Модные тенденции и тренды. Аксессуары, обувь, красота, прически

При изучении вопроса о том, что такое сила инерции (СИ), часто происходят недопонимания, приводящие к псевдонаучным открытиям и парадоксам. Давайте разберемся в данном вопросе, применив научный подход и обосновав все сказанное подтверждающими формулами.

Сила инерции окружает нас повсюду. Ее проявления люди заметили еще в древности, но объяснить не могли. Серьезно ее изучением занимался Галилей, а затем известный Именно из-за его пространного толкования стали возможны ошибочные гипотезы. Это вполне закономерно, ведь ученый сделал предположение, а накопленного наукой багажа знаний в этой области еще не существовало.

Ньютон утверждал, что естественным свойством всех материальных объектов является возможность находиться в состоянии по прямой линии или же покоиться, при условии, что не оказывается внешнего воздействия.

Давайте на основании современных знаний «расширим» данное предположение. Еще Галилео Галилей обратил внимание, что сила инерции непосредственно связана с гравитацией (притяжением). А естественные притягивающие объекты, воздействие которых очевидно - это планеты и звезды (благодаря своей массе). А так как они имеют форму шара, то на это и указал Галилей. Однако Ньютон данный момент полностью проигнорировал.

Сейчас известно, что вся Вселенная пронизана гравитационными линиями различной интенсивности. Косвенно подтверждено, хотя математически не доказано, существование гравитационного излучения. Следовательно, сила инерции всегда возникает при участии гравитации. Ньютон в своем предположении о «естественном свойстве» этого также не учел.

Более правильно исходить из другого определения - указанная сила представляет собой значение которой является произведением массы (m) перемещающегося тела на его ускорение (a). Вектор направлен встречно ускорению, то есть:

где F, а - значения векторов силы и полученного ускорения; m - масса движущегося тела (или математической

Физика и механика предлагают два названия для подобного воздействия: кориолисова и переносная сила инерции (ПСИ). Оба термина равнозначны. Отличие в том, что первый вариант общепризнан и используется в курсе механики. Другими словами, справедливо равенство:

F kor = F per = m*(-a kor) = m*(-a per),

где F - кориолисова сила; F per - переносная сила инерции; a kor и a per - соответствующие векторы ускорения.

ПСИ включает в себя три составляющих: инерции, поступательная СИ и вращательная. Если с первой обычно сложностей не возникает, то другие две требуют пояснения. Поступательная сила инерции определяется ускорением всей системы в целом относительно какой-либо инерциальной системы при поступательной разновидности движения. Соответственно, третья составляющая возникает из-за ускорения, появляющегося при вращении тела. В то же время, данные три силы могут существовать и независимо, не являясь частью ПСИ. Все они представлены одной и той же основной формулой F = m*a, а различия лишь в типе ускорения, которое, в свою очередь, зависит от разновидности движения. Таким образом, они являются частным случаем инерции. Каждая из них участвует в расчете теоретического абсолютного ускорения материального тела (точки) в неподвижной системе отсчета (невидимо для наблюдения из неинерциальной системы).

ПСИ необходима при изучении вопроса относительного движения, так как для создания формул движения тела в неинерциальной системе необходимо учитывать не только другие известные силы, но и ее (F kor или F per).

Силы инерции и основной закон механики

Берников Василий Русланович,

инженер.

Предисловие

Внутренние силы в ряде случаев являются причиной появления внешних сил, приложенных к системе , , , . Силы инерции всегда являются внешними по отношению к любой движущейся системе материальных тел , , , . Силы инерции действуют также как и силы взаимодействия, они вполне реальны, могут совершать работу, сообщать ускорение , , , . При большом количестве теоретических предпосылок в механике о возможности использования сил инерции в качестве поступательной при создании конструкций не приводили к положительному результату. Можно отметить только некоторые широко известные конструкции с небольшой эффективностью использования сил инерции: инерцоид Толчина , вихревой жидкостный движитель Фролова , движитель Торнсона . Медленное развитие инерционных движителей объясняется отсутствием фундаментального теоретического обоснования наблюдаемого эффекта. На основании обычных классических представлений физической механики в данной работе создана теоретическая база использования сил инерции в качестве поступательной.

§1. Основной закон механики и его следствия.

Рассмотрим законы преобразования сил и ускорений в различных системах отсчёта. Выберем произвольно неподвижную инерциальную систему отсчёта и условимся движение относительно неё считать абсолютным. В такой системе отсчёта основным уравнением движения материальной точки является уравнение, выражающее второй закон Ньютона.

mw абс = F , (1.1)

где F – сила взаимодействия тел.

Тело, покоящееся в движущейся системе отсчёта, увлекается последней в её движении относительно неподвижной системы отсчёта. Такое движение называется переносным. Движение тела относительно системы отсчёта называется относительным. Абсолютное движение тела складывается из его относительного и переносного движений. В неинерциальных системах отсчёта (системы отсчёта, движущиеся с ускорением) закон преобразования ускорений для поступательного движения имеет следующий вид

w абс = w отн + w пер. (1.2)

Учитывая (1.1) для сил запишем уравнение относительного движения для материальной точки в движущейся с поступательным ускорением системе отсчёта

mw отн = F - mw пер, (1.3)

где mw пер - это поступательная сила инерции, возникающая не из-за взаимодействия тел, а из-за ускоренного движения системы отсчёта. Движение тел под действием сил инерции аналогично движению во внешних силовых полях [ 2,с.359] . Импульс центра масс системы [ 3, с.198] может быть изменён путём изменения внутреннего вращательного импульса или внутреннего поступательного импульса. Силы инерции всегда являются внешними [ 2,с.359] по отношению к любой движущейся системе материальных тел.

Допустим теперь, что система отсчёта движется совершенно произвольно относительно неподвижной системы отсчёта. Это движение можно разделить на два: поступательное движение со скоростью v о, равной скорости движения начала координат, и вращательное движение вокруг мгновенной оси, проходящей через это начало. Угловую скорость этого вращения обозначим w , а расстояние от начала координат движущейся системы отсчёта до движущейся точки в ней через r . Кроме того, движущаяся точка имеет относительно движущейся системы отсчёта скорость v отн. Тогда для абсолютного ускорения [ 2,с.362] известно соотношение

w абс = w отн - 2[ v отн w ] + (d v о /dt) - w 2 r ^ + [ (dw / dt)r ] ,. (1.4)

где r ^ - компонента радиуса-вектора r , перпендикулярная к мгновенной оси вращения. Перенесём относительное ускорение в левую часть, а абсолютное в правую часть и всё умножим на массу тела, получим основное уравнение сил относительного движения [ 2,с.364] материальной точки в произвольно движущейся системе отсчёта

mw отн = mw абс + 2m[ v отн w ] - m(d v о /dt) + mw 2 r ^ – m[ (dw / dt)r ] . (1.5)

Или соответственно

mw отн = F + F к + F п + F ц + F ф, (1.6)

где: F – сила взаимодействия тел; F к – кориолисова сила инерции; F п – поступательная сила инерции; F ц – центробежная сила инерции; F ф – фазовая сила инерции.

Направление силы взаимодействия тел F совпадает с направлением ускорения тела. Кориолисова сила инерции F к направлена согласно векторному произведению радиальной и угловой скорости, то есть перпендикулярно обоим векторам. Поступательная сила инерции F п направлена противоположно ускорению тела. Центробежная сила инерции F ц направлена по радиусу от центра вращения тела. Фазовая сила инерции F ф направлена противоположно векторному произведению углового ускорения и радиуса от центра вращения перпендикулярно этим векторам.

Таким образом, достаточно знать величину и направление действия сил инерции и взаимодействия, чтобы определить траекторию движения тела относительно любой системы отсчёта.

Кроме сил инерции и взаимодействия тел существуют силы переменной массы, являющиеся следствием действия сил инерции. Рассмотрим второй закон Ньютона в дифференциальной форме [ 2, с.77]

dP /dt = ∑F , (1.7)

где: P – импульс системы тел; ∑F – сумма внешних сил.

Известно, что импульс системы тел в общем случае зависит от времени и, соответственно, равен

P (t) = m(t)v (t), (1.8)

где: m(t) – масса системы тел; v (t) – скорость системы тел.

Так как скорость - это производная по времени координат системы, то

v (t) = dr (t)/dt, (1.9)

где r – радиус-вектор.

В дальнейшем будем подразумевать зависимость от времени: массы, скорости и радиуса-вектора. Подставим (1.9) и (1.8) в (1.7) получим

d(m (dr /dt))/dt = ∑F . (1.10)

Внесём массу m под знак дифференциала [ 1,с.295] , тогда

d [ (d(mr )/dt) – r (dm/dt) ] /dt = ∑F .

Производная разности равна разности производных

d [ (d(mr )/dt) ] dt – d [ r (dm/dt) ] /dt =∑F .

Проведём подробное дифференцирование каждого слагаемого по правилам дифференцирования произведений

m(d 2 r /dt 2) + (dm/dt)(dr /dt) + (dm/dt)(dr /dt) +

+ r (d 2 m/dt 2) – r (d 2 m/dt 2) - (dm/dt)(dr /dt) = ∑F . (1.11)

Приведём подобные члены и запишем уравнение (1.11) в следующем виде

m(d 2 r /dt 2) = ∑F - (dm/dt)(dr /dt). (1.12)

В правой части уравнения (1.12) сумма всех внешних сил. Последнее слагаемое называется силой переменной массы, то есть

F пм = - (dm/dt)(dr /dt). (1.13)

Таким образом, к внешним силам добавляется ещё одна внешняя сила - сила переменной массы. Выражение в первой скобке правой части уравнения (1.13) - это скорость изменения массы, а выражение во второй скобке - это скорость отделения (присоединения) частиц. Таким образом, эта сила действует при изменении массы (реактивная сила) [ 2, с.120] системы тел с отделением (присоединением) частиц с соответствующей скоростью относительно этой системы тел. Уравнение (1.12) - это уравнение Мещерского [ 2, с.120] , знак минус указывает на то, что уравнение выведено в предположении действия внутренних сил (отделение частиц). Так как уравнение (1.12) выведено в предположении изменения импульса системы тел под воздействием внутренних сил, порождающих внешние, точным математическим методом, поэтому при его выводе в выражении (1.11) появились ещё две силы , которые не участвуют в изменении импульса системы тел, так как они при приведении подобных членов сокращаются. Перепишем уравнение (1.11), учитывая уравнение (1.13), не сокращая подобные члены, следующим образом

m(d 2 r /dt 2) + r (d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(dr /dt) = ∑F + F пм + r (d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(dr /dt). (1.14)

Обозначим предпоследний член выражения (1.14) через F m , а последний через F д, тогда

m(d 2 r /dt 2) + r (d 2 m/dt 2) + (dm/dt)(dr /dt) = ∑F + F пм + F m + F д. (1.15)

Так как сила F m не участвует в изменении импульса, то её можно записать отдельным уравнением

F m = r (d 2 m/dt 2). (1.16)

Рассмотрим физический смысл уравнения (1.16), для этого перепишем его в следующем виде

r = F m /(d 2 m/dt 2). (1.17)

Отношение силы к ускоренному росту массы в определённом объёме является величиной постоянной или пространство, занимаемое определённым количеством вида вещества, характеризуется минимальным объёмом. Сила F m статическая и выполняет функцию давления.

Сила F д также не участвует в изменении импульса системы тел, поэтому запишем её отдельным уравнением и рассмотрим её физический смысл

F д = (dm/dt)(dr /dt). (1.18)

Сила F д - это сила давления, оказываемая веществом, находящимся в жидком или газообразном состоянии на окружающее пространство. Характеризуется количеством, массой и скоростью частиц, обеспечивающих давление в определённом направлении. Следует отметить, что сила давления F д совпадает с силой переменной массы F пм и их разграничение произведено только для определения характера действия в различных условиях. Таким образом, уравнение (1.15) полностью описывает состояние вещества. То есть, рассматривая уравнение (1.15), можно заключить, что вещество характеризуется массой как мерой инертности, минимальным пространством, которое может занимать данное количество вещества без изменения его свойств и давлением, оказываемым веществом в жидком и газообразном состоянии на окружающее пространство.

§2. Характеристика действия сил инерции и переменной массы.

Поступательное ускоренное движение тела происходит под действием силы по второму закону Ньютона. То есть изменение величины скорости тела происходит при наличии ускорения и силы, вызвавшей это ускорение.

Использование центробежной силы инерции для поступательного движения возможно только при увеличении линейной скорости источников этих сил , так как при ускоренном движении системы силы инерции источников в направлении увеличения скорости системы уменьшаются вплоть до полного исчезновения. Кроме того, поле сил инерции должно быть неоднородным и иметь максимальное значение в части системы по направлению поступательного движения.

Рассмотрим движение тела (рис.2.1) массой m по окружности радиусом R.

Рис. 2.1.

Центробежная сила F ц, с которой тело давит на окружность, определяется формулой

F ц = m ω 2 R . (2.1)

Используя известное соотношение ω = v /R, где v линейная скорость тела перпендикулярная радиусу R, запишем формулу (2.1) в следующем виде

F ц = m v 2 / R . (2.2)

Центробежная сила действует в направлении радиуса R . Теперь мгновенно разорвём окружность, по которой движется тело. Опыт показывает, что тело полетит по касательной в направлении линейной скорости v , а не в направлении действия центробежной силы. То есть при отсутствии опоры, центробежная сила мгновенно исчезает.

Пусть тело массой m движется по элементу полуокружности (рис.2.2) радиусом R, причём полуокружность движется с ускорением w П перпендикулярно диаметру.

Рис. 2.2.

При равномерном движении тела (линейная скорость не меняется по величине), и ускоренном полуокружности, опора в виде полуокружности мгновенно исчезает и центробежная сила будет равна нулю. Если тело движется с положительным линейным ускорением, то оно будет догонять полуокружность и, центробежная сила будет действовать. Найдём линейное ускорение w тела, при котором центробежная сила действует, то есть давит на полуокружность. Для этого время, затраченное телом на путь по касательной до пересечения со штриховой линией параллельной диаметру и проведённой через точку В (рис.2.2), должно быть меньше или равно времени, которое затратит полуокружность в направлении перпендикулярном диаметру. Пусть начальные скорости тела и полуокружности равны нулю и затраченное время одинаково, тогда путь S АС, пройденный телом

S АС = w t 2 /2, (2.3)

а путь, пройденный полуокружностью S АВ будет

S АВ = w П t 2 /2. (2.4)

Разделим уравнение (2.3) на (2.4) получим

S АС / S АВ = w / w П.

Тогда ускорение тела w с учётом очевидного соотношения S АС / S АВ = 1/ cosΨ

w = w П /cosΨ, (2.5)

где 0 £ Ψ £ π/2.

Таким образом, проекция ускорения тела в элементе окружности на данное направление (рис.2.2) должна быть всегда больше или равна ускорению системы н том же направлении для поддержания в действии центробежной силы. То есть центробежная сила выступает в качестве поступательной движущей силы только при наличии положительного ускорения, изменяющей величину линейной скорости тела в системе

Аналогично получается соотношение для второй четверти полуокружности (рис.2.3).

Рис. 2.3.

Только путь, проходимый телом по касательной будет начинаться из точки на движущейся с ускорением полуокружности до пересечения со штриховой линией параллельной диаметру и, проходящей через точку А начального положения полуокружности. Угол в этом случае определяется интервалом π/2 ³ Ψ ³ 0.

Для системы, тело в которой движется равномерно или с замедлением по окружности, центробежная сила не вызовет поступательного ускоренного движения системы, так как линейное ускорение тела будет равно нулю или тело будет отставать от ускоренного движения системы.

Если тело вращается с угловой скоростью ω и одновременно приближается к центру окружности со скоростью v , тогда возникает кориолисова сила

F к = 2m [v ω ]. (2.6)

Типичный элемент траектория показана на рис.2.4.

Рис. 2.4.

Все формулы (2.3),(2.4),(2.5) и выводы для поддержания в действии центробежной силы циркулирующей среды будут верны и для кориолисовой силы, так как при ускоренном движении системы тело, движущееся с положительным линейным ускорением, будет успевать за ускорением системы и, соответственно, двигаться по криволинейной траектории, а не по касательной прямой, когда кориолисова сила отсутствует. Кривую надо разделить на две половины. В первой половине кривой (рис.4) угол меняется от начальной точки до нижней в интервале -π/2 £ Ψ £ π/2, а во второй половине от нижней точки до центра окружности π/2 ³ Ψ ³ 0. Аналогично, при вращении тела и одновременном удалении (рис.2.5) его от центра, кориолисова сила действует как поступательная при положительном ускорении величины линейной скорости тела.

Рис. 2.5.

Интервал углов в первой половине от центра окружности до нижней точки 0 £ Ψ £ π/2, а во второй половине от нижней точки до конечной π/2 ³ Ψ ³ -π/2.

Рассмотрим поступательную силу инерции F п (рис.2.6), которая определяется по формуле

F п = -m w, (2.7)

где w – ускорение тела.

Рис. 2.6.

При положительном ускорении тела она действует против движения, а при отрицательном ускорении (замедлении) она действует по направлению движения тела. При воздействии элемента ускорения или замедления (рис.2.6) на систему, с которой связаны элементы, ускорение тела элемента по модулю, очевидно, должно быть больше модуля ускорения системы, вызванной поступательной силой инерции тела. То есть поступательная сила инерции выступает в качестве движущей при наличии положительного или отрицательного ускорения.

Фазовая сила инерции F ф (сила инерции, вызванная неравномерностью вращения) определяется формулой

F ф = -m [(dω /dt)R ]. (2.8)

Пусть радиус R перпендикулярен вектору угловой скорости ω , тогда в скалярном виде формула (2.8) приобретает вид

F ф = -m (dω/dt)R. (2.9)

При положительном угловом ускорении тела (рис.1.7) она действует против движения, а при отрицательном угловом ускорении (замедлении) она действует по направлению движения тела.

Рис. 2.7.

Используя известное соотношение ω = v /R, где v линейная скорость тела перпендикулярная радиусу R, запишем формулу (2.9) в следующем виде

F ф = -m (dv/dt). (2.10)

Так как dv/dt =w , где w – линейное ускорение тела, то уравнение (2.10) приобретает вид

F ф = -m w (2.11)

Таким образом, формула (2.11) аналогична формуле (2.7) для поступательной силы инерции, только ускорение w надо разложить на параллельную α II и перпендикулярную α ┴ составляющие (рис.2.8) по отношению к диаметру элемента полуокружности.

Рис. 2.8.

Очевидно, перпендикулярная составляющая ускорения w ┴ создаёт вращающий момент, так как в верхней части полуокружности она направлена влево, а в нижней части вправо. Параллельная составляющая ускорения w II создаёт поступательную силу инерции F фII , так как она направлена в верхней и нижней части полуокружности в одну сторону, совпадающую с направлением w II .

F фII = -m w II . (2.12)

Используя соотношение w II = w cosΨ, получим

F фII = -m w cosΨ, (2.13)

где угол Ψ находится в интервале -π/2 £ Ψ £ π/2.

Таким образом, получена формула (2.13) расчёта элемента фазовой силы инерции для поступательного движения. То есть фазовая сила инерции выступает в качестве движущей при наличии положительного или отрицательного линейного ускорения.

Итак, выделено четыре элемента поступательной силы инерции: центробежный, кориолисовый, поступательный, фазовый. Соединяя отдельные элементы определённым образом, можно соэдавать системы поступательной движущей силы инерции .

Рассмотрим силу переменной массы, определяемой формулой

F пм = - (dm/dt)(dr /dt). (2.14)

Так как скорость отсоединения (присоединения) частиц относительно системы тел равна

u =dr /dt, (2.15)

тогда уравнение (2.14) запишем так

F пм = -u (dm/dt). (2.16)

В уравнении (2.16) сила переменной массы ─ это значение силы, производимое отделяющейся частицей во время изменения её скорости от нуля до u или значение, производимое присоединяющейся частицей во время изменения её скорости от u до нуля. Таким образом, сила переменной массы действует в момент ускорения или замедления частиц, то есть она является поступательной силой инерции, но рассчитываемой по другим параметрам. С учётом выше написанного возникает необходимость уточнения вывода формулы Циолковского . Уравнение (1.12) перепишем в скалярном виде и положим ∑F = 0, тогда

m(d 2 r/dt 2) = - (dm/dt)(dr/dt). (2.17)

Так как ускорение системы

d 2 r/dt 2 = dv/dt,

где v – скорость системы, тогда уравнение (2.17) с учётом уравнения (2.15) будет

m(dv/dt) = - (dm/dt)u. (2.18)

Умножим уравнение (2.17) на dt получим

mdv = -udm, (2.19)

то есть, зная максимальную скорость u = u O отделения частиц, которую считаем постоянной, можно по соотношению начальной m O и конечной масс m определить конечную скорость системы v

v = -u O ∫ dm /m = u O ln(m O /m). (2.20)

m O /m = е v/uo . (2.21)

Уравнение (2.21) - это уравнение Циолковского.

§3. Контур циркулирующей среды центробежной силы инерции.

Рассмотрим циркуляцию среды по тору (рис. 3.1) со средним радиусом R, двигающейся с угловой скоростью ωотносительно центраО. Модульцентробежной силы, действующий на точечный элемент потока массой ∆m,будет равен

∆ F= ∆m ω 2 R.

В любом сечении кольца для одинаковых элементов центробежная сила будет по величине одинакова и направлена по радиусу от центра, растягивая кольцо. От направления вращения центробежная сила не зависит.

Рис. 3.1.

Теперь произведём расчёт суммарной центробежной силы , действующей перпендикулярно диаметру верхней полуокружности (рис.3.2). Очевидно, что в направлении из середины диаметра перпендикулярная проекция силы будет максимальна, плавно спадая к краям полуокружности, из-за симметричности кривой относительно средней линии. Кроме того, равнодействующая проекций центробежных сил, действующих параллельно диаметру, будет равна нулю, так как они равны и противоположно направлены.

Рис. 3.2.

Запишем элементарную функцию центробежной силы, действующей на точечный отрезок массой ∆ m и длиной ∆ ℓ:

∆ F= ∆ m ω 2 R. (3.1)

Масса точечного элемента равна плотности потока, умноженной на его объём

∆ m=ρ ∆ V. (3.2)

Длина половины тора по средней линии

где π – число пи.

Объём половины тора

V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = ℓ π r 2 ,

где r – радиус трубки тора.

Для элементарного объёма запишем

∆ V = ∆ ℓ π r 2 .

Известно, что для окружности

∆ ℓ= R∆ Ψ,

∆ V = π r 2 R∆ Ψ. (3.3)

Подставим выражение (3.3) в (3.2) получим:

∆ m=ρ π r 2 R∆ Ψ. (3.4)

Теперь подставим (3.4) в (3.1), тогда

∆ F= ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.

Центробежная сила, действующая в перпендикулярном направлении (рис.2)

∆ F ┴ = ∆ Fcos((π/2)- Ψ).

Известно, чтоcos((π/2)- Ψ)=sin Ψ, тогда

∆ F ┴ = ∆ F sin Ψ.

Подставим значение для ∆ F получим

∆ F ┴ = ρ π r 2 ω 2 R 2 sin Ψ ∆ Ψ.

Найдём суммарную центробежную силу, действующую в перпендикулярном направлении в интервале от 0 до Ψ

F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 sin ΨdΨ.

Проинтегрируем это выражение, тогда получим

F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.5)

Положим, что ускорение w циркулирующей среды в десять раз больше ускорения системы w с, то есть

В этом случае, согласно формуле (2.5) получим

Вычислим угол действия сил инерции в радианах

Ψ ≈ 0,467 π,

что соответствует углу в 84 градуса.

Таким образом, угловой интервал действия сил инерции составляет

0 £ Ψ £ 84° в левой половине контура и симметрично 96°£ Ψ £ 180° в правой половине контура. То есть интервал отсутствия действующих сил инерции во всём контуре составляет около 6,7% (реально, ускорение циркулирующей среды значительно больше ускорения системы, поэтому интервал отсутствия действующих сил инерции будет менее 1% и его можно не учитывать). Для определения суммарной центробежной силы, в этих интервалах углов, достаточно подставить первый интервал в формулу (3.5) и, вследствие симметрии, умножить на 2 получим

F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.6)

После несложных вычислений получаем

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 ω 2 R 2 .

Известно, что угловая скорость

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 v 2 .

Так как циркулирующая среда должна двигаться с ускорением, чтобы действовала сила инерции, поэтому выразим линейную скорость через ускорение, полагая начальную скорость равной нулю

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 (w t) 2 . (3.8)

Среднее значение за время действия положительного ускорения, которое считаем постоянным, будет

F ┴СР = ((1,8ρ π r 2 w 2)/t) ∫t 2 dt.

После вычислений получаем

F ┴СР = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 . (3.9).

Таким образом, был выделен контур циркулирующей среды, из которых можно составить замкнутую цепь и просуммировать их центробежные силы.

Составим замкнутую цепь из четырёх контуров разных сечений (рис.3.3): два верхних контура радиусом R. сечением S и два нижних контура радиусом R 1 сечением S 1 , пренебрегая краевыми эффектами при переходе циркулирующей среды с одного сечения на другое. Пусть S < S 1 и радиус

R 1 < R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть

v/v 1 = S 1 /S = r 1 2 /r 2 , (3.10)

где r 1 и r радиусы потока циркулирующей среды соответствующего сечения.

Кроме того, запишем очевидное отношение для скоростей и ускорений

v/v 1 = w / w 1 . (3.11)

Найдём ускорение среды нижнего контура, используя для вычислений уравнение (3.10) и (3.11)

w 1 = w r 2 / r 1 2 . (3.12)

Теперь, согласно уравнению (3.9), определим центробежную силу для нижнего контура, учитывая уравнение (3.12) и после вычислений получим

F ┴СР1 = 0,6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴СР (r 2 / r 1 2) (3.13)

При сравнении выражения для центробежной силы верхнего контура (3.9) и нижнего контура (3.13) вытекает, что они отличаются на величину (r 2 / r 1 2).

То есть при r < r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.

Рис. 3.3.

Равнодействующая центробежных сил, действующая на два контура в верхней полуплоскости (граница верхней и нижней полуплоскости показана тонкой линией) противоположно направлена равнодействующей центробежных сил, действующей на два контура в нижней полуплоскости. Очевидно, что суммарная F Ц центробежная сила будет действовать в направлении,как показано на рисунке 3.3, примем это направление за положительное. Вычислим суммарную F Ц центробежную силу

F Ц = 2 F ┴СР - 2F ┴СР1 = 1,2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3.14)

Как видим, суммарная центробежная сила зависит от плотности потока, сечений противоположных контуров и ускорения потока. От радиуса контуров суммарная центробежная сила не зависит. Для системы, циркулирующая среда в которой движется равномерно или с замедлением по окружности, центробежная сила не вызовет поступательного ускоренного движения системы.

Таким образом, был выделен базисный контур циркулирующей среды, показана возможность использования контуров циркулирующей среды разных сечений для суммирования центробежной силы в определённом направлении и изменения общего импульса замкнутой системы тел под действием внешних сил инерции, вызванных внутренними силами.

Пусть r = 0,025м; r 1 = 0,05м; ρ = 1000 кг/м 3 ; w = 5м/с 2 , t = 1с, тогда за время действия положительного ускорения среднее значение суммарной центробежной силы F Ц.≈ 44Н.

§4. Контур циркулирующей среды кориолисовой силы инерции.

Известно, что кориолисова сила инерции возникает при вращении тела массой m по окружности и одновременном радиальном перемещении его, причём она перпендикулярна угловой скорости ω и скорости радиального перемещения v . Направление кориолисовой силы F совпадает с направлением векторного произведения в формуле F = 2m[v w ].

Рис. 4.1.

На рис.4.1 показано направление кориолисовой силы при вращении тела по окружности против часовой стрелки и радиальном перемещении его к центру окружности за первый полупериод,. а на рис.4.2 показано направление кориолисовой силы при вращении тела по окружности также против часовой стрелке и радиальном перемещение его от центра окружности за второй полупериод.

Рис. 4.2.

Совместим левую часть движения тела на рис.4.1 и правую часть на рис.4.2. тогда получим на рис. 4.3 вариант траектории движения тела за период.

Рис. 4.3.

Рассмотрим движение циркулирующей среды (жидкости) по трубам изогнутым соответственно траектории. Кориолисовы силы левой и правой кривой действуют в секторе 180 градусов в радиальном направлении при движении от точки В к точке О влево и вправо соответственно относительно оси Х. Составляющие кориолисовой силы левой и правой кривой F| | параллельные прямой АС компенсируют друг друга, так как одинаковы, противоположно направлены и симметричны относительно оси Х. Симметричные составляющие кориолисовой силы левой и правой кривой F^ перпендикулярные прямой АС складываются, так как направлены в одну сторону.

Вычислим величину кориолисовой силы, действующей по оси Х на левой половине траектории. Так как составление уравнения траектории представляет сложную задачу, то решение по нахождению кориолисовой силы ищем приближённым методом. Пусть v - это скорость жидкости постоянная по всей траектории. Радиальную скорость v р и линейную скорость вращения v л, согласно теореме параллелограмма скоростей, выразим (рис.3) через скорость v и угол α

v р = v cosα, v л = v sinα.

Траектория движения (рис.4.3) построена с учётом того, что в точке В радиальная скорость v р равна нулю, а линейная v л равна v. В центре окружности О, радиусом Rо, радиальная скорость v р равна v, а линейная v л равна нулю, причём касательная траектории в центре окружности перпендикулярна касательной траектории в начале (точка В). Радиус монотонно уменьшается от Rо до нуля. Угол α меняется от 90° в точке В до 0° в центре окружности. Тогда, из графических построений, выбираем длину траектории 1/4 длины окружности радиусом R 0 . Теперь можно вычислить массу жидкости, используя формулу объёма тора. То есть масса циркулирующей среды будет равна 1/4 массы тора со средним радиусом R 0 и внутренним радиусом трубы r

m = ρπ 2 r 2 R 0 /2, (4.1)

где ρ – плотность жидкости.

Модуль проекции кориолисовой силы в каждой точке траектории на ось Х находим по формуле

F^ = 2m v р ср ω ср cos b , (4.2)

где v р ср – среднее значение радиальной скорости; ω ср – среднее значение угловой скорости; b – угол между кориолисовой силой F и осью Х (-90° £ b £ 90° ).

Для технических расчётов можно не учитывать интервал отсутствия действия сил инерции, так как ускорение циркулирующей среды значительно больше ускорения системы. То есть выбираем интервал углов между кориолисовой силой F и осью Х (-90° £ b £ 90° ). Угол α меняется от 90° в точке В до 0° в центре окружности, тогда среднее значение радиальной скорости

v р ср = 1 / (0 - π/2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)

Среднее значение угловой скорости будет равно

ω ср = (1/ ((v π /2Rо) - v Rо))) ∫ ω dω = (v /2Rо) ((π /2.) +1). (4.4)

Нижний предел угловой скорости интеграла в формуле (4.4) определяем в начальной точке В. Он, очевидно, равен v /Rо. Верхнее значение интеграла определяем как предел отношения

ℓim (v л /R) = ℓim (v sinα /R), (4.5)

v л ® 0 α ® 0

R ® 0 R ® 0

где R – текущий радиус.

Воспользуемся известным методом [ 7, с.410] отыскания пределов для функций нескольких переменных: функция vsinα /R в точке (R= 0, α = 0) на любой прямой R = kα , проходящей через начало координат имеет предел. В данном случае предел не существует, но существует предел для определённой прямой. Найдём коэффициент к в уравнении прямой, проходящей через начало координат.

При α = 0 ® R= 0, при α = π /2 ® R= Rо (рис.3), отсюда к = 2Rо/π , тогда формула (5) преобразуется к виду, включающем первый замечательный предел

ℓim (v π sinα /2Rо α) = (v π/2Rо) ℓim sinα/α = v π/2Rо. (4.6)

α ® 0 α ® 0

Теперь подставим полученное значение из формул (4.1), (4.3) и (4.4) в (4.2) получим

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) cos b .

Найдём сумму проекций кориолисовой силы в интервале (-90° £ b £ 90° ) для левой кривой.

90°

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1).

90°

Окончательно сумма проекций кориолисовой силы для левой и правой кривой

∑F^ = 4ρ r 2 v 2 ((π /2.) +1). (4.7)

Согласно соотношению (3.7), уравнение (4.7) перепишем в виде

∑F^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π /2.) +1). (4.8)

Вычислим среднее значение кориолисовой силы по времени, считая ускорение постоянным

Fк = ∑F^ ср = 4ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1) / t) ∫t 2 dt.

После вычислений получаем

Fк ≈ 1,3ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1)t 2 . (4.9)

Пусть r = 0,02м; w = 5м/с 2 ; ρ = 1000кг/м 3 ; t = 1c, тогда суммарная средняя кориолисова сила инерции за время действия положительного ускорения циркулирующей среды будет Fк ≈ 33Н.

В центре окружности в траектории имеется перегиб (рис.4.3), который можно интерпретировать, для упрощения расчётов, как полуокружность с малым радиусом. Для наглядности разделим траекторию на две половины и вставим в нижнюю часть полуокружность, а в верхнюю часть прямую, как показано на рис.4.4 и направим циркулирующую среду по трубе радиусом r, изогнутой по форме траектории.

Рис. 4.4.

В формуле (3.5) положим угол Ψ = 180° , тогда суммарная центробежная сила Fц, действующая в перпендикулярном направлении для контура циркулирующей среды

Fц = 2 ρπ r 2 v 2 . (4.10)

Таким образом, центробежная сила не зависит от радиуса R, а зависит только от угла интегрирования (см. формулу (3.5)) при постоянной плотности потока ρ, радиуса r и скорости циркулирующей среды v в каждой точке траектории. Так как радиус R может быть любым, то можно заключить, что для любой выпуклой кривой с краями перпендикулярными прямой АОБ (рис.3.2) центробежная сила будет определяться выражением (4.10). Следует отметить, как следствие, что каждый край выпуклой кривой может быть перпендикулярен своей прямой, которые параллельны и не лежат на одной линии.

Сумма проекций центробежных сил (рис.4), действующих против направления оси Х, возникающих в полуокружности и двух половинках выпуклой кривой (прямая не вносит вклад в центробежную силу) над ломаной линией и проекций, действующих по оси Х, возникающих в двух выпуклых кривых под ломаной линией компенсируются, так как они одинаковы и направлены в противоположные стороны. Таким образом. центробежная сила не вносит вклад в поступательное движение.

§5. Твёрдотельные вращательные системы. Центробежные силы инерции.

1. Вектор собственной угловой скорости стержней перпендикулярен вектору угловой скорости центра масс стержня и радиусу общей оси вращения стержней.

Энергия поступательного движения может переходить в энергию вращательного движения и наоборот . Рассмотрим пару противоположных стержней длиной ℓ с точечными грузами одинаковой массы на концах, равномерно вращающихся вокруг собственного центра масс и вокруг общего центра О радиусом R с угловой скоростью ω (рис. 5.1): полуоборот стержня за один оборот вокруг общей оси. Пусть R ³ ℓ/2. Для полного описания процесса достаточно рассмотреть вращение в интервале углов 0 £ α £ π/2. Расставим силы, действующие параллельно оси Х, проходящей через общий центр О и положение стержней под углом α = 45 градусов, в плоскости оси Х и общей оси вращения, как показано на рисунке 5.1.

Рис. 5.1.

Угол α связан с частотой ω и временем t соотношением

α = ωt/2, (5.1.1)

так как полуоборот стержня происходит за один оборот вокруг общей оси. Очевидно, что центробежные силы инерции удалённых грузов от центра будут больше, чем ближних. Проекции центробежных сил инерции на ось Х будут

Fц1 = mω 2 (R - (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.2)

Fц2 = mω 2 (R + (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.3)

Fц3 = - mω 2 (R + (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.4)

Fц4 = - mω 2 (R - (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.5)

Запишем разностную центробежную силу инерции, действующую на удалённые грузы. Разностная центробежная сила инерции на второй груз

Fц2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)

Разностная центробежная сила инерции на третий груз

Fц3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)

Среднее значение разностных центробежных сил инерции за полуоборот будет

Fср ц2-1 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ cosα sin2αdα = 4mω 2 ℓ/3 π » 0,4mω 2 ℓ, (5.1.8)

Fср ц3-4 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ sinα sin2αdα = -4mω 2 ℓ/3 π » -0,4mω 2 ℓ. (5.1.9)

Получили две противоположные и равные по модулю центробежные силы инерции, которые являются внешними. Поэтому их можно представить в виде двух одинаковых бесконечно удалённых тел (не входящих в систему), одновременно взаимодействующих с системой: к первому телу второй груз подтягивает систему, а от второго тела третий груз отталкивает систему.

Среднее значение силы принудительного воздействия на систему за полуоборот по оси Х равно сумме сил подтягивания Fср ц2-1 и отталкивания Fср ц3-4 от внешних тел

Fп = | Fср ц2-1 | + | Fср ц3-4 | = 0,8 mω 2 ℓ. (5.1.10)

Для устранения вращающего момента системы из двух стержней в вертикальной плоскости (рис.5.2) необходимо применить ещё пару противоположных стержней, вращающихся синхронно в одной плоскости в противоположную сторону.

Рис. 5.2.

Для устранения вращающего момента системы по общей оси с центром О применяем такую же пару из четырёх стержней, но вращающихся в противоположную сторону относительно общей оси (рис.5.3).

Рис. 5.3.

Окончательно, для системы из четырёх пар вращающихся стержней (рис.5.3) сила тяги будет

Fт = 4Fп = 3,2mω 2 ℓ . (5.1.11)

Пусть m = 0,1кг; ω =2 πf, где f = 10об/с; ℓ = 0,5м, тогда Fт ≈ 632Н.

2. Вектор собственной угловой скорости стержней перпендикулярен вектору угловой скорости центра масс стержня и параллелен радиусу общей оси вращения стержней.

Рассмотрим пару противоположных перпендикулярных друг другу стержней длиной ℓ с точечными грузами одинаковой массы на концах, равномерно вращающихся вокруг собственного центра масс и вокруг общего центра О радиусом R с угловой скоростью ω (рис. 5.4): полуоборот стержня за один оборот вокруг общей оси.

Рис. 5.4.

Для вычисления выбираем только m1 и m2, так как для m3 и m4 решение аналогичное. Определим угловые скорости грузов относительно общего центра О. Модули проекций линейной скорости грузов относительно собственного центра масс параллельно плоскости вращения относительно общего центра О будут (рис.5.5)

v1 = v2 = (ωℓ/4) sin (Ψ/2), (5.2.1)

где Ψ = ωt.

Выделим по модулю проекции касательной этих скоростей перпендикулярных радиусам r1 и r2 соответственно относительно центра О получим

v1R = v2R = (ω ℓ/4) sin ( Ψ/2) cos b , (5.2.2)

cos b = R /r1 = R /r2 =R/ Ö (R 2 +(ℓ 2 /4) cos 2 ( Ψ/2)), (5.2.3)

R – расстояние от центра О до центра масс грузов, r1, r2 – расстояние от грузов до центра О, причём r1 = r2.

Рис. 5.5.

Модули линейной скорости грузов относительно общего центра О без учёта их линейной скорости относительно собственного центра масс будут

vR1 = ω r1, (5.2.4)

vR2 = ω r2. (5.2.5)

Найдём суммарную угловую скорость каждого груза относительно общей оси вращения, учитывая, что линейные скорости противоположно направлены у первого груза и одинаково у второго, тогда

ω 1 = (vR1 - v1R)/r1 = ω [ 1– (ℓR sin (Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] , (5.2.6)

ω 2 = (vR2 + v2R)/r2 = ω [ 1+ (ℓR ] . (5.2.7)

Соответственно центробежные силы составят

F 1 = mω 1 2 r1

F 2 = mω 2 2 r2

Или подробно

F 1 = mω 2 [ (1– (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)), (5.2.8)

F 2 = mω 2 [ (1+ (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)). (5.2.9)

Рассмотрим вариант, когда ℓ= 4R. В этом случае, при Ψ=180° угловая частота первого груза ω 1 = 0 и она не меняет направление, у второго груза ω 2 = 2ω (рис.5.6).

Рис. 5.6.

Перейдём к определению центробежных сил в направлении оси Х при ℓ= 4R

F 1 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)– sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)), (5.2.10)

F 2 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)+ sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)). (5.2.11)

Следует отметить, что с ростом угла Ψ от 0 до 180 ° в точке Ψ = b = 60 ° проекция центробежной силы F 2 меняет знак с отрицательного на положительный.

Сначала, сложим средние значения проекции на ось Х центробежной силы первого груза и среднее значение проекции второго в интервале угла

0 £ Ψ£ 60 ° , учитывая знаки, так как они противоположно направлены

F СР 1-2 = (1/(π /3))∫ (F 1 sin(b + Ψ) - F 2 sin(b - Ψ))dΨ ≈ 0,6mω 2 R, (5.2.12)

где b = arccos (1/ Ö (1 +4 cos 2 (Ψ/2))) определяется из формулы (5.2.3).

Центробежная сила F СР 1-2 в формуле (5.2.12) положительна, то есть направлена по оси Х. Теперь сложим одинаково направленные среднее значение проекции на ось Х центробежной силы первого груза и среднее значение проекции второго в интервале угла 60 ° £ Ψ£ 180 °

F СР 1+2 = (1/(π-(π/3)))∫(F 1 sin(Ψ + b )+ F 2 sin(Ψ- b ))dΨ ≈ 1,8mω 2 R, (5.2.13)

Среднее значение в интервале 0 ° £ Ψ£ 180 ° , очевидно, будет

F СР = (F СР 1-2 + 2F СР 1+2)/3 ≈ 1,4 mω 2 R. (5.2.14)

Для m3 и m4 среднее значение проекции на ось Х центробежной силы будет таким же, но действующей в противоположную сторону.

F Т = 4 F СР = 5,6mω 2 R. (5.2.15)

Пусть m = 0,1кг; ω =2 πf, где f = 10об/с; ℓ= 4R , где R = 0,1м, тогда F Т ≈ 220Н.

3. Вектор собственной угловой скорости стержней параллелен и одинаково направлен с вектором угловой скорости центра масс стержня, вращающегося относительно общей оси.

Рассмотрим пару противоположных, лежащих водной плоскости, стержней длиной ℓ с точечными грузами одинаковой массы на концах, равномерно вращающихся вокруг собственного центра масс и вокруг общего центра О радиусом R с угловой скоростью ω (рис. 5.7): полуоборот стержня за один оборот вокруг общей оси.

Рис. 5.7.

Аналогично предыдущему случаю для вычисления выбираем только m1 и m2, так как для m3 и m4 решение аналогичное. Приблизительную оценку действующих сил инерции произведём при ℓ = 2R с использованием средних значений угловой скорости относительно центра О, а также средних значений расстояния от грузов до центра О. Очевидно, угловая скорость первого груза в начале будет 1,5ω второго груза 0,5ω , а через полуоборот у обоих ω. Расстояние от первого груза до центра О в начале 2R от второго груза 0, а через полуоборот от каждого R Ö 2.

Рис. 5.8.

Причём в интервале 0 ° £ Ψ£ 36 ° (рис. 5.8) центробежные силы складываются в направлении оси Х, в интервале 36 ° £ Ψ£ 72 ° (рис. 5.8, рис. 5.9) из силы первого тела вычитается сила второго и их разность действует по оси Х, в интервале 72 ° £ Ψ£ 90 ° (рис. 5.9) силы складываются и действуют противоположно оси Х.

Рис. 5.9.

Определим средние значения угловой скорости и радиусов грузов за полуоборот.

Средняя угловая скорость первого груза

ω СР 1 = (ω + 0,5ω + ω)/2 = 1,25ω. (5.3.1)

Средняя угловая скорость второго груза

ω СР 2 = (ω - 0,5ω + ω)/2 = 0,75ω. (5.3.2)

Средний радиус первого груза

R СР 1 = (2R + R Ö 2)/2 = R (2 + Ö 2)/2. (5.3.3)

Средний радиус второго груза

R СР 2 =(0 + R Ö 2)/2 = (R Ö 2)/2. (5.3.4)

Проекция центробежной силы, действующей на первый груз в направлении оси Х, будет

F 1 = mω 2 СР 1 R СР 1 cos(Ψ /2)sin2Ψ » 2,67mω 2 R cos(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.5)

Проекция центробежной силы, действующей на второй груз в направлении оси Х, будет

F 2 = mω 2 СР 2 R СР 2 sin(Ψ /2)sin2Ψ » 0,4mω 2 R sin(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.6)

° £ Ψ£ 36 ° составит

0,2 π

F СР 1 + 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ » 1,47mω 2 R. (5.3.7)

Среднее значение разности проекций центробежных сил первого и второго грузов в интервале 36 ° £ Ψ£ 72 ° составит

0,4 π

F СР 1 - 2 = (1/0,2 π) ∫(F 1 - F 2) dΨ » 1,95mω 2 R. (5.3.8)

0,2 π

Среднее значение суммы проекций центробежных сил первого и второго грузов в интервале 72 ° £ Ψ£ 90 ° составит

0,5 π

F СР- (1 + 2) = - (1/0,1 π) ∫(F 1 + F 2)dΨ » -3,72mω 2 R. (5.3.9)

0,4 π

Среднее значение суммы проекций центробежных сил первого и второго грузов в интервале 0 ° £ Ψ£ 90 ° составит

F СР = (2F СР 1 + 2 + 2F СР 1 – 2 + F СР- (1 + 2))/5 » 0,62mω 2 R. (5.3.10)

Аналогично вычисляется сумма проекций центробежных сил для третьего и четвёртого грузов.

Для устранения вращающего момента необходимо применить ещё одну пару стержней, но вращающихся в противоположную сторону относительно собственного центра масс и относительно общей оси вращения, тогда окончательно сила тяги будет

F Т = 4F СР = 2,48mω 2 R. (5 .3.11)

Пусть m = 0,1кг; ω =2 πf, где f = 10об/с; R = 0,25м, тогда F Т ≈ 245Н.

§6. Фазовая сила инерции.

Для реализации фазовой силы инерции в качестве поступательной используем двухкривошипный шарнирный четырёхзвенник, чтобы преобразовать равномерное вращение двигателя в неравномерное вращение грузов по определённому режиму с оптимизацией характера движения грузов для эффективного использования сил инерции, а соответствующим выбором взаимного расположения грузов, компенсировать обратный импульс

Шарнирный четырёхзвенник будет двухкривошипным, если межцентровое расстояние АГ (Рис.6.1) будет меньше длины любого подвижного звена, а сумма межцентрового расстояния и длины наибольшего из подвижных звеньев будет меньше суммы длин двух других звеньев.

Рис. 6.1.

Звено ВГ (рычаг), на котором закреплён груз массой m, является ведомым кривошипом на неподвижном валу Г, а звено АБ ведущим. Звено А – это вал двигателя. Звено БВ является шатуном. Соотношение длин шатуна и ведущего кривошипа выбирается таким, чтобы при достижении грузом крайней точки Д был прямой угол между шатуном и ведущим кривошипом, что обеспечивает максимальный КПД. Тогда при равномерном вращении вала двигателя А с ведущим кривошипом АБ с угловой скоростью w шатун БВ передает движение ведомому кривошипу ВГ, замедляя его. Таким образом, груз замедляется от точки Е до точки Д по верхней полуокружности. В этом случае сила инерции действует по направлению движения груза. Рассмотрим движение груза в противоположной полуокружности (Рис. 6.2), где шатун, выпрямляясь, ускоряет груз.

Рис. 6.2.

В этом случае сила инерции действует против направления движения груза, совпадая с направлением силы инерции в первой полуокружности. Объединённая схема движителя показана на рисунке 6.3.

Рис. 6.3.

Ведущие кривошипы АБ и А¢ Б¢ жёстко соединены по прямой на валу двигателя, а ведомые кривошипы (рычаги) независимо друг от друга вращаются на неподвижном валу. Продольные составляющие сил инерции в направлении от точки Е до точки Д верхнего груза и нижнего складываются, обеспечивая поступательное движение. Обратный импульс отсутствует, так как грузы вращаются в одном направлении и, в среднем, симметрично противоположно расположены.

Проведём оценку действующей фазовой силы инерции.

Пусть АБ = БВ = r, ГВ = R.

Предположим, что в крайнем правом положении угол Ψ между радиусом R и средней линией ДЕ равен 0° (Рис.6.4) и

r + r – АГ = R, (6 .1)

а также в крайнем левом положении при Ψ =180° (Рис.6.5) угол

Ð АБВ = 90° . (6 .2)

Тогда, исходя из этих условий, легко определить, что предположения выполняются при следующих значениях

r = 2R/(2+Ö 2), (6 .3)

АГ = (3 - 2Ö 2)R. (6 .4)

Теперь определим угловые скорости в крайнем правом и левом положениях. Очевидно, в правом положении угловые скорости АГ и ГВ совпадают и равны w .

Рис. 6.4.

В левом положении угловая скорость w ГВ будет, очевидно, равна

w ГВ = (180° /225° )w . (6 .5)

Приращение угловой скорости ∆w за время ∆t = 225° /w = 5π/4w составит

∆w = w ГВ - w = - 0,2w . (6 .6)

Пусть угловое ускорение будет равнозамедленное, тогда

dω/dt = ∆w /∆t = - 0,16w 2 / π. (6 .7)

Воспользуемся формулой фазовой силы инерции (2.8) в скалярном виде

F ф = -m [(dω/dt)R] = 0,16mw 2 R/ π. (6.8)

Рис. 6.5.

Проекция фазовой силы инерции в направлении ЕД будет

F фЕД = 0,16mw 2 RsinΨ/π. (6.9)

Среднее значение проекции фазовой силы инерции за полупериод

F СР = 0,16mω 2 R/ π 2) ∫ sinΨdΨ = 0,32mω 2 R/ π 2 . (6.10)

Для двух грузов (рис.6.3) сила удваивается. Для устранения вращающего момента необходимо применить ещё одну пару грузов, но вращающихся в противоположную сторону. Окончательно, сила тяги для четырёх грузов составит

F Т = 4F СР = 1,28mω 2 R/ π 2 . (6.11)

Пусть m = 0,1кг; ω =2 πf, где f = 10об/с; R = 0,5м, тогда F Т = 25,6Н.

§7. Гироскоп. Кориолисова и центробежная сила инерции.

Рассмотрим колебательное движение груза массойm по полуокружности (рис.7.1) радиусом R с линейной скоростью v.Центробежная сила инерцииFц, действующая на груз массой mбудет равна m v 2 /R, направлена по радиусу от центра О. Проекция центробежной силы на ось Х будет равна

F ц׀׀ = (m v 2 /R) sin α. (7.1)

Груз должен двигаться с ускорением w по окружности, чтобы центробежная сила была действующей для поступательного движения системы, а так как v = wt, тогда

F ц׀׀ = (m w 2 t 2 /R) sin α, (7.2)

где t – время.

Рис. 7.1.

Из-за инертности груза на краях полуокружности появляется обратный импульс, который препятствует поступательному движению системы в направлении оси Х.

Известно, что при воздействии силы, изменяющей направление оси гироскопа, он прецессирует под воздействием кориолисовой силы, причём это движение безинерционно. То есть при мгновенном приложении силы, изменяющей направление оси вращения, гироскоп мгновенно начинает прецессировать и так же мгновенно останавливается при исчезновении этой силы . Вместо груза применяем гироскоп, вращающийся с угловой скоростьюω. Теперь приложим силу F перпендикулярно к оси вращения гироскопа (рис.7.2) и будем воздействовать на ось так, чтобы держатель с гироскопом совершал безинерционное колебательное движение (прецессировал) в определённом секторе (в оптимальном случае с конечным значением α = 180°). Мгновенная остановка прецессии держателя с гироскопом и возобновление её в обратную сторону происходит, когда направление силы F меняется на противоположное. Таким образом, происходит колебательное безинерционное движение держателя с гироскопом, что исключает обратный импульс, препятствующий поступательному движению по оси Х.

Рис. 7.2.

Угловая скорость прецессии

dα /dt = M / I Z ω, (7.3)

где: М – момент силы; I Z – момент инерции гироскопа; ω – угловая скорость гироскопа.

Момент силы (подразумевается, что ℓ перпендикулярно F)

М = ℓ F, (7.4)

где: ℓ – расстояние от точки приложения силы F до центра инерции гироскопа; F – сила, приложенная к оси гироскопа.

Подставим (7.4) в (7.3) получим

dα /dt = ℓ F / I Z ω, (7.5)

В правой части формулы (7.5) составляющие ℓ , I Z , ω считаем постоянными, а сила F, в зависимости от времени t, пусть меняется по кусочно-линейному закону (рис.7.3).

Рис. 7.3.

Известно, что линейная скорость связана с угловой скоростью следующим соотношением

v = R (dα /dt). (7.6)

Дифференцируя по времени формулу (7.6) получим ускорение

w = R (d 2 α /dt 2). (7.7)

Подставим формулу (7.5) в формулу (7.7) получим

w = (R ℓ / I Z ω ) (dF/dt) . (7.8)

Таким образом, ускорение зависит от скорости изменения силы F, что делает центробежную силу действующей для поступательного движения системы.

Следует отметить, что при большой угловой скорости ω и dα /dt << ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .

Для компенсации перпендикулярной проекции центробежной силы Fц ┴ применяем второй такой же гироскоп, совершающий колебательное движение синхронно в противофазе с первым гироскопом (рис.7.4). Проекция центробежной силы Fц ┴ у второго гироскопа будет направлена встречно проекции у первого. Очевидно, что перпендикулярные составляющие Fц ┴ скомпенсируются, а параллельные Fц׀׀ сложатся.

Рис. 7.4.

Если сектор колебаний гироскопов будет не более полуокружности, то не будет возникать противоположная центробежная сила, уменьшающая центробежную силу в направлении оси Х.

Для устранения вращающего момента устройства, возникающего из-за принудительного вращения оси гироскопов, необходимо установить ещё одну пару таких же гироскопов, оси которых вращаются в противоположную сторону. Секторы колебательного движения держателей с гироскопами в паре, оси гироскопов которых вращаются в одну сторону, должны быть симметрично направлены в одну сторону с секторами держателей с гироскопами, оси гироскопов которых вращаются в другую сторону (рис.7.5).

Рис. 7.5.

Вычислим среднее значение проекции Fц׀׀ центробежной силы для одного гироскопа (рис.7.2) на держателе, колеблющегося в секторе полуокружности от 0 до π и обозначим это значение через Fп

Fп = (1/ π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7.9)

Для четырёх гироскопов на держателях среднее значение поступательной силы Fп за каждый полупериод будет:

Fп = 8m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)

Пусть масса держателя намного меньше массы гироскопа, а масса гироскопа m = 1кг. Ускорение w = 5м/с 2 , причём ускорение гироскопа на порядок больше ускорения системы, тогда можно не учитывать небольшой интервал отсутствия действия центробежной силы в центре. Время нарастания скорости t = 1с. Радиус (длина) держателя R = 0,5м. Тогда по формуле (7.10) поступательная сила будет Fп = 8∙ 1∙ 5 2 ∙1 2 /0,5 π ≈ 127Н.

Литература

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 14-е изд., – М.: ООО «Большая медведица», АПП «Джангар», 2001, 864с.

2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ., 2010, 560с.

3. Шипов Г.И. Теория физического вакуума. Теория эксперименты и технологии. 2-е изд., – М.:Наука, 1996, 456с.

4.Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков: Учебное пособие. 4-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2009, 576с.

5.Справочник по физике для инженеров и студентов вузов / Б.М.Яворский, А.А.Детлаф, А.К.Лебедев. – 8-е изд.,перераб. и испр. – М.: ООО «Издательство Оникс», «Издательство «Мир и Образование», 2008, 1056с.

6.Хайкин С.Э. Физические основы механики, 2-е изд., испр. и доп. Учебное пособие. Главная редакция физико-математической литературы. М.: Наука, 1971, 752с.

7.Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: ФАЗИС, 1997, 554с.

8.Александров Н.В. и Яшкин А.Я. Курс общей физики. Механика. Учеб. пособие для студентов заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М., «Просвещение», 1978, 416с.

9. Геронимус Я. Л. Теоретическая механика (очерки об основных положениях): Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973г., 512с.

10.Курс теоретической механики: учебник / А.А.Яблонский, В.М.Никифорова. – 15-е изд., стер. – М.: КНОРУС, 2010, 608с.

11.Турышев М.В., О движении замкнутых систем, или при каких условиях не выполняется закон сохранения импульса, «Естественные и технические науки», №3(29), 2007, ISSN 1684-2626.

12. Айзерман М.А. Классическая механика: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, 368с.

13. Яворский В.М., Пинский А.А. Основы физики: Учебн. В 2 т. Т.1. Механика, Молекулярная физика. Электродинамика / Под ред. Ю.И.Дика. – 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. – 576с.

14. Киттель Ч., Найт В., Рудерман М. Механика: Учебное руководство: Пер. с англ./Под ред. А.И.Шальникова и А.С.Ахматова. – 3-е изд., испр. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1983. – (Берклеевский курс физики, Том 1). – 448с.

15.Толчин В. Н., Инерцоид, Силы инерции как источник поступательного движения. Пермь. Пермское книжное издательство, 1977, 99с.

16.Фролов А.В. Вихревой движитель, «Новая энергетика», №3 (18), 2004, ISSN 1684-7288.

17.Берников В.Р. Некоторые следствия из основного закона механики, «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №5 (71), 2012, ISSN 1991-3087.

18.Берников В.Р. Силы инерции и ускорение, «Научная перспектива», №4, 2012, ISSN 2077-3153.

19.Берников В.Р. Силы инерции и их применение, «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №11 (65), 2011, ISSN 1991-3087.

Инертность - способность сохранять свое состояние неизмен­ным, это внутреннее свойство всех материальных тел.

Сила инерции - сила, возникающая при разгоне или торможе­нии тела (материальной точки) и направленная в обратную сторо­ну от ускорения. Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» - телам, связанным с разгоняющимся или тормозящимся телом.

Рассчитано, что сила инерции равна

F ин = | m*a|

Таким образом, силы, действующие на материальные точки m 1 и m 2 (рис. 14.1), при разгоне платформы соответственно равны

F ин1 = m 1 *a ; F ин2 = m 2 *a

Разгоняющееся тело (плат­форма с массой т (рис. 14.1)) силу инерции не воспринимает, иначе разгон платформы вооб­ще был бы невозможен.

При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нормального а п и касательного а t (рис. 14.2).

Поэтому при рассмотрении кри­волинейного движения могут воз­никнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная

a = a t + a n ;

При равномерном движении по дуге всегда возникает нормаль­ное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги (рис. 14.3).

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)

Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач.

Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разго­няющимся телом (к связям).

Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к ак­тивно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к ма­териальной точке, становится уравновешенной, и можно при реше­нии задач динамики использовать уравнения статики.

Принцип Даламбера:

Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии;

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механика

Теоретическая механика.. лекция.. тема основные понятия и аксиомы статики..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Задачи теоретической механики
Теоретическая механика - наука о механическом движении материальных твердых тел и их взаимодействии. Механическое дви­жение понимается как перемещение тела в пространстве и во време­ни по от

Третья аксиома
Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешенную систему сил (принцип отбрасывания систе­мы сил, эквивалентной нулю) (рис. 1.3). Р,=Р2 Р,=Р.

Следствие из второй и третьей аксиом
Силу, действующую на твер­дое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия (рис. 1.6).

Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела. Все тела делятся на свободные и связанные. Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.

Жесткий стержень
На схемах стержни изображают толсто сплошной линией (рис. 1.9). Стержень може

Неподвижный шарнир
Точка крепления пере­мещаться не может. Стер­жень может свободно повора­чиваться вокруг оси шарни­ра. Реакция такой опоры про­ходит через ось шарнира, но

Плоская система сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пе­ресекаются в одной точке, называется сходя­щейся (рис. 2.1).

Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно опреде­лить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я ак­сиома) (вис. 2.2).

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил
При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого. Если

Решение задач на равновесие геометрическим способом
Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считать абсолютно твердым (отвердевшим). Порядок решения задач:

Решение
1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а). Определяем возможные направления реакций связе

Проекция силы на ось
Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

Сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геоме­трическим способом. Выберем систему координат, определим про­екции всех зада

Сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим: Усл

Пара сил, момент пары сил
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направлен­ных в разные стороны. Рассмотрим систему сил (Р; Б"), образую­щих пару.

Момент силы относительно точки
Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вра­щение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом. Момент силы отн

Теорема Пуансо о параллельном переносе сил
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

Расположенных сил
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произ­вольно вы

Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. При изменении поло­жения точки приведения величина главного вектора не изменится. Величина главного момента при переносе точки приведения из­менится,

Плоской системы сил
1. При равновесии главный вектор системы равен нулю. Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной

Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 7.1 а). MOO

Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно пер­пендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, век­тор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2

Пространственная сходящаяся система сил
Пространственная сходящаяся система сил - система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересе­каются в одной точке. Равнодействующую пространственной системы си

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О. Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует­ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен

Центр тяжести однородных плоских тел
(плоских фигур) Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V =

Определение координат центра тяжести плоских фигур
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии. Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Поло­жения центров тяжести простых геометрических фигур могут

Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.Знать способы задания движения точки (естественный и координатный). Знать обозначения, едини

Пройденный путь
Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение - S, единицы измерения - метры. Уравнение движения точки: Уравнение, определяющ

Скорость движения
Векторная величина, характеризующая в данный момент бы­строту и направление движения по траектории, называется скоро­стью. Скорость - вектор, в любой момент направленный по к

Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки. Скорость точки при перемещении из точки М1

Равномерное движение
Равномерное движение - это движение с постоянной скоро­стью: v = const. Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1 а)

Равнопеременное движение
Равнопеременное движение - это движение с постоянным ка­сательным ускорением: at = const. Для прямолинейного равнопеременного движения

Поступательное движение
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается парал­лельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2). При

Вращательное движение
При вращательном движении все точки тела описывают окруж­ности вокруг общей неподвижной оси. Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.

Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна): ω =const Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име­ет вид:

Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки A , расположенной на расстоянии RA от оси вращения (рис. 11.6, 11.7). Путь

Решение
1. Участок 1 - неравномерное ускоренное движение, ω = φ’ ; ε = ω’ 2. Участок 2 - скорость постоянна - движение равномерное, . ω = const 3.

Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разло­жить на несколько простых. Простыми движениями считают посту­пательное и вращательное. Для рассмотрения сложного движения точ

Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются парал­лельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета

Поступа­тельное и вращательное
Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное от­носительно этого полюса. Разложение используют для опред

Центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение пред­ставляют в виде цепи вращений вокруг разных центров. Задача

Аксиомы динамики
Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были и

Понятие о трении. Виды трения
Трение - сопротивление, возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел воз­никает трение скольжения, при качении - трение качения. Природа сопро

Трение качения
Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения. Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном дефор­мируется грунт, и

Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша­ются с помощью основного закона динамики. Материальные то

Решение
Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Ре­акция в опоре R. Прикладываем силу инерции в обратную от ускоре­ния сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу

Работа равнодействующей силы
Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М1 в положение M 2 (рис. 15.7). В случае движения под действием системы сил пользуютс

Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты соверше­ния работы введено понятие мощности. Мощность - работа, выполненная в единицу времени:

Мощность при вращении
Рис. 16.2 Тело движется по дуге радиуса из точки М1 в точку М2 М1М2 = φr Работа силы

Коэффициент полезного действия
Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений. Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы совершает еще и дополнитель

Теорема об изменении количества движения
Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость mv. Вектор количества движения совпадает по

Теорема об изменении кинетической энергии
Энергией называется способность тела совершать механиче­скую работу. Существуют две формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия,

Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой. Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая

Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Оz с угловой скоростью

Напряжения
Метод сечений позволяет определить величину внутреннего си­лового фактора в сечении, но не дает возможности установить за­кон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочно­сти н

Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр
Иметь представление о продольных силах, о нормальных на­пряжениях в поперечных сечениях. Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения

Продольных сил
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а). Делим брус на участки нагружения. Участком нагружения с

Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке опре­деления осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.

Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1). Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать получе

Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции сечения называется взятая ковсей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:

Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой реи, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей пло­щади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния

Полярный момент инерции сечения
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произве­дений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:

Моменты инерции простейших сечений
Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2) Представим прямо

Полярный момент инерции круга
Для круга вначале вычисляют поляр­ный момент инерции, затем - осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Деформации при кручении
Кручение круглого бруса происходит при нагружении его па­рами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ,

Гипотезы при кручении
1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпен- дикулярное продольной оси, после деформацииостается плоским и перпендикулярным продольной оси.

Внутренние силовые факторы при кручении
Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент. Внешними нагрузками также являются две про

Эпюры крутящих моментов
Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бру­са сетку из продольных и попе­речных линий и рассмотрим рису­нок, образовавшийся на поверхно­сти после Рис. 27.1а деформации (рис. 27.1а). Поп

Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности. Определим максимальное напряж

Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность 1. Проектировочный расчет - определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

Расчет на жесткость
При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

Основные определения
Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в по­перечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор -изгибающий момент. Брус, работающий на

Внутренние силовые факторы при изгибе
Пример 1.Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя сила F (рис. 29.3а). Для определения вну­тренних силовых факторов пользуемся методом с

Изгибающих моментов
Поперечная сила в сече­нии считается положитель­ной, если она стремится раз­вернуть се

Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов су­щественно упрощается при использовании дифференциальных зави­симостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интен­сивностью равномерн

Методом сечения Полученное выражение можно обобщить
Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на балку до рассматриваемого сечения: Q = ΣFi Поскольку речь идет

Напряжения
Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой F (рис. 33.1).

Напряженное состояние в точке
Напряженное состояние в точке характеризуется нормальны­ми и касательными напряжениями, возникающими на всех площад­ках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточ­но определить напр

Понятие о сложном деформированном состоянии
Совокупность деформаций, возникающих по различным напра­влениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, опре­деляют деформированное состояние в этой точке. Сложное деформи

Расчет круглого бруса на изгиб с кручением
В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кру­чения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих слу­чаях возника

Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии
Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т.к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного сечения под дей

Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускае­мой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

Расчет по формуле Эйлера
Задачу определения критической силы математиче­ски решил Л. Эйлер в 1744 г. Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 36.2) формула Эйлера имеет вид

Критические напряжения
Критическое напряжение - напряжение сжатия, соответству­ющее критической силе. Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле

Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих де­формаций. Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала. Пред

Явление, которому посвящена наша сегодняшняя беседа, встречается в разных жизненных ситуациях. Мы с удовольствием его используем, учитываем и частенько ругаем.

Речь пойдет об инерции. Постараемся разобраться, что скрывается за этим названием.

Что же такое инерция

Наблюдая полёт копья, брошенного рукой атлета, падение всадника через голову споткнувшейся лошади; созерцая камни, веками неподвижно лежащими на одних и тех же местах - греческие мыслители задумывались, что общего в этих явлениях?

Данная им формулировка явления инерции известна как I закон Ньютона.

«Инер­ция - это фи­зи­че­ское яв­ле­ние со­хра­не­ния ско­ро­сти тела по­сто­ян­ной, если на него не дей­ству­ют дру­гие тела или их дей­ствие ском­пен­си­ро­ва­но».

Это означает, что, благодаря инерции, тела, находящиеся в покое, продолжают покоиться, а движущиеся продолжают свое движение, пока на них не окажут воздействие внешние силы.

Например, автомобиль может находиться в покое в двух случаях, если на горизонтальном участке дороги его двигатель выключен, либо его двигатель включен, но силы сопротивления уравновесили силу тяги двигателя, т. е. скомпенсировали её.

Теперь вернемся к нашему всаднику, перелетающему через голову споткнувшейся лошади. Лошадь, споткнувшись, резко теряет скорость, а невезучий всадник… по инерции продолжает движение.

По этой же причине при ДТП водитель, пренебрегающий ремнями безопасности, получает удар о лобовое стекло.

Почему, поскользнувшись при ходьбе, мы падаем назад? Тело по инерции сохраняет прежнюю скорость, а ноги на скользком участке быстренько «убегают» вперед.

Формула силы инерции

Количественной характеристикой явления инерции является сила инерции.

Для расчета этой силы используют формулу:

• F ин - сила инерции;
• m - масса тела;
• a - ускорение.

Знак минус указывает на то, что сила инерции противодействует силе, вызвавшей изменение скорости тела.

Понятие инертности в физике

Итак, инерция - это физическое явление. С ним тесно связано еще одно понятие - инертность. Под инертностью в физике понимают свойства тел противодействовать мгновенному изменению направления или скорости движения.

Любое тело не может мгновенно изменить свою скорость, однако, одни тела это делают быстрее, другие - медленнее. Для остановки гружёного и порожнего самосвалов, движущихся с одинаковой скоростью, требуется разное время.

Это происходит потому, что тело с большей массой более инертно, и ему на изменение скорости требуется больше времени. То есть мерой инертности в физике является масса тела.

Инертные люди, инертные газы

Термин «инертный» широко используется в химии. Он относится к химическим элементам, которые при обычных условиях не вступают в химические реакции. Например, благородные газы аргон, ксенон и др.

Этот термин может быть применен и к поведению человека. Инертные люди отличаются равнодушием к окружающему миру. Они противятся любым переменам, как в их собственной судьбе, так и в работе. Они ленивы и безынициативны.

Инертность вращающихся объектов

Все приведенные ранее примеры относились к поступательно движущимся телам. А как же быть с вращающимися объектами? Скажем, с вентилятором, с маховиком в двигателе внутреннего сгорания или детской игрушке. Ведь после выключения электрического вентилятора его лопасти ещё некоторое время по инерции продолжают крутиться.

Насколько тела инертны во время вращения определяет момент инерции. Он зависит от массы тела, его геометрических размеров и расстояния до оси вращения. Изменение этого расстояния влияет на скорость вращения тела. Это используют спортсмены - фигуристы, поражая зрителей продолжительным вращением с изменением скорости.

Специальные расчёты позволяют определить оптимальные размеры механизма и допустимую скорость вращения, чтобы не допустить разрыва вращающихся частей.

Т.е. момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса при поступательном движении. Но в отличие от массы момент инерции можно изменять, как это делают фигуристы - то широко разводя руки, то прижимают их к груди.

Инерция вокруг нас

Именно это явление используют:

• для сбрасывания ртутного столбика в медицинском термометре и выбивания пыли из ковров;
• для продолжения движения после разбега на коньках, лыжах, велосипеде;
• для экономии горючего при езде на автомобиле;
• в принципе работы артиллерийских детонаторов и т. д.

Это лишь небольшая часть из всех применений инерции. Но не следует забывать о возможной опасности, которую таит это явление природы. Надпись на заднем борту грузовика «Водитель, сохраняй дистанцию», напоминает, что транспорт мгновенно остановить нельзя.

И при торможении впереди едущего автомобиля, следующая за ним машина, остановиться мгновенно не может. По этой же причине категорически запрещено перебегать дорогу перед движущимся транспортом.

Теперь вы легко ответите на вопрос, почему при торможении автомобилей обязательно включается задний красный свет, почему при повороте водитель обязательно сбрасывает скорость.

В спортзале и на катке, в цирке и в мастерской - инерция сопровождает нас всюду. Присмотритесь.

Если это сообщение тебе пригодилось, буда рада видеть тебя

Эта тема будет посвящена рассмотрению особого вида сил – сил инерции. Особенность этих сил состоит в следующем. Все механические силы – будь то силы гравитационного, упругого взаимодействия или силы трения – возникают тогда, когда на тело имеет место воздействие со стороны других тел. С силами инерции дело обстоит иначе.

Для начала вспомним, что такое инерция. Инерция – это физическое явление, состоящее в том, что тело всегда стремится сохранить свою первоначальную скорость. И силы инерции возникают тогда, когда у тела изменяется скорость – т.е. появляется ускорение. В зависимости от того, в каком движении принимает участие тело, у него возникает то или иное ускорение, и оно порождает ту или иную силу инерции. Но все эти силы объединяет одна и та же закономерность: сила инерции всегда направлена противоположно ускорению ее породившему.

По своей природе силы инерции отличаются от других механических сил. Все остальные механические силы возникают в результате воздействия одного тела на другое. Тогда как силы инерции обусловлены свойствами механического движения тела. Кстати, в зависимости от того, в каком движении участвует тело, возникает та или иная сила инерции:

Движение может быть прямолинейным, и тогда речь пойдет о силе инерции поступательного движения;

Движение может быть криволинейным, и тогда речь пойдет о центробежной силе инерции;

Наконец, движение может быть одновременно и прямо-, и криволинейным (если тело перемещается во вращающейся системе или перемещается, вращаясь), и тогда речь пойдет о силе Кориолиса.

Рассмотрим подробнее виды сил инерции и условия их возникновения.

1. СИЛА ИНЕРЦИИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯF i . Она возникает, когда тело движется по прямолинейной траектории. Мы постоянно сталкиваемся с действием этой силы в транспорте, движущемся по прямой дороге, при торможении и при наборе скорости. При торможении нас бросает вперед, т.к. скорость движения резко уменьшается, а наше тело старается сохранить ту скорость, которая у него была. При наборе скорости нас вдавливает в спинку сидения по той же причине. На рис. 2.1

Изображены направления ускорения и силы инерции поступательного движения в случае уменьшения скорости: ускорение направлено противоположно движению, а сила инерции направлена противоположно ускорению. Формула силы инерции задается вторым законом Ньютона: . Знак «минус» обусловлен тем, что векторы и имеют противоположные направления. Численное значение (модуль) этой силы соответственно вычисляется по формуле:

F = ma (3.1)

2. ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА ИНЕРЦИИF i . Чтобы понять, как возникает эта сила, рассмотрим рис. 3.2, на котором изображен диск, вращающийся в горизонтальной плоскости, с шариком, прикрепленным к центру диска посредством растяжимой связи (например, резинки). Когда диск начинает вращаться, шарик стремится удалиться от

центра и натягивает резинку. Причем чем быстрее вращается диск, тем дальше удаляется шарик от центра диска. Такое перемещение шарика по плоскости диска обусловлено действием силы, которая называется центробежной силой инерции (F цб) . Таким образом, центробежная сила возникает при вращении и направлена вдоль радиуса от центра вращения.F цб является силой инерции, а значит ее возникновение обусловлено наличием ускорения, которое должно быть направлено противоположно этой силе. Если центробежная сила направлена от центра, то очевидно, что причиной возникновения этой силы является нормальное (центростремительное) ускорение а n , ведь именно оно направлено к центру вращения (см. Тема 1, §1.2, п.3). Исходя из этого, получаем формулу центробежной силы. Согласно второму закону Ньютона F=ma , где m – масса тела. Тогда для центробежной силы инерции справедливо соотношение:

F цб = ma n .

Учитывая (1.18) и (1.19), получаем:

(3.2) и F цб = mω 2 r (3.3).

3. СИЛА КОРИОЛИСА F K . При совмещении двух видов движения: вращательного и поступательного – появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса (или кориолисовой силой) по имени французского механика Густава Гаспара Кориолиса (1792-1843), который дал расчет этой силы.

Появление кориолисовой силы можно обнаружить на примере опыта, изображенного на рис. 3.3. Ни нем изображен диск, вращающийся в горизонтальной

Рис. 3.3 вид сверху

плоскости. Прочертим на диске радиальную прямую ОА и запустим в направлении от О к А шарик со скоростью υ. Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой. Если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться вдоль изображенной пунктиром кривой ОВ, причем его скорость υ будет изменять свое направление (см. рис.3.3 (б)). Следовательно, по отношению ко вращающейся системе отсчета (а в данном случае это диск) шарик ведет себя так, как если бы на него действовала некая сила, перпендикулярная скорости υ. Это и есть сила Кориолиса F K . Именно она заставляет шарик отклоняться от прямолинейной траектории ОА. Формула, которая описывает эту силу определяется опять же вторым законом Ньютона, только на этот раз в качестве ускорения выступает так называемое кориолисово ускорениеа К : ,F K =2mυω (3.5).

Итак, как уже было сказано, чтобы сила Кориолиса проявила себя, необходимо совместить 2 вида движения. И здесь возможны два варианта: 1). Тело движется относительно вращающейся системы отсчета. Именно этот случай изображен на рис.3.3. 2). Вращающееся тело совершает поступательное движение В качестве примера можно рассматривать так называемые «крученые» мячи – прием, используемый в футболе – когда удар по мячу осуществляется так, что он во время полета вращается.