin ang mga coefficient ng trinomial sa tuktok na hilera ng bagong talahanayan at Nagsisimula kaming magsuri gamit ang parehong "dalawa". Bakit? At dahil ang mga ugat ay maaaring multiple, mangyaring: - ang equation na ito ay may 10 magkaparehong ugat. Ngunit huwag tayong magambala: 
At dito, siyempre, nagsisinungaling ako nang kaunti, alam kong ang mga ugat ay makatwiran. Pagkatapos ng lahat, kung sila ay hindi makatwiran o kumplikado, kung gayon ako ay haharap sa isang hindi matagumpay na pagsusuri ng lahat ng natitirang mga numero. Samakatuwid, sa pagsasagawa, gabayan ng discriminant.
Sagot: makatwirang mga ugat: 2, 4, 5
Sa problemang sinuri namin, masuwerte kami, dahil: a) ang mga negatibong halaga ay agad na bumagsak, at b) nahanap namin ang ugat nang napakabilis (at sa teoryang maaari naming suriin ang buong listahan).
Ngunit sa katotohanan ay mas malala ang sitwasyon. Inaanyayahan ko kayong manood kapana-panabik na laro pinamagatang "Ang Huling Bayani":
Suliranin 4
Hanapin ang mga makatwirang ugat ng equation
Solusyon: Sa pamamagitan ng Teorama 1 mga numerator ng hypothetical makatwirang mga ugat dapat matugunan ang kondisyon (nabasa natin ang "labindalawa ay hinati ng el"), at ang mga denominador – sa kondisyon . Batay dito, nakakakuha kami ng dalawang listahan:
"listahan ng el":
at "listahan um": (sa kabutihang palad, ang mga numero dito ay natural).
Ngayon ay gumawa tayo ng isang listahan ng lahat ng posibleng mga ugat. Una, hinati namin ang "listahan ng el" sa . Ito ay ganap na malinaw na ang parehong mga numero ay makukuha. Para sa kaginhawahan, ilagay natin ang mga ito sa isang talahanayan:
Maraming mga fraction ang nabawasan, na nagreresulta sa mga halaga na nasa "listahan ng bayani." Nagdagdag lang kami ng "mga baguhan": 
Katulad nito, hinahati namin ang parehong "listahan" sa pamamagitan ng: 
at sa wakas ay sa
Kaya, ang koponan ng mga kalahok sa aming laro ay nakumpleto: 
Sa kasamaang palad, ang polynomial sa problemang ito ay hindi nakakatugon sa "positibo" o "negatibong" criterion, at samakatuwid ay hindi namin maaaring itapon ang itaas o ibabang hilera. Kailangan mong magtrabaho sa lahat ng mga numero.
Kumusta ang pakiramdam mo? Halika, itaas ang iyong ulo - may isa pang theorem na matalinghagang matatawag na "killer theorem"…. ... "mga kandidato", siyempre =)
Ngunit kailangan mo munang mag-scroll sa diagram ni Horner nang hindi bababa sa isa ang kabuuan numero. Ayon sa kaugalian, kunin natin ang isa. Sa tuktok na linya isinulat namin ang mga coefficient ng polynomial at lahat ay gaya ng dati:
Dahil ang apat ay malinaw na hindi zero, ang halaga ay hindi ang ugat ng polynomial na pinag-uusapan. Pero malaki ang maitutulong niya sa atin.
Teorama 2 Kung para sa ilan sa pangkalahatan ang halaga ng polynomial ay nonzero: , pagkatapos ang mga makatwirang ugat nito (kung sila ay) masiyahan ang kondisyon
Sa aming kaso at samakatuwid ang lahat ng posibleng mga ugat ay dapat masiyahan ang kondisyon (tawagin natin itong Condition No. 1). Ang apat na ito ang magiging “killer” ng maraming “kandidato”. Bilang isang demonstrasyon, titingnan ko ang ilang mga pagsusuri:
Suriin natin ang "kandidato". Upang gawin ito, artipisyal na irepresenta natin ito sa anyo ng isang fraction, kung saan malinaw na nakikita na . Kalkulahin natin ang pagkakaiba sa pagsubok: . Ang apat ay hinati ng "minus two": , na nangangahulugan na ang posibleng ugat ay nakapasa sa pagsubok.
Suriin natin ang halaga. Narito ang pagkakaiba sa pagsubok ay: 
. Siyempre, at samakatuwid ang pangalawang "paksa" ay nananatili rin sa listahan.
Kung isang polynomial
Patunay
Hayaang ang lahat ng mga coefficient ng polynomial ay integer, at ang integer a ang ugat ng polynomial na ito. Dahil sa kasong ito sumusunod na ang koepisyent ay nahahati sa a.
Magkomento. Ang theorem na ito ay talagang nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang mga ugat ng polynomials ng mas mataas na antas sa kaso kapag ang mga coefficient ng mga polynomial na ito ay integers at ang ugat ay isang rational na numero. Ang theorem ay maaaring ipahayag muli tulad ng sumusunod: kung alam natin na ang mga coefficient ng isang polynomial ay mga integer, at ang mga ugat nito ay makatwiran, kung gayon ang mga makatwirang ugat na ito ay maaari lamang maging sa anyo kung saan ang p ay isang divisor ng numero (ang libreng termino), at ang numero q ay ang divisor ng numero (ang nangungunang koepisyent) .
Theorem sa integer roots, naglalaman ng
Kung ang integer α ay ang ugat ng isang polynomial na may integer coefficients, kung gayon ang α ay ang divisor ng libreng termino nito.
Patunay. Hayaan:
P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n
isang polynomial na may integer coefficients at isang integer α ang ugat nito.
Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ugat, ang pagkakapantay-pantay P (α)=0;
a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.
Inaalis ang karaniwang salik na α sa mga bracket, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay:
α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , saan
a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)
Dahil ang mga numerong a 0 , a 1 ,…a n-1 , an at α ay mga integer, mayroong isang integer sa bracket, at, samakatuwid, ang isang n ay nahahati sa α, na siyang kailangang patunayan.
Ang napatunayang teorama ay maaari ding buuin tulad ng sumusunod: bawat integer na ugat ng isang polynomial na may mga integer coefficient ay isang divisor ng libreng termino nito.
Ang theorem ay batay sa isang algorithm para sa paghahanap para sa mga integer na ugat ng isang polynomial na may integer coefficients: isulat ang lahat ng mga divisors ng libreng term at isa-isang isulat ang mga halaga ng mga polynomial ng mga numerong ito.
2. Karagdagang teorama sa mga ugat ng integer
Kung ang integer α ay ang ugat ng isang polynomial P(x) na may integer coefficients, kung gayon ang α-1 ay isang divisor ng numerong P(1), ang α+1 ay isang divisor ng numerong P(-1)
Patunay. Mula sa pagkakakilanlan
xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)
sumusunod na para sa mga integer b at c, ang bilang na bⁿ-cⁿ ay nahahati sa b∙c. Ngunit para sa anumang polynomial P ang pagkakaiba
P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=
=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)
at samakatuwid, para sa isang polynomial P na may integer coefficients at integers b at c, ang pagkakaiba P(b)-P(c) ay hinati sa b-c.
Pagkatapos: para sa b = α, c = 1, P (α)-P (1) = -P(1), na nangangahulugang ang P(1) ay hinati ng α-1. Ang pangalawang kaso ay ginagamot nang katulad.
Horner scheme
Teorama: Hayaang ang irreducible fraction p/q ang ugat ng equation a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 na may mga integer coefficient, pagkatapos ay ang numero q ay isang divisor ng nangungunang coefficient a0, at ang numero R ay isang divisor ng libreng termino a n.
Tandaan 1. Anumang integer root ng isang equation na may integer coefficient ay isang divisor ng libreng termino nito.
Tandaan 2.Kung ang nangungunang coefficient ng isang equation na may mga integer coefficient ay katumbas ng 1, kung gayon ang lahat ng mga rational na ugat, kung mayroon sila, ay integer.
Root ng isang polynomial. Root ng isang polynomial f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n ay x = c , ganyan f (c)=0 .
Tandaan 3. Kung x = c ugat ng isang polynomial , kung gayon ang polynomial ay maaaring isulat bilang: f(x)=(x−c)q(x) , Saan ay ang quotient ng isang polynomial f(x) sa pamamagitan ng monomial x - c
Ang paghahati ng polynomial sa isang monomial ay maaaring gawin gamit ang Horner's scheme:
Kung f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , isang 0 ≠0 , g(x)=x−c , tapos kapag hinahati f (x) sa g (x) pribado q(x) parang q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Saan b 0 =a 0 ,
b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Natitira r ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula r=c b n − 1 +a n
Solusyon: Ang koepisyent ng pinakamataas na antas ay 1, kaya ang mga integer na ugat ng equation ay dapat hanapin sa mga divisors ng libreng termino: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Gamit ang scheme ni Horner, makikita natin ang mga integer na ugat ng equation:
Kung ang isang ugat ay pinili ayon sa pamamaraan ni Horner. pagkatapos ay maaari kang magpasya sa karagdagang tulad nito x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3
Tulad ng nabanggit na natin, ang isa sa pinakamahalagang problema sa teorya ng polynomial ay ang problema sa paghahanap ng kanilang mga ugat. Upang malutas ang problemang ito, maaari mong gamitin ang paraan ng pagpili, i.e. kumuha ng isang numero nang random at suriin kung ito ang ugat ng isang binigay na polynomial.
Sa kasong ito, maaari mong mabilis na "mabangga" ang ugat, o maaaring hindi mo ito mahanap. Pagkatapos ng lahat, imposibleng suriin ang lahat ng mga numero, dahil mayroong walang katapusang marami sa kanila.
Ito ay magiging isa pang usapin kung magagawa nating paliitin ang lugar ng paghahanap, halimbawa, upang malaman na ang mga ugat na hinahanap natin ay, sabihin, kabilang sa tatlumpung tinukoy na mga numero. At para sa tatlumpung numero maaari kang gumawa ng tseke. Kaugnay ng lahat ng nasabi sa itaas, ang pahayag na ito ay tila mahalaga at kawili-wili.
Kung ang irreducible fraction l/m (l,m ay integers) ay ang ugat ng isang polynomial f (x) na may integer coefficients, kung gayon ang nangungunang coefficient ng polynomial na ito ay hinati sa m, at ang libreng term ay nahahati sa 1.
Sa katunayan, kung f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, kung saan ang an, an-1,...,a1, a0 ay mga integer, kung gayon ang f (l/ m) =0, ibig sabihin, isang (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.
I-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa mn. Nakukuha namin ang anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.
Ito ay nagpapahiwatig:
anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).
Nakikita natin na ang integer anln ay nahahati sa m. Ngunit ang l/m ay isang irreducible fraction, i.e. ang mga numerong l at m ay coprime, at pagkatapos, gaya ng nalalaman mula sa teorya ng divisibility ng mga integer, ang mga numerong ln at m ay coprime din. Kaya, ang anln ay nahahati ng m at ang m ay coprime sa ln, na nangangahulugang ang isang ay nahahati ng m.
Ang napatunayang paksa ay nagbibigay-daan sa amin na makabuluhang paliitin ang lugar ng paghahanap para sa mga makatwirang ugat ng isang polynomial na may integer coefficients. Ipakita natin ito sa isang partikular na halimbawa. Hanapin natin ang mga nakapangangatwiran na ugat ng polynomial f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Ayon sa theorem, ang mga nakapangangatwiran na ugat ng polynomial na ito ay kabilang sa mga hindi mababawasang fraction ng anyong l/m, kung saan ang l ay ang divisor ng libreng term na a0=8, at ang m ay ang divisor ng nangungunang koepisyent a4=6. Bukod dito, kung negatibo ang fraction l/m, itatalaga ang sign na "-" sa numerator. Halimbawa, - (1/3) = (-1) /3. Kaya masasabi natin na ang l ay isang divisor ng numero 8, at ang m ay isang positibong divisor ng numero 6.
Dahil ang mga divisors ng number 8 ay ±1, ±2, ±4, ±8, at ang positive divisors ng number 6 ay 1, 2, 3, 6, kung gayon ang rational roots ng polynomial na pinag-uusapan ay kabilang sa mga numero ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Alalahanin natin na isinulat lamang natin ang mga hindi mababawasang praksyon.
Kaya, mayroon kaming dalawampung numero - "mga kandidato" para sa mga ugat. Ang natitira lamang ay suriin ang bawat isa sa kanila at piliin ang mga talagang ugat. Ngunit muli, kakailanganin mong gumawa ng maraming pagsusuri. Ngunit ang sumusunod na teorama ay nagpapasimple sa gawaing ito.
Kung ang irreducible fraction l/m ay ang ugat ng polynomial f (x) na may integer coefficients, kung gayon ang f (k) ay nahahati sa l-km para sa anumang integer k, sa kondisyon na l-km?0.
Upang patunayan ang teorama na ito, hatiin ang f (x) sa x-k na may natitira. Nakukuha namin ang f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Dahil ang f (x) ay isang polynomial na may integer coefficients, gayundin ang polynomial s (x), at ang f (k) ay isang integer. Hayaan ang (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Pagkatapos f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Ilagay natin ang x=l/m sa pagkakapantay-pantay na ito. Isinasaalang-alang na f (l/m) =0, nakukuha natin
f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .
I-multiply natin ang magkabilang panig ng huling pagkakapantay-pantay sa mn:
mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).
Kasunod nito na ang integer mnf (k) ay nahahati sa l-km. Ngunit dahil ang l at m ay coprime, ang mn at l-km ay coprime din, na nangangahulugang ang f (k) ay nahahati ng l-km. Ang teorama ay napatunayan.
Bumalik tayo ngayon sa ating halimbawa at, gamit ang napatunayang teorama, lalo nating paliitin ang bilog ng mga paghahanap para sa mga makatwirang ugat. Ilapat natin ang theorem na ito para sa k=1 at k=-1, i.e. kung ang irreducible fraction l/m ay ang ugat ng polynomial f (x), kung gayon ang f (1) / (l-m), at f (-1) / (l+m). Madali nating makita na sa ating kaso f (1) = -5, at f (-1) = -15. Tandaan na kasabay nito ay hindi namin isinama ang ±1 mula sa pagsasaalang-alang.
Kaya, ang mga makatwirang ugat ng ating polynomial ay dapat hanapin sa mga numerong ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.
Isaalang-alang ang l/m=1/2. Pagkatapos l-m=-1 at f (1) =-5 ay hinati sa numerong ito. Dagdag pa, ang l+m=3 at f (1) =-15 ay nahahati din sa 3. Nangangahulugan ito na ang fraction na 1/2 ay nananatili sa mga "kandidato" para sa mga ugat.
Hayaan ngayon lm=- (1/2) = (-1) /2. Sa kasong ito, ang l-m=-3 at f (1) =-5 ay hindi mahahati ng - 3. Nangangahulugan ito na ang fraction - 1/2 ay hindi maaaring maging ugat ng polynomial na ito, at hindi namin ito isasama sa karagdagang pagsasaalang-alang. Suriin natin ang bawat isa sa mga fraction na nakasulat sa itaas at hanapin na ang mga kinakailangang ugat ay kabilang sa mga numerong 1/2, ±2/3, 2, - 4.
Kaya, gamit ang isang medyo simpleng pamamaraan, makabuluhang pinaliit namin ang lugar ng paghahanap para sa mga makatwirang ugat ng polynomial na isinasaalang-alang. Well, para suriin ang natitirang mga numero, gagamitin namin ang scheme ni Horner:
Talahanayan 10
Nalaman namin na ang natitira kapag hinahati ang g (x) sa x-2/3 ay katumbas ng - 80/9, ibig sabihin, ang 2/3 ay hindi ugat ng polynomial g (x), at samakatuwid ay hindi rin f (x).
Susunod, madali nating mahanap na - 2/3 ang ugat ng polynomial g (x) at g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Pagkatapos f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Ang karagdagang pagpapatunay ay maaaring isagawa para sa polynomial x2+2x-4, na, siyempre, ay mas simple kaysa para sa g (x) o higit pa para sa f (x). Bilang resulta, nalaman namin na ang mga numero 2 at - 4 ay hindi mga ugat.
Kaya, ang polynomial f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 ay may dalawang rasyonal na ugat: 1/2 at - 2/3.
Alalahanin na ang pamamaraang inilarawan sa itaas ay ginagawang posible na makahanap lamang ng mga makatwirang ugat ng isang polynomial na may integer coefficients. Samantala, ang isang polynomial ay maaari ding magkaroon hindi makatwiran na mga ugat. Kaya, halimbawa, ang polynomial na isinasaalang-alang sa halimbawa ay may dalawa pang ugat: - 1±v5 (ito ang mga ugat ng polynomial x2+2x-4). At, sa pangkalahatan, ang isang polynomial ay maaaring walang makatwirang mga ugat.
Ngayon magbigay tayo ng ilang mga tip.
Kapag sinusuri ang "mga kandidato" para sa mga ugat ng polynomial f (x) gamit ang pangalawa sa mga theorems na pinatunayan sa itaas, ang huli ay karaniwang ginagamit para sa mga kaso k=±1. Sa madaling salita, kung ang l/m ay isang "kandidato" na ugat, suriin kung ang f (1) at f (-1) ay nahahati sa l-m at l+m, ayon sa pagkakabanggit. Ngunit maaaring mangyari na, halimbawa, ang f (1) = 0, ibig sabihin, ang 1 ay isang ugat, at pagkatapos ay ang f (1) ay nahahati sa anumang numero, at ang aming tseke ay nagiging walang kahulugan. Sa kasong ito, dapat mong hatiin ang f (x) sa x-1, i.e. kumuha ng f(x) = (x-1)s(x), at subukan ang polynomial na s(x). Kasabay nito, hindi natin dapat kalimutan na natagpuan na natin ang isang ugat ng polynomial f (x) - x1=1. Kung, kapag sinusuri ang "mga kandidato" para sa mga ugat na natitira pagkatapos gamitin ang pangalawang teorem sa mga nakapangangatwiran na mga ugat, gamit ang pamamaraan ni Horner nalaman namin na, halimbawa, ang l / m ay isang ugat, kung gayon ang multiplicity nito ay dapat matagpuan. Kung ito ay katumbas ng, sabihin nating, k, kung gayon ang f (x) = (x-l/m) ks (x), at ang karagdagang pagsubok ay maaaring gawin para sa s (x), na binabawasan ang mga kalkulasyon.
Kaya, natutunan nating maghanap ng mga makatwirang ugat ng isang polynomial na may mga coefficient ng integer. Lumalabas na sa paggawa nito natutunan nating hanapin ang hindi makatwirang mga ugat ng isang polynomial na may rational coefficients. Sa katunayan, kung mayroon tayong, halimbawa, isang polynomial f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, kung gayon, dinadala ang mga coefficient sa isang common denominator at ilalabas ito sa mga bracket, makuha ang f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Malinaw na ang mga ugat ng polynomial f (x) ay nag-tutugma sa mga ugat ng polynomial sa mga panaklong, at ang mga coefficient nito ay mga integer. Patunayan natin, halimbawa, na ang sin100 ay isang hindi makatwirang numero. Gamitin natin ang kilalang formula sin3?=3sin?-4sin3?. Kaya sin300=3sin100-4sin3100. Isinasaalang-alang na ang sin300=0.5 at pagsasagawa ng mga simpleng pagbabagong-anyo, makakakuha tayo ng 8sin3100-6sin100+1=0. Samakatuwid, ang sin100 ay ang ugat ng polynomial f (x) =8x3-6x+1. Kung hahanapin natin ang mga makatwirang ugat ng polynomial na ito, tayo ay kumbinsido na wala. Nangangahulugan ito na ang root sin100 ay hindi isang rational number, i.e. Ang sin100 ay isang hindi makatwirang numero.
Ang tanong ng paghahanap ng mga makatwirang ugat ng isang polynomial f(x)Q[x] (na may rational coefficients) ay bumababa sa tanong ng paghahanap ng mga rational roots ng polynomials k
∙
f(x)
Z[x] (na may mga integer coefficient). Narito ang numero k ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient ng isang binigay na polynomial.
Kailangan, ngunit hindi sapat na kondisyon ang pagkakaroon ng rational roots ng isang polynomial na may integer coefficients ay ibinibigay ng sumusunod na theorem.
Theorem 6.1 (sa rational roots ng isang polynomial na may integer coefficients).
Kung
–
rational root ng isang polynomialf(x)
=
a n
x n +
+
…+
a 1
x
+
a 0
Sa
buo
coefficients, at(p,
q)
= 1, pagkatapos ay ang numerator ng fractionpay isang divisor ng libreng termino a 0
, at ang denominatorqay isang divisor ng nangungunang koepisyent a 0
.
Teorama 6.2.Kung
Q
(
saan
(p,
q)
=
1)
ay ang makatwirang ugat ng polynomial
f(x)
na may integer coefficients, kung gayon
–buong numero.
Halimbawa. Hanapin ang lahat ng makatwirang ugat ng polynomial
f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.
1. Sa pamamagitan ng Theorem 6.1: kung
–
rational root ng isang polynomial f(x),
( saan( p,
q)
= 1),
yun a 0
= 1
p,
a n
= 6
q. kaya lang p 
{
1}, q 
(1, 2, 3, 6), na nangangahulugang
.
2. Alam na (Corollary 5.3) ang bilang A ay ang ugat ng polynomial f(x) kung at kung lamang f(x) hinati ng ( x – a).
Samakatuwid, upang suriin kung ang mga numero 1 at –1 ay mga ugat ng isang polynomial f(x) maaari mong gamitin ang scheme ni Horner:
f(1)
= 6
0,f(–1)
= 12
0, kaya ang 1 at –1 ay hindi mga ugat ng polynomial f(x).
3. Upang alisin ang ilan sa mga natitirang numero 
, gamitin natin ang Theorem 6.2. Kung expression 
o 
tumatanggap ng mga integer na halaga para sa kaukulang mga halaga ng numerator p at denominador q, pagkatapos ay sa kaukulang mga cell ng talahanayan (tingnan sa ibaba) isusulat namin ang titik na "ts", kung hindi - "dr".
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
4. Gamit ang scheme ni Horner, tinitingnan namin kung magiging ang mga numerong natitira pagkatapos ng pagsasala 
mga ugat f(x). Hatiin muna natin f(x) sa ( X
–
).
Bilang resulta mayroon kaming: f(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) at – ugat f(x). Pribado q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - hatiin ang 2 sa ( X + ).
kasi q
(–)
= 3
0, kung gayon ang (–) ay hindi ugat ng polynomial q(x), at samakatuwid ay ang polynomial f(x).
Sa wakas, hinati namin ang polynomial q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 sa ( X – ).
Nakakuha: q () = 0, ibig sabihin – ugat q(x), at samakatuwid ay ang ugat f (x). Kaya ang polynomial f (x) ay may dalawang makatwirang ugat: at.
Sa kurso ng paaralan, kapag nilulutas ang ilang mga uri ng mga problema upang mapupuksa ang irrationality sa denominator ng isang fraction, sapat na upang i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng numero na conjugate sa denominator.
Mga halimbawa. 1.t
=
.
Dito gumagana ang pinaikling pormula ng multiplikasyon (pagkakaiba ng mga parisukat) sa denominator, na nagpapahintulot sa iyo na palayain ang iyong sarili mula sa irrationality sa denominator.
2. Palayain ang iyong sarili mula sa irrationality sa denominator ng fraction
t
=
. Expression – hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga numero A=
At b= 1. Gamit ang pinaikling multiplication formula A 3
–
b 3
=
(isang +b)
· ( a 2
–
ab
+
b 2
), matutukoy natin ang multiplier m
= (isang +b)
=
+ 1, kung saan dapat i-multiply ang numerator at denominator ng fraction t upang maalis ang irrationality sa denominator ng fraction t. kaya,
Sa mga sitwasyon kung saan hindi gumagana ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon, maaaring gumamit ng iba pang mga diskarte. Sa ibaba ay bubuo kami ng isang teorama, ang patunay kung saan, sa partikular, ay nagbibigay-daan sa amin upang makahanap ng isang algorithm para sa pag-alis ng irrationality sa denominator ng isang fraction sa mas kumplikadong mga sitwasyon.
Kahulugan 6.1. Numero z tinawag algebraic sa ibabaw ng field
F, kung mayroong polynomial f(x)
F[x], na ang ugat ay z, kung hindi man ang numero z tinawag transendental sa laranganF.
Kahulugan 6.2.Degree ng algebraic sa ibabaw ng field
F
numero
z ay tinatawag na antas ng isang hindi mababawasan sa isang larangan F polinomyal p(x)
F[x], na ang ugat ay ang numero z.
Halimbawa. Ipakita natin na ang bilang na z = 
ay algebraic sa ibabaw ng field Q at hanapin ang antas nito.
Maghanap tayo ng hindi mababawasan sa larangan Q polinomyal p(X), na ang ugat ay x
=
. Itaas natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay x
=
sa ikaapat na kapangyarihan, nakukuha namin X 4
= 2 o X 4
–
2
= 0. Kaya, p(X)
= X 4
–
2, at ang kapangyarihan ng numero z katumbas ng deg
p(X)
= 4.
Teorama 6.3
(sa pagpapalaya mula sa algebraic irrationality sa denominator ng isang fraction).Hayaanz– algebraic na numero sa ibabaw ng isang fieldFdegreesn. Pagpapahayag ng anyot
=
,saan
f(x),
(x)
F[x],
(z) 
0
maaari lamang irepresenta sa anyo:
t
= Sa n -1
z n -1
+
c n -2
z n -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c i
F.
Ipapakita namin ang algorithm para sa pag-alis ng irrationality sa denominator ng isang fraction gamit ang isang partikular na halimbawa.
Halimbawa. Palayain ang iyong sarili mula sa irrationality sa denominator ng isang fraction:
t
=
1. Ang denominator ng fraction ay ang halaga ng polynomial 
(X)
= X 2
– X+1 kung kailan X
=
. Ang nakaraang halimbawa ay nagpapakita na 
– algebraic na numero sa ibabaw ng isang field Q degree 4, dahil ito ang ugat ng irreducible over Q polinomyal p(X)
= X 4
–
2.
2. Hanapin natin ang linear expansion ng GCD ( 
(X),
p(x)) gamit ang Euclidean algorithm.
_x 4 – 2 | x 2 –x + 1
x 4 –x 3 +x 2 x 2 + x = q 1 (x)
_ x 3 –x 2 – 2
x 3 –x 2 +x
x 2 –x + 1 | – x –2 = r 1 (x )
x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)
_–3x+ 1
–3 x – 6
_ – x –2 |7 = r 2
– x –2 -x - =q 3 (x)
Kaya, GCD ( 
(X),
p(x))
= r 2
=
7. Hanapin natin ang linear expansion nito.
Isulat natin ang Euclidean sequence gamit ang polynomial notation.
p(x)
=
(x)
· q 1
(x)
+ r 1
(x)
r 1
(x)
=p(x)
–
(x)
· q 1
(x)
=
=
