Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Плотность распределения вероятности и ее свойства. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и их свойства, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана; начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс. Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин.

Понятие случайной величины

Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Примерами случайной величины могут служить размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений. Например: частота попаданий при трех выстрелах; число бракованных изделий в партии из n штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; число отказов элементов прибора за определенный промежуток времени при испытании его на надежность; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например: ошибка при измерении дальности радиолокатора; время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовления деталей; концентрация соли в морской воде и т. д.

Случайные величины обычно обозначают буквами X,Y и т. д., а их возможные значения - x,y и т. д. Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появиться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т. е. нужно задать вероятности их появления. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

Законы распределения случайной величины

Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми . Несколько случайных величин называются взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, функции распределения либо плотности распределения. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения случайной величины.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_{n-1}&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_{n-1}&p_n\\\hline\end{array}

Табличное задание закона распределения можно использовать только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.

Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности. Точки (x_i,p_i) , соединенные прямолинейными отрезками, называют многоугольником распределения (рис. 5). Следует помнить, что соединение точек (x_i,p_i) выполняется только с целью наглядности, так как в промежутках между x_1 и x_2 , x_2 и x_3 и т. д. не существует значений, которые может принимать случайная величина X , поэтому вероятности её появления в этих промежутках равны нулю.

Многоугольник распределения, как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Они могут иметь различную форму, однако все обладают одним общим свойством: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. Это свойство следует из того, что все возможные значения случайной величины X образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.

Функция распределения вероятностей и ее свойства

Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают F(x) . Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина X принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа x , т. е. F(x)=P\{Xинтегральной функцией распределения.

Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку X оси Ox (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на оси, то функция распределения F(x) - это вероятность того, что случайная точка X в результате испытания попадет левее точки x .

Для дискретной случайной величины X , которая может принимать значения , функция распределения имеет вид

F(x)=\sum\limits_{x_i
где неравенство x_i

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8).

Рассмотрим общие свойства функций распределения.

Свойство 1. Функция распределения - неотрицательная, функция, заключенная между нулем и единицей:

0\leqslant{F(x)}\leqslant1

Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения F(x) определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что X

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал [\alpha;\beta) равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.

P\{\alpha\leqslant{X}<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. F(\beta)\geqslant{F(\alpha)} .

Свойство 4. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, т. е. \lim_{x\to-\infty}F(x)=0 и \lim_{x\to+\infty}F(x)=1 .

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением

F(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&10\end{cases}.

Найти коэффициент a и построить график F(x) . Определить вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение на интервале .

Решение. Так как функция распределения непрерывной случайной величины X непрерывна, то при x=3 получим a(3-1)^2=1 . Отсюда a=\frac{1}{4} . График функции F(x) изображен на рис. 9.

Исходя из второго свойства функции распределения, имеем

P\{1\leqslant{X}<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Плотность распределения вероятности и ее свойства

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины.

Плотность распределения f(x) равна производной от функции распределения F(x) , т. е.

F(x)=F"(x).

Смысл плотности распределения f(x) состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина X появляется в некоторой окрестности точки x при повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределения f(x) случайной величины, называется кривой распределения.

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

F(x)\geqslant0.

Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от -\infty до x , т. е.

F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x)\,dx.

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок (\alpha;\beta) равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

P\{\alpha\leqslant{X}\leqslant\beta\}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)\,dx.

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.

Пример 2. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end{cases}

Определить коэффициент а; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0 до \frac{\pi}{2} определить функцию распределения и построить ее график.

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-a\cos{x}}\Bigl|_{0}^{\pi}=2a.

Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим a=\frac{1}{2} . Следовательно, плотность распределения можно выразить так:

F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end{cases}.

График плотности распределения на рис. 10. По свойству 3, имеем

P\!\left\{0

Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2:

F(x)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{x}\sin{x}\,dx=\Bigl.{\-\frac{1}{2}\cos{x}}\Bigl|_{0}^{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{x}.

Таким образом, имеем

F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end{cases}.

График функции распределения изображен на рис. 11

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, мода и медиана.

Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину X , принимающую значения x_1,x_2,\ldots,x_n с вероятностями соответственно p_1,p_2,\ldots,p_n Определим среднюю арифметическую значений случайной величины, взвешенных по вероятностям их появлений. Таким образом, вычислим среднее значение случайной величины, или ее математическое ожидание M(X) :

M(X)=\frac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}p_i}.

Учитывая, что \sum\limits_{i=1}^{n}p_i=1 получаем

M(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i}.~~~~~~~(4.1)

Итак, математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат отрезку ,

M(X)=\int\limits_{a}^{b}xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Используя функцию распределения вероятностей F(x) , математическое ожидание случайной величины можно выразить так:

M(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\,d(F(x)).

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Свойство 2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY)=M(X)M(Y).

Свойство 3. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(c)=c.

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания:

M(cX)=cM(X).

Свойство 5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

M(X-M(X))=0.

Пример 3. Найти математическое ожидание количества бракованных изделий в выборке из пяти изделий, если случайная величина X (количество бракованных изделий) задана рядом распределения.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{X}&0&1&2&3&4&5\\\hline{P}&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\!0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end{array}

Решение. По формуле (4.1) находим

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\!0010 =1,\!25.

Модой M_0 дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение.

Модой M_0 непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения. Геометрически моду интерпретируют как абсциссу точки глобального максимума кривой распределения (рис. 12).

Медианой M_e случайной величины называется такое ее значение, для которого справедливо равенство

P\{XM_e\}.

С геометрической точки зрения медиана - это абсцисса точки, в которой площадь фигуры, ограниченной кривой распределения вероятностей и осью абсцисс, делится пополам (рис. 12). Так как вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, то функция распределения в точке, соответствующей медиане, равна 0,5, т. е.

F(M_e)=P\{X

С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины X и обозначают D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности:

D[X]=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^2p_i.

Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан плотностью распределения вероятности f(x) , дисперсия

D[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое вычисляется по формуле

\sigma=\sqrt{D[X]}.

Свойства дисперсии случайных величин

Свойство 1. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D=D[X]+D[Y].

Свойство 2. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Свойство 3. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D[c]=0.

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины, можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D=c^2D[X].

Свойство 5. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин X и Y определяется по формуле

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Пример 4. Вычислить дисперсию количества бракованных изделий для распределения примера 3.

Решение. По определению дисперсии

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.

Начальным моментом q-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины X^q :

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка - дисперсию случайной величины.

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии ):

A_s=\frac{\mu_{{}_3}}{\sigma^3}.

Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс ):

E=\frac{\mu_{{}_4}}{\sigma^4}-3.

Пример 5. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей

F(x)=\begin{cases}0,&x<0;\\ax^2,&02.\end{cases}.

Найти коэффициент a , математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс.

Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна

\int\limits_{0}^{2}f(x)\,dx=a\int\limits_{0}^{2}x^2\,dx=\left.{a\,\frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}\,a.

Учитывая, что эта площадь должна быть равна единице, находим a=\frac{3}{8} . По формуле (4.2) найдем математическое ожидание:

M(X)=\int\limits_{0}^{2}xf(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^3\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^4}{4}}\right|_{0}^{2}=1,\!5.

Дисперсию определим по формуле (4.3). Для этого найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:

M(X^2)=\int\limits_{0}^{2}x^2f(x)\,dx=\frac{3}{8}\int\limits_{0}^{2}x^4\,dx=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}}\right|_{0}^{2}=2,\!4.

Таким образом,

\begin{aligned}D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\\ \sigma(X)&=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0,\!15}\approx0,\!3873.\end{aligned}

Используя начальные моменты, вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядка:

\begin{aligned}\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\int\limits_0^2{x^3f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^5\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^6}{6}}\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2{x^4f(x)\,dx}=\frac{3}{8}\int\limits_0^2{x^6\,dx}=\left.{\frac{3}{8}\cdot\frac{x^7}{7}}\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4+2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\\&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4=0,\!0696.\\ A_s&=\frac{\mu_3}{\sigma^3}=-\frac{0,\!05}{(0,\!3873)^3}=-0,\!86.\\ E&=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3=\frac{0,\!0696}{(0,\!3873)^4}-3=-0,\!093.\end{aligned}

Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин

Пусть x_1,x_2,\ldots,x_n - значения случайной величины X , полученные при n независимых испытаниях. Математическое ожидание случайной величины равно M(X) , а ее дисперсия D[X] . Эти значения можно рассматривать как независимые случайные величины X_1,X_2,\ldots,X_n с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Средняя арифметическая этих случайных величин

\overline{X}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{X_i}{n}.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины, можно записать:

\begin{aligned}M(\overline{X})&=M\!\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline{X}]&=D\!\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}D=\frac{D[X]}{n}.~~~~~~~(4.5)\end{aligned}

Перейти к следующему разделу
Многомерные случайные величины В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

В физике и других науках о природе встречается много различных величин разной природы, как например: время, длина, объём, вес и т.д. Постоянной величиной называют ве- личину, принимающую лишь одно фиксированное значение. Величины, которые могут принимать различные значения, на-зываются переменными. Величина считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать. Если однозначно известно, какое именно значение из множества примет величина при создании опреде- лённых условий, то о ней говорят как об «обычной», детерминированной величине. Примером такой величины является количество букв в слове. Большинство физических величин измеряются при помощи приборов с присущей им точностью измерений и, в смысле приведенного определения, они не являются «обычными». Такого рода «необычные» величины называются случайными . Для случайных величин множество целесообразно назвать множеством возможных значений. Случайная величина принимает то или иное значе- ние с некоторой вероятностью. Заметим, что все величины можно считать случайными, так как детерминированная вели-чина – это случайная величина, принимающая каждое значение с вероятностью, равной единице. Всё сказанное выше является достаточным основанием для изучения случайных величин.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное (но обязательно только одно) значение, причём заранее, до опыта, неизвестно, какое именно.

Понятие случайной величины является фундаментальным понятием теории вероятностей и играет важную роль в её приложениях.

Случайные величины обозначаются: , а их зна -чения, соответственно: .

Выделяют два основных класса случайных величин: диск -ретные и непрерывные.

Определение. Дискретной случайной величиной называют случайную величину, число возможных значений которой конечное либо счётное множество.

Примеры дискретных случайных величин:

1. - частота попаданий при трёх выстрелах. Возможные значения:

2. - число деффектных изделий из штук. Возможные значения:

3. - число выстрелов до первого попадания. Возможные значения:

Определение. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой не –прерывно заполняют некоторый промежуток (конечный или бесконечный).

Примеры непрерывных случайных величин:

1. - случайное отклонение по дальности от точки попада- ния до цели при выстреле из орудия.

Так как снаряд может попасть в любую точку, интервала, ограниченного минимальным и максимальным значениями дальности полёта снаряда, возможных для данного орудия, то возможные значения случайной величины заполняют про -межуток между минимальным и максимальным значением.

2. - ошибки при измерении радиолокатором.

3. - время работы прибора.

Случайная величина является своего рода абстрактым вы- ражением некоторого случайного события. С каждым случай -ным событием можно связать одну или несколько характеризу- ющих его случайных величин. Например, при стрельбе по ми -шени можно рассмотреть такие случайные величины: число попаданий в мишень, частота попаданий в мишень, количество очков, набираемых при попадании в определённые области мишени и т.д.

§ 2 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь меж- ду возможными значениями случайной величины и соответст- вующими им вероятностями.

Если вспомнить определение функции, то закон распреде -ления является функцией, область определения которой есть область значений случайной величины, а область значений рассматриваемой функции состоит из вероятностей значений случайной величины.

2.1. РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим дискретную случайную величину , воз- можные значения которой нам известны. Но зна- ние значений случайной величины, очевидно, не позволяет нам её полностью описать, так как мы не можем сказать, насколь- ко часто следует ожидать тех или иных возможных значений случайной величины при повторении опыта в одних и тех же условиях. Для этого необходимо знать закон распределения вероятностей.

В результате опыта дискретная случайная величина прини –мает одно из своих возможных значений, т.е. произойдёт одно из событий:

которые образуют полную группу несовместных событий.

Вероятности этих событий:

Простейшим законом распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой приведены все возмож- ные значения случайной величины и соответствующие им ве –роятности:

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины .

Для наглядности, ряд распределения можно представить графиком:

Эта ломаная называется многоугольником распределения . Это также одна из форм задания закона распределения дискрет – ной случайной величины .

Сумма ординат многоугольника распределения, представля – ющая сумму вероятностей всех возможных значений случай -ной величины, равна единице.

Пример 1. Произведено три выстрела по мишени. Вероят- ность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Составить ряд распределения числа попаданий.

Случайная величина - «число попаданий» может прин- мать значения от 0 до 3 – х, причём в этом случае вероят – ности определяются по формуле Бернулли:

.

	0,027	0,189	0,441	0,343

Проверка

Пример 2. В урне назодится 4 белых и 6 чёрных щаров. Наугад извлекаются 4 шара. Найти закон распределения слу- чайной величины - «число белых шаров среди отобран -ных».

Эта случайная величина может принимать значения от 0 до 4 – х. Найдём вероятности аозможных значений случайной величины.

Можем проверить, что сумма полученных вероятностей рав- на единице.

2.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .

Ряд распределения нельзя построить для непрерывной слу- чайной величины, так как она принимает бесконечно много значений. Более универсальным законом распределения под- ходящим, как для дискретной, так и для непрерывной слу - чайной величины является функция распределения.

Определение. Функцией распределения (интегральным зако- ном распределения) случайной величины называется зада- ние вероятности выполнения неравенства , т.е.

(1)

Таким образом, функция распределения равна вероят -ности того, что случайная величина в результате опыта попа- дает левее точки .

Для дискретной случайной величины, для которой мы знаем ряд распределения:

функция распределения будет иметь вид:

График функции распределения дискретной случайной вели- чины - разрывная ступенчатая фигура. Для наглядности, рассмотрим пример.

Пример 3 Дан ряд паспределения. Найти функцию распре -деления и построить её график

	0,2	0,1	0,3	0,4

По определению,

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1 Функция распределения - это неотрицательная фун- кция, значения которой заключены между 0 и 1, т.е.

2 Вероятность появления случайной величины в про- межутке равна разности значений функции распределения на концах промежутка:

3 Функция распределения - неубывающая функция, т.е. при выполнено: ;

Перейдём в равенстве (2) к пределу при . Полу- чим вместо вероятности попадания случайной величины в про- межуток вероятность точечного значения случайной величины, т.е.

Значение этого предела зависит от того, является ли точка точкой непрерывности функции , или в этой точке функция имеет разрыв. Если функция непрерыв- на в точка , то предел равен 0, т.е. . Если же в этой точке функция имеет разрыв (1 – го ро- да), то предел равен значению скачка функции в точке .

Так как непрерывная случайная величина имеет непрерыв -ную функцию распределения , то из равенства нулю предела (3) следует, что вероятность любого фиксированного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Это следует из того, что возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно много. Из этого, в частности, следует, что следующие вероятности совпадают:

Приведённые свойства функции распределения можно сфор- мулировать следующим образом: функция распределения - это неотрицательная неубывающая функция, удовлетворяющая ус –ловиям: Обратное утверждение также имеет место: монотонно возрастающая непрерывная функция, удовлетворяющая условиям

является функцией распределения некоторой непрерывной слу- чайной величины. Если значения этой величины сосредоточе -ны на некотором промежутке , то график этой функции можно схематически изобразить следующим образом:

Рассмотрим пример. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Найти значение « », построить график и найти веро –ятность

Так как функция распределения непрерывной случайной ве- личины непрерывна, то - непрерывная функция, и при должно выполгяться равенство:

или , т.е.

Построим график этой функции

Найдём требуемую вероятность

Замечание. Функцию распределения, иногда ещё называют интегральным законом распределения . Ниже объясним, почему именно.

2.3 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Так как с помощью функции распределения дискретной

случайной величины в любой точке мы можем определить вероятность возможных значений, то она однозначно опре- деляет закон распределения дискретной случайной величины.

Однако по функции распределения трудно судить о харак- тере распределения непрерывной случайной величины в не -большой окрестности той или иной точки числовой оси.

Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины вблизи различных точек даёт функция, которую называют плотностью распределения (или дифференциальным законом распределения)

Пусть - непрерывная случайная величина с функцикй распределения . Найдём вероятность попадания этой случайной величины в элементарный участок .

По формуле (2), имеем

Разделим это равенство на

Отношение, стоящее слева, называется средней вероятно –стью на единице длины участка.

Считая функцию дифференцируемой, перейдём к перейдём в этом равенстве к пределу

Определение. Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок к длине этого участка при называ- ется плотностью распределения непрерывной случайной ве – личины и обозначается Следовательно,

Плотность распределения показывает, насколько часто слу -чайная величина появляется в некоторой окрестности точ –ки при повторении опытов.

Кривая, изображающая график плотности распределения, на- зывается кривой распрелеления.

Если возможные значения случайной величины запол- няют некоторый промежуток , то вне этого промежутка.

Определение. Случайная величина называется непре – рывной , если её функция распределения непрерывна на всей числовой прямой, а плотность распределения не- прерывна везде, за исключением может быть конечного числа точек (точек разрыва 1 – го рода).

СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Плотность распределения неотрицательна, т.е.

(это следует из того, что - производная неубывающей функции ).

2. Функция распределения непрерывной случайной величи-

ны равна интегралу от плотности распределения (и поэтому является интегральным законом распределения), т.е.

В самом деле, (по определению дифференциала функции). Следовательно,

На графике плотности распределения функция распределения

изображается площадью заштрихованной области.

3. Вероятность попадания случайной величины на участок равна интегралу от плотности распределения по этому промежутку, т.е.

В самом деле,

4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распре –деления равен единице, т.е.

Другими словами, площадь фигуры под графиком плотности распределения равна 1. В частности, если возможные значе- ния случайной величины сосредоточены на участке , то

Пример. Пусть плотность распределения зазана функцией

Найти: а) значение параметра ; б) функцию распределения в) Вычислить вероятность того, что случайная величи- на примет значение из отрезка .

а) По свойству 4, . Тогда

б) По свойству 2, Если

Если , .

Таким образом,

в) По свойству 3,

§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ

При решении многих практических задач нет необходимости знать все вероятностные характеристики случайной величины. Иногда достаточно знать только некоторые числовые характе - ристики закона распределения.

Числовые характеристики позволяют в сжатой форме выра -зить наиболее существенные особенности того или иного рас- пределения.

О каждой случайной величине прежде всего необходимо знать её среднее значения, около которого группируются все возможные значения этой величины, а также некоторое число, характеризующее степень рассеяния этих значений относитель- но среднего.

Различают характеристики положения и характеристики рас- сеяния. Одной из самых важных характеристик положения яв- ляется математическое ожидание.

3.1 Математическое ожидание (среднее значение).

Рассмотрим сначала дискретную случайную величину, име -ющую возможные значения с вероятностями

Определение. Математическим ожиданием дискретной слу- чайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на их вероятности, т.е.

По другому, математическое ожидание обозначается

Пример. Пусть дан ряд распределения:

	0,2	0,1	0,3	0,4

Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину все возможные значения которой заключены в отрезке .

Разобьём этот отрезок на частичных отрезков, длины которых обозначим: , и в каждом частичном интервале возьмём по произвольной точке, соответственно .

Так как произведение при- ближённо равно вероятности попадания случайной величины на элементарный участок , то сумма произведений составленная по аналогии с опреде -лением математического ожидания дискретной случайной ве- личины, приближённо равна математическому ожиданию не -прерывной случайной величины Пусть .

Тогда

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется следующий определённый интеграл:

(2)

Если непрерывная случайная величина принимает значения на всей числовой прямой, то

Пример. Пусть дана плотность распределения непрерывной случайной величины:

Тогда её математическое ожидание:

Понятие математического ожидания имеет простую меха -ническую интерпретацию. Распределение вероятностей слу -чайной величины можно интерпретироварь как распределение единичной массы по прямой. Дискретной случайной величине, принимающей значения с вероятностями соответствует прямая, на которой массы сосредоточены в точках . Непре- рывной случайной величине отвечает непрерывное распреде -ление масс на всей прямой или на конечном отрезке этой прямой. Тогда математическое ожидание - это абсцисса цент- ра тяжести .

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянный множитель можно вынести за знак матема- тического ожидания:

3. Математическое ожидание алгебраической суммы слу –чайных величин равна алгебраической сумме их мате- матических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математи -ческих ожиданий:

5. Математическое ожидание отклонения случайной вели- чины от её математического ожидания равно нулю:

3.2. Мода и медиана случайной величины.

Это ещё две характеристики положения случайной вели- чины.

Определение. Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Для непрерыв –ной случайной величины мода - это точка максимума функ- ции .

Если многоугольник распределения (для дискретной случай- ной величины) или кривая распределение (для непрерывной случайной величины) имеет две или более точек максимума, то распределение называется двухмодальным или многомо -дальным, соответственно.

Если нет ни одной точки максимума, то распределение называется антимодальным.

Определение. Медианой случайной величины на – зывается такое её значение, относитеоьно которого равноверо- ятны получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.

Другими словами, - это абсцисса точки, в которой площадь под графиком плотности распределения (многоуголь- ником распределения) делится пополам.

Пример. Дана плотность случайной величины:

Найти медиану этой случайной величины.

Медиану найдём из условия . В нашем случае,

Из четырёх корней необходимо выбрать тот, который заключён между 0 и 2, т.е.

Замечание . Если распределение случайной величины одно- модальное и симметричное (нормальное), то все три характе -ристики положения: математическое ожидание, мода и медиа -на, совпадают.

3.3 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Значения наблюдаемых случайных величин, обычно, более или менее колеблются около некоторого среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины око- ло её среднего значения. Числовые характеристики, показыва- ющие, насколько плотно сгруппированы возможные значения случайной велипины около среднего, называются характерис – тиками рассеяния. Из свойства 5 математического ожидания следует, что линейное отклонение значений случайной вели –чины от среднего значения не может служить характеристикой рассеяния, так как положительные и отрицательные отклоне –ния «гасят» друг друга. Поэтому основной характеристикой рассеяния случайной величины принято считать математичес - кое ожидание квадрата отклонения случайной величины от среднего.

Определение. Дисперсией называется математическое ожи –дание квадрата отклонения случайной величины от её матема- тического ожидания (среднего значения), т.е.

(3)

(4) для непрерывной случайной величины:

(5)

Но, несмотря на удобства этой характеричтики рассеяния, желательно иметь характеристику рассеяния соразмерную с самой случайной величиной и её математическим ожиданием.

Поэтому вводится ещё одна характеристика рассеяния, кото -рая называется средним квадратическим отклонением и рав -на корню из дисперсии, т.е. .

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой, которую даёт следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной вели -чины и квадратом её математического ожиданием, т.е.

В самом деле, по определению

Так как .

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:

1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е.

2. Постоянный множитель сучайной величины выносится из дисперсии с квадратом, т.е.

3. Дисперсия алгебраической суммы двух случайных вели- чин равна сумме их дисперсий, т.е.

Следствие из 2 и 3 свойств:

Рассмотрим примеры..

Пример 1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти её среднее квадратическое отклонение.

	- 1
	0,2	0,05	0,2	0,3	0,25

Сначала найдём

Тогда среднее квадратическое отклонение

Пример 2 . Пусть дана плотность распределения непрерыв -ной случайной величины:

Найти её дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3.4 Моменты случайных величин.

Различают моменты двух видов: начальные и центральные.

Определение. Начальным моментом порядка случайной

величины называют математическое ожидание величины , т.е. .

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

В частности, математическое ожидание - это началь- ный момент 1 – го порядка.

Определение. Центральным моментом полрядка слу -чайной величины называется математическое ожидание ве- личины , т.е.

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной -

Центральный момент 1 – го порядка равен нулю (свойство 5 математического ожидания); ; характеризует асимметрию (скощенность) графика плотности распределения. называется коэффициентом асимметрии.

Служит для характеристики островерхости распределения.

Определение. Эксцессом случайной величины называет- ся число

Для номально распределённой случайной величины отноше- ние . Поэтому кривые распределения, более островер- хие, чем нормальная, имеют положительный эксцесс (), а более плосковерхие имеют отрицательный эксцесс ().

Пример. Пусть дана плотность распределения случайной величины :

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс этой случайной величины.

Найдём необходимые для этого моменты:

Тогда коэффициент асимметрии: (отрицательная асимметрия).

Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Примеры случайных величин:

1) число попаданий при трех выстрелах;

2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки;

3) частота попадания при 10 выстрелах.

Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить.

Так, в примере 1) эти значения:

в примере 2):

в примере 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.

Существуют случайные величины другого типа, например:

1) абсцисса точки попадания при выстреле;

2) ошибка взвешивания тела на аналитических весах;

3) скорость летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту;

4) вес наугад взятого зерна пшеницы.

Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые.

Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей оперировала по преимуществу с событиями, то современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать со случайными величинами.

Приведем примеры типичных для теории вероятностей приемов перехода от событий к случайным величинам.

Производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие. Вместо события можно рассмотреть случайную величину , которая равна 1, если событие происходит, и равна 0, если событие не происходит. Случайная величина, очевидно, является прерывной; она имеет два возможных значения: 0 и 1. Эта случайная величина называется характеристической случайной величиной события . На практике часто вместо событий оказывается удобнее оперировать их характеристическими случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события , то общее число появлений события равно сумме характеристических случайных величин события во всех опытах. При решении многих практических задач пользование таким приемом оказывается очень удобным.

С другой стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие с какой-то непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин).

Пусть, например, измеряются координаты какого-то объекта О для того, чтобы построить точку М, изображающую этот объект на панораме (развертке) местности. Нас интересует событие , состоящее в том, что ошибка R в положении точки М не превзойдет заданного значения (рис. 2.4.1). Обозначим случайные ошибки в измерении координат объекта. Очевидно, событие равносильно попаданию случайной точки М с координатами в пределы круга радиуса с центром в точке О. Другими словами, для выполнения события случайные величины и должны удовлетворять неравенству

Вероятность события есть не что иное, как вероятность выполнения неравенства (2.4.1). Эта вероятность может быть определена, если известны свойства случайных величин .

Такая органическая связь между событиями и случайными величинами весьма характерна для современной теории вероятностей, которая, где только возможно, переходит от «схемы событий» к «схеме случайных величин». Последняя схема сравнительно с первой представляет собой гораздо более гибкий и универсальный аппарат для решения задач, относящихся к случайным явлениям.

Определение случайной величины. Многие случайные собы­тия могут быть оценены количественно случайными величинами.

Случайной называют такую величину, которая принима­ет значения в зависимости от стечения случайных обсто­ятельств.

Случайными величинами являются: число больных на приеме у врача, число студентов в аудитории, число рождений в городе, продолжительность жизни отдельного человека, скорость моле­кулы, температура воздуха, погрешность в измерении какой-либо величины и др. Если пронумеровать шары в урне примерно так, как это делают при разыгрывании тиража лото, то произвольное вынимание шара из урны покажет число, являющееся случайной величиной.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений: число букв на произ­вольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека, число зерен в колосьях, число молекул в вы­деленном объеме газа и т. п.

Непрерывная случайная величина принимает любые зна­чения внутри некоторого интервала: температура тела, масса зерен в колосьях пшеницы, координата места попадания пули в цель (принимаем пулю за материальную точку) и др.

Распределение дискретной случайной величины. Диск­ретная случайная величина считается заданной, если указаны ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Обозна­чим дискретную случайную величину X, ее значения x 1 x 2 , …., а вероятности Р(х 1) = p 1, Р(х 2) = р 2 и т. д. Совокупность X и Р называется распределением дискретной случайной величи­ны (табл. 1).

Таблица 1

Случайной величиной является номер вида спорта в игре «Спортло-10». Общее число видов равно 49. Указать распределение этой случайной величины (табл. 3).

Таблица 3

Значение 1 = 0 соответствует такому случаю, при котором трижды подряд событие А не происходило. Вероятность этого сложного события, по теореме умножения вероятностей (2.6), равна
Значение I = 1 относится к случаю, при котором событие А про­изошло в одном из трех испытаний. По формуле (2.6) получаем

Так как при l = 1 происходят также и два других сложных со­бытия: (А и А и А)и(А и А и А), то необходимо, воспользовав­шись теоремой сложения вероятностей (2.4), получить полную ве­роятность для l = 1, сложив трижды предыдущее выражение:

Значение I = 2 соответствует случаю, при котором событие А произошло в двух из трех испытаний. Рассуждениями, подобны­ми приведенным выше, получим полную вероятность для этого случая:

При 1 = 3 событие А появляется во всех трех испытаниях. Ис­пользуя теорему умножения вероятностей, находим

В общем случае биномиальное распределение позволяет опре­делить вероятность того, что событие А произойдет l раз при п испытаниях:

На основе многолетних наблюдений вызов врача в данный дом оце­нивается вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что в течение шести дней произойдет четыре вызова врача; Р(А) = 0,5, п = 6,1 = 4. Т Воспользуемся формулой (2.10):

Числовые характеристики дискретной случайной величи­ны. Во многих случаях, наряду с распределением случайной ве­личины или вместо него, информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых ха­рактеристик случайной величины. Рассмотрим наиболее упот­ребительные из них.

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значе­
ний на вероятности этих значений:

Пусть при большом числе испытаний п дискретная случайная величина X принимает значения x v x 2 , ..., х п соответственно m 1 , m г, ..., т п раз. Среднее значение равно

Если п велико, то относительные частоты т 1 /п, т 2 /п, ... будут стремиться к вероятностям, а средняя величина - к математиче­скому ожиданию. Именно поэтому математическое ожидание час­то отождествляют со средним значением.

Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Используем формулу (2.11):

Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая определяется тиражом «Спортлото» (см. табл. 3). Согласно формуле (2.11), находим

Возможные значения дискретной случайной величины рассеяны во­круг ее математического ожидания, часть из них превышает М{Х), часть - меньше М{Х). Как оценить степень разброса случайной величины отно­сительно ее среднего значения? Может показаться, что для решения та­кой задачи следует вычислить отклонения всех случайных величин от ее математического ожидания X - М(Х), а затем найти математическое ожидание (среднее значение) этих отклонений: М[Х - М(Х)]. Вез доказа­тельства отметим, что эта величина равна нулю, так как отклонения слу­чайных величин от математического ожидания имеют как положитель­ные, так и отрицательные значения. Поэтому целесообразно учитывать либо абсолютные значения отклонений М[Х - М (X)], либо их квадраты М[Х - М(Х)] 2 . Второй вариант оказывается предпочтительнее, так при­ходят к понятию дисперсии случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математиче­ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Она означает, что дисперсия равна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

Найти дисперсию случайной величины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Математическое ожидание этого распределения равно 3,5. Запишем значения квадратов отклонения случайных величин от математического ожидания: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. По формуле (2.12) с учетом (2.11) няходим дисперсию:

Как следует из (2.12), дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для того чтобы оценивать расстояние случайной величины в единицах той же размерности, вводят понятие среднего квадратического отклонения, под которым понимают квадратный корень из дисперсии:

Распределение и характеристики непрерывной случайной величины. Непрерывную случайную величину нельзя задать тем же законом распределения, что и дискретную. В этом случае поступают следующим образом.

Пусть dP - вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значения между х и х + dx. Очевидно, что Ирм больше интервал dx, тем больше и вероятность dP: dP ~ dx. Шроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной Величины, вблизи которой расположен интервал, поэтому

где f(x) - плотность вероятности, или функция распределения вероятностей. Она показывает, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой этой величины:

Интегрируя выражение (2.15) в соответствующих пределах, находим вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (ab):

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

Как видно из (2.19), эта функция равна вероятности того, что случайная величина принимает значения, меньшие х:

Для непрерывной случайной величины математическое ожи­дание и дисперсия записываются соответственно в виде