Periodická závislosť je všeobecný typ zložky časového radu. Dá sa ľahko vidieť, že každé pozorovanie je veľmi podobné svojmu susedovi; Okrem toho existuje opakujúca sa periodická zložka, čo znamená, že každé pozorovanie je podobné pozorovaniu, ktoré sa vyskytlo v rovnakom čase pred obdobím. Vo všeobecnosti možno periodický vzťah formálne definovať ako korelačný vzťah k-rádu medzi každým z nich i-tý prvok séria a (i-k)-tý prvok. Môže sa merať pomocou autokorelácie (t. j. korelácie medzi samotnými členmi série); k sa zvyčajne nazýva oneskorenie (niekedy sa používajú ekvivalentné pojmy: posun, oneskorenie). Ak chyba merania nie je príliš veľká, potom možno periodicitu určiť vizuálne preskúmaním správania členov série každých k časových jednotiek.
Periodické zložky časového radu možno nájsť pomocou korelogramu. Korelogram (autokorelogram) zobrazuje numericky a graficky autokorelačnú funkciu (ACF), inými slovami, autokorelačné koeficienty pre sekvenciu oneskorení z určitého rozsahu. Korelogram zvyčajne ukazuje rozsah dvoch štandardných chýb pri každom oneskorení, ale zvyčajne je veľkosť autokorelácie zaujímavejšia ako jej spoľahlivosť, pretože sú to väčšinou veľmi silné autokorelácie, ktoré sú predmetom záujmu.
Pri štúdiu korelogramov treba pamätať na to, že autokorelácie po sebe nasledujúcich oneskorení sú na sebe formálne závislé. Zvážte nasledujúci príklad. Ak prvý člen radu úzko súvisí s druhým a druhý s tretím, potom prvý prvok musí tiež nejako závisieť od tretieho atď. To vedie k tomu, že periodická závislosť sa môže výrazne zmeniť po odstránení autokorelácií prvého rádu (t. j. po zobratí rozdielu s oneskorením 1).
Účel práce:
1. Uveďte základné teoretické informácie
2. Uveďte príklady výpočtu ACF
Pre plné charakteristiky náhodný proces jeho matematické očakávanie a rozptyl nestačia. V roku 1927 E.E. Slutsky predstavil koncept „prepojenej série“ pre závislé pozorovania: pravdepodobnosť výskytu určitých špecifických hodnôt na určitom mieste závisí od toho, aké hodnoty náhodná premenná už dostala skôr alebo dostane. neskôr. Inými slovami, existuje rozptylové pole párov hodnôt x(t), x(t+k) časového radu, kde k je konštantný interval alebo oneskorenie, charakterizujúce vzájomnú závislosť následných implementácií procesu od predchádzajúce. Blízkosť tohto vzťahu je hodnotená autokovariančnými koeficientmi –
g (k) = E[(x(t) - m)(x(t + k) - m)] –
a autokoreláciu
r (k) = E[(x(t) - m)(x(t + k) - m)] / D ,
kde sú m a D matematické očakávanie a rozptyl náhodného procesu. Na výpočet autokovariancie a autokorelácie reálnych procesov sú potrebné informácie o spoločnom rozdelení pravdepodobnosti úrovní radu p(x(t 1),x(t 2)). Avšak pre stacionárne procesy, ktoré sú v určitej štatistickej rovnováhe, je toto rozdelenie pravdepodobnosti rovnaké pre všetky časy t 1, t 2 oddelené rovnakým intervalom. Od rozptylu stacionárny proces kedykoľvek (aj v t aj t + k) sa rovná D = g(0), potom môže byť autokorelácia s oneskorením k vyjadrená ako
r(k) = g(k)/g(0),
z čoho vyplýva, že r (0) = 1. Za rovnakých podmienok stacionarity korelačný koeficient r (k) medzi dvoma hodnotami časového radu závisí len od hodnoty časového intervalu k a nezávisí od pozorovacie momenty samy osebe.
V štatistike existuje niekoľko vzorových odhadov teoretických hodnôt autokorelácie r(k) procesu počas konečného časového radu n pozorovaní. Najpopulárnejším odhadom je necyklický autokorelačný koeficient s oneskorením k (Anderson, 1976; Vainu, 1977):
Najdôležitejší z rôznych autokorelačných koeficientov je prvý - r 1, ktorý meria tesnosť súvislosti medzi úrovňami x(1), x(2),..., x(n -1) a x(2) , x(3),..., x(n).
Rozdelenie autokorelačných koeficientov nie je známe, preto sa na posúdenie ich spoľahlivosti niekedy používa neparametrická teória Andersona (1976), ktorý navrhol štatistiku.
t = r1 (n-1) 0,5,
ktorý je pri dostatočne veľkej vzorke normálne rozdelený, má strednú hodnotu nula a rozptyl rovný jednej (Tintner, 1965).
Postupnosť korelačných koeficientov r k, kde k = 1, 2, ..., n, ako funkcia intervalu k medzi pozorovaniami, sa nazýva autokorelačná funkcia (ACF).
Typ vzorkovej autokorelačnej funkcie úzko súvisí so štruktúrou série.
· Autokorelačná funkcia rk pre „biely šum“ pre k >0 tiež tvorí stacionárny časový rad s priemernou hodnotou 0.
· Pre stacionárnu sériu ACF rýchlo klesá so zvyšujúcim sa k. Ak existuje jasný trend, funkcia autokorelácie nadobudne charakteristický vzhľad veľmi pomaly klesajúcej krivky.
· V prípade výraznej sezónnosti obsahuje graf ACF aj odľahlé hodnoty pre oneskorenia, ktoré sú násobkami obdobia sezónnosti, ale tieto odľahlé hodnoty môžu byť zakryté prítomnosťou trendu alebo veľkým rozptylom náhodnej zložky.
Pozrime sa na príklady autokorelačnej funkcie:
· na obr. Obrázok 1 ukazuje graf ACF, charakterizovaný miernym trendom a nejasnou sezónnosťou;
· ryža. 2 ukazuje ACF série charakterizovanú fenomenálnym sezónnym determinantom;
· prakticky netlmený graf ACF série (obr. 3) naznačuje prítomnosť jasného trendu.
Vo všeobecnosti môžeme predpokladať, že neexistuje autokorelácia v sérii pozostávajúcej z odchýlok od trendu. Napríklad na obr. Obrázok 4 ukazuje graf ACF pre rezíduá získané z vyhladzovania série, čo veľmi pripomína proces „bieleho šumu“. Často sa však vyskytujú prípady, keď sa rezíduá (náhodná zložka h) môžu ukázať ako autokorelované, napríklad z nasledujúcich dôvodov:
· v deterministických alebo stochastických dynamických modeloch sa nezohľadňuje podstatný faktor
· model nezohľadňuje viaceré nedôležité faktory, ktorých vzájomné ovplyvňovanie sa zhodou fáz a smerov ich zmeny ukazuje ako významné;
· bol zvolený nesprávny typ modelu (bol porušený princíp kontraintuitívnosti);
· náhodná zložka má špecifickú štruktúru.
Durbin-Watsonov test (Durbin, 1969) je bežná štatistika určená na testovanie autokorelácie rezíduí prvého rádu po vyhladení série alebo v regresných modeloch.
Číselná hodnota koeficientu je
d = [(e(2)-e(1))2 + ... + (e(n)-e(n-1))2]/,
kde e(t) sú zvyšky.
Možné hodnoty kritéria sú v rozsahu od 0 do 4 a jeho tabuľkové prahové hodnoty pre rôzne úrovne význam (Leeser, 1971).
Hodnota d je blízka hodnote 2*(1 - r 1), kde r je výberový autokorelačný koeficient pre rezíduá. V súlade s tým je ideálna hodnota štatistiky 2 (neexistuje žiadna autokorelácia). Menšie hodnoty zodpovedajú pozitívnej autokorelácii zvyškov, väčšie - záporným.
Napríklad po vyhladení série má séria rezíduí kritérium d = 1,912. Podobné štatistiky po vyhladení série - d = 1,638 - naznačujú určitú autokoreláciu rezíduí.
Všetky údaje sú prevzaté zo stránky http://e3.prime-tass.ru/macro/
Tu sú údaje o HDP Ruskej federácie
| rok | štvrťroku | HDP | prvý rozdiel |
| 2001 | ja | 1900,9 | |
| II | 2105,0 | 204,1 | |
| III | 2487,9 | 382,9 | |
| IV | 2449,8 | -38,1 | |
| 2002 | ja | 2259,5 | -190,3 |
| II | 2525,7 | 266,2 | |
| III | 3009,2 | 483,5 | |
| IV | 3023,1 | 13,9 | |
| 2003 | ja | 2850,7 | -172,4 |
| II | 3107,8 | 257,1 | |
| III | 3629,8 | 522,0 | |
| IV | 3655,0 | 25,2 | |
| 2004 | ja | 3516,8 | -138,2 |
| II | 3969,8 | 453,0 | |
| III | 4615,2 | 645,4 | |
| IV | 4946,4 | 331,2 | |
| 2005 | ja | 4479,2 | -467,2 |
| II | 5172,9 | 693,7 | |
| III | 5871,7 | 698,8 | |
| IV | 6096,2 | 224,5 | |
| 2006 | ja | 5661,8 | -434,4 |
| II | 6325,8 | 664,0 | |
| III | 7248,1 | 922,3 | |
| IV | 7545,4 | 297,3 | |
| 2007 | ja | 6566,2 | -979,2 |
| II | 7647,5 | 1081,3 |
Pojem autokorelačných funkcií signálov . Autokorelačná funkcia (CF - correlation function) signálu s(t), energeticky konečná, je kvantitatívna integrálna charakteristika tvaru signálu, identifikujúca v signáli povahu a parametre vzájomného časového vzťahu vzoriek, ku ktorému vždy dochádza. pre periodické signály, ako aj interval a stupeň závislosti načítaných hodnôt v aktuálnom čase od predchádzajúcej histórie aktuálneho okamihu. ACF je určený integrálom súčinu dvoch kópií signálu s(t), vzájomne posunutých o čas :
B s () =s(t) s(t+) dt = ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)|| ||s(t+)|| cos ().
(6.1.1)
Ako z tohto výrazu vyplýva, ACF je skalárny súčin signálu a jeho kópie vo funkčnej závislosti od premennej hodnoty posunu . V súlade s tým má ACF fyzikálny rozmer energie a pri = 0 sa hodnota ACF priamo rovná energii signálu a je maximálne možné (kosínus uhla interakcie signálu so sebou samým je rovný 1 ): 
Bs (0) =
s(t)2dt = Es.
ACF označuje párne funkcie, čo sa dá ľahko overiť nahradením premennej t = t- vo výraze (6.1.1): 
B s () =
s(t-) s(t) dt = B s (-). maximálny ACF, rovná energii
signál pri =0 je vždy kladný a modul ACF pri žiadnej hodnote časového posunu neprekročí energiu signálu. Ten vyplýva priamo z vlastností skalárneho produktu (rovnako ako Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť):
ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+||cos (),
cos () = 1 pri = 0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t)|| = E s ,< 1 при 0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+)||cos () < E s .
cos () 
amplitúdy pravouhlého impulzu, pričom energie signálu budú tiež rovnaké, čo potvrdzujú rovnaké hodnoty centrálnych maxím ACF. Pre konečné doby trvania impulzov sú doby trvania ACF tiež konečné a rovnajú sa dvojnásobku trvania impulzov (keď je kópia konečného impulzu posunutá o interval jeho trvania, doľava aj doprava, súčin pulz s jeho kópiou sa rovná nule). Frekvencia oscilácií ACF rádiového impulzu sa rovná frekvencii oscilácií plnenia rádiového impulzu (laterálne minimá a maximá ACF sa vyskytujú vždy s postupnými posunmi kópie rádiového impulzu o polovicu periódy oscilácií jeho plnenia).
Pri danej parite sa grafické znázornenie ACF zvyčajne vykonáva len pre kladné hodnoty . V praxi sú signály zvyčajne špecifikované v intervale hodnôt kladných argumentov od 0 do T. Znamienko + vo výraze (6.1.1) znamená, že ako sa hodnoty zvyšujú, kópia signálu s(t+) sa posúva doľava pozdĺž osi t a presahuje 0. Pre digitálne signály to vyžaduje zodpovedajúce rozšírenie údajov do oblasti hodnôt záporných argumentov. A keďže pri výpočtoch je interval nastavenia zvyčajne oveľa menší ako interval nastavenia signálu, je praktickejšie posunúť kópiu signálu doľava pozdĺž osi argumentu, t.j. pomocou funkcie s(t-) namiesto s(t+) vo výraze (6.1.1).
B s () = 
s(t) s(t-) dt. (6.1.1")
V prípade konečných signálov, keď sa hodnota posunu zvyšuje, dočasné prekrytie signálu s jeho kópiou sa znižuje, a teda kosínus interakčného uhla a skalárneho súčinu ako celku majú tendenciu k nule:
=
0.
ACF vypočítaná z centrovanej hodnoty signálu s(t) je autokovariancie funkcia signálu:
C s () = 
dt, (6.1.2)
kde s je priemerná hodnota signálu. Kovariančné funkcie súvisia s korelačnými funkciami pomerne jednoduchým vzťahom:
C s () = B s () - s 2 .
ACF časovo obmedzených signálov. V praxi sa signály vysielané v určitom intervale zvyčajne študujú a analyzujú. Na porovnanie ACF signálov špecifikovaných v rôznych časových intervaloch nachádza praktickú aplikáciu modifikácia ACF s normalizáciou na dĺžku intervalu. Takže napríklad pri špecifikovaní signálu na intervale:
ACF označuje párne funkcie, čo sa dá ľahko overiť nahradením premennej t = t- vo výraze (6.1.1): 
s(t) s(t+) dt. (6.1.3)
ACF možno vypočítať aj pre slabo tlmené signály s nekonečnou energiou ako priemernú hodnotu skalárneho súčinu signálu a jeho kópie, keď má interval nastavenia signálu tendenciu k nekonečnu:
B s () 
.
(6.1.4)
ACF podľa týchto výrazov má fyzikálny rozmer výkonu a rovná sa priemernému vzájomnému výkonu signálu a jeho kópie, funkčne v závislosti od posunu kópie.
ACF periodických signálov. Energia periodických signálov je nekonečná, preto sa ACF periodických signálov počíta za jednu periódu T, pričom sa spriemeruje skalárny súčin signálu a jeho posunutá kópia v rámci periódy:
B s () = (1/T) 
s(t) s(t-) dt. (6.1.5)
Matematicky presnejší výraz:
B s () 
.
Pri =0 sa hodnota ACF normalizovaná na periódu rovná priemernej sile signálov v rámci periódy. V tomto prípade je ACF periodických signálov periodickou funkciou s rovnakou periódou T. Takže pre signál s(t) = A cos( 0 t+ 0) pri T=2/ 0 máme:
ACF označuje párne funkcie, čo sa dá ľahko overiť nahradením premennej t = t- vo výraze (6.1.1): 
A cos( 0 t+ 0) A cos( 0 (t-)+ 0) = (A 2 /2) cos( 0 ).
Získaný výsledok nezávisí od počiatočnej fázy harmonického signálu, ktorá je typická pre akékoľvek periodické signály a je jednou z vlastností ACF. Pomocou autokorelačných funkcií môžete skontrolovať periodické vlastnosti v ľubovoľných signáloch. Príklad autokorelačnej funkcie periodického signálu je na obr. 6.1.2. Autokovariančné funkcie (ACF)
sa vypočítajú podobne s použitím centrovaných hodnôt signálu. Pozoruhodnou vlastnosťou týchto funkcií je ich jednoduchý vzťah s disperziou s 2 signálov (druhá mocnina štandardu - štandardná odchýlka hodnôt signálu od priemernej hodnoty). Ako je známe, hodnota disperzie sa rovná priemernému výkonu signálu, ktorý nasleduje:
|C s ()| ≤ s 2, C s (0) = s 2 ||s(t)|| 2.
(6.1.7)
Hodnoty FAC normalizované na hodnotu rozptylu sú funkciou autokorelačných koeficientov:
s () = C s ()/C s (0) = C s ()/ s 2 cos ). (6.1.8) v signáloch. Šum v signáli s1(k) znížil amplitúdu periodických kmitov bez zmeny periódy. Potvrdzuje to graf krivky C s / s 1, t.j. FAC signálu s(k) s normalizáciou (pre porovnanie) na hodnotu rozptylu signálu s1(k), kde je jasne vidieť, že šumové impulzy pri úplnej štatistickej nezávislosti ich odčítania spôsobili zvýšenie hodnoty C s1 (0) vo vzťahu k hodnote C s ( 0) a trochu „rozmazali“ funkciu autokovariančných koeficientov. Je to spôsobené tým, že hodnota s () šumových signálov má tendenciu k 1 pri 0 a kolíše okolo nuly pri ≠ 0, pričom amplitúdy fluktuácií sú štatisticky nezávislé a závisia od počtu vzoriek signálu ( majú tendenciu k nule so zvyšujúcim sa počtom vzoriek) .
ACF diskrétnych signálov. Pri intervale vzorkovania údajov t = const sa výpočet ACF vykonáva v intervaloch = t a zvyčajne sa zapisuje ako diskrétna funkcia čísel n posunu vzorky n:
B s (nt) = t 
s k s k-n .
(6.1.9)
Diskrétne signály sa zvyčajne špecifikujú vo forme číselných polí určitej dĺžky s číslovaním vzoriek k = 0,1,...K pri t=1 a výpočet diskrétneho ACF v energetických jednotkách sa vykonáva jednosmerne. verzia, berúc do úvahy dĺžku polí. Ak sa použije celé pole signálov a počet vzoriek ACF sa rovná počtu vzoriek poľa, výpočet sa vykoná podľa vzorca: 
Bs (n) =
s k s k-n .
(6.1.10)
Diskrétne signály sa zvyčajne špecifikujú vo forme číselných polí určitej dĺžky s číslovaním vzoriek k = 0,1,...K pri t=1 a výpočet diskrétneho ACF v energetických jednotkách sa vykonáva jednosmerne. verzia, berúc do úvahy dĺžku polí. Ak sa použije celé pole signálov a počet vzoriek ACF sa rovná počtu vzoriek poľa, výpočet sa vykoná podľa vzorca: 
Násobiteľ K/(K-n) v tejto funkcii je korekčný faktor pre postupné znižovanie počtu vynásobených a sčítaných hodnôt, keď sa posun n zvyšuje. Bez tejto korekcie pre necentrované signály sa v hodnotách ACF objaví trend súčtu priemerných hodnôt. Pri meraní v jednotkách výkonu signálu sa násobiteľ K/(K-n) nahradí násobiteľom 1/(K-n).< 0, (6.1.11)
tie. s normalizáciou o konštantný faktor 1/K a s rozšírením signálu o nulové hodnoty (na ľavú stranu pri použití k-n posunov alebo na pravú stranu pri použití k+n posunov). Tento odhad je skreslený a má o niečo menší rozptyl ako podľa vzorca (6.1.10). Rozdiel medzi normalizáciami podľa vzorcov (6.1.10) a (6.1.11) je dobre vidieť na obr. 6.1.4.
Vzorec (6.1.11) možno považovať za spriemerovanie súčtu súčinov, t.j. ako odhad matematického očakávania:
B s (n) = M(s k s k - n ) 
.
(6.1.12)
V praxi má diskrétny ACF rovnaké vlastnosti ako kontinuálny ACF. Je tiež párny a jeho hodnota pri n = 0 sa rovná energii alebo výkonu diskrétneho signálu v závislosti od normalizácie.
ACF šumových signálov . Šumový signál sa zapíše ako súčet v(k) = s(k)+q(k). Vo všeobecnosti šum nemusí mať nulovú priemernú hodnotu a výkonovo normalizovaná autokorelačná funkcia digitálneho signálu obsahujúceho N vzoriek je zapísaná takto:
Bv (n) = (1/N) s(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n) =
= (1/N) [s(k), s(k-n) + s(k), q(k-n) + q(k), s(k-n) + q(k), q (k-n)] =
Bs(n) + M(skqk-n) + M(qksk-n) + M(qkqk-n).
Bv(n) = Bs(n)+ 
+
+
.
(6.1.13)
So štatistickou nezávislosťou užitočného signálu s(k) a šumu q(k) pri zohľadnení rozšírenia matematického očakávania
M(skqk-n) = M(sk) M(qk-n)= 
možno použiť nasledujúci vzorec:
Bv(n) = Bs(n) + 2 
+
.
(6.1.13")
Zo vzorcov (6.1.13) vyplýva, že ACF šumového signálu pozostáva z ACF signálovej zložky užitočného signálu so superponovanou tlmiacou zložkou do hodnoty 2. 
+
funkcia šumu. O veľké hodnoty K keď 
→ platí 0, B v (n) B s (n). To umožňuje nielen identifikovať periodické signály z ACF, ktoré sú takmer úplne skryté v šume (výkon šumu je oveľa väčší ako výkon signálu), ale tiež s vysokou presnosťou určiť ich periódu a tvar v rámci periódy a pre jednofrekvenčné harmonické signály– a ich amplitúdu pomocou výrazu (6.1.6).
Tabuľka 6.1.
|
Barkerov signál |
ACF signálu |
|
|
1, 1, 1, -1, -1, 1, -1 |
7, 0, -1, 0, -1, 0, -1 |
|
|
1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1 |
11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1 |
|
|
1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1 |
13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1 |
3.2. Nájdite priemer série a smerodajnú odchýlku s t, vyneste ich do grafu:
3.3. Nájdite autokorelačné koeficienty pre oneskorenia τ = 1;2.
Riešenie. Výpočet vykonávame pomocou vzorca
Pre τ = 1 a naše hodnoty bude mať vzorec tvar:
| 14 | ||||||||
| 12 | ||||||||
| 10 | ||||||||
| 8 | ||||||||
| 6 | st = 3,69 | |||||||
| 4 | ||||||||
| st = 3,69 | ||||||||
| 2 | ||||||||
| T | ||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||
Obrázok 4.1 – Nestacionárny náhodný proces rastu výnosov
Všetky medzivýpočty sú uvedené v tabuľke 4.2. Nakoniec:
Podobne pre r(2), pozri tabuľku 4.3:
Tabuľka 4.2 – Oneskorenie τ = 1
| t | y(t) | y(t+τ) | y(t)- (=5,72) | y(t+τ)- | (y(t)- ) (y(t+τ)- ) | (y(t)-) 2 |
| 1 | 2 | 3 | -3,72 | -2,72 | 10,12 | 13,84 |
| 2 | 3 | 4 | -2,72 | -1,72 | 4,68 | 7,40 |
| 3 | 4 | 5 | -1,72 | -0,72 | 1,24 | 2,96 |
| 4 | 5 | 5 | -0,72 | -0,72 | 0,52 | 0,52 |
| 5 | 5 | 7 | -0,72 | 1,28 | -0,92 | 0,52 |
| 6 | 7 | 14 | 1,28 | 8,28 | 10,60 | 1,64 |
| 7 | - | - | - | - | - | 68,56 |
| 26 | 38 | - | - | 26,23 | 95,43 |
3.4. Zostrojte autokorelačnú funkciu na základe troch bodov (0,00; 1,00), (1,00; 0,32), (2,00; 0,10).
Riešenie. Pozri obrázok 4.1.
| r | |||||||||||
Obrázok 4.1 Autokorelačná funkcia pre náhodný proces
Poznámka: Body 4 a 5 sú nepovinné.
Tabuľka 4.3 – Oneskorenie τ = 2
| t | y(t) | y(t+τ) | y(t)- (=5,72) | y(t+τ)- | (y(t)- ) (y(t+τ)- ) | (y(t)-) 2 |
| 1 | 2 | 4 | -3,72 | -1,72 | 6,40 | 13,84 |
| 2 | 3 | 5 | -2,72 | -0,72 | 1,96 | 7,40 |
| 3 | 4 | 5 | -1,72 | -0,72 | 1,24 | 2,96 |
| 4 | 5 | 7 | -0,72 | 1,28 | -0,92 | 0,52 |
| 5 | 5 | 14 | -0,72 | 8,28 | -5,96 | 0,52 |
| 6 | - | - | - | - | - | 1,64 |
| 7 | - | - | - | - | - | 68,56 |
| 19 | 35 | - | - | 2,71 | 95,43 |
1. Mnatsakanyan, A.G. Pokyny pre návrh vzdelávacích textových prác (abstrakty, testy, ročníkové práce, kvalifikácie na absolvovanie) / A.G. Mnatsakanyan, Yu.Ya. Nastin, E.S. Kruglovej. – Kaliningrad, Vydavateľstvo KSTU, 2017. – 22 s.
2. Kremer, N.Sh. Ekonometria: učebnica / N.Sh. Kremer, B.A. Putko. – Ekonometria: učebnica. – M.: UNITY-DANA, 2012. – 387 s.
3. Nastin, Yu, Ya. Ekonometria: vzdelanostná osada. / Áno, Nastin. – Kaliningrad: NOU VPO BIEF, 2004. – 82 s.
4. Nastin, Yu.Ya. Ekonometria: metóda. vyhláška. a úlohy pre skúšobná práca/ Yu.Ya. Nastin. – Kaliningrad: Federálna štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania KSTU, 2015. – 40 s.
5. Pakhnutov, I.A. Úvod do ekonometrie: výchovná metóda dedina. / I.A. Pakhnutov. – Kaliningrad: FGOU VPO “KSTU”, 2009. – 108 s.
6. Buravlev, A.I. Ekonometria: učebnica / A.I. Buravlev. – M.: Binom. Vedomostné laboratórium, 2012. – 164 s.
7. Utkin, V.B. Ekonometria: učebnica / V.B. Utkin - vyd. 2. – M.: Dashkov i K, 2011. – 564 s.
8. Ekonometria: učebnica / vyd. I.I. Eliseeva. –M.: Prospekt, 2011.-288 s.
9. Valentinov, V.A. Ekonometria: učebnica / V.A. Valentinov – vyd. 2. – M.: Dashkov i K, 2010. – 448 s.
10. Magnus, J.R. Ekonometria: počiatočný kurz/ Y.R. Magnus, P.K. Katyshev, A.A. Peresetsky. – 8. vydanie, M.: Delo, 2008. – 504 s.
11. http://window.edu.ru/resource/022/45022 Sklyarov Yu.S. Ekonometria. Krátky kurz: Učebnica. - Petrohrad: GUAP, 2007. - 140 s.
12. http://window.edu.ru/resource/537/74537 Shanchenko, N. I. Ekonometria: laboratórny workshop: tréningový manuál/ N. I. Šančenko. - Uljanovsk: Uljanovská štátna technická univerzita, 2011. - 117 s.
13. Berndt, E.R. Prax ekonometrie: klasika a modernita: Učebnica / preklad z angličtiny / E.R. Berndt. – M.: UNITY-DANA, 2005. – 863 s.
Príloha A
Hodnoty Laplaceovej funkcie
Ak v časovom rade existuje trend a cyklické zmeny, hodnoty nasledujúcej úrovne radu závisia od predchádzajúcich. Závislosť medzi po sebe nasledujúcimi úrovňami časového radu sa nazýva autokorelácia úrovní radu.
Dá sa kvantitatívne merať pomocou korelačného indexu medzi úrovňami pôvodného časového radu a úrovňami tohto radu posunutými o niekoľko krokov v čase.
Nech je daný časový rad: y, y, ... y a nech je medzi nimi lineárna korelácia y t A yt-1.
Určme korelačný koeficient medzi radmi y t A yt-1.
Na tento účel používame nasledujúci vzorec:
Plochý xj = yt-1, yj = yt-1, dostaneme
(5.1)
Autokorelačné koeficienty druhého a vyššieho rádu sa určujú podobne. Autokorelačný koeficient 2. rádu teda charakterizuje tesnosť spojenia medzi úrovňami pri A pri a určuje sa podľa vzorca:
(5.2)
Poradie úrovne autokorelačného radu sa nazýva oneskorenie.
Pre vzorec (5.1) sa oneskorenie rovná jednej, pre (5.3) - dva.
Postupnosť autokorelačných koeficientov prvej, druhej atď. úrovne. objednávok sa nazýva autokorelačná funkcia časových radov (ACF).
Graf závislosti jeho hodnôt od hodnoty oneskorenia sa nazýva korelogram.
ACF a korelogram umožňujú určiť oneskorenie, pri ktorom je autokorelácia najvyššia, a následne oneskorenie, pri ktorom je súvislosť medzi aktuálnou a predchádzajúcou úrovňou série najužšia, t.j. s ich pomocou môžete odhaliť štruktúru série.
Na identifikáciu prítomnosti alebo neprítomnosti trendovej zložky a cyklickej zložky v časovom rade sa odporúča použiť autokorelačný koeficient a ACF:
ak sa ukáže, že koeficient autokorelácie 1. rádu je najvyšší, potom skúmaný rad obsahuje iba trend;
ak sa ukáže, že autokorelačný koeficient k-tého rádu je najvyšší, potom séria obsahuje cyklické fluktuácie s periodicitou k-časových okamihov;
ak žiadny z koeficientov nie je významný, potom je možné urobiť jeden z dvoch predpokladov týkajúcich sa štruktúry tohto radu: buď rad neobsahuje trendy a cyklické zmeny a má štruktúru podobnú štruktúre radu zobrazenom na obr. 5.1c alebo séria obsahuje silný nelineárny trend, ktorý si vyžaduje ďalšiu analýzu na identifikáciu.
49. Generalizovaný regresný model. Zovšeobecnená metóda najmenších štvorcov. Aitkenova veta
Pri stavaní modelu napríklad lineárneho
Y = a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 +… + b p * x p + ε (59,1)
Náhodná premenná predstavuje nepozorovateľnú premennú. Pre rôzne špecifikácie modelu sa rozdiely medzi teoretickými a skutočnými hodnotami môžu líšiť. Úloha regresnej analýzy zahŕňa nielen konštrukciu samotného modelu, ale aj štúdium náhodných odchýlok i, t.j. zostatkové hodnoty. Po zostrojení regresnej rovnice skontrolujeme, či odhady i majú určité vlastnosti. Tieto vlastnosti odhadov získaných pomocou OLS majú veľmi dôležitý praktický význam pri použití výsledkov regresie a korelácie.
Regresné koeficienty b i zistené na základe systému normálne rovnice a predstavujúce selektívne odhady charakteristík sily spojenia, musia mať vlastnosť byť nezaujaté. Nestranný odhad znamená, že očakávaná hodnota zvyškov je nulová.
To znamená, že nájdený regresný parameter b i možno považovať za priemer možných hodnôt regresných koeficientov s nezaujatými odhadmi rezíduí.
Pre praktické účely je dôležitá nielen nestrannosť odhadov, ale aj efektívnosť odhadov. Odhady sa považujú za efektívne, ak majú najmenší rozptyl.
Aby boli intervaly spoľahlivosti regresných parametrov realistické, musia byť odhady konzistentné. Konzistentnosť odhadov je charakterizovaná zvyšovaním ich presnosti s rastúcou veľkosťou vzorky.
Štúdie rezíduí i zahŕňajú testovanie prítomnosti nasledujúcich piatich predpokladov OLS:
náhodný charakter pozostatkov;
nulová priemerná hodnota zvyškov, nezávislá od x i;
homoskedasticita — rozptyl každej odchýlky i je rovnaký pre všetky hodnoty x;
absencia autokorelácie rezíduí. Hodnoty zvyškov i sú rozdelené nezávisle na sebe;
zvyšky majú normálne rozdelenie.
Ak rozdelenie náhodných zvyškov i nezodpovedá niektorým predpokladom OLS, potom je potrebné model upraviť.
Najprv sa skontroluje náhodný charakter zvyškov i.
Ak sa na grafe získa vodorovný pás distribúcie rezíduí, potom rezíduá predstavujú náhodné premenné a OLS je opodstatnené, teoretické hodnoty y x sa dobre približujú skutočným hodnotám y.
Možné sú tieto prípady: ak i . závisí od y x potom:
zvyšky i . nie náhodne
zvyšky i . nemajú konštantný rozptyl
zvyšky i . sú systematické
V týchto prípadoch je potrebné buď použiť inú funkciu, alebo zadať ďalšie informácie a prestavať regresnú rovnicu, až kým rezíduá i nebudú náhodné premenné.
Druhý predpoklad znamená, že priemerná hodnota zvyškov sa rovná nule:
. (59.2)
Tretí predpoklad OLS vyžaduje, aby rozptyl rezíduí bol homoskedastický. To znamená, že pre každú hodnotu faktora x j majú rezíduá i rovnaký rozptyl. Ak táto podmienka na použitie OLS nie je splnená, dochádza k heteroskedasticite.
50. Prístupné zovšeobecnené najmenšie štvorce
Metóda najmenších štvorcov. Niektoré všeobecnejšie typy regresných modelov sú popísané v časti Základné typy nelineárnych modelov. Po výbere modelu vyvstáva otázka: ako možno tieto modely vyhodnotiť? Ak poznáte metódy lineárnej regresie (opísané v časti Viacnásobná regresia) alebo analýzy rozptylu (opísané v časti Analýza rozptylu), potom viete, že všetky tieto metódy používajú odhad najmenších štvorcov. Hlavnou myšlienkou tejto metódy je minimalizovať súčet štvorcových odchýlok pozorovaných hodnôt závislej premennej od hodnôt predpovedaných modelom. (Termín najmenších štvorcov bol prvýkrát použitý v práci Legendre, 1805.)
Metóda vážených najmenších štvorcov. Treťou najbežnejšou metódou popri metóde najmenších štvorcov a použití súčtu modulov odchýlok na odhad (pozri vyššie) je metóda vážených najmenších štvorcov. Bežná metóda najmenších štvorcov predpokladá, že rozptyl rezíduí je rovnaký pre všetky hodnoty nezávislých premenných. Inými slovami, predpokladá sa, že rozptyl chýb pre všetky merania je rovnaký. Tento predpoklad často nie je realistický. Odchýlky od nej nachádzame najmä v obchode, ekonomike a aplikáciách v biológii (všimnite si, že odhady parametrov pomocou metódy vážených najmenších štvorcov možno získať aj pomocou modulu viacnásobnej regresie).
Napríklad chcete študovať vzťah medzi plánovanými nákladmi na výstavbu budovy a množstvom skutočne vynaložených peňazí. To môže byť užitočné pri získavaní odhadu očakávaných prekročení. V tomto prípade je rozumné predpokladať, že absolútna hodnota prekročenia nákladov (vyjadrená v dolároch) je úmerná nákladom na projekt. Preto na prispôsobenie modelu lineárnej regresie by sa mala použiť metóda vážených najmenších štvorcov. Stratová funkcia môže byť napríklad niečo také (pozri Neter, Wasserman a Kutner, 1985, s. 168):
Straty = (pozorované-predpovedané) 2 * (1/x 2)
V tejto rovnici prvá časť stratovej funkcie znamená štandardnú stratovú funkciu najmenších štvorcov (pozorovaná mínus predpovedaná druhá mocnina; t.j. druhá mocnina zvyškov) a druhá sa rovná „váhe“ tejto straty v každom konkrétnom prípade. - jedna delená druhou mocninou nezávislej premennej (x) pre každé pozorovanie. V situácii skutočného odhadu program spočíta hodnoty stratovej funkcie cez všetky pozorovania (napríklad projektové projekty), ako je opísané vyššie, a vyberie parametre, ktoré minimalizujú súčet. Vráťme sa k uvažovanému príkladu, čím väčší je projekt (x), tým menšia je pre nás rovnaká chyba pri predpovedaní jeho nákladov. Táto metóda vytvára robustnejšie odhady regresných parametrov (podrobnejšie pozri Neter, Wasserman a Kutner. 1985).
51. Čau test
Gregory Chow* navrhol formálny štatistický test na vyhodnotenie modelu trendu časových radov v prítomnosti štrukturálnych zmien. Aplikácia tohto testu zahŕňa výpočet parametrov trendových rovníc. Predstavme si systém notácie uvedený v tabuľke.
Tabuľka 3 – Konvencie pre algoritmus Chowovho testu
Predpokladajme, že hypotéza H0 tvrdí štrukturálnu stabilitu trendu skúmaného časového radu. Zvyškový súčet štvorcov podľa po častiach lineárneho modelu (C cl ost) možno nájsť ako súčet C 1 ost a C 2 ost
C kl ost = C 1 ost + C 2 ost (62,1)
Zodpovedajúci počet stupňov voľnosti bude:
(n 1 - k 1) + (n 2 - k 2) = n - k 1 - k 2 (62,2)
Potom sa zníženie zvyškového rozptylu počas prechodu jednej trendovej rovnice na po častiach lineárny model určí takto:
Jednosmerné náklady = náklady C3 - náklady (62,3)
Počet stupňov voľnosti zodpovedajúcich DC pri zohľadnení vzťahu (23) bude:
n – k 3 - (n – n 1 – k 2) = k 1 + k 2 - k 3 (62,4)
Potom sa v súlade s metódou G. Chowa zistí skutočná hodnota F-kritéria pomocou nasledujúcich rozptylov na stupeň voľnosti variácie:
(62.5)
Zistená hodnota F fact sa porovnáva s tabuľkovou hodnotou (Fisherova tabuľka rozdelenia pre hladinu významnosti α ‚ a počet stupňov voľnosti (k 1 + k 2 – k 3) a (n - k 1 - k 2)
Ak F fact > F tabuľka, potom sa hypotéza o štrukturálnej stabilite trendu zamieta a vplyv štrukturálnych zmien na dynamiku skúmaného ukazovateľa sa považuje za významný. V tomto prípade by sa modelovanie trendu časového radu malo vykonať pomocou lineárneho modelu po častiach. Ak
F fakt< F табл то нулевая гипотеза структурной стабильности тенденции не отвергается. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.
Vlastnosti Chow testu.
1. Ak je počet parametrov vo všetkých rovniciach z tabuľky 3 (1), (2), (3) rovnaký a rovný k, potom je vzorec (56) zjednodušený:
(62.6)
2. Chowov test umožňuje vyvodiť záver o prítomnosti alebo neprítomnosti štrukturálnej stability v skúmanom časovom rade. Ak je F skutočnosť< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >F tabuľka potom hypotéza štrukturálnej stability je zamietnutá, čo znamená, že rozdiely v odhadoch parametrov rovníc (1) a (2) sú štatisticky významné.
H. Aplikácia Chow testu predpokladá, že predpoklady pre normálne rozdelenie rezíduá v rovniciach (1) a (2) a nezávislosť ich rozdelenia.
Ak je hypotéza o štrukturálnej stabilite trendu série y zamietnutá, ďalšia analýza môže pozostávať zo skúmania otázky príčin týchto štrukturálnych rozdielov a konkrétnejšieho skúmania povahy zmeny trendu. IN akceptované notácie tieto dôvody určujú rozdiely v odhadoch parametrov rovníc (1) a (2).
Možné sú nasledujúce kombinácie zmien v numerických odhadoch parametrov týchto rovníc:
Zmena numerického odhadu voľného člena rovnice trendu a 2 v porovnaní s a 1 za predpokladu, že rozdiely b 1 A b 2štatisticky nevýznamné. Geometricky to znamená, že čiary (1) (2) sú rovnobežné. Dochádza k prudkej zmene úrovne série t, v danom okamihu t‚a konštantný priemerný absolútny rast za dané obdobie;
Zmena číselného odhadu parametra b 2 v porovnaní s b 1 za predpokladu, že rozdiely medzi a 1 a a 2 sú štatisticky nevýznamné. Geometricky to znamená, že priamky (1) a (2) pretínajú súradnicovú os v jednom bode. K zmene trendu dochádza prostredníctvom zmeny priemerného absolútneho nárastu v časovom rade, počnúc časovým momentom t‚ s konštantnou počiatočnou úrovňou série v danom okamihu t=0
Zmena v numerických odhadoch parametrov a 1 a a 2, ako aj b 1 A b 2. To sa prejaví na grafe zmenou vstupná úroveň a priemer za obdobie absolútneho rastu
