В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Линейное уравнение
– это уравнение, запись которого такова:
a · x = b
, где x
– переменная, a
и b
– некоторые числа.
Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Пример 1
Примерами линейных уравнений будут:
3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );
− 3 , 1 · y = 0 (линейное уравнение с переменной y , где а = - 3 , 1 и b = 0);
x = − 4 и − x = 5 , 37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и - 1 соответственно. Для первого уравнения b = - 4 ; для второго - b = 5 , 37 ) и т.п.
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.
А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Определение 2
Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a · x + b = 0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.
Пример 2
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;
1 , 8 · y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .
Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a · x = b , например, 6 · x = 35 .
Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a · x + b = 0 , где x – переменная; a , b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a · x + b = 0 , определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.
При таком подходе уравнение 5 · x + 8 = 0 – линейное, а 5 · x = − 8 - уравнение, сводящееся к линейному.
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Определение 3
Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b . Запишем эти условия:
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
Таким образом, преобразуем линейное уравнение a · x + b = 0 , перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a · x = − b .
Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x = - b a . Т.е., когда a ≠ 0 , исходное уравнение a · x + b = 0 равносильно равенству x = - b a , в котором очевиден корень - b a .
Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня - b a как x 1 .
Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x 2 .
И конечно: x 2 ≠ x 1 ,
а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x 1 − x 2 ≠ 0 .
С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a · x 1 + b = 0
и a · x 2 + b = 0 .
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:
a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0 , отсюда: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 и далее a · (x 1 − x 2) = 0 . Равенство a · (x 1 − x 2) = 0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a ≠ 0 и x 1 − x 2 ≠ 0 . Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 имеет лишь один корень.
Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a = 0 .
Когда a = 0 линейное уравнение a · x + b = 0 запишется как 0 · x + b = 0 . Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x , подставив его в равенство 0 · x + b = 0 , получим b = 0 . Равенство справедливо при b = 0 ; в прочих случаях, когда b ≠ 0 , равенство становится неверным.
Таким образом, когда a = 0 и b = 0 , любое число может стать корнем линейного уравнения a · x + b = 0 , поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0 = 0 . Когда же a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b = 0 .
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Напоследок уточним, что уравнения вида a · x = b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a ≠ 0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a .
Таким образом, чтобы найти решение уравнения a · x = b , используем такой алгоритм:
Необходимо решить линейное уравнение 0 · x − 0 = 0 .
Решение
По записи заданного уравнения мы видим, что a = 0 и b = − 0 (или b = 0 , что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.
Ответ: x – любое число.
Пример 4
Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0 · x + 2 , 7 = 0 .
Решение
По записи определяем, что а = 0 , b = 2 , 7 . Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.
Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.
Пример 5
Задано линейное уравнение 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 . Необходимо решить его.
Решение
По записи уравнения определяем, что а = 0 , 3 ; b = - 0 , 027 , что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.
Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0 , 3 · x = 0 , 027 . Далее разделим обе части полученного равенства на а = 0 , 3 , тогда: x = 0 , 027 0 , 3 .
Осуществим деление десятичных дробей:
0 , 027 0 , 3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0 , 09
Полученный результат есть корень заданного уравнения.
Кратко решение запишем так:
0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .
Ответ: x = 0 , 09 .
Для наглядности приведем решение уравнения записи a · x = b .
Пример N
Заданы уравнения: 1) 0 · x = 0 ; 2) 0 · x = − 9 ; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Необходимо решить их.
Решение
Все заданные уравнения отвечают записи a · x = b . Рассмотрим по очереди.
В уравнении 0 · x = 0 , a = 0 и b = 0 , что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.
Во втором уравнении 0 · x = − 9: a = 0 и b = − 9 , таким образом, это уравнение не будет иметь корней.
По виду последнего уравнения - 3 8 · x = - 3 3 4 запишем коэффициенты: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a , получим в результате: x = - 3 3 4 - 3 8 . Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:
3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10
Кратко решение запишем так:
3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .
Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x = 10 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
\(x=[число]\)
Это число и будет корнем.
То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:
Например : прибавим \(5\) к обеим частям уравнения \(6x-5=1\)
\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)
Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».
Например : разделим уравнение \(-2x=8\) на минус два
\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)
Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду \(ax=b\), и мы делим на \(a\), чтобы убрать его слева.
Прибавляем \(2x\) слева и справа
Вычитаем \(24\) из обеих частей уравнения
Опять приводим подобные слагаемые
Теперь делим уравнение на \(-3\), тем самым убирая перед иксом в левой части.
Ответ : \(7\)
Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство - одинаковые числа слева и справа. Пробуем.
Проверка:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)
Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.
Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?
Ответ прост:
Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения \(x+3=13-4x\).
Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от \(x=[число]\)? Что нам мешает? Что не так?
Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать - вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.
\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)
Хорошо. Теперь что мешает? \(4x\) справа, ведь там должны быть только числа. \(4x\) вычитается - убираем прибавлением .
\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)
Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.
Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается
на икс. Поэтому убираем ее делением
.
\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac{5x}{5}\)
\(=\)\(\frac{10}{5}\)
\(x=2\)
Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.
Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один . Однако могут встретиться два особых случая.
Пример . Решить уравнение \(3x-1=2(x+3)+x\)
Решение :
Ответ : нет корней.
На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: как могут быть равны \(3x\) из которых вычли \(1\), и \(3x\) к которым прибавили \(6\)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.
Решение :
Ответ : любое число.
Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: \(8x+12=8x+12\). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.
Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.
Пример . Найдите корень уравнения \(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\)
Решение :
\(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\) |
Казалось бы, здесь есть икс в квадрате – это не линейное уравнение! Но не спешите. Давайте применим |
|
\(2x^{2}-(x^{2}-8x+16)=9+6x+x^{2}-15\) |
Почему результат раскрытия \((x-4)^{2}\) стоит в скобке, а результат \((3+x)^{2}\) нет? Потому что перед первым квадратом стоит минус, который изменит все знаки. И чтобы не забыть об этом – берем результат в скобки, которую теперь раскрываем. |
|
\(2x^{2}-x^{2}+8x-16=9+6x+x^{2}-15\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(x^{2}+8x-16=x^{2}+6x-6\) |
||
\(x^{2}-x^{2}+8x-6x=-6+16\) |
Опять приводим подобные. |
|
Вот так. Оказывается, исходное уравнение – вполне себе линейное, а иксы в квадрате не более чем ширма, чтоб нас запутать. :) Дорешиваем, деля уравнение на \(2\), и получаем ответ. |
Ответ : \(x=5\)
Пример . Решить линейное уравнение \(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)
Решение :
\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\) |
Уравнение не похоже на линейное, дроби какие-то... Однако давайте избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех – шестерку |
|
\(6\cdot\)\((\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3})\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\) \(\cdot 6\) |
Раскрываем скобку слева |
|
\(6\cdot\)\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\) \(\cdot 6\) |
Теперь сокращаем знаменатели |
|
\(3(x+2)-2=9+7x\) |
Вот теперь похоже на обычное линейное! Дорешиваем его. |
|
Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева |
||
Ну и поделив на \(-4\) правую и левую часть, получаем ответ |
Ответ : \(x=-1,25\)
Уравнения в математике так же важны, как глаголы в русском языке. Без умения находить корень уравнения сложно утверждать, что ученик усвоил курс алгебры. К тому же для каждого их вида существуют свои особенные пути решения.
Уравнение - это два произвольных выражения, содержащих переменные величины, между которыми поставлен знак равенства. Причем количество неизвестных величин может быть произвольным. Минимальное количество - одна.
Решить его - это значит узнать, есть ли корень уравнения. То есть число, которое превращает его в верное равенство. Если его нет, то ответом является утверждение, что «корней нет». Но может быть и противоположное, когда ответом является множество чисел.
Линейное. Оно содержит переменную, степень которой равна единице.
Оно является основным. К такому виду стремятся привести все остальные. Так как у него найти корень уравнения достаточно просто.
Сначала его нужно привести к стандартному виду, то есть раскрыть все скобки, привести подобные слагаемые и перенести все одночлены в левую часть. В правой части равенства должен остаться только ноль.
Сначала найдите корень уравнения x. Он определяется методом подбора из чисел, которые являются делителями свободного члена. Этот способ удобно рассмотреть на конкретном примере. Пусть уравнение имеет вид: х 3 - 3х 2 - 4х + 12 = 0.
Его свободный член равен 12. Тогда делителями, которые требуется проверить, будут положительные и отрицательные числа: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Перебор можно закончить уже на числе 2. Оно дает верное равенство в уравнении. То есть его левая часть оказывается равной нулю. Значит число 2 - это первый корень кубического уравнения.
Теперь необходимо разделить исходное уравнение на разность переменной и первого корня. В конкретном примере это (х - 2). Несложное преобразование приводит числитель к такому разложению на множители: (х - 2)(х + 2)(х - 3). Одинаковые множители числителя и знаменателя сокращаются, а оставшиеся две скобки при раскрытии дают простое квадратное уравнение: х 2 - х - 6 = 0.
Здесь найдите два корня уравнения по принципу, описанному в предыдущем разделе. Ими оказываются числа: 3 и -2.
Итого, у конкретного кубического уравнения получилось три корня: 2, -2 и 3.
Здесь предложен метод исключения неизвестных. Он заключается в том, чтобы выразить одну неизвестную через другую в одном уравнении и подставить это выражение в другое. Причем решением системы из двух уравнений с двумя неизвестными всегда является пара переменных величин.
Если в них переменные обозначены буквами х 1 и х 2 , то можно из первого равенства вывести, к примеру, х 2 . Потом оно подставляется во второе. Проводится необходимое преобразование: раскрытие скобок и приведение подобных членов. Получается простое линейное уравнение, корень которого вычислить легко.
Теперь возвратитесь к первому уравнению и найдите корень уравнения x 2 , используя получившееся равенство. Эти два числа являются ответом.
Для того чтобы быть уверенным в полученном ответе, рекомендуется всегда делать проверку. Ее не обязательно записывать.
Если решается одно уравнение, то каждый из его корней нужно подставить в исходное равенство и получить одинаковые числа в обеих его частях. Все сошлось - решение верное.
При работе с системой корни необходимо подставлять в каждое решение и выполнять все возможные действия. Получается верное равенство? Значит решение правильное.
Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение, полная степень многочленов которого равна единице. Решение линейных уравнений - часть школьной программы, причем не самая сложная. Однако некоторые все же испытывают затруднения при прохождении данной темы. Надеемся, прочитав данный материал, все трудности для вас останутся в прошлом. Итак, давайте разбираться. как решать линейные уравнения.
Линейное уравнение представляется в виде:
Несмотря на то, что a и b могут быть любыми числами, их значения влияют на количество решений уравнение. Выделяют несколько частных случаев решения:
В том случае, если оба числа имеют не нулевые значения, уравнение предстоит решить, чтобы вывести конечное выражения для переменной.
Решить линейное уравнение - значит, найти, чему равна переменная. Как же это сделать? Да очень просто - используя простые алгебраические операции и следуя правилам переноса. Если уравнение предстало перед вами в общем виде, вам повезло, все, что необходимо сделать:
Вот и все - решение найдено!
Теперь давайте разберем на конкретном примере:
Вот и все! Наше решение: x = -2.
Как видите, решение линейного уравнения с одной переменной найти довольно просто, однако так просто все, если нам повезло встретить уравнение в общем виде. В большинстве случаев, прежде чем решать уравнение в описанные выше две ступени, нужно еще привести имеющееся выражение к общему виду. Впрочем, это тоже не архисложная задача. Давайте разберем некоторые частные случаи на примерах.
Во-первых, давайте разберем случаи, которые мы описали в начале статьи, и объясним, что же значит бесконечное множество решений и отсутствие решения.
Описанные частные случаи - это не все, чем нас могут удивить линейный уравнения. Иногда уравнение вообще с первого взгляда трудно идентифицировать. Разберем пример:
Разве это линейное уравнение? А как же ноль в правой части? Торопиться с выводами не будем, будем действовать - перенесем все составляющие нашего уравнения в левую сторону. Получим:
Теперь вычтем подобное из подобного, получим:
Узнали? Самое что ни на есть линейное уравнение! Решение которого: x = 20/10 = 2.
А что если перед нами такой пример:
Да, это тоже линейное уравнение, только преобразований нужно провести побольше. Сначала раскроем скобки:
Как видите, все решаемо, главное - не переживать, а действовать. Запомните, если в вашем уравнении только переменные первой степени и числа, перед вами линейное уравнение, которое, как бы оно ни выглядело изначально, можно привести к общему виду и решить. Надеемся, у вас все получится! Удачи!
Сперва необходимо понять, что же это такое.
Есть простое определение линейного уравнения , которое дают в обычной школе: «уравнение, в котором переменная встречается только в первой степени». Но оно не совсем верно: уравнение не является линейным, оно даже не приводится к такому, оно приводится к квадратичному.
Более точное определение таково: линейное уравнение – это уравнение, которое с помощью эквивалентных преобразований можно привести к виду , где title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.
На самом деле, чтобы понять, является ли уравнение линейным или нет, его необходимо сперва упростить, то есть привести к виду, где его классификация будет однозначна. Запомните, с уравнением можно делать всё, что угодно, что не изменит его корней - это и есть эквивалентное преобразование
. Из самых простых эквивалентных преобразований можно выделить:
Пример 1:
(раскроем скобки)
(прибавим к обеим частям и вычитание /перенесём со сменой знака числа влево, а переменные вправо)
(приведём подобные)
(разделим на 3 обе части уравнения)
Вот мы и получили уравнение, которое имеет такие же корни, как и исходное. Напомним читателю, что "решить уравнение"
- значит найти все его корни и доказать, что других нет, а "корень уравнения"
- это такое число, которое будучи подставленным вместо неизвестной, обратит уравнение в верное равенство. Ну так в последнее уравнение найти число, обращающее уравнение в верное равенство очень просто - это число . Никакое другое число тождества из данного уравнения не сделает. Ответ:
Пример 2:
(умножим обе части уравнения на , предварительно убедившись, что мы не умножаем на : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)
(раскроем скобки)
(перенесём слагаемые)
(приведём подобные)
(разделим обе части на )
Примерно так и решаются все линейные уравнения. Для читателей помладше, скорее всего, данное объяснение показалось сложным, поэтому предлагаем версию "линейные уравнения для 5 класса"