ŠTÁTNA UNIVERZITA SEVASTOPOL
MM. Ghashim, T.V. Cernautanu
NÁHODNÉ VLASTNOSTI
Schválené
vedecká rada ústavu
Sevastopol
Ghashim M.M., T.V.Cerneutanu
Náhodné funkcie: výchovná metóda. príspevok. – Sevastopoľ: SevGU, 2015.
Táto príručka obsahuje tri hlavné časti: „ “, „ “, „ “. Každá časť obsahuje základné teoretické otázky, rozbor typických príkladov a úlohy na samostatnú prácu s odpoveďami na ne.
určené pre študentov tretieho ročníka pri štúdiu témy „“.
Recenzenti:
Ph.D.,
Ph.D., docent
NK.Ph.S
© Vydavateľstvo SevGU, 2015
§ 1. Pojem náhodná funkcia…………………………………………
§ 2. Charakteristiky náhodných funkcií…………………………………
§ 3. Prevádzkovateľ dynamický systém……………………………….
§ 4. Lineárne transformácie náhodné funkcie ………………
§ 5. Stacionárne náhodné procesy……………………
§ 6. Spektrálny rozklad stacionárna náhodná funkcia ....
§ 7. Ergodická vlastnosť stacionárnych náhodných funkcií………….
Riešenie typických problémov ……………………………………………………………….
Úlohy pre nezávislé rozhodnutie………………………………
LITERATÚRA………………………………………………………………………
Náhodné funkcie
Koncept náhodnej funkcie.
V priebehu teórie pravdepodobnosti boli hlavným predmetom štúdia náhodné premenné, ktoré sa vyznačovali tým, že v dôsledku experimentu nadobudli jednu, vopred neznámu, ale iba jednu hodnotu. To znamená, že náhodné javy boli študované akoby v „statike“, v nejakých pevných konštantných podmienkach samostatného experimentu. V praxi sa však často musíme zaoberať náhodnými premennými, ktoré sa počas experimentu neustále menia. Napríklad uhol predstihu pri nepretržitom mierení na pohybujúci sa cieľ; odchýlka dráhy vedenej strely od teoretickej pri riadení alebo navádzaní a pod. V zásade každý automatizovaný riadiaci systém kladie určité požiadavky na zodpovedajúci teoretický základ - teóriu automatické ovládanie. Rozvoj tejto teórie nie je možný bez analýzy chýb, ktoré nevyhnutne sprevádzajú riadiace procesy, ktoré sa vždy vyskytujú v podmienkach nepretržite fungujúcich náhodných porúch alebo „interferencií“. Tieto poruchy sú svojou povahou náhodné funkcie. Takže:
Definícia . Náhodná funkcia X(t) sa nazýva funkcia nenáhodného argumentu t, čo je pre každú pevnú hodnotu argumentu náhodná premenná.
Špecifická forma získaná náhodnou funkciou X(t) ako výsledok skúseností tzv implementáciu náhodná funkcia.
Príklad . Lietadlo na vzdušnom kurze má teoreticky konštantnú rýchlosť letu V. V skutočnosti jeho rýchlosť kolíše okolo tejto priemernej nominálnej hodnoty a je náhodnou funkciou času. Let možno považovať za experiment, v ktorom funguje náhodná funkcia V(t) akceptuje konkrétnu implementáciu (obr. 1).
 |
|||
Typ implementácie sa mení zo skúsenosti na skúsenosť. Ak je v lietadle nainštalovaný zapisovač, tak pri každom lete zaznamená novú, od ostatných odlišnú, implementáciu náhodnej funkcie. V dôsledku niekoľkých letov je možné získať skupinu implementácií náhodnej funkcie V(t) (obr. 2).
V praxi existujú náhodné funkcie, ktoré nezávisia od jedného argumentu, ale od viacerých, napríklad od stavu atmosféry (teplota, tlak, vietor, zrážky). V tomto kurze budeme uvažovať iba o náhodných funkciách jedného argumentu. Keďže týmto argumentom je najčastejšie čas, budeme ho označovať písmenom t. Okrem toho súhlasíme s tým, že náhodné funkcie budeme označovať veľkými písmenami ( X(t), Y(t), ...) na rozdiel od nenáhodných funkcií ( x(t),r(t), …).
Zvážte nejakú náhodnú funkciu X(t). Predpokladajme, že to tak bolo n nezávislých experimentov, v dôsledku ktorých sa získalo n implementácií, ktoré označujeme podľa počtov experimentov x 1 (t), x 2 (t), …, x n(t). Je zrejmé, že každá implementácia je obyčajná (nie náhodná) funkcia. Výsledkom každého experimentu je teda náhodná funkcia X(t) sa zmení na nenáhodnú funkciu.
Poďme teraz opraviť nejakú hodnotu argumentu t. V tomto prípade náhodná funkcia X(t) sa zmení na náhodnú premennú.
Definícia. oddiel náhodná funkcia X(t) je náhodná premenná zodpovedajúca pevnej hodnote argumentu náhodnej funkcie.
Vidíme, že náhodná funkcia kombinuje vlastnosti náhodnej premennej a funkcie. V budúcnosti budeme často uvažovať o tej istej funkcii striedavo X(t) buď ako náhodná funkcia alebo ako náhodná premenná, v závislosti od toho, či sa uvažuje v celom rozsahu zmien t alebo na jeho pevnej hodnote.
Zvážte náhodnú premennú X(t) – prierez náhodnej funkcie v súčasnosti t. Táto náhodná premenná má samozrejme distribučný zákon, ktorý vo všeobecnosti závisí od t. Označme to f(x, t). Funkcia f(x, t) sa nazýva zákon jednorozmerného rozdelenia náhodná funkcia X(t).
Jednoznačne funkcia f(x, t) nie je úplnou, vyčerpávajúcou charakteristikou náhodnej funkcie X(t), pretože charakterizuje len distribučný zákon X(t) za danú, hoci ľubovoľnú t a neodpovedá na otázku o závislosti náhodné premenné X(t) pre rôzne t. Z tohto hľadiska je úplnejšia charakteristika náhodnej funkcie X(t) je tzv dvojrozmerný zákon distribúcia: f(x 1 , x 2 ; t 1 , t 2). Toto je zákon rozdelenia systému dvoch náhodných premenných X(t 1), X(t 2), t.j. dve ľubovoľné sekcie náhodnej funkcie X(t). Ale táto charakteristika nie je vo všeobecnom prípade vyčerpávajúca. Je zrejmé, že teoreticky je možné neobmedzene zvyšovať počet argumentov a získavať ďalšie a ďalšie úplný popis náhodná funkcia, ale je mimoriadne ťažké pracovať s takými ťažkopádnymi charakteristikami, ktoré závisia od mnohých argumentov. V rámci tohto kurzu nebudeme vôbec používať distribučné zákony, ale obmedzíme sa na zváženie najjednoduchších charakteristík náhodných funkcií, podobných číselným charakteristikám náhodných premenných.
Predbežné poznámky. Poďme nájsť Fourierov obrázok z d-funkcie.
Je zrejmé, že platí aj inverzná Fourierova transformácia:
A tiež:
1. Nech je proces konštantnou hodnotou x(t)=Ao. Ako už bolo zistené, korelačná funkcia takéhoto procesu je rovná spektrálnej hustote procesu priamou Fourierovou transformáciou funkcie R(t):
Spektrum procesu pozostáva z jediného vrcholu typu impulznej funkcie umiestneného na začiatku. Ak je teda v procese iba jedna frekvencia w=0, to znamená, že všetka sila procesu je sústredená na tejto frekvencii, čo potvrdzuje formu funkcie S(w). Ak náhodná funkcia obsahuje konštantnú zložku, t.j. priemerná hodnota teda S(š) bude mať diskontinuitu na začiatku a bude charakterizovaná prítomnosťou d- funguje v určitom bode w=0.
2. Pre harmonickú funkciu X=A o sin(w 0 t+j) korelačná funkcia:
Spektrálna hustota je
Rozvrh S(š) bude mať dva vrcholy typu impulznej funkcie, umiestnené symetricky vzhľadom na počiatok súradníc at w=+w 0 a w=-w 0 To naznačuje, že sila procesu je sústredená na dvoch frekvenciách + w 0 a - w 0 .
Ak má náhodná funkcia harmonické zložky, potom má spektrálna hustota diskontinuity v bodoch w= ± w 0 a je charakterizovaná prítomnosťou dvoch delta funkcií umiestnených v týchto bodoch.
Biely šum . Biely šum je náhodný proces, ktorý má rovnaké hodnoty spektrálna hustota pri všetkých frekvenciách od -¥ do +¥ : S( w) = Konšt.
Príkladom takéhoto procesu za určitých predpokladov je tepelný šum, kozmické žiarenie atď. Korelačná funkcia takéhoto procesu sa rovná
Teda R(t) predstavuje impulznú funkciu umiestnenú v počiatku.
Tento proces je čisto náhodný proces, pretože pri akomkoľvek t¹0 neexistuje žiadna korelácia medzi nasledujúcimi a predchádzajúcimi hodnotami náhodnej funkcie. Proces s takouto spektrálnou hustotou je fyzikálne nereálny, pretože zodpovedá nekonečne veľkému rozptylu a strednej štvorci náhodnej premennej:
Takýto proces zodpovedá nekonečne veľkému výkonu a zdroju s nekonečne veľkou energiou.
2. Pásmovo obmedzený biely šum. Tento proces je charakterizovaný spektrálnou hustotou formy
S(w)=C pri ½ w½<w n,
S(š)= 0 at ½w½>w n.
Kde (- w n, w n) frekvenčné pásmo pre spektrálnu hustotu.
Ide o náhodný proces, ktorého spektrálna hustota zostáva takmer konštantná vo frekvenčnom rozsahu, ktorý môže ovplyvniť uvažovaný riadiaci systém, t.j. vo frekvenčnom rozsahu prenášanom systémom. Typ krivky S(w) mimo tohto rozsahu nezáleží, pretože časť krivky zodpovedajúca vyšším frekvenciám neovplyvní činnosť systému. Tento proces zodpovedá korelačnej funkcii
Procesný rozptyl je rovný
5. Typický vstupný signál sledovacieho systému. Signál, ktorého graf je znázornený na obr. 63, sa berie ako typický signál. Rýchlosť otáčania hnacieho hriadeľa servosystému udržuje konštantnú hodnotu po určité časové intervaly t 1, t 2,...
Prechod z jednej hodnoty na druhú nastáva okamžite. Časové intervaly sa riadia Poissonovým zákonom rozdelenia. Očakávanie
Obr.63. Typický signál
Graf tohto typu sa získa ako prvá aproximácia pri sledovaní Radar za pohyblivým cieľom. Hodnoty konštantnej rýchlosti zodpovedajú cieľu pohybujúcemu sa v priamke. Zmena znamienka alebo veľkosti rýchlosti zodpovedá cieľovému manévru.
Nechaj m-priemerný počet zmien rýchlosti za 1s. Potom T = 1/m bude priemerná hodnota časových intervalov, počas ktorých si uhlová rýchlosť udržiava konštantnú hodnotu. Vo vzťahu k Radar táto hodnota bude priemerný čas, počas ktorého sa cieľ pohybuje po priamke. Na určenie korelačnej funkcie je potrebné zistiť priemernú hodnotu produktu
Pri zisťovaní tejto hodnoty môžu nastať dva prípady.
1. Okamihy v čase t A t+t patria do rovnakého intervalu. Potom sa priemer súčinu uhlových rýchlostí bude rovnať strednej štvorci uhlovej rýchlosti alebo disperzie:
2. Okamihy v čase t A t+t patria do rôznych intervalov. Potom sa priemer súčinu rýchlostí bude rovnať nule, pretože množstvá W(t) A W(t+t) pre rôzne intervaly možno považovať za nezávislé veličiny:
Korelačná funkcia sa rovná:
kde P 1 je pravdepodobnosť nájdenia časových momentov t a t+t v rovnakom intervale a P 2 = 1- P 1 pravdepodobnosť ich nájdenia v rôznych intervaloch.
Odhadnime hodnotu P 1 . Pravdepodobnosť zmeny rýchlosti v krátkom časovom intervale Dt je úmerná tomuto intervalu a rovná sa mDt alebo Dt/T. Pravdepodobnosť žiadnej zmeny rýchlosti v rovnakom intervale sa bude rovnať 1-Dt/T. Pre časový interval t je pravdepodobnosť nezmenenia rýchlosti t.j. pravdepodobnosť nájdenia časových momentov t a t+t v rovnakom intervale konštantná rýchlosť sa bude rovnať súčinu pravdepodobnosti nezmenenia rýchlosti na každom elementárnom intervale Dt, pretože tieto udalosti sú nezávislé. Pre konečný interval zistíme, že počet intervalov sa rovná t/Dt a
Prechádzame na limit, dostávame sa
Prepustite náhodnú funkciu X(t) uskutočnené n nezávislých experimentov (pozorovaní) a ako výsledok získaný n implementácie náhodnej funkcie (obr. 15.4.1).
Ryža. 15.4.1
Je potrebné nájsť odhady charakteristík náhodnej funkcie: jej matematického očakávania mx(t), odchýlky Dx(t) a korelačnej funkcie Kx(t,t).
Ak to chcete urobiť, zvážte sériu sekcií náhodnej funkcie pre časové okamihy 
a zaregistrujte hodnoty akceptované funkciou X(t) v týchto časových chvíľach. Každý z momentov /, t2, ..., t m bude korešpondovať n náhodné funkčné hodnoty.
Hodnoty /, ja, t m zvyčajne špecifikované ako ekvidistantné; veľkosť intervalu medzi susednými hodnotami sa volí v závislosti od typu experimentálnych kriviek tak, aby sa z vybraných bodov dal rekonštruovať hlavný priebeh kriviek. Často sa stáva, že interval medzi susednými hodnotami t sa nastavuje nezávisle od úloh spracovania frekvenciou prevádzky záznamového zariadenia (napríklad rýchlosťou videokamery).
Registrované hodnoty X(t) sa zadávajú do tabuľky, ktorej každý riadok zodpovedá konkrétnej implementácii a počet stĺpcov sa rovná počtu referenčných hodnôt argumentu (tabuľka 15.4.1).
Tabuľka 15.4.1
|
X 2 (?2) |
x 2 U k) |
X 2 (ti) |
x 2 (Jm) |
|||||
|
%i(tm) |
||||||||
|
X„(t 2) |
X„(tk) |
X“ (?,) |
V tabuľke 15.4.1 /-tý riadok obsahuje hodnoty náhodnej funkcie pozorované v /-tom implementácii (/-tom experimente) s hodnotami argumentu, / 2, ..., tm. Symbol Xj( 4) je uvedená hodnota zodpovedajúca v súčasnosti i-tej realizácii tk.
Výsledný materiál nie je nič iné ako výsledky n experimenty v systéme T náhodné premenné
a spracováva sa presne rovnakým spôsobom (pozri pododdiel 14.3). Najprv sa pomocou vzorca nájdu odhady matematických očakávaní
potom - pre odchýlky
a nakoniec pre korelačné momenty
V mnohých prípadoch je pri výpočte odhadov pre odchýlky a korelačné momenty vhodné použiť spojenie medzi počiatočným a centrálnym momentom a vypočítať ich pomocou vzorcov:
Pri používaní najnovších verzií vzorcov, aby sa predišlo rozdielom medzi blízkymi číslami, sa odporúča vopred posunúť začiatok počítania pozdĺž osi y bližšie k matematickému očakávaniu.
Akonáhle sú tieto charakteristiky vypočítané, je to možné pomocou série hodnôt m x (t (), m x (t 2), m x (t m), vybudovať závislosť mx(t)(obr. 15.4.1). Závislosť sa buduje podobným spôsobom O X (/). Funkcia dvoch argumentov K x (t, t") je reprodukovaný na základe svojich hodnôt v obdĺžnikovej sieti bodov. V prípade potreby sú všetky tieto funkcie aproximované niektorými analytickými výrazmi.
15.5. Metódy určovania charakteristík transformovaných náhodných funkcií z charakteristík pôvodných náhodných funkcií
V predchádzajúcej podkapitole sme sa zoznámili s metódou priameho určovania charakteristík náhodnej funkcie zo skúsenosti. Táto metóda sa nepoužíva vždy. Po prvé, príprava špeciálnych experimentov určených na štúdium náhodných funkcií, ktoré nás zaujímajú, sa môže ukázať ako veľmi ťažké a drahé.
Po druhé, často potrebujeme študovať náhodné funkcie, ktoré charakterizujú chyby v prístrojoch, zameriavacích zariadeniach, riadiacich systémoch atď., ktoré ešte neexistujú, ale sa len navrhujú alebo vyvíjajú. Navyše, štúdium týchto chýb sa zvyčajne vykonáva práve preto, aby sa racionálne vybrali konštrukčné parametre systému tak, aby viedli k minimálnym chybám.
Je zrejmé, že v tomto prípade je priame štúdium náhodných funkcií charakterizujúcich činnosť systému nepraktické a v niektorých prípadoch úplne nemožné. V takýchto prípadoch sa ako hlavné pracovné metódy nepoužívajú priame, ale nepriame metódy štúdia náhodných funkcií. Podobné nepriame metódy sme už použili pri štúdiu náhodných premenných: množstvo kapitol nášho kurzu -10,11,12 - bolo venovaných hľadaniu zákonitostí rozdelenia a číselných charakteristík náhodných premenných nepriamo, s využitím zákonov rozdelenia resp. číselné charakteristiky iných náhodných premenných s nimi spojených. Pomocou úplne podobných metód je možné určovať charakteristiky náhodných funkcií nepriamo, na základe charakteristík iných náhodných funkcií s nimi spojených. Vývoj takýchto nepriamych metód tvorí hlavný obsah aplikovanej teórie náhodných funkcií.
Problém nepriameho štúdia náhodných funkcií v praxi zvyčajne vzniká v nasledovnej podobe.
Ryža. 15.5.1
Existuje nejaký dynamický systém A; Pod „dynamickým systémom“ rozumieme akékoľvek zariadenie, zameriavač, výpočtový mechanizmus, automatický riadiaci systém atď. Tento systém môže byť mechanický, elektrický alebo môže obsahovať akékoľvek iné prvky. Fungovanie systému si predstavíme nasledovne: na vstupe systému sú priebežne prijímané nejaké vstupné dáta; systém ich spracováva a priebežne vytvára nejaký výsledok. Dohodnime sa, že údaje vstupujúce do systému budeme nazývať „vplyv“ a výstupný výsledok ako „reakciu“ systému na tento vplyv. Vplyvy môžu zahŕňať meniace sa napätia, uhlové a lineárne súradnice akýchkoľvek objektov, signály alebo príkazy odoslané do riadiaceho systému atď. Podobne môže byť reakcia systému generovaná v jednej alebo druhej forme: vo forme napätí, uhlových posunov atď. Napríklad v prípade leteckého zameriavača je dopad uhlovou súradnicou pohybujúceho sa cieľa, ktorá sa nepretržite meria počas procesu sledovania, a reakciou je uhol predstihu. Zoberme si najjednoduchší prípad: keď systémový vstup A aplikuje sa iba jeden náraz, ktorý je funkciou času x(/); reakcia systému na tento vplyv je ďalšou funkciou času pri(/). Schéma fungovania systému A konvenčne znázornené na obr. 15.5.1. Povieme, že systém A vykonáva určitú transformáciu na vstupný vplyv, v dôsledku čoho funkcia x(f) prevedené na inú funkciu pri(/). Napíšme túto transformáciu symbolicky v tvare:
Konverzia A môže byť akéhokoľvek typu a akejkoľvek zložitosti. V najjednoduchších prípadoch ide napríklad o násobenie daným faktorom (zosilňovače, násobiace mechanizmy), diferenciáciu alebo integráciu (diferenciačné alebo integračné zariadenia). V praxi však systémy, ktoré implementujú čistej forme takéto jednoduché premeny sa takmer nikdy nevyskytujú; Fungovanie systému je spravidla opísané diferenciálnymi rovnicami a transformáciou A príde na rozhodnutie diferenciálnu rovnicu, spájajúci efekt x (/) s reakciou y (ja).
Pri štúdiu dynamického systému sa najprv rieši hlavný problém: pre daný vplyv x(t) určiť odozvu systému y(t). Na úplné preštudovanie systému a posúdenie jeho technických kvalít však takýto elementárny prístup nestačí. V skutočnosti vplyv x(/) nikdy nevstúpi do systému vo svojej čistej forme; vždy je skreslený nejakými náhodnými chybami (poruchami), v dôsledku ktorých je systém vlastne ovplyvnený nešpecifikovanou funkciou x(t), a náhodná funkcia X(t) V súlade s tým systém vytvára náhodnú funkciu ako reakciu Y(t), tiež odlišné od teoretickej reakcie y (/) (obr. 15.5.2).
Ryža. 15.5.2
Prirodzene vyvstáva otázka: aké veľké budú náhodné skreslenia v odozve systému za prítomnosti náhodných porúch na jej vstupe? A ďalej: ako treba voliť parametre systému, aby tieto skreslenia boli minimálne?
Riešenie takýchto problémov nie je možné získať metódami klasickej teórie pravdepodobnosti; jediný vhodný matematický aparát na tento účel slúži aparát teórie náhodných funkcií.
Z dvoch vyššie uvedených úloh je, prirodzene, jednoduchšia prvá – priama – úloha. Sformulujme to nasledovne.
Na vstup dynamického systému A prichádza náhodná funkcia X(1 ); systém ho podrobí známej transformácii, v dôsledku ktorej sa na výstupe systému objaví náhodná funkcia:
Charakteristiky náhodnej funkcie sú známe X(t): matematické očakávanie a korelačná funkcia. Musíme nájsť podobné charakteristiky náhodnej funkcie Y(t). Stručne povedané, vzhľadom na charakteristiky náhodnej funkcie na vstupe dynamického systému nájdite charakteristiky náhodnej funkcie na výstupe.
Nastolený problém sa dá úplne presne vyriešiť v jednom konkrétnom, ale pre prax veľmi dôležitom prípade: pri transformácii A patrí do triedy tzv lineárne transformácie a podľa toho systém A patrí do triedy lineárne systémy.
Vo všetkých predchádzajúcich odsekoch tejto kapitoly sa predpokladalo, že riadiace a rušivé vplyvy sú určitými funkciami času. Avšak pre automatické riadiace systémy pracujúce v reálnych podmienkach, je charakteristické, že tieto dopady sú náhodné a zásadne nepredvídateľné.
Uvažujme napríklad o prevádzke sledovacieho systému, ktorý riadi radarovú anténu. Pre tento systém je riadiacou činnosťou poloha cieľa a za rušivé vplyvy možno považovať zaťaženie antény vetrom, odchýlky lúča od smeru k cieľu v dôsledku lomu v atmosfére, vlastný šum v dráhe zosilnenia všetky tieto procesy sú spôsobené mnohými vzájomne sa ovplyvňujúcimi príčinami a sú také zložité, že ich nemožno reprezentovať žiadnou danú funkciučas. To isté možno povedať o kontrolnej akcii. V praxi ho nemožno považovať za typický signál, napríklad stupňovitý, lineárne rastúci, sínusový alebo akýkoľvek pravidelný signál. V skutočnosti cieľ manévruje, takže jeho polohu v žiadnom nasledujúcom okamihu nemožno presne predpovedať. Toto manévrovanie je sprevádzané neustálym putovaním odrazového bodu pozdĺž tela cieľa.
Riadiace signály a poruchy v reálnych podmienkach sú teda náhodné procesy. Náhodný alebo stochastický proces
je funkcia času, ktorá je náhodnou premennou pre každú hodnotu argumentu. Ak sa namiesto času použije iná nezávislá premenná, potom sa používa pojem náhodná funkcia. Keď sa podmienky náhodného procesu opakovane reprodukujú, tento proces nadobúda zakaždým iné špecifické hodnoty. Tieto hodnoty ako funkcia času sa nazývajú realizácie náhodného procesu. Typický pohľad na niekoľko implementácií stochastického procesu chyby v uhlových súradniciach cieľa sledovaného radarovou stanicou je uvedený na obr. XIII. 14.
Matematický popis náhodného procesu. Pre pevnú hodnotu argumentu je náhodný proces náhodná premenná, úplný popisčo dáva distribučnú funkciu
t.j. pravdepodobnosť, že v momentálne náhodná premenná bude mať hodnotu menšiu ako Ako je známe z teórie pravdepodobnosti, namiesto distribučnej funkcie je často vhodnejšie použiť hustotu pravdepodobnosti, ktorá je jej deriváciou (vo zovšeobecnenom zmysle):
Ak fixujeme dva momenty v čase, potom hodnoty náhodného procesu tvoria systém dvoch náhodných premenných alebo dvojrozmerný náhodný vektor. Aby ste to mohli úplne opísať, musíte poznať funkciu dvojrozmerného rozdelenia
Ryža. XIII.14. Stochastický proces chyby pri meraní uhlových súradníc cieľa sledovaného radarovou stanicou
alebo dvojrozmerná hustota
ktoré závisia od oboch parametrov.
Pre viac podrobný popis Podobne sa zavádzajú funkcie distribúcie a hustoty vyšších rádov náhodného procesu v ľubovoľných časových okamihoch. Úplný štatistický popis náhodnej funkcie (procesu) je teda daný konečnou postupnosťou jej distribučných funkcií:
alebo sekvenciu ich derivátov
Každý z členov týchto postupností má obvyklé vlastnosti distribučných funkcií, respektíve hustôt. Okrem toho každý nasledujúci člen postupnosti určuje všetky predchádzajúce. Napríklad, ak dáme potom
Máme podobné vzorce pre akékoľvek iné okamihy času.
Táto podmienka sa nazýva podmienka konzistencie pre rodinu distribučných funkcií. Platí aj podmienka symetrie:
Vo všeobecnosti hustoty vyššieho rádu alebo distribučné funkcie nie sú určené hustotami alebo funkciami nižšieho rádu.
Často je však užitočné zvážiť takzvaný absolútne náhodný proces, ktorého hodnoty sú v súhrne pre ľubovoľné nezávislé. Pre takýto proces sa hustota distribúcie akéhokoľvek poriadku určuje prostredníctvom jednorozmerného:
Takýto proces je matematickým zjednodušením, pretože pre dostatočne blízke hodnoty sú hodnoty akéhokoľvek reálneho procesu blízke, a teda závislé. Ďalším extrémnym prípadom je degenerovaný alebo singulárny proces, určený jednou alebo viacerými náhodnými premennými; napr.
kde je náhodná premenná; - známe konštanty. Takýto proces sa stane plne známym, ak ho možno kedykoľvek zmerať. Vo všeobecnejšom prípade je singulárny náhodný proces charakterizovaný množinou náhodných premenných, napr.
kde sú obyčajné (deterministické funkcie času).
Ryža. XIII.15. Možné implementácie dvoch náhodných funkcií: a - s vysokofrekvenčnými komponentmi; b - s nízkofrekvenčnými komponentmi
Momentové funkcie. V praktických problémoch zvyčajne používame viac jednoduché vlastnosti náhodné procesy- momentové funkcie. Okamih prvého rádu alebo matematické očakávanie procesu sa nazýva výraz
Ak sa táto funkcia zvažuje v závislosti od toho, všetky implementácie náhodného procesu budú zoskupené okolo priemernej hodnoty funkcie (obr. XIII.15).
Matematické očakávania vyšších stupňov sa nazývajú počiatočné momenty poriadku
Náhodná funkcia má nulový priemer a nazýva sa centrovaná. Ústredným momentom poriadku procesu je matematické očakávanie stupňa centrovaného procesu
Miera rozptylu hodnôt náhodného procesu vo vzťahu k jeho matematickému očakávaniu je určená okamihom druhého rádu, častejšie nazývaného disperzia:
Charakteristiky náhodného procesu založeného na prvej hustote však neodrážajú zmeny v implementáciách v priebehu času. Napríklad dva procesy s rovnakou prvou hustotou (obr. XIII. 15, a a b) sa líšia v rýchlosti zmeny implementácií, to znamená v miere vzťahu medzi dvoma hodnotami akceptovanými v jednej implementácii pri rôzne časové body. Opísať dobu vnútorná štruktúra náhodné procesy využívajú korelačnú funkciu
Táto funkcia sa často nazýva autokorelácia alebo kovariancia, hrá hlavnú úlohu v teórii náhodných procesov.
Je ľahké ukázať, že korelačná funkcia je symetrická vzhľadom na jej argumenty a keď sa jej hodnota rovná rozptylu náhodného procesu. v skutočnosti
Na charakterizáciu presnosti automatických riadiacich systémov je vhodné použiť necentrovanú korelačnú funkciu:
nazývaný aj druhý počiatočný moment procesu.
Spojenie medzi nimi je vytvorené nasledujúcimi transformáciami:
Keď bude stredná druhá mocnina procesu
V automatických riadiacich systémoch často pôsobí niekoľko náhodných rušivých alebo riadiacich signálov, nezávislých alebo vzájomne prepojených. Mierou vzťahu medzi dvoma náhodnými procesmi je funkcia vzájomnej korelácie
kde je spoločná hustota pravdepodobnosti pre nezávislé procesy
Funkcia krížovej korelácie spĺňa rovnosť
Teória náhodných procesov, ktorá využíva len momenty prvého a druhého rádu, sa nazýva korelačná teória. Vytvorili ho fundamentálne diela A. N. Kolmogorova, D. Ya Khinchina, N. Viiera. K jeho rozvoju výrazne prispeli sovietski vedci V.S. Pugačev, V.V. Solodovnikov a ďalší.
Stacionárne náhodné procesy. Pri zvažovaní rôznych náhodných procesov sa identifikuje skupina procesov, ktorých štatistické vlastnosti sa s časovým posunom nemenia. Takéto procesy sa nazývajú stacionárne. Vzhľadom na mnohé implementácie náhodného procesu znázorneného na obr. XIII. 14, možno predpokladať, že v tomto prípade môže byť začiatok odpočítavania času zvolený ľubovoľne, t.j. je prítomný stacionárny proces. Naopak, na obr. XIII. 15, samozrejme, máme príklady nestacionárnych procesov.
Štúdium systémov, v ktorých sú náhodné procesy stacionárne, je oveľa jednoduchšie ako štúdium systémov s nestacionárnymi procesmi. Procesy v mnohých riadiacich systémoch však možno považovať približne za stacionárne. To má veľký praktický význam v teórii stacionárnych náhodných procesov.
Podľa definície stacionárneho náhodného procesu musí byť jeho matematické očakávanie konštantné, keď je argument posunutý o ľubovoľný interval T:
a korelačná funkcia vyhovuje vzťahu
Za predpokladu, že zistíme, že korelačná funkcia stacionárneho procesu závisí iba od rozdielu v čítaní
Ergodické vlastnosti náhodných procesov. Ak máme súbor, alebo, ako sa hovorí, súbor realizácií, potom matematické očakávanie a korelačná funkcia získame spriemerovaním súboru realizácií náhodného procesu, teda „naprieč“ procesom v jednom resp. , respektíve dve jeho sekcie. Je tiež zaujímavé zvážiť výsledky spriemerovania implementácií stacionárneho procesu v priebehu času pozdĺž osi na intervale, pričom túto operáciu definujú prirodzeným spôsobom:
Táto hodnota je odlišná pre rôzne implementácie náhodného procesu a sama je náhodná. Dá sa ukázať, že jeho matematické očakávanie pre stacionárny proces sa rovná . Zároveň rozptyl tohto množstva, ako ukazujú priame výpočty,
Ryža. XIII.16. Bloková schéma korelátora
Podmienky na to, aby bol proces ergodický vzhľadom na , formulované V.S. Pugačevom, obsahujú vyššie momenty náhodného procesu a nie sú tu uvedené.
Vlastnosti ergodicity náhodných procesov umožňujú nahradiť spriemerovanie viacerých implementácií, čo je v praxi len zriedka realizovateľné, s časovým spriemerovaním prevzatým z jednej implementácie, keď je T veľké.
Nie všetky stacionárne procesy majú ergodické vlastnosti. Napríklad proces, ktorého všetky realizácie sú náhodné premenné, ktoré sa nemenia v čase, je, ako je ľahké vidieť, neergodický. Z toho vyplýva fyzický význam Ergodicita spočíva v „dobrom zmiešaní“ realizácií náhodného procesu. Keďže sa to vyskytuje takmer vo všetkých aplikáciách, v nasledujúcom budeme predpokladať, že uvažované procesy sú ergotické.
Pre takéto procesy je možné experimentálne určiť priemernú hodnotu a korelačnú funkciu procesu pomocou špeciálnych prístrojov – korelátorov. Princíp činnosti korelátorov je zrejmý z obr. XIII.16.
Privedením jediného signálu na vstup korelátora dostaneme na jeho výstupe s dostatočne veľkým integračným časom T priemernú hodnotu procesu x, ktorá sa približne zhoduje s jeho matematickým očakávaním If, potom budeme mať a druhý počiatočný moment, z ktorého je ľahké určiť korelačnú funkciu.
Laboratórna práca č.4
. Náhodná premenná(NE) 
môže v skúsenosti nadobudnúť jeden význam 
z nejakej sady 
; táto hodnota sa nazýva realizácia tohto SV. môže byť napríklad množina reálnych čísel 
alebo jej podskupina. Ak je množina konečná alebo spočítateľná (diskrétna SV), môžeme hovoriť o pravdepodobnosti 
implementácia udalosti, ktorá spočíva v tom, že náhodná premenná akceptuje hodnotu, t.j. na množine hodnôt je špecifikovaná diskrétna náhodná premenná rozdelenie pravdepodobnosti. Ak je množina nespočítateľná (napríklad celá reálna čiara), potom je úplný popis náhodnej premennej daný pomocou distribučná funkcia, definovaný výrazom 
,
Kde 
. Ak je distribučná funkcia spojitá a diferencovateľná, potom môžeme definovať funkcia hustoty pravdepodobnosti(PDF), pre stručnosť nazývaný aj hustota pravdepodobnosti
(a niekedy len hustota):
, zatiaľ čo 
.
Je zrejmé, že distribučná funkcia je nezáporná neklesajúca funkcia s vlastnosťami 
, 
. teda
PDF je nezáporná funkcia, ktorá vyhovuje normalizačný stav 
.
Niekedy obmedzené číselné charakteristiky náhodná premenná, najčastejšie momenty. Základné moment 
-tý poriadok (prvý počiatočný moment)
,
kde je vodorovná čiara a 
– symbolický zápis integrálneho operátora priemerovanie súboru. Prvý štartovací moment 
, volal matematické očakávanie alebo distribučné centrum.
Centrálne moment tého rádu (stredný moment)
Najčastejšie používaným centrálnym momentom je druhý centrálny moment, príp disperzia
Namiesto rozptylu často fungujú smerodajná odchýlka(RMS) náhodnej premennej 
.
^ Stredné námestie alebo druhý počiatočný moment 
, súvisí s disperziou a matematickým očakávaním:
Na opis formy PDF sa používa koeficient asymetria 
a koeficient prebytok 
(niekedy je špičatosť charakterizovaná hodnotou 
).
Často sa používa normálne alebo Gaussovo (Gaussovo) rozdelenie s PDF
,
Kde 
A 
– distribučné parametre (matematické očakávanie a smerodajná odchýlka). Pre Gaussovo rozdelenie 
, 
.
Dve náhodné premenné a 
sú charakterizované kĺb hustota distribúcie 
. Číselné charakteristiky hustoty spoja sú počiatočné a centrálne zmiešané momenty
, 
,
kde a 
– ľubovoľné kladné celé čísla; 
A 
– matematické očakávania SV x A r.
Najčastejšie používané zmiešané momenty druhého rádu sú počiatočné ( korelačné moment):
a centrálny ( kovariancia moment, príp kovariancia)
.
Pre dvojicu Gaussových náhodných premenných má dvojrozmerný spoločný PDF tvar
Kde 
, 
– štandardné odchýlky; 
– matematické očakávania; 
– korelačný koeficient– normalizovaný kovariančný moment
.
Pri nulovom korelačnom koeficiente je zrejmé, že
,
t.j. nekorelované Gaussove náhodné premenné nezávislý.
^
Náhodné procesy
Náhodný proces je postupnosť náhodných premenných usporiadaných v rastúcom poradí nejakej premennej (zvyčajne času). Môžete prejsť od popisu náhodnej premennej k popisu náhodného procesu zvážením spoločných distribúcií dvoch, troch alebo viacerých hodnôt procesu v rôznych časových bodoch. Najmä s ohľadom na proces v čase oddielov(at 
), získame -rozmernú spoločnú distribučnú funkciu a funkciu hustoty pravdepodobnosti náhodných premenných 
… 
, definovaný výrazom
.
Náhodný proces sa považuje za úplne definovaný, ak pre niekoho jeho spoločné PDF si môžete zapísať v ľubovoľnom časovom bode 
.
Pri popise náhodného procesu sa často môžeme obmedziť na množinu jeho zmiešaných počiatočných momentov (ak existujú, t. j. zodpovedajúce integrály sa zbiehajú)
a zmiešané ústredné momenty
pre nezáporné celé čísla 
a vo všeobecnosti.
Vo všeobecnom prípade momenty spoločného PDF závisia od umiestnenia úsekov na časovej osi a sú tzv. momentové funkcie. Najčastejšie sa používa druhý zmiešaný centrálny moment.
,
nazývaná autokorelačná funkcia alebo autokorelačná funkcia (ACF). Pripomeňme si, že tu a nižšie nie je explicitne naznačená závislosť od času, a to funkcie času 
, 
A 
.
Dva náhodné procesy možno posudzovať spoločne 
A 
; takáto úvaha predpokladá ich popis vo forme spoločného viacrozmerného PDF, ako aj vo forme súboru všetkých momentov, vrátane zmiešaných. Najčastejšie sa používa druhý zmiešaný centrálny moment.
,
nazývaná krížová korelačná funkcia 
.
Medzi všetkými náhodnými procesmi sa rozlišujú SP, pre ktoré sa spoločné rozmerové PDF nemení, keď sa všetky časové úseky súčasne zmenia (posunú) o rovnakú hodnotu. Takéto procesy sa nazývajú stacionárne v užšom zmysle alebo prísne stacionárne.
Častejšie sa uvažuje o širšej triede náhodných procesov s oslabenými vlastnosťami stacionárnosti. Spoločný podnik je tzv stacionárne v širšom zmysle, ak sa pri súčasnom posune úsekov nemenia len jeho momenty nie vyšší ako druhý poriadku. V praxi to znamená, že SP je v širšom zmysle stacionárny, ak má konštantný priemer(matematické očakávanie) a disperzia 
a ACF závisí iba od rozdielu medzi časovými momentmi, ale nie od ich pozícií na časovej osi:
1) 
,
2) , 
.
Všimnite si to 
, z čoho vyplýva stálosť disperzie.
Nie je ťažké overiť, že proces, ktorý je v užšom zmysle stacionárny, je stacionárny aj v širšom zmysle. Opačné tvrdenie je vo všeobecnosti nepravdivé, hoci existujú procesy, pre ktoré stacionárnosť v širšom zmysle znamená stacionárnosť v užšom zmysle.
Spoločný rozmerový súbor PDF s údajmi 
Gaussov proces v časových úsekoch má tvar
, (4.1)
Kde 
– determinant štvorcovej matice zloženej z párových korelačných koeficientov vzoriek; 
– algebraický doplnok prvku 
túto matricu.
Spoločné Gaussovské PDF pre každý prípad je úplne určené matematickými očakávaniami, disperziami a korelačnými koeficientmi vzoriek, t.j. momentovými funkciami nie vyššími ako druhý rád. Ak je Gaussov proces v širšom zmysle stacionárny, potom sú všetky matematické očakávania rovnaké, všetky rozptyly (a teda aj smerodajná odchýlka) sú si navzájom rovné a korelačné koeficienty sú určené len tým, ako ďaleko sú časové úseky oddelené od navzájom. Potom sa samozrejme PDF (4.1) nezmení, ak sa všetky časové úseky posunú doľava alebo doprava o rovnakú hodnotu. Z toho vyplýva Gaussov proces, stacionárny v širšom zmysle, stacionárny v užšom zmysle(prísne stacionárne).
Medzi striktne stacionárnymi náhodnými procesmi sa často rozlišuje užšia trieda ergodický náhodné procesy. Pre ergodické procesy sa momenty zistené spriemerovaním celého súboru rovnajú zodpovedajúcim momentom zisteným spriemerovaním v priebehu času:
,
(Tu 
– symbolické označenie operátora časového priemerovania).
Najmä pre ergodický proces sú matematické očakávania, rozptyl a ACF rovnaké
,
,
Ergodicita je veľmi žiaduca, pretože umožňuje prakticky merať (vyhodnocovať) numerické charakteristiky náhodného procesu. Faktom je, že pozorovateľ má zvyčajne k dispozícii iba jednu (aj keď možno dosť dlhú) implementáciu náhodného procesu. Ergodicita v podstate znamená, že táto jedinečná realizácia je plnoprávnym zástupcom celého súboru.
Meranie charakteristík ergodického procesu je možné vykonať pomocou jednoduchých meracích zariadení; takže ak je proces časovo závislé napätie, potom voltmeter magnetoelektrický systém meria svoje matematické očakávanie (konštantná zložka), voltmeter elektromagnetického alebo termoelektrického systému pripojeného cez separačnú kapacitu (na vylúčenie konštantnej zložky) - jeho efektívnu hodnotu (RMS). Zariadenie, ktorého bloková schéma je znázornená na obr. 4.1, umožňuje merať hodnoty funkcie autokorelácie pre rôzne 
. Dolnopriepustný filter tu hrá úlohu integrátora, kondenzátor centralizuje proces, pretože neprepúšťa jednosmernú zložku. Toto zariadenie je tzv korelometer.
Ryža. 4.1
Podmienkou sú dostatočné podmienky pre ergodicitu stacionárneho náhodného procesu 
a tiež menej silné Slutsky stav 
.
^
Diskrétne algoritmy na odhadovanie parametrov SP
Vyššie uvedené výrazy na nájdenie odhadov parametrov SP a korelačnej funkcie platia pre spojitý čas. V tomto laboratórne práce(ako v mnohých moderných technických systémoch a zariadeniach) sú analógové signály generované a spracovávané digitálnymi zariadeniami, čo vedie k potrebe určitej úpravy zodpovedajúcich výrazov. Najmä na určenie odhadu matematického očakávania sa používa výraz vzorový priemer
,
Kde 
– postupnosť vzoriek procesu ( vzorka objem 
). Odhad rozptylu je rozptyl vzorky, definovaný výrazom
.
Odhad autokorelačnej funkcie, inak nazývaný korelogram, sa nachádza ako
.
Odhad hustoty rozdelenia pravdepodobnosti okamžitej hodnoty SSP je histogram. Na jeho nájdenie je rozsah možných hodnôt SP rozdelený na 
intervaly rovnakej šírky, potom pre každý 
-tý interval počet 
vzorky vzorky v ňom obsiahnutej. Histogram je množina čísel 
, zvyčajne zobrazený ako mriežkový diagram. Počet intervalov pre danú veľkosť vzorky sa vyberá na základe kompromisu medzi presnosťou odhadu a rozlíšením (stupňom detailu) histogramu.
^
Korelačno-spektrálna teória náhodných procesov
Ak nás zaujímajú iba momentové charakteristiky prvého a druhého rádu, ktoré určujú vlastnosť stacionárnosti v širšom zmysle, potom sa popis stacionárneho SP vykonáva na úrovni autokorelačnej funkcie. 
a výkonová spektrálna hustota 
, spojené dvojicou Fourierových transformácií ( Wiener-Khinchinova veta):
, 
.
Samozrejme, SPM - nezáporné funkciu. Ak má proces nenulové matematické očakávanie, potom sa tento výraz pridá do PSD 
.
Pre skutočný proces sú ACF a SPM dokonca skutočnými funkciami.
Niekedy sa môžete obmedziť na číselné charakteristiky – korelačný interval a efektívnu šírku spektra. ^ Korelačný interval sú definované rôznymi spôsobmi, známe sú najmä tieto definície:
