Bạn có thể tìm căn bậc ba của một tam thức bằng cách sử dụng phân biệt. Ngoài ra, đối với đa thức rút gọn bậc hai, định lý Vieta dựa trên tỉ số của các hệ số được áp dụng.
Tam thức vuôngđược gọi là tam thức có dạng a*x 2 +b*x+c, trong đó a,b,c là một số số thực tùy ý và x là một biến. Hơn nữa, số a không được bằng 0.
Các số a,b,c được gọi là hệ số. Số a gọi là hệ số cao nhất, số b là hệ số của x, số c gọi là số hạng tự do.
Căn bậc ba của một tam thức vuông a*x 2 +b*x+c là bất kỳ giá trị nào của biến x sao cho tam thức bình phương a*x 2 +b*x+c biến mất.
Để tìm nghiệm của một tam thức bậc hai, cần phải giải phương trình bậc hai có dạng a*x 2 +b*x+c=0.
Để giải quyết vấn đề này, bạn có thể sử dụng một trong những phương pháp đã biết.
Tìm căn bậc hai của tam thức vuông bằng cách sử dụng công thức.
1. Tìm giá trị của biệt thức bằng công thức D =b 2 -4*a*c.
2. Tùy thuộc vào giá trị của biệt thức, tính nghiệm bằng các công thức:
Nếu D > 0, thì tam thức vuông có hai nghiệm.
x = -b±√D / 2*a
Nếu D< 0, thì tam thức vuông có một nghiệm.
Nếu biệt thức âm thì tam thức bậc hai không có nghiệm.
Tìm nghiệm của một tam thức bậc hai bằng cách cô lập bình phương hoàn hảo. Chúng ta hãy xem ví dụ về tam thức bậc hai đã cho. Một phương trình bậc hai rút gọn có hệ số cao nhất bằng một.
Hãy tìm nghiệm của tam thức bậc hai x 2 +2*x-3. Để làm điều này, chúng ta giải phương trình bậc hai sau: x 2 +2*x-3=0;
Hãy biến đổi phương trình này:
Ở vế trái của phương trình có một đa thức x 2 +2*x, để biểu diễn nó dưới dạng bình phương của tổng, chúng ta cần có một hệ số khác bằng 1. Cộng và trừ 1 từ biểu thức này, chúng ta nhận được :
(x 2 +2*x+1) -1=3
Những gì có thể được biểu diễn trong ngoặc đơn dưới dạng bình phương của nhị thức
Phương trình này được chia thành hai trường hợp: x+1=2 hoặc x+1=-2.
Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta nhận được câu trả lời x=1 và trong trường hợp thứ hai, x=-3.
Đáp án: x=1, x=-3.
Kết quả của các phép biến đổi, chúng ta cần lấy bình phương của nhị thức ở vế trái và một số nhất định ở vế phải. Phía bên phải không được chứa một biến.
Tìm nghiệm nguyên của tam thức bậc hai
Bàn thắng: giới thiệu khái niệm tam thức bậc hai và nghiệm của nó; phát triển khả năng tìm nghiệm của một tam thức bậc hai.
Trong các lớp học
I. Thời điểm tổ chức.
II. Công việc truyền miệng.
Những số nào: –2; -1; 1; 2 – là gốc của phương trình?
a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;
b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.
III. Giải thích về vật liệu mới.
Việc giải thích vật liệu mới nên được thực hiện theo sơ đồ sau:
1) Giới thiệu khái niệm nghiệm của đa thức.
2) Giới thiệu khái niệm tam thức bậc hai và nghiệm của nó.
3) Phân tích câu hỏi về số căn có thể có của một tam thức bình phương.
Câu hỏi về cách tách bình phương của một nhị thức khỏi một tam thức bình phương sẽ được thảo luận tốt nhất trong bài học tiếp theo.
Ở mỗi giai đoạn giải thích tài liệu mới, cần giao cho học sinh một bài tập nói để kiểm tra khả năng nắm vững những điểm chính của lý thuyết.
Nhiệm vụ 1. Số nào: –1; 1; ; 0 – là nghiệm của đa thức X 4 + 2X 2 – 3?
Bài 2. Trong các đa thức sau, đa thức nào là tam thức bậc hai?
1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;
2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;
3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;
4) 3X 2 – ; 9) 
+ 3X – 6;
5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .
Những tam thức bậc hai nào có nghiệm 0?
Bài 3. Tam thức vuông có ba nghiệm được không? Tại sao? Một tam thức vuông có bao nhiêu căn? X 2 + X – 5?
IV. Sự hình thành các kỹ năng và khả năng.
Bài tập:
1. № 55, № 56, № 58.
2. Số 59 (a, c, d), số 60 (a, c).
Trong nhiệm vụ này, bạn không cần phải tìm nghiệm của các tam thức bậc hai. Chỉ cần tìm ra điểm phân biệt của họ và trả lời câu hỏi được đặt ra là đủ.
a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;
D 1 = 16 – 15 = 1;
D 1 0, có nghĩa là tam thức bậc hai này có hai nghiệm.
b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;
D 1 = 9 – 9 = 0;
D 1 = 0, có nghĩa là tam thức bình phương có một nghiệm.
vào lúc 7 giờ X 2 + 6X – 2 = 0;
7X 2 – 6X + 2 = 0;
D 1 = 9 – 14 = –5;
Nếu còn thời gian, bạn có thể làm số 63.
Giải pháp
Cho phép cây rìu 2 + bx + c là một tam thức bậc hai đã cho. Bởi vì Một+ b +
+c= 0 thì một trong các nghiệm của tam thức này bằng 1. Theo định lý Vieta thì nghiệm thứ hai bằng . Theo điều kiện, Với = 4MỘT, do đó căn bậc hai của tam thức bậc hai này bằng 
.
ĐÁP ÁN: 1 và 4.
V. Tóm tắt bài học.
Các câu hỏi thường gặp:
- Căn của đa thức là gì?
- Đa thức nào được gọi là tam thức bậc hai?
- Làm thế nào để tìm nghiệm của một tam thức bậc hai?
- Phân biệt của tam thức bậc hai là gì?
- Một tam thức vuông có thể có bao nhiêu nghiệm? Điều này phụ thuộc vào điều gì?
Bài tập về nhà: Số 57, số 59 (b, d, f), số 60 (b, d), số 62.
Việc thực hành các kỳ thi toán cho thấy các bài toán về tham số là khó nhất, cả về mặt logic và kỹ thuật, do đó khả năng giải quyết chúng quyết định phần lớn đến việc vượt qua kỳ thi thành công ở mọi cấp độ.
Trong các bài toán có tham số, cùng với các đại lượng chưa biết, xuất hiện các đại lượng có giá trị bằng số, mặc dù không được biểu thị cụ thể, nhưng được coi là đã biết và xác định trên một tập hợp số nhất định. Trong trường hợp này, các tham số có trong điều kiện ảnh hưởng đáng kể đến diễn biến logic và kỹ thuật của giải pháp cũng như hình thức của câu trả lời. Những bài toán như vậy có thể tìm thấy trong cuốn sách “514 bài toán về tham số”. Có rất nhiều tài liệu về toán tiểu học. dạy học, sách giải bài tập, hướng dẫn phương pháp, trong đó đưa ra các bài toán có tham số. Nhưng hầu hết chúng đều đề cập đến một phạm vi vấn đề hẹp, tập trung chủ yếu vào công thức hơn là tính logic của việc giải quyết vấn đề. Ngoài ra, cuốn sách thành công nhất từ lâu đã trở thành một cuốn sách hiếm về thư mục. Cuối tác phẩm có danh sách các cuốn sách, bài viết, từ đó giúp biên soạn hệ thống phân loại các nhận định về chủ đề của tác phẩm. Đáng kể nhất là sách hướng dẫn của A. Kh. Shahmeister. Phương trình và bất đẳng thức với tham số.
Mục tiêu chính của công việc này là lấp đầy một số lỗ hổng đáng kể trong khóa học đại số cơ bản và thiết lập các sự thật về việc sử dụng các tính chất hàm bậc hai, giúp đơn giản hóa đáng kể việc giải các bài toán liên quan đến vị trí nghiệm của phương trình bậc hai so với các điểm đặc trưng nhất định.
Mục tiêu công việc:
Thiết lập các trường hợp có thể về vị trí các nghiệm của một tam thức bình phương trên trục số;
Xác định các thuật toán cho phép giải phương trình bậc hai có tham số dựa vào vị trí nghiệm của tam thức bậc hai trên trục số;
Học cách giải các bài toán có độ phức tạp cao hơn mức yêu cầu; nắm vững một số kỹ năng toán học kỹ thuật và trí tuệ ở mức độ sử dụng miễn phí; nâng cao văn hóa toán học trong khóa học toán học.
Đối tượng nghiên cứu: vị trí các nghiệm của tam thức vuông trên đường tọa độ.
Đối tượng nghiên cứu: phương trình bậc hai có tham số.
Phương pháp nghiên cứu. Các phương pháp chính để nghiên cứu các vấn đề với một tham số: phân tích, đồ họa và kết hợp (chức năng - đồ họa). Phân tích là một phương pháp được gọi là giải pháp trực tiếp, lặp lại các quy trình chuẩn để tìm ra câu trả lời trong các bài toán không có tham số. Đồ họa là phương pháp sử dụng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ (x; y). Sự rõ ràng của phương pháp đồ họa giúp tìm ra cách giải quyết vấn đề nhanh chóng. Trong hai phương pháp này, phương pháp cuối cùng không chỉ thanh lịch mà còn quan trọng nhất vì nó thể hiện mối quan hệ giữa tất cả các loại mô hình toán học: mô tả bài toán bằng lời, mô hình hình học - đồ thị tam thức bậc hai, mô hình giải tích - mô tả mô hình hình học bằng hệ bất phương trình được biên soạn trên cơ sở các mệnh đề toán học được xác định từ đồ thị của hàm bậc hai.
Trong nhiều trường hợp, việc giải phương trình bậc hai bằng tham số dẫn đến các phép biến đổi rườm rà. Giả thuyết: việc sử dụng các tính chất của hàm bậc hai sẽ đơn giản hóa đáng kể cách giải, chuyển nó thành giải các bất đẳng thức hữu tỉ.
Phần chính. Vị trí nghiệm của tam thức bậc hai trên đường tọa độ
Hãy xem xét một số phát biểu liên quan đến vị trí các nghiệm của tam thức bình phương f(x)=ax2+bx+c trên trục số so với các điểm m và n sao cho m
x1 và x2 là nghiệm của tam thức bậc hai,
D=b2-4ac- biệt thức của tam thức bình phương, D ≥0.
m, n, m1, m2, n1, n2 - các số đã cho.
Tất cả các đối số được xem xét cho a>0, trường hợp cho a
Tuyên bố một
Để số m nằm giữa các nghiệm của tam thức vuông (x1
Bằng chứng.
cung cấp x1
Giải thích hình học
Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình. Với a > 0 f(x)
Bài 1. Với những giá trị nào của k thì phương trình x2-(2k+1)x + 3k-4=0 có hai nghiệm, một nghiệm nhỏ hơn 2 và nghiệm kia lớn hơn 2?
Giải pháp. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1
Với k>-2, phương trình x2-(2k+1)x + 3k-4=0 có hai nghiệm, một nghiệm nhỏ hơn 2 và nghiệm kia lớn hơn 2.
Trả lời: k>-2.
Bài 2. Với những giá trị nào của k thì phương trình kx2+(3k-2)x + k-3=0 có nghiệm khác dấu?
Bài toán này có thể được phát biểu như sau: với giá trị nào của k thì số 0 nằm giữa các nghiệm của phương trình này.
Lời giải (1 chiều) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1
Cách 2 (dùng định lý Vieta). Nếu một phương trình bậc hai có nghiệm (D>0) và c/a
Bài 3. Với giá trị nào của k thì phương trình (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 có hai nghiệm, một nghiệm nhỏ hơn k và nghiệm kia lớn hơn k?
f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Thay thế các giá trị của k từ tập tìm thấy, chúng tôi đảm bảo rằng đối với các giá trị này của k D>0.
Tuyên bố hai (a)
Để nghiệm của một tam thức bậc hai là số lượng ít hơn m(x1
Chứng minh: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2
Bài 4. Tại giá trị nào của tham số thì nghiệm của phương trình x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 nhỏ hơn -1?
D ≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2 ≥0; k- bất kỳ; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2
Câu hai (b)
Để nghiệm của một tam thức bậc hai là số lượng nhiều hơn m(m
D ≥0; x0>m; af(m)>0.
Nếu điều kiện m m. Vì m không thuộc khoảng (x1; x2) nên f(m) > O với a > 0 và f(m)
Ngược lại, hãy để hệ thống bất đẳng thức được thỏa mãn. Điều kiện D > 0 ngụ ý sự tồn tại của nghiệm x1 và x2 (x1 m.
Còn lại phải chứng minh rằng x1 > m. Nếu D = 0 thì x1 = x2 > m. Nếu D > 0 thì f(x0) = -D/4a và af(x0) 0, do đó tại các điểm x0 và m hàm số lấy giá trị trái dấu và x1 thuộc khoảng (m; x0).
Bài 5. Với những giá trị nào của tham số m thì nghiệm của phương trình x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) lớn hơn 1? b) nhỏ hơn -1?
Giải pháp a) D ≥0; D ≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.
(m-5)2 ≥0; m - bất kỳ m>1/3; m>1/3;
(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Đáp án: m>3/2.
b) D ≥ 0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; (m-5)2 ≥0; m - bất kỳ x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.
Bài 6. Tại giá trị nào của tham số thì nghiệm của phương trình kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 lớn hơn 1?
Giải pháp. Rõ ràng, bài toán tương đương như sau: với giá trị nào của tham số m là nghiệm của một tam thức bậc hai lớn hơn 1?
D ≥0; D ≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1<0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.
Giải hệ này, ta thấy rằng
Tuyên bố ba
Để các căn của một tam thức vuông lớn hơn số m và nhỏ hơn n (m
D ≥0; m 0 af(n)>0.
Ghi chú đặc điểm tính cách nghệ thuật đồ họa.
1) Phương trình có nghiệm, nghĩa là D > 0.
2) Trục đối xứng nằm giữa hai đường thẳng x = m và x = n, nghĩa là m
3) Tại các điểm x = m và x = n, đồ thị nằm phía trên trục OX nên f(m) > 0 và f(n) > 0 (tại m
Các điều kiện được liệt kê ở trên (1; 2; 3) là cần thiết và đủ cho các giá trị tham số mong muốn.
Bài 7. Với m x2-2mx+m2-2m+5=0 nào thì các số có giá trị tuyệt đối không vượt quá 4?
Giải pháp. Điều kiện của bài toán có thể được phát biểu như sau: với m thì mối quan hệ -4
Chúng tôi tìm thấy các giá trị của m từ hệ thống
D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;
4 ₫ x0 ₫ 4; -4 m 4; f(-4) ≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4) ≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; giải pháp của ai là phân khúc . Trả lời: m.
Bài 8. Với giá trị nào của m là nghiệm của tam thức bậc hai
(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 lớn hơn -1, nhưng nhỏ hơn 0?
Giải pháp. Các giá trị của m có thể được tìm thấy từ hệ thống
D ≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;
(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0;
(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;
Đáp án: m > 2.
Tuyên bố bốn
Để căn nhỏ hơn của tam thức vuông thuộc khoảng (m;n) và căn lớn hơn không thuộc (m
D ≥0; af(m)>0 af(n)
Đồ thị của tam thức bậc hai cắt trục OX đúng một lần trên đoạn (m; n). Điều này có nghĩa là tại các điểm x=m và x=n, tam thức bình phương mang các giá trị khác dấu.
Bài toán 10. Với giá trị nào của tham số a thì chỉ có nghiệm nhỏ hơn của phương trình bậc hai x2+2ax+a=0 thuộc khoảng X(0;3).
Giải pháp. Xét tam thức bậc hai y(x) = x2-2ax+a. Đồ thị là một parabol. Các nhánh của parabol hướng lên trên. Gọi x1 là căn bậc nhỏ của tam thức bình phương. Theo điều kiện của bài toán, x1 thuộc khoảng (0;3). Chúng ta hãy mô tả một mô hình hình học của bài toán thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Hãy chuyển sang hệ bất đẳng thức.
1) Ta lưu ý rằng y(0)>0 và y(3) 0. Do đó, điều kiện này không cần phải viết vào hệ bất đẳng thức.
Vì vậy, ta thu được hệ bất đẳng thức sau:
Đáp án: a>1,8.
Câu 4 (b)
Để căn lớn hơn của tam thức bình phương thuộc khoảng (m; n), còn căn nhỏ không thuộc (x1)
D ≥0; af(m) 0.
Tuyên bố bốn (kết hợp)
Bình luận. Giả sử bài toán được xây dựng như sau: với giá trị nào của tham số thì một nghiệm của phương trình thuộc khoảng (b;m) còn nghiệm kia thì không? Để giải bài toán này, không cần phân biệt hai trường hợp con; ta tìm được đáp án từ bất đẳng thức f(m) f(n)
D ≥0; f(m) f(n)
Bài 11. Với m thì chỉ có một nghiệm của phương trình x2-mх+6=0 thỏa mãn điều kiện 2
Giải pháp. Dựa vào câu 4(b), chúng ta tìm giá trị của m từ điều kiện f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, tức là với m = ±2√6, Với m = -2√6 x = - √6, không thuộc khoảng (2; 5), với m = 2√6 x =√6, thuộc khoảng (2; 5).
Đáp án: m (2√6) U (5; 31/5).
Tuyên bố năm
Để nghiệm của một tam thức bậc hai thỏa mãn hệ thức (x1
D ≥0; af(m)Bài toán 12. Tìm tất cả các giá trị của m thỏa bất đẳng thức x2+2(m-3)x + m2-6m
Giải pháp. Theo điều kiện khoảng (0; 2) phải nằm trong tập nghiệm của bất phương trình x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m Dựa vào Mệnh đề 5 ta tìm được các giá trị của m từ hệ của bất đẳng thức f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], từ đó m.
Trả lời: m.
Tuyên bố sáu
Để căn nhỏ của tam thức vuông thuộc khoảng (m1; m2), căn lớn hơn thuộc khoảng (n1; n2) (m2
D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Câu lệnh này là sự kết hợp của câu lệnh 4a và 4b. Hai bất đẳng thức đầu tiên đảm bảo rằng x1(m1, n1), và hai bất đẳng thức cuối đảm bảo rằng x2(m2, n2),
Bài 13. Tại bao nhiêu m là một trong các nghiệm của phương trình x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 nằm giữa số 1 và 3, và số thứ hai - giữa số 4 và 6?
Giải pháp. 1 chiều. Xét a = 1 thì các giá trị của m có thể tìm được từ hệ f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + m-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)
4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), từ đó m(2; 4).
Đáp án: m(2; 4).
Như vậy, chúng ta đã thiết lập các phát biểu liên quan đến vị trí các nghiệm của tam thức bình phương f(x)=ax2+bx+ trên trục số đối với một số điểm nhất định.
Phần kết luận
Trong quá trình làm việc của mình, tôi đã thành thạo một số kỹ năng kỹ thuật và toán học ở mức độ sử dụng miễn phí và cải thiện văn hóa toán học của mình như một phần của khóa học toán ở trường.
Kết quả của công việc là mục tiêu đặt ra đã đạt được: các tính chất của hàm bậc hai đã được thiết lập, giúp đơn giản hóa đáng kể việc giải các bài toán liên quan đến vị trí gốc của phương trình bậc hai so với các điểm đặc trưng nhất định. Các trường hợp có thể xảy ra về vị trí các nghiệm của một tam thức bình phương trên trục số đã được xác lập. Đã xác định được thuật toán cho phép giải phương trình bậc hai có tham số dựa trên vị trí các nghiệm của một tam thức bình phương trên trục số; các nhiệm vụ có độ phức tạp cao hơn mức yêu cầu đã được giải quyết. Tác phẩm chỉ đưa ra lời giải cho 12 bài toán do số lượng trang của tác phẩm có hạn. Tất nhiên, các vấn đề được thảo luận trong bài viết có thể được giải quyết theo những cách khác: sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, sử dụng tính chất của nghiệm (định lý Vieta).
Trên thực tế, một số lượng đáng kể các vấn đề đã được giải quyết. Vì vậy, người ta quyết định tạo ra một tập hợp các bài toán về chủ đề thiết kế và nghiên cứu “Giải các bài toán ứng dụng tính chất của tam thức vuông liên quan đến vị trí các nghiệm của nó trên đường tọa độ”. Ngoài ra, kết quả của công việc (sản phẩm của công việc thiết kế và nghiên cứu) là một bài thuyết trình trên máy tính có thể được sử dụng trong các lớp học của môn tự chọn “Giải bài toán bằng tham số”.
Việc nghiên cứu nhiều mô hình vật lý và hình học thường dẫn đến việc giải các bài toán bằng tham số. Một số trường đại học còn đưa các phương trình, bất đẳng thức và hệ thống của chúng vào bài thi, chúng thường rất phức tạp và yêu cầu cách giải không chuẩn. Ở trường, đây là một trong những phần khó nhất của môn đại số ở trường chỉ được xem xét trong một số môn học tự chọn hoặc môn học.
Theo tôi, phương pháp đồ họa chức năng là thuận tiện và một cách nhanh chóng giải phương trình với tham số.
Như đã biết, liên quan đến các phương trình có tham số, có hai công thức của bài toán.
Trong bài báo này, một bài toán loại thứ hai được xem xét và nghiên cứu liên quan đến nghiệm của một tam thức bình phương, việc tìm ra nó được rút gọn thành việc giải một phương trình bậc hai.
Tác giả hy vọng công trình này sẽ giúp ích cho giáo viên khi soạn bài và chuẩn bị cho học sinh bước vào kỳ thi Thống nhất.
1. Tham số là gì
Biểu thức của hình thức Ah 2 + bx + c trong khóa học đại số ở trường họ gọi là tam thức bậc hai đối với X,Ở đâu một, b, c được cho số thực và, Một=== 0. Các giá trị của biến x mà tại đó biểu thức trở thành 0 được gọi là nghiệm của tam thức bình phương. Để tìm nghiệm của một tam thức bậc hai, bạn cần giải phương trình bậc hai Ah 2 + bх + c = 0.
Hãy nhớ lại các phương trình cơ bản trong khóa học đại số ở trường rìu + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Khi tìm kiếm nghiệm của chúng, giá trị của các biến một, b, c, bao gồm trong phương trình được coi là cố định và cho trước. Bản thân các biến được gọi là tham số. Vì không có định nghĩa về tham số trong sách giáo khoa ở trường nên tôi đề xuất lấy phiên bản đơn giản nhất sau đây làm cơ sở.
Sự định nghĩa.Tham số là một biến độc lập, giá trị của nó trong bài toán được coi là một số thực cố định hoặc tùy ý cho trước hoặc một số thuộc một tập hợp xác định trước.
2. Các dạng và phương pháp cơ bản giải bài toán có tham số
Trong số các tác vụ có tham số, có thể phân biệt các loại tác vụ chính sau đây.
Ví dụ: tìm các giá trị tham số mà tại đó nghiệm của phương trình ( Một - 2)X 2
–
2rìu + một + 3 =
0
tích cực.
Các cách chính để giải quyết vấn đề với một tham số: phân tích và đồ họa.
Phân tích- Đây là một phương pháp được gọi là giải trực tiếp, lặp lại các quy trình chuẩn để tìm đáp án trong các bài toán không có tham số. Hãy xem xét một ví dụ về một nhiệm vụ như vậy.
Nhiệm vụ số 1
Tại giá trị nào của tham số a phương trình thực hiện X 2 – 2rìu + một 2 – 1 = 0 có hai nghiệm khác nhau thuộc đoạn (1; 5)?
Giải pháp
X 2 –
2rìu + một 2 –
1 = 0.
Theo điều kiện của bài toán, phương trình phải có hai nghiệm khác nhau và điều này chỉ có thể thực hiện được với điều kiện: D > 0.
Ta có: D = 4 Một 2 – 2(MỘT 2 – 1) = 4. Như chúng ta có thể thấy, phân biệt đối xử không phụ thuộc vào a, do đó, phương trình có hai nghiệm khác nhau cho bất kỳ giá trị nào của tham số a. Hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình: X 1 = MỘT + 1, X 2
= MỘT – 1
Các nghiệm của phương trình phải thuộc khoảng (1; 5), tức là
Vì vậy, vào lúc 2<MỘT < 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Trả lời: 2<MỘT < 4.
Cách tiếp cận này để giải các bài toán thuộc loại đang được xem xét là khả thi và hợp lý trong trường hợp phân biệt của phương trình bậc hai là “tốt”, tức là. là bình phương chính xác của bất kỳ số hoặc biểu thức nào, hoặc có thể tìm ra nghiệm của phương trình bằng định lý nghịch đảo của Vieta. Khi đó, các nghiệm không biểu diễn các biểu thức vô tỉ. Mặt khác, việc giải quyết các vấn đề thuộc loại này bao gồm các thủ tục khá phức tạp từ quan điểm kỹ thuật. Và việc giải các bất đẳng thức vô tỉ đòi hỏi học sinh phải có kiến thức mới.
Đồ họa- đây là phương pháp sử dụng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ (x; y) hoặc (x; a). Sự rõ ràng và vẻ đẹp của phương pháp giải quyết này giúp tìm ra cách giải quyết vấn đề nhanh chóng. Hãy giải quyết vấn đề số 1 bằng đồ họa.
Như bạn đã biết từ một khóa học đại số, nghiệm của một phương trình bậc hai (tam thức bậc hai) là các số 0 của hàm bậc hai tương ứng: Y = X 2
– 2Ồ + MỘT 2 – 1. Đồ thị của hàm số là parabol, các nhánh hướng lên trên (hệ số thứ nhất là 1). Một mô hình hình học đáp ứng mọi yêu cầu của bài toán sẽ trông như thế này.
Bây giờ tất cả những gì còn lại là “cố định” parabol ở vị trí mong muốn bằng các điều kiện cần thiết.
Vì vậy, chuyển từ mô hình hình học của bài toán sang mô hình phân tích, chúng ta thu được hệ bất đẳng thức.
Trả lời: 2<MỘT < 4.
Như có thể thấy từ ví dụ, có thể sử dụng một phương pháp đồ họa để giải các bài toán thuộc loại đang xem xét trong trường hợp các nghiệm "xấu", tức là. chứa tham số dưới dấu căn (trong trường hợp này, phân biệt của phương trình không phải là số chính phương).
Trong phương pháp giải thứ hai, chúng ta đã làm việc với các hệ số của phương trình và phạm vi của hàm số Tại = X 2 – 2Ồ + MỘT 2
– 1.
Phương pháp giải này không thể chỉ gọi là đồ họa, bởi vì ở đây chúng ta phải giải một hệ bất đẳng thức. Đúng hơn, phương pháp này được kết hợp: chức năng và đồ họa. Trong hai phương pháp này, phương pháp sau không chỉ thanh lịch mà còn quan trọng nhất, vì nó cho thấy mối quan hệ giữa tất cả các loại mô hình toán học: mô tả bằng lời của bài toán, mô hình hình học - đồ thị của tam thức bậc hai, phân tích mô hình - mô tả mô hình hình học bằng hệ bất đẳng thức.
Vì vậy, chúng ta đã xem xét một bài toán trong đó nghiệm của một tam thức bậc hai thỏa mãn các điều kiện cho trước trong miền định nghĩa đối với các giá trị tham số mong muốn.
Những điều kiện khả dĩ nào khác mà các nghiệm của một tam thức bậc hai có thể thỏa mãn để có được các giá trị tham số mong muốn?
