Lineárne filtrovanie obrazu je možné vykonávať v priestorovej aj frekvenčnej doméne. Predpokladá sa, že „nízke“ priestorové frekvencie zodpovedajú hlavnému obsahu obrazu – pozadie a veľké objekty a „vysoké“ priestorové frekvencie – malé objekty, malé detaily veľkých tvarov a šumová zložka.
Tradične sa na prechod do oblasti priestorových frekvencií používajú metódy založené na $\textit(Fourierovej transformácii)$. IN posledné roky Stále častejšie sa používajú aj metódy založené na $\textit(wavelet-transform)$.
Fourierova transformácia vám umožňuje reprezentovať takmer akúkoľvek funkciu alebo súbor údajov ako ich kombináciu goniometrické funkcie, ako je sínus a kosínus, čo vám umožňuje identifikovať periodické zložky v údajoch a vyhodnotiť ich príspevok k štruktúre pôvodných údajov alebo forme funkcie. Tradične existujú tri hlavné formy Fourierovej transformácie: integrálna Fourierova transformácia, Fourierove rady a diskrétna transformácia Fourier.
Fourierova integrálna transformácia transformuje reálnu funkciu na pár reálnych funkcií alebo jednu komplexnú funkciu na inú.
Reálna funkcia $f(x)$ môže byť rozšírená v ortogonálnom systéme goniometrických funkcií, tj reprezentovaná v tvare
$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$
kde $A(\omega)$ a $B(\omega)$ sa nazývajú integrálne kosínusové a sínusové transformácie:
$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x ) \right)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left((2\pi \omega x )\vpravo)dx. $$
Fourierov rad predstavuje periodickú funkciu $f(x)$, definovanú na intervale $$, ako nekonečný rad v sínusoch a kosínusoch. To znamená, že periodická funkcia $f(x)$ je spojená s nekonečnou postupnosťou Fourierových koeficientov
$$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \right)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx . $$
Diskrétna Fourierova transformácia transformuje konečnú postupnosť reálnych čísel na konečnú postupnosť Fourierových koeficientov.
Nech $\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ - postupnosť reálnych čísel - napríklad jas pixelov sa počíta pozdĺž čiary obrázka. Táto postupnosť môže byť reprezentovaná ako kombinácia konečných súčtov tvaru
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)+\suma\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\suma \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \vpravo) ), \quad i\le k Hlavný rozdiel medzi tromi formami Fourierovej transformácie je v tom, že ak je integrálna Fourierova transformácia definovaná v celej oblasti definície funkcie $f(x)$, potom séria a diskrétna Fourierova transformácia sú definované iba na diskrétnej množine bodov, nekonečná pre Fourierov rad a konečná pre diskrétnu transformáciu. Ako je možné vidieť z definícií Fourierovej transformácie, diskrétna Fourierova transformácia je najzaujímavejšia pre systémy digitálneho spracovania signálov. Údaje prijaté z digitálnych médií alebo informačných zdrojov sú usporiadané sady čísel zapísaných vo forme vektorov alebo matíc. Zvyčajne sa predpokladá, že vstupné dáta pre diskrétnu transformáciu sú jednotnou vzorkou s krokom $\Delta $, pričom hodnota $T=N\Delta $ sa nazýva dĺžka záznamu alebo základná perióda. Základná frekvencia je $1/T$. Diskrétna Fourierova transformácia teda rozkladá vstupné dáta na frekvencie, ktoré sú celočíselným násobkom základnej frekvencie. Maximálna frekvencia, určená rozmerom vstupných údajov, sa rovná $1/2 \Delta $ a nazýva sa $\it(Nyquistova frekvencia)$. Pri použití diskrétnej transformácie je dôležité vziať do úvahy Nyquistovu frekvenciu. Ak majú vstupné dáta periodické zložky s frekvenciami vyššími ako Nyquistova frekvencia, potom diskrétna Fourierova transformácia nahradí vysokofrekvenčné dáta nižšou frekvenciou, čo môže viesť k chybám pri interpretácii výsledkov diskrétnej transformácie. $\it(energetické spektrum)$ je tiež dôležitým nástrojom na analýzu údajov. Výkon signálu na frekvencii $\omega $ sa určuje takto: $$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2) \right ). $$ Toto množstvo sa často nazýva $\it(energia signálu)$ na frekvencii $\omega $. Podľa Parsevalovej vety sa celková energia vstupného signálu rovná súčtu energií na všetkých frekvenciách. $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i) \správny)) . $$ Graf závislosti výkonu od frekvencie sa nazýva energetické spektrum alebo výkonové spektrum. Energetické spektrum umožňuje identifikovať skryté periodicity vo vstupných dátach a vyhodnotiť príspevok určitých frekvenčných zložiek k štruktúre vstupných dát. Okrem trigonometrickej formy zaznamenávania diskrétnej Fourierovej transformácie sa široko používa $\it(komplexná reprezentácia)$. Komplexná forma záznamu Fourierovej transformácie je široko používaná vo viacrozmernej analýze a najmä pri spracovaní obrazu. Prechod z trigonometrickej na komplexnú formu sa uskutočňuje na základe Eulerovho vzorca $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ Ak je vstupná sekvencia $N$ komplexné čísla, potom bude jej diskrétna Fourierova transformácia $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ a inverzná transformácia $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ Ak je vstupnou sekvenciou pole reálnych čísel, potom pre ňu existuje komplexná aj diskrétna sínusovo-kosínusová transformácia. Vzťah medzi týmito myšlienkami je vyjadrený takto: $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ zostávajúce transformačné hodnoty $N/2$ sú komplexné konjugáty a nenesú ďalšie informácie. Graf výkonového spektra diskrétnej Fourierovej transformácie je preto symetrický vzhľadom na $N/2$. Najjednoduchší spôsob výpočtu diskrétnej Fourierovej transformácie (DFT) je priamy súčet, ktorého výsledkom sú operácie $N$ s každým koeficientom. Celkové koeficienty sú $N$, takže celková zložitosť je $O\left((N^2) \right)$. Tento prístup nie je praktický, pretože existujú oveľa efektívnejšie spôsoby výpočtu DFT, nazývané rýchla Fourierova transformácia (FFT), ktorá má zložitosť $O (N\log N)$. FFT sa vzťahuje iba na sekvencie, ktoré majú dĺžku (počet prvkov) rovnajúcu sa mocnine 2. Najvšeobecnejším princípom algoritmu FFT je rozdelenie vstupnej sekvencie na dve sekvencie polovičnej dĺžky. Prvá sekvencia je vyplnená údajmi s párnymi číslami a druhá s údajmi s nepárnymi číslami. To umožňuje vypočítať koeficienty DFT pomocou dvoch transformácií dimenzie $N/2$. Označme $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, potom $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_ (2n) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/ 2) ^(mn)\omega _N^m $. Za $ m< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Diskrétna Fourierova transformácia pre dvojrozmerné pole čísel s veľkosťou $M\krát N$ je definovaná takto: $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ), $$ a inverzná transformácia $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2 \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ). $$ V prípade spracovania obrazu sa komponenty dvojrozmernej Fourierovej transformácie nazývajú $\textit(priestorové frekvencie)$. Dôležitou vlastnosťou dvojrozmernej Fourierovej transformácie je schopnosť vypočítať ju pomocou jednorozmernej FFT procedúry: $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\súčet\limity_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\súčet\limity_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \vpravo] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ Tu je výraz v hranatých zátvorkách jednorozmernou transformáciou riadku dátovej matice, ktorú možno vykonať pomocou jednorozmernej FFT. Aby sme teda získali dvojrozmernú Fourierovu transformáciu, musíme najprv vypočítať jednorozmerné riadkové transformácie, zapísať výsledky do pôvodnej matice a vypočítať jednorozmerné transformácie pre stĺpce výslednej matice. Pri výpočte dvojrozmernej Fourierovej transformácie budú nízke frekvencie sústredené v rohoch matice, čo nie je príliš vhodné na ďalšie spracovanie prijatých informácií. Aby sme získali 2D reprezentáciu Fourierovej transformácie, v ktorej sú nízke frekvencie sústredené v strede matice, jednoduchý postup, ktorý možno vykonať, je vynásobiť pôvodné dáta $-1^(m+n)$. Na obr. Obrázok 16 ukazuje pôvodný obrázok a jeho Fourierovu transformáciu. Poltónový obrázok a jeho Fourierova transformácia (obrázky získané v LabVIEW) Konvolúcia funkcií $s(t)$ a $r(t)$ je definovaná ako $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ V praxi sa musíme zaoberať diskrétnou konvolúciou, v ktorej sú spojité funkcie nahradené množinami hodnôt v uzloch rovnomernej mriežky (zvyčajne sa berie celočíselná mriežka): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$ Tu $-N$ a $P$ definujú rozsah, za ktorým $r(t) = 0$. Pri výpočte konvolúcie pomocou Fourierovej transformácie sa využíva vlastnosť Fourierovej transformácie, podľa ktorej súčin obrazov funkcií vo frekvenčnej oblasti je ekvivalentný konvolúcii týchto funkcií v časovej oblasti. Na výpočet zosúladenia je potrebné transformovať pôvodné dáta do frekvenčnej oblasti, to znamená vypočítať ich Fourierovu transformáciu, vynásobiť výsledky transformácie a vykonať inverznú Fourierovu transformáciu, čím sa obnoví pôvodná reprezentácia. Jediná jemnosť fungovania algoritmu je spôsobená skutočnosťou, že v prípade diskrétnej Fourierovej transformácie (na rozdiel od spojitej) sú dve periodické funkcie spletité, to znamená, že naše množiny hodnôt presne špecifikujú periódy týchto funkcií, a nie len hodnoty na nejakej samostatnej časti osi. To znamená, že algoritmus verí, že za bodom $x_(N )$ nenasleduje nula, ale bod $x_(0)$ atď. v kruhu. Preto, aby sa konvolúcia správne vypočítala, je potrebné priradiť signálu dostatočne dlhú postupnosť núl. Metódy lineárneho filtrovania patria medzi dobre štruktúrované metódy, pre ktoré boli vyvinuté efektívne výpočtové schémy založené na rýchlych konvolučných algoritmoch a spektrálnej analýze. Vo všeobecnosti algoritmy lineárneho filtrovania vykonávajú transformáciu formulára $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta, $$ kde $K(\zeta ,\eta)$ je jadro lineárnej transformácie. S diskrétnou reprezentáciou signálu sa integrál v tomto vzorci zvrhne na vážený súčet vzoriek pôvodného obrazu v rámci určitej apertúry. V tomto prípade môže výber jadra $K(\zeta ,\eta)$ v súlade s jedným alebo druhým kritériom optimality viesť k množstvu užitočných vlastností (Gaussovo vyhladzovanie pri regulovaní problému numerickej diferenciácie obrazu atď.) . Lineárne metódy spracovania sú najúčinnejšie implementované vo frekvenčnej oblasti. Použitie Fourierovej transformácie obrazu na vykonávanie operácií filtrovania je primárne spôsobené vyšším výkonom takýchto operácií. Vykonanie doprednej a inverznej 2D Fourierovej transformácie a násobenie koeficientmi Fourierovho obrazu filtra zvyčajne trvá menej času ako vykonanie 2D konvolúcie na pôvodnom obrázku. Algoritmy filtrovania vo frekvenčnej doméne sú založené na konvolučnom teoréme. V 2D prípade vyzerá konvolučná transformácia takto: $$ G\vľavo((u,v) \vpravo)=H\vľavo((u,v) \vpravo)F\vľavo((u,v) \vpravo), $$ kde $G$ je Fourierova transformácia výsledku konvolúcie, $H$ je Fourierova transformácia filtra a $F$ je Fourierova transformácia pôvodného obrázku. To znamená, že vo frekvenčnej oblasti je dvojrozmerná konvolúcia nahradená elementárnym násobením obrazov pôvodného obrazu a zodpovedajúceho filtra. Ak chcete vykonať konvolúciu, musíte urobiť nasledovné: Vzťah medzi filtračnou funkciou vo frekvenčnej doméne a priestorovou doménou možno určiť pomocou konvolučnej vety $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u,v) \vpravo), $$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u,v)\vpravo). $$ Konvolúciu funkcie s impulznou funkciou možno znázorniť takto: $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 )\vpravo)=s(x_0, y_0). $$ Fourierova transformácia impulznej funkcie $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ left((x,y) \right) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1)(MN). $$ Nech $f(x,y) = \delta (x,y)$, potom konvolúcia $$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)) \right]H\vľavo((u,v) \vpravo)=\frac(1)(MN)H\vľavo((u,v) \vpravo). $$ Z týchto výrazov je zrejmé, že funkcie filtra vo frekvenčnej a priestorovej doméne sú vzájomne prepojené prostredníctvom Fourierovej transformácie. Pre danú filtračnú funkciu vo frekvenčnej doméne je vždy možné nájsť zodpovedajúci filter v priestorovej doméne aplikáciou inverznej Fourierovej transformácie. To isté platí pre opačný prípad. Pomocou tohto vzťahu možno definovať postup syntézy priestorových lineárnych filtrov. ($\textit(Ideálny dolnopriepustný filter)$) $H(u,v)$ má tvar $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(Ideálny hornopriepustný filter)$) sa získa invertovaním ideálneho dolnopriepustného filtra: $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ Tu sú nízkofrekvenčné zložky úplne potlačené, zatiaľ čo vysokofrekvenčné zložky sú zachované. Rovnako ako v prípade ideálneho dolnopriepustného filtra je však jeho použitie spojené s výskytom výrazného skreslenia. Na syntézu filtrov s minimálnym skreslením sa používajú rôzne prístupy. Jedným z nich je exponenciálna syntéza filtrov. Takéto filtre vnášajú do výsledného obrazu minimálne skreslenie a sú vhodné na syntézu vo frekvenčnej oblasti. Pri spracovaní obrazu sa široko používa rodina filtrov založených na skutočnej Gaussovej funkcii. $\textit(dolnopriepustný Gaussov filter)$ má tvar $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( and ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ Čím užší je profil filtra vo frekvenčnej doméne (čím väčší $\sigma $), tým širší je v priestorovej doméne. ($\textit(High-Pass Gaussian Filter)$) má tvar $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$ $$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$ V dvojrozmernom prípade ($\it(low-pass)$) vyzerá Gaussov filter takto: $$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ ($\it(High Pass)$) Gaussovský filter má tvar $$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ Zoberme si príklad filtrovania obrazu (obr. 1) vo frekvenčnej oblasti (obr. 17 - 22). Všimnite si, že frekvenčné filtrovanie obrazu môže mať význam vyhladzovania ($\textit(dolnopriepustné filtrovanie)$) a zvýraznenia kontúr a objektov malej veľkosti ($\textit(hornopriepustné filtrovanie)$). Ako je možné vidieť z obr. 17, 19, ako sa zvyšuje filtračná „sila“ v nízkofrekvenčnej zložke obrazu, efekt „zdanlivého rozostrenia“ alebo $\it(blur)$ obrazu je čoraz výraznejší. Zároveň väčšina informačného obsahu obrazu postupne prechádza do vysokofrekvenčnej zložky, kde sa na začiatku sledujú len obrysy objektov (obr. 18, 20 - 22). Uvažujme teraz o správaní sa hornopriepustných a dolnopriepustných filtrov (obr. 23 - 28) v prítomnosti aditívneho Gaussovho šumu v obraze (obr. 7). Ako je možné vidieť z obr. 23, 25, vlastnosti nízkofrekvenčných filtrov na potlačenie aditívneho náhodného šumu sú podobné vlastnostiam predtým uvažovaných lineárnych filtrov - pri dostatočnom výkone filtra je šum potlačený, ale cenou za to je silné rozmazanie obrysov a „rozostrenie“. “ celého obrázka. Vysokofrekvenčná zložka zašumeného obrazu prestáva byť informatívna, keďže okrem obrysových a objektových informácií je teraz plne prítomná aj zložka šumu (obr. 27, 28). Použitie frekvenčných metód je najvhodnejšie v prípade, keď je známy štatistický model procesu šumu a/alebo funkcia optického prenosu obrazového prenosového kanála. Je vhodné vziať takéto apriórne údaje do úvahy výberom zovšeobecneného riadeného filtra (podľa parametrov $\sigma$ a $\mu$) nasledujúceho tvaru ako filtra rekonštrukcie: $$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\vpravo]. $$ kde $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Výhody lineárnych filtračných metód zahŕňajú ich jasný fyzikálny význam a jednoduchosť analýzy výsledkov. Pri prudkom zhoršení odstupu signálu od šumu, pri možných variantoch plošného šumu a prítomnosti impulzného šumu s vysokou amplitúdou však môžu byť metódy lineárneho predspracovania nedostatočné. V tejto situácii sú nelineárne metódy oveľa výkonnejšie. Nechaj f(X 1 , X 2) – funkcia dvoch premenných. Analogicky s jednorozmernou Fourierovou transformáciou môžeme zaviesť dvojrozmernú Fourierovu transformáciu: Funkcia pre pevné hodnoty ω 1, ω 2 opisuje rovinnú vlnu v rovine X 1 , X 2 (obrázok 19.1). Veličiny ω 1, ω 2 majú význam priestorových frekvencií a rozmeru mm−1 a funkcia F(ω 1, ω 2) určuje spektrum priestorových frekvencií. Sférická šošovka je schopná vypočítať spektrum optického signálu (obrázok 19.2). Na obrázku 19.2 sú zavedené nasledujúce označenia: φ - ohnisková vzdialenosť, Obrázok 19.1 - Určenie priestorových frekvencií Dvojrozmerná Fourierova transformácia má všetky vlastnosti jednorozmernej transformácie, okrem toho si všimneme dve ďalšie vlastnosti, ktorých dôkaz ľahko vyplýva z definície dvojrozmernej Fourierovej transformácie. Obrázok 19.2 – Výpočet spektra optického signálu pomocou Faktorizácia. Ak je dvojrozmerný signál faktorizovaný, potom je jeho spektrum tiež faktorizované: Radiálna symetria. Ak je dvojrozmerný signál radiálne symetrický, tzn Kde je Besselova funkcia nultého rádu. Vzorec, ktorý definuje vzťah medzi radiálne symetrickým dvojrozmerným signálom a jeho priestorovým spektrom, sa nazýva Hankelova transformácia. PREDNÁŠKA 20. Diskrétna Fourierova transformácia. Nízkopriepustný filter Priama dvojrozmerná diskrétna Fourierova transformácia (DFT) transformuje obraz definovaný v priestorovom súradnicovom systéme ( x, y), na dvojrozmernú diskrétnu transformáciu obrazu špecifikovanú vo frekvenčnom súradnicovom systéme ( u,v): Inverzná diskrétna Fourierova transformácia (IDFT) má tvar: Je možné vidieť, že DFT je komplexná transformácia. Modul tejto transformácie predstavuje amplitúdu obrazového spektra a vypočíta sa ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín reálnej a imaginárnej časti DFT. Fáza (uhol fázového posunu) je definovaná ako arkustangens pomeru imaginárnej časti DFT k skutočnej časti. Energetické spektrum sa rovná druhej mocnine amplitúdy spektra alebo súčtu druhých mocnín imaginárnej a reálnej časti spektra. Konvolučný teorém Podľa konvolučného teorému možno konvolúciu dvoch funkcií v priestorovej oblasti získať pomocou ODFT súčinu ich DFT, tj. Filtrovanie vo frekvenčnej oblasti vám umožňuje použiť DFT obrazu na výber frekvenčnej odozvy filtra, ktorá poskytuje potrebnú transformáciu obrazu. Pozrime sa na frekvenčné charakteristiky najbežnejších filtrov. Je vhodné analyzovať mnohé signály ich rozkladom na sínusoidy (harmonické). Má to viacero dôvodov. Podobne funguje napríklad aj ľudské ucho. Rozkladá zvuk na jednotlivé vibrácie rôznych frekvencií. Okrem toho je možné ukázať, že sínusoidy sú „vlastnými funkciami“ lineárnych systémov (pretože prechádzajú cez lineárne systémy bez zmeny tvaru, ale môžu meniť iba fázu a amplitúdu). Ďalším dôvodom je, že Kotelnikovova veta je formulovaná z hľadiska spektra signálu. Fourierova transformácia ) je rozklad funkcií na sínusoidy (ďalej nazývame aj kosínusové funkcie sínusoidy, keďže sa od „skutočných“ sínusoidov líšia len fázou). Existuje niekoľko typov Fourierovej transformácie. 1.
Neperiodický spojitý signál možno rozšíriť na Fourierov integrál. 2.
Periodický spojitý signál možno rozšíriť do nekonečného Fourierovho radu. 3.
Neperiodický diskrétny signál možno rozšíriť na Fourierov integrál. 4.
Periodický diskrétny signál možno rozšíriť do konečného Fourierovho radu. Počítač dokáže pracovať len s obmedzeným množstvom dát, preto dokáže vypočítať skutočne len posledný typ Fourierovej transformácie. Poďme sa na to pozrieť bližšie. Nech má diskrétny signál x periódu N bodov. V tomto prípade môže byť reprezentovaný ako konečný rad (t.j. lineárna kombinácia) diskrétnych sínusoidov: 2π k (n + ϕ k) x = ∑ C k cos (séria Fourier) k = 0 Ekvivalentný zápis (každý kosínus rozložíme na sínus a kosínus, ale teraz bez fázy): 2 π kn 2 π kn x = ∑ A k cos + ∑ B k sin (séria Fourier) k = 0 k = 0 Ryža. 6. Základné funkcie Fourierovej série pre 8-bodový diskrétny signál. Na ľavej strane sú kosínusy, na pravej strane sú sínusy. Frekvencie sa zvyšujú zhora nadol. Základné sínusoidy majú viacero frekvencií. Prvý člen radu (k =0) je konštanta tzv konštantná zložka(DC offset) signál. Hneď prvá sínusoida (k = 1) má takú frekvenciu, že jej perióda sa zhoduje s periódou samotného pôvodného signálu. Najvyššia zložka frekvencie (k =N /2) má takú frekvenciu, že jej perióda sa rovná dvom impulzom. KoeficientyA k a B k sa nazýva spektrum signálu (spektrum). Ukazujú amplitúdy si- nusoidy, ktoré tvoria signál. Frekvenčný krok medzi dvoma susednými sínusoidami z Fourierovej expanzie sa nazýva frekvenčné rozlíšenie spektrum Na obr. Obrázok 6 ukazuje sínusoidy použité na rozklad diskrétneho signálu z 8 bodov. Každá zo sínusoidov pozostáva z 8 bodov, to znamená, že ide o bežný diskrétny signál. Na obrázku sú pre názornosť zobrazené súvislé sínusoidy. previesť pôvodný signál výpočtom súčtu Fourierovho radu v každom bode. Rozloženie signálu na sínusoidy (t.j. získanie koeficientov) sa nazýva priama Fourierova transformácia. Opačný proces - syntéza signálu pomocou sínusoidov - sa nazýva inverzná Fourierova transformácia(inverzná Fourierova transformácia). Algoritmus pre inverznú Fourierovu transformáciu je zrejmý (je obsiahnutý vo vzorci Fourierovho radu; na vykonanie syntézy doň stačí dosadiť koeficienty). Uvažujme o priamom algoritme Fourierovej transformácie, t.j. zistenie koeficientov Ak a B k . 2 π kn 2 π kn z argumentu n je or- Funkčný systém K = 0,..., tónový základ v priestore periodických diskrétnych signálov s periódou N. To znamená, že na rozšírenie akéhokoľvek vesmírneho prvku (signálu) do neho musíte vypočítať skalárne produkty tohto prvku so všetkými funkciami systému a normalizovať výsledné koeficienty. Potom bude základný expanzný vzorec s koeficientmi A k a B k platný pre pôvodný signál. Koeficienty A k a B k sú teda vypočítané ako skalárne produkty (v ne v nespojitom prípade – integrály súčinu funkcií, v diskrétnom prípade – súčty zo súčinu diskrétnych signálov): N - 1 2 π ki , pre k = 1,..., A k= ∑ xcos −1
Ni = 0 N - 1 A k= ∑ x cos2 π ki , pre k = 0, Ni = 0 N - 1 2πki NB 0 a B N 2 sa vždy rovnajú nule (pretože zodpovedajúce „základné“ signály sú identicky nulové v diskrétnych bodoch) a môžu byť vyradené pri výpočte inverznej a priamej Fourierovej transformácie. Takže sme zistili, že spektrálna reprezentácia signálu je úplne ekvivalentná so samotným signálom. Môžete sa medzi nimi pohybovať pomocou doprednej a inverznej Fourierovej transformácie. Algoritmus na výpočet týchto transformácií je obsiahnutý v daných vzorcoch. Výpočet Fourierových transformácií vyžaduje veľmi veľký počet násobení (asi N2) a sínusových výpočtov. Existuje spôsob, ako vykonať tieto prevody oveľa rýchlejšie: približne N log2 N násobení. Táto metóda sa nazýva rýchla Fourierova transformácia (FFT, rýchla Fourierova transformácia ). Vychádza zo skutočnosti, že medzi faktormi (sínusmi) existuje veľa opakujúcich sa hodnôt (v dôsledku periodicity sínusu). Algoritmus FFT zoskupuje pojmy s rovnakými faktormi, čím sa výrazne znižuje počet násobení. Výsledkom je, že výkon FFT môže byť stokrát rýchlejší ako štandardný algoritmus (v závislosti od N ). Je potrebné zdôrazniť, že algoritmus FFT je presný. Je dokonca presnejší ako štandardný, pretože znížením počtu operácií má za následok menej chýb pri zaokrúhľovaní. Väčšina FFT algoritmov má však zvláštnosť: môžu fungovať len vtedy, keď je dĺžka analyzovaného signálu N mocninou dvoch. Zvyčajne to nepredstavuje veľký problém, pretože analyzovaný signál je možné vždy doplniť nulami na požadovanú veľkosť. číslo N sa nazýva veľkosť alebo dĺžka FFT. Doteraz sme zvažovali DFT zo skutočných signálov. Poďme teraz zovšeobecniť DFT na prípad komplexných signálov. Nech x, n = 0,…,N -1 – pôvodný komplexný signál pozostávajúci z N komplexných čísel. Označme X, k =0,…N -1 – jeho komplexné spektrum, ktoré tiež pozostáva z N komplexných čísel. Potom platia nasledujúce vzorce pre priame a inverzné transformácie: vaniy Fourier (tu j = − 1): N - 1 X [ k] = ∑ x[ n] e− jnk (2 π N ) n = 0 N - 1 ∑ X [ k ] e jnk(2 π N) Nk = 0 Ak rozložíme reálny signál na spektrum pomocou týchto vzorcov, potom prvých N / 2+1 komplexných koeficientov spektra sa bude zhodovať so spektrom „zvyčajného“ skutočného DFT, prezentovaného v „komplexnej“ forme, a zvyšné koeficienty bude ich symetrickým odrazom vzhľadom na Verím, že každý vo všeobecnosti vie o existencii takého úžasného matematického nástroja, akým je Fourierova transformácia. Z nejakého dôvodu sa však na univerzitách vyučuje tak slabo, že pomerne málo ľudí chápe, ako táto transformácia funguje a ako by sa mala správne používať. Medzitým je matematika tejto transformácie prekvapivo krásna, jednoduchá a elegantná. Pozývam všetkých, aby sa dozvedeli niečo viac o Fourierovej transformácii a súvisiacej téme, ako možno analógové signály efektívne previesť na digitálne signály na výpočtové spracovanie. Bez použitia zložitých vzorcov a Matlabu sa pokúsim odpovedať na nasledujúce otázky: Budem vychádzať z predpokladu, že čitateľ chápe, čo je integrál, komplexné číslo (ako aj jeho modul a argument), konvolúcia funkcií plus aspoň „praktická“ predstava o tom, čo je Diracova delta funkcia je. Ak neviete, nevadí, prečítajte si vyššie uvedené odkazy. V tomto texte budem pod pojmom „súčin funkcií“ znamenať „bodové násobenie“ Asi by sme mali začať tým, že zvyčajná Fourierova transformácia je niečo, čo, ako už z názvu viete, transformuje jednu funkciu na inú, to znamená, že každú funkciu reálnej premennej x(t) spája s jej spektrum alebo Fourierov obraz y (w): Ak uvádzame analógie, tak príkladom významovo podobnej transformácie môže byť napríklad derivácia, premena funkcie na jej deriváciu. To znamená, že Fourierova transformácia je v podstate rovnaká operácia ako prevzatie derivácie a často sa označuje podobným spôsobom nakreslením trojuholníkovej „čiapky“ nad funkciou. Iba na rozdiel od diferenciácie, ktorú možno definovať aj pre reálne čísla, Fourierova transformácia vždy „pracuje“ so všeobecnejšími komplexnými číslami. Z tohto dôvodu neustále vznikajú problémy so zobrazením výsledkov tejto transformácie, pretože komplexné čísla nie sú určené jednou, ale dvoma súradnicami na grafe pracujúcom s reálnymi číslami. Najpohodlnejším spôsobom je spravidla reprezentovať komplexné čísla vo forme modulu a argumentu a nakresliť ich oddelene ako dva samostatné grafy: Graf argumentu komplexnej hodnoty sa v tomto prípade často nazýva „fázové spektrum“ a graf modulu sa často nazýva „amplitúdové spektrum“. O amplitúdové spektrum je zvyčajne oveľa väčší záujem, a preto sa často preskakuje „fázová“ časť spektra. V tomto článku sa zameriame aj na „amplitúdové“ veci, no netreba zabúdať ani na existenciu chýbajúcej fázovej časti grafu. Okrem toho sa namiesto obvyklého modulu komplexnej hodnoty často vykresľuje jej dekadický logaritmus vynásobený 10. Výsledkom je logaritmický graf, ktorého hodnoty sú zobrazené v decibeloch (dB). Upozorňujeme, že nie veľmi záporné čísla na logaritmickom grafe (-20 dB alebo menej) zodpovedajú takmer nulovým číslam na „normálnom“ grafe. Preto dlhé a široké „chvosty“ rôznych spektier na takýchto grafoch, keď sú zobrazené v „obyčajných“ súradniciach, spravidla prakticky zmiznú. Pohodlie takejto na prvý pohľad zvláštnej reprezentácie vyplýva zo skutočnosti, že Fourierove obrazy rôznych funkcií je často potrebné medzi sebou množiť. Pri takomto bodovom násobení komplexných Fourierových obrazov sa ich fázové spektrá sčítajú a ich amplitúdové spektrá sa násobia. Prvý je ľahko realizovateľný, zatiaľ čo druhý je pomerne náročný. Logaritmy amplitúdy sa však pri násobení amplitúd sčítavajú, takže logaritmické amplitúdové grafy možno, podobne ako fázové grafy, jednoducho sčítať bodovo. Okrem toho je v praktických problémoch často pohodlnejšie pracovať nie s „amplitúdou“ signálu, ale s jeho „výkonom“ (druhou mocninou amplitúdy). V logaritmickej mierke vyzerajú oba grafy (amplitúda a výkon) identicky a líšia sa iba koeficientom - všetky hodnoty na výkonovom grafe sú presne dvakrát väčšie ako na stupnici amplitúdy. Preto na vytvorenie grafu distribúcie energie podľa frekvencie (v decibeloch) nemôžete nič odmocniť, ale vypočítať desatinný logaritmus a vynásobiť ho 20. Nudíš sa? Ešte chvíľu počkajte, s nudnou časťou článku vysvetľujúceho interpretáciu grafov čoskoro skončíme :). Predtým je však potrebné pochopiť jednu mimoriadne dôležitú vec: hoci všetky vyššie uvedené grafy spektra boli nakreslené pre určité obmedzené rozsahy hodnôt (najmä kladné čísla), všetky tieto grafy v skutočnosti pokračujú do plus a mínus nekonečna. Grafy jednoducho zobrazujú niektorú „najzmysluplnejšiu“ časť grafu, ktorá sa zvyčajne zrkadlí pre záporné hodnoty parametra a často sa periodicky opakuje s určitým krokom pri pohľade vo väčšej mierke. Po rozhodnutí, čo je na grafoch nakreslené, vráťme sa k samotnej Fourierovej transformácii a jej vlastnostiam. Existuje niekoľko rôznych spôsobov definovania tejto transformácie, ktoré sa líšia v malých detailoch (rôzne normalizácie). Napríklad na našich univerzitách z nejakého dôvodu často používajú normalizáciu Fourierovej transformácie, ktorá definuje spektrum z hľadiska uhlovej frekvencie (radiány za sekundu). Použijem pohodlnejšiu západnú formuláciu, ktorá definuje spektrum z hľadiska bežnej frekvencie (hertz). Priame a inverzné Fourierove transformácie sú v tomto prípade určené vzorcami vľavo a niektoré vlastnosti tejto transformácie, ktoré budeme potrebovať, sú určené zoznamom siedmich bodov vpravo: Prvou z týchto vlastností je linearita. Ak vezmeme nejakú lineárnu kombináciu funkcií, potom Fourierova transformácia tejto kombinácie bude rovnakou lineárnou kombináciou Fourierových obrazov týchto funkcií. Táto vlastnosť umožňuje zredukovať zložité funkcie a ich Fourierove obrazy na jednoduchšie. Napríklad Fourierova transformácia sínusovej funkcie s frekvenciou f a amplitúdou a je kombináciou dvoch delta funkcií umiestnených v bodoch f a -f a s koeficientom a/2: Ak vezmeme funkciu pozostávajúcu zo súčtu množiny sínusoidov s rôznymi frekvenciami, potom podľa vlastnosti linearity bude Fourierova transformácia tejto funkcie pozostávať zo zodpovedajúcej množiny delta funkcií. To nám umožňuje poskytnúť naivnú, ale vizuálnu interpretáciu spektra podľa princípu „ak v spektre funkcie frekvencia f zodpovedá amplitúde a, potom pôvodná funkcia môže byť reprezentovaná ako súčet sínusoidov, z ktorých jedna bude sínusoida s frekvenciou f a amplitúdou 2a.“ Presne povedané, táto interpretácia je nesprávna, pretože funkcia delta a bod na grafe sú úplne odlišné veci, ale ako uvidíme neskôr, pre diskrétne Fourierove transformácie to nebude až tak ďaleko od pravdy. Druhou vlastnosťou Fourierovej transformácie je nezávislosť amplitúdového spektra od časového posunu signálu. Ak posunieme funkciu doľava alebo doprava pozdĺž osi x, zmení sa iba jej fázové spektrum. Treťou vlastnosťou je, že natiahnutie (stlačenie) pôvodnej funkcie pozdĺž časovej osi (x) proporcionálne stlačí (natiahne) jej Fourierov obraz pozdĺž frekvenčnej stupnice (w). Najmä spektrum signálu konečného trvania je vždy nekonečne široké a naopak, spektrum konečnej šírky vždy zodpovedá signálu neobmedzeného trvania. Štvrtá a piata vlastnosť sú azda najužitočnejšie zo všetkých. Umožňujú zredukovať konvolúciu funkcií na bodové násobenie ich Fourierových obrazov a naopak - bodové násobenie funkcií na konvolúciu ich Fourierových obrazov. O niečo ďalej ukážem, aké pohodlné je to. Šiesta vlastnosť hovorí o symetrii Fourierových obrazov. Najmä z tejto vlastnosti vyplýva, že vo Fourierovej transformácii funkcie s reálnou hodnotou (t. j. akéhokoľvek „skutočného“ signálu) je amplitúdové spektrum vždy párnou funkciou a fázové spektrum (ak sa dostane do rozsahu -pi ...pi) je zvláštne . Práve z tohto dôvodu sa negatívna časť spektra na spektrálnych grafoch takmer vôbec nekreslí - pre reálne hodnotené signály neposkytuje žiadnu novú informáciu (ale opakujem, nie je ani nulová). Napokon posledná, siedma vlastnosť hovorí, že Fourierova transformácia zachováva „energiu“ signálu. Má význam iba pre signály s konečnou dobou trvania, ktorých energia je konečná, a naznačuje, že spektrum takýchto signálov v nekonečne sa rýchlo blíži k nule. Práve kvôli tejto vlastnosti grafy spektra zvyčajne zobrazujú iba „hlavnú“ časť signálu, ktorá nesie leví podiel energie - zvyšok grafu má jednoducho tendenciu k nule (ale opäť nie je nula). Vyzbrojení týmito 7 vlastnosťami sa pozrime na matematiku „digitalizácie“ signálu, ktorá vám umožňuje previesť súvislý signál na postupnosť čísel. Aby sme to dosiahli, musíme použiť funkciu známu ako „Dirac hrebeň“: Diracov hrebeň je jednoducho periodická sekvencia delta funkcií s jednotkovým koeficientom, ktorá začína na nule a pokračuje krokom T. Na digitalizáciu signálov sa T vyberie čo najmenšie číslo, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: Namiesto spojitej funkcie sa po takomto vynásobení získa sekvencia delta impulzov určitej výšky. Navyše podľa vlastnosti 5 Fourierovej transformácie je spektrum výsledného diskrétneho signálu konvolúciou pôvodného spektra s príslušným Diracovým hrebeňom. Je ľahké pochopiť, že na základe vlastností konvolúcie sa spektrum pôvodného signálu „skopíruje“ nekonečne veľakrát pozdĺž frekvenčnej osi s krokom 1/T a potom sa sčítava. Všimnite si, že ak pôvodné spektrum malo konečnú šírku a použili sme dostatočne vysokú vzorkovaciu frekvenciu, potom sa kópie pôvodného spektra nebudú prekrývať, a preto sa nebudú navzájom sčítavať. Je ľahké pochopiť, že z takéhoto „zrúteného“ spektra bude ľahké obnoviť to pôvodné - bude stačiť jednoducho vziať zložku spektra v oblasti nuly, čím sa „odstrihnú“ ďalšie kópie idúce do nekonečna. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je vynásobiť spektrum pravouhlou funkciou rovnajúcou sa T v rozsahu -1/2T...1/2T a nule mimo tohto rozsahu. Takáto Fourierova transformácia zodpovedá funkcii sinc(Tx) a podľa vlastnosti 4 je takéto násobenie ekvivalentné konvolúcii pôvodnej postupnosti delta funkcií s funkciou sinc(Tx) To znamená, že pomocou Fourierovej transformácie máme spôsob, ako jednoducho zrekonštruovať pôvodný signál z časovo vzorkovaného signálu, ktorý funguje za predpokladu, že použijeme vzorkovaciu frekvenciu, ktorá je aspoň dvojnásobná (kvôli prítomnosti záporných frekvencií v spektre) vyššia ako maximálna frekvencia prítomná v pôvodnom signáli. Tento výsledok je všeobecne známy a nazýva sa „Kotelnikov/Shannon-Nyquistova veta“. Ako je však teraz ľahké si všimnúť (pochopenie dôkazu), tento výsledok, na rozdiel od rozšírenej mylnej predstavy, určuje dostatočné, ale nie nevyhnutné stav na obnovenie pôvodného signálu. Stačí zabezpečiť, aby sa časť spektra, ktorá nás po vzorkovaní signálu zaujíma, navzájom neprekrývala a ak je signál dostatočne úzkopásmový (má malú „šírku“ nenulovej časti spektra), potom možno tento výsledok často dosiahnuť pri vzorkovacej frekvencii oveľa nižšej ako je dvojnásobok maximálnej frekvencie signálu. Táto technika sa nazýva „undersampling“ (podvzorkovanie, vzorkovanie pásmovým priepustom) a je pomerne široko používaná pri spracovaní všetkých druhov rádiových signálov. Napríklad, ak vezmeme FM rádio pracujúce vo frekvenčnom pásme od 88 do 108 MHz, potom na jeho digitalizáciu môžeme použiť ADC s frekvenciou iba 43,5 MHz namiesto 216 MHz predpokladaných Kotelnikovovou vetou. V tomto prípade však budete potrebovať kvalitný ADC a dobrý filter. Dovoľte mi poznamenať, že „duplikácia“ vysokých frekvencií s frekvenciami nižších rádov (aliasing) je bezprostrednou vlastnosťou vzorkovania signálu, ktorá nenávratne „kazí“ výsledok. Ak teda signál môže v princípe obsahovať frekvencie vyšších rádov (teda takmer vždy), pred ADC sa umiestni analógový filter, ktorý „odstrihne“ všetko nepotrebné priamo v pôvodnom signáli (keďže po vzorkovaní bude na to neskoro). Charakteristiky týchto filtrov ako analógových zariadení nie sú ideálne, takže k určitému „poškodeniu“ signálu stále dochádza a v praxi z toho vyplýva, že najvyššie frekvencie v spektre sú spravidla nespoľahlivé. Na zníženie tohto problému je signál často prevzorkovaný, pričom sa vstupný analógový filter nastaví na nižšiu šírku pásma a použije sa iba spodná časť teoreticky dostupného frekvenčného rozsahu ADC. Mimochodom, ďalšou bežnou mylnou predstavou je, že signál na výstupe DAC je nakreslený v „krokoch“. „Kroky“ zodpovedajú konvolúcii vzorkovanej signálnej sekvencie s pravouhlou funkciou šírky T a výšky 1: Spektrum signálu s touto transformáciou je vynásobené Fourierovým obrazom tejto pravouhlej funkcie a pre podobnú pravouhlú funkciu je opäť sinc(w), „natiahnuté“ tým viac, čím je šírka príslušného obdĺžnika menšia. Spektrum vzorkovaného signálu s takýmto „DAC“ sa bod po bode vynásobí týmto spektrom. V tomto prípade nie sú zbytočné vysoké frekvencie s „extra kópiami“ spektra úplne odrezané, ale horná časť „užitočnej“ časti spektra je naopak utlmená. V praxi to samozrejme nikto nerobí. Existuje mnoho rôznych prístupov ku konštrukcii DAC, ale dokonca aj v najbližšom váhovom type DAC sú pravouhlé impulzy v DAC, naopak, zvolené tak, aby boli čo najkratšie (približujúce sa k skutočnej sekvencii delta funkcií), aby aby nedošlo k nadmernému potlačeniu užitočnej časti spektra. „Extra“ frekvencie vo výslednom širokopásmovom signáli sa takmer vždy rušia prechodom signálu cez analógový dolnopriepustný filter, takže „vo vnútri“ prevodníka a najmä na jeho výstupe nevznikajú žiadne „digitálne kroky“. Vráťme sa však k Fourierovej transformácii. Vyššie opísaná Fourierova transformácia aplikovaná na vopred navzorkovanú signálnu sekvenciu sa nazýva Fourierova transformácia s diskrétnym časom (DTFT). Spektrum získané takouto transformáciou je vždy 1/T-periodické, preto je DTFT spektrum úplne určené jeho hodnotami na segmente )
Komplexná reprezentácia Fourierovej transformácie.
Rýchla Fourierova transformácia.
Dvojrozmerná Fourierova transformácia.
Konvolúcia pomocou Fourierovej transformácie.
Filtrovanie obrázkov vo frekvenčnej oblasti.
sférická šošovka
Fourierove transformácie
Reálny signál DFT
Komplexné DFT
