Tích vô hướng của vectơ (sau đây gọi tắt là SP). Bạn thân mến! Đề thi toán bao gồm một nhóm các bài toán về giải vectơ. Chúng tôi đã xem xét một số vấn đề. Bạn có thể nhìn thấy chúng trong danh mục “Vector”. Nhìn chung, lý thuyết về vectơ không phức tạp, điều chính là nghiên cứu nó một cách nhất quán. Tính toán và hoạt động với vectơ trong khóa học Toán học rất đơn giản, công thức không phức tạp. Hãy xem. Trong bài viết này chúng tôi sẽ phân tích các bài toán về SP của vectơ (có trong Kỳ thi Thống nhất). Bây giờ “đắm chìm” vào lý thuyết:
H Để tìm tọa độ của một vectơ, bạn cần trừ tọa độ điểm cuối của nótọa độ tương ứng của điểm gốc của nó
Và xa hơn:
*Độ dài vectơ (mô đun) được xác định như sau:
Những công thức này phải được ghi nhớ!!!
Hãy chỉ ra góc giữa các vectơ:
Rõ ràng là nó có thể thay đổi từ 0 đến 180 0(hoặc tính bằng radian từ 0 đến Pi).
Chúng ta có thể rút ra một số kết luận về dấu của tích vô hướng. Độ dài của vectơ có giá trị dương, điều này là hiển nhiên. Điều này có nghĩa là dấu của tích vô hướng phụ thuộc vào giá trị cosin của góc giữa các vectơ.
Các trường hợp có thể xảy ra:
1. Nếu góc giữa các vectơ là nhọn (từ 0 0 đến 90 0) thì cosin của góc sẽ có giá trị dương.
2. Nếu góc giữa các vectơ tù (từ 90 0 đến 180 0) thì cosin của góc sẽ có giá trị âm.
*Ở mức 0 độ, nghĩa là khi các vectơ có cùng hướng, cosin bằng 1 và do đó, kết quả sẽ dương.
Ở 180 o, tức là khi các vectơ có hướng ngược nhau thì cosin bằng trừ một,và theo đó kết quả sẽ âm tính.
Bây giờ ĐIỂM QUAN TRỌNG!
Ở 90 o, nghĩa là khi các vectơ vuông góc với nhau thì cosin bằng 0 và do đó SP bằng 0. Thực tế này (hệ quả, kết luận) được sử dụng để giải nhiều bài toán trong đó chúng ta đang nói về vị trí tương đối của vectơ, kể cả trong các bài toán có trong mở ngân hàng bài tập toán.
Hãy để chúng tôi xây dựng tuyên bố: tích vô hướng bằng 0 khi và chỉ khi các vectơ này nằm trên đường vuông góc.
Vì vậy, các công thức cho vectơ SP:
Nếu biết tọa độ của các vectơ hoặc tọa độ điểm đầu và điểm cuối của chúng thì chúng ta luôn có thể tìm được góc giữa các vectơ:
Hãy xem xét các nhiệm vụ:
27724 Tìm tích vô hướng của vectơ a và b.
Chúng ta có thể tìm tích vô hướng của vectơ bằng một trong hai công thức:
Góc giữa các vectơ không xác định, nhưng chúng ta có thể dễ dàng tìm tọa độ của các vectơ và sau đó sử dụng công thức đầu tiên. Vì gốc của cả hai vectơ trùng với gốc tọa độ nên tọa độ của các vectơ này bằng tọa độ hai đầu của chúng, nghĩa là
Cách tìm tọa độ của một vectơ được mô tả trong.
Chúng tôi tính toán:
Đáp án: 40
Hãy tìm tọa độ của các vectơ và sử dụng công thức:
Để tìm tọa độ của một vectơ, cần trừ tọa độ tương ứng của điểm đầu của nó với tọa độ của điểm cuối của vectơ, nghĩa là
Chúng tôi tính toán tích vô hướng:
Đáp án: 40
Tìm góc giữa các vectơ a và b. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Cho tọa độ các vectơ có dạng:
Để tìm góc giữa các vectơ, chúng ta sử dụng công thức tính tích vô hướng của vectơ:
Cosin của góc giữa các vectơ:
Kể từ đây:
Tọa độ của các vectơ này bằng nhau:
Hãy thay thế chúng vào công thức:
Góc giữa các vectơ là 45 độ.
Đáp án: 45
Cơ quan Giáo dục Liên bang
Cơ sở giáo dục nhà nước về giáo dục chuyên nghiệp cao hơn Viện khai thác mỏ bang St. Petersburg được đặt theo tên. G.V.
(Đại học kỹ thuật)
A.P. Gospodarikov, G.A. Colton, SA Khachatryan
Loạt Fourier. Tích phân Fourier.
phép tính hoạt động
Sổ tay giáo dục và phương pháp
THÁNH PETERSBURG
UDC 512 + 517.2 (075.80)
Cẩm nang giáo dục và phương pháp này tạo cơ hội để đạt được các kỹ năng thực tế trong việc phân tích các hàm bằng cách sử dụng mở rộng chuỗi Fourier hoặc biểu diễn bằng tích phân Fourier và dành cho công việc độc lập của các sinh viên chuyên ngành toàn thời gian và bán thời gian.
Cuốn sách này xem xét các vấn đề chính của phép tính toán tử và một loạt các vấn đề kỹ thuật sử dụng các nguyên tắc cơ bản của phép tính toán tử.
Biên tập viên khoa học PGS. . A.P. Gospodarikov
Người đánh giá: bộ phận toán cao hơnĐại học Kỹ thuật Điện bang St. Petersburg số 1; Tiến sĩ Vật lý và Toán học khoa học V.M. Chistyak(Đại học Bách khoa bang St. Petersburg).
Gospodarikov A.P.
G723. Loạt Fourier. Tích phân Fourier. Phép tính hoạt động: Sổ tay giáo dục và phương pháp / A.P. Gospodarikov,G.A. Colton,SA Khachatryan; Viện Khai thác mỏ bang St. Petersburg (Đại học Kỹ thuật). St.Petersburg, 2005. 102 tr.
ISBN 5-94211-104-9
UDC 512 + 517.2 (075.80)
BBK 22.161.5
Từ lý thuyết Fourier, người ta biết rằng với một số ảnh hưởng đến các hệ thống vật lý, kỹ thuật và các hệ thống khác, kết quả của nó lặp lại hình dạng của tín hiệu đầu vào ban đầu, chỉ khác nhau ở hệ số tỷ lệ. Rõ ràng là hệ thống phản ứng với các tín hiệu như vậy (chúng được gọi là của chính nó) theo cách đơn giản nhất. Nếu một tín hiệu đầu vào tùy ý là sự kết hợp tuyến tính của các tín hiệu của chính nó và hệ thống là tuyến tính thì phản ứng của hệ thống đối với tín hiệu tùy ý này là tổng của các phản ứng đối với tín hiệu của chính nó. Và do đó đầy đủ thông tin thông tin về một hệ thống có thể được lấy từ “các khối xây dựng” của nó—các phản hồi của hệ thống đối với các tín hiệu đầu vào của chính nó. Ví dụ, điều này được thực hiện trong kỹ thuật điện khi đưa ra đáp ứng tần số của hệ thống (hàm truyền). Đối với các hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian đơn giản nhất (ví dụ, các hệ thống được mô tả bằng các phương trình vi phân thông thường có hệ số không đổi), trong một số trường hợp, các hàm riêng là các hàm điều hòa có dạng . Bằng cách này, có thể thu được kết quả của ảnh hưởng tùy ý lên hệ thống, nếu hệ thống sau được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các sóng hài (trong trường hợp chung, ở dạng chuỗi Fourier hoặc tích phân Fourier) . Đây là một trong những lý do vì sao trong lý thuyết và ứng dụng cần phải sử dụng khái niệm chuỗi lượng giác (chuỗi Fourier) hay tích phân Fourier.
Đây là thông tin ngắn gọn từ đại số vectơ, cần thiết để hiểu rõ hơn về các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết chuỗi Fourier.
Chúng ta hãy xem xét tập hợp của vectơ hình học (không gian vectơ), trong đó khái niệm đẳng thức của vectơ, các phép toán tuyến tính (cộng và trừ vectơ, nhân vectơ với một số) và phép toán nhân vectơ vô hướng được giới thiệu trong cách thông thường.
Chúng ta hãy giới thiệu một cơ sở trực giao trong không gian , gồm ba vectơ trực giao từng cặp 
,
Và 
. Vectơ miễn phí 
là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở:
.
(1.1)
Các hệ số Tôi
(Tôi= 1, 2, 3), gọi là tọa độ vectơ 
so với cơ sở 
, có thể được định nghĩa như sau. Tích vô hướng của một vectơ 
và một trong các vectơ cơ sở 
.
Do tính trực giao của cơ sở nên tích vô hướng 
Tại 
, do đó, ở vế phải của đẳng thức cuối cùng chỉ có một số hạng khác 0, tương ứng 
, Đó là lý do tại sao 
, Ở đâu
,
(1.2)
Ở đâu 
.
Nếu các vectơ 
Và 
cho bởi tọa độ của chúng 
Và 
, thì tích vô hướng của chúng
.
Kể từ khi 
tích vô hướng 
, thì trong một tổng kép chỉ có các số hạng có chỉ số bằng nhau là khác 0, do đó
Đặc biệt khi 
từ (1.3) suy ra
.
(1.4)
Hãy biểu thị bằng ký hiệu 
tập hợp các hàm số liên tục từng đoạn trên khoảng [ Một, b], I E. hàm số có trên khoảng [ Một, b] một số hữu hạn các điểm gián đoạn loại thứ nhất và liên tục tại tất cả các điểm khác của khoảng này.
Tích chấm của hàm số 
số được gọi
.
Tính chất của tích vô hướng của hàm hoàn toàn trùng khớp với tính chất tích vô hướng của vectơ:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
;
.
Do đó, tích số chấm phụ thuộc tuyến tính vào các thành phần của nó. Tính chất này được gọi là tính song tuyến của tích vô hướng.
Chức năng
được gọi là trực giao
TRÊN [ Một,
b], Nếu như
.
Định mức chức năng 
ở giữa
[Một,
b] được gọi là số không âm 
, bình phương của nó bằng tích vô hướng của hàm 
với bản thân:
.
Tính chất của chuẩn của hàm phần lớn trùng khớp với các tính chất của mô đun vectơ:
1.
.
2. Nếu chức năng 
liên tục trên [ Một, b] Và 
, Cái đó 
. Bởi vì 
, thì khi nào 
,
Ở đâu 
. Phân biệt mối quan hệ cuối cùng đối với 
và áp dụng định lý Barrow, chúng ta có 
và do đó, 
.
3. Tđịnh lý cosin
.
.
Kết quả.
Nếu như 
, Cái đó 
(Định lý Pythagore).
4. Định lý Pythagore tổng quát. Nếu các chức năng 
(k =
= 1, 2, …, N) là từng cặp trực giao trên khoảng 
, Cái đó
.
Sử dụng tính chất song tuyến của tích vô hướng, chúng ta thu được
Do tính trực giao của hàm 
sản phẩm chấm 
Tại 
, Đó là lý do tại sao
.
5. NĐẳng thức Cauchy–Bunyakovsky
, hoặc, cái gì giống nhau,
.
Đối với bất kỳ thực tế 
Như vậy, tam thức bậc haiở vế trái của bất đẳng thức cuối cùng giữ nguyên dấu trên toàn bộ trục thực, do đó, phân biệt của nó 
.
Bài tập 1. Chứng minh tính chất tích vô hướng của các hàm số 1-3.
Bài tập 2. Hãy chỉ ra tính đúng của các khẳng định sau:
a) chức năng 
trực giao với hàm 
Và 
ở giữa 
với mọi số nguyên k Và tôi;
b) với mọi số nguyên k Và tôi chức năng 
Và 
trực giao trên khoảng 
;
c) chức năng 
Và 
, Và 
Và 
Tại 
trực giao trên các khoảng 
Và 
;
d) chức năng 
Và 
không trực giao trên khoảng 
.
Bài tập 3. Sử dụng tính chất chuẩn 5, chứng minh bất đẳng thức tam giác
.
Bây giờ chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của tích vô hướng và chuẩn. Áp dụng bất đẳng thức và lưu ý rằng chúng ta có thể viết:
Bây giờ chúng ta chứng minh quy tắc tam giác
Chúng ta có:
hoặc, xét đến (128), chúng ta thu được:
nó theo sau từ đâu (129).
Để kết thúc vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét việc lựa chọn hệ tọa độ có ảnh hưởng gì đến số liệu không gian, tức là đến biểu thức bình phương độ dài của vectơ. Chúng ta hãy giả sử rằng thay vì Descartes chính, chúng ta lấy hệ thống mới tọa độ và chúng tôi lấy một số vectơ độc lập làm vectơ chính
Đối với bất kỳ vectơ nào, chúng ta sẽ có:
các thành phần của nó ở đâu trong hệ tọa độ mới.
Bình phương độ dài của vectơ này sẽ được biểu thị bằng tích vô hướng của vectơ và chính nó, tức là
Khai triển điều này, theo các công thức trên, chúng ta sẽ có biểu thức sau cho bình phương chiều dài vectơ:
trong đó các hệ số được xác định bằng công thức
Khi các biểu tượng được sắp xếp lại, rõ ràng chúng sẽ trở thành liên hợp, tức là.
Tổng có dạng (130) với các hệ số thỏa mãn điều kiện (131) thường được gọi là dạng Hermite. Rõ ràng là bất kỳ biểu thức nào có dạng (130) trong điều kiện (131) sẽ chỉ có giá trị thực cho tất cả các phức phức có thể có, vì ở hai số hạng của tổng (130) sẽ là liên hợp và theo dạng, do điều kiện (131) nên các hệ số sẽ là số thực. Ngoài ra, bằng cách xây dựng dạng Hermite trong trường hợp này, chúng ta có thể khẳng định rằng tổng (130) sẽ không âm và sẽ chỉ biến mất khi tất cả đều bằng 0. Công thức (130) xác định số liệu không gian trong hệ tọa độ mới.
Số liệu (130) sẽ trùng với số liệu (110) ở tương ứng Hệ thống Descartes, if at hoặc at tức là, nói cách khác, nếu các vectơ chúng ta lấy làm vectơ đơn vị sẽ là các đơn vị giảng viên trực giao lẫn nhau (có độ dài bằng một).
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ gọi bất kỳ hệ thống nào có vectơ đơn vị và trực giao lẫn nhau là hệ thống trực chuẩn.
Cũng lưu ý rằng nếu công thức (113) xác định một phép biến đổi đơn vị cho các thành phần của vectơ thì phép biến đổi tương ứng để chuyển từ vectơ đơn vị trước sang vectơ đơn vị mới sẽ được đưa ra bởi bảng
độ dốc U. Trong trường hợp này, do (123), bảng này sẽ trùng với bảng U, và đối với các phép biến đổi trực giao thực, nó sẽ đơn giản trùng với U.
