Модные тенденции и тренды. Аксессуары, обувь, красота, прически

СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

М.М. Гхашим, Т.В.Чернэуцану

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Учебное пособие

Утверждено

ученым советом института

Севастополь

Гхашим М.М., Т.В.Чернэуцану

Случайные функции: учеб.-метод. пособие. – Севастополь: СевГУ, 2015.

В данном пособии рассмотрены три основных раздела: « », « », « ». Каждый из разделов включает в себя основные вопросы теории, разбор типовых примеров, задания для самостоятельной работы с ответами к ним.

предназначено для студентов третьего курса при изучении темы « ».

Рецензенты:

к.ф.-м..,

к.т.н, доцент

нк.ф.-м.н доцент

© Издание СевГУ, 2015

§ 1. Понятие о случайной функции……………………………………

§ 2. Характеристики случайных функций……………………………

§ 3. Оператор динамической системы……………………………….

§ 4. Линейные преобразования случайных функций………………

§ 5. Стационарные случайные процессы ……………………

§ 6. Спектральное разложение стационарной случайной функции………

§ 7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций………….

Решение типовых задач………………………………………………..

Задачи для самостоятельного решения………………………………

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………

Случайные функции

Понятие о случайной функции.

В курсе теории вероятностей основным предметом исследования были случайные величины, которые характеризовались тем, что в результате опыта принимали некоторое одно, заранее неизвестное, но единственное значение. Т.е., случайные явления изучались как бы в «статике», в каких-то фиксированных постоянных условиях отдельного опыта. Однако на практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Например, угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения, и т.д. В принципе, любые системы с автоматизированным управлением предъявляют определенные требования к соответствующей теоретической базе – теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно действующих случайных возмущений или «помех». Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Итак:

Определение . Случайной функцией X (t ) называют функцию неслучайного аргумента t , которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией X (t ) в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Пример . Самолет на воздушном курсе имеет теоретически постоянную воздушную скорость V . Фактически его скорость колеблется около этого среднего номинального значения и представляет собой случайную функцию времени. Полет можно рассматривать как опыт, в котором случайная функция V (t ) принимает определенную реализацию (Рис.1).

От опыта к опыту вид реализации меняется. Если на самолете установлен самописец, то он в каждом полете запишет новую, отличную от других, реализацию случайной функции. В результате нескольких полетов можно получить семейство реализаций случайной функции V (t ) (Рис.2).

На практике встречаются случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких, например, состояние атмосферы (температура, давление, ветер, осадки). В данном курсе мы будем рассматривать только случайные функции одного аргумента. Так как этим аргументом чаще всего является время, будем обозначать его буквой t . Кроме того, условимся обозначать случайные функции большими буквами (X (t ), Y (t ), …) в отличие от неслучайных функций (x (t ), y (t ), …).

Рассмотрим некоторую случайную функцию X (t ). Предположим, что над ней произведено n независимых опытов, в результате которых получено n реализаций, которые мы обозначим соответственно номерам опытов x 1 (t ), x 2 (t ), …, x n (t ). Очевидно, каждая реализация есть обычная (не случайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X (t ) превращается в не случайную функцию.

Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента t . В этом случае случайная функция X (t ) превратится в случайную величину.

Определение. Сечением случайной функции X (t ) называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.

Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. В дальнейшем часто будем попеременно рассматривать одну и ту же функцию X (t ) то как случайную функцию, то как случайную величину, в зависимости от того, рассматривается ли она на всем диапазоне изменения t или при его фиксированном значении.

Рассмотрим случайную величину X (t ) – сечение случайной функции в момент t . Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случае зависит от t . Обозначим его f (x , t ). Функция f (x , t ) называется одномерным законом распределения случайной функции X (t ).

Очевидно, функция f (x , t ) не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции X (t ), т.к. она характеризует только закон распределения X (t ) для данного, хотя и произвольного t и не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин X (t ) при различных t . С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции X (t ) является так называемый двумерный закон распределения : f (x 1 , x 2 ; t 1 , t 2). Это – закон распределения системы двух случайных величин X (t 1), X (t 2), т.е. двух произвольных сечений случайной функции X (t ). Но и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей. Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать все более полную характеристику случайной функции, но оперировать столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне затруднительно. В пределах данного курса мы вообще не будем пользоваться законами распределения, а ограничимся рассмотрением простейших характеристик случайных функций, аналогичных числовым характеристикам случайных величин.

Предварительные замечания. Найдем изображение Фурье от d -функции.

Очевидно, справедливо и обратное преобразование Фурье:

А также:

1. Пусть процесс представляет собой постоянную величину x(t)=A o . Как уже было выяснено ранее, корреляционная функция такого процесса равна Найдем спектральную плотность процесса путем прямого преобразования Фурье функции R(t):

Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположенной в начале координат. Таким образом, если в процессе присутствует только одна частота w =0, то это значит, что вся мощность процесса сосредоточена на этой частоте, что и подтверждает вид функции S(w). Если случайная функция содержит постоянную составляющую, т.е. среднее значение , то S(w) будет иметь разрыв непрерывности в начале координат и будет характеризоваться наличием d -функции в точке w =0.

2. Для гармонической функции X=A o sin(w 0 t+j) корреляционная функция:

Спектральная плотность равна

График S(w) будет иметь два пика типа импульсной функции, расположенных симметрично относительно начала координат при w= +w 0 и w= -w 0 . Это говорит о том, что мощность процесса сосредоточена на двух частотах +w 0 и -w 0 .

Если случайная функция имеет гармонические составляющие, то спектральная плотность имеет разрывы непрерывности в точках w = ±w 0 и характеризуется наличием двух дельта-функций, расположенных в этих точках.

Белый шум . Под белым шумом понимают случайный процесс, имеющий одинаковые значения спектральной плотности на всех частотах от -¥ до +¥ : S(w ) = Const.

Примером такого процесса при определенных допущениях являются тепловые шумы, космическое излучение и др. Корреляционная функция такого процесса равна

Таким образом R(t) представляет собой импульсную функцию, расположенную в начале координат.

Этот процесс является чисто случайным процессом, т.к. при любом t ¹0 отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной функции. Процесс с такой спектральной плотностью является физически нереальным, т.к. ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины:

Такому процессу соответствует бесконечно большая мощность и источник с бесконечно большой энергией.

2. Белый шум с ограниченной полосой частот. Такой процесс характеризуется спектральной плотностью вида

S(w)=C при ½w½ <w n ,

S(w) =0 при ½w½>w n .

где (-w n , w n) полоса частот для спектральной плотности.

Это такой случайный процесс, спектральная плотность которого остается практически постоянной в диапазоне частот, могущих оказать влияние на рассматриваемую систему управления, т.е. в диапазоне частот, пропускаемых системой. Вид кривой S (w ) вне этого диапазона не имеет значения, т.к. часть кривой, соответствующая высшим частотам, не окажет влияния на работу системы. Этому процессу соответствует корреляционная функция

Дисперсия процесса равна

5. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала принимают сигнал, график которого показан на рис.63. Скорость вращения задающего вала следящей системы сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени t 1 , t 2 ,...

Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона. Математическое ожидание

Рис.63. Типовой сигнал

График такого вида получается в первом приближении при слежении РЛС за движущейся целью. Постоянные значения скорости соответствуют движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.

Пусть m -среднее число перемен скорости за 1 с. Тогда Т=1/m будет среднее значение интервалов времени, в течение которых угловая скорость сохраняет свое постоянное значение. Применительно к РЛС это значение будет средним временем движения цели по прямой. Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения

При нахождении этого значения могут быть два случая.

1. Моменты времени t и t+t относятся к одному интервалу. Тогда среднее произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:

2. Моменты времениt и t+t относятся к разным интервалам. Тогда среднее произведения скоростей будет равно нулю, так как величины W(t) и W(t+t) для разных интервалов можно считать независимыми величинами:

Корреляционная функция равна:

где, Р 1 - вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале, а Р 2 =1- Р 1 вероятность нахождения их в разных интервалах.

Оценим величину Р 1 . Вероятность появления перемены скорости на малом интервале времени Dt пропорциональна этому интервалу и равна mDt или Dt/Т. Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же интервала будет равна 1-Dt/Т. Для интервала времени t вероятность отсутствия перемены скорости т.е. вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале постоянной скорости будет равна произведению вероятности отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Dt, т.к. эти события независимые. Для конечного промежутка получаем, что число промежутков равно t/Dt и

Перейдя к пределу, получим

Пусть над случайной функцией X(t) проведено п независимых опытов (наблюдений) и в результате получено п реализаций случайной функции (рис. 15.4.1).

Рис. 15.4.1

Требуется найти оценки для характеристик случайной функции: ее математического ожидания m x (t), дисперсии D x (t) и корреляционной функции K x (t,t).

Для этого рассмотрим ряд сечений случайной функции для моментов времени

и зарегистрируем значения, принятые функцией X(t) в эти моменты времени. Каждому из моментов /, t 2 , ..., t m будет соответствовать п значений случайной функции.

Значения /, I, t m обычно задаются равноотстоящими; величина интервала между соседними значениями выбирается в зависимости от вида экспериментальных кривых так, чтобы по выбранным точкам можно было восстановить основной ход кривых. Часто бывает так, что интервал между соседними значениями t задается независимо от задач обработки частотой работы регистрирующего прибора (например, темпом киноаппарата).

Зарегистрированные значения X(t) заносятся в таблицу, каждая строка которой соответствует определенной реализации, а число столбцов равно числу опорных значений аргумента (табл. 15.4.1).

Таблица 15.4.1

		X 2 (?2)		x 2 U k )		X 2 {ti)		x 2 (J m)
								%i (tm)
		X„{t 2)		X„(tk)		X„ (?,)

В таблице 15.4.1 в /-Й строке помещены значения случайной функции, наблюденной в /-й реализации (/-м опыте) при значениях аргумента, / 2 , ..., t m . Символом Xj(4) обозначено значение, соответствующее /-й реализации в момент t k .

Полученный материал представляет собой не что иное, как результаты п опытов над системой т случайных величин

и обрабатывается совершенно аналогично (см. подраздел 14.3). Прежде всего находятся оценки для математических ожиданий по формуле

затем - для дисперсий

и, наконец, для корреляционных моментов

В ряде случаев бывает удобно при вычислении оценок для дисперсий и корреляционных моментов воспользоваться связью между начальными и центральными моментами и вычислять их по формулам:

При пользовании последними вариантами формул, чтобы избежать разности близких чисел, рекомендуется заранее перенести начало отсчета по оси ординат поближе к математическому ожиданию.

После того, как эти характеристики вычислены, можно, пользуясь рядом значений m x (t {),m x (t 2), m x (t m), построить зависимость m x (t) (рис. 15.4.1). Аналогично строится зависимость О х (/). Функция двух аргументов K x (t,t") воспроизводится по ее значениям в прямоугольной сетке точек. В случае надобности все эти функции аппроксимируются какими-либо аналитическими выражениями.

15.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций

В предыдущем подразделе мы познакомились с методом непосредственного определения характеристик случайной функции из опыта. Такой метод применяется далеко не всегда. Во-первых, постановка специальных опытов, предназначенных для исследования интересующих нас случайных функций, может оказаться весьма сложной и дорогостоящей.

Во-вторых, часто нам требуется исследовать случайные функции, характеризующие ошибки приборов, прицельных приспособлений, систем управления и т.д., еще не существующих, а только проектируемых или разрабатываемых. При этом обычно исследование этих ошибок и предпринимается именно для того, чтобы рационально выбрать конструктивные параметры системы так, чтобы они приводили к минимальным ошибкам.

Ясно, что при этом непосредственное исследование случайных функций, характеризующих работу системы, нецелесообразно, а в ряде случаев вообще невозможно. В таких случаях в качестве основных рабочих методов применяются не прямые, а косвенные методы исследования случайных функций. Подобными косвенными методами мы уже пользовались при исследовании случайных величин: ряд глав нашего курса -10,11,12 - был посвящен нахождению законов распределения и числовых характеристик случайных величин косвенно, по законам распределения и числовым характеристикам других случайных величин, с ними связанных. Пользуясь совершенно аналогичными методами, можно определять характеристики случайных функций косвенно, по характеристикам других случайных функций, с ними связанных. Развитие таких косвенных методов и составляет главное содержание прикладной теории случайных функций.

Задача косвенного исследования случайных функций на практике обычно возникает в следующей форме.

Рис. 15.5.1

Имеется некоторая динамическая система А; под «динамической системой» мы понимаем любой прибор, прицел, счетно-решающий механизм, систему автоматического управления и т.п. Эта система может быть механической, электрической или содержать любые другие элементы. Работу системы будем представлять себе следующим образом: на вход системы непрерывно поступают какие-то входные данные; система перерабатывает их и непрерывно выдает некоторый результат. Условимся называть поступающие на вход системы данные «воздействием», а выдаваемый результат «реакцией» системы на это воздействие. В качестве воздействий могут фигурировать изменяющиеся напряжения, угловые и линейные координаты каких-либо объектов, сигналы или команды, подаваемые на систему управления, и т.п. Равным образом и реакция системы может вырабатываться в той или иной форме: в виде напряжений, угловых перемещений и т.д. Например, для прицела воздушной стрельбы воздействием является угловая координата движущейся цели, непрерывно измеряемая в процессе слежения, реакцией - угол упреждения. Рассмотрим самый простой случай: когда на вход системы А подается только одно воздействие, представляющее собой функцию времени х(/); реакция системы на это воздействие есть другая функция времени у (/). Схема работы системы А условно изображена на рис. 15.5.1. Будем говорить, что система А осуществляет над входным воздействием некоторое преобразование, в результате которого функция x(f) преобразуется в другую функцию у (/). Запишем это преобразование символически в виде:

Преобразование А может быть любого вида и любой сложности. В наиболее простых случаях это, например, умножение на заданный множитель (усилители, множительные механизмы), дифференцирование или интегрирование (дифференцирующие или интегрирующие устройства). Однако на практике системы, осуществляющие в чистом виде такие простейшие преобразования, почти не встречаются; как правило, работа системы описывается дифференциальными уравнениями, и преобразование А сводится к решению дифференциального уравнения, связывающего воздействие х (/) с реакцией у (I).

При исследовании динамической системы в первую очередь решается основная задача: по заданному воздействию x(t) определить реакцию системы y(t). Однако для полного исследования системы и оценки ее технических качеств такой элементарный подход является недостаточным. В действительности воздействие х(/) никогда не поступает на вход системы в чистом виде; оно всегда искажено некоторыми случайными ошибками (возмущениями), в результате которых на систему фактически воздействует не заданная функция x(t), а случайная функция X(t) соответственно этому система вырабатывает в качестве реакции случайную функцию Y(t), также отличающуюся от теоретической реакции у (/) (рис. 15.5.2).

Рис. 15.5.2

Естественно возникает вопрос: насколько велики будут случайные искажения реакции системы при наличии случайных возмущений на ее входе? И далее: как следует выбрать параметры системы для того, чтобы эти искажения были минимальными?

Решение подобных задач не может быть получено методами классической теории вероятностей; единственным подходящим математическим аппаратом для этой цели является аппарат теории случайных функций.

Из двух поставленных выше задач, естественно, более простой является первая - прямая - задача. Сформулируем ее следующим образом.

На вход динамической системы А поступает случайная функция Х(1 ); система подвергает ее известному преобразованию, в результате чего на выходе системы появляется случайная функция:

Известны характеристики случайной функции X(t): математическое ожидание и корреляционная функция. Требуется найти аналогичные характеристики случайной функции Y(t). Короче, по заданным характеристикам случайной функции на входе динамической системы найти характеристики случайной функции на выходе.

Поставленная задача может быть решена совершенно точно в одном частном, но весьма важном для практики случае: когда преобразование А принадлежит к классу так называемых линейных преобразований и соответственно система А принадлежит к классу линейных систем.

Во всех предыдущих параграфах этой главы предполагалось, что управляющие и возмущающие воздействия являются определенными функциями времени. Однако для систем автоматического управления, работающих в реальных условиях, характерно, что эти воздействия носят случайный характер и принципиально непредсказуемы.

Рассмотрим, например, работу следящей системы, управляющей антенной радиолокатора. Для этой системы управляющим воздействием является положение цели, а возмущающими воздействиями можно считать ветровые нагрузки на антенну, отклонения луча от направления на цель из-за рефракции в атмосфере, собственные шумы в усилительном тракте системы, помехи от источников питания и т. п. Все эти процессы обусловлены множеством взаимодействующих причин и носят настолько сложный характер, что их нельзя представить какой-либо заданной функцией времени. То же самое можно сказать и относительно управляющего воздействия. На практике его нельзя считать типовым, например ступенчатым, линейно-растущим, синусоидальным или каким-либо регулярным сигналом. Реально цель маневрирует, поэтому ее положение в любой последующий момент не может быть точно предсказано. На этом маневрирование накладывается постоянное блуждание отражающей точки по корпусу цели.

Таким образом, сигналы управления и возмущения в реальных условиях являются случайными процессами. Случайным, или стохастическим процессом

называют такую функцию времени которая при каждом значении аргумента является случайной величиной. Если вместо времени употребляют другую независимую переменную, то используют термин случайная функция. При многократном воспроизведении условий протекания случайного процесса последний принимает каждый раз различные конкретные значения. Эти значения как функции времени называют реализациями случайного процесса. Типичный вид нескольких реализаций стохастического процесса ошибки угловой координаты цели, отслеживаемой радиолокационной станцией, представлен на рис. XIII. 14.

Математическое описание случайного процесса. При фиксированном значении аргумента случайный процесс является случайной величиной, полное описание которой дает функция распределения

т. е. вероятность того, что в данный момент случайная величина примет значение, меньшее Как известно из теории вероятностей, вместо функции распределения часто удобнее пользоваться плотностью вероятности, являющейся ее производной (в обобщенном смысле):

Если зафиксировать два момента времени то значения случайного процесса образуют систему двух случайных величин или двумерный случайный вектор. Для его полного описания требуется знать двумерную функцию распределения

Рис. ХIII.14. Стохастический процесс ошибки измерения угловой координаты цели, отслеживаемой радиолокационной станцией

или двумерную плотность

которые зависят от как от параметров.

Для более подробного описания случайного процесса в произвольные моменты времени аналогично вводятся функции распределения и плотности более высоких порядков. Таким образом, полное статистическое описание случайной функции (процесса) даетесконечная последовательность ее функций распределения:

или последовательность их производных

Каждый из членов этих последовательностей имеет обычные свойства функций распределения или соответственно плотностей. Кроме того, каждый следующий член последовательности определяет все предыдущие. Например, если положить то

аналогичные формулы имеем и для любых других моментов времени.

Это условие называют условием согласованности семейства функций распределения. Справедливо также условие симметрии:

В общем случае плотности или функции распределения более высокого порядка не определяются плотностями или функциями более низких порядков.

Однако часто полезно рассматривать так называемый абсолютно случайный процесс, значения которого независимы в совокупности для любых Для такого процесса плотность распределения любого порядка определяется через одномерную:

Такой процесс является математическим упрощением, поскольку при достаточно близких значениях значения любого реального процесса близки, и, следовательно, зависимы. Другим крайним случаем является вырожденный, или сингулярный процесс, определяемый одной или несколькими случайными величинами; например,

где - случайная величина; - известные константы. Такой процесс становится полностью известным, если можно измерить его в какой-либо момент времени. В более общем случае сингулярный случайный процесс характеризуется совокупностью случайных величин например,

где - обычные (детерминированные функции времени).

Рис. XIII.15. Возможные реализации двух случайных функций: а - с высокочастотными составляющими; б - с низкочастотными составляющими

Моментные функции. В практических задачах обычно пользуются более простыми характеристиками случайных процессов - моментными функциями. Моментом первого порядка или математическим ожиданием процесса называют выражение

Если эту функцию рассматривать в зависимости от то около среднего значения функции будут группироваться все реализации случайного процесса (рис. XIII.15).

Математические ожидания более высоких степеней носятназвания начальных моментов порядка

Случайная функция имеет нулевое среднее значение и называется центрированной. Центральным моментом -порядка процесса называется математическое ожидание степени центрированного процесса

Меру рассеяния значений случайного процесса относительно математического ожидания его определяет момент второго порядка, называемый чаще дисперсией:

Однако характеристики случайного процесса, основанные на первой плотности не отражают изменения реализаций во времени. Например, два процесса с одной и той же первой плотностью (рис. XIII. 15, а и б) различаются по скорости изменения реализаций, т. е. по степени взаимосвязи между двумя значениями, принимаемыми в одной реализации в различные моменты времени. Для описания временной внутренней структуры случайных процессов используют корреляционную функцию

Эту функцию часто называют также автокорреляционной, или ковариацией, она играет основную роль в теории случайных процессов.

Легко показать, что корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов а при ее значение равно дисперсии случайного процесса . В самом деле,

Для характеристики точности систем автоматического регулирования удобно использовать нецентрированную корреляционную функцию:

называемую также вторым начальным моментом процесса.

Связь между устанавливается следующими преобразованиями:

При средний квадрат процесса будет

В системах автоматического регулирования часто действует несколько случайных возмущающих или управляющих сигналов, независимых или взаимосвязанных. Мерой взаимосвязи двух случайных процессов служит взаимная корреляционная функция

где - совместная плотность вероятности для независимых процессов

Для взаимной корреляционной функции справедливо равенство

Теория случайных процессов, в которой используются лишь моменты первого и второго порядков называется корреляционной теорией. Она была создана основополагающими работами А. Н. Колмогорова , Д. Я. Хинчина , Н. Вииера. Большой вклад в ее развитие внесли советские ученые В. С. Пугачев , В. В. Солодовников и др.

Стационарные случайные процессы. При рассмотрении различных случайных процессов выделяют группу процессов, статистические свойства которых не изменяются при сдвиге во времени. Такие процессы называются стационарными. Рассматривая множество реализаций случайного процесса, приведенного на рис. XIII. 14, можно предположить, что в данном случае начало отсчета времени может быть выбрано произвольно, т. е. налицо стационарный процесс. Напротив, на рис. XIII. 15, очевидно, имеем примеры нестационарных процессов.

Исследование систем, случайные процессы в которых стационарны, значительно проще, чем исследование систем с нестационарными процессами. Однако процессы во многих системах регулирования можно приближенно рассматривать как стационарные. Это имеет большое прикладное значение в теории стационарных случайных процессов.

По определению стационарного случайного процесса его математическое ожидание должно быть постоянно при сдвиге аргумента на любой тервал Т:

а корреляционная функция удовлетворяет соотношению

Полагая находим, что корреляционная функция стационарного процесса зависит только от разности отсчетов

Эргодические свойства случайных процессов. Если мы имеем совокупность, или, как говорят, ансамбль реализаций, то математическое ожидание и корреляционная функция получаются усреднением по ансамблю реализаций случайного процесса, т. е. «поперек» процесса в одном или соответственно двух его сечениях. Интересно рассмотреть также результаты усреднения реализаций стационарного процесса по времени вдоль оси на интервале , определив эту операцию естественным образом:

Эта величина различна для разных реализаций случайного процесса и сама является случайной. Можно показать, что ее математическое ожидание для стационарного процесса равно . В то же время дисперсия этой величины, как показывают непосредственные расчеты,

Рис. XIII.16. Структурная схема коррелятора

Условия эргодичности процесса по , сформулированные В. С. Пугачевым , содержат более высокие моменты случайного процесса и здесь не приводятся.

Свойства эргодичности случайных процессов позволяют заменить усреднение по множеству реализаций, практически редко осуществимое, усреднением по времени, взятым по одной реализации, когда Т велико..

Не все стационарные процессы имеют эргодические свойства. Например, процесс, все реализации которого есть случайные величины, не изменяющиеся во времени, как легко убедиться, неэргодичен. Отсюда следует, что физический смысл эргодичности заключается в «хорошей перемешиваемости» реализаций случайного процесса. Поскольку это имеет место практически во всех приложениях, в дальнейшем будем предполагать рассматриваемые процессы эргодическими.

Для таких процессов можно экспериментально определить среднее значение и корреляционную функцию процесса с помощью специальных приборов - корреляторов. Принцип действия корреляторов ясен из рис. XIII.16.

Подавая на вход коррелятора единичный сигнал, на его выходе при достаточно большом времени интегрирования Т будем иметь среднее значение процесса х, приблизительно совпадающее с его математическим ожиданием Если же то в результате будем иметь второй начальный момент по которому легко определить и корреляционную функцию.

Лабораторная работа № 4

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

4.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомление с основными понятиями теории случайных процессов. Выполнение измерений моментных характеристик и оценки ПРВ мгновенных значений случайных процессов. Анализ вида автокорреляционной функции (АКФ) и спектральной плотности мощности (СПМ) случайного процесса. Исследование преобразований случайного процесса линейными стационарными и нелинейными безынерционными цепями.

4.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Случайные события и случайные величины

Событие , которое может произойти или не произойти в некотором опыте, называется случайным событием и характеризуется вероятностью осуществления
. Случайная величина (СВ)
может принять в опыте одно значение из некоторого множества
; это значение называется реализацией данной СВ. может быть, например, множеством вещественных чисел или его подмножеством. Если множество конечно или счетно (дискретная СВ), можно говорить о вероятности
осуществления события, которое заключается в принятии случайной величиной значения , т. е. на множестве значений дискретной случайной величины задается распределение вероятностей . Если множество несчетно (например, вся вещественная прямая), то полное описание случайной величины дает функция распределения, определяемая выражением

,

где
. Если функция распределения непрерывна и дифференцируема, то можно определить плотность распределения вероятностей (ПРВ), называемую также для краткости плотностью вероятности
(а иногда просто плотностью):

, при этом
.

Очевидно, функция распределения – неотрицательная неубывающая функция со свойствами
,
. Следовательно,
ПРВ – неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки
.

Иногда ограничиваются числовыми характеристиками случайной величины, чаще всего моментами . Начальный момент -го порядка (-й начальный момент)

,

где горизонтальная черта и
– символические обозначения интегрального оператора усреднения по ансамблю . Первый начальный момент
, называется математическим ожиданием или центром распределения.

Центральный момент -го порядка (-й центральный момент)

Наиболее употребительным из центральных моментов является второй центральный момент, или дисперсия

Вместо дисперсии часто оперируют среднеквадратическим отклонением (СКО) случайной величины
.

^ Средний квадрат , или второй начальный момент
, связан с дисперсией и математическим ожиданием:

Для описания формы ПРВ используют коэффициент асимметрии
и коэффициент эксцесса
(иногда эксцесс характеризуют величиной
).

Часто используется нормальное, или гауссовское (гауссово), распределение с ПРВ

,

где и – параметры распределения (математическое ожидание и СКО соответственно). Для гауссовского распределения
,
.

Две случайные величины и характеризуются совместной плотностью распределения
. Числовыми характеристиками совместной плотности служат начальные и центральные смешанные моменты

,
,

где и – произвольные целые положительные числа;
и – математические ожидания СВ x и y .

Наиболее часто используются смешанные моменты второго порядка – начальный (корреляционный момент):

и центральный (ковариационный момент, или ковариация )

.

Для пары гауссовских случайных величин двумерная совместная ПРВ имеет вид

где , – среднеквадратические отклонения;
– математические ожидания; – коэффициент корреляции – нормированный ковариационный момент

.

При нулевом коэффициенте корреляции очевидно,

,

т. е. некоррелированные гауссовские случайные величины независимы.
^

Случайные процессы

Случайный процесс – это последовательность случайных величин, упорядоченная по возрастанию некоторой переменной (чаще всего времени). Перейти от описания случайной величины к описанию случайного процесса можно, рассматривая совместные распределения двух, трех и более значений процесса в некоторые различные моменты времени. В частности, рассматривая процесс в временных сечениях (при
), получаем -мерные совместные функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайных величин
…
, определяемые выражением

.

Случайный процесс считается полностью определенным, если для любого можно записать его совместную ПРВ при любом выборе моментов времени
.

Часто при описании случайного процесса можно ограничиться совокупностью его смешанных начальных моментов (если они существуют, т.е. сходятся соответствующие интегралы)

и смешанных центральных моментов

при целых неотрицательных
и целом .

В общем случае моменты совместной ПРВ зависят от расположения сечений на оси времени и называются моментными функциями . Чаще всего используют второй смешанный центральный момент

,

называемый функцией автокорреляции или автокорреляционной функцией (АКФ). Напомним, что здесь и далее явно не указана зависимость от времени, а именно – функциями времени являются
,
и
.

Можно рассматривать совместно два случайных процесса
и
; такое рассмотрение предполагает их описание в виде совместной многомерной ПРВ, а также в виде совокупности всех моментов, в том числе смешанных. Наиболее часто при этом используют второй смешанный центральный момент

,

называемый взаимно корреляционной функцией
.

Среди всех случайных процессов выделяют СП, для которых совместная -мерная ПРВ не изменяется при одновременном изменении (сдвиге) всех временных сечений на одну и ту же величину. Такие процессы называются стационарными в узком смысле или строго стационарными .

Чаще рассматривают более широкий класс случайных процессов с ослабленным свойствам стационарности. СП называется стационарным в широком смысле , если при одновременном сдвиге сечений не изменяются лишь его моменты не выше второго порядка. Практически это означает, что СП стационарен в широком смысле, если он имеет постоянные среднее (математическое ожидание ) и дисперсию
, а АКФ зависит только от разности моментов времени, но не от их положений на временнóй оси:

1)
,

2) ,
.

Заметим, что
, откуда и следует постоянство дисперсии.

Нетрудно убедиться, что процесс, стационарный в узком смысле, стационарен и в широком смысле. Обратное утверждение вообще неверно, хотя существуют процессы, для которых стационарность в широком смысле влечет стационарность в узком смысле.

Совместная -мерная ПРВ отсчетов
гауссовского процесса, взятых во временных сечениях , имеет вид

, (4.1)

где – определитель квадратной матрицы, составленной из попарных коэффициентов корреляции отсчетов;
– алгебраическое дополнение элемента этой матрицы.

Совместная гауссовская ПРВ при любом полностью определяется математическими ожиданиями, дисперсиями и коэффициентами корреляции отсчетов, т. е. моментными функциями не выше второго порядка. Если гауссовский процесс стационарен в широком смысле, то все математические ожидания одинаковы, все дисперсии (а значит, и СКО) равны друг другу, а коэффициенты корреляции определяются только тем, насколько временные сечения отстоят друг от друга. Тогда, очевидно, ПРВ (4.1) не изменится, если все временные сечения сдвинуть влево или вправо на одну и ту же величину. Отсюда следует, что гауссовский процесс, стационарный в широком смысле, стационарен и в узком смысле (строго стационарен).

Среди строго стационарных случайных процессов часто выделяют более узкий класс эргодических случайных процессов. Для эргодических процессов моменты, найденные усреднением по ансамблю, равны соответствующим моментам, найденным усреднением по времени:

,

(здесь – символическое обозначение оператора усреднения по времени).

В частности, для эргодического процесса математическое ожидание, дисперсия и АКФ равны соответственно

,

,

Эргодичность весьма желательна, так как дает возможность практически измерять (оценивать) числовые характеристики случайного процесса. Дело в том, что обычно наблюдателю доступна лишь одна (хотя, возможно, достаточно длинная) реализация случайного процесса. Эргодичность означает, по существу, что эта единственная реализация является полноправным представителем всего ансамбля .

Измерение характеристик эргодического процесса может быть выполнено при помощи простых измерительных устройств; так, если процесс представляет собой напряжение, зависящее от времени, то вольтметр магнитоэлектрической системы измеряет его математическое ожидание (постоянную составляющую), вольтметр электромагнитной или термоэлектрической системы, подключенный через разделительную емкость (для исключения постоянной составляющей), – его среднеквадратическое значение (СКО). Устройство, структурная схема которого показана на рис. 4.1, позволяет измерить значения функции автокорреляции при различных . Фильтр нижних частот играет здесь роль интегратора, конденсатор выполняет центрирование процесса, так как не пропускает постоянную составляющую тока. Это устройство называется коррелометром .

Рис. 4.1

Достаточными условиями эргодичности стационарного случайного процесса служат условие
, а также менее сильное условие Слуцкого
.
^

Дискретные алгоритмы оценивания параметров СП

Приведенные выше выражения для нахождения оценок параметров СП и корреляционной функции справедливы для непрерывного времени. В данной лабораторной работе (как и во многих современных технических системах и приборах) аналоговые сигналы генерируются и обрабатываются цифровыми устройствами, что приводит к необходимости некоторого изменения соответствующих выражений. В частности, для определения оценки математического ожидания используется выражение выборочного среднего

,

где
– последовательность отсчетов процесса (выборка объема
). Оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия , определяемая выражением

.

Оценка автокорреляционной функции, иначе называемая коррелограммой , находится как

.

Оценкой плотности распределения вероятностей мгновенного значения ССП служит гистограмма . Для ее нахождения диапазон возможных значений СП разбивается на интервалов равной ширины, затем для каждого -го интервала подсчитывается количество отсчетов выборки, попавших в него. Гистограмма представляет собой набор чисел
, обычно изображаемый в виде решетчатой диаграммы. Количество интервалов при заданном объеме выборки выбирается исходя из компромисса между точностью оценивания и разрешением (степенью подробности) гистограммы.
^

Корреляционно-спектральная теория случайных процессов

Если интересоваться только моментными характеристиками первого и второго порядка, которые определяют свойство стационарности в широком смысле, то описание стационарного СП осуществляется на уровне автокорреляционной функции
и спектральной плотности мощности
, связанных парой преобразований Фурье (теорема Винера–Хинчина ):

,
.

Очевидно, СПМ – неотрицательная функция. Если процесс имеет ненулевое математическое ожидание , то к СПМ добавляется слагаемое
.

Для вещественного процесса АКФ и СПМ – четные вещественные функции.

Иногда можно ограничиться числовыми характеристиками – интервалом корреляции и эффективной шириной спектра. ^ Интервал корреляции определяют по-разному, в частности, известны следующие определе