Tại nhà máy gạch men 5% số gạch sản xuất ra bị lỗi. Trong quá trình kiểm soát chất lượng sản phẩm, chỉ có 40% gạch bị lỗi được phát hiện. Những viên gạch còn lại được gửi đi bán. Tìm xác suất để viên gạch được chọn ngẫu nhiên khi mua sẽ không có khuyết tật. Làm tròn câu trả lời của bạn đến hàng trăm gần nhất.
Hiển thị giải phápTrong quá trình kiểm tra chất lượng sản phẩm, 40% số gạch bị lỗi được xác định, chiếm 5% số lượng gạch được sản xuất và không được bán. Điều này có nghĩa là 0,4 · 5% = 2% số gạch được sản xuất không được bán. Số gạch còn lại được sản xuất - 100% - 2% = 98% - sẽ được bán.
100% - 95% gạch sản xuất ra không có khuyết tật. Xác suất viên gạch mua không bị lỗi là 95%: 98% = \frac(95)(98)\khoảng 0,97
Xác suất để pin không được sạc là 0,15. Một khách hàng trong cửa hàng mua một gói ngẫu nhiên có chứa hai cục pin này. Tìm xác suất để cả hai pin trong gói này đều được sạc.
Hiển thị giải phápXác suất để pin được sạc là 1-0,15 = 0,85. Hãy tìm xác suất xảy ra trường hợp “cả hai pin đều được sạc”. Chúng ta hãy ký hiệu bằng A và B các sự kiện “pin thứ nhất đã được sạc” và “pin thứ hai đã được sạc”. Chúng ta có P(A) = P(B) = 0,85. Biến cố “cả hai pin đều được sạc” là giao của biến cố A \cap B, xác suất của nó bằng P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.
Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Xác suất để một chiếc máy giặt mới được sửa chữa bảo hành trong vòng một năm là 0,065. Tại một thành phố nọ, 1.200 máy giặt đã được bán trong năm, trong đó 72 chiếc đã được bàn giao cho xưởng bảo hành. Xác định tần suất tương đối của việc xảy ra sự kiện “sửa chữa bảo hành” khác với xác suất của nó ở thành phố này như thế nào?
Hiển thị giải phápTần suất xảy ra sự kiện “máy giặt sẽ được sửa chữa bảo hành trong vòng một năm” bằng \frac(72)(1200) = 0,06. Nó khác với xác suất ở mức 0,065-0,06=0,005.
Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Xác suất để chiếc bút bị hỏng là 0,05. Một khách hàng trong cửa hàng mua ngẫu nhiên một gói chứa hai cây bút. Tìm xác suất để cả hai chiếc bút trong gói này đều tốt.
Hiển thị giải phápXác suất để tay cầm hoạt động là 1-0,05 = 0,95. Hãy tìm xác suất của sự kiện “cả hai tay cầm đều hoạt động”. Chúng ta hãy biểu thị bằng A và B các sự kiện “điều khiển thứ nhất đang hoạt động” và “điều khiển thứ hai đang hoạt động”. Chúng ta có P(A) = P(B) = 0,95. Sự kiện “cả hai tay cầm đều đang hoạt động” là giao điểm của các sự kiện A\cap B, xác suất của nó bằng P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.
Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Bức tranh cho thấy một mê cung. Con bọ bò vào mê cung ở điểm “Lối vào”. Quay lại và bò vào hướng ngược lại con bọ không thể đi được, nên ở mỗi ngã ba nó chọn một trong những con đường mà nó chưa đi. Xác suất con bọ đi đến lối ra D là bao nhiêu nếu việc lựa chọn con đường tiếp theo là ngẫu nhiên?
Hiển thị giải phápHãy đặt mũi tên tại các điểm giao nhau theo hướng mà con bọ có thể di chuyển (xem hình).
Tại mỗi ngã tư chúng ta sẽ chọn một trong hai hướng có thể và cho rằng khi đến ngã tư con bọ sẽ di chuyển theo hướng mà chúng ta đã chọn.
Để con bọ có thể đến được lối ra D, tại mỗi giao lộ cần phải chọn hướng được chỉ định bằng đường liền nét màu đỏ. Tổng cộng, việc lựa chọn hướng được thực hiện 4 lần, mỗi lần bất kể lựa chọn trước đó. Xác suất để mũi tên liền màu đỏ được chọn mỗi lần là \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.
Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Phần thi này có 16 vận động viên, trong đó có hai người bạn - Olya và Masha. Các vận động viên được chia ngẫu nhiên vào 4 nhóm bằng nhau. Tìm xác suất để Olya và Masha vào cùng một nhóm.
Chúng ta sẽ bắt đầu với những bài toán đơn giản và những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.
Ngẫu nhiên Một sự kiện không thể dự đoán trước chính xác được gọi là sự kiện. Nó có thể xảy ra hoặc không.
Bạn trúng xổ số - một sự kiện ngẫu nhiên. Bạn mời bạn bè đến ăn mừng chiến thắng của mình và trên đường đến chỗ bạn, họ bị kẹt trong thang máy - cũng là một sự kiện ngẫu nhiên. Đúng vậy, người chủ hóa ra đã ở gần đó và giải phóng toàn bộ công ty sau mười phút - và đây cũng có thể coi là một tai nạn đáng mừng...
Cuộc sống của chúng ta đầy đủ Những sự kiện ngẫu nhiên. Về mỗi người trong số họ, chúng ta có thể nói rằng điều đó sẽ xảy ra với một số xác suất. Rất có thể, trực giác của bạn đã quen thuộc với khái niệm này. Bây giờ chúng tôi sẽ đưa định nghĩa toán học xác suất.
Hãy bắt đầu với ví dụ đơn giản nhất. Bạn tung một đồng xu. Đầu hay đuôi?
Một hành động như vậy có thể dẫn đến một trong nhiều kết quả được gọi là lý thuyết xác suất. Bài kiểm tra.
Đầu và đuôi - có thể có hai kết quả các bài kiểm tra.
Đầu sẽ rơi ra trong một trong hai trường hợp có thể. Họ nói rằng xác suất rằng đồng xu sẽ rơi vào mặt ngửa là .
Hãy ném một con xúc xắc. Xúc xắc có sáu mặt nên cũng có sáu kết quả có thể xảy ra.
Ví dụ, bạn ước ba điểm sẽ xuất hiện. Đây là một trong sáu kết quả có thể xảy ra. Trong lý thuyết xác suất nó sẽ được gọi là kết quả thuận lợi.
Xác suất nhận được ba là bằng nhau (một trong sáu kết quả có thể xảy ra).
Xác suất của bốn cũng là
Nhưng xác suất xuất hiện số bảy là bằng không. Rốt cuộc, không có cạnh nào có bảy điểm trên khối lập phương.
Xác suất của một sự kiện bằng tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi với Tổng số kết quả.
Rõ ràng, xác suất không thể lớn hơn một.
Đây là một ví dụ khác. Có những quả táo trong túi, một số quả có màu đỏ, số còn lại có màu xanh. Những quả táo không khác nhau về hình dạng hoặc kích thước. Bạn cho tay vào túi và lấy ngẫu nhiên một quả táo. Xác suất để lấy được một quả táo đỏ là bằng , và xác suất để lấy được một quả táo xanh là bằng .
Xác suất để được quả táo đỏ hoặc táo xanh là bằng nhau.
Chúng ta cùng phân tích các bài toán lý thuyết xác suất có trong tuyển tập chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất.
Tại một hãng taxi ở TP. khoảnh khắc này xe miễn phí: đỏ, vàng và xanh lá cây. Một trong những chiếc xe ở gần khách hàng nhất đã trả lời cuộc gọi. Tìm xác suất để một chiếc taxi màu vàng sẽ đến chỗ cô ấy.
Có tổng số xe, tức là cứ 15 xe thì có 1 xe đến tay khách hàng. Có chín chiếc màu vàng, nghĩa là xác suất để một chiếc xe màu vàng đến là bằng , tức là.
Trong bộ sưu tập vé sinh học chỉ có hai vé, trong đó có hai vé có câu hỏi về nấm. Trong kỳ thi, học sinh nhận được một vé được chọn ngẫu nhiên. Tìm xác suất để tấm vé này không có câu hỏi về nấm.
Rõ ràng xác suất rút được vé mà không hỏi về nấm là bằng , tức là.
Ban Phụ huynh mua đồ chơi xếp hình làm quà tốt nghiệp cho các em. năm học, bao gồm tranh của các họa sĩ nổi tiếng và hình ảnh các loài động vật. Quà tặng được phân phối ngẫu nhiên. Tìm xác suất để Vovochka xếp được một con vật.
Vấn đề được giải quyết theo cách tương tự.
Trả lời: .
Các vận động viên đến từ Nga, Mỹ và phần còn lại đến từ Trung Quốc đang tham gia giải vô địch thể dục dụng cụ. Thứ tự thực hiện của các vận động viên thể dục được xác định theo lô. Tìm xác suất để vận động viên cuối cùng thi đấu là người Trung Quốc.
Hãy tưởng tượng rằng tất cả các vận động viên đồng loạt đến gần chiếc mũ và rút ra những mảnh giấy có ghi số trên đó. Một số người trong số họ sẽ nhận được số hai mươi. Xác suất để một vận động viên Trung Quốc kéo nó ra là bằng nhau (vì các vận động viên đến từ Trung Quốc). Trả lời: .
Học sinh được yêu cầu gọi tên số từ đến. Xác suất để anh ta đặt tên cho một số là bội số của 5 là bao nhiêu?
Mỗi thứ năm một số trong tập hợp này chia hết cho . Điều này có nghĩa là xác suất bằng .
Một con súc sắc được ném ra. Tìm xác suất để được số lẻ.
Những số lẻ; - thậm chí. Xác suất để có số điểm lẻ là .
Trả lời: .
Đồng xu được tung ba lần. Xác suất của hai đầu và một đuôi là gì?
Lưu ý rằng bài toán có thể được phát biểu theo cách khác: ba đồng xu được ném cùng một lúc. Điều này sẽ không ảnh hưởng đến quyết định.
Bạn nghĩ có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
Chúng tôi tung một đồng xu. Hành động này có hai kết quả có thể xảy ra: mặt ngửa và mặt sấp.
Hai đồng xu - đã có bốn kết quả:
Ba đồng xu? Đúng vậy, kết quả là vì .
Hai đầu và một đuôi xuất hiện ba trong số tám lần.
Trả lời: .
Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, hai con xúc xắc được tung ra. Tìm xác suất để tổng số đó là điểm. Làm tròn kết quả đến hàng trăm gần nhất.
Chúng tôi tung xúc xắc đầu tiên - sáu kết quả. Và đối với mỗi người trong số họ có thể có thêm sáu con nữa - khi chúng ta ném con súc sắc thứ hai.
Chúng tôi thấy rằng hành động này - ném hai viên xúc xắc - có tổng số kết quả có thể xảy ra, vì .
Và bây giờ - kết quả thuận lợi:
Xác suất để được 8 điểm là .
Người bắn bắn trúng mục tiêu với xác suất. Tìm xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu bốn lần liên tiếp.
Nếu xác suất trúng đích bằng nhau thì xác suất trúng đích là . Chúng ta suy luận theo cách tương tự như trong bài toán trước. Xác suất trúng hai lần liên tiếp là bằng nhau. Và xác suất trúng bốn lần liên tiếp là bằng nhau.
Petya có những đồng xu trị giá rúp và những đồng xu trị giá rúp trong túi. Petya không cần nhìn đã chuyển một số đồng xu sang túi khác. Tìm xác suất để đồng xu 5 rúp bây giờ ở trong các túi khác nhau.
Chúng ta biết rằng xác suất của một sự kiện bằng tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả. Nhưng làm thế nào để tính toán tất cả những kết quả này?
Tất nhiên, bạn có thể chỉ định đồng xu năm rúp bằng số và đồng xu mười rúp bằng số - sau đó đếm xem có bao nhiêu cách bạn có thể chọn ba phần tử từ bộ.
Tuy nhiên, có một giải pháp đơn giản hơn:
Chúng tôi mã hóa đồng xu bằng các số: , (đây là đồng xu năm rúp), (đây là đồng xu mười rúp). Điều kiện vấn đề bây giờ có thể được xây dựng như sau:
Có sáu chip có số từ đến . Có bao nhiêu cách chia chúng thành hai túi sao cho các con chip có số không ở cùng nhau?
Hãy viết ra những gì chúng ta có trong túi đầu tiên của mình.
Để làm điều này, chúng tôi sẽ tổng hợp tất cả các kết hợp có thể có từ bộ này. Một bộ ba chip sẽ là một số có ba chữ số. Rõ ràng, trong điều kiện của chúng tôi và có cùng một bộ chip. Để không bỏ sót điều gì hoặc lặp lại, chúng ta sắp xếp các số có ba chữ số tương ứng theo thứ tự tăng dần:
Tất cả! Chúng tôi đã xem xét tất cả các kết hợp có thể bắt đầu bằng . Tiếp tục đi:
Tổng số kết quả có thể xảy ra.
Chúng tôi có một điều kiện - các chip có số không được ở cùng nhau. Ví dụ, điều này có nghĩa là sự kết hợp không phù hợp với chúng tôi - điều đó có nghĩa là cả hai con chip đều không nằm ở túi thứ nhất mà ở túi thứ hai. Những kết quả có lợi cho chúng ta là những kết quả chỉ có , hoặc chỉ có . Họ đây rồi:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – tổng số kết quả thuận lợi.
Khi đó xác suất cần tìm là bằng .
Xác suất để một ấm đun nước điện mới có thể sử dụng được hơn một năm là 0,93. Xác suất để nó tồn tại hơn hai năm là 0,87. Tìm xác suất để nó kéo dài ít hơn hai năm nhưng hơn một năm.
Sau khi hoạt động được một năm, ấm đun nước có thể bị hỏng vào năm thứ hai hoặc vẫn hoạt động an toàn ngay cả sau 2 năm hoạt động.
Gọi xác suất để ấm đun nước đã sử dụng được hơn một năm.
- xác suất nó sẽ bị hỏng vào năm thứ hai - xác suất nó sẽ tồn tại được hơn hai năm. Rõ ràng,
Đáp án: 0,06
Các sự kiện loại trừ lẫn nhau trong một nhiệm vụ nhất định được gọi là không tương thích. Sự xuất hiện của một trong những sự kiện không tương thích sẽ loại trừ sự xuất hiện của những sự kiện khác.
Tổng của hai sự kiện là một thuật ngữ có nghĩa là sự kiện đầu tiên xảy ra hoặc sự kiện thứ hai hoặc cả hai cùng một lúc.
Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của chúng.
Trong vấn đề của chúng tôi, các sự kiện “ấm đun nước bị hỏng vào năm thứ hai hoạt động” và “ấm đun nước đã hoạt động được hơn hai năm” là không tương thích. Ấm đun nước bị hỏng hoặc vẫn hoạt động bình thường.
Bức tranh cho thấy một mê cung. Con nhện bò vào mê cung ở Điểm vào. Con nhện không thể quay lại và bò trở lại. Tại mỗi ngã ba, con nhện chọn một con đường mà nó chưa bò qua. Giả sử việc lựa chọn đường đi tiếp theo là ngẫu nhiên, hãy xác định xác suất con nhện sẽ thoát ra qua lối ra A.
Hãy đánh số các ngã ba mà con nhện có thể rẽ ngẫu nhiên theo hướng này hay hướng khác.
Anh ta có thể đi ra ngoài theo lối ra D và xác suất xảy ra sự kiện này bằng hoặc anh ta có thể đi sâu hơn vào mê cung. Đến ngã ba thứ hai, người đó có thể rẽ vào ngõ cụt hoặc đi ra lối ra B (với xác suất Tại mỗi ngã ba xác suất rẽ theo hướng này hoặc hướng khác bằng nhau và vì có năm ngã ba nên xác suất đi ra bằng lối ra A bằng nhau, tức là 0,03125.
Biến cố A và B được gọi là độc lập nếu xác suất xảy ra biến cố A không làm thay đổi xác suất xảy ra biến cố B.
Trong bài toán của chúng ta, điều này đúng: một con nhện vô lý quay sang trái hoặc sang phải một cách ngẫu nhiên, bất kể nó đã làm gì trước đó.
Đối với nhiều sự kiện độc lập, xác suất để tất cả chúng xảy ra đều bằng tích của các xác suất.
(MỘT) Hai xe tải cùng làm việc để dọn tuyết khỏi Phố Nizhnyaya Podgornaya, và chiếc xe tải đầu tiên phải thực hiện ba chuyến với đầy tuyết và chiếc thứ hai - hai chuyến. Xác suất bị mắc kẹt do tuyết rơi khi leo dốc là 0,2 đối với xe tải thứ nhất và 0,25 đối với xe tải thứ hai. Làm thế nào để xe tải dọn tuyết khỏi Phố Nizhnyaya Podgornaya mà không bao giờ bị mắc kẹt trên đồi?
Xác suất để xe thứ nhất vượt đồi an toàn Lần thứ hai Vì xe thứ nhất phải đi 3 chuyến, còn chuyến thứ hai - hai nên các xe tải sẽ không bao giờ bị kẹt trên đồi với xác suất
Mua lại công ty nông nghiệp trứng gàở hai hộ gia đình. 40% trứng từ trang trại đầu tiên là trứng thuộc loại cao nhất và từ trang trại thứ hai - 20% trứng thuộc loại cao nhất. Tổng cộng, 35% số trứng nhận được loại cao nhất. Tìm xác suất để một quả trứng mua từ công ty nông nghiệp này sẽ đến từ trang trại đầu tiên.
Hãy rút ra tất cả các kết quả có thể xảy ra của tình huống đó. Người mua đến cửa hàng của một công ty nông nghiệp và mua một quả trứng. Chúng ta cần tìm xác suất để quả trứng này đến từ trang trại đầu tiên.
Trứng chỉ có thể đến từ hộ thứ nhất hoặc hộ thứ hai, và hai sự kiện này không tương thích với nhau. Cửa hàng này không bán bất kỳ loại trứng nào khác.
Gọi xác suất để quả trứng được mua là từ trang trại đầu tiên là . Khi đó xác suất quả trứng đến từ trang trại thứ hai (sự kiện ngược lại) là bằng .
Trứng có thể thuộc loại cao nhất hoặc không.
Ở trang trại đầu tiên, 40% trứng thuộc loại cao cấp nhất và 60% không thuộc loại cao nhất. Điều này có nghĩa là một quả trứng được chọn ngẫu nhiên từ trang trại đầu tiên có 40% cơ hội thuộc loại cao nhất.
Ở trang trại thứ hai, 20% trứng thuộc loại cao cấp nhất và 80% không thuộc loại cao nhất.
Hãy để một quả trứng được chọn ngẫu nhiên trong cửa hàng là từ trang trại đầu tiên và loại cao nhất. Xác suất của sự kiện này bằng tích của các xác suất:
Xác suất để một quả trứng đến từ trang trại thứ hai và loại cao nhất là bằng
Nếu cộng hai xác suất này lại, chúng ta sẽ có xác suất quả trứng thuộc loại cao nhất. Theo điều kiện, 35% số trứng thuộc loại cao nhất, nghĩa là xác suất này là 0,35.
Chúng ta đã có phương trình:
Chúng tôi giải phương trình này và thấy đó là xác suất để quả trứng mua từ công ty nông nghiệp này hóa ra là từ trang trại đầu tiên.
Tất cả bệnh nhân nghi ngờ viêm gan đều phải xét nghiệm máu. Nếu xét nghiệm cho thấy viêm gan thì kết quả xét nghiệm được gọi là dương tính. Ở bệnh nhân viêm gan, xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất 0,9. Nếu bệnh nhân không bị viêm gan, xét nghiệm có thể cho kết quả dương tính giả với xác suất 0,01. Được biết, có 5% bệnh nhân nghi ngờ viêm gan nhập viện thực tế đã mắc bệnh viêm gan. Tìm xác suất để một bệnh nhân nhập viện vì nghi ngờ viêm gan sẽ có kết quả xét nghiệm dương tính.
Bệnh nhân đến phòng khám với mục đích gì? – Nghi ngờ viêm gan. Có lẽ anh ấy thực sự bị viêm gan, hoặc có lẽ có lý do khác khiến sức khỏe của anh ấy kém. Có lẽ anh ấy vừa ăn gì đó. Xác suất anh ta bị viêm gan là 0,05 (tức là 5%). Xác suất để anh ta khỏe mạnh là 0,95 (tức là 95%).
Bệnh nhân đang được xét nghiệm. Hãy để chúng tôi hiển thị trên sơ đồ tất cả các kết quả có thể xảy ra:
Nếu anh ta bị viêm gan, xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất là 0,9. Tức là phân tích sẽ cho thấy: “có bệnh viêm gan”.
Lưu ý rằng phân tích không phải trong mọi trường hợp đều tiết lộ bệnh viêm gan ở người thực sự mắc bệnh này. Với xác suất 0,1, phân tích không nhận ra bệnh viêm gan ở bệnh nhân.
Hơn thế nữa. Xét nghiệm có thể cho kết quả dương tính sai ở người không bị viêm gan. Xác suất của kết quả dương tính giả như vậy là 0,01. Sau đó, với xác suất 0,99, phân tích sẽ cho kết quả âm tính nếu người đó khỏe mạnh.
Chúng ta hãy tìm xác suất để kết quả xét nghiệm của một bệnh nhân nhập viện vì nghi ngờ viêm gan sẽ dương tính.
Kết quả thuận lợi cho tình huống này: một người bị bệnh và xét nghiệm dương tính (xác suất xảy ra đồng thời của hai sự kiện này bằng ), hoặc người đó khỏe mạnh và xét nghiệm dương tính giả (xác suất xảy ra đồng thời của hai biến cố này bằng ). Vì các sự kiện “một người bị bệnh” và “một người không bị bệnh” không tương thích nhau nên xác suất kết quả xét nghiệm là dương tính là bằng
Trả lời: 0,0545.
Để vào học viện chuyên ngành "Ngôn ngữ học", ứng viên Z. phải đạt ít nhất 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất ở mỗi môn trong số ba môn - toán, tiếng Nga và ngoại ngữ. Để đăng ký vào chuyên ngành "Thương mại", bạn cần đạt ít nhất 70 điểm ở mỗi môn trong số ba môn - toán, tiếng Nga và nghiên cứu xã hội.
Xác suất để ứng viên Z. đạt ít nhất 70 điểm môn toán là 0,6, tiếng Nga - 0,8, môn ngoại ngữ- 0,7 và trong nghiên cứu xã hội - 0,5.
Tìm xác suất để Z. có thể đăng ký vào ít nhất một trong hai chuyên ngành được đề cập.
Lưu ý rằng bài toán không hỏi liệu người nộp đơn tên Z. có học cả ngôn ngữ học và thương mại cùng một lúc và nhận được hai bằng cấp hay không. Ở đây chúng ta cần tìm xác suất để Z. có thể đăng ký vào ít nhất một trong hai chuyên ngành này - tức là anh ta sẽ đạt được số điểm yêu cầu.
Để vào được ít nhất một trong hai chuyên ngành, Z. phải đạt ít nhất 70 điểm môn toán. Và bằng tiếng Nga. Và ngoài ra - nghiên cứu xã hội hoặc nước ngoài.
Xác suất để anh ta đạt được 70 điểm môn toán là 0,6.
Xác suất ghi điểm môn toán và tiếng Nga là bằng nhau
Hãy giải quyết các nghiên cứu nước ngoài và xã hội. Các lựa chọn phù hợp với chúng tôi là khi người nộp đơn đã đạt điểm trong nghiên cứu xã hội, nghiên cứu nước ngoài hoặc cả hai. Lựa chọn này không phù hợp khi anh ta không ghi được điểm nào trong cả ngôn ngữ lẫn “xã hội”. Điều này có nghĩa là xác suất đỗ các môn xã hội hoặc ngoại ngữ với ít nhất 70 điểm là bằng
Kết quả là xác suất đậu môn toán, tiếng Nga và các môn xã hội hoặc ngoại ngữ bằng nhau. Đây chính là đáp án.
Để hoàn toàn nắm vững chủ đề, xem. Nó miễn phí.
Thêm các nhiệm vụ SỬ DỤNG về chủ đề này
Học lại môn lý thuyết xác suất ở lớp 11. Chuẩn bị cho kỳ thi quốc gia thống nhất
Tổng các sự kiện A + B A VàB một sự kiện bao gồm sự xảy ra của một sự kiện được gọi làMỘT , hoặc sự kiệnTRONG , hoặccả hai những sự kiện này.
Ví dụ. Cho phép MỘT - trời đang mưa, B - lúc đó tuyết đang rơi (A + B) - mưa, hoặc tuyết, hoặc mưa có tuyết, tức là lượng mưa;
MỘT - đã đến vũ trường; B - vậy chúng ta đi thư viện nhé (A + B) - đi đến vũ trường hoặc đến thư viện, tức là họ rời khỏi nhà.
Các sự kiện được gọikhông tương thích, nếu sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ sự xuất hiện của những cái khác. Nghĩa là chỉ có một sự kiện cụ thể này hay sự kiện khác có thể xảy ra.
Ví dụ: khi ném xúc xắc, bạn có thể phân biệt giữa các sự kiện như nhận được số điểm chẵn và nhận được số điểm lẻ. Những sự kiện này không tương thích.
Định lý cộng xác suất của các sự kiện không tương thích
Định lý . Xác suất xảy ra một trong hai sự kiện không tương thích, bất kể là sự kiện nào, đều bằng tổng xác suất của các sự kiện này:
P(A + B) = P(A) + P(B) .
Ví dụ. Có 30 quả bóng trong một chiếc bình: 10 quả đỏ, 5 quả xanh và 15 quả trắng. Tìm xác suất để xuất hiện quả bóng màu.
Giải pháp . Sự xuất hiện của một quả bóng màu có nghĩa là sự xuất hiện của một quả bóng màu đỏ hoặc màu xanh.
Xác suất xuất hiện bi đỏ (sự kiện A)
P(A) = 10/30 = 1/3.
Xác suất xuất hiện quả bóng xanh (sự kiện B)
P(B) = 5/30 = 1/6.
Sự kiện MỘT Và TRONG không nhất quán (sự xuất hiện của một quả bóng màu này loại trừ sự xuất hiện của quả bóng màu khác), do đó định lý phép cộng có thể được áp dụng.
Theo công thức, xác suất mong muốn
P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2 .
Ví dụ. Xác suất nhận được 5 hoặc 6 điểm khi đổ xúc sắc một lần là 1/3 , bởi vì cả hai sự kiện (cuộn 5, lăn 6) không nhất quán và xác suất xảy ra sự kiện này hoặc sự kiện kia được tính như sau: 1/6 + 1/6 =1/3.
Nhóm sự kiện hoàn chỉnh
Nhiều sự kiện không tương thích hình thànhnhóm sự kiện đầy đủ , nếu kết quả làbài kiểm tra cá nhân Một trong những sự kiện này chắc chắn sẽ xuất hiện.
Ví dụ. Bộ sau đây là điển hình cho một viên xúc xắc:
– Kết quả của việc ném xúc xắc sẽ xuất hiện 1 điểm;
- ... 2 điểm;
- ... 3 điểm;
–… 4 điểm;
- ... 5 điểm;
–… 6 điểm.
Sự kiện
không tương thích
(vì sự xuất hiện của bất kỳ khuôn mặt nào sẽ loại trừ sự xuất hiện đồng thời của những khuôn mặt khác)
và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh
(vì bài kiểm tra chắc chắn sẽ dẫn đến một trong sáu sự kiện này)
.
Định lý . Tổng xác suất của sự kiệnMỘT 1 , MỘT 2 , …, MỘT N , tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, bằng một:
P(A 1 ) + P(A 2 ) + ... + P(A N ) = 1 .
Sự kiện trái ngược nhau.
Đối diện kể tên hai sự kiện duy nhất có thể tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Nếu một trong hai sự kiện trái ngược nhau được biểu thị bằngMỘT , thì cái gì đó khác thường được biểu thị.
Ví dụ. Nếu khi ném xúc xắc, sự kiện MỘT bao gồm sự mất mát 6 , thì biến cố ngược lại là không bỏ học 6 , I E. bỏ học 1, 2, 3, 4 hoặc 5 .
Ví dụ. Nếu như MỘT - vậy số đó là số chẵn - số lẻ; Nếu như MỘT - mùa đông rồi - không phải mùa đông (hoặc mùa thu, hoặc mùa hè, hoặc mùa xuân); Nếu như MỘT - vượt qua kỳ thi rồi - không vượt qua kỳ thi.
Định lý. Tổng xác suất của các sự kiện trái ngược nhau bằng một.
P(A) + P( ) = 1 hoặcP(A) = 1 – P( ).
Ví dụ. Xác suất để khi ném hai viên xúc xắc, chúng nhận được số điểm khác nhau (không giống nhau) là bao nhiêu?
Chúng ta hãy ký hiệu biến cố được mô tả là A. Biến cố ngược lại là biến cố , bao gồm thực tế là cả hai viên xúc xắc đều có cùng số điểm. Sự kiện sáu sự kiện cơ bản thuận lợi: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Xác suất của mỗi sự kiện cơ bản này . Vì vậy, P( ) = . Khi đó P(A) = 1 – P( )= 1 - .
Các sự kiện phụ thuộc và độc lập. Xác suất có điều kiện.
Hai sự kiệnMỘT VàTRONG được gọi làđộc lập , nếu xác suất xảy ra của mỗi sự kiện đó không phụ thuộc vào việc sự kiện khác có xuất hiện hay không.
Ví dụ. Đồng xu được tung hai lần. Sự kiện A – “huy hiệu” rơi ở lần ném đầu tiên, sự kiện B – “huy hiệu” rơi ở lần ném thứ hai. Biến cố A và B độc lập.
Biến cố A và B được gọi làsự phụ thuộc , nếu xác suất xảy ra một trong số chúng phụ thuộc vào việc một sự kiện khác có xảy ra hay không.
Nếu xác suất của sự kiện B được tính theo giả định rằng sự kiện A đã xảy ra thì xác suất này được gọi làxác suất có điều kiện sự kiện B liên quan đến sự kiện A. Ký hiệu: P MỘT (TRONG).
Ví dụ. Phong bì chứa 4 tấm bưu thiếp có khung cảnh St. Petersburg và 3 tấm bưu thiếp có khung cảnh Moscow. Đặt sự kiện A là việc trích xuất một tấm bưu thiếp có cảnh nhìn ra St. Petersburg và gọi sự kiện B là việc trích xuất một tấm bưu thiếp có cảnh nhìn ra Moscow. Hãy xem xét các xác suất. Liên quan đến những sự kiện này.
a) nếu đầu tiên họ rút ra một tấm bưu thiếp có hình ảnh St. Petersburg, và sau đó là hình ảnh Moscow, thì P MỘT (B) = ;
b) nếu đầu tiên họ rút ra một tấm bưu thiếp có hình ảnh Moscow, sau đó là hình ảnh St. Petersburg, thì P TRONG (A) = .
Sản phẩm của xác suất.
Tích của hai biến cố A VàTRONG gọi sự kiệnAB , bao gồm sự xuất hiện chung (sự kết hợp) của những sự kiện này.
Ví dụ. Cho phép MỘT - một quả bóng trắng được rút ra từ chiếc bình, B - một quả bóng màu trắng được rút ra từ chiếc bình, sau đó AB - lôi ra khỏi thùng rác hai Quả bóng trắng; Nếu như MỘT - trời đang mưa, B - vậy thì tuyết đang rơi AB - mưa có tuyết; MỘT - số đó là số chẵn B - bội số 3 , Sau đó AB - bội số 6 .
Định lý nhân cho các sự kiện độc lập
Định lý . Xác suất của tích của hai biến cố độc lậpMỘT VàTRONG bằng tích của xác suất của chúng:
P(AB) = P(A) P(B) .
Ví dụ. Khối lập phương được ném hai lần. Xác suất để lần tung đầu tiên được 2 điểm và lần thứ hai được 6 điểm là bao nhiêu?
Giả sử sự kiện A là một lần tung 2 điểm, sự kiện B là một lần đổ 6 điểm, và sự kiện C là một lần đổ 2 điểm ở lần đổ đầu tiên và 6 điểm ở lần đổ thứ hai.
Biến cố A và biến cố B độc lập vì sự xuất hiện của biến cố này không phụ thuộc vào sự xuất hiện của biến cố kia. Khi đó vì P(A) = và P(B) = , thì P(C) = P(A) P(B) = .
Định lý nhân cho các sự kiện phụ thuộc.
Định lý . Nếu sự kiện A và B phụ thuộc thì xác suất tích của chúng bằngtích của xác suất của một trong số chúng với xác suất có điều kiện của cái còn lại
P(AB) = P(A) P MỘT (B) .
Ví dụ. Phong bì chứa 4 tấm bưu thiếp có khung cảnh St. Petersburg và 3 tấm bưu thiếp có khung cảnh Moscow. Giả sử sự kiện A là sự khai thác quang cảnh của St. Petersburg lần đầu tiên, và sự kiện B là sự khai thác quang cảnh của Moscow lần đầu tiên. Giả sử sự kiện C bao gồm thực tế là đầu tiên là hình ảnh St. Petersburg được rút ra, sau đó là hình ảnh Moscow. Khi đó sự kiện C, theo định nghĩa của phép nhân, bằng A·B. Rõ ràng là trong trường hợp này sự kiện A và B phụ thuộc vào nhau. Hãy thể hiện nó.
Điều này có nghĩa là bạn cần sử dụng định lý về công thức tích các biến cố phụ thuộc, tức là. P(C) = P (A) P MỘT (B) . Do đó, P(C) = .
Ví dụ . Phòng đọc có 6 sách giáo khoa khoa học máy tính, trong đó ba ràng buộc. Người thủ thư lấy nó một cách ngẫu nhiên hai sách giáo khoa. Tìm xác suất để cả hai sách giáo khoa sẽ bị ràng buộc.
Giải pháp
. Hãy xem xét các sự kiện sau:
MỘT
1
- cuốn sách giáo khoa đóng bìa đầu tiên được lấy;
MỘT
2
- cuốn sách giáo khoa đóng bìa thứ hai được lấy.
Sự kiện A = A 1 MỘT 2 , là cả hai cuốn sách giáo khoa được lấy đều bị ràng buộc. Sự kiện MỘT 1 Và MỘT 2 phụ thuộc, vì xác suất xảy ra sự kiện MỘT 2 phụ thuộc vào sự xuất hiện của sự kiện MỘT 1 . Vì vậy, để tính xác suất chúng ta sẽ sử dụng công thức sản phẩm của sự kiện phụ thuộc .
Xác suất xảy ra một sự kiện MỘT 1 Theo định nghĩa cổ điển về xác suất:
P (A 1 ) = m / n = 3/6 = 0,5 .
P A1 (MỘT 2 ) được định nghĩa là xác suất có điều kiện của một sự kiện xảy ra MỘT 2 với điều kiện là sự kiện đó MỘT 1 đã đến rồi:
P A1 (MỘT 2 ) = 2/5 = 0,4 .
Khi đó xác suất mong muốn của sự kiện xảy ra MỘT :
P(A) = 0,5 0,4 = 0,2 .
Định lý cộng xác suất của các biến cố chung
Hai sự kiện đó được gọi làchung , nếu sự xuất hiện của một trong số chúng không loại trừ sự xuất hiện của cái kia trong cùng một phiên tòa.
Ví dụ. MỘT - sự xuất hiện của bốn điểm khi ném xúc xắc; TRONG - sự xuất hiện của một số điểm chẵn. Sự kiện MỘT Và TRONG - chung.
Định lý . Xác suất xảy ra ít nhất một trong hai sự kiện chungMỘT VàTRONG bằng tổng xác suất của các sự kiện này mà không có xác suất xảy ra chung của chúng:
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) .
Ví dụ. Hai học sinh đang đọc sách. Học sinh đầu tiên đọc xong cuốn sách với xác suất – 0,6; thứ hai – 0,8. Tính xác suất để ít nhất một học sinh đọc được cuốn sách đó.
Giải pháp . Xác suất để mỗi học sinh đọc cuốn sách không phụ thuộc vào kết quả của từng học sinh, vì vậy các biến cố MỘT (học sinh đầu tiên đọc xong cuốn sách) và B (học sinh thứ hai đọc xong sách) độc lập và hợp tác. Chúng tôi tìm thấy xác suất mong muốn bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất của các sự kiện chung.
Xác suất của sự kiện AB (cả hai học sinh đã đọc xong cuốn sách):
P(AB) = P(A) P(B) = 0,6 0,8 = 0,48.
Sau đó
P(A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.
Ví dụ. Trong một trung tâm mua sắm, có hai chiếc máy giống hệt nhau bán cà phê. Xác suất để máy hết cà phê vào cuối ngày là 0,3. Xác suất để cả hai máy đều hết cà phê là 0,12. Hãy tìm xác suất để đến cuối ngày, cà phê sẽ hết ở ít nhất một trong các máy (nghĩa là máy này, máy kia hoặc cả hai cùng một lúc).
Xác suất của sự kiện đầu tiên “hết cà phê ở máy thứ nhất” cũng như xác suất xảy ra sự kiện thứ hai “hết cà phê ở máy thứ hai” theo điều kiện là bằng 0,3. Sự kiện có tính hợp tác.
Xác suất xảy ra chung của hai sự kiện đầu tiên theo điều kiện là 0,12.
Điều này có nghĩa là xác suất để ít nhất một máy hết cà phê vào cuối ngày là 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.
Ví dụ. Trường có 1.400 học sinh, trong đó 1.200 học sinh biết trượt tuyết, 952 học sinh biết trượt băng. 60 học sinh không biết trượt tuyết. Xác suất để học sinh đó có thể trượt tuyết và trượt băng là bao nhiêu?
Hãy ký hiệu là E – tất cả học sinh của trường này. Gọi sự kiện A là khả năng trượt tuyết của học sinh. Sự kiện B – khả năng trượt băng của học sinh. Sự kiện AB – khả năng trượt tuyết và trượt băng của học sinh. Sự kiện A+B – khả năng trượt tuyết hoặc trượt băng của học sinh. .
Công thức tổng xác suất.
Nếu sự kiện A chỉ có thể xảy ra khi một trong các sự kiện B xảy ra 1 , TRONG 2 , …, TRONG N tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích thì xác suất xảy ra sự kiện A được tính theo công thức
P(A) = P(B 1 ) · R TRONG 1 (A) + P(B 2 ) · R TẠI 2 (A) + … + P(B N ) · R TRONG N (MỘT).
Công thức này được gọi là công thức xác suất tổng. 3 ) = .
Giả sử sự kiện A là chiếc đèn được chọn bị lỗi; R TRONG 1 (MỘT) có nghĩa là trường hợp một đèn bị lỗi được chọn từ các đèn được sản xuất ở nhà máy đầu tiên , P(B 2 ) – tại nhà máy thứ hai, P(B 3 ) - tại nhà máy thứ ba. Từ báo cáo vấn đề nó sau:
R TRONG 1 =0,034.
Thư mục.
Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. Lý thuyết xác suất và thống kê. OJSC "Sách giáo khoa Moscow". M., 2008.
Shakhmeister A.Kh. Tổ hợp. Số liệu thống kê. Xác suất. MCNMO. M., 2010.
Mang lại cho đến nay trong mở lọ Các bài toán kiểm tra trạng thái thống nhất trong toán học (mathege.ru), cách giải chỉ dựa trên một công thức, đó là định nghĩa cổ điển về xác suất.
Cách dễ nhất để hiểu công thức là bằng các ví dụ.
Ví dụ 1. Trong rổ có 9 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Các quả bóng chỉ khác nhau về màu sắc. Chúng tôi lấy ngẫu nhiên một trong số chúng (không cần nhìn). Xác suất để quả bóng được chọn theo cách này sẽ có màu xanh là bao nhiêu?
Một lời bình luận. Trong các bài toán lý thuyết xác suất, một điều gì đó xảy ra (trong trường hợp này là hành động rút quả bóng của chúng ta ra) có thể dẫn đến một kết quả khác - một kết quả. Cần lưu ý rằng kết quả có thể được xem xét theo nhiều cách khác nhau. “Chúng tôi đã rút ra được một loại bóng nào đó” cũng là một kết quả. “Chúng tôi đã rút được quả bóng xanh” - kết quả. “Chúng tôi đã rút ra chính xác quả bóng này từ tất cả các quả bóng có thể có” - cách nhìn ít khái quát nhất về kết quả này được gọi là kết quả cơ bản. Đó là các kết quả cơ bản có ý nghĩa trong công thức tính xác suất.
Giải pháp. Bây giờ hãy tính xác suất để chọn được quả bóng màu xanh.
Sự kiện A: “quả bóng được chọn hóa ra có màu xanh”
Tổng số kết quả có thể xảy ra: 9+3=12 (số lượng bóng chúng ta có thể rút được)
Số kết quả có lợi cho sự kiện A: 3 (số kết quả như vậy xảy ra sự kiện A - tức là số quả bóng xanh)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Đáp án: 0,25
Với bài toán tương tự, hãy tính xác suất chọn được bi đỏ.
Tổng số kết quả có thể xảy ra sẽ giữ nguyên là 12. Số kết quả thuận lợi: 9. Xác suất tìm kiếm: 9/12=3/4=0,75
Xác suất của bất kỳ sự kiện nào luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
Đôi khi trong lời nói hàng ngày (nhưng không phải trong lý thuyết xác suất!) xác suất của các sự kiện được ước tính dưới dạng phần trăm. Sự chuyển đổi giữa điểm toán và điểm đàm thoại được thực hiện bằng cách nhân (hoặc chia) với 100%.
Vì thế,
Hơn nữa, xác suất của những sự kiện không thể xảy ra là bằng 0 - không thể tin được. Ví dụ: trong ví dụ của chúng tôi, đây sẽ là xác suất rút được một quả bóng xanh từ rổ. (Số kết quả thuận lợi là 0, P(A)=0/12=0, nếu tính theo công thức)
Xác suất 1 có những sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra mà không có lựa chọn. Ví dụ: xác suất “quả bóng được chọn sẽ có màu đỏ hoặc xanh” là nhiệm vụ của chúng ta. (Số kết quả thuận lợi: 12, P(A)=12/12=1)
Chúng ta đã xem xét một ví dụ cổ điển minh họa định nghĩa về xác suất. Tất cả các vấn đề tương tự của Kỳ thi Thống nhất về lý thuyết xác suất đều được giải bằng cách sử dụng công thức này.
Thay cho các quả bóng màu đỏ và xanh có thể có táo và lê, bé trai và bé gái, vé đã học và chưa học, vé có chứa và không chứa câu hỏi về một chủ đề nhất định (nguyên mẫu), túi hoặc máy bơm làm vườn bị lỗi và chất lượng cao ( nguyên mẫu,) - nguyên tắc vẫn giữ nguyên.
Chúng hơi khác nhau trong cách xây dựng bài toán lý thuyết xác suất của Kỳ thi Thống nhất, trong đó bạn cần tính xác suất xảy ra một sự kiện nào đó vào một ngày nhất định. ( , ) Như trong các bài toán trước, bạn cần xác định đâu là kết quả cơ bản rồi áp dụng công thức tương tự.
Ví dụ 2. Hội nghị kéo dài ba ngày. Vào ngày thứ nhất và thứ hai có 15 người phát biểu, vào ngày thứ ba - 20. Xác suất để báo cáo của Giáo sư M. rơi vào ngày thứ ba là bao nhiêu nếu thứ tự báo cáo được xác định bằng cách rút thăm?
Kết quả cơ bản ở đây là gì? – Chỉ định báo cáo của giáo sư một trong những điều có thể số seri cho một buổi biểu diễn. 15+15+20=50 người tham gia rút thăm. Như vậy, báo cáo của Giáo sư M. có thể nhận được một trong 50 vấn đề. Điều này có nghĩa là chỉ có 50 kết quả cơ bản.
Kết quả thuận lợi là gì? - Những trường hợp mà giáo sư sẽ phát biểu vào ngày thứ ba. Tức là 20 số cuối.
Theo công thức, xác suất P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Đáp án: 0,4
Việc bốc thăm ở đây thể hiện sự thiết lập sự tương ứng ngẫu nhiên giữa con người và các địa điểm được sắp xếp. Trong ví dụ 2, việc so sánh được xem xét từ quan điểm xem một người cụ thể có thể chiếm giữ những địa điểm nào. Bạn có thể tiếp cận tình huống tương tự từ phía bên kia: ai trong số những người có xác suất có thể đến một địa điểm cụ thể (nguyên mẫu , , , ):
Ví dụ 3. Lễ bốc thăm bao gồm 5 người Đức, 8 người Pháp và 3 người Estonia. Xác suất để người đầu tiên (/thứ hai/thứ bảy/cuối cùng - không quan trọng) sẽ là người Pháp là bao nhiêu.
Số kết quả cơ bản – số lượng tất cả những người có thể, mà có thể, bằng cách rút thăm, có thể đạt được chỗ này. 5+8+3=16 người.
Kết quả thuận lợi - tiếng Pháp. 8 người.
Xác suất yêu cầu: 8/16=1/2=0,5
Đáp án: 0,5
Nguyên mẫu hơi khác một chút. Vẫn còn những vấn đề về xu() và xúc xắc(), có phần sáng tạo hơn. Giải pháp cho những vấn đề này có thể được tìm thấy trên các trang nguyên mẫu.
Dưới đây là một số ví dụ về việc tung đồng xu hoặc xúc xắc.
Ví dụ 4. Khi chúng ta tung một đồng xu, xác suất để mặt ngửa là bao nhiêu?
Có 2 kết quả – ngửa hoặc sấp. (người ta tin rằng đồng xu không bao giờ rơi đúng vị trí của nó) Kết quả thuận lợi là mặt sấp, 1.
Xác suất 1/2=0,5
Trả lời: 0,5.
Ví dụ 5.Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta tung đồng xu hai lần? Xác suất để nó ngửa cả hai lần là bao nhiêu?
Điều chính là xác định những kết quả cơ bản mà chúng ta sẽ xem xét khi tung hai đồng xu. Sau khi tung hai đồng xu, một trong các kết quả sau có thể xảy ra:
1) PP – cả hai lần đều ngửa
2) PO – ngửa lần đầu, ngửa lần thứ hai
3) OP – ngửa lần đầu, sấp lần thứ hai
4) OO – đầu xuất hiện cả hai lần
Không còn lựa chọn nào khác. Điều này có nghĩa là có 4 kết quả cơ bản. Chỉ có kết quả đầu tiên là 1 là thuận lợi.
Xác suất: 1/4=0,25
Đáp án: 0,25
Xác suất để hai lần tung đồng xu sẽ có kết quả là mặt sấp là bao nhiêu?
Số kết quả cơ bản bằng nhau, 4. Kết quả thuận lợi là kết quả thứ hai và thứ ba, 2.
Xác suất được một đuôi: 2/4=0,5
Trong những vấn đề như vậy, một công thức khác có thể hữu ích.
Nếu trong một lần tung đồng xu những lựa chọn khả thi Chúng ta có 2 kết quả, khi đó đối với hai lần ném kết quả sẽ là 2 2 = 2 2 = 4 (như trong ví dụ 5), đối với ba lần ném 2 2 2 = 2 3 = 8, đối với bốn lần ném: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... đối với N lần ném, kết quả có thể xảy ra sẽ là 2·2·...·2=2 N .
Vì vậy, bạn có thể tính xác suất nhận được 5 mặt ngửa trong 5 lần tung đồng xu.
Tổng số kết quả sơ cấp: 2 5 =32.
Kết quả thuận lợi: 1. (RRRRRR – đánh đầu cả 5 lần)
Xác suất: 1/32=0,03125
Điều này cũng đúng với xúc xắc. Với một lần ném, có 6 kết quả có thể xảy ra với hai lần ném: 6 6 = 36, cho ba lần 6 6 6 = 216, v.v.
Ví dụ 6. Chúng tôi ném xúc xắc. Xác suất để một số chẵn sẽ được tung ra là bao nhiêu?
Tổng kết quả: 6, tính theo số cạnh.
Thuận lợi: 3 kết quả. (2, 4, 6)
Xác suất: 3/6=0,5
Ví dụ 7. Chúng tôi ném hai con xúc xắc. Xác suất để tổng số đó là 10 là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng trăm gần nhất)
Đối với một người chết có 6 kết quả có thể xảy ra. Điều này có nghĩa là với hai, theo quy tắc trên, 6·6=36.
Kết quả nào sẽ thuận lợi cho tổng điểm ra 10?
10 phải được phân tách thành tổng của hai số từ 1 đến 6. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách: 10=6+4 và 10=5+5. Điều này có nghĩa là các tùy chọn sau có thể áp dụng cho hình khối:
(6 vào ngày thứ nhất và 4 vào ngày thứ hai)
(4 trên thứ nhất và 6 trên thứ hai)
(5 vào thứ nhất và 5 vào thứ hai)
Tổng cộng, 3 lựa chọn. Xác suất yêu cầu: 3/36=1/12=0,08
Đáp án: 0,08
Các loại bài toán B6 khác sẽ được thảo luận trong bài viết Cách giải trong tương lai.
Xác suất của một sự kiện $A$ là tỷ lệ giữa số kết quả có lợi cho $A$ với số tất cả các kết quả có thể xảy ra như nhau
$P(A)=(m)/(n)$, trong đó $n$ – tổng cộng các kết quả có thể xảy ra, và $m$ là số kết quả thuận lợi cho sự kiện $A$.
Xác suất của một sự kiện là một số từ phân đoạn $$
Công ty taxi có những chiếc ô tô trị giá 50$ trong kho. $35$ trong số đó là màu đen, còn lại là màu vàng. Tìm xác suất để một chiếc ô tô màu vàng đáp lại một cuộc gọi ngẫu nhiên.
Hãy tìm số ô tô màu vàng:
Tổng cộng có những chiếc ô tô trị giá 50 đô la, tức là cứ 50 chiếc thì có một chiếc sẽ phản hồi cuộc gọi. Xe màu vàng là $15$, do đó, xác suất để một chiếc xe màu vàng đến là $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$
Trả lời: 0,3$
Hai sự kiện được gọi là trái ngược nhau nếu trong một thử nghiệm nhất định chúng không tương thích nhau và một trong số chúng nhất thiết phải xảy ra. Xác suất của các sự kiện trái ngược nhau cộng lại bằng 1. Một sự kiện ngược lại với sự kiện $A$ được viết $((A))↖(-)$.
$P(A)+P((A))↖(-)=1$
Hai sự kiện $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu xác suất xảy ra của mỗi sự kiện đó không phụ thuộc vào việc sự kiện kia có xảy ra hay không. Ngược lại, các sự kiện được gọi là phụ thuộc.
Xác suất tích của hai sự kiện độc lập $A$ và $B$ bằng tích của các xác suất này:
$P(A·B)=P(A)·P(B)$
Ivan Ivanovich đã mua hai tờ vé số khác nhau. Xác suất trúng vé số đầu tiên là 0,15 USD. Xác suất để tờ vé số thứ hai trúng thưởng là $0,12$. Ivan Ivanovich tham gia cả hai trận hòa. Giả sử rằng các trận hòa được tổ chức độc lập với nhau, hãy tìm xác suất để Ivan Ivanovich thắng trong cả hai trận hòa.
Xác suất $P(A)$ - vé đầu tiên sẽ thắng.
Xác suất $P(B)$ - vé thứ hai sẽ thắng.
Biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Nghĩa là, để tìm xác suất xảy ra cả hai sự kiện, bạn cần tìm tích các xác suất
$P(A·B)=P(A)·P(B)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Trả lời: 0,018$
Hai sự kiện $A$ và $B$ được gọi là không tương thích nếu không có kết quả nào có lợi cho cả sự kiện $A$ và sự kiện $B$. (Những sự kiện không thể xảy ra cùng một lúc)
Xác suất của tổng hai sự kiện không tương thích $A$ và $B$ bằng tổng xác suất của các sự kiện này:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
Trong một kỳ thi đại số, một học sinh nhận được một câu hỏi trong số tất cả các câu hỏi thi. Rất có thể đây là câu hỏi về " phương trình bậc hai", bằng $0,3$. Xác suất để đây là một câu hỏi về Phương trình vô tỉ là $0,18$. Không có câu hỏi nào liên quan đồng thời đến hai chủ đề này. Tìm xác suất để một học sinh có câu hỏi về một trong hai chủ đề này trong bài thi.
Những sự kiện này được gọi là không tương thích, vì học sinh sẽ nhận được một câu hỏi HOẶC về chủ đề “Phương trình bậc hai” HOẶC về chủ đề “Phương trình vô tỷ”. Các chủ đề không thể được tìm thấy cùng một lúc. Xác suất của tổng hai sự kiện không tương thích $A$ và $B$ bằng tổng xác suất của các sự kiện này:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
$P = 0,3+0,18=0,48$
Trả lời: 0,48 USD
Hai sự kiện được gọi là chung nếu việc xảy ra một sự kiện không loại trừ sự xuất hiện của sự kiện kia trong cùng một phép thử. Ngược lại, các sự kiện được gọi là không tương thích.
Xác suất của tổng của hai sự kiện chung $A$ và $B$ bằng tổng xác suất của các sự kiện này trừ đi xác suất tích của chúng:
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$
Trong rạp chiếu phim, có hai chiếc máy bán cà phê giống hệt nhau. Xác suất để máy hết cà phê vào cuối ngày là 0,6$. Xác suất để cả hai máy đều hết cà phê là $0,32$. Tìm xác suất để đến cuối ngày có ít nhất một máy hết cà phê.
Hãy để chúng tôi biểu thị các sự kiện:
$A$ = cà phê sẽ hết trong máy đầu tiên,
$B$ = cà phê sẽ hết ở máy thứ hai.
$A·B =$ cà phê sẽ hết ở cả hai máy,
$A + B =$ cà phê sẽ hết trong ít nhất một máy.
Theo điều kiện, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32 USD.
Các sự kiện $A$ và $B$ là chung, xác suất của tổng của hai sự kiện chung bằng tổng xác suất của các sự kiện này, trừ đi xác suất của tích của chúng:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
